i
PERBANDINGAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN
MODEL REGRESI KERNEL NADARAYA-WATSON :
STUDI KASUS HARGA EMAS DI INDONESIA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh :
Lydia Jessica Susianto
NIM: 163114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Skripsi ini saya persembahkan untuk:
1. Tuhan Yang Maha Esa karena telah mendengarkan doa dan membantu
saya sehingga tugas akhir ini dapat selesai.
2. Triratna
3. Alm Mama, Papa, dan kakak saya Uchen yang tercinta.
4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang
sangat sabar dan tidak tergantikan.
5. Bapak Ibu dosen yang telah membimbing saya dari awal perkuliahan.
6. Semua orang yang membaca skripsi saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis ucakpkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Triratna
atas berkat yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan skripsi ini tepat
waktu. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Matematika pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Dalam penulisan tugas akhir ini banyak pihak yang telah membantu
penulis dalam menghadapi kesulitan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Akademik
dan dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran
serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi yang telah memberikan banyak ilmu, pengetahuan
kepada penulis selama proses perkuliahan.
3. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika
yang telah memberikan banyak ilmu, pengetahuan, dan pengalaman kepada
penulis selama proses perkuliahan.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Ibu
Dr. Lusia Krismiyati Budiasih dan Bapak Dr. rer. Nat. Herry P Suryawan,
S.Si., M.Si., selaku dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan banyak ilmu dan pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Bapak/Ibu/Laboran/Karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
memberikan waktu dan informasi kepada penulis selama proses
perkuliahan.
6. Almh. Mama, Papa, Cici Uchen, Koko Stevanus, Wilbert, Mpe Oen, Ntio
Willi, Kho Lani, Koko Alan, dan Koko Ade tercinta yang selalu mendoakan
dan memberikan dukungan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRAK
Mengumpulkan emas merupakan salah satu cara untuk melakukan
investasi. Untuk melakukan investasi emas, kita harus mengetahui berapa harga
satu gram emas untuk membelinya. Penelitian ini akan memprediksi harga beli
satu gram emas dengan analisis parametrik, yaitu regresi polinomial dan analisis
nonparametrik kernel dengan metode Nadaraya-Watson.
Pemodelan regresi polinomial merupakan penerapan langsung dari regresi
linier berganda. Untuk mendapatkan model terbaik dilakukan pencarian derajat
polinomial yang optimal menurut tahap-tahap yang dilakukan Mehmet Pakdemirli
(2016). Pemodelan regresi dengan metode Nadaraya-Watson dilakukan dengan
menentukan terlebih dahulu jendela optimal dengan metode cross validation atau
validasi silang.
Berdasarkan hasil analisis, didapat dua model, yaitu model regresi
polinomial berderajat tiga dan model regresi Nadaraya-Watson dengan bandwidth
sebesar 0.514514. Berdasarkan ukuran kebaikan model, model regresi polinomial
memiliki MSE sebesar 393.13 dan . Sedangkan model dengan
metode Nadaraya-Watson memiliki MSE 0.822 dan . Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model yang terbaik untuk menduga harga 1 gram emas di
Indonesia adalah model dengan menggunakan regresi nonparametrik kernel
dengan metode Nadaraya-Watson.
Kata kunci: polinomial, derajat optimal, nonparametrik, kernel, Nadaraya-
Watson, validasi silang, bandwidth
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
ABSTRACT
Collecting gold is one way to invest. To invest in gold, we need to know
the purchase price of one gram of gold. This research will predict the purchase
price of one gram gold using parametric analysis with polynomial regression and
nonparametric kernel analysis with the Nadaraya-Watson method.
Regression modeling with a polynomial model is a direct application of
multiple linear regression. In this thesis, the optimal polynomial degree for
modeling is found according to Mehmet Pakdermirli (2016). The Nadaraya-
Watson modeling method is done by determining the optimal bandwidth in
advance using a cross-validation method.
Based on the result of the analysis, there are two models, one is a three
degree polynomial regression model and the other one is the regression model
using the Nadaraya-Watson method with a bandwidth of 0.514514. The
polynomial regression model has the value of MSE 393.13 and = 0.8569.
Whereas the model with the Nadaraya-Watson method has the value of MSE
0.822 and = 0.9977. So it can be concluded that the best model for predicting
the one gram gold purchase price is using nonparametric kernel analysis with the
Nadaraya-Watson method.
Key words : polynomial, optimal degree, nonparametric, kernel, CV, bandwidth
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL……………………………………………………………….i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………………………….iii
HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………….iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………….v
HALAMAN PERNYATAN PERSETUJUAN PUBLIKASI…………………….vi
HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………………vii
KATA PENGANTAR…………………………………………………………..viii
ABSTRAK………………………………………………………………………...x
ABSTRACT………………………………………………………………………xi
DAFTAR ISI……………………………………………………………………..xii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang…………………………………………………………...1
B. Rumusan Masalah………………………………………………………..3
C. Batasan Masalah…………………………………………………………3
D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………3
E. Manfaat Penulisan………………………………………………………..4
F. Metode Penulisan………………………………………………………...4
G. Sistematika Penulisan……………………………………………………4
BAB II ANALISIS REGRESI
A. Analisis Regresi………………………………………………………….6
B. Analisis Regresi Parametrik……………………………………………...6
C. Vektor dan Vektor Residual………………………………………….16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi………………………………….20
E. Model Regresi Polinomial……………………………………………...26
F. Ukuran Kebaikan Model………………………………………………..39
G. Koefisien Determinasi…………………………………………………..39
BAB III METODE NADARAYA-WATSON
A. Analisis Regresi Nonparametrik………………………………………..45
B. Gagasan Tentang Pemulusan…………………………………………...46
C. Rata-Rata Lokal………………………………………………………...48
D. Sejarah Kernel…………………………………………………………..51
E. Pemulus Kernel…………………………………………………………52
F. Fungsi Kernel…………………………………………………………...61
G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang…………………....62
BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL
REGRESI KERNEL NADARAYA-WATSON UNTUK HARGA EMAS
A. Sumber Data…………………………………………………………….69
B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langkah……………………………..69
C. Hasil Scatterplot Data…………………………………………………..70
D. Pemodelan Dengan Regresi Polinomial ………..………………………73
E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel………...…75
F. Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi Polinomial dan Regresi
Nonparametrik Kernel…………………………………………………..80
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan……………………………………………………………..85
B. Saran……………………………………………………………………86
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………………87
LAMPIRAN……………………………………………………………………...90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Statistika merupakan salah satu cabang ilmu matematika. Statistika
banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari khususnya dalam bidang
ekonomi. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering ingin melakukan
investasi. Investasi merupakan penanaman modal pada suatu perusahaan
untuk tujuan memperoleh keuntungan. Saat ini melakukan investasi dapat
dengam membeli tanah atau membeli emas. Untuk melakukan investasi
emas, banyak orang yang ingin mengetahui harga emas di waktu yang
akan datang. Hal tersebut biasa dikenal dengan istilah prediksi. Secara
umum, prediksi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis
tentang sesuatu yang paling mungkin terjadi di masa depan berdasarkan
informasi masa lalu dan sekarang, agar kesalahannya dapat diperkecil.
Dalam matematika, untuk melakukan prediksi dapat dilakukan dengan
menggunakan analisis regresi.
Analisis regresi adalah metode statistika yang digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variable terikat dengan variable bebas .
Hasil analisis berupa suatu persamaan yang dapat digunakan untuk
membuat prediksi atau perkiraan. Hubungan antara variabel terikat dan
variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk model regresi ( ) ,
dengan ( ) adalah fungsi matematis yang belum diketahui bentuknya dan
adalah galat (error). Fungsi ( ) tersebut dapat diduga dengan beberapa
pendekatan, yaitu regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan regresi
semiparametrik.
Pada skripsi ini penulis memilih menggunakan pendekatan regresi
nonparametrik. Regresi nonparametrik adalah pendekatan yang dapat
digunakan apabila pola dari suatu data tidak diketahui bentuknya. Pada
regresi nonparametrik ini terdapat beberapa metode yang dapat digunakan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yaitu metode spline dan metode kernel. Untuk mengestimasi kurva regresi
nonparametrik terdapat beberapa teknik, salah satunya adalah estimator
kernel. Estimator kernel biasanya digunakan untuk mencari nilai harapan
bersyarat, yaitu ( | ) ( ). Fungsi ( ) dapat diduga dengan tiga
metode, yaitu dengan metode Nadaraya-Watson, metode Priestley-Chao,
dan metode Gasser-Muller.
Dalam proses pendugaan, kita perlu memilih fungsi kernel. Ada
beberapa macam fungsi kernel, misalnya fungsi kernel seragam, fungsi
kernel segitiga, fungsi kernel Epanechnikov, fungsi kernel Gauss, fungsi
kernel kuadratik, dan fungsi kernel cosinus. Selain membutuhkan fungsi
kernel, dalam proses pendugaan juga diperlukan jendela (bandwidth).
Pemilihan jendela sangat berpengaruh pada perhitungan. Apabila jendela
terlalu kecil, maka hasil grafik akan kasar dan sesuai kurva. Namun,
apabila jendela terlalu besar maka mudah untuk membedakan antara grafik
jendela dan grafik asli.
Pada skripsi ini akan digunakan regresi nonparametrik kernel
dengan penduga Nadaraya-Watson. Fungsi regresi dari estimator kernel
Nadaraya-Watson adalah
( ) ∑ ( )
∑ ( )
dengan adalah fungsi kernel Gauss dan adalah pemulus.
Skripsi ini bertujuan untuk memprediksi harga beli satu gram emas
dengan menggunakan regresi polinomial dan regresi nonparametrik kernel
dengan metode Nadaraya-Watson serta fungsi Gauss. Kedua metode yang
digunakan akan dibandingkan mana yang terbaik dengan memperhatikan
nilai Mean Squared Error (MSE) dan digunakan untuk memprediksi. Data
yang digunakan adalah harga beli satu gram emas periode 2 Januari 2019
hingga 30 Maret 2020.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini, yaitu:
1. Bagaimana proses pendugaan model regresi polinomial?
2. Bagaimana proses pendugaan model regresi nonparametrik kernel
dengan penduga Nadaraya-Watson?
3. Bagaimana menerapkan regresi polinomial pada data harga beli 1 gram
emas?
4. Bagaimana menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan penduga
Nadaraya-Watson pada data harga beli 1 gram emas?
5. Metode manakah yang baik untuk memprediksi harga beli 1 gram
emas?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa masalah, yaitu:
1. Penulis hanya menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan
penduga Nadaraya-Watson.
2. Landasan teori yang digunakan hanya yang berkaitan langsung dengan
materi.
3. Konsep Big O langsung digunakan dalam teorema tanpa dibahas lebih
lanjut.
4. Selang kepercayaan dan standar error langsung digunakan dan tidak
dibahas secara mendalam.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulis dalam menulis skripsi, yaitu:
1. Mengetahui proses pendugaan regresi polinomial
2. Mengetahui proses pendugaan regresi nonparametrik kernel dengan
penduga Nadaraya-Watson.
3. Menerapkan regresi polinomial pada harga beli 1 gram emas.
4. Menerapkan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-
Watson pada harga beli 1 gram emas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
5. Mengetahui metode terbaik dalam memprediksi harga beli 1 gram
emas.
E. Manfaat Penulisan
Dengan menulis skripsi ini, penulis mengetahui cara menduga hubungan
antara dua atau lebih peristiwa yang dialami dalam kehidupan sehari-hari.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan di dalam skripsi ini, yaitu studi pustaka dengan
membaca buku referensi dan jurnal-jurnal matematika yang berhubungan
dengan regresi polinomial dan regresi nonparametrik kernel dengan
penduga Nadaraya-Watson. Selain itu juga penulis menggunakan
Microsoft Excel dan perangkat lunak R dalam komputer untuk
mempermudah perhitungan.
G. Sistematika Penulisan
Bab I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
Bab II ANALISIS REGRESI
A. Analisis Regresi
B. Analisis Regresi Parametrik
C. Vektor dan Vektor Residual
D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi
E. Model Regresi Polinomial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. Ukuran Kebaikan Model
G. Koefisien Determinasi
Bab III METODE NADARAYA WATSON
A. Analisis Regresi Nonparametrik
B. Gagasan Tentang Pemulusan
C. Rata-Rata Lokal
D. Sejarah Kernel
E. Pemulus Kernel
F. Fungsi Kernel
G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang (Cross
Validation)
Bab IV PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL
REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL NADARAYA-WATSON
UNTUK HARGA EMAS
A. Sumber Data
B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langah
C. Hasil Scatterplot Data
D. Pemodelan Dengan Regresi Polinomial
E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel
F. Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi Polinomial dan
Regresi Nonparametrik Kernel
Bab V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
ANALISIS REGRESI
A. Analisis Regresi
Analisis regresi adalah metode yang digunakan untuk memprediksi
atau meramalkan data di masa depan. Analisis regresi digunakan untuk
menganalisis hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas .
Hasil analisis berupa suatu persamaan yang dapat digunakan untuk
membuat prediksi atau perkiraan. Apabila model melibatkan hanya satu
variabel bebas, maka kita kenal dengan model regresi sederhana. Apabila
lebih dari satu variabel disebut dengan model regresi berganda. Hubungan
antara variabel terikat dan variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk
model regresi ( ) , dengan ( ) adalah fungsi matematis yang
belum diketahui bentuknya dan adalah galat (error).
Pada persamaan ( ) , fungsi ( ) dapat diduga dengan
beberapa pendekatan, yaitu regresi parametrik, regresi nonparametrik, dan
regresi semiparametrik. Tugas akhir ini memfokuskan pada pembahasan
regresi parametrik dan regresi nonparametrik, sedangkan regresi
semiparametrik tidak akan dibahas.
B. Analisis Regresi Parametrik
Analisis regresi parametrik merupakan suatu metode regresi yang
digunakan untuk mengetahui pola hubungan variabel terikat dengan
variabel bebas . Dalam penggunaan regresi parametrik terdapat asumsi,
yaitu bentuk kurva regresi diketahui. Misalnya, kurva tersebut sudah
diketahui berbentuk linier, kuadratik, kubik, polinomial, eksponensial, atau
bentuk lainnya. Model regresi ini sudah kita pelajari dalam perkuliahan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
statistika matematis dan matakuliah pemrograman nonlinier. Biasanya
regresi ini dikenal dengan model regresi linier dan diselesaikan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
Dalam model linier, apabila adalah variabel terikat dan adalah
variabel bebas yang tunggal, maka persamaannya dapat ditulis dengan
dengan adalah parameter yang tidak diketahui
nilainya. Apabila model dari adalah fungsi linier dari dan saja,
maka disebut model regresi linier sederhana. Apabila variabel bebasnya
lebih dari satu, yaitu , maka persamaanya ditulis dengan
dan disebut dengan model regresi linier
berganda.
Definisi 2.1
Suatu model linier statistik yang menghubungkan respon acak dengan
sekumpulan variabel bebas dalam bentuk
(2.1)
dengan adalah parameter yang tidak diketahui, adalah galat
acak dan variabel-variabel diasumsikan nilainya diketahui.
Asumsikan bahwa ( ) , sehingga
( )
Inti dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menentukan penduga
parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat galat. Dengan demikian,
jika adalah nilai prediksi dari nilai ke ketika ,
maka nilai galat yang diamati dari adalah selisih
dan jumlah kuadrat galat harus diminimalkan.
