1
PROYEKSI BIDANG
Disusun Oleh :
NAMA : 1. Trisia Miranty
2. Ogi Meita Utami
NIM :1. 06122502003
2. 06122502001
Prodi : Pendidikan Matematika
Dosen Pengasuh : 1. Dr. Yusuf Hartono, M.Sc
2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2O12 - 2013
2
PROYEKSI BIDANG
A. PENDAHULUAN
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan mengenai geometri proyeksi.
Makalah ini akan membahas tentang geometri proyeksi yang hanya menggunakan
sifat garis lurus saja.
Kita akan memulai proyeksi ini pada bagian 5.3 bab prespektif dengan 3
aksioma untuk pesawat proyeksi, yaitu :
1. Setiap dua “titik” berada dalam satu “garis” khusus.
2. Setiap dua “garis” memiliki “titik” khusus.
3. Ada empat “titik”, tidak ada tiga diantaranya yang segaris
Namun, aksioma – aksioma itu dipenuhi oleh banyak struktur, beberapa di
antaranya tidak memiliki sistem koordinat yang sesuai. Untuk membangun
koordinat, kita memerlukan setidaknya satu aksioma tambahan, tetapi untuk lebih
mudah kita mengambil dua: Pappus dan Desargues yang telah dibuktikan dengan
bantuan koordinat pada Bab 4.
Di sini kita lanjutkan dalam arah yang berlawanan untuk Bab 4: Ambil
Pappus dan Desargues sebagai aksioma, dan gunakan mereka untuk menentukan
koordinat. Titik koordinat adalah titik pada garis proyeksi, dan kita tambahkan
dan kalikan mereka dengan bentuk seperti di Bab 1. Tetapi sebaliknya
menggunakan garis sejajar, kita sebut garis "sejajar" jika mereka bertemu pada
garis "horizon" atau "garis tak terhingga”.
Masalah utama adalah untuk membuktikan bahwa penjumlahan dan operasi
perkalian memenuhi aksioma lapangan. Ini adalah di mana teorema Pappus dan
Desargues sangat penting. Pappus diperlukan untuk membuktikan Hukum
komutatif perkalian, ab = ba, sedangkan Desargues diperlukan untuk
membuktikan hukum asosiatif, a (bc) = (ab) c.
3
6.1 Penjelasan Sekilas Tentang Pappus dan Desargues
Teorema dari Pappus dan Desargues mengatakan bahwa jika dua garis
tertentu bertemu di satu titik, maka begitu pula pasangan yang ketiga. Dan karena
horizon tidak berbeda dari garis lain, menurut teorema ini tiga pasang
garis memiliki perpotongan pada garis yang sama.
Dalam pengaturan proyeksi ini, teorema Pappus mengambil bentuk seperti
pada Gambar 6.1. Enam titik puncak dari segi enam (hexagon) ditunjukkan
sebagai titik, dan sisi yang berlawanan ditunjukkan sebagai sepasang garis hitam,
sepasang garis abu-abu, dan sepasang garis titik-titik. Garis yang masing-masing
tiga pasang bertemu diberi label L, dan kita sebut garis L sebagai horisontal (tapi
ini sama sekali tidak diperlukan).
Proyeksi teorema pappus. Enam titik, terletak berurutan pada dua garis lurus,
membentuk segi enam yang tiga pasang sisi yang berlawanan bertemu pada satu
garis.
Pernyataan ini pada teorema Pappus disebut proyeksi karena hanya
melibatkan konsep titik, garis, dan pertemuan keduanya. Pertemuan antara objek
geometris disebut insidensi, dan, untuk Alasan ini, teorema Pappus juga disebut
teorema insidensi. Tiga aksioma proyeksi bidang, diberikan dalam Bagian 5.3,
adalah contoh paling sederhana teorema insidensi.
