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  • 5/13/2018 Problemas Capitulo 3ING ECONOMICA

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    PROBLEMASCaktllos de valorpresente3 .1 Debido a que e1 43% de todas las fatalidades

    que ocurren en las autopistas se deben acarnbios de carril no intencionados que efec-nian l os eonductores distrafdos, Ford M otorCompany y Volvo lanzaron un programapara desarrollar tecnologfas para im pedir losaccidentes ocasionados par conduetoressomnolientos. Un dispositivo que cuesta$260 detecta las marcas de los carriles yhaee sonar una alarm a euando un autom ovilpasa de uno a otro. Si estos dispositivos seinstalaran en 100000 autos nuevas por aiio,cornenzando dentro de tres afios, (,cm iJ serfael valor presente de su costa durante un pe-riodo de diez arias, can una tasa de interesde 1 0% anual?Un plan para obtener fondos en beneficlode las eseuelas de Texas involucra un im -puesto sabre la riqueza que podrfa recabar$56 para cada estudiante de cierto distritoeseolar. Si hay 50000 estudiantes en e l d is-trito, y el flujo de efeetivo com ienza dentrode dos alios, lrcmll es el valor presente delplan p ara g ra var la riqueza durante un hori-zonte de planeaci6n de cinco anos, con unatasa de interes de 8% anual?La empresa Amalgamated Iron and Steelcompr6 una m aquina n ueva para doblar trabesg ran de s tip o I por medio de un piston. Lacom pailia espera doblar 80 trabes a $2 000por unidad, durante cada uno de los primerostre s a fio s, d esp ue s d e 10 cual la empre sa e sp eradoblar 1 00 trabes por afio a $2 5 00 p ar u nid adhasta el ano 8, Si la rasa minima a tra ctiv a d ere nd im ie nto e s de 1 8% anual, lcw i} e s e l v alo rp re sente del ingr eso esperado?Rubbermaid Plastics planea adquirir unrobollineaJ para ernpujar partes hacia una'maquina de rno ld eo por iny eccion. D ebidoa 1 avelocidad delrobot, la com pam a espera

    3 . 2

    3 . 3

    que los costos de produccion dis$ ! 00 000 por ano en cad a uno dexim os tres, y $200 000 anuales eg uien te s d os. i. ,Cual es el valor presedel ahorro en los costas si 1 a empuna tasa de in teres de 15% anuad icha s inve rs ion es ?

    3.5 Toyco Watercraft y un proveedor dcion es tienen un contrato q ue in volucpras par $ 15 0 0 00 anuale s, 1 ap rime rase haria hoy y Ie seguirfan o tras sidurante los proxim os cinco afios. D eel valor presente del contrato , con ude interes de 10% anual.3 .6 Calcule eI vaJor presente neto en elde la serie de pagos siguiente. Suponi = 10% anual.

    Ano Desernbolso, $ Ano Dasernboa 0 6 501 3500 7 5 02 3500 8 5003 3500 9 5 04 5000 10 5005 5 000

    Calculos de valor anuaJ3 .7 La utilidad bruta (p orcen taie d e in gre so

    queda despues de restarel coste debienes vendidos) de Cisco fue de 70.1%in greso to ta l p ara u n periodo de cua tr o aSi el ingreso total fue de $5.4 mil milldurante los dos prim eros anos, y de $6.1m ill ones en los dos ultim os anos, (,cualeI valor anual equivalenre de la utilibruta durance dicho periodo d e c ua tro acon una tasa de interes de 2090 annal?

    3.8 Las utilidades POI"as ventas de BKM Stems se muestran a conanuacion. Calcel valor aaua l equiva leu te (aiios del 1acon UIUl tasa de interesanual de J OSt.

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    1.20 '-......r"\,.... ". J .

    Desembolso, $ Ano Desembolso, $4 5 000

    4000 5 5 0004000 6 50004000 7 5 000

    Afioo123

    Un inceniero metaltirgico decide reservarb ./cierta cantidad de dinero para 1a educaclOnuniversitaria de su hija recien nacida. Estirnaque sus necesidades seran de $20 000 enlos cumpleanos numeros 1 7, 1 8, 1 9 Y 20. Siplanea hacer dep6sitos uniformes que co-menzaran dentro de tres afios y continua as!basta el afio 16, (,cucil debe ser el monto decada dep6sito si la cuenta gana un interesde 8% anual?