Andaikan SSE adalah Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error), maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
∑( )
∑[ ( )]
SSE akan minimum apabila dan memenuhi persamaan,
dan
. Cari turunan parsial dari SSE terhadap dan dan
menyamadengankan dengan nol, sehingga diperoleh
2∑ [ ( )]
3
∑ [ ( )]
(∑
∑
)
dan
2∑ [ ( )]
3
∑ [ ( )]
(∑
∑
∑
)
Proses pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil juga dapat
ditulis dalam bentuk matriks. Misalkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dan andaikan ada observasi yang saling bebas, pada . Kita
dapat tulis observasi sebagai berikut:
,
Dengan adalah cara menulis variabel bebas ke- untuk pengamatan ke-
, . Sekarang didefinisikan matriks sebagai berikut, dengan
untuk semua ,
[
], [
],
[
], [
].
Secara ringkas, dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai
(2.2)
dan dalam bentuk matriks sebagai
[
] [
] [
] [
]
dengan adalah vektor kolom elemen dari koefisien regresi dan
adalah vektor kolom dari galat. Dalam kasus variabel
penduga diperoleh dengan meminimalkan jumlah kuadrat galat (Sum of
Square Error, ).
Sehingga secara umum dapat ditulis sebagai berikut:
∑( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
∑. ( )/
(2.3)
Dalam notasi matriks SSE dapat ditulis dengan
(2.4)
dengan adalah jumlah kuadrat galat. Dalam notasi matriks, ini berarti
meminimalkan
, - [
]
∑
sekarang dari persamaan (2.2) kita dapatkan
karena itu
( ) ( )
(2.5)
di mana sifat-sifat transpos dari sebuah matriks yaitu, ( ) dan
karena adalah suatu skalar, maka dapat juga ditulis dengan transpos
Persamaan (2.5) adalah representasi matriks dari persamaan (2.3)
dalam notasi skalar, Metode Kuadrat Terkecil terdiri atas estimasi
sehingga ∑
harus sekecil mungkin. Pernyataan
tersebut dapat dilakukan dengan menurunkan persamaan (2.3) secara
parsial terhadap dan menyamadengankan dengan nol.
Proses ini menghasilkan persamaan simultan dengan
parameter yang tidak diketahui, yaitu persamaan normal dari Metode
Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Mencari turunan dari
∑. ( )/
terhadap kita peroleh
∑( ∑
)
dan seterusnya hingga diturunkan terhadap
∑( ∑
)
untuk Hasil turunan parsial tersebut selanjutnya kita sama
dengankan nol, sehingga didapat persamaan sebagai berikut:
∑( ∑
)
∑( ∑
)
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
dan
∑( ∑
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
∑( ∑
)
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑
dengan menetapkan turunan parsial sebelumnya sama dengan nol kita
memperoleh persamaan normal. Dalam bentuk matriks dapat
direpresentasikan sebagai
[
] [
]
[ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
]
(2.6)
[
] [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
[ ∑
∑
∑
]
(2.7)
Sehingga persamaan normal dapat ditulis sebagai berikut:
[ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
]
[
]
[ ∑
∑
∑
]
atau secara singkat dapat ditulis
( )
Berdasarkan aljabar matriks, jika invers dari ( ) ada, katakanlah
( ) , maka diperoleh
( ) ( ) ( )
karena ( ) ( ) , sebuah matriks identitas ( )
didapatkan
( )
Atau sebagai penyelesaiannya dapat ditulis dengan notasi
( )
Agar dapat lebih memahami konsep dari Metode Kuadrat Terkecil, berikut
akan diberikan contoh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Contoh 2.1 Penerapan Model Regresi Linier
Suatu penelitian telah dilakukan padatruk pickup tugas ringan bertenaga
disel untuk melihat apakah kelembaban, suhu, dan tekanan barometer
mempengaruhi emisi Nitrous Oxide dalam ppm. Pengukuran emisi
dilakukan pada waktu yang berbeda, dengan berbagai kondisi. Datanya
dapat dilihat pada tabel di bawah.
Carilah model regresi linier pada data yang diberikan dan kemudian
perkirakan jumlah Nitrous Oxide yang dipancarkan untuk kondisi di mana
kelembaban adalah 50%, suhu adalah , dan tekanan barometer adalah
29.30.
Nitrous
Oxide ( )
Kelembaban
( )
Suhu
( )
Tekanan
( )
0.90 72.40 76.30 29.18
0.91 41.60 70.30 29.35
0.96 34.30 77.10 29.24
0.89 35.10 68.00 29.27
1.00 10.70 79.00 29.78
1.10 12.90 67.40 29.39
1.15 8.30 66.80 29.69
1.03 20.10 76.90 29.48
0.77 72.20 77.70 29.09
1.07 24.00 67.70 29.60
1.07 23.20 76.80 29.38
0.94 47.40 86.60 29.35
1.10 31.50 76.90 29.63
1.10 10.60 86.30 29.56
1.10 11.20 86.00 29.48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
0.91 73.30 76.30 29.40
0.87 75.40 77.90 29.28
0.78 96.60 78.70 29.29
0.82 107.40 86.80 29.03
0.95 54.90 70.90 29.37
(Sumber data: Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers
& Keying Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientist.
9th
Edition. Boston: Prentice Hall. Halaman 445)
Jawab:
[ ]
[
]
[
]
( ) [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
*
+
Sehingga
( )
[
] *
+
[
]
*
+
Sehingga
Untuk kelembaban 50%, suhu , dan tekanan barometrik 29.30,
perkiraan jumlah Nitrous Oxide yang dipancarkan adalah
( ) ( ) ( )
C. Vektor dan Vektor Residual
Vektor penduga rata-rata variabel terikat untuk nilai dari variabel
bebas dalam himpunan data dihitung sebagai
(2.8)
Untuk menyatakan sebagai fungsi linier dari dapat dilakukan dengan
mensubtitusikan ,( ) - untuk . Sehingga,
,( ) -
, ( ) -
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
(2.9)
Persamaan 2.9 mendefinisikan matriks ( ) , sebuah
matriks yang ditentukan seluruhnya oleh . Matriks ini memiliki
peranan yang sangat penting dalam analisis regresi. Matriks adalah
matriks simetris ( ) yang juga idempoten ( ), dan karenanya
merupakan matriks proyeksi. Persamaan 2.9 menunjukkan bahwa adalah
fungsi linier dari dengan koefisien yang diberikan oleh . Misalnya,
baris pertama berisi koefisien untuk fungsi linier semua yang
menghasilkan .
Vektor galat mencerminkan ketidaksesuaian antara yang
diamati dan penduganya, :
(2.10)
Seperti halnya , dapat dinyatakan sebagai fungsi linier dari dengan
mensubtitusikan pada :
( ) (2.11)
Ingat bahwa pendugaan kuadrat terkecil meminimalkan jumlah kuadrat
dari galat, telah dipilih sehingga minimum. Seperti halnya matriks
matriks ( ) adalah matriks simetris dan juga idempoten. Dengan
demikian terbagi menjadi dua bagian, yang diperhitungkan oleh model
dan galat . Kedua bagian aditif terbukti dari fakta bahwa diperoleh
dengan selisih dari persamaan 2.10, atau dapat ditunjukkan sebagai
berikut:
( )
( )
(2.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Contoh 2.2
Pada contoh 2.2 akan dibahas bagaimana cara mendapatkan matriks lalu
mencari persamaan regresi dan menghitung nilai dugaan dan besar
galatnya.
Data yang digunakan untuk analisis regresi linier diilustrasikan dengan
menggunakan data perlakuan dari studi yang dilakukan oleh Dr. A. S.
Heagle di North Carolina State University pada efek polusi ozon pada
hasil kedelai. Empat tingkat dosis ozon dan hasil rata-rata hasil kedelai
diberikan. Dosis ozon adalah konsentrasi rata-rata (per juta, ppm) selama
musim tanam. Hasil dilaporkan dalam gram per tanaman.
Ozon (ppm) 0.02 0.07 0.11 0.15
Hasil ( ⁄ ) 242 237 231 201
, ( ) -
*
+ 0
1 0
1
[
]
Dari tabel data di atas, diidapat ∑ , , ∑
, ∑ , , ∑ , dan ∑ .
Dengan menerapkan rumus
( )
diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∑( )( )
( )
∑ ∑ ∑
∑
∑
Sehingga didapat
∑
∑ ∑
∑
∑
( ) ( )
*
+ 0
1 *
+
Sehingga
Perhitungan dalam notasi matriks adalah sebagai berikut:
*
+ 0
1 *
+
Galatnya
*
+ *
+ *
+
Hasil dari contoh ozone dapat dirangkum sebagai berikut:
0.02 242 247.563 -5.563
0.07 237 232.887 4.113
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
0.11 231 221.146 9.854
0.15 201 209.404 -8.404
D. Sifat-Sifat Penduga Koefisien Regresi
Penduga koefisien regresi , , dan galat adalah fungsi linier
semua dari pengamatan . Ingat bahwa
Karena kita telah mengasumsikan bahwa adalah variabel acak yang
bebas dengan rata-rata nol dan variansi , kita punya
( )
dan
( )
Catat bahwa
( ) , -
( ) , - , -
( ) , -
Sesuai dengan sifat nilai harapan apabila adalah suatu konstanta, maka
( ) . Karena adalah suatu konstanta, didapat
( ) (2.13)
dan
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (2.14)
Persamaan 2.14 didapat karena menambah konstanta seperti ke
variabel acak tidak mengubah variansi. Ketika berdistribusi normal,
juga berdistribusi normal multivariat. Jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
( ) (2.15)
Hasil tersebut didasarkan pada asumsi bahwa model linier yang
digunakan adalah model yang benar. Jika variabel bebas yang penting
telah dihilangkan atau jika bentuk fungsional model tidak benar, tidak
akan menjadi harapan dari Dengan asumsi bahwa model itu benar,
fungsi probabilitas gabungan diberikan oleh
( ) | |
.
/2( ) ( )
( )3
( ) (
)( ) ( )
(2.16)
Mengekspresikan sebagai ,( ) - menunjukkan
bahwa pendugaan koefisien regresi adalah fungsi linier dari variabel
terikat , dengan koefisien yang diberikan oleh ,( ) -. Karena
diketahui, maka matriks merupakan konstanta. Jika model
benar, harapan adalah dan harapan adalah
( ) ,( ) - ( )
( ) ,( ) -
( ) ,( ) -
( )
(2.17)
Ini menunjukkan bahwa adalah penduga yang tidak bias dari jika
model yang dipilih benar. Jika model yang dipilih tidak benar, katakanlah
( ) alih-alih , maka,( ) - ( ) tidak serta merta
disederhanakan menjadi Dengan asumsi bahwa model itu benar,
( ) ,( ) -, ( )-,( ) -
( ) ,( ) - ,( ) -
Mengingat bahwa transpos suatu produk adalah produk transpos dengan
urutan terbalik, yaitu ( ) bahwa simetris, dan invers dari
transpos adalah transpos dari invers, diperoleh
( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
( ) ( ) (2.18)
Dengan demikian, variansi dan kovarian dari pendugaan koefisien regresi
diberikan oleh unsur-unsur ( ) dikalikan dengan . Elemen-elemen
diagonal menunjukkan variansi koefisien regresi dan elemen-elemen di
luar diagonal menunjukkan kovarian. Ketika berdistribusi normal, juga
berdistribusi normal multivariat. Jadi
( ( ) ) (2.19)
Ingat bahwa vektor penduga . Oleh karena itu, dengan
menggunakan sifat matriks yang idempoten, maka berlaku ,
harapan dari adalah
( ) ( ) (2.20)
Dengan demikian, adalah penduga yang tidak bias dari rata-rata untuk
nilai-nilai tertentu dalam himpunan data, apabila modelnya benar. Fakta
bahwa dapat diverifikasi menggunakan definisi
, ( ) -
,( ) -
(2.21)
Matriks variansi dan kovarian dapat diturunkan menggunakan hubungan
atau . Karena ( ) , maka
( ) [ ( )]
( ) ( )
( ) (2.22)
atau
( ) , ( )-
( )
( ) (2.23)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
karena simetris dan idempoten. Oleh karena itu, matriks dikalikan
dengan memberikan variansi dan kovariansi untuk semua . adalah
matriks . Variansi dari setiap himpunan bagian dari dapat
ditentukan dengan hanya menggunakan baris , misalnya , yang
bersesuaian dengan data, sehingga
( ) , ( )-
( ) ( )
(2.24)
Jika berdistribusi normal, maka
( ) (2.25)
Ingat bahwa vektor galat diberikan oleh ( ) Karena itu,
nilai harapan adalah
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (2.26)
Di mana adalah vektor yang elemen-elemennya nol. Dengan
demikian, galat adalah variabel acak dengan rata-rata nol. Matriks variansi
dan kovariansi dari vektor galat adalah
( ) ( ) (2.27)
menggunakan hasil bahwa ( ) adalah matriks idempoten dan
simetris. Jika vektor galat dari regresi berdistribusi normal, maka vektor
galat regresi memenuhi
( ( ) (2.28)
Karena tidak diketahui, maka perlu diduga dengan , yaitu
( ) (2.29)
Dengan SSE yang dapat dilihat pada persamaan 2.4
Prediksi pengamatan acak pada yang akan datang
adalah , diberikan oleh . Dengan demikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
(
( )
) (2.30)
Hasil ini digunakan untuk membangun selang kepercayaan ( )
untuk rata-rata , yaitu
√
( )
dengan
√
( )
Jika diasumsikan sebagai variabel acak berdistribusi Normal
dengan rata-rata nol dan variansi dan tidak tergantung pada galat
sebelumnya, maka prediksi galat ( ) memenuhi
( , (
) - ) (2.31)
Hasil ini digunakan untuk membangun interval kepercayaan untuk yang
kita sebut dengan interval prediksi untuk Ingat bahwa variansi dari
( ) dinotasikan dengan ( ).
Contoh 2.3
Dengan menggunakan data pada contoh 2.2 didapat
( ) 0
1
Sehingga, ( ) ( ) dan ( )
( ) . Kovarian antara dan adalah
( , ) ( )
Matriks telah dihitung pada contoh 2.2. Sehingga, dengan membulatkan
elemen dari matriks
( )
( ) [
] ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
( ) *
+
Variansi dari penduga rata-rata ketika lapisan ozon adalah 0.02 ppm
aalah ( ) ( ) . Untuk lapisan ozon
0.11 ppm, variansi dari penduga rata-rata adalah ( )
( ) . Kovariansi antara kedua rata-rata tersebut adalah
( ) ( ) . Matriks variansi-
kovariansi galat diperoleh oleh ( ) ( ) . Jadi,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Maka, selang kepercayaan untuk suatu dengan adalah
√
( )
0
1 √ 0
1
Apabila diambil 0
1 maka didapat selang kepercayaan bagi
sebagai berikut
, - 0
1
( )( )√, - 0
1 0
1
Sehingga batas bawahnya adalah 97.45 dan batas atasnya adalah 344.85.
Perlu dicatat bahwa variansi dari galat kuadrat terkecil tidak sama dengan
dan kovariansi tidak nol. Asumsi variansi yang sama dan nol kovarian
berlaku untuk , bukan .
Variansi dari setiap tertentu dan variansi dari yang sesuai
akan selalu menambah karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) (2.32)
E. Model Regresi Polinomial
Regresi polinomial merupakan model regresi linier yang dibentuk
dengan menjumlahkan pengaruh masing-masing variabel yang
dipangkatkan meningkat sampai orde ke- . Sebenarnya regresi polinomial
merupakan hasil modifikasi dari model regresi linier berganda yang telah
dibahas di atas, dengan Untuk membedakan
dengan regresi berganda pada sub bab sebelumnya, secara umum penduga
model regresi polinomial dapat dinotasikan dalam bentuk:
( )
(2.33)
di mana ( ) adalah penduga model regresi polinomial berderajat .