4
Proyeksi Teorema Desargues merupakan salah satu teorema insidensi yang
lainnya. Itu menyangkut pasangan sisi yang bersesesuaian dari dua segitiga, yang
ditunjukkan dalam warna abu-abu pada Gambar 6.2. Segitiga yang dilihat dalam
sudut pandang dari titik P, yang berarti bahwa setiap pasangan titik yang sesuai
terletak pada garis melalui P. Tiga pasang sisi yang sesuai yang ditunjukkan
sebagai hitam, abu - abu, dan pasangan bertitik, dan masing - masing bertemu
pada garis L.
Proyeksi teorema Desargues. Jika dua segitiga dilihat dari satu titik, maka
pasangan sisi yang bersesuaian bertemu pada satu garis
Sebuah kasus khusus yang penting dari teorema Desargues yaitu memiliki
pusat proyeksi P pada garis L dimana sisi-sisi yang bersesuaian bertemu. Kasus
Ini disebut teorema Desargues kecil, dan itu adalah ditunjukkan pada Gambar 6.3.
Teorema Desargues Kecil. Jika dua segitiga dilihat dari sudut pandang titik P,
dan jika dua pasang sisi yang bersesuaian bertemu pada garis L melalui P, maka
pasangan sisi ketiga yang bersesuaian juga bertemu pada L.
Karena Proyeksi Pappus dan teorema Desargues hanya melibatkan konsep
insidensi, salah satu bukti dari mereka yang hanya melibatkan tiga aksioma
pesawat proyeksi dijelaskan dalam Bagian 5.3. Sayangnya, hal ini tidak mungkin,
5
karena ada contoh pesawat poyeksi yang tidak memenuhi teorema Pappus dan
Desargues. Apa yang dapat kita lakukan, bagaimanapun, menggunakan teorema
Pappus dan Desargues sebagai aksioma baru. Dengan tiga aksioma asli proyeksi
bidang, ada dua aksioma baru berlaku untuk proyeksi bidang yang lebih luas yang
disebut pesawat Pappian.
Pesawat Pappian termasuk RP2 dan banyak jenis lainnya, tetapi tidak
semua. Mereka berubah menjadi bidang dengan koordinat memenuhi hukum yang
sama pada aljabar sebagai bilangan real- aksioma lapangan. Tujuan dari bab ini
adalah untuk menunjukkan bagaimana koordinat muncul ketika teorema Pappus
dan Desargues digunakan, dan mengapa mereka memenuhi aksioma lapangan.
Dengan demikian, kita akan melihat bahwa geometri proyeksi lebih sederhana
daripada aljabar dalam arti tertentu, karena kita hanya menggunakan lima aksioma
geometri untuk memperoleh sembilan aksioma lapangan.
6.2 Coincidences
Jika dua titik A, B terletak pada satu garis, dan secara kebetulan titik C juga
terletak pada garis yang sama melalui titi A, B. Pertemuan yang secara kebetulan
inilah yang disebut “coincidences”. Dalam geometri proyeksi : Coincidences = 2
insidensi yang secara bersama-sama – dalam kasus ini insidensi A dan B dengan
sebuah garis, insidensi C dengan garis yang sama.
6
Teorema dari Pappus dan Desargues menyatakan bahwa beberapa kebetulan
terjadi. Pada kenyataannya, jenis coincidence ini hanya menjelaskan, di mana dua
titik terletak pada satu garis dan titik yang ketiga terletak pada garis yang sama.
Perspektif gambar lantai keramik juga melibatkan coincidence tertentu.
6.3 Variasi pada Teorema Desargues
Pada Bagian 6.1, kita menyatakan Teorema Desargues dalam bentuk: Jika
dua segitiga dilihat dari satu titik, kemudian ketiga pasang sisi yang bersesuaian
bertemu pada satu garis.
Kebalikan Teorema Desargues. Jika sisi yang bersesuaian dari dua segitiga
bertemu pada garis, maka dua segitiga itu adalah perspektif dari satu titik.
Untuk menyimpulkan hasil dari teorema Desargues, segitiga ABC dan
A’B’C’ adalah dua segitiga yang bersesuaian bertemu pada garis L. Misalkan P
perpotongan dari AA’ dan BB’, jadi kita ingin membuktikan bahwa P terletak
pada CC’. Misalkan PC bertemu pada garis B’C’ di C’’ (Gambar 6.12
menunjukkan C’’, hipotetis, tidak merata ke C’).