    3.10 Calcule el valor anual en los alios 1 a lOdela siguiente serie de ingresos y egresos, si latasa de interes es de 10% anual.

    3 . 9

    Aria Ingreso, $/Aria Egreso, $/Afioo1-67-10

    100008009002000200300

    3.11 i,Cuanto dinero tendria usted que pagar cadaafio, en ocho pagos iguales, s i comienza den-tro de dos afios, para saldar un prestamo de$20 000 otorgado hoy por un familiar, si latasa de interes fuera de 8% anual?

    3.12 Un ingeniero industrial planea sujubilaciontemprana dentro de 25 alios. E I consideraque puede res~rvar comodamente $10 000cada ana a partir de hoy. S i planea comen. di zara retirar mero un afio despues de que h/} . d /' aga~u u, tImo, eposl~o (es decir, en el ano 26),l,~ue cantidad uniforrne podrfa retirar cadano durante 30 alios, si Ia cuenta obti au t de i , .enena asa e interes de 8% anual?

    3.13 Una co:npafifa de instal~ciones r IPropor'lo r ' ura esc, na energia a e sta clOnes d e bombeopor medio de generadores que us. eliS " . an eselurgio una alternativa con la qu 1 . .. .lacion podna usar gat) natural , e a lnsta-d ,. .para mover 10genera ores. pero pasaranal . , ,_ s, . .gUllOS anos

    antes de que se disponga de gas eomotos. La empresa estuna que el ca

    comenzarfa dentro de dos aiios y- C$15 000 p~r=. onlun~ tasa de8% anu~l, ete1rOffil).nele vahaor p o r alente (anos 1 a ' e os: orros proS e espera que el costo de operacio

    1 d b ocaldera de po vo e car on, tipo e_ .de $80 000 por ano. Si el vapor que/ . dca s610 sera necesano urante cinpartir de hoy (es decir, durante los ari,cwil es el valor anual equ iv ale nteail os del costo de operaci6n, conde interes de 10% anual?

    3.1S Un ingeniero electrico y ernpresariuna instalaci6n hidraulica importapropuesta qu e promete reducir en a1 S % cada afio, durante los pr6ximoaiios, el importe de 1aenergia que estafifa utiliza, par medio de 1a ins ta lacprotectores de descargas patentadpropuesta establece que el ingeniero o$S 0 0 0 ahara y pagos anuales equi v a l75% de los ahorros de energfa que scon los dispositi vas. Si se supone que lrros seran los mismos cada afio (es15%) y que el importe de 1 a energfainstalaci6n es de $ 1 mi116n por afioserfa la cantidad anual unifonne equiv(~ n los afios 1 a 5) de los pagos para eniero? Suponga que la instalaci6n uti]jtasa de interes de 6% anual. i ". .

    3.16 La ~omisi6~ Nacional de Agua planetualizar su SIstema SCADA para contanto l~ bom~as de pozo y de refuerzo,el equIpo desmfectante de modo q u epueda controlarse desde un solo sitio.La. .mera fase reducini los costos de mallO d eY . , . . d 'V la Je s e n $28 000 por aiio, La segun ared '~ , 0 d, uerra los costos en otros $ 2 0 o o a. nales a 1 ano. s r los ahorros de Ia faseICen .Ios anos 0 1 2 y 3 Y. lo s de . t< ; lJase,10 - , ". . ,..... . I" ". . s anos. 4 a 10 ; cu J j. e.s e .lva lo r # J 1 U a. vval ...' H ~ ,., . . . '. wa eute del sistema act!lalizado};~J1IOs,.J : a lOco . ,-/. oa, ' i lU 1'.~.: ..n Una tasa de Ulteres"ue1i).~~'~_ _ ~ _ . ' . '" , ~ _ " ~ :

    3.14

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    Un ingenicro mecanico rccien cgresad d, 1 uO ela maestrta p ~fle~ cornenzar R U propiaernpresa de cale:l~ccI6nY(lire at.:ontlicionaduc~merclal. Podna. cOlllprur pur solo $600 alano un~aq.uet~ ~ara diseiiar paginas web a~n de dl~tnbulr informacion, s: su negociotiene exito, cornprara un paquete mas ela-borado de c~mer,cio,electr6nico que cuesta~ ~ por ano. S J e1mgcnicro cornpra hoylap~gma ~enos cost?sa (con pages al princi-pio de afio), y adquiere el paquete de comer-cioelectronico dentro de un afio (tam biencon pagos al inicio de aiio), (,cual es el valoranual equivalente de los costos del sitio webpara un periodo .de cinco afios (anos 1 a 5),con una tasa de interes de 12% anual?