Dengan proses mencari turunan parsial dari SSE terhadap koefisien beta
dan menyamadengankan dengan nol seperti pada regresi linier berganda,
didapat suatu matriks sebagai berikut:
( )
[
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
]
[
] ( ) [
∑
∑
∑
]
Atau secara sederhana dapat ditulis
( ) ( )
Sehingga
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Sebagai catatan, perhatikan bahwa matriks ( ) dan ( ) tidak lain
analog dengan matriks (X’X) pada persamaan 2.6 dan (X’Y) pada
persamaan 2.7 model regresi linear berganda.
Menurut Mehmet Pakdemirli (2016) standar error untuk suatu model
regresi polinomial di definisikan sebagai berikuts
⁄ [
( )∑( ( )( ))
]
⁄
(2.34)
Dengan ( ) adalah derajat bebas dan adalah banyak
pengamatan. Sebagai catatan, perhatikan bahwa ⁄ tidak lain analog
dengan akar dari pada persamaan 2.29.
Dalam regresi polinomial, kita perlu menentukan derajat regresi
polinomial. Gunanya adalah agar kita mendapatkan model yang baik untuk
memprediksi. Perlu diketahui bahwa regresi polinomial memiliki
kekurangan, yaitu dalam proses pemilihan derajat. Apabila derajatnya
rendah, maka galatnya akan besar. Namun, apabila derajat yang dipilih
tinggi, maka galatnya akan kecil atau bahkan tidak ada galat. Menurut
David Longstreet, yang ingin dicapai dalam regresi polinomial bukan
menghilangkan galat, tetapi membangun model yang sederhana yang
dapat digunakan untuk pemahaman dan melakukan prediksi. Semakin
tinggi derajat polinomial, semakin kompleks model yang didapat. Semakin
kompleks suatu model, tidak berarti menunjukkan bahwa model tersebut
baik untuk digunakan dalam prediksi. Karena model tersebut nilai galatnya
kecil hanya untuk data yang digunakan untuk membuat model. Apabila
kita menggunakan model tersebut pada data yang lain, maka besar
kemungkinan bahwa model tersebut tidak baik karena mempunyai nilai
galat yang besar.
Andrew Gelman dan Guido Imbens (2014) dalam jurnalnya yang
berjudul Why High-Order Polinomials Should Not Be Used In Regression
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Discontinuity Designs telah memaparkan alasan penggunaan derajat tinggi
pada regresi polinomial memiliki sifat yang buruk dan mengapa regresi
polinomial tingkat tinggi tidak dapat digunakan. Pernyataan tersebut
mengakibatkan perlu dicari derajat polinomial yang optimal. Menurutnya,
hal yang pertama harus dilakukan untuk mendapatkan derajat polinomial
yang optimal adalah melakukan proses normalisasi data dengan membagi
setiap data dengan nilai maksimum dari setiap variabel. Perlu diketahui
bahwa proses normalisasi tidak mengubah bentuk representasi polinomial,
melainkan memilliki efek langsung pada besaran koefisien. Data yang
dinormalisasi selanjutnya disebut dengan
dan
. Berikut akan diberikan beberapa teorema yang
dapat digunakan untuk memilih derajat yang optimal untuk regresi. Untuk
itu akan digunakan notasi big O dalam pembahasannya. Secara khusus
notasi ini tidak akan dibahas dalam skripsi ini.
Definisi 2.2
Misalkan ( ) dan ( ) adalah dua fungsi positif. Dapat kita tulis
( ) ( ( )) dan dikatakan ( ) berada dalam urutan dari ( ), jika
ada konstanta positif dan sehingga ( ) ( ) untuk semua
.
Definisi 2.2 adalah Notasi Big-O yang berfungsi dalam
mengkategorikan algoritma ke fungsi yang menggambarkan batas atas dari
pertumbuhan sebuah fungsi ketika masukan dari fungsi tersebut bertambah
banyak. Dengan menggunakan notasi Big O, maka model yang didapat
menjadi lebih optimal dan tidak menjadi rumit.
Contoh:
a. Nyatakan pertidaksamaan | | | | untuk
semua bilangan riil dalam notasi big-O !
b. Buktikan bahwa adalah ( ) untuk !
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jawab:
a.
( )
( )
Ambil dan , maka pertidaksamaan dapat dituliskan
sebagai | ( )| ( ) sehingga
( ) adalah ( )
b.
| |
karena dan untuk
| | | | untuk setiap karena
tidak negatif. Ambil dan , maka pertidaksamaan
di atas berarti | | | | .
Atau berarti adalah ( )
Teorema 2.1
Untuk regresi polinomial derajat data yang dinormalisasi
( )
(2.35)
Jika maka ( ) ( )
Bukti:
Teorema 2.1 mengatakan bahwa tidak akan ada koefisien besar dengan
besarnya derajat polinomial lebih besar dari 1 jika semua koefisien positif.
Karena data dibatasi, untuk ( ) ( ) Karenanya, dari
persamaan (2.35)
( )
Atau mengganti besarnya dengan ketentuan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Jika setidaknya salah satu , ada .
/ yang tidak
seimbang, yang mengganggu pertidaksamaan. Sehingga, jika semua
koefisien positif, koefisiennya paling ( )
Teorema 2.2
Untuk regresi polinomial derajat data yang dinormalisasi
( )
jika ada koefisien bernilai besar, yaitu ( ) ( ) maka
koefisien tidak dapat mempunyai tanda yang sama, dan suku-suku besar
lainnya ( ) harus muncul dengan tanda yang
berlawanan.
Bukti:
Untuk ( ) ( ) Karenanya dari persamaan (2.35)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika ada suku yang bernilai besar dengan , bentuk tersebut harus
diseimbangkan dengan suku besar lainnya ( ) dengan
tanda yang berlawanan sehingga penjumlahannya maksimal suku O(1).
Teorema 2.3
Untuk regresi polinomial derajat data yang dinormalisasi
( )
Jumlah koefisien regresi dibatasi sedemikian rupa sehingga
∑
( )
Dengan memegang tanda kesetaraan untuk himpunan data tertentu di
mana
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Bukti:
Untuk karena normalisasi, ( ) ( ). Dengan menggunakan
persamaan regresi yang dinormalisasi dan mensubtitusikan ,
( ) ∑
( ) (2.36)
Jika adalah nilai yang bersesuaian dengan , maka ( )
karena pendekatan koefisien regresi, sehingga persamaan (2.36) berlaku.
Teorema 2.4
Untuk regresi polinomial yang baik dari data yang dinormalisasi, standar
error regresi dibatasi dengan
⁄ ( )( )
Bukti:
Jika representasi baik, kurva melewati cukup dekat ke tiap titik data,
karena data berada dalam kotak persegi panjang dengan panjang 1, jarak
antara setiap datum dan kurva hanya bisa menjadi sebagian kecil dari 1.
Sehingga
| ( )( )| ( )( ) (2.37)
Subtitusi persamaan (2.37) ke persamaan (2.35), sehingga
⁄ [
( ) ( )]
⁄
(2.38)
Untuk representasi yang baik, banyak data harus jauh lebih besar
daripada derajat bebas , karenanya
( ) ( ). Subtitusi
besarnya pangkat ke persamaan (2.38), sehingga di dapat ⁄ ( ).
Teorema 2.4 dapat digunakan untuk memeriksa secara kasar kelayakan
model regresi polinomial. Seiring , model akan semakin baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Teorema 2.5
Asumsikan bahwa data yang dinormalisasi dinyatakan dengan regresi
polinomial berderajat
( )( )
Dengan ( ) Untuk regresi polinomial derajat dari data yang
sama didapat
( )( )
Jika ( )( ) maka kesalahan pendekatan rata-rata untuk
menggunakan pendekatan rata-rata galat untuk derajat polinomial
daripada derajat polinomial dibatasi oleh
( )
∑| ( )( ) ( )( )|
( ) (2.39)
Bukti:
Karena ( ) karena normalisasi, ( )( ) ∑ ( ) dengan
menggunakan teorema 3. ( )( ) ∑ ( ) dengan
menggunakan teorema 3. Karena ( ) ∑ ( ) Sehingga
persamaan 2.35 dapat ditulis dengan
( )
( ) ( )
Teorema 2.5 mengarahkan ke kriteria yang berguna untuk menentukan
derajat polinomial regresi. Jika koefisien utama dalam regresi polinomial
derajat keluar menjadi orde 1 dan dengan meningkatkan derajat ,
jika koefisien utama menjadi jauh lebih kecil dari 1, maka tidak ada
gunanya menggunakan rumus regresi yang lebih rumit. Karenanya, proses
pemodelan dapat berhenti pada derajat .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Setelah menjabarkan lima teorema di atas, berikut akan diberikan beberapa
contoh untuk memahami penggunaan teorema.
Contoh 2.4 Pemilihan Derajat Polinomial
Data
1
, -
, -
det( ( )) ∑ ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
1 6.8571 0.1382
0.8660 1.0042 0.0184
2 0.4798
0.1292
0.9288
-0.0628
0.9953 0.0188 -0.0004
Tabel 2.1
Dari tabel 2.1 dapat dilihat bahwa untuk derajat determinan
tidak nol sehingga matriks ( ) tidak singular, koefisiennya semua positif
dan tidak lebih besar dari ( ) (Teorema 2.1), koefisien derajat tertinggi
adalah derajat 1 (Teorema 2.5), jumlah koefisien dekat dengan 1 (Teorema
2.3), dan galat kecil (Teorema 2.4). Selanjutnya perhatikan untuk derajat
. Koefisien menjadi kecil. Ini menunjukkan bahwa
tidak perlu menggunakan polinomial derajat (Teorema 2.5). Selain
itu galatnya juga meningkat dibandingkan dengan yang derajat 1. Dapat
dilihat juga untuk selisih antara standar error derajat 1 dengan derajat 2
hasilnya negatif. Hal tersebut menunjukkan bahwa proses perhitungan
harus berhenti pada tahap tersebut dan menggunakan analisis regresi tahap
sebelumnya yaitu polinomial dengan derajat .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Contoh 2.5 Pemilihan Derajat Polinomial
Data
2
, -
, -
det( ( )) ∑ ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
1 6.8571 -0.1429
1 0.8571 0.1148
2 0.4798
0.0068
-0.0476
1.0476
1.0068 0.0216 0.0932
3 0.0024
0.0025
0.0317
0.8355
0.1414
1.0111 0.0237 -0.0020
Tabel 2.2
Dari tabel 2.2 untuk derajat dapat dilihat bahwa koefisien
dari suku derajat tertinggi relative besar dibandingkan dengan koefisien
yang lain, jumlah dari koefisiennya sekitar 1, galat untuk derajat 2 lebih
kecil dibandingkan dengan galat derajat 1 (Teorema 2.4), koefisien
(Teorema 2.5). Namun demikian untuk derajat 3,
jumlah koefisiennya mulai menyimpang dari 1 (Teorema 2.3), standar
errornya meningkat jika dibandingkan dengan sebelumnya, hasil selisih
standar error negatif, dan determinannya hampir nol, sehingga matriks
( ) merupakan matriks singular. Dengan demikian, berarti perhitungan
harus berhenti pada tahap tersebut dan yang dipilih sebagai derajat optimal
adalah derajat sebelumnya, yaitu
Perhatikan bahwa, jika pola data tersebut tepat berupa parabola,
Sebaliknya jika koefisien nilainya kecil, maka tidak ada gunanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
menggunakan representasi yang lebih kompleks. Representasi yang lebih
tinggi dapat menurunkan standar error tetapi dapat menyebabkan
fenomena yang disebut dengan goyangan polinomial (polinomial
wiggling) yang menimbulkan keraguan tentang ketepatan data antara yang
hilang.
Contoh 2.6 Pemilihan Derajat Polinomial
Data
3
, -
, -
det( ( )) ∑ ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
1 6.8571 0.1629
0.8902 1.0530 0.0967
2 0.4798
0.0587
1.6193
-0.7292
0.9489 0.0615 0.0352
3 0.0024
0.0069
2.5694
-3.2686
1.6930
1.0007 0.0333 0.0282
4 7.6071e-07
0.0002
2.8906
-4.9333
4.3800
-1.3435
0.9940 0.0359 -0.0026
Tabel 2.3
Dari tabel 2.3 untuk derajat 4 determinanya mendekati nol, sehingga
matriks ( ) mendekati singular, koefisien derajat tinggi kecil (Teorema
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
2.5), jumlah dari koefisiennya mulai menurun dari 1 (Teorema 2.3),
galatya lebih besar jika dibandingkan dengan galat untuk derajat 3, dan
selisih galatnya negatif. Perlu diingat bahwa data asli belum tentu bentuk
polinomial, koefisien derajat tinggi pada saat tidak kecil, tetapi pada
tahap ini, ada satu koefisien derajat tinggi yang berlawanan tanda
(Teorema 2.2), yang berarti perhitungan harus berhenti pada tahap tersebut
dan yang dipilih sebagai derajat optimal adalah derajat sebelumnya, yaitu
.
Contoh 2.7 Penerapan Regresi Polinomial
Asumsikan peneliti telah mengumpulkan data sebanyak 15 berisi
pengukuran hasil panen dari percobaan yang dilakukan pada lima tingkat
suhu yang berbeda. Variabelnya adalah hasil dan suhu dalam
derajat Fahrenheit. Temukan model dengan menggunakan regresi
polinomial dengan derajat optimal. Berikut diberikan tabel data:
Suhu ( ) Hasil ( )
1 50 3.3
2 50 2.8
3 50 2.9
4 70 2.3
5 70 2.6
6 70 2.1
7 80 2.5
8 80 2.9
9 80 2.4
10 90 3.0
11 90 3.1
12 90 2.8
13 100 3.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
14 100 3.5
15 100 3.0
(Sumber data: Kumar, K. N. R. (2020). Econometrics. Sri Lanka: CRC
Press. Halaman 365)
Jawab:
Untuk mencari derajat optimal akan digunakan bantuan perangkat lunak R
yang listing programnya berada pada lampiran 7. Sehingga didapat hasil
sebagai berikut
det( ( )) ∑ ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
1 6.600 0.6589
0.1931 0.8519 0.1118
2 0.073
2.2744
-4.3918
3.0731
0.9558 0.0698 0.0419
3 8.655e-06
6.0147
-20.4082
25.0449
-9.7185
0.9329 0.0656 0.0042
4 0
Tabel 2.4
Dari tabel 2.4 dapat dilihat bahwa meskipun standar error derajat 3 lebih
kecil dibandingkan dengan derajat 2, namun determinannya lebih
mendekati nol, lalu ada koefisien besar yang berlawanan tanda, dan jumlah
koefisiennya mulai menyimpang. Dengan demikian kita dapat berhenti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
pada proses perhitungan derajat 3. Jadi, derajat yang optimal adalah
derajat 2. Berikut akan dilakukan perhitungan regresi polinomial dengan
derajat dua.
( ) [
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
] [
]
( )
[ ∑
∑
∑ ]
[
]
( ) ( ))
[
]
Jadi, didapat tiga koefisien, yaitu , ,
dan . Dari koefisien tersebut dapat dibentuk suatu model
sebagai berikut
( )
Dengan menggunakan teori pada regresi berganda, dapat dibentuk selang
kepercayaan ( ) bagi ( ), yaitu
⁄ √
( )
√
( )
Sebagai contoh, untuk , maka sehingga
, -
Selang kepercayaan 95% bagi ( ) adalah
, - [
] ( )( )( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Sehingga batas bawahnya adalah 2.5273 dan batas atasnya adalah 2.9928.
Proses pendugaan model di atas dilakukan secara ringkas dilakukan
melalui tahapan berikut:
1. Menghitung ∑ ∑ ∑
∑
∑ ∑ dan ∑
2. Membentuk matriks ( ) dan membentuk matriks ( )
3. Mencari invers dari matriks ( )
4. Menghitung dengan cara mengalikan hasil invers matriks ( )
dan matriks ( )
5. Mendapatkan hasil dan membentuk persamaan
6. Menghitung selang kepercayaan bagi ( )
Sebagai kesimpulan, untuk menentukan derajat polinomial yang optimal,
langkah-langkahnya dapat dituliskan sebagai berikut:
1. Dimulai dari hubungan linier dengan dan naikkan satu pada
setiap langkah.
