8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 1/98
Relasi dan Fungsi 1
Relasi dan FungsiPertemuan 3
Matematika Diskrit
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 2/98
Relasi dan Fungsi 2
Relasi
y R elasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan
bagian dari A v B.
y Notasi: R ( A v B).
y a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a
dihubungankan dengan b oleh R
y
a R
b adalah notasi untuk (a, b)
R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
y Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan
himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 3/98
Relasi dan Fungsi 3
Contoh 3. Misalkan
A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}
A v B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),
(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yangdiambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu
R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),
(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
- Dapat dilihat bahwa R ( A v B),
- A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.
- (Amir, IF251) R atau Amir R IF251
- (Amir, IF342) R atau Amir R IF342.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 4/98
Relasi dan Fungsi 4
Co to 4. isalkan P {2, 3, 4} dan Q {2, 4, 8, 9, 15}. Jika
kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
( p, q) R ika p habis membagi q
maka kita per oleh
R {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
y R elasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
y R elasi pada himpunan A adalah relasi dari A v A. y R elasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A v A.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 5/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 6/98
Relasi dan Fungsi 6
Representasi Relasi
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah
Amir
Budi
Cecep
IF221
IF251
IF342
IF323
2
3
4
2
4
8
9
15
2
3
4
8
9
2
3
4
8
9
AB
P
Q A A
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 7/98
Relasi dan Fungsi 7
. Representasi Relasi dengan Tabel
y
K o
lo
m pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkank olom kedua menyatakan daerah hasil.
Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3
A B P Q A A Amir I 251 2 2 2 2
Amir I 323 2 4 2 4
udi I 221 4 4 2 8
udi I 251 2 8 3 3
ecep I 323 4 8 3 3
3 9
3 15
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 8/98
Relasi dan Fungsi 8
3 . Representasi Relasi dengan Matriks
y Misalkan R adalah relasi dari A {a1, a2, «, am} dan B
{b1, b2, «, bn}.
y R elasi R dapat disa ikan dengan matriks M [mij],
b1 b2 ~ bn
M
¼¼¼¼
½
»
¬¬¬¬
-
«
mnmm
n
n
mmmm
mmm
mmm
a
a
a
.
////
.
.
/
21
22221
11211
2
1
yang dalam hal ini
°¯®
!
Rba
Rbam
ji
ji
ij),(,0
),(,1
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 9/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 10/98
Relasi dan Fungsi 10
4 . eprese tasi elasi de ga Graf Berara
y Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secar
gra is dengan graf erarah (d irected gr a ph atau d igr a ph)
y Gra berarah tidak dide inisikan untuk merepresentasika
relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
y Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titi
(disebut juga simpul atau verte x), dan tiap pasangan terurutdinyatakan dengan busur (arc)
y Jika (a, b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke
simpul b. Simpul a disebut sim ul asal (initial verte x) dan
simpul b disebut sim ultujua
n(ter
minal
verte x)
.
y Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul
a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau
k alang (l oo p).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 11/98
Relasi dan Fungsi 11
Conto 7. Misalkan R {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d ), (c, a),
(c, d ), (d , b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d }.
direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
ab
c d
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 12/98
Relasi dan Fungsi 12
Sifat-sifat elasi Biner
y Relasi biner yang dide inisikan pada sebuah himpunanmempunyai beberapa si at.
1. R eflek sif (ref l e xive)
y Relasi R pada himpunan A disebut reflek sif jika (a, a) R
untuk setiap a A.
y Relasi R pada himpunan A tidak re leksi jika ada a A
sedemikian sehingga (a
,a) R
.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 13/98
Relasi dan Fungsi 13
Conto 8. Misalkan A {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di ba ah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
(a) R elasi R {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),
(4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
(b) R elasi R {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak
bersifat refleksif karena (3, 3) R.
Conto 9. R elasi ³habis membagi´ pada himpunan bilangan bulat
positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis
dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a) R untuk setiap a
.
Conto 10. Tiga buah relasi di ba ah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y 5, T : 3 x + y 10
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena,
misalkan (2, 2) bukan anggota R, S , maupun T .
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 14/98
Relasi dan Fungsi 14
y Relasi yang bersi at re leksi mempunyai matriks yan
elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1,
untuk i = 1, 2, , n,
¼¼¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬¬¬
¬
-
«
1
1
1
1
1
y Gra berarah dari relasi yang bersi at re leksi dicirika
adanya gelang pada setiap simpulnya.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 15/98
Relasi dan Fungsi 15
2. Menghantar (tr ansitive)
y Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)
R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 16/98
Relasi dan Fungsi 16
Contoh 11. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini
dide inisikan pada himpunan A, maka
(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersi at
menghantar . Lihat tabel berikut:
Pasangan berbentuk
(a, b) (b, c) (a, c)
(3, 2) (2, 1) (3, 1) (4, 2) (2, 1) (4, 1)
(4, 3) (3, 1) (4, 1)
(4, 3) (3, 2) (4, 2)
(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan
(2, 3) R, tetapi (4, 3) R.