    Calculos de valor futuro

    J.l7

    3.18 Las cuentas de ahorro para tOda Ia vida co-. ,nocidas como LSA, permitirian que la genteinvirtiera dinero despues de impuestos sinque se gravara ninguna de las ganancias. Si uningeniero invierte $1.0 000 ahora y $1.0000por cada uno de Jos 20 pr6ximos afios,l,cminto habrfa en la cuenta inrnediatarnentedespues de hacer el ultimo deposito, si lacuenta crece 15% por afio?

    3.19 l,CUanto dinero se deposito anualmente,, durante cinco afios, si una cuenta tiene hoyun valor de $100000 y el ultimo depositose hizo hace diez anos? Suponga que el in-teres que gano la cuenta fue de 7% anual.

    3.20 Calcule eI val~r futuro (en el afio 11) de los." ingresos yegresos siguientes, 8 1 la tasa de

    interes es de 8% anual.Ano Ingreso, $ Egreso, $0 12000 . 3000,; . 1-6 800 2007~1 900 200

    ~ago~aleatoriosy series uniforrnes321, . " .. . '. '. '. ., ~' .. t.Cual es el valor equivalente en el afio 5 de, ' C'\ 'la siguicnte serie de ingresos y egresos, si la," ', J&S~Ce,i!ltef~e!) de 12% al1ual?-.. . - .. _ '.~ .. .. - .. . . .

    _ PROBLEMAS

    Ario Ingreso, $ Egre0 0 91-5 6000 66-8 6000 309-14 8000 50

    3.22 Use el diagrama de flujo de efectivo qmuestra abajo para calcular la cantidadinero en el ario 5, equi valente a todoflujos de efectivo que se muestran, si Iade interes es de 12% anual. '

    o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

    1 1 1 1 1 1 11000 $20003.23 Si gasta $10 000 ahora y $25 000 dentrotres afios, una compaiifa de recubrimienmetalicos puede incrementar su ingresoel periodo que va de los afios 4 a 10. Cuna tasa de inreres de 12% anual, i,que ingso adicional par afio s.e necesitarfa enanos 4 a lOa fin de recuperar la inversio3.24 Sierra Electric Company estudia la compde un rancho en las colinas para su posibusa futuro como granja de molino de vienLa propietaria del rancho de 500 acres

    venderfa a $3 000 por acre si la compai10 saldara en dos pagos: uno ahara y odel doble al primero dentro de tres anos,la tasa de interes de la transacci6n es de 8anual, lcual es el monto del primer pago3.25 Hace 20 Y .21 afios se hicieron dos deposito

    iguales, los cuales permitirfan que unjubildo retirara $10 000 ahora y $1-0 000 anuamente durante otros 14 anos. Si la cuengana un interes de 10% anual, ide cuanto fucad a deposito?Una cornpafifa de concreto y materiales dconstruccion trata de que la parte para el fondo de retiro de sus empleados aportada pola ernpresa cumpla con Ia norma HB3DlLa companta ya ha depositado $200PO_eu. . ".,

    3.26

    '.. . .-r .

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    I( ,\1'11 \ I III ,,,",,',,,,'' ..... .

    1 I 1 'I' .:>\ .o flO" OS ' 'uanto' ' :11.:\. '\U)n{jt~ u ....U Hmn:, U,' < ' t.lk~' dq'"n. ahoru a In de que el. fondoten..,~t , , 3 :- : ;0 ( ) ( ) dcntro de trcs ai~os. Sl crecea una ta a de 1 3 ': '+ a nual?

    3 ,,,,," Fncuenrre el valor de la incognita x de m odoue los flujo. de fectivo pnsitivos scanuivalen e 0 " exactirud a 10 negativo . .. .ila ta: a de imeres es de 14~ anual.