2. Hitung determinan, koefisien, jumlah koefisien, standar error regresi,
dan selisih standar error (untuk ).
3. Periksa singularitas determinan, koefisien derajat tertinggi, koefisien
yang tersisa, jumlah koefisien, standar error regresi, dan selisih
standar error.
4. Berhenti di jika koefisien derajat tertinggi ternyata kecil, dan atau
selisih standar error negatif, dan gunakan sebagai derajat yang
ideal.
5. Berhenti di jika determinan mendekati nol, sehingga matriks
menjadi singular, ada koefisien besar yang berlawanan tanda, jumlah
koefisien mulai menyimpang dari nilai ideal, atau standar error kecil.
Dapat gunakan sebagai derajat yang ideal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
F. Ukuran Kebaikan Model
Dalam regresi, tujuan yang utama adalah menemukan model yang
terbaik untuk melakukan peramalan. Salah satunya adalah dengan
menggunakan Mean Squared Error (MSE). Konsep dari MSE adalah
mengkuadratkan masing-masing galat. Kemudian dijumlahkan dan dibagi
dengan banyak observasi. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
∑( )
G. Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi juga termasuk dalam kriteria untuk melihat
apakah model regresi yang di dapat adalah model yang terbaik. Koefisien
determinasi biasanya digunakan untuk melihat model linier. Koefisien
determinasi juga biasa dikenal dengan R-Square, . Nilai dari koefisien
determinasi adalah . Apabila koefisien determinasi bernilai ,
maka dapat disimpulkan bahwa tidak ada hubungan antara variabel dan
variabel .
Apabila koefisien determinasi bernilai , maka dapat disimpulkan
bahwa terdapat hubungan yang sangat kuat (sempurna) antara variabel
dan variabel . Apabila koefisien determinasi bernilai di antaranya, maka
dapat disimpulkan bahwa ada sekian persen variasi variabel dapat
dijelaskan oleh variabel . Secara umum dapat disimpulkan bahwa
semakin besar nilai , maka semakin baik model yang didapatkan.
Definisi 2.3
Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut:
∑ ( )
∑ ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Nilai tidak pernah negatif dan batasnya adalah .
Dalam notasi matriks nilai adalah
Contoh 2.8 Penerapan Koefisien Determinasi dan MSE
Dengan menggunakan data pada contoh 2.7 akan dicari nilai
( ) ( )
3.3 2.96 0.3400 0.1156
2.8 2.96 -0.1600 0.0256
2.9 2.96 -0.0600 0.0036
2.3 2.47 -0.1700 0.0289
2.6 2.47 0.1300 0.0169
2.1 2.47 -0.3700 0.1369
2.5 2.54 -0.0400 0.0016
2.9 2.54 0.3600 0.1296
2.4 2.54 -0.1400 0.0196
3 2.84 0.1600 0.0256
3.1 2.84 0.2600 0.0676
2.8 2.84 -0.0400 0.0016
3.3 3.35 -0.0500 0.0025
3.5 2.35 1.1500 1.3225
3 2.35 0.6500 0.4225
dengan maka diperoleh
∑ ( )
∑ ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
∑( )
Sehingga didapat nilai yang berarti variasi variabel
dapat dijelaskan oleh variabel dan MSE nya adalah
⁄ √
( )∑( )
⁄ √
∑( )
⁄ √
⁄
Selang kepercayaan 95% bagi adalah
⁄ √
( )
( ) ( )( )
Berikut akan diberikan grafik antara data, model, dan selang kepercayaan
bagi dengan bantuan perangkat lunak R yang listing program di
lampiran 8 dan lampiran 9.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Titik-titik hitam adalaham data yang diamati, garis berwarna biru adalah
gasir regresi, dan pita abu-abu merupakan selang kepercayaan 95% bagi
dengan bagian atas garis regresi adalah batas atas dan bagian bawah adalah
batas bawah atas dugaan hasil untuk setiap nilai suhu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB III
METODE NADARAYA-WATSON
Pada bab ini, yang ingin dicapai ada dua hal. Yang pertama adalah
mengenalkan metode pemulusan nonparametrik yang berguna untuk
mengestimasi fungsi regresi dan yang kedua adalah menunjukkan
beberapa masalah mendasar yang muncul pada saat menerapkan metode
tersebut. Pemulusan yang dimaksud adalah menghilangkan atau
mengurangi keteracakan data. Tujuan dari pemulusan adalah untuk
menghapus variabilitas data yang tidak memiliki pengaruh dan untuk
membuat pola sistematis dari data menjadi lebih jelas. Pemulusan
digunakan dalam berbagai metode nonparametrik yang digunakan untuk
mengestimasi fungsi.
Dalam analisis data, kita belajar bagaimana variabel merespon
perubahan dalam variabel . Data diamati pada titik ,
secara berurutan. Data tersebut dapat ditulis dalam bentuk model
( ) (3.1)
dengan adalah fungsi yang berada dalam interval tertutup , - dan
merupakan variabel random yang tidak teramati yang dapat kita
sebut dengan galat. Asumsikan galat tersebut saling bebas atau tidak
berkorelasi dan ( ) dan ( ) . Hasil akhir
yang ingin dituju adalah menyimpulkan fungsi regresi pada setiap
dalam interval tertutup , -.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
A. Analisis Regresi Nonparametrik
Pada tahun 1942, Wolfowitz pertama kali mengenalkan istilah
nonparametrik. Menurut Eubank (1999), regresi nonparametrik tidak
membutuhkan asumsi sebelumnya mengenai bentuk kurva regresi ataupun
distribusi galat. Akibatnya regresi nonparametrik bersifat lebih fleksibel
terhadap perubahan pola data. Regresi ini sangat fleksibel dan
menghasilkan pola yang mendekati data asli. Dikatakan mendekati asli
karena melibatkan penggunaan fungsi kernel dan jendela (bandwidth)
dalam pendugaannya. Menurut Hardle (1990), regresi nonparametrik
adalah pendugaan model yang dilakukan berdasarkan pendekatan yang
tidak terikat asumsi bentuk kurva regresi tertentu. Secara umum regresi
nonparametrik merupakan suatu metode regresi untuk mengetahui pola
hubungan antara variabel bebas ( ) dengan variabel terikat .
Secara umum, model regresi nonparametrik sangat sederhana dan
mudah untuk diingat.
( ) (3.2)
Dengan ( ) adalah fungsi regresi nonparametrik yang akan diduga
dengan penduga Nadaraya-Watson dan adalah galat regresi yang tidak
bergantung dengan variabel dan memenuhi beberapa syarat seperti:
( )
( )
( )
Regresi nonparametrik yang hanya memiliki satu variabel bebas disebut
dengan regresi nonparametrik sederhana. Regresi nonparametrik tersebut
dimodelkan sebagai berikut
( ) (3.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Regresi nonparametrik sederhana sering juga disebut dengan pemulusan
diagram pencar (scatterplot smoothing).
B. Gagasan Tentang Pemulusan
Pemulusan dari suatu himpunan data *( )+ memerlukan
pendekatan dari rata-rata kurva dalam hubungannya dengan model
regresi
( ) (3.4)
Fungsi (3.4) dapat berupa kurva regresi itu sendiri, turunan tertentu atau
fungsi turunan seperti titik ekstrim. Pengumpulan data dapat dilakukan
dengan berbagai cara. Jika terdapat pengamatan berulang pada titik
pendugaan ( ) dapat dilakukan hanya dengan menggunakan rata-rata
dari nilai yang sesuai. Di sebagian besar studi mengenai model regresi
pada persamaan (3.4), hanya ada satu variabel respon dan variabel
prediktor tunggal yang menjadi vektor dalam .
Menurut Hardle (1994) dalam suatu studi yang sederhana meskipun
tidak mungkin bahwa kurva regresi konstan. Dengan mengasumsikan
kurva yang dimodelkan sebagai fungsi kontinu yang mulus dari struktur
tertentu yang hampir konstan di sekitar . Menilai dari scatterplot dua
dimensi apakah kurva regresi konstan secara lokal adalah hal yang sulit.
Sehingga sulit untuk memutuskan hanya dengan melihat kumpulan data ini
apakah fungsi regresi adalah fungsi yang mulus. Namun, terkadang
inspeksi data secara grafis sangat membantu. Melihat histogram dua
dimensi atau peningkatan grafis serupa dapat memberikan dukungan untuk
asumsi kemulusan. Untuk himpunan data yang besar, lompatan kecil
dalam dapat terjadi dan kurva regresi yang halus kemudian hanya
merupakan pendekatan terhadap kurva yang sebenarnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Gambar 3.1
Pada Gambar 3.3, sebaran kumpulan data pengeluaran untuk
konsumsi makanan ( ) dan pendapatan bersih ( ) ditunjukkan. Plot
sebaran seluruh data ini tampak tidak jelas, terutama di sudut kiri bawah.
Untuk ilustrasi di atas, plot konsumsi makanan versus pendapatan bersih
terlihat halus di mata kita. Data terlihat lebih terkonsentrasi dalam
gerombolan yang halus. Gerombolan ini tidak memiliki lompatan nyata
atau fluktuasi lokal yang cepat. Oleh karena itu, perkiraan yang wajar
untuk kurva regresi ( ) akan menjadi titik representatif yang dekat
dengan pusat dari kumpulan variabel respons ini. Rata-rata dari variabel
respons di dekat titik merupakan pilihan yang cukup alami. Rata-rata
lokal ini harus dibuat dengan baik sehingga hanya ditentukan dari
pengamatan di lingkungan kecil di sekitar . Apabila dilakukan suatu
pengamatan yang jauh dari titik maka secara umum akan memiliki nilai
rata-rata yang berbeda. Prosedur rata-rata lokal ini dapat dilihat sebagai ide
dasar pemulusan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Definisi 3.1
Secara lebih formal penduga model regresi dengan prosedur ini dapat
didefinisikan sebagai
( )
∑ ( )
(3.5)
dengan *( ( ))+ adalah barisan bobot yang bergantung pada seluruh
vektor * + .
Setiap metode pemulusan yang akan dijelaskan di sini adalah
bentuk asimtotik dari (3.5). Penduga regresi ( ) sering disebut pemulus
dan hasil dari prosedur pemulusan disebut mulus (Tukey, 1977). Hasil dari
pemulusan adalah suatu fungsi linier. Pada gambar 3.4 fungsi linier
ditunjukkan dengan garis berwarna hitam.
Gambar 3.2 Hasil pemulusan
C. Rata-Rata Lokal
Rata-rata lokal adalah metode nonparametrik yang paling
sederhana dan yang paling jelas untuk mengestimasi fungsi regresi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Misalnya kita ingin menduga nilai fungsi ( ) untuk , -. Jika
kontinu, maka nilai-nilai fungsi pada yang dekat dengan harus cukup
dekat dengan ( ). Hal ini menunjukkan bahwa merata-rata nilai yang
bersesuaian dengan yang dekat dengan akan menghasilkan pendugaan
di sekitar ( ) yang tidak bias. Rata-rata memiliki efek yang baik, yaitu
mengurangi variabilitas yang timbul dari galat. Perlu dipahami bahwa
( ) adalah nilai fungsi yang sebenarnya dan merupakan penduga dari
( ) dengan besar galat yang akan diberikan.
Contoh 3.1
Berikut ini diberikan contoh 50 data acak yang dibangkitkan dengan
( ) ( ( ) ) dan ( )
dan
saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi
( ) , yang ditulis ( ( ) ). Grafik hasil simulasi dengan
perangkat lunak R yang listing programnya dilampirkan adalah sebagai
berikut
Gambar 3.3 plot dari 50 data
Gambar 3.3 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menghitung .
2. Mensubtitusi ke fungsi ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
3. Menghitung error dengan rumus norminv(rand(),0,0.125). Yang
dimaksud adalah membangkitkan data error secara acak yang
berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan standar deviasi
sebesar 0.125.
4. Menghitung dengan menjumlahkan fungsi ( ) dan error.
5. Melakukan ploting data.
Berdasarkan data tersebut, akan dilakukan pendugaan fungsi ( ).
Proses pendugaan dilakukan dengan langkah-langkah berikut. Untuk
setiap terdapat interval tertutup , -, di mana h adalah
bilangan positif terkecil. Bayangkan bahwa interval tersebut merupakan
suatu jendela yang terbentuk dengan menggunakan dua garis yang sejajar
dengan sumbu dan mengenai sumbu pada dan . Jendela
merupakan bagian dari bidang ( ) yang terletak di antara dua garis
tersebut. Selanjutnya perhatikan pasangan ( ) yang terletak di dalam
jendela, dan rata-rata semua data tersebut. Hasil dari rata-rata tersebut
adalah pendugaan nilai fungsi ( ). Jendela dapat dipindah ke kiri atau ke
kanan untuk menghitung pendugaan di sembarang titik. Hasil pendugaan
biasanya disebut dengan pendugaan jendela atau rata-rata bergerak.
Berdasarkan contoh 3.1, berikut akan diterapkan metode rata-rata
lokal untuk mengestimasi ( ), yang langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Menentukan besarnya , yaitu 0.1.
2. Menentukan titik untuk menghitung estimasi, yaitu
dan .
3. Membuat interval tertutup. Untuk interval tertutupnya
diperoleh dengan mengurangkan dan menambahkan pada
untuk memperoleh batas-batas interval , - dan untuk
interval tertutupnya adalah , -.
4. Menggambar interval tertutup.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
5. Menghitung estimasi pada sembarang titik . Didapat pada titik
estimasinya ( ) ( ( ( ) ) )
dan pada titik estimasinya ( ) ( ( ( )
) ) .
Hasil simulasinya sebagai berikut. Listing program dapat dilihat pada
lampiran 1.
Gambar 3.4 Rata-Rata Lokal
Dari gambar 3.4 kita tahu bahwa titik-titik berwarna merah merupakan
hasil pendugaan rata-rata dari setiap interval. Garis putus-putus merupakan
batas interval dengan sebesar 0.1. Jika titik-titik merah dihubungkan,
akan menghasilkan kurva yang merupakan penduga bagi pola sebaran
data.
D. Sejarah Kernel
Kata kernel sendiri berasal dari Bahasa Inggris Kuno dan Bahasa
Proto-Jerman yang merujuk pada sebuah benih, atau ke inti, pusat atau
esensi dari suatu objek. Kesamaan linguistik antara "kern" Jerman dan
"kernel" tampaknya disebabkan oleh derivasi historis yang serupa. Kata
"kernel" diduga berasal dari kata Proto-Jermanik, yaitu "kurną" atau
jagung yang direkrontuksi. Jadi, berdasarkan sejarah ini, tampaknya secara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
etimologis, kata "kernel" mengacu pada benih, inti atau esensi, dan
didasarkan pada Anglicisation dari kata Jerman kuno untuk jagung.
Menurut Fredholm, pada tahun 1903 kernel dalam Bahasa Perancis
dikenal dengan kata “noyau” yang berarti inti. Lalu David Hilbert pada
tahun 1904 mengadopsi istilah tersebut dan menulisnya dalam Bahasa
Jerman, yaitu "kern" yang berarti inti. Istilah-istilah tersebut digunakan
dalam konteks penulisan tentang persamaan integral dalam analisis
fungsional. Lalu pada tahun 1909, Bôcher menulis dalam Bahasa Inggris,
yaitu "kernel" yang digunakan untuk merujuk ke objek yang sama. Istilah
ini kemudian menyebar dalam literatur berbahasa Inggris tentang analisis
fungsional, analisis Fourier, dan kemudian probabilitas dan statistik.