Kemudian segitiga ABC dan A’ B’ C’’ dalam perspektif dari P dan oleh
karena itu, dengan teorema Desargues, sisi yang bersesuaian bertemu tepat pada
satu garis. Kita sudah tahu bahwa AB bertemu A’B’ pada L, dan BC yang
7
bertemu B’C’ pada L. Oleh karena itu, AC bertemu A’C’’ pada L, tentu di titik Q
di mana AC bertemu L. Hal berikut bahwa QA’ melalui C’’. Tapi kita juga tahu
bahwa QA’ bertemu B’C’ di C’. Oleh karena itu, C’’ = C’.
Dengan demikian, C’ memang pada PC line, sehingga ABC dan A’B’C’
berada dalam perspektif dari P, seperti yang diperlukan. Akibat kedua dari
teorema Desargues disebut dengan teorema scissors.
Teorema Scissors : Jika ABCD dan A’B’C’D’ adalah bersisi empat dengan
puncak secara berurutan pada dua garis. Dan jika AB sejajar dengan A’B’, BC
dengan B’C’ dan AD dengan A’D’, maka begitu juga dengan CD yang sejajar
dengan C’D’
Untuk membuktikan teorema ini, misalkan E adalah perpotongan AD dan
BC dan E’ perpotongan dari A’D’ dan B’C’, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 6.13. kemudian segitiga ABE dan A’B’E’ memiliki sisi yang sejajar
bersesuaian. Oleh karena itu, mereka berada dalam perspektif dari perpotongan P
pada AA’ dan BB’ dengan kebalikan teorema desargues.
Tapi kemudian segitiga CDE dan C’D’E’ juga dalam perspektif dari P.
Karena sisi mereka CE dan C’E’, DE dan D’E’, Diasumsikan sejajar, maka dari
Teorema Desargues bahwa CD dan C’D’ juga sejajar.
Teorema Scissors hanya membuktikan bahwa jika garis hitam, abu-abu, dan
garis putus-putus pada Gambar 6.13 adalah sejajar, maka begitu pula garis putus-
putus.
8
Kami telah memperpanjang garis hitam dan putus-putus sampai mereka
bertemu dan membentuk segitiga yang bersesuaian dengan garis hitam, abu-abu
dan garis putus-putus yang sejajar.
Keterangan. Dalam prakteknya, teorema scissors sering digunakan dalam
berbagai cara. Kami memiliki sepasang gunting ABCD dan gambar lain
D’A’B’C’F’ Dengan pasang paralel hitam, abu-abu, putus-putus, dan garis putus-
putus seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.15. Kami ingin membuktikan
bahwa D’= F’ (sehingga ujung abu-abu dan putus-putus garis bertepatan, dan
angka kedua juga sepasang gunting).
Kebetulan ini terjadi karena garis C’D’ sejajar dengan CD oleh
teorema scissors, sehingga C’D’ adalah baris yang sama sebagai C’F’, dan
karenanya D’= F’.
9
6.4 Proyektif Aritmatika
Jika kita memilih dua garis dalam proyeksi bidang sebagai sumbu x dan y,
kita dapat menambah dan memperbanyak setiap titik pada sumbu x oleh
konstruksi tertentu. Itu konstruksi menyerupai konstruksi geometri Euclidean,
tetapi mereka menggunakan jangka saja, sehingga mereka masuk akal dalam
geometri proyeksi. Untuk menjaga mereka sederhana, kita menggunakan garis
yang kita sebut "sejajar," tapi ini hanya berarti pertemuan garis pada "garis di tak
terhingga". Kesulitan sebenarnya adalah bahwa a + b, misalnya, berbeda dengan
b + a, sehingga merupakan "coincidence" jika a + b = b + a. Sama halnya,
"coincidence" jika ab = ba, atau jika ada aturan aljabar lain yang berlaku.