    7 ( )

    (\ I 2 3 4 5 () 7 8 9 10 11 12 ArioI j I1 I

    1 ~ $800$950

    3 ._ :..) A l tratar de obtener un prestam o quirografa-rio de un banco local se pidi6 a un contratis-ta que proporcionara una est irnac i6n generalde us ga stos anuales. Un componente delo~gasto e muestra en el diagrama de flujode ere cti 0 de la parte inferior. Conviertalascantidades que se indica en un montouniforme anual de los aiios 1a 8, con el usode una ta 'a de interes de 12% por ano.o 1 j 4 5 6 7 8 Ana

    $1000$3000

    3.19 Determine el alor en eJaiio 8 equivalente a10 tlujos de efec tiv o q ue se muestra n abajo.Utilice una iasa de interes de 12% anual.

    F ; ; ; ; ? 0 1 2 3 4 5 6 1 8 Afio

    I, 1* $1500 J$2~OO

    3.30

    o 234; 567

    52 o o o3.31 Obtenga la can idad de dinero enque equi vale a los flujos de efect'\ 0

    tes, ila tasa de inreres e de If.l~Ano Cantidad, $ Ailo Can0 900 :)1 9()() 62 900 73 9004 30003..32 Calcule el valor anual (anos 1 aguiente serie de egreso". Supoog12% anual.Ano Egreso, S Ano :0 5000 41 3 SOO : 52 3 SO(} 63 3 5003.33 Determine el alor de _J de 1"

    efectivo que se muestran abaju..qae el valor totalequivaleare eea de $20 000 COO el uso de uinte, res de 15% annal .

    . g ,10H

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    Gradientes aritIncticos diteridos34 La ciudad de San Antonio estudia varias3 opciones para el abastecimiento de agua

    como parte de su plan a 50 aiios, el cualincluye la desalacion. Se espera que unacuffero confinado produzca agua sin sal quegeneraria ingresos de $4.1millones anualesdurante euatro anos, despues de 10 eual laproduccion menor haria que el ingresodisminuyera $50 000 cada ano, Si el acufferose agota por completo dentro de 25 afios ,l,cmil es el valor presente de la opcion dedesalar, con una tasa de interes de 6% anual?

    ~.35 Exxon-Mobil planea vender eierto mimerode pozos produetores. Se espera que estosgeneren 100 000 barriles de petr61eo anualesdurante ocho alios mas, can un precio deventa de $28 por barril en los dos aliossiguientes, con un incremento de $1 por barril,hasta el ana 8. lCwlnto debe estar dispuestaa pagar hoy por los pozos una refineriaindependiente, si la tasa de interes es de 12%anual?

    3 .36 BUrlington Northern estudia la eliminacionde un cruce ferroviario mediante la eonstruc-cion de dos pasos elevados de doble carril.E1 ferrocarril subcontrata el mantenimientode sus puentes de cruce por $11 500 par afio;sin embargo, si se comienza dentro de cuatroafios, se espera que los costos se incremen-ten en $1 000 anuales durante el futuroprevisible (es decir, $12 500 dentro de cuatroaiios, $13 500 dentro de cinco, etc.). Laconstrucci6n del paso elevado costaria hoy$1.4 rnillones, pero eliminarfa el J00% delas colisiones entre autos y trenes, que tienen

    , pn coste promedio de $250000 por ana. Si~1fe~ocarril usa un periodo deestudio deo anos, determine si debe construirse elpasoelevado .. .'. . ,':,3~37,.~evi Stra~ss' contrato con1acompafiia. Ind . ." .ab ependlente U.S. Garment Corporation, gunos de sus pantalones deslavados. Si el',.COsta d.' . .

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    24 " , "Fl\1 jo d Flujo dtl ..A~~no efectlvoj 5 ; AllO toctivO. s_ _ , . . " . . , . , . . , . . - - - - - " . - 4 I ~ co:,._