E. Pemulus Kernel
Rata-rata yang lebih kompleks dari rata-rata lokal adalah penduga
kernel atau biasa kita kenal dengan pemulus kernel. Rata-rata sederhana
yang sebelumnya telah dibahas selanjutnya akan diganti dengan jumlah
bobot, yaitu ( ) . Bobot yang besar diberikan untuk
pada yang lebih dekat dengan titik pendugaan . Penduga kernel ada
tiga macam, yaitu penduga Nadaraya-Watson, penduga Gasser-Muller, dan
penduga Priestley-Chao. Pada tugas akhir ini pembahasan dibatasi hanya
pada penduga Nadaraya-Watson.
Definisi 3.2
Penduga Nadaraya-Watson didefinisikan sebagai berikut
( )
∑ .
/
∑ .
/
(3.6)
dengan adalah fungsi yang disebut kernel, adalah bandwidth (jendela)
atau parameter pemulusan dan sebagai pengontrol kemulusan dari
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Apabila data yang didapat berasal dari fungsi kepadatan peluang
gabungan ( ) dan model regresi seperti persamaan (3.2). Penurunan
estimator ( ) dari kepadatan peluang gabungan ( ) dapat ditulis
sebagai berikut:
( ) ( | )
( ) ∫ ( | )
( ) ∫ ( )
∫ ( )
Apabila diketahui bahwa
( )
∑ (
) 4
5
Maka, didapat
∫ ( )
∫ ∑ (
) 4
5
Dan
∫ ∑ 4
5
Sehingga dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:
∫ ( )
∑ (
)
Dengan dan adalah sebuah bilangan positif yang disebut dengan
jendela. Selanjutnya untuk bagian penyebut, dapat ditulis seperti berikut:
∫ ( )
∫∑ (
) 4
5
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
merupakan bentuk fungsi kernel yang kontinu dan apabila
diintegralkan sama dengan 1.
∫ 4
5
Sehingga persamaan (3.7) dapat ditulis sebagai berikut:
∫ ( )
∑ (
)
( )
Sehingga
( ) ∫ ( )
∫ ( )
∑ .
/
∑ .
/
( ) ∑ .
/
∑ .
/
( ) ∑ ( )
Dengan
( ) .
/
∑ .
/
Dengan
( ) .
/
∑ .
/
Rata-rata lokal yang sebelumnya dibahas merupakan kasus khusus
dari (3.6). Dikatakan kasus khusus karena pada rata-rata lokal nilai tidak
terbatas pada interval , -. Pernyataan pada kalimat sebelumnya sama
halnya pada saat kita membahas mengenai rata-rata lokal, yaitu lebar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
jendela sebagai pengontrol kemulusan rata-rata bergerak. Ilustrasi pada
gambar 3.5 hingga 3.7 merupakan kasus khusus dari persamaan (3.6)
dengan (kernel persegi), dengan
( )
( )( )
dan adalah fungsi indikator dari himpunan A, yaitu
( ) 2
.
Contoh 3.2 Penggunaan Pemulus Kernel Persegi
Berikut adalah ilustrasi penggunaan persamaan (3.2) dengan menggunakan
kernel persegi yang mengacu pada contoh 3.1 dengan nilai yang
bervariasi, yaitu .
Gambar 3.5 grafik dengan lebar jendela sebesar 0.188
Gambar 3.5 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mendefinisikan atau membuat fungsi-fungsi yang diperlukan.
2. Memunculkan plot dari data.
3. Mendefinisikan batas sumbu xj.
4. Memasukkan fungsi ( ).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
5. Membuat garis regresi dengan penduga Nadaraya-Watson
dengan jendela sebesar 0.188 dan fungsi kernel persegi.
6. Membuat legenda atau keterangan gambar.
Listing program R untuk gambar 3.5 terdapat pada lampiran 12.
Gambar 3.6 grafik dengan lebar jendela sebesar 0.042
Gambar 3.6 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah mendapatkan
gambar 3.5 dengan mengubah Listing program R untuk gambar 3.6
terdapat pada lampiran 13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 3.7 grafik dengan lebar jendela sebesar 0.02
Gambar 3.7 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah mendapatkan
gambar 3.5 dengan mengubah Listing program R untuk gambar 3.7
terdapat pada lampiran 14.
Dari ketiga jendela di atas dan setelah di hitung Mean Squared Error nya
yang dapat dilihat pada bagian lampiran, didapat hasil sebagai berikut:
MSE
0.02 0.007
0.042 0.01
0.188 0.0440
Tabel 3.1
Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar h maka errornya semakin
besar. Artinya ada perbedaan yang signifikan antara data asli dengan
pendugaan. Jadi berdasarkan hasil Mean Squared Error model yang
terbaik adalah model dengan jendela .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Contoh 3.3 Penggunaan Pemulus Kernel Gauss
Berikut ini dicontohkan penggunaan kernel Gauss.
( )
√ 4
5
Dengan mengacu pada contoh 3.1. berikut akan diilustrasikan
menggunakan estimasi Nadaraya-Watson dengan menggunakan kernel
Gauss dan besar jendela yang bervariasi. yaitu 0.0135. 0.051. dan 0.2.
Gambar 3.8 dengan jendela 0.2
Gambar 3.8 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mendefinisikan atau membuat fungsi-fungsi yang diperlukan.
2. Memunculkan plot dari data.
3. Mendefinisikan batas sumbu xj.
4. Memasukan fungsi ( ).
5. Membuat garis regresi dengan penduga Nadaraya-Watson
dengan jendela sebesar 0.2 dan fungsi kernel Gauss.
6. Membuat legenda atau keterangan gambar.
Listing program R untuk gambar 3.8 terdapat pada lampiran 15.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Persamaan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-
Watson dari gambar 3.8 secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
( )
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
Gambar 3.9 dengan jendela sebesar 0.051
Gambar 3.9 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah mendapatkan
gambar 3.8 dengan mengubah Listing program R untuk gambar 3.9
terdapat pada lampiran 16. Persamaan regresi nonparametrik kernel
dengan penduga Nadaraya-Watson dari gambar 3.9 secara matematis dapat
ditulis sebagai berikut:
( )
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 3.10 dengan jendela 0.0135
Gambar 3.10 didapat dengan langkah-langkah seperti langkah
mendapatkan gambar 3.8 dengan mengubah Listing program R untuk
gambar 3.10 terdapat pada lampiran 17. Persamaan regresi nonparametrik
kernel dengan penduga Nadaraya-Watson dari gambar 3.10 secara
matematis dapat ditulis sebagai berikut:
( )
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
Dari ketiga jendela di atas dan setelah di hitung Mean Squared Error nya
yang dapat dilihat pada bagian lampiran. didapat hasil sebagai berikut:
MSE
0.0135 0.005
0.051 0.01093
0.2 0.04891
Tabel 3.2
Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka errornya semakin
besar. Artinya ada perbedaan yang signifikan antara data asli dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
pendugaan. Jadi model yang terbaik berdasarkan hasil dari Mean Squared
Error adalah model dengan jendela .
F. Fungsi Kernel
Fungsi kernel merupakan bagian yang harus diperhatikan dalam
proses pendugaan. Menurut Rosenblatt memberi bobot pada setiap
pengamatan, dengan memilih fungsi sehingga pengamatan yang lebih
dekat ke akan memberi sumbangan yang lebih besar terhadap ( )
Fungsi ini merupakan fungsi pembobot yang dinamakan fungsi kernel
(Hardle,1994). Bentuk bobot kernel ditentukan oleh fungsi kernel
sedangkan ukuran bobotnya ditentukan oleh parameter pemulus yang
disebut bandwidth. Umumnya. fungsi kernel dengan bandwidth dapat
dinyatakan sebagai berikut
( )
.
/ di mana
Selain itu. fungsi kernel juga harus memenuhi beberapa sifat. yaitu:
( ) , untuk semua
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
Fungsi kernel ada bermacam-macam jenisnya. Fungsi kernel yang
umumnya sering digunakan adalah fungsi kernel Gauss. Berikut akan
ditunjukkan dalam bentuk tabel jenis-jenis fungsi kernel dan bentuk fungsi
kernel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Seragam (Uniform) ( )
( )( )
Segitiga (Triangle) ( ) ( | |) ( )( )
Epanechnikov ( )
( ) ( )( )
Kuadratik (Quadratic) ( )
( ) ( )( )
Triweight ( )
( ) ( )( )
Gauss (Normal) ( )
√ 4
( )5 ( )( )
Cosinus ( )
.
/ ( )( )
dengan adalah fungsi indikator.
Namun perlu diketahui bahwa menurut (Hardle,1990) pemilihan
fungsi kernel tidaklah begitu penting. Hal tersebut dikarenakan dengan
menggunakan bandwidth yang optimal pada fungsi kernel yang berbeda,
hasil estimasi kurva regresinya hampir sama. Sehingga bagian yang paling
penting untuk pemulusan adalah pemilihan parameter penghalus atau
bandwidth.
G. Pemilihan Jendela Dengan Metode Validasi Silang (Cross
Validation)
Masalah utama dalam pemulus kernel bukan pada pemilihan fungsi
kernel, melainkan pada pemilihan jendela. Jendela (h) adalah parameter
pemulus (smoothing) yang berfungsi untuk mengontrol kemulusan dari
kurva yang diestimasi. Jendela yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
yang under-smoothing yang berarti sangat kasar dan sangat fluktuatif. dan
jendela yang terlalu besar akan menghasilkan kurva yang over-smoothing
yang berarti sangat mulus, tetapi tidak sesuai dengan pola data (Hardle,
1994). Under-smoothing dan over-smoothing berbeda dengan under-fitting
dan over-fitting. Under-fitting berarti model yang dihasilkan tidak dapat
menangkap trend atau pola pada data. Sedangkan over-fitting berarti model
yang dihasilkan merupakan model yang paling baik untuk data latihan.
Namun, apabila model digunakan dengan data yang lain, hasilnya tidak
cukup baik. Salah satu cara untuk mendapatkan jendela yang optimal
adalah dengan menggunakan validasi silang.
Ide dasar dari validasi silang adalah seseorang membangun suatu
model dari satu bagian data kemudian menggunakan model tersebut untuk
memprediksi sisa data. Untuk suatu model yang diketahui dapat dihitung
galat prediksi rata-rata untuk semua data yang diprediksi. Di antara model-
model yang ada, model yang terbaik adalah model yang meminimalkan
kesalahan prediksi rata-rata. Untuk data yang muncul pada persamaan
(3.1), pertimbangkan penduga generik dari yang dilambangkan dengan
( ), adalah parameter penghalusan. Bentuk validasi silang yang
paling sering digunakan dalam regresi adalah “Leave-One-Out”. Misalkan
( ) adalah penduga regresi dengan tipe yang sama dengan ( )
kecuali ia dihitung tanpa nilai data pada ( ).
Inti dari validasi silang adalah membagi data yang sudah ada
menjadi beberapa sub himpunan. Dari sub himpunan yang telah
terbentuk, sub himpunan yang ada digunakan untuk membentuk
model dan satu sub himpunan lainnya digunakan untuk menguji model
yang telah didapatkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Definisi 3.3
Parameter penghalus validasi silang adalah nilai yang meminimumkan
( ).
( )
∑( ( ))
Contoh 3.4
Berikut akan diberikan contoh sembarang fungsi ( ) dan
akan dicari nilai yang meminimumkan dengan cara manual.
( )
∑( ( ))
( )
∑(
( ) ( ) )
( )
∑(
)
Lalu, untuk mendapatkan nilai kita perlu menurunkan fungsi
untuk mencari titik kritis.
∑(
)
∑
∑
∑
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Berikut akan dicoba penerapan rumus pada suatu data secara acak.
6 9 3 8 7 5 8 10
30 49 18 42 39 25 41 52
Dari tabel 3.3 di atas didapat nilai sebesar 23 dengan ∑ dan
∑ .
Contoh 3.4 merupakan contoh yang sederhana untuk mendapatkan nilai .
Namun, apabila fungsinya rumit kita dapat menggunakan metode yang
telah kita pelajari pada perkuliahan metode numeris. Sebagai contoh, kita
dapat mendapatkan nilai dengan menggunakan metode secant, metode
biseksi, metode Newton Raphson, dan masih banyak lagi. Pada tugas akhir
ini metode-metode tersebut tidak dibahas dan proses menemukan untuk
fungsi-fungsi yang lebih kompleks diperoleh dengan bantuan perangkat
lunak R.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Contoh 3.5
Berdasarkan contoh 3.1 akan diterapkan validasi silang untuk mencari
jendela yang optimum sehingga didapat
Gambar 3.11 hasil jendela yang optimum dengan validasi silang.
Gambar 3.11 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menginput data.
2. Membuat fungsi-fungsi yang diperlukan untuk perhitungan.
seperti cvNW. bw.cv.grid. dll yang nantinya akan diberikan pada
lampiran.
3. Menghitung jendela.
Pada gambar 3.11 ditunjukkan suatu grafik yang menghasilkan besar
jendela yang optimal. Jendela yang optimal tersebut ditunjukkan pada titik
pada sumbu horizontal yang merupakan perpotongan dengan garis vertikal
berwarna merah, yaitu . Listing program R untuk gambar 3.11
terdapat pada lampiran 18.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Gambar 3.12 plot dengan kernel Gauss dan
Gambar 3.12 didapat dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mendefinisikan atau membuat fungsi-fungsi yang diperlukan.
2. Memunculkan plot dari data.
3. Mendefinisikan batas sumbu xj.
4. Memasukan fungsi ( ).
5. Membuat kurva regresi dengan penduga Nadaraya-Watson
dengan jendela sebesar 0.04938776 dan fungsi kernel Gauss.
6. Membuat legenda atau keterangan gambar.
Listing program R untuk gambar 3.12 terdapat pada lampiran 19.
Persamaan regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-
Watson dari gambar 3.12 secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
( )
∑
√ 4
( .
/
)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
Sebagaimana dalam model regresi polinomial, diperlukan nilai standar
error bagi model untuk mengetahui seberapa baik model yang dihasilkan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Menurut Wand and Jones (1995) standar error dari ( ) adalah sebagai
berikut:
( ) √
( )
Untuk kernel Gauss,
√
Dengan
( )
∑ .
/
∑( ( ))
Sehingga selang kepercayaan bagi ( ) bagi ( ) adalah
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Untuk gambar 3.12 didapat selang kepercayaan sebagai berikut:
( ) ( )
( ) √
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
BAB IV
PENERAPAN MODEL REGRESI POLINOMIAL DAN MODEL REGRESI
KERNEL NADARAYA WATSON UNTUK HARGA EMAS
Pada bab ini akan dibahas metode dan tahap-tahap memodelkan
data harga beli satu gram emas sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga
tanggal 23 Maret 2020. Data tersebut akan dimodelkan dengan
menggunakan metode regesi polinomial dan metode regresi nonparametrik
kernel, serta penggunaan cross validation sebagai metode untuk
menemukan jendela yang optimal.
A. Sumber Data
Data yang digunakan dalam studi kasus ini diambil dari
https://monexnews.com/harga-emas.htm?searchdatefrom=01-01
2019&searchdateto=01-11-2019 yang bersumber dari website
Logammulia.com.
B. Variabel Penelitian dan Langkah-Langkah
Data yang digunakan pada studi kasus ini adalah data tentang harga
beli mas fisik per gram sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga 23 Maret
2020. Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah harga beli 1
gram emas menurut tanggal. Variabel penjelas ( ) yang di gunakan adalah
waktu sedangkan variabel respon ( ) adalah harga beli 1 gram emas.