Tambahan
Untuk membangun jumlah yang a + b di titik a dan b pada sumbu x, kita
mengambil setiap garis L sejajar dengan sumbu x dan membuat garis yang
ditunjukkan dalam Gambar 6.17:
1. Sebuah garis dari a ke titik di mana L bertemu dengan sumbu y.
2. Sebuah garis dari b sejajar dengan sumbu y.
3. Sebuah sejajar dengan garis pertama melalui perpotongan garis kedua
dan L.
Kita membutuhkan garis L untuk membuat a + b, tapi kita mendapatkan titik
a + b yang sama dari garis L’ yang lainnya sejajar dengan sumbu x.
10
Bagian hitam dari segitiga sejajar dengan konstruksi, seperti adalah bagian
abu-abu, salah satunya berakhir pada titik a + b dibuat dari L. Kemudian
berdasarkan teorema Desargues kecil garis putus-putus juga sejajar, dan salah
satunya berakhir pada titik a + b dibangun dari L’. Oleh karena itu, titik yang
sama a + b dibangun dari kedua L dan L’
Perkalian
Untuk membangun ab hasil dari dua titik a dan b pada sumbu x-, pertama-
tama kita harus memilih sebuah titik ≠ O pada sumbu x menjadi 1. Kami juga
memilih titik ≠ O menjadi 1 pada sumbu y. Titik ab dibuat dengan menggambar
garis hitam dan abu-abu dari 1 dan a pada sumbu x, ke 1 pada sumbu y, dan
kemudian menggambar sejajar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.19.
Gambar ini adalah Versi proyeksi "perkalian dengan sebuah" dilakukan dalam
Bagian 1.4.
11
Memilih 1 pada sumbu x-berarti memilih satuan panjang pada sumbu x
tersebut, sehingga posisi ab pasti tergantung padanya. Sebagai contoh, ab = b jika
a = 1, tetapi ab ≠ b jika a ≠ 1. Namun, posisi ab tidak tergantung pada pilihan 1
pada sumbu y, sebagai teorema gunting menunjukkan (Gambar 6.20).
Pertukaran sumbu
Setelah kita memilih titik 1 pada kedua sumbu x dan y, adalah wajar untuk
setiap titik pada sumbu x sesuai dengan titik pada sumbu y diperoleh dengan
menggambar garis a sejajar melalui ke garis melalui titik-titik
1 pada kedua sumbu (Gambar 6.21).
Hal ini juga biasa untuk menentukan jumlah dan hasil pada sumbu y oleh
konstruksi seperti pada sumbu x. Tapi kemudian muncul pertanyaan: Apakah
jumlah dan hasil sumbu y bersesuaian dengan jumlah dan hasil sumbu x?
Untuk menunjukkan jumlah yang bersesuaian, kita perlu membangun
sebuah a + b pada sumbu x tersebut, dan kemudian tunjukkan bahwa titik a + b
bersesuaian pada sumbu y adalah penjumlahan sumbu y pada sumbu y a dan b.
Gambar 6.22 menunjukkan bagaimana konstruksi ini dilakukan.
12
6.5 The Field Axioms
Dalam menghitung dengan bilangan, dan khususnya dalam menghitung
dengan simbol ("Aljabar"), kita asumsikan beberapa hal: terdapat bilangan 0 dan
1, setiap bilangan a memiliki invers penjumlahan -a, setiap a ≠ 0 memiliki
kebalikan (reciprocal) di a-1
, dan di situlah aksioma lapangan berlaku. Ini telah
diperkenalkan dalam pembahasan ruang vektor dalam Bagian 4.8
Umumnya kita menggunakan aturan ini secara tidak langsung. Mereka
begitu sering digunakan, dan mereka seyogyanya bilangan asli, yang tidak kita
perhatikan. Tetapi untuk proyeksi penjumlahan dan hasil titik, mereka tidak benar
secara jelas (nyata). Hal ini bahkan tidak menerangkan bahwa a + b = b + a,
karena gambar a + b berbeda dengan gambar b + a. Ini adalah coincidence yang
sebenarnya bahwa a + b = b + a dalam geometri projeksi, hasil dari geometris
coincidence yang merupaka jenis yang dibahas dalam Bagian 6.2.