    0 ...0 ~ 7001 3t)(l 6 ~Oll. . , 400 7 \ J U U-3 x ~ ) U O u4 bt)O 9 1 100 J,~4b

    G radientes geometricos difcridos3 .42 En un estuerzo pani compcns U' lu 1 ulcucia

    dec recientc en la compru de lin cu s te rrc strc s,He y B ell S outh (prop tarios de S ingularW ireless L LC ) entubluron una gLlClTU CUllVodaphone para adquirir A T&T Wireless.Los 11 in iciale s p or accion subierou II $13pur el paquete de 2.73 mil m illoues de ac .io ..ne : de AT&TWirdess. Si cerru r la comprutome exactameme un ano ( es dcc ir , at finaldel ano 1 ) , i, cU lH s ena hoy e l valor present '(uem po 0) de la adquisicion POl' lu,~utilidu-de:' de $5.J mil millones en el uno 2.cU1\incrernentos de 9< anual h asta el hulu 11 '7Suponga qu ~SB y Bell South usau unatasa de rendimiento de 1 5 ( 1 0 auuul,

    ,3 .43 Un alumna exitoso planea hue '1 ' una con.trihuci6n a la comunidad de letuniversidallde 1 aque se graduo. El donative es pam OI.\)r~garlo durant ~un pcriodo de cinco tu\o'S yoou~cnza hoy, con uu tO tal de seis pagos.Daraayuda durante 20 anos a cinco estu-mantes de ingcnierta 81ano, COIl i t t pl'imerubeca por entregarse lumediutl:unentc (un lO ktal de 21 .00 'as) , ElcoSH) de 1u colcglutuntes de $4~IO por an o y se espera que penna-nezca aSl.dur(lnLc tres uill.)!) mas. Despucsde di~hou,eUlPo {e~dec~r,ttl tin"l del auu 4)re e~rx:~aque I t t icolClpaturu Ii\UIllI,111lC M %annal. Si la escuela f)ued";"v''\''ll'''' "" .1d', '. .t. ... . "'. ~..... ; IHe1'oy g~ll~ in teres auna L asude 10% an uul . U'CUJUllO dcl)enser los donati VOl) 'I t, t:

    l~+l C,aicule el \i~lorpreliiente. (hlfio OJ dweudamic,ntuque requit~re hO\JU"'ll ' e un~"'Hl ,('01.., . .' . ' , . ~. pugo de"",:y ~,i. Y (;al. '.lldades que a ie "'Wl"'". .... .... , .' _ "I", . UleHLiAl lanu. tU lUente 5% hasta el anf , ) 10. lJl T '~ de ~4% de hl4:lell>

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    ]..SO Para In tabla de Ilujo de efectivo que emucscra. alcule el valor unilormc anualequi vateme en \0 periodos 1 a 10. si la tasade interes e de 10% porano,

    o1

    C8ntidad. $ Ano Cantidad,2000 6 24002000 7 23002000 8 22002000 9 2 . 1002000 10 20002500

    J51.51 Prudential Realty tiene una cuenta en fidei-omiso de uno de sus clientes adrninistrati-

    03pro pieiario s.Ia cu al en el p resenie co ntien e20000. (_Cuanto tiempo tornara ago tar lauenia i el cliente retira $S 000 ahora, $4 S()()dentro de un a110 y cantidades que disminu-yen de ahi en adelante $500 cada aiio, si lauenta gana un interes de 8% anual?

    3.52 El osto de los espaciadores de metalliquidoque e usan alrededor de los cilindros deornbustible en los reactores de reproduc-cion aa estado disminuyendo debido a ladisponibilidad de mejores materiales cera-

    PROBLEMAS DE REPASO Fl3 . . 5 4 El alor anual enel periodo que va de 10anos 4 a 8 de una cantidad x de dinero quese recibira dentro de dos anos es de $4 OOU.

    Coo una tasa de interes de 10% anual, el.alor de x se acerca mucho aa) Menos de $12000b) $12531.c} '$12.sgS .d) Mas de $1.3 000La lorena Powerball de estados multiples,roll premio de $182 millones, fue ganada. POI' un SOlO individuo que habia compra-.d('t CifWO boletos a $1 cada uno. La personatuYl? J 1 U . s :QfH;.cinli~llto~~recibi.r 26 Pll~OS

    n uc os rCSiste ntC s. a la re~atfJr~.lk~ffnine el valor presente (en el ,ai\~) O J dcostos qu.e 8C muc.~t.ran en .e J iliagJ4UUIerior, con ei empleo de una ~ de J ~interes anual,

    3.53 Calcule el valor futuro en el ai'll,)10. c10% anual, para el tlujo dl; Cf"li\o \mue tra a conunuacton.

    o 2I j !