Variabel waktu ( ) bernilai yang merupakan indeks waktu
diskrit bagi tanggal-tanggal pengamatan harga emas harian.
Langkah-langkah analisis yang akan dilakukan dalam penelitian ini
adalah sebagai berikut:
1. Membuat scatterplot antara hari (x) dan harga emas 1 gram (y)
untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
2. Memodelkan harga emas 1 gram dengan model regresi
polinomial
3. Menentukan derajat optimal polinomial
4. Membuat estimasi dengan model regresi polinomial
5. Memodelkan harga emas 1 gram dengan model regresi
polinomial
6. Memodelkan harga emas 1 gram metode regresi nonparametrik
kernel
7. Memilih jendela yang optimal.
8. Membuat kurva estimasi regresi kernel
9. Membandingkan model regresi polinomial dan regresi
nonparametrik kernel.
10. Interpretasi model.
Dalam proses pengolahan data digunakan perangkat lunak R versi 3.4.1
C. Hasil Scatterplot Data
Sebelumnya, perlu diketahui bahwa data yang digunakan sejak
awal bulan Febuari 2020 hingga Maret 2020 sedang berlangsung suatu
pandemi yang dikenal dengan Virus Corona. Berikut akan diberikan grafik
data keseluruhan, grafik sebelum terjadi pandemi dan grafik sesudah
terjadi pandemi.
Hubungan yang terbentuk antara variabel respon harga beli satu
gram emas dengan variabel prediktor, yaitu waktu ( ) dapat ditunjukkan
pada gambar 4.1. Gambar 4.1 menunjukkan bahwa pola hubungan yang
terbentuk antara harga jual emas 1 gram ( ) pada tahun 2019 hingga bulan
Maret tahun 2020. Berdasarkan hasil scatterplot, secara umum mulai pada
tanggal 3 Mei hingga pada tanggal 6 September terjadi kenaikan. Lalu
setelah tanggal 6 September terjadi penurunan hingga tanggal 14
September dan setelah itu harga 1 gram mas terbilang hampir konstan.
Namun demikian, mulai akhir tahun 2019 tepatnya mulai tanggal 30
Desember 2019 harga 1 gram mas mulai melonjak naik lalu menurun lagi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
hingga tanggal 18 Maret 2020 dan setelah itu mengalami kenaikan
kembali. Garis vertikal putus-putus berwarna merah menunjukkan batas
sebelum dan sesudah terjadi pandemi.
Gambar 4.1 Scatterplot Antara Waktu dan Harga Emas 1 Gram
Selanjutnya akan diberikan diberikan gambar grafik sebelum dan
sesudah terjadi pandemi. Gambar 4.2 menunjukkan grafik sebelum terjadi
pandemi yang terjadi sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga 30 Januari 2020.
Sedangkan gambar 4.3 menunjukkan grafik sesudah terjadi pandemi yang
terjadi sejak tanggal 1 Februari 2020 hingga 23 Maret 2020.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar 4.2 Scatterplot Sebelum Terjadi Pandemi
Gambar 4.3 Scatterplot Setelah Terjadi Pandemik
1 F
ebru
ari 2
02
0
13
Feb
ruar
i 20
20
25
Feb
ruar
i 20
20
3 M
ei 2
01
9
2 J
anu
ari 2
01
9
2 M
are
t 2
01
9
17
Ju
li 2
01
9
14
Sep
t 2
01
9
8 N
ov
20
19
7 J
anu
ari 2
02
0
17
Mar
et
20
20
25
Feb
ruar
i 20
20
13
Feb
ruar
i 20
20
1 F
ebru
ari 2
02
0
6 M
are
t 2
02
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Dari gambar 4.2 dapat disimpulkan bahwa pada bagian akhir kurva trend
nya terbilang konstan lalu mulai terjadi kenaikan sedikit demi sedikit. Lalu
pada gambar 4.3 kurvanya memiliki trend naik seiring semakin
bertambahnya harga beli satu gram emas.
D. Pemodelan dengan Regesi Polinomial
Dengan bantuan perangkat lunak R, gambar 4.1 akan didekati oleh
model regresi polinomial. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah
mencari derajat polinomial yang optimal dengan cara melakukan
normalisasi pada tiap variabel, sebagaimana telah dibahas pada sub bab E
pada bab 2. Proses normalisasi didapat dengan membagi setiap data
dengan nilai maksimum dari tiap variabel. Selanjutnya akan diberikan
tabel yang akan digunakan untuk mendapatkan derajat polinomial yang
optimal.
( ( )) ∑ ( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
1 11162.92 0.7380
0.1929 0.9309 0.0230
2 22697.08
0.7419
0.1698
0.0231
0.9347 0.0229 6.4677e-05
3 2966.52
0.7481
0.0955
0.2080
-0.1229
0.9287 0.0228 0.00012
4 6.0157e-
11
Tabel 4.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Dari tabel di atas, jika kita bandingkan determinan matriks untuk
setiap derajat polinomial , maka pada , determinannya mendekati
nol, yang berarti matriks ( ) mendekati singular. Penggunaan polinomial
berderajat empat akan mengakibatkan variansi dari pendugaan menjadi
besar, sehingga model tidak akurat. Dengan demikian dapat disimpulkan
bahwa derajat polinomial yang optimal adalah .
Setelah mendapatkan derajat yang optimal, yaitu derajat tiga, yang
harus dilakukan adalah melakukan proses regresi polinomial. Berikut
adalah hasil dari proses regresi polinomial derajat tiga.
Gambar 4.4 Scatterplot Data Dengan Didekati Kurva Regresi Polinomial
Berderajat Tiga
Dari gambar 4.4 didapat persamaan regresi polinomial berderajat tiga
sebagai berikut:
dengan MSE sebesar 393.13.
Dengan demikian, pendekatan terbaik untuk data harga beli satu gram
emas adalah regresi polinomial berderajat tiga dengan MSE sebesar
393.13. Model polinomial berderajat tiga ini memiliki koefisien
determinasi R2 sebesar 0.8569 dan selang kepercayaannya sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
√
( )
( ) √
( )
Misalnya untuk , maka batas bawahnya adalah 787.249 dan batas
atasnya adalah 882.204. Untuk mendapatkan selang kepercayaan tersebut
dibantu dengan software R yang listing programnya dapat dilihat pada
lampiran.
E. Pemodelan Dengan Metode Regresi Nonparametrik Kernel
Dalam pendekatan regresi nonparametrik kernel, dikenal adanya
jendela. Jendela merupakan parameter pemulus yang berfungsi untuk
mengontrol kemulusan dari kurva yang diestimasi. Metode yang
digunakan untuk mencari jendela yang optimal adalah Leave-One-Out
Cross Validation (LOOCV). Dengan bantuan perangkat lunak R didapat
jendela optimal sebesar 0.514514.
Gambar 4.5 Hasil Grafik Nilai Yang Optimal
Gambar 4.5 merupakan grafik hasil nilai yang optimal. Garis vertical
berwarna merah menunjukkan nilai yang optimal, yaitu 0.514514.
Setelah didapat nilai jendela yang optimal, selanjutnya yang dilakukan
adalah menduga model dengan metode Nadaraya-Watson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Setelah mendapatkan nilai jendela yang optimal, yaitu
kita dapat memodelkan regresi nonparametrik kernel. Untuk
menunjukan bahwa dengan sudah yang terbaik, penulis
akan membandingkannya dengan jendela , jendela dan
jendela . Setelah itu, penulis akan menghitung besar MSE dan
koefisien determinasi R2 dan dari hasil yang ada dipilih nilai MSE yang
paling minimum dan R2 maksimum.
Gambar 4.6 Pendekatan Nadaraya-Watson dengan
Pemodelan dengan metode Nadaraya-Watson pada gambar 4.6
ditunjukkan dengan garis berwarna merah dan lingkaran hitam pada
gambar merupakan data awal. Dari gambar 4.6 didapat persamaan regresi
nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
dengan MSE sebesar dan R2 sebesar 0.9977. Selang kepercayaan
95% bagi ( ) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
( ) ( )
( ) √
( )
Gambar 4.7 Pendekatan Nadaraya-Watson dengan
Dari gambar 4.7 didapat persamaan regresi nonparametrik kernel dengan
penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:
∑
√ .
( ( ))
/
∑
√ .
( ( ))
/
dengan MSE sebesar 5.731 dan R2 sebesar 0.9941. Selang kepercayaan
95% bagi ( ) adalah
( ) ( )
( ) √
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Gambar 4.8 Pendekatan Nadaraya-Watson dengan
Dari gambar 4.8 didapat persamaan regresi nonparametrik kernel dengan
penduga Nadaraya-Watson sebagai berikut:
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
dengan MSE sebesar 40.095 dan R2 sebesar 0.9673. Selang kepercayaan
95% bagi ( ) adalah
( ) ( )
( ) √
( )
Jadi dapat disimpulkan bahwa semakin besar maka galatnya semakin
besar. Artinya ada perbedaan yang signifikan antara data asli dengan
pendugaan. Jadi model yang terbaik berdasarkan hasil dari Mean Squared
Error adalah model dengan jendela dengan nilai MSE
sebesar dan R2 sebesar 0.9977.
Dari penjelasan di atas, dapat dibentuk dua model regresi
nonparametrik kernel. Yang pertama adalah dengan estimasi Nadaraya-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Watson dan yang kedua dengan fungsi kernel Gauss. Tujuan dari
pembentukan model estimasi Nadaraya-Watson adalah untuk
mendapatkan nilai estimasi ( ) atau ( ).
( ) ∑ .
/
∑ .
/
( ) ∑ .
/
∑ .
/
Lalu yang kedua adalah dengan fungsi kernel Gauss. Berdasarkan
hasil perhitungan jendela yang optimum dan dengan menggunakan fungsi
kernel Gauss, didapatkan model regresi nonparametrik kernel sebagai
berikut:
( )
∑ .
/
∑ .
/
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
Keterangan:
variabel terikat (harga emas 1 gram)
nilai dimana fungsi kernel dihitung
nilai variabel bebas
jendela
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
F. Perbandingan Hasil Prediksi Dengan Menggunakan Regresi
Polinomial dan Regresi Nonparametrik Kernel
Pada tahap ini, yang akan dilakukan penulis adalah melakukan
prediksi harga beli satu gram emas. Dalam proses mendapatkan model
regresi yang terbaik digunakan data sejak tanggal 2 Januari 2019 hingga
tanggal 23 Maret 2020. Model pada kasus ini nilai pada tanggal 24
Maret 2020 sampai tanggal 30 Maret 2020 sudah diketahui, hal tersebut
berguna untuk membandingkan nilai aktual dengan nilai hasil
prediksi. Hasil dari prediksi dapat digunakan para pembeli emas untuk
memperoleh keuntungan dengan meminimumkan pengeluaran.
Model yang digunakan untuk memprediksi ada dua. Yang pertama
adalah model regresi polinomial berderajat tiga dan yang kedua adalah
model regresi nonparametrik kernel dengan penduga Nadaraya-Watson
dengan jendela sebesar 0.514514. Berikut akan diberikan gambar grafik
yang membandingkan harga asli untuk membeli satu gram emas dengan
harga hasil prediksi dengan menggunakan dua model yang telah
disebutkan di atas.
Gambar 4.9 Grafik Prediksi Dengan Regresi Polinomial
Pada gambar 4.9 listing program berada di lampiran.. Di dalam gambar
terdapat dua warna dalam grafik. Titik hitam menunjukkan data asli harga
beli satu gram emas. Warna biru menunjukkan hasil prediksi harga beli
satu gram emas dengan menggunakan model regresi polinomial berderajat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
tiga dan warna merah muda menunjukkan hasil prediksi harga beli satu
gram emas tujuh hari ke depan. Untuk lebih jelasnya, akan diberi tabel
untuk melihat hasil perbandingan antara nilai aktual dan nilai prediksi.
Tanggal Nilai Aktual Nilai Prediksi
24 Maret 2020 919.000 835.631
25 Maret 2020 924.000 836.540
26 Maret 2020 924.000 837.454
27 Maret 2020 926.000 838.371
28 Maret 2020 924.000 839.292
29 Maret 2020 911.000 840.219
30 Maret 2020 918.000 841.149
Berikut diberikan grafik model regresi polinomial secara keseluruhan yang
programnya dapat dilihat pada lampiran 30. Garis putus-putus tegak lurus
berwarna merah menunjukkan batas nilai prediksi harga emas seminggu
ke depan
Gambar 4.10 Grafik Keseluruhan Regresi Polinomial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Gambar 4.11 Grafik Prediksi Dengan Regresi Nonparametrik
Pada gambar 4.11 terdapat dua warna dalam grafik. Titik hitam
menunjukkan data asli harga beli satu gram emas. Warna merah muda
menunjukkan hasil prediksi harga beli satu gram emas dengan
menggunakan model regresi nonparametrik kernel dengan
dan warna merah menunjukkan hasil prediksi harga beli satu gram emas
tujuh hari kedepan. Untuk lebih jelasnya, akan diberi tabel untuk melihat
hasil perbandingan antara nilai aktual dan nilai prediksi.
Tanggal Nilai Aktual Nilai Prediksi
24 Maret 2020 919.000 912.832
25 Maret 2020 924.000 923.395
26 Maret 2020 924.000 924.230
27 Maret 2020 926.000 925.529
28 Maret 2020 924.000 922.721
29 Maret 2020 911.000 913.328
30 Maret 2020 918.000 917.083
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Berikut diberikan grafik model regresi nonparametrik secara keseluruhan
yang programnya dapat dilihat pada lampiran 32.
Gambar 4.12 Grafik Keseluruhan Regresi Nonparametrik
Dari gambar 4.9 dapat disimpulkan bahwa regresi polinomial
berderajat tiga tidak cukup baik untuk memprediksi harga beli satu gram
emas. Hal tersebut ditunjukkan dengan hasil prediksi yang berada jauh di
bawah harga asli. Sedangkan untuk gambar 4.11, yaitu hasil prediksi harga
beli satu gram emas dengan regresi nonparametrik kernel dengan penduga
Nadaraya-Watson dapat dikatakan baik. Hal tersebut ditunjukkan dengan
hasil prediksi yang berada di atas dan di bawah harga asli. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa untuk memprediksi harga beli satu gram emas lebih
baik menggunakan model regresi nonparametrik kernel dengan penduga
Nadaraya-Watson. Pernyataan tersebut juga didukung dengan melihat
besarnya nilai Mean Squared Error dan besarnya koefisien determinasi.
Berikut akan diberikan tabel Mean Squared Error dan koefisien
determinasi dari dua model yang telah disebutkan di atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Model Mean Squared Error Koefisien
Determinasi
Regresi Polinomial 393.13 0.8569
Regresi Nonparametrik 0.822 0.9977
Tabel 4.2 Tabel Mean Squared Error
Dari tabel 4.2 sangat jelas bahwa metode regresi nonparametrik lebih baik
daripada metode regresi polinomial. Hal ini ditunjukkan dengan lebih
kecilnya nilai MSE pada regresi nonparametrik dibandingan dengan nilai
MSE pada regresi polinomial. Selain itu juga dapat dilihat dari koefisien
determinasinya. Untuk model regresi nonparametrik terbilang sangat baik
karena nilainya hampir mendekati satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dijelaskan pada
bab sebelumnya, didapat dua model, yaitu model dengan metode regresi
polinomial dan model dengan menggunakan metode Nadaraya-Watson.
Pada tugas akhir ini dilakukan pencarian derajat polinomial yang optimal
untuk pembuatan model. Sedangkan pemodelan dengan metode Nadaraya-
Watson dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu jendela optimal
dengan metode cross validation atau validasi silang.
Hasil analisis menunjukkan didapat dua model, yaitu model regresi
polinomial berderajat tiga dan model regresi dengan metode Nadaraya-
Watson dengan bandwidth sebesar 0.514514. Dari model regresi
polinomial didapat nilai MSE sebesar 393.13 dan .