(c) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(d) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada
(a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R.
Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalumenghantar .
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 17/98
Relasi dan Fungsi 17
Contoh 12. Relasi habis membagi´ pada himpunan bilangan bula
positi bersi at menghantar . Misalkan bahwa a habis membagi b
dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positi m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini c = nma, sehingga
a habis membagi c. Jadi, relasi habis membagi´ bersi at
menghantar .
Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi padahimpunan bilangan bulat positi .
R : x lebih besar dari y, S : x y = 6, : 3 x y = 10
- R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x >
. - S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah
anggota S tetapi (4, 4) S .
- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar .
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 18/98
Relasi dan Fungsi 18
y Relasi yang bersi at menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
y Si at menghantar pada gra berarah ditunjukkan oleh: jika
ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat
busur berarah dari a ke c.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 19/98
Relasi dan Fungsi 19
3. Setangk u ( s ymmetric) dan tolak -setangk u (antis ymmetric)
y Relasi R pada himpunan A disebut setangk u jika (a, b) R,maka (b, a) R untuk a, b A.
y Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R
sedemikian sehingga (b, a) R.
y Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga (a, b) R
dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a, b A disebut tolak -
setangk u .
y Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada
elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan
(b, a) R.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 20/98
Relasi dan Fungsi 20
Conto 14. Misalkan A {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di ba ah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
(a) R elasi R {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }
bersifat setangkup karena ika (a, b) R maka (b, a) uga R. i sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu uga (2, 4) dan (4, 2)
R.
(b) R elasi R {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup
karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.
(c) R elasi R {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1
1 dan (1, 1) R, 2 2 dan (2, 2) R, dan 3 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bah a R uga setangkup.
(d) R elasi R {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup
karena (1, 1) R dan 1 1 dan, (2, 2) R dan 2 2 dan. Perhatikan bah a R tidak setangkup.
(e) R elasi R {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } t idak tolak-
setangkup karena 2 { 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. R elasi R pada (a) dan (b) di atas uga tidak tolak -setangkup.
(f ) R elasi R {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } tidak setangkup tetapi
tolak-setangkup.
R elasi R {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup dan tidak tolak-setangkup. R tidak setangkup karena (4,
2) R tetapi (2, 4) R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 { 3.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 21/98
Relasi dan Fungsi 21
Conto 15. Relasi ³habis membagi´ pada himpunan bilangan bulat
positif tidak setangkup karena ika a habis membagi b, b tidak
habis membagi a, kecuali ika a b. ebagai contoh, 2 habis
membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. K arena itu, (2, 4) R
tetapi (4, 2) R. R elasi ³habis membagi´ tolak-setangkup karena
ika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a b.
ebagai contoh, 4 habis membagi 4. K arena itu, (4, 4) R dan 4
4.
Conto 16. Tiga buah relasi di ba ah ini menyatakan relasi pada
himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y 6, T : 3 x + y 10
- R bukan relasi setangkup karena, misalkan 5 lebih besar dari 3
tetapi 3 tidak lebih besar dari 5. - S relasi setangkup karena (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S .
- T tidak setangkup karena, misalkan (3, 1) adalah anggota T tetapi
(1, 3) bukan anggota T .
- S bukan relasi tolak-setangkup karena, misalkan (4, 2) S dan
(4, 2) S tetapi 4 { 2.
- R elasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tun ukkan!).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 22/98
Relasi dan Fungsi 22
y Relasi yang bersi at setangkup mempunyai matriks yang
elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan
pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, ataumij = m ji = 1, untuk i = 1, 2, , n :
¼¼¼¼
¼¼
½
»
¬¬¬¬
¬¬
-
«
0
1
0
1
y Sedangkan gra berarah dari relasi yang bersi at setangkup
dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 23/98
Relasi dan Fungsi 23
y Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu
ika mij 1 dengan i { j, maka m ji 0. engan kata lain,
matriks dari relasi tolak-setangkup adalah ika salah satu darimij 0 atau m ji 0 bila i { j :
¼¼¼¼
¼¼
½
»
¬¬¬¬
¬¬
-
«
0
1
10
0
1
y edangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-
setangkup dicirikano
leh: ika dan hanya ika tidak pernahada dua busur dalam arah berla anan antara dua simpul
berbeda.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 24/98
Relasi dan Fungsi 24
Relasi Inversi
y Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B.
Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R ±1
, adalah relasi
dari B ke A yang didefinisikan oleh
R ±1 {(b, a) | (a, b) R }
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 25/98
Relasi dan Fungsi 25
Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika
kita de inisikan relasi R dari P ke Q dengan
( p, q) R jika p habis membagi q
maka kita per oleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R ±1
adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan
(q, p) R ±1
jika q adalah kelipatan dari p
maka kita per oleh
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 26/98
Relasi dan Fungsi 26
Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
M
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
00110
11000
00111
maka matriks yang merepresentasikan relasi R ±1
, misalkan N ,diper oleh dengan melakukan transpo se terhadap matriks M ,
N M T
¼¼¼¼¼
¼
½
»
¬¬¬¬¬
¬
-
«
010
010
101
101
001
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 27/98
Relasi dan Fungsi 27
Mengk om inasik an R elasi
y K arena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut,
maka o perasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan
beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
y Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 ± R2, dan R1 R2
juga adalah relasi dari A ke B.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 28/98
Relasi dan Fungsi 28
Conto 18. Misalkan A {a, b, c} dan B {a, b, c, d }.
