Download - PERSAMAAN LINE AR

PERSAMAAN LINEARDETERMINAN

MINOR & PERLUASAN KOFAKTOR

•

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A3332

232211 aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A444342

343332

242322

11

aaaaaaaaa

M

Minor

Minor

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

Kofaktor Matriks

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan

Contoh :Kofaktor dari elemen a11

Kofaktor dari elemen a23

111111

11 )1( MMc

232332

23 )1( MMc

Kofaktor Matrik• Cara cepat untuk menentukan apakah

penggunaan tanda + atau tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :

.............

..

..

..

..

..

Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor

• Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 i n dan 1 j n , maka

• det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

• det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama|A|

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

)()()( 312232211331233321123223332211

3231

222113

3331

232112

3332

232211

131312121111

131312121111

aaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMacacaca

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|

)()()( 311232111331133311223213331221

3231

121123

3331

131122

3332

131221

232322222121

232322222121

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca

)()()( 211222113321132311322213231231

2221

121133

2321

131132

2322

131231

333332323131

333332323131

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama|A|

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

)()()( 221223123132133312213223332211

2322

131231

3332

131221

3332

232211

313121211111

313121211111

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca

Determinan Matrik dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolomkedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|

)()()( 211313113231133311223123332112

2321

131132

3331

131122

3331

232112

323222221212

323222221212

aaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMacacaca

)()()( 211222113331123211233122322113

2221

121133

3231

121123

3231

222113

333323231313

333323231313

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

MaMaMa

cacaca

Contoh1

• Misalkan kita punya matriks A = – Tentukan minor entri a11, a12, dan a13

– Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !

• Penyelesaian :– minor entri a11 adalah M11

– kofaktor a11 adalah C11

841652413

166*48*58465

1616*18465

)1( 11

Contoh1• A =

– minor entri a12 adalah M12


– minor entri a13 adalah M13


841652413

101*68*28162

1010*)1(8162

)1( 21

31*54*24152

33*14152

)1( 31

245342013

2434

2532

4542

Hitung Det(A) bila A =

= 3 + 0

= (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11 = -1

Contoh:

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

- 1

Contoh2

Adjoint• Definisi:

– Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks

dinamakan matriks kofaktor A– Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint

(sering ditulis adj(nama_matriks)– Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

...............

...

...

21

22221

11211

Adjoint• Contoh:

– Cari nilai kofaktor • C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12• C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6• C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16• C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4• C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2• C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16• C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12• C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10• C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16

• Matriks Kofaktor A

• Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))

042361123

A

161012162416612

161616102612412

)(AAdj