Persamaan dari model regresi polinomial berderajat tiga adalah sebagai
berikut:
Sedangkan untuk model regresi dengan metode Nadaraya-Watson
didapat nilai MSE sebesar 6.654 dan . Persamaan dari model
regresi dengan metode Nadaraya-Watson adalah sebagai berikut:
∑
√ 4
( .
/)
5
∑
√ 4
( .
/)
5
Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa model yang terbaik
adalah model dengan menggunakan regresi nonparametrik kernel dengan
metode Nadaraya-Watson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
B. Saran
Dalam penulisan tugas akhir skripsi ini masih terdapat banyak kekurangan.
Oleh karena itu, beberapa hal yang dapat disarankan oleh penulis untuk
penelitian selanjutnya adalah:
1. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan estimasi selain
estimasi Nadaraya-Watson seperti estimasi Gasser-Muler dan
Priestley-Chao.
2. Penelitian ini hanya menggunakan fungsi kernel Gauss. Peneliti
selanjutnya diharapkan dapat menggunakan fungsi kernel
lainnya.
3. Dapat melakukan perbandingan penduga mana yang digunakan
paling baik atau melakukan perbandingan fungsi kernel mana
yang paling baik.
4. Dapat mencoba menggunakan variabel bebas yang lebih dari
satu atau multivariat.
5. Dapat membahas lebih lanjut mengenai regresi polinomial.
6. Dapat membahas regresi semiparametrik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
DAFTAR PUSTAKA
Bowerman, Bruce L., O’Connell, Richard T. (1990). Linear Statistical Models An
Applied Approach Second Edition. United States of Amerika: Wadsworth,
Inc.
Eubank, Randall L. (1999). Nonparametrik Regression and Spline Smoothing
Second Edition. United States of Amerika: Marcel Dekker, Inc.
Fengping, Li., Yuqing, Zhou., Wei, Xue. (2016). Parameter Optimization for
Nadaraya-Watson Kernel Regression Method with Small Samples.
International Journal of Advanced Research in Artificial Intelligence
(IJARAI). Vol.5, No.5.
Gemal, A., Imbens, G. (2014). Why High-Order Polinomials Should not be Used
in Regression Discontinuity Designs. JEL. No.C01,C1.
Ghosh, Sucharitta. (2018). Kernel Smoothing: Principles, Methods and
Applications. New Jersey: John Wiley & Sons Ltd.
Hardle, Wolfgang. (1990). Smoothing Techniques with Implementation in S.
United States of America: Press Syndicate of the University of Cambridge.
Hardle, Wolfgang. (1994). Applied Nonparametrik Regression. United States of
America: Press Syndicate of the University of Cambridge.
Hart, Jeffrey D. (1997). Nonparametrik Smoothing and Lack of Fit Test. United
States of Amerika: Springer-Verlag New York, Inc.
Kumar, K. N. R. (2020). Econometrics. South Asia: CRC Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Kung, S. Y. (2014). Kernel Methods and Machine Learning. New York:
Cambridge University Press.
Linton, O., Mammen, E., Nielsen, J., Tanggaard, C. (1998). Estimating Yield
Curves By Kernel Smoothing Methods. SFB 373 Discussion Paper.
No.1999, 1-54.
Pakdemirli, Mehmet. (2016). A New Perturbation Approach to Optimal
Polinomial Regression. Mathematical and Computational Aplications.
Vol.21, No.1.
Rawlings, J. O., Pantula, S. G., Dickey, D. A. (1998). Applied Regression
Analysis: A Research Tool Second Edition. United States of America:
Springer-Verlag New York, Inc.
Schucany, William R. (2004). Kernel Smoothers: An Overview of Curve
Estimators for the First Graduate Course in Nonparametrik Statistics.
Statistical Science. Vol.19, No. 4, 663-675.
Wackerly, D.D., III, M. W., Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics With
Application. United States of America: Thomson Learning, Inc.
Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., Ye, K. (2012). Probability and
Statistic for Engineers and Scientists 9th
ed. United States of America:
Pearson Education, Inc.
Wand, M., Jones, M. (1995). Kernel Smoothing. United States of America:
Chapman and Hall.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
https://stats.stackexchange.com/questions/341826/why-the-name-kernel-in-stats-
and-ml Diakses tanggal 19 Februari 2020
https://www.datatechnotes.com/2019/02/regression-model-accuracy-mae-mse-
rmse.html Diakses tanggal 10 November 2019.
https://www.ritchieng.com/machine-learning-evaluate-linear-regression-model/
Diakses tanggal 11 November 2019.
https://www.svms.org/kernels/ Diakses tanggal 19 Februari 2020
http://howtoinr.weebly.com/add-reference-lines.html Diakses tanggal 27 Februari
2020
https://id.wikipedia.org/wiki/Investasi Diakses tanggal 14 Mei 2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
LAMPIRAN
Lampiran 1. List program contoh 2.1
>
Y=matrix(c(0.0,0.91,0.96,0.89,1,1.1,1.15,1.03,0.77,1.07,1.07,0.94,1.1,1.1,1.1,0.91
,0.87,0.78,0.82,0.95),ncol=1)
>
X=matrix(c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,72.40,41.6,34.30,35.10,10.7,12.
9,8.3,20.1,72.2,24,23.2,47.4,31.50,10.6,11.2,73.3,75.4,96.6,107.4,54.9,76.3,70.3,7
7.1,68,79,67.4,66.8,76.9,77.7,67.7,76.8,86.6,76.9,86.3,86,76.3,77.9,78.7,86.8,70.9
,29.18,29.35,29.24,29.27,29.78,29.39,29.69,29.48,29.09,29.6,29.38,29.35,29.63,2
9.56,29.48,29.4,29.28,29.29,29.03,29.37),nrow=20,ncol=4)
> t(X)%*%X
> solve(t(X)%*%X)
> t(X)%*%Y
> beta=solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y
> beta
Lampiran 2. List program contoh 2.2
> X=matrix(c(1,1,1,1,0.02,0.07,0.11,0.15),nrow=4,ncol=2)
> Xt=t(X)
> P=X%*%(solve(Xt%*%X))%*%Xt
> P
> xy=76.99-((0.35*911)/4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
> xy
> x2=0.0399-(0.35^2/4)
> b1=xy/x2
> b1
> b0=227.75-(b1*0.0875)
> b0
> B=matrix(c(253.434,-293.531),nrow=2,ncol=1)
> B
> ytopi=X%*%B
> ytopi
> y=matrix(c(242,237,231,201),nrow=4,ncol=1)
> y
> e=y-ytopi
> e
Lampiran 3. List program contoh 2.3
> P=X%*%(solve(Xt%*%X))%*%Xt
> P
> SSE=t(Y)%*%Y-t(B)%*%t(X)%*%Y
> SSE
> sigmakuadrat=(SSE/(4-2))
> sigmakuadrat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
> sigma=sqrt(SSE/(4-2))
> sigma
Lampiran 4. List program contoh 2.4
> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)
> y = c(1,2.2,2.9,4,5.2,6.1,6.8,7.9)
# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #
> maksx=max(x)
> maksx
> maksE=max(y)
> maksE
# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #
> xbar=x/maksx
> xbar
> ybar=y/maksE
> ybar
# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #
> N=length(x)
> N
# Untuk n=1
> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)
> d1=det(m1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
> d1
> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)
> k1 = solve(m1)%*%y1
> k1
> jk1=sum(k1)
> jk1
> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar
> e1=sum((ybar-yb1)^2)
> se1=sqrt((1/(8-(1+1)))*e1)
> se1
# Untuk n=2
> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)
> m2
> d2=det(m2)
> d2
> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)
> k2 = solve(m2)%*%y2
> k2
> jk2=sum(k2)
> jk2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)
> e2=sum((ybar-yb2)^2)
> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)
> se2
> sse2=se1-se2
> sse2
Lampiran 5. List program contoh 2.5
> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)
> y = c(0,1,5,9,14,25,37,49)
# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #
> maksx=max(x)
> maksx
> maksE=max(y)
> maksE
# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #
> xbar=x/maksx
> xbar
> ybar=y/maksE
> ybar
# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #
> N=length(x)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
> N
# Untuk n=1
> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)
> d1=det(m1)
> d1
> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)
> k1 = solve(m1)%*%y1
> k1
> jk1=sum(k1)
> jk1
> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar
> e1=sum((ybar-yb1)^2)
> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)
> se1
# Untuk n=2
> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)
> m2
> d2=det(m2)
> d2
> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
> k2 = solve(m2)%*%y2
> k2
> jk2=sum(k2)
> jk2
> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)
> e2=sum((ybar-yb2)^2)
> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)
> se2
> sse2=se1-se2
> sse2
# Untuk n=3
> m3=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6)),
nrow=4, ncol=4)
> m3
> d3=det(m3)
> d3
>
y3=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2),sum(ybar*(xbar)^3))
,nrow=4,ncol=1)
> k3 = solve(m3)%*%y3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
> k3
> jk3=sum(k3)
> jk3
> yb3=k3[1]+k3[2]*xbar+k3[3]*(xbar^2)+k3[4]*(xbar^3)
> e3=sum((ybar-yb3)^2)
> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)
> se3
> sse3=se2-se3
> sse3
Lampiran 6. List program contoh 2.6
> x = c(0,1,2,3,4,5,6,7)
> y = c(0,1,5,9,14,25,37,49)
# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #
> maksx=max(x)
> maksx
> maksE=max(y)
> maksE
# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #
> xbar=x/maksx
> xbar
> ybar=y/maksE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
> ybar
# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #
> N=length(x)
> N
# Untuk n=1
> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)
> d1=det(m1)
> d1
> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)
> k1 = solve(m1)%*%y1
> k1
> jk1=sum(k1)
> jk1
> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar
> e1=sum((ybar-yb1)^2)
> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)
> se1
# Untuk n=2
> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)
> m2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
> d2=det(m2)
> d2
> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)
> k2 = solve(m2)%*%y2
> k2
> jk2=sum(k2)
> jk2
> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)
> e2=sum((ybar-yb2)^2)
> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)
> se2
> sse2=se1-se2
> sse2
# Untuk n=3
> m3=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6)),
nrow=4, ncol=4)
> m3
> d3=det(m3)
> d3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
>
y3=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2),sum(ybar*(xbar)^3))
,nrow=4,ncol=1)
> k3 = solve(m3)%*%y3
> k3
> jk3=sum(k3)
> jk3
> yb3=k3[1]+k3[2]*xbar+k3[3]*(xbar^2)+k3[4]*(xbar^3)
> e3=sum((ybar-yb3)^2)
> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)
> se3
> sse3=se2-se3
> sse3
# Untuk n=4
> m4=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^2),sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),sum((xbar)^7)),
nrow=5, ncol=5)
> m4
> d4=det(m4)
> d4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Lampiran 7. List program contoh 2.7
> x=c(50,50,50,70,70,70,80,80,80,90,90,90,100,100,100)
> x
> y=c(3.3,2.8,2.9,2.3,2.6,2.1,2.5,2.9,2.4,3,3.1,2.8,3.3,3.5,3.0)
> y
# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #
> maksx=max(x)
> maksx
> maksE=max(y)
> maksE
# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #
> xbar=x/maksx
> xbar
> ybar=y/maksE
> ybar
# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #
> N=length(x)
> N
# Untuk n=1
> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)
> d1=det(m1)
> d1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)
> k1 = solve(m1)%*%y1
> k1
> jk1=sum(k1)
> jk1
> yb1=k1[1]+k1[2]*xbar
> e1=sum((ybar-yb1)^2)
> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)
> se1
# Untuk n=2
> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)
> m2
> d2=det(m2)
> d2
> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)
> k2 = solve(m2)%*%y2
> k2
> jk2=sum(k2)
> jk2
> yb2=k2[1]+k2[2]*xbar+k2[3]*(xbar^2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
> e2=sum((ybar-yb2)^2)
> se2=sqrt((1/(N-(2+1)))*e2)
> se2
> sse2=se1-se2
> sse2
# Untuk n=3
> m3=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6)),
nrow=4, ncol=4)
> m3
> d3=det(m3)
> d3
>
y3=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2),sum(ybar*(xbar)^3))
,nrow=4,ncol=1)
> k3 = solve(m3)%*%y3
> k3
> jk3=sum(k3)
> jk3
> yb3=k3[1]+k3[2]*xbar+k3[3]*(xbar^2)+k3[4]*(xbar^3)
> e3=sum((ybar-yb3)^2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
> se3=sqrt((1/(N-(3+1)))*e3)
> se3
> sse3=se2-se3
> sse3
# Untuk n=4
> m4=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^2),sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),sum((xbar)^7)),
nrow=5, ncol=5)
> m4
> d4=det(m4)
> d4
# hasilnya udah singular
>
X=matrix(c(15,1170,95700,1170,95700,8127000,95700,8127000,710490000),nro
w=3,ncol=3)
> X
> Y=matrix(c(42.5,3345,276810),nrow=3,ncol=1)
> Y
> Y1=t(Y)
> Y1
> beta=solve(X)%*%Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
> beta
> B1=t(beta)
> B1
> ytopi=7.9604811-0.1537113*suhu+0.0010756*(suhu^2)
> ytopi
> X0=matrix(c(1,55,3025),nrow=3,ncol=1)
> X0
> SSE=sum(((hasil-ytopi)^2))
> SSE
> S=sqrt(SSE/(15-3))
> S
> talfa=2.1788
# SELANG KEPERCAYAAN
> kiri=t(X0)%*%beta
> kiri
> kanan=(talfa)*S*(sqrt(t(X0)%*%solve(X)%*%X0))
> kanan
> bawah=kiri-kanan
> bawah
> atas=kiri+kanan
> atas
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Lampiran 8. List program contoh 2.8
> hasil = data$Y
> suhu= data$X
> D = data.frame("x"=suhu,"H" = hasil)
> D
> plot(suhu,hasil)
> suhu2=suhu^2
> reg2=lm(hasil~suhu+suhu2,data=D)
> summary(reg2)
> prediksi=predict(reg2, newdata = D)
> lines(suhu,prediksi,col=2)
> ggplot()+geom_point(aes(x=suhu,y=hasil))+
geom_line(aes(x=suhu,y=ytopi),color="blue")
> ytopi=7.9604811-0.1537113*suhu+0.0010756*(suhu^2)
> ytopi
> ybar=mean(hasil)
> ybar
> MSE=sum(((hasil-ytopi)^2))/length(hasil)
> MSE
> pembilang=sum((ytopi-ybar)^2)
> pembilang
> penyebut=sum((hasil-ybar)^2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
> penyebut
> R2=pembilang/penyebut
> R2
> SSE=sum(((hasil-ytopi)^2))
> SSE
> S=sqrt(SSE/(length(hasil)-3))
> S
> bawah=suppressWarnings(ytopi-(1.96*S))
> bawah
> atas=suppressWarnings(ytopi+(1.96*S))
> atas
> batas=data.frame(cbind(bawah,atas))
> colnames(batas)=c('Batas Bawah','Batas Atas')
> batas
Lampiran 10. List program Gambar 3.3
> data.contoh.3.1 <- read.delim("D:/USD/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data co
ntoh 3.1.txt")
> View(data.contoh.3.1)
> attach(data.contoh.3.1)
> plot(xj,Yj)
Lampiran 11. List program Gambar 3.4
> plot(xj,Yj)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
> abline( v = c(0.1,0.3,0.5,0.7,0.9), lty = 2)
> xj1=c(0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+0.23+0.25+0.27+0.29)/10