R elasi R1 {(a, a), (b, b), (c, c)}
R elasi R2 {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d )}
R1 R2 {(a, a)}
R1 R2 {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )}
R1 R2 {(b, b), (c, c)}
R2 R1 {(a, b), (a, c), (a, d )}
R1 R2 {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d )}
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 29/98
Relasi dan Fungsi 29
y Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan denganmatriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakan
gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah
M R1 R2 = M R1 M R2 dan M R1 R2 = M R1 M R2
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 30/98
Relasi dan Fungsi 30
Contoh 19. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A
dinyatakan oleh matriks
R1 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
011
101
001
dan R2 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
001
110
010
maka
M R1 R2 = M R1 M R2 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
011
111
011
M R1 R2 = M R1 M R2 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
001
100
000
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 31/98
Relasi dan Fungsi 31
K om osisi R elasi
y Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,
dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C .
K omposisi R dan S , dinotasikan dengan S S R, adalah relasi
dari A ke C yang dide inisikan oleh
S S R = {(a, c) a A, c C , dan untuk beberapa b B, (a,
b) R dan (b, c) S }
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 32/98
Relasi dan Fungsi 32
Contoh 20. Misalkan
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan
S = {(2, u), (4, s), (4, t ), (6, t ), (8, u)}
adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan { s, t , u}.
Maka k omposisi relasi R dan S adalah
S S R = {(1, u), (1, t ), (2, s), (2, t ), (3, s), (3, t ), (3, u) }
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 33/98
Relasi dan Fungsi 33
K omposisi relasi R dan S lebih elas ika diperagakan dengan
diagram panah:
1
2
3
2
4
6
8
s
t
u
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 34/98
Relasi dan Fungsi 34
y Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan
matriks M R1 dan M R2, maka matriks yang menyatakank omposisi dari kedua relasi tersebut adalah
M R2 S R1 = M R1 M R2
yang dalam hal ini o perator .´ sama seperti pada perkalianmatriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan ´
dan tanda tambah dengan ´.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 35/98
Relasi dan Fungsi 35
Contoh 21. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A
dinyatakan oleh matriks
R1 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
000
011
101
dan R2 =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
101
100
010
maka matriks yang menyatakan R2 S R1 adalah
M R2 S R1 = M R1 . M R2
=
¬¬¬
-
«
)00()00()00()10()10()00()00(
)01()00()01()11()10()01()01(
)01()01()00()11()11()00()01(
=
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
000
110
111
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 36/98
Relasi dan Fungsi 36
Relasi n-ary
y R elasi biner hanya menghubungkan antara dua buah
himpunan.
y R elasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua bua
himpunan. R elasi tersebut dinamakan relasi n-ar y (baca:
ener ).
y
Jika n 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi 2). R elasi n-ar y mempunyai terapan penting di dalam basisdata.
y Misalkan A1, A2, «, An adalah himpunan. R elasi n-ar y R
pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian
dari A1 v A2 v « v An , atau dengan notasi R A1 v A2 v «v An. Himpunan A1, A2, «, An disebut daerah asal relasi dan n
disebut derajat.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 37/98
Relasi dan Fungsi 37
Conto 22. Misalkan
NIM {13598011, 13598014, 13598015, 13598019,13598021, 13598025}
N ama {Amir, anti, Ir an, Ahmad, ecep, Hamdan}
M atK ul {Matematika iskrit, Algoritma, truktur ata,
Arsitektur K omputer}
N il ai {A, , , , E}
R elasi MH S terdiri dari 5-tupel ( NIM , N ama, M atK ul , N il ai):
MH S NIM v N ama v M atK ul v N il ai
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 38/98
Relasi dan Fungsi 38
Satu contoh relasi yang bernama MHS adalah
MHS = {(13598011, Amir, Matematika Diskrit, A),
(13598011, Amir, Arsitektur K omputer, B),(13598014, Santi, Arsitektur K omputer, D),
(13598015, Irwan, Algoritma, C),(13598015, Irwan, Struktur Data C),
(13598015, Irwan, Arsitektur K omputer, B),
(13598019, Ahmad, Algoritma, ),(13598021, Cecep, Algoritma, A),(13598021, Cecep, Arsitektur K omputer, B),
(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B),
(13598025, Hamdan, Algoritma, A, B),
(13598025, Hamdan, Struktur Data, C),
(13598025, Hamdan, Ars. K omputer, B) }
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 39/98
Relasi dan Fungsi 39
Relasi MH S di atas uga dapat ditulis dalam bentuk Tabel:
NIM Nama MatK ul Nilai
1359801113598011
13598014
13598015
13598015
1359801513598019
13598021
13598021
13598025
13598025
13598025
13598025
Amir Amir
anti
Ir an
Ir an
Ir anAhmad
ecep
ecep
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Hamdan
Matematika iskritArsitektur K omputer
Algoritma
Algoritma
truktur ata
Arsitektur K omputer Algoritma
Algoritma
Arsitektur K omputer
Matematika iskrit
Algoritma
truktur ata
Arsitektur K omputer
A
E
A
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 40/98
Relasi dan Fungsi 40
y asisdata (d atabase) adalah kumpulan tabel.
y Salah satu model basisdata adalah model basisdata
relasional (rel ational d atabase). Model basisdata ini
didasarkan pada k onsep relasi n-ar y.
y Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi.