Dalam bab ini, kami tunjukkan bagaimana hanya dua coincidence - dari
teorema Pappus dan Desargues - mewakili ke sembilan aksioma lapangan.
Faktanya, diketahui bahwa Pappus saja sudah cukup, karena itu menjelaskan juga
13
Desargues. Kita tidak membuktikan fakta ini di sini, sebagian karena sulit, dan
sebagian lagi karena Teorema Desargues sendiri penting : teorema Desargues
menjelaskan semua aksioma lapangan, kecuali ab = ba. Maka, teorema dari
Pappus dan Desargues memiliki konten aljabar yang dapat diukur secara akurat
dengan aksioma lapangan yang mereka jelaskan. Pappus menjelaskan ke
sembilan, dan Desargues hanya delapan - semua kecuali ab = ba.
Pembuktian Hukum Komutatif
Kita mulai dengan dalil ab = ba, yang merupakan akibat paling penting dari
teorema Pappus. Gambar 6.24 menunjukkan bahwa gambar ba dari a dan b,
terletak di ujung kedua garis putus-putus. Hal ini berbeda dengan bentuk ab, dan
Gambar 6,25 menunjukkan gambar dari keduanya, ab dan ba pada diagram yang
sama.
Kemudian ab = ba karena ujung garis abu-abu dan putus-putus di tempat
yang sama, oleh teorema Pappus. Konfigurasi Pappus pada Gambar 6,25 terdiri
dari semua garis kecuali garis yang menghubungkan 1 pada sumbu x ke 1 pada
sumbu y.
Ada bukti yang sama bahwa a + b = b + a. Ingat, dari Bagian
6.4, bahwa a + b adalah hasil dari penambahan segmen Oa pada b. Maka, b + a
14
adalah hasil dari penambahan Ob pada a, yang berbeda dari gambar a + b. Lihat
kedua gambar bersama-sama (Gambar 6.26), kita melihat bahwa garis abu-abu
mengarah ke a + b dan garis putus-putus mengarah ke b + a. Namun, kedua ujung
garis pada titik yang sama, berkat teorema Pappus.
6.6 Hukum Assosiatif
Pertama, kita melihat hukum asosiatif pada penjumlahan a + (b + c) = (a +
b) + c. Gambar 6.27 menunjukkan gambar pada a + (b + c). Kita harus
menggambar b + c dari b dan c lebih dahulu, dan kemudian tambahkan a seperti
yang dilakukan pada Gambar 6.17. Selanjutnya kita harus menggambar (a + b) +
c, yang berarti menggambar a + b lebih dahulu, dan kemudian menambahkannya
ke c seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.28.
15
Gambar 6.29 menunjukkan kedua gambar 6.27 dan 6,28 pada diagram yang
sama. Di sini kita perlu Desargues atau, lebih tepatnya, teorema scissors.
Satu yang dapat dengan jelas melihat dua bagian teorema scissors, masing-
masing terdiri dari garis putus-putus, garis titik-titik, garis hitam, dan garis abu-
abu. Dalam teorema scissors benar bahwa garis abu-abu berakhir pada a + (b + c)
dan garis titik putus-putus pada (a + b) + c. Tapi ujung-ujung garis bertepatan,
dengan teorema gunting (scissors). Oleh karena itu a + (b + c) = (a + b) + c.
Karena teorema scissors dalam pembuktian ini berada antara garis sejajar,
kita hanya perlu teorema scissors kecil (dan karenanya hanya teorema Desargues
kecil, dengan keterangan di latihan sebelumnya).
16
Selanjutnya kita mempertimbangkan hukum asosiatif operasi perkalian, a
(bc) = (ab) c. Diagram (Gambar 6.30) adalah sama, kecuali bahwa teorema
scissors terletak antara garis (tidak sejajar) nonparallel (x - dan y-sumbu), jadi
sekarang kita sangat memerlukan Teorema Desargues.