    F.."3 4 5 () 7 a 9 4 -I. J

    . . O O U4 ~n()

    " .. - < tn t )4MU

    4&W$500.1

    de $7 milloae . cada utl(l.el prin:erora y el re '(0~l final de cada uno deano' siguieate ~0 re iair un soloahara. qUI! sena equivaleure it los 26de $1 millones carla uno. Si eJ staduna tasa de interes de 4% pur mo. 01del pago eu Ull(l sula exhibidoo e~LaIicerca de . .a) Meno d ~ $.lW 000 OOUb) $109 355 000 .c) $116355000';d) Mas de S117 Q O O t)OO

    1~56 La a ' l~leu~i\l u ijlllasQ L iv es ttlCk ShR . u l i t ! - v l l a v~,niQ\) n u , -; ;- . . :l iv cdurante los." , ' .' -' . - . .. . ~.- " ,.' -.,

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    ultln 0~ uno _ En el ...000, la asistencia fu cde _5 lIn.,en 2004 fue de 1350? (unad rninu ,o n de 150/( anua l) . S 1 e l p recto pro-m dio del boleto fue de $1 0 por personadurante dicho periodo de uernpo, ipor emilde las ecuacione iguiente esta repre-ntado el valor pre ente del ingreso en 1 999(e de irt 1999 es el tiem po 0) para los afios..000 a 2004, con una rasa de interes de 8%anual?a P = 250 880 [I -[0+ 0.15)5/0 +0.0 )511/(0.08-0.15) = $1322 123b) P = = 250 880 \ 1 - [0 - O.lst/(l +O.08)~]1 /(0.08 + 0.15) = $672 260c) P = 250 880 (1 - [(1 + 0.15)4/(1 +

    0.0 )4]) 1(0.08 - 0.15) = $1 023489d) P = 250 880 {I - [(1 - 0.15)5/(1 +O.08)~1}/(O.08 + 0.15) = $761 390

    Una cornpa fiia que manufactura monitoresd: ulfuro de hidr6geno planea haeer depo-ito de modo que cada uno sea 5% masgrande que el.preeedente. i_ ,Q ue tan grandedebe er el pnmer depos ito (a l final d el a fio1 ) . 1 todos se extienden del afio 10 y elcuano de ellos es de $1 250? Use una tasade intere de 10% annal.Q) $1 312,50b) $1 190.48c) $1 133.79d) $1079.80S a l ie l 0 ~ e c d i t x : u n prestamo de $10 000 ahora: _ c . . e mten:s anual, el balance al finaidelano 2 despue de hacer a 0en el a n a 1 y $3 00'0 .~ g s de $3 000.. en el ano 2 t 'cer a de ' es ara muya) Menos de $5 000b) $5800c) $6 100dJ Mas de $7 000.1 depOsito anual q .'00 ..tie 8e nece'pen .. 0 que va de los anos 1 < . Slta en elporc~ona~ un reuro anual d a 5 para pro,2 0 anUh~miciandodcmr ,~$ ~? O O duranteUll*i. tasa de t ' O o / " de - Q e sets anos c 'Ic 1 1 1leres a n ' )v '\eerca de ' . ual ed c . 1 '1 - . \ . '_ ' "" " . uas

    3.58

    3.59

    3.60

    3.61

    ) $1 395ab ) $1 457c) $1 685d) Mas de $1 700E1 costo anual de mantenim iemaquina es de $1 000 duranprimeros a fios, y $2 000 parasiguientes. Con una tasa de ipar afio, el valor anual en loscosto de manteniIniento es ela) $1 255b) $1 302c) $1 383d) $1 426Si dentro de diez a fio s una c otener $100 000 en un fondocias, la cantidad que debe depoentre los afios 6 y 9, con unade 10% anual, esta muy cerca) $19 588b) $20614c) $21 547d) $22 389

    3.62 Si una persona cornienza apar depositar $1 000 ahora ymenta su monto en $500 cadafio 10, la cantidad que habren este afio , con una tasa de .ianual .', esta muv cerca dea) $21 663 , .b) $35687c) $43 872d) $56 1863.63 Si hoy se deposita u~lasumdentro de do ~ d $'7Sanos otra ueccada ano et t 1 6n re os ai'ius y ,en ' ' ,... ."1 este ultinlo con una blS~0% anua 1 S ".1 _ < .- ' "a ,