Setiap k olom pada tabel disebut atrib t. aerah asal dari
atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut
tersebut berada.
y Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik
sebagai sebuah fil e.
y Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah recor d , dan
setiap atribut menyatakan sebuah fiel d .
y Secara fisik basisdata adalah kumpulan fil e, sedangkan fil e
adalah kumpulan recor d , setiap recor d ter diri atas se umlah
fiel d .
y Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara
unik elemen relasi disebut kunci (k e y).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 41/98
Relasi dan Fungsi 41
y Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan
perintah pertanyaan yang disebut quer y.
y Contoh quer y:
tampilkan semua mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit´
tampilkan da tar nilai mahasiswa dengan NIM = 13598015´
tampilkan da tar mahasiswa yang terdiri atas NIM dan matakuliah yang diambil´
y Quer y terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara
abstrak dengan o perasi pada relasi n-ar y.
y Ada beberapa o perasi yang dapat digunakan, diantaranya
adalah seleksi, pr oyeksi, dan join.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 42/98
Relasi dan Fungsi 42
S eleksi
Operasi seleksi memilih baris tertentu dari suatu tabel yang
memenuhi persyaratan tertentu. Operator: W
Contoh 23. Misalkan untuk relasi MHS kita ingin menampilkan
da tar mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematik Diskrit.
Operasi seleksinya adalahWMatkul=´Matematika Diskrit´ (MHS)
Hasil: (13598011, Amir, Matematika Diskrit, A) dan
(13598025, Hamdan, Matematika Diskrit, B)
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 43/98
Relasi dan Fungsi 43
royeksi
Operasi pr oyeksi memilih k olom tertentu dari suatu tabel. Jika ada
beberapa baris yang sama nilainya, maka hanya diambil satu kali.
Operator: T
Contoh 24. Operasi pr oyeksi
T Nama, MatK ul, Nilai (MHS)
menghasilkan Tabel 3.5. Sedangkan o perasi pr oyeksi
T NIM, Nama (MHS)
menghasilkan Tabel 3.6.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 44/98
Relasi dan Fungsi 44
Ta el 3.5 Ta el 3.6
Nama MatK ul Nilai NIM Nama
13598011
1359801413598015
13598019
1359802113598025
Amir
SantiIrwan
Ahmad
CecepHamdan
Amir
Amir Santi
Irwan
IrwanIrwan
Ahmad
Cecep
CecepHamdan
Hamdan
HamdanHamdan
Matematika Diskrit
Arsitektur K omputer Algoritma
Algoritma
Struktur DataArsitektur K omputer
Algoritma
Algoritma
Arsitektur K omputer Matematika Diskrit
Algoritma
Struktur DataArsitektur K omputer
A
BD
C
CB
B
BB
A
CB
Joi
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 45/98
Relasi dan Fungsi 45
J oi
Operasi join menggabungkan dua buah tabel menjadi satu bila
kedua tabel mempunyai atribut yang sama.
Operator: X
Contoh 25. Misalkan relasi MHS1 dinyatakan dengan Tabel 3.7dan relasi MHS2 dinyatakan dengan Tabel 3.8.
Operasi join
X NIM, Nama(MHS1, MHS2)
menghasilkan Tabel 3.9.
Ta el 3.7 Ta el 3.8
NIM Nama JK NIM Nama MatK ul Nilai
13598001 Hananto L 13598001 Hananto Algoritma A
13598002 Guntur L 13598001 Hananto Basisdata B
13598004 Heidi W 13598004 Heidi K alkulus I B
13598006 Harman L 13598006 Harman Teori Bahasa C
13598007 K arim L 13598006 Harman Agama A
13598009 Junaidi Statisitik B
13598010 Farizka Otomata C
Ta el 3.9
NIM Nama JK MatK ul Nilai
13598001 Hananto L Algoritma A
13598001 Hananto L Basisdata B
13598004 Heidi W K alkulus I B
13598006 Harman L Teori Bahasa C
13598006 Harman L Agama A
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 46/98
Relasi dan Fungsi 46
Fungsi
y Misalkan A dan B himpunan.
R elasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi ika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di
dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A p B
yang artinya f memetak an A ke B.
y A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah
hasil (codom
ain) d
ari f .
y Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transf ormasi.
y K ita menuliskan f (a) b ika elemen a di dalam A
dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 47/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 48/98
Relasi dan Fungsi 48
y Fungsi adalah relasi yang khusus:1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh
pr osedur atau kaidah yang mende inisikan f .