Garis abu-abu berakhir pada a (bc) dan garis titik putus-putus berakhir pada
(ab) c. Tapi ujung-ujung garis bertepatan, dengan teorema scissors, sehingga a
(bc) = (ab) c.
6.7 Hukum Distributif
Untuk membuktikan hukum distributif a (b + c) = ab + ac, kita mengambil
keuntungan dari kemampuan untuk melakukan penjumlahan dan perkalian pada
kedua sumbu. Kita membuat b + c dari b dan c pada sumbu x, dan kemudian
memetakan b, c, dan b + c ke ab, ac, dan a (b + c) pada sumbu y melalui garis
sejajar ke garis dari 1 pada sumbu x ke a pada sumbu y. Kemudian kita
menggunakan penambahan pada sumbu y untuk membuat ab + ac di sana, dan
akhirnya, gunakan teorema Pappus untuk menunjukkan bahwa ab + ac dan a (b
+ c) adalah titik yang sama.
17
Ini sama dengan membangun ab dari a dan b pada sumbu y, karena garis
dari b ke b sejajar dengan garis dari 1 ke 1, seperti yang dipersyaratkan oleh
definisi operasi perkalian.
Selanjutnya kita tambahkan b dan c pada sumbu x, menggunakan pilihan
khusus garis L : yang sejajar melalui ab pada sumbu y. Kita juga menghubungkan
b, c, dan b + c, yang berturut-turut, ke ab, ac, dan (b + c) pada sumbu y oleh garis
yang sejajar, yang ditunjukkan putus-putus pada Gambar 6.32. Garis melalui c
yang membangun b + c, yaitu M sejajar dengan sumbu y, yang pada gilirannya
digunakan untuk menambah ab dan ac pada sumbu y.
Gambar ini memiliki struktur yang sama seperti Gambar 6.22 ; hanya saja
label telah berubah. Sekarang garis putus-putus yang berakhir pada a (b + c), dan
garis titik-titik berakhir pada ab + ac. Tapi sekali lagi, titik akhir bertepatan
dengan teorema Pappus, dan begitu a (b + c) = ab + ac.
18
Diskusi
Ide pengembangan projective geometri tanpa menggunakan angka berasal
dari matematikawan Jerman Christian von Staudt di 1847. Sebangsanya Hermann
Wi ener dan David Hilbert mengambil ide lebih lanjut pada tahun 1890, dan
mencapai titik tinggi dengan penerbitan buku Hilbert, Grundlagen der Geometrie
(Yayasan geometri), pada tahun 1899. Itu Hilbert yang pertama kali didirikan
korelasi yang jelas antara struktur geometris dan aljabar:
Pappus dengan perkalian komutatif
Desargues dengan perkalian asosiatif
Korelasi ini penting karena beberapa sistem aljabar yang penting memenuhi
semua aksioma lapangan kecuali perkalian komutatif. Contoh paling terkenal
adalah quaternions, yang telah dikenal sejak tahun 1843, namun, untuk beberapa
alasan, Hilbert tidak menyebutkan itu. Untuk membangun sebuah pesawat non-
Pappian, ia menciptakan ar ather sistem koordinat noncommutative buatan.
Hal ini mungkin sebuah kecelakaan sejarah yang beruntung Hilbert
menemukan peran teorema Desargues sama sekali. Dia dipaksa untuk
menggunakannya karena, pada tahun 1899, itu masih belum diketahui bahwa
Pappus menyiratkan Desargues. Implikasi ini pertama kali dibuktikan oleh
Gerhard Hessenberg pada tahun 1904. Bahkan kemudian bukti sudah rusak, dan
kesalahan tidak dikoreksi sampai bertahun-tahun kemudian.
