Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA kelas X Semester I
BAB II
Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat 02 cbxax , a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.
Contoh:
x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4
x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0
x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2
x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2
Berkaitan dengan nilai dari a, b, dan c dikenal beberapa nama persamaan kuadrat
diantaranya adalah:
jika a = 1 maka persamaan menjadi 02 cbxax dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat biasa
jika b = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kudrat sempurna
jika c = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat tak lengkap
jika a ,b, dan c bilangan – bilangan real, maka disebut
persamaan kuadrat real
jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka disebut
persamaan kuadrat rasional
Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,
diantaranya adalah dengan cara :
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
c. Menggunakan rumus kuadrat
d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )
Kita akan mempelajari 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu
persamaan kuadrat
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan
menngunakansebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat iti dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Jika a, b, ϵ R dan berlaku a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0
Catatan:
Pengertian a=0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai:
1. a = 0 dan b ≠ 0
2. a ≠ 0 dan b = 0
3. a = 0 dan b = 0
Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian atau akar-akar dari tiap persamaan
kudarat
Jawab
( )( )
atau
Jadi,penyelesaian atau akar-akarnya adalah x1 =7 dan x2 = -2. Dalam bentuk
himpunan penyelesaian ditulisakan dengan HP = {7,-2}
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dengan proses melengakapkan
kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut :
a) Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk
(x + p)2 = q dengan q ≥ 0
Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.
b) Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang
terakhir
(x + p) = ± √ atau
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat
Jawab :
( ) ( )
( )
( )
( ) √
√ √
√ √
Jadi akar-akarnya adalah √ atau √ ditulis HP = {1-√ , 1+√ }
Menentukan Akar – Akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0 maka akar-akar persamaan
kuadrat ditentukan oleh:
√
√
Contoh :
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat
.
Jawab :
, koefisien – koefisiennya adalah a = 1 b = - 6 c = 8
√
( ) √( ) ( )( )
( )
√
√
Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan
1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya
irrasional.
2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar
kembar) real, dan rasional.
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
keduaakarnya tidak real (imajiner)
Contoh :
Tentukan jenis akar persamaan kuadrat
Jawab :
; koefisien – koefisiennya adalah a = 2, b = -7, dan c = 6.
Nilai diskriminannya adalah :
( ) ( )( )
Karena D = 1 > 0 dan D = 1 = 12 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan
kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional
Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat
dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka
Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan
Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan
hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.
Misalkan persamaan kuadrat memiliki akar-akar , :
√
√
maka:
+ √
√
√ √
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : +
Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:
. ( √
) ( √
)
( ) (√ )
( )
( )
Jadi,rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : .
Bentuk – bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat adalah :
( )
( ) ( )
(
) ( )
Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya
a. Memakai faktor
Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( x - x1)( x – x2) = 0
maka x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya
apabila x1 dan x2 merupakan akar –akar suatu persamaan kuadrat , maka
persamaan kuadrat itu dpat ditentikan dengan rumus
( )( )
b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar
Persamaan kuadrat ( ) dapat dinyatakan dalam bentuk
yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a.
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar – akar, kita peroleh hubungan
( ) dan
Jadi, persamaan
dapat dinyatakan dalam bentuk
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
( ) ( )
1) Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan
a. b. 2) Selesaikan persamaan berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna
a.
b. 3) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut
a. 2 dan 5
b. -3 dan 1
c. -5 dan -6
a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif
dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut
pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
dengan a≠0 dan a,b,c ϵ R
penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam
variabel x dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan:
1. Sketsa grafik fungsi kuadrat
2. Garis bilangan
b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik
fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus 43)( 2 xxxf grafiknya
berbentuk parabbola dengan persamaan 432 xxy . Sketsa grafik parabola
432 xxy diperlihatkan pada gambar berikut:
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
1) Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi 0432 xx dalam selang x < -1 atau x > 4.
2) Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi 0432 xx untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3) Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.
Jadi 0432 xx dalam selang – 1 < x < 4.
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat 43)( 2 xxxf atau parabola
432 xxy dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut:
a) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:
},41|{ RxxxHP
b) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:
},41|{ RxxxHP
c) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:
},41|{ Rxxatau xxHP
d) Pertidaksamaan kuadrat 0432 xx . Himpunan penyelesaiannya adalah:
},41|{ Rxxatau xxHP
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
0)( 2 cbxaxxf atau parabola dapat digunakan untuk
menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 02 cbxax ; 02 cbxax ;
02 cbxax ; 02 cbxax
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui
langkah–langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Gambar sketsa grafik kuadrat ( ) atau parabola
jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X.
Langkah 2
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat
menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
,
c. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan
Dalam pasal ini kita akan menyekesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan
garis bilangan. Sebabagai contoh, kita akan menentukan penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat .
Langkah-langkah yangdiperlukan sebagai berikut:
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
0432 xx
0)4)(1( xx
1 x atau 4x
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
2x maka nilai dari 64)2(3)2(43 22 xx sehingga tanda
dalam interval x < -1 (+) atau >0
1x maka nilai dari 64)1(3)1(43 22 xx sehingga tanda dalam
interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
5x maka nilai dari 64)5(3)5(43 22 xx sehingga tanda dalam
interval x > 4 (+) atau >.
Langkah 4
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan 0432 xx
adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah 1|{ xxHP atau x > 4}
Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
, dapat ditentukan dengan
menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan
Langkah 2
Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interval-
interval.