2. Frasa dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B´
berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f , maka b = c.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 49/98
Relasi dan Fungsi 49
y Fungsi dapat dispesi ikasikan dalam berbagai bentuk,
diantaranya:
1. Himpunan pasangan terurut.
Seperti pada relasi.
2. Formula pengisian nilai (a ssignment ).
Contoh: f ( x) = 2 x 10, f ( x) = x2, dan f ( x) = 1/ x.
3. K ata-kata
Contoh: f adalah ungsi yang memetakan jumlah bit 1di dalam suatu string biner´.
4. K ode pr ogram ( source cod e)
Contoh: Fungsi menghitung x
function abs(x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=-x
else
abs:=x;
end ;
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 50/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 51/98
Relasi dan Fungsi 51
Contoh 28. Relasi
f = {(1, u), (2, v), (3, )}
dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, } bukan ungsi, karena tidak semua
elemen A dipetakan ke B.
Contoh 29. Relasi
f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, )}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, } bukan ungsi, karena 1 dipetakan ke
dua buah elemen B, yaitu u dan v.
Contoh 30. Misalkan f : Z p Z dide inisikan oleh f ( x) = x2. Daerah
asal dan daerah hasil dari f adalah himpunan bilangan bulat, dan jelajah
dari f adalah himpunan bilangan bulat tidak-negati.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 52/98
Relasi dan Fungsi 52
y Fungsi f dikatakan satu-k e-satu (one-t o-one) atau injek tif
(injective) ika tidak ada dua elemen himpunan A yang
memiliki bayangan sama.
a 1
A B
2
3
4
5
b
c
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 53/98
Relasi dan Fungsi 53
Contoh 31. Relasi
f = {(1, w), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah ungsi satu-ke-satu,
Tetapi relasi
f = {(1, u), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan ungsi satu-ke-satu,
karena f (1) = f (2) = u.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 54/98
Relasi dan Fungsi 54
Contoh 32. Misalkan f : Z p Z. Tentukan apakah f ( x) = x2
1 dan
( x) = x ± 1 merupakan ungsi satu-ke-satu?
Penyelesaian:(i) f ( x) = x
21 bukan ungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x
yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai
ungsinya sama, misalnya f (2) = f (-2) = 5 padahal ±2 { 2.
(ii) f ( x) = x ± 1 adalah ungsi satu-ke-satu karena untuk a { b,
a ± 1 { b ± 1.
Misalnya untuk x = 2, f (2) = 1 dan untuk x = -2, f (-2) = -3.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 55/98
Relasi dan Fungsi 55
y Fungsi f dikatakan dipetakan pada (ont o) atau surjek tif
( surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan
bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
y Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f .
Fungsi f disebut ungsi pada himpunan B.
a 1
A B
2
3
b
c
d
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 56/98
Relasi dan Fungsi 56
Contoh 33. Relasi
f = {(1, u), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan ungsi pada karena w
tidak termasuk jelajah dari f .
Relasi
f = {(1, w), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan ungsi pada karena
semua anggota B merupakan jelajah dari f .
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 57/98
Relasi dan Fungsi 57
Contoh 34. Misalkan f : Z p Z. Tentukan apakah f ( x) = x2
+ 1 dan
( x) = x ± 1 merupakan fungsi pada
Penyelesaian:
(i) f ( x) = x2
+ 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai
bilangan bulat merupakan ela ah dari f .
(ii) f ( x) = x ± 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x ± 1 akan
dipenuhi untuk x = y + 1.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 58/98
Relasi dan Fungsi 58
y Fungsi f dikatakan berk oresponden satu-k e-satu atau
bijek si (bijection) ika ia fungsi satu-ke-satu dan uga fungsi
pada.
Contoh 35. R elasi
f = {(1, u), (2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang
berk oresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu
maupun fungsi pada.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 59/98
Relasi dan Fungsi 59
Contoh 36. Fungsi f ( x) = x ± 1 merupakan fungsi yang
berk oresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu
maupun fungsi pada.
ungsi satu-ke-satu, ungsi pada, bukan pada bukan satu-ke-satu
uka fungsi satu-ke-satu ukan fungsi
maupun pada
a
1
AB
2
3
b
c 4
a1
AB
2
3
b
c
c d
a 1
A B
2
3
b
c
c d 4
a 1
A B
2
3
b
c
c d 4
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 60/98
Relasi dan Fungsi 60
y Jika f adalah ungsi berk oresponden satu-ke-satu dari A ke B,
maka kita dapat menemukan balik an (invers) dari f .
y Balikan ungsi dilambangkan dengan f ±1. Misalkan a adalah
anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B,
maka f -1
(b) = a jika f (a) = b.
y Fungsi yang berk oresponden satu-ke-satu sering dinamakan
juga ungsi yang invertibl e (dapat dibalikkan), karena kita
dapat mende inisikan ungsi balikannya. Sebuah ungsi
dikatakan not invertibl e (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan
ungsi yang berk oresponden satu-ke-satu, karena ungsi
balikannya tidak ada.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 61/98
Relasi dan Fungsi 61
Contoh 37. Relasi
f = {(1, u), (2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang
berk oresponden satu-ke-satu. alikan fungsi f adalah
f -1
= {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}
Jadi, f adalah fungsi invertibl e.