Lingkaran seluruh ide rapi diikat dengan lain matematikawan Jerman, Ruth
Moufang, pada tahun 1930. Dia menemukan bahwa Teorema Desargues kecil
juga memiliki makna aljabar. Dalam sebuah pesawat proyektif memenuhi
Teorema Desargues kecil, dengan penjumlahan dan perkalian didefinisikan
sebagai dalam Bagian 6.4, seseorang dapat membuktikan semua aksioma
lapangan kecuali komutatif dan associativity. Itu bahkan dapat membuktikan
hukum asosiatif parsial disebut pembatalan atau alternativity
19
Hukum komutatif, asosiatif, dan alternatif yang indah dicontohkan oleh
operasi perkalian kemungkinan yang dapat didefinisikan "cukup" di ruang
Euclidean. ("Cukup" berarti menghormati setidaknya dimensi ruang. Untuk lebih
lanjut tentang masalah umum gagasan nomor ke dimensi n, lihat Bilangan buku
oleh D. Ebbinghaus et al..)
Perkalian komutatif adalah mungkin hanya pada R1 & R
2 , dan
menghasilkan sistem nomor R & C.
Asosiatif, namun non komutatif (noncommutative), perkalian hanya
mungkin pada R4, dan menghasilkan quaternions H.
Alternatif, namun non asosiatif, perkalian hanya mungkin pada R8, dan
menghasilkan sistem yang disebut octonions O. Octonions ditemukan
oleh seorang teman Hamilton dipanggil John Graves, pada tahun 1843,
dan mereka ditemukan secara independen oleh Cayley pada 1845.
Ruth Moufang adalah orang pertama yang menyadari pentingnya
quaternions dan octonions di projective geometri. Dia menunjukkan angka empat
pesawat proyektif, sebagai contoh alami dari pesawat non-Pappian, dan adalah
yang pertama untuk membahas pesawat octonion proyektif OP2. OP
2 adalah
contoh yang paling alami pesawat yang memenuhi Desargues sedikit tetapi tidak
Desargues.
Pada Bagian 5.4, kita membuat sketsa pembangunan RP3 ruang nyata
projective dengan cara koordinat homogen. Ide ini mudah umum untuk
mendapatkan ruang RPn n-dimentional nyata proyektif, dan satu bisa
mendapatkan mendapatkan CPn dan HP
n dengan cara yang persis sama
mengejutkan, ide tidak bekerja untuk octonions. Ruang octonion satunya proyektif
adalah octonion proyektif garis OP1 = O dan pesawat OP octonion proyektif
ditemukan oleh Moufang.
Alasan untuk tidak adanya OP3 sangat menarik dan berkaitan dengan sifat
dari teorema Desargues dalam tiga dimensi. Ingatlah bahwa Teorema Desargues
mengasumsikan sepasang segitiga dalam perspektif dan menyimpulkan bahwa
persimpangan dari sisi yang sesuai terletak pada garis. Kita tahu (karena contoh
pesawat Moulton) bahwa con-clusion tidak diikuti dengan sifat dasar kejadian
20
titik dan garis. Tetapi jika segitiga terletak pada ruang tiga dimensi, kesimpulan
berikut dengan sifat kejadian dasar titik, garis, dan pesawat.
Teorema Desargues spasial jelas dari gambar yang menekankan penempatan
segitiga dalam tiga dimensi, seperti Gambar 6.33. Pesawat yang berisi dua
segitiga bertemu di garis L, di mana pasang sisi yang sesuai tentu bertemu juga.
Argumen ini sedikit rumit jika dua segitiga terletak pada bidang yang sama.
Tapi, asalkan pesawat terletak pada ruang proyektif, dapat dilakukan (satu
menunjukkan bahwa konfigurasi planar adalah "bayangan" sebagai konfigurasi
patial).
Dengan demikian, teorema Desargues berlaku dalam setiap ruang projective
dari setidaknya tiga dimensi. Inilah sebabnya mengapa OP tidak bisa eksis. Jika
itu terjadi, teorema Desargues akan terus di dalamnya, dan kita kemudian bisa
menunjukkan bahwa O adalah asosiatif-yang bukan. Q. E. D.
DAFTAR PUSTAKA
Stillwell, Jhon. 2004. The Four Pillars of Geometri. San Fransisco: Springer
Top Related