Langkah 3
Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang
berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat
menetapkan interval yang memenuhi.
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya
beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada 2 macam bentuk khusus dari
suatu bentuk kuadrat yaitu:
(1) Definit positif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untu semua x ϵ R.
Bentuk disebut definit positif, jika
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
(2) Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untuk semua x ϵ R.
Bentuk disebut definit negatif jika .
1. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf carilah
himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a. 0122 xx
b. 0122 xx
c. 0122 xx
d. 0122 xx
2. Dengan menggunakan garis bilangan,Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
a.
b.
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Akar-akar persamaan kuadrat
Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,
diantaranya adalah dengan cara :
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk
(x + p)2 = q dengan q ≥ 0
Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.
Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang
terakhir
(x + p) = ± √ atau
c. Menggunakan rumus kuadrat
akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh:
√
√
d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan
1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan
Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal
Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irrasional.
2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar
kembar) real, dan rasional.
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
keduaakarnya tidak real (imajiner)
Rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :
1. +
2. .
Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya
1. Memakai faktor
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
( )( )
2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar
( ) ( )
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat
Langkah 1
Gambar sketsa grafik kuadrat ( ) atau parabola jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X. Langkah 2 Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat
menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
,
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan
Langkah 1
Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan
Langkah 2
Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interval-
interval.
Langkah 3
Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang
berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat menetapkan
interval yang memenuhi.
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
BAB III
EVALUASI
A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !
1. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah a dan b.nilai dari
adalah...
a. 18
b. 17
c. -18
d. -16
e. 19
2. Jika α dan β akar-akar persamaan maka mencapai minimum untuk ....
a. -1
b. 0 c.
d. 1
e. 3
3. Akar-akar persamaan 0)8()42(2 kxkkx adalah sama. Hasil kali kedua akar
persamaan tersebut adalah ….
a. 1
b. 4
c. 9
d. 16
e. 2
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar
persamaan adalah ….
a. b. c. d. e.
5. Akar-akar persamaan kuadrat 0)1(2 2 qqxx adalah m dan n. Jika 422 nm maka
nilai q adalah ...... a. -6 dan 2 b. -5 dan 3
c. -4 dan 4 d. -3 dan 5
e. -2 dan 6
6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah...
a.
b.
c.
d.
e.
7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 493 22 xxx adalah ....
a.
b.
c.
d.
e.
8. Himpunan penyelesaian dari persamaan 05
2
x
x adalah ....
a. }25|{ xxHP
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
b. }25|{ xxHP
c. 1|{ xxHP atau }2x
d. 5|{ xxHP atau }2x
e. 1|{ xxHP atau }1x
9. Himpunan penyelesaian ( ) ( ) ( ) adalah...
a. -11 b. -12 c. -13
d. -14 e. -15
10. Nilai terbesar x agar
adalah....
a. -2 b. -3 c. -4
d. 1 e. -1
11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
( ) ( ) adalah...
a. * | + b. * | +
c. { |
}
d. { |
}
e. { |
}
12. Agar persamaan ( ) ( ) mempunyai akar kembar maka nilai k = ... a. b.
c. √
d. e.
13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah...
a.
b.
c.
d.
e.
14. Nilai yang memenuhi
adalah...
a. b. c.
d. e.
15. Bentuk pertidaksamaan akan bernilai benar jika...
a.
b.
c.
d.
e. Semua bilangan real
B. Jawablah pertanyaan –pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas !
1. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akarakar persamaan
! 4. Jika salah satu akar persamaan ( ) adalah empat kali akar
yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut.
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Latihan 1
1. a. ( )( )
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah
x = 1 atau x = 3
( ) (
)
( )( )
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah
2. a.
(
)
(
)
Dengan demikian penyelesaian persamaan kuadrat adalah
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
(
)
(
)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah
3. a.
( )( )
Jadi,persamaan kuadrat yang diminta adalah
( ( ))( )
( )( )
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah
e.
( ( ))( ( ))
( )( )
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah
Latihan 2
1. Sketsa grafik fungsi kuadrat ,12)( 2 xxxf atau parabola ,122 xxy
diperlihatkan pada gambar berikut:
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah
Himpunan kosong ditulis
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah
}1|{ xxHP
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah
}1|{ xdanRxxHP
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 0122 xx adalah
},11|{ RxxatuxxHP dapat juga ditulis }|{ RxxHP
2.
Harga nol pembilang ( ) Harga nol penyebut Jadi, himpunan penyelesaianya adalah
3. a.
( )( )
Ambil (negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian adalah * | +
b.
( )( )
Ambil (negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian adalah * | +
Uji kompetensi
A. 1. a
2.d
3.d
4.c
5.e
6.d
7.a
8.e
9.c
10.c
11.d
12.c
13.a
14.e
15.b
B. Uraian
1. Dari persamaan diperoleh
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang akan dicari adalah a dan b, dimana
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
Jadi, persamaan kuadrat yang akr-akarnya ( ) ( )
adalah: ( ) —
(
)
2.
( )( )
Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya diperlihatkan pada gambar 2.24
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { |
}
3. Misalkan persamaan kuadrat baru memiliki akar a
Substitusikan kedalam persamaan kuadrat semula sehingga diperoleh:
( ) ( )
( )
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah
4. ( ) Dengan nilai a=1, b = -10, c = k-2 dan salah satu akar = empat kali akar yang
lain.
+
=4.2=8
Jadi, nilai k =18
Top Related