Contoh 38. Tentukan balikan fungsi f ( x) = x ± 1.
Penyelesaian:
ungsi f ( x) = x ± 1 adalah fungsi yang berk oresponden satu-ke-
satu, adi balikan fungsi tersebut ada.
Misalkan f ( x) = y, sehingga y = x ± 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan
fungsi balikannya ad
alah f
-1
( y) = y +1.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 62/98
Relasi dan Fungsi 62
Contoh 39. Tentukan balikan fungsi f ( x) = x2
+ 1.
Penyelesaian:
ari ontoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bah a f ( x) =
± 1 bukan fungsi yang berk oresponden satu-ke-satu, sehingga
fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f ( x) = x2
+ 1 adalah funsgi yang
not invertibl e.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 63/98
Relasi dan Fungsi 63
K omposisi dari dua buah fungsi.
Misalkan g adalah ungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan
adalah ungsi dari himpunan B ke himpunan C . K omposisi f dan g ,
dinotasikan dengan f S g , adalah ungsi dari A ke C yang
dide inisikan oleh
( f S g )(a) = f ( g (a))
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 64/98
Relasi dan Fungsi 64
Contoh 40. Diberikan ungsi
g = {(1, u), (2, u), (3, v)}
yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan ungsi f = {(u, y), (v , x), (w, z )}
yang memetakan B = {u, v, w} ke C = { x, y, z }. Fungsi k omposisi
dari A ke C adalah
f S g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
Contoh 41. Diberikan ungsi f ( x) = x ± 1 dan g ( x) = x2
1.
Tentukan f S g dan g S f . Penyelesaian:
(i) ( f S g )( x) = f ( g ( x)) = f ( x2
1) = x2
1 ± 1 = x2.
(ii) ( g S f )( x) = g ( f ( x)) = g ( x ± 1) = ( x ±1)2
1 = x2
- 2 x 2.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 65/98
Relasi dan Fungsi 65
Beberapa Fungsi K husus
1. Fungsi Fl oor dan Cei lin g
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua
bilangan bulat.
Fungsi f l oor dari x:
- x½ menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x
Fungsi ceil ing dari x:
« x» menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atausama dengan x
Dengan kata lain, ungsi f l oor membulatkan x ke bawah,
sedangkan ungsi ceil ing membulatkan x ke atas.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 66/98
Relasi dan Fungsi 66
Contoh 42. Beberapa contoh nilai ungsi f l oor dan ceil ing :
-3.5½ = 3 «3.5» = 4
-0.5½ = 0 «0.5» = 1
-4.8½ = 4 «4.8» = 5
- ± 0.5½ = ± 1 - ± 0.5½ = 0
- ±3.5½ = ± 4 « ±3.5» = ± 3
Contoh 42. Di dalam k omputer, data dik odekan dalam untaian
b yte, satu b yte terdiri atas 8 bit. Jika panjang data 125 bit, maka
umlah b yte yang diperlukan untuk merepresentasikan data adalah
«125/8» = 16 b yte. Perhatikanlah bahwa 16 v 8 = 128 bit, sehingga
untuk b yte yang terakhir perlu ditambahkan 3 bit ekstra agar satu
b yte tetap 8 bit (bit ekstra yang ditambahkan untuk menggenapi 8
bit disebut padd ing bits).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 67/98
Relasi dan Fungsi 67
2. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah
bilangan bulat positi
.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a
dibagi dengan m
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq r , dengan 0 e r < m.
Contoh 43. Beberapa contoh ungsi modulo
25 mod 7 = 415 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
±25 mod 7 = 3 (sebab ±25 = 7 (±4) 3 )
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 68/98
Relasi dan Fungsi 68
3. Fungsi Fak torial
°¯
"vvvv
!!
0,)1(.21
0,1!
nnn
nn
.
4. Fungsi Ek sponensial
±°
±¯
"vvv
!!
0,
0,1
naaa
na
n
n
.
Untuk kasus perpangkatan negatif,
n
n
aa
1!
5. Fungsi Logaritmik
ungsi logaritmik berbentuk
x ya log! m x = a
y
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 69/98
Relasi dan Fungsi 69
Fungsi R ek ursif
y Fungsi f dikatakan ungsi rekursi jika de inisi ungsinya
mengacu pada dirinya sendiri.
Contoh: n! = 1 v 2 v v (n ± 1) v n = (n ± 1)! v n.
°¯
"v
!!
0,)!1(
0,1!
nnn
nn
Fungsi rekursi disusun oleh dua bagian:
(a) Ba sis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya
sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan de inisi
rekursi .
(b) Rek urens
Bagian ini mende inisikan argumen ungsi dalam terminologi
dirinya sendiri. Setiap kali ungsi mengacu pada dirinya sendiri,
argumen dari ungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).
y ontoh definisi rekursif dari faktorial:
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 70/98
Relasi dan Fungsi 70
y ontoh definisi rekursif dari faktorial:
(a) basis:
n! = 1 , ika n = 0
(b) rekurens:
n! = n v
(n -1)! , ika n 0
5! dihitung dengan langkah berikut:
(1) 5! = 5 v 4! (rekurens)
(2) 4! = 4 v 3!(3) 3! = 3 v 2!
(4) 2! = 2 v 1!
(5) 1! = 1 v 0!
(6) 0! = 1
(6¶) 0! = 1
(5¶) 1! = 1 v 0! = 1 v 1 = 1(4¶) 2! = 2 v 1! = 2 v 1 = 2
(3¶) 3! = 3 v 2! = 3 v 2 = 6
(2¶) 4! = 4 v 3! = 4 v 6 = 24
(1¶) 5! = 5 v 4! = 5 v 24 = 120
Jad
i, 5! = 120.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 71/98
Relasi dan Fungsi 71
Contoh 44. Di bawah ini adalah contoh-contoh ungsi rekursi lainnya:
1.
°
¯
{
!!
0,)1(2
0,0)(
2 x x x F
x x F
2. Fungsi Chebysev
±°
±¯
¡
"
!
!
!
1,),2(),1(2
1,
0,1
),(
n xnT xn xT
n x
n
xnT
3. Fungsi ibonacci:
±°
±¯
¢
"
!
!
!
1,)2()1(
1,1
0,0
)(
nn f n f
n
n
n f
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 72/98
Relasi dan Fungsi 72
Relasi Kesetaraan
DEFINISI. Relasi R pada himpunan A
disebut relasi kesetaraan(equivalence relation) jika ia refleksif,setangkup dan menghantar.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 73/98
Relasi dan Fungsi 73
Secara intuitif, di dalam relasi
kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa
persyaratan yang sama.
Dua elemen yang dihubungkan denganrelasi kesetaraan dinamakan setara(equivalent).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 74/98
Relasi dan Fungsi 74
Cont oh:
A = himpunan mahasiswa, R relasi pada A:
(a, b) R jika a satu angkatan dengan b.
R refleksif: setiap mahasiswa seangkatandengan dirinya sendiri
R setangkup: jika a seangkatan dengan b, makab pasti seangkatan dengan a.
R menghantar: jika a seangkatan dengan b danb seangkatan dengan c, maka pastilah a
seangkatan dengan c.
Dengan demikian, R adalah relasi kesetaraan.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 75/98
Relasi dan Fungsi 75
Relasi Pengurutan Parsial
DEFINISI. Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partialordering relation) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.
Himpunan S bersama-sama dengan relasi R
disebut himpunan terurut secara parsial(partially ordered set, atau poset), dandilambangkan dengan (S, R).
C t h R l i d hi bil
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 76/98
Relasi dan Fungsi 76
Cont oh: Relasi u pada himpunan bilanganbulat adalah relasi pengurutan parsial.
Alasan:
Relasi u refleksif, karena a u a untuk setiapbilangan bulat a;
Relasi u t olak-setangkup, karena jika a u b danb u a, maka a = b;
Relasi u menghantar, karena jika a u b dan bu c maka a u c.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 77/98
Relasi dan Fungsi 77
Cont oh: Relasi habis membagi pada
himpunan bilangan bulat adalah relasipengurutan parsial.
Alasan: relasi habis membagi bersifat refleksif, t olak-setangkup, danmenghantar.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 78/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 79/98
Relasi dan Fungsi 79
Istilah pengurutan menyatakan bahwabenda-benda di dalam himpunan tersebut
dirutkan berdasarkan sifat atau kriteriatersebut.
Ada juga kemungkinan dua buah benda di
dalam himpunan tidak berhubungan dalamsuatu relasi pengurutan parsial. Dalam haldemikian, kita tidak dapat membandingkankeduanya sehingga tidak dapat diidentifikasimana yang lebih besar atau lebih kecil.
Itulah alasan digunakan istilah pengurutanparsial atau pengurutan tak-lengkap
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 80/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 81/98
Relasi dan Fungsi 81
Tambahkan (2, 2) dan (3, 3) ke dalam R
(karena dua elemen relasi ini yang belum
terdapat di dalam R )
R elasi baru, S, mengandung R , yaitu
S = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3),
(3, 2), (3, 3) }
Relasi S disebut klosur refleksif (ref lexiveclosure) dari R.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 82/98
Relasi dan Fungsi 82
Cont oh 2: Relasi R = {(1, 3), (1, 2), (2,
1), (3, 2), (3, 3)} pada himpunan A ={1, 2, 3} tidak setangkup.
Bagaimana membuat relasi setangkupyang sesedikit mungkin danmengandung R?
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 83/98
Relasi dan Fungsi 83
Tambahkan (3, 1) dan (2, 3) ke dalam R
(karena dua elemen relasi ini yang belum
terdapat di dalam S agar S menjadisetangkup).
R elasi baru, S, mengandung R :
S = {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3),(3, 3)}
R elasi S disebut klosur setangkup(symmetric cl osur e) dari R .
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 84/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 85/98
Relasi dan Fungsi 85
Klosur Refleksif
Misalkan R adalah sebuah relasi padahimpunan A.
Klosur refleksif dari R adalah R (,yang dalam hal ini ( = {(a, a) | a A}.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 86/98
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 87/98
Relasi dan Fungsi 87
Contoh: Misalkan R adalah relasi
{(a, b) | a { b}
pada himpunan bilangan bulat.
Klosur refleksif dari R adalah
R ( = {(a, b) | a { b}
{(a, a) | a Z}
= {(a, b) | a, b Z}
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 88/98
Relasi dan Fungsi 88
Klosur setangkup
Misalkan R adalah sebuah relasi padahimpunan A.
Klosur setangkup dari R adalah R R -1,dengan R -1 = {(b, a) | (a, b) a R }.
Contoh: R {(1 3) (1 2) (2 1) (3 2) (3
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 89/98
Relasi dan Fungsi 89
Cont oh: R = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3,3)} adalah relasi pada A = {1, 2, 3},
maka
R -1 = {(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}
sehingga klosur setangkup dari R adalah
R R -1 = {(1, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 3)}
{(3, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3)}
= {(1, 3), (3, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 90/98
Relasi dan Fungsi 90
Cont oh: Misalkan R adalah relasi
{(a, b) | a habis membagi b}pada himpunan bilangan bulat.
Klosur setangkup dari R adalah
R R -1 = {(a, b) | a habis membagi b}
{(b, a) | b habis membagi a}
= {(a, b) | a habis membagi b atau bhabis membagi a}
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 91/98
Relasi dan Fungsi 91
Klosur menghantarPembentukan klosur menghantar lebih sulit daripada dua buah klosur sebelumnya.
Cont oh: R = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2)}adalah relasi A = {1, 2, 3, 4}.
R tidak transitif karena tidak mengandungsemua pasangan (a, c ) sedemikian sehingga
(a, b) dan (b,c ) di dalam
R .
Pasangan (a, c ) yang tidak terdapat di dalamR adalah (1, 1), (2, 2), (2, 4), dan (3, 1).
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 92/98
Relasi dan Fungsi 92
Penambahan semua pasangan ini ke dalam R sehingga menjadi
S = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (3, 2), (1, 1),
(2, 2), (2, 4), (3, 1)}
tidak menghasilkan relasi yang bersifat menghantar karena, misalnya terdapat (3, 1) S dan (1, 4) S, tetapi (3, 4) S.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 93/98
Relasi dan Fungsi 93
K osur menghantar dari R adalah
R * = R 2 R 3 R n
Jika MR adalah matriks yan gmerepresen tasikan R pada sebuah himpun an
den gan n elemen , maka matriks klosurmen ghan tar R * adalah
!* R
M M R ]2[
R M
]3[ R
M « ][n
R M
Misalkan R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} adalah relasi pada himpunan A = {1, 2, 3}. Tentukan
kl h d i R
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 94/98
Relasi dan Fungsi 94
klosur menghantar dari R.
Penyelesaian:
Matriks yang merepresentasikan relasi R adalah
M R =
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
011
010
101
Maka, matriks klosur menghantar dari R adalah
!* R M M R
]2[
R M ]3[
R M
K arena
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
!!
111
010
111]2[
R R RM M M dan
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
!!
111
010
111]2[]3[
R R RM M M
maka
!* R
M
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
111
010
101
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
111
010
111
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
111
010
111
=
¼¼¼
½
»
¬¬¬
-
«
111
010
111
Dengan demikian, R*
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3) }
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 95/98
Relasi dan Fungsi 95
A plikasi klosur menghantar
Klosur menghantar menggambarkanbagaimana pesan dapat dikirim dari
satu kota ke kota lain baik melaluihubungan komunikasi langsung ataumelalui kota antara sebanyak mungkin[LIU85].
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 96/98
Relasi dan Fungsi 96
Misalkan jaringan komputer mempunyaipusat data di Jakarta, Bandung,Surabaya, Medan, Makassar, danKupang.
Misalkan R adalah relasi yangmengandung (a, b) jika terdapat
saluran telepon dari kota a ke kota b.
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 97/98
Karena tidak semua link langsung dari satu kota ke
8/8/2019 Pertemuan 3 - Relasi Dan Fungsi
http://slidepdf.com/reader/full/pertemuan-3-relasi-dan-fungsi 98/98
Karena tidak semua l ink l angsung dari satu kota kekota l ain, maka pengiriman data dari Jakarta keSurabaya tidak dapat dil akukan secara l angsung.
Rel asi R tidak menghantar karena ia tidakmengandung semua pasangan pusat data yang dapat dihubungkan (baik l ink l angsung atau tidak
l angsung).
K losur menghantar adal ah rel asi yang pal ing minimal
yang berisi semua pasangan pusat data yang
mempunyai l ink l angsung atau tidak l angsung danmengandung R.
Top Related