> yj1=(0.0581+0.1915+0.1793+0.2925+0.5146+0.5732+0.5722+0.3971+0.5793+
0.7054)/10
> xj2=c(0.31+0.33+0.35+0.37+0.39+0.41+0.43+0.45+0.47+0.49)/10
> yj2=(0.8421+0.7296+0.5418+0.8205+0.8846+0.9759+0.8825+1.1172+1.0666+
1.0246)/10
> xj3=c(0.51+0.53+0.55+0.57+0.59+0.61+0.63+0.65+0.67+0.69)/10
> yj3=(1.0445+0.9133+1.1539+1.0939+0.8092+0.8091+0.8458+0.8964+0.7476+
0.7164)/10
> xj4=c(0.71+0.73+0.75+0.77+0.79+0.81+0.83+0.85+0.87+0.89)/10
> yj4=(0.6299+0.6369+0.5356+0.6526+0.5331+0.2614+0.6026+0.1163+0.3188+
0.0347)/10
> points(xj1,yj1,pch=15,col="red")+points(xj2,yj2,pch=15,col="red")+
+ points(xj3,yj3,pch=15,col="red")+points(xj4,yj4,pch=15,col="red")
Lampiran 12. List program Gambar 3.5 plot data dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> dataa <- read.delim("E:/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data contoh 3.1.txt")
> View(dataa)
> attach(dataa)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> plot(xj,Yj)
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(ksmooth(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.188),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
+ kernel = c("box"), bandwidth = 0.188),col=2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 13. List program Gambar 3.6 plot data dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> dataa <- read.delim("E:/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data contoh 3.1.txt")
> View(dataa)
> attach(dataa)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> plot(xj,Yj)
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(ksmooth(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.042),
+ kernel = c("box"), bandwidth = 0.042),col=2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 14. List program Gambar 3.7 plot data dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> dataa <- read.delim("E:/Bahan Skripsi/R skripsi/BAB 3/data contoh 3.1.txt")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
> View(dataa)
> attach(dataa)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> plot(xj,Yj)
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(ksmooth(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.02),
+ kernel = c("box"), bandwidth = 0.02),col=2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 15. List program Gambar 3.8 plot data dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
> Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
> W <- Kx / rowSums(Kx)
> drop(W %*% Y)
> }
> contoh.3.3 <- read.delim("~/contoh 3.3.txt")
> View(contoh.3.3)
> data=contoh.3.3
> attach(data)
> plot(xj,Yj)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.2), col = 2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 16. List program Gambar 3.9 plot data dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
> Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
> W <- Kx / rowSums(Kx)
> drop(W %*% Y)
> }
> contoh.3.3 <- read.delim("~/contoh 3.3.txt")
> View(contoh.3.3)
> data=contoh.3.3
> attach(data)
> plot(xj,Yj)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.051), col = 2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 17. List program Gambar 3.10 plot data dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
> Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
> W <- Kx / rowSums(Kx)
> drop(W %*% Y)
> }
> contoh.3.3 <- read.delim("~/contoh 3.3.txt")
> View(contoh.3.3)
> data=contoh.3.3
> attach(data)
> plot(xj,Yj)
> xgrid=seq(0,1,l=50)
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = xj, Y = Yj, h = 0.0135), col = 2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),lwd = 2, c
ol = 1:2)
Lampiran 18. List program Gambar 3.11 mendapatkan nilai yang terbaik
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> m=function(x) (1-(2*x-1)^2)^2
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> cvNW <- function(X, Y, h, K = dnorm) {
+ sum(((Y - mNW(x = X, X = X, Y = Y, h = h, K = K)) /
+ (1 - K(0) / colSums(K(outer(X, X, "-") / h))))^2)
+ }
> bw.cv.grid <- function(X, Y,
+ h.grid = diff(range(X)) * (seq(0, 1, l = 50))^2,
+ K = dnorm, plot.cv = FALSE) {
+ obj <- sapply(h.grid, function(h) cvNW(X = X, Y = Y, h = h, K = K))
+ h <- h.grid[which.min(obj)]
+ if (plot.cv) {
+ plot(h.grid, obj, type = "o")
+ abline(v = h, col = 2, lwd = 2)
+ }
+ h
+ }
> hCV <- bw.cv.grid(X = X, Y = Y, plot.cv = TRUE)
> hCV
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Lampiran 19. List program Gambar 3.12 plot data dengan
> plot(xj,Yj)
> lines(xgrid, m(xgrid), col = 1)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = X, Y = Y, h = hCV), col = 2)
> legend("bottom", legend = c("True regression", "Nadaraya-Watson"),
+ lwd = 2, col = 1:2)
Lampiran 20. List program scatterplot data Gambar 4.1
> Emas = dataa$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(dataa))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> plot(c(1:373),Emas)
Lampiran 21. List program Gambar 4.2
> Emas = sebelum$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(sebelum))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> D
> plot(c(1:320),Emas)
# MEMUNCULKAN GAMBAR REGRESI POLINOMIAL
> reg = lm(formula = Emas ~poly(x, 3),data = D)
> summary(reg)
> plot(c(1:320),Emas)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
> lines(xgrid,predict(reg, newdata = D) , col = 2)
Lampiran22. List program Gambar 4.3
> Emas = setelah$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(setelah))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> D
> plot(c(1:46),Emas)
# MEMUNCULKAN GAMBAR REGRESI POLINOMIAL
> reg = lm(formula = Emas ~poly(x, 3),data = D)
> summary(reg)
> plot(c(1:46),Emas)
> lines(xgrid,predict(reg, newdata = D) , col = 2)
Lampiran 23. List program Tabel 4.1
> Emas = data2$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(data2))
# MENCARI NILAI MAKSIMUM TIAP VARIABEL #
> maksx=max(xgrid)
> maksx
> maksE=max(Emas)
> maksE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
# MELAKUKAN PROSES NORMALISASI #
> xbar=xgrid/maksx
> xbar
> ybar=Emas/maksE
> ybar
# PROSES MENCARI DERAJAT OPTIMAL #
> N=length(xgrid)
> N
# Untuk n=1
> m1=matrix(c(N, sum(xbar), sum(xbar),sum((xbar)^2)),nrow=2, ncol=2)
> d1=det(m1)
> d1
> y1=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar)),nrow=2,ncol=1)
> k1 = solve(m1)%*%y1
> k1
> jk1=sum(k1)
> jk1
> yb1=0.7379802+0.1929428*xbar
> e1=sum((ybar-yb1)^2)
> se1=sqrt((1/(N-(1+1)))*e1)
> se1
# Untuk n=2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
> m2=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4)),nrow=3, ncol=3)
> m2
> d2=det(m2)
> d2
> y2=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2)),nrow=3,ncol=1)
> k2 = solve(m2)%*%y2
> k2
> jk2=sum(k2)
> jk2
> yb2=0.74185847+0.16979956*xbar+0.02308014*(xbar^2)
> e2=sum((ybar-yb2)^2)
> se2=sqrt((1/(N-(1+1)))*e2)
> se2
> sse2=se1-se2
> sse2
# Untuk n=3
> m3=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6)),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
nrow=4, ncol=4)
> m3
> d3=det(m3)
> d3
>
y3=matrix(c(sum(ybar),sum(ybar*xbar),sum(ybar*(xbar)^2),sum(ybar*(xbar)^3))
,nrow=4,ncol=1)
> k3 = solve(m3)%*%y3
> k3
> jk3=sum(k3)
> jk3
> yb3=0.74810578+0.09554219*xbar+0.20796539*(xbar^2)-
0.12292098*(xbar^3)
> e3=sum((ybar-yb3)^2)
> se3=sqrt((1/(N-(1+1)))*e3)
> se3
> sse3=se2-se3
> sse3
# Untuk n=4
> m4=matrix(c(N, sum(xbar), sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),
sum(xbar),sum((xbar)^2), sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),
sum((xbar)^2),sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),
sum((xbar)^3),sum((xbar)^4),sum((xbar)^5),sum((xbar)^6),sum((xbar)^7)),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
nrow=5, ncol=5)
> m4
> d4=det(m4)
> d4
Lampiran 24. List program Gambar 4.4 regresi polinomial berderajat tiga
> reg = lm(formula = E ~poly(x, 3),data = D)
> plot(c(1:366),Emas)
> lines(xgrid,predict(reg, newdata = D) , col = 2)
Lampiran 25. List program Gambar 4.5 pemilihan optimal
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> Emas = data2$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(data2))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> plot(c(1:366),Emas)
> cvNW <- function(X, Y, h, K = dnorm) {
+ sum(((Y - mNW(x = X, X = X, Y = Y, h = h, K = K)) /
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
+ (1 - K(0) / colSums(K(outer(X, X, "-") / h))))^2)
+ }
> bw.cv.grid <- function(X, Y,
+ h.grid = diff(range(X)) * (seq(0, 1, l = 366))^2,
+ K = dnorm, plot.cv = FALSE) {
+ obj <- sapply(h.grid, function(h) cvNW(X = X, Y = Y, h = h, K = K))
+ h <- h.grid[which.min(obj)]
+ if (plot.cv) {
+ plot(h.grid, obj, type = "o")
+ abline(v = h, col = 2, lwd = 2)
+ }
+ h
+ }
> hCV <- bw.cv.grid(X = xgrid, Y = data2$`Harga 1gr`, plot.cv = TRUE)
> hCV
Lampiran 26. List program Gambar 4.6 regresi nonparametrik kernel dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
> Emas = data2$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(data2))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> plot(c(1:366),Emas)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = c(1:nrow(data2)), Y = data2$`Harga 1gr`, h =
0.514514),col=2)
Lampiran 27. List program Gambar 4.7 regresi nonparametrik kernel dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> Emas = data2$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(data2))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> plot(c(1:366),Emas)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = c(1:nrow(data2)), Y = data2$`Harga 1gr`, h =
1),col=2)
Lampiran 28. List program Gambar 4.8 regresi nonparametrik kernel dengan
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> Emas = data2$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(data2))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
> plot(c(1:366),Emas)
> lines(xgrid, mNW(x = xgrid, X = c(1:nrow(data2)), Y = data2$`Harga 1gr`, h =
5),col=2)
Lampiran 29. List program Gambar 4.9
# MEMUNCULKAN GAMBAR DARI DATA
> Emas = harga_mas$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(harga_mas))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
# REGRESI POLINOMIAL UNTUK FUMGSI M(x)
> x2=xgrid^2
> x3=xgrid^3
> reg3=lm(E~x+x2+x3,data=D)
> summary(reg3)
> y2=predict(reg3,newdata=D)
> xv=c(367,368,369,370,371,372,373)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
> y3=predict(reg3,list(x=xv,x2=xv^2,x3=xv^3))
> y3
> ggplot()+geom_point(aes(x=xgrid,y=Emas),color="black")+
geom_line(aes(x=xgrid[1:366],y=y2[1:366]),color="blue")+
geom_line(aes(x=xgrid[367:373],y=y3),color="magenta")
Lampiran 30. List program Gambar 4.10
# MEMUNCULKAN GAMBAR DARI DATA
> Emas = harga_mas$`Harga 1gr`
> xgrid=c(1:nrow(harga_mas))
> D = data.frame("x"=xgrid,"E" = Emas)
# REGRESI POLINOMIAL UNTUK FUMGSI M(x)
> x2=xgrid^2
> x3=xgrid^3
> reg3=lm(E~x+x2+x3,data=D)
> summary(reg3)
> y2=predict(reg3,newdata=D,interval='confidence',level=0.95)
> y2
> xv=c(367,368,369,370,371,372,373)
> y3=predict(reg3,list(x=xv,x2=xv^2,x3=xv^3))
> y3
> plot(xgrid,Emas)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
> abline( v = c(367), lty = 2,col="red")
> lines(xgrid,y2[,1],col='magenta')
> lines(xgrid[367:373],y3,col='black')
> lines(xgrid,y2[,2],col='blue')
> lines(xgrid,y2[,3],col='purple')
> legend("topleft",c("model","prediksi","batas bawah","batas atas"),
col=c("magenta","black","blue","purple"),lwd=3)
Lampiran 31. List program Gambar 4.11
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
# MEMUNCULKAN GAMBAR DARI DATA
> Emas1 = harga_mas$`Harga 1gr`
> xgrid1=c(1:nrow(harga_mas))
> D1 = data.frame("x"=xgrid1,"E" = Emas1)
> y4=mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y = harga_mas$`Harga 1gr`, h = 0.514514)
> y4
> ggplot()+geom_point(aes(x=xgrid1,y=Emas1),color="black")+
geom_line(aes(x=xgrid1[1:366],y=y4[1:366]),color="magenta")+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
geom_line(aes(x=xgrid1[367:373],y=y4[367:373]),color="red")
Lampiran 32. List program Gambar 4.12
> mNW <- function(x, X, Y, h, K = dnorm) {
+ Kx <- sapply(X, function(Xi) K((x - Xi) / h) / h)
+ W <- Kx / rowSums(Kx)
+ drop(W %*% Y)
+ }
> Emas1 = harga_mas$`Harga 1gr`
> xgrid1=c(1:nrow(harga_mas))
> D = data.frame("x"=xgrid1,"E" = Emas1)
> modelreg=mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y = harga_mas$`Harga 1gr`,
h = 0.514514)
> modelreg
# SELANG KEPERCAYAAN
> c=1/(2*sqrt(pi))
> h=0.514514
> n=length(xgrid1)
> sigmakuadrat=(1/n)*sum((Emas-mNW(x = xgrid1, X = xgrid1, Y =
harga_mas$`Harga 1gr`, h = 0.514514)))
> sigmakuadrat
> n*h
> pembilang=(c)*sigmakuadrat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
> pembilang
> fx=(1/(n*h))*(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(200-201)/h)^2)))
> fx
> penyebut=n*h*fx
> s=sqrt(pembilang/penyebut)
> s
> pem=(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(373-372)/h)^2)))*Emas
> pem
> pen=(sum((1/sqrt(2*pi))*exp((1/2)*(-(373-372)/h)^2)))
> mx=(pem/pen)
> mx
> bawah=mx-(1.96*s)
> bawah
> atas=mx+(1.96*s)
> atas
> tabel=data.frame(bawah,atas)
> tabel
> plot(xgrid,Emas)
> abline( v = c(367), lty = 2,col="red")
> lines(xgrid,modelreg,col='magenta')
> lines(xgrid[367:373],modelreg[367:373],col='black')
> lines(xgrid,bawah,col='blue')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
> lines(xgrid,atas,col='purple')
> legend("topleft",c("model","prediksi","batas bawah","batas atas"),
col=c("magenta","black","blue","purple"),lwd=3)
Lampiran 33. Tabel hasil Gambar 3.5
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.3065 -0.2327 0.0542
0.0708 0.3233 -0.2525 0.0638
0.0469 0.3412 -0.2943 0.0866
0.0114 0.3601 -0.3487 0.1216
0.3510 0.3800 -0.0290 0.0008
0.2530 0.4010 -0.1480 0.0219
0.1484 0.4229 -0.2744 0.0753
0.1878 0.4457 -0.2579 0.0665
0.2745 0.4693 -0.1948 0.0379
0.2810 0.4934 -0.2124 0.0451
0.4569 0.5181 -0.0612 0.0037
0.4662 0.5429 -0.0768 0.0059
0.5930 0.5678 0.0252 0.0006
0.7611 0.5924 0.1686 0.0284
0.6341 0.6165 0.0176 0.0003
0.6781 0.6397 0.0384 0.0015
0.8435 0.6618 0.1817 0.0330
0.9467 0.6823 0.2644 0.0699
0.9111 0.7011 0.2100 0.0441
0.9117 0.7177 0.1940 0.0376
0.7368 0.7320 0.0048 0.0000
1.0380 0.7436 0.2944 0.0867
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
0.8231 0.7524 0.0707 0.0050
0.9409 0.7583 0.1826 0.0333
0.8530 0.7610 0.0919 0.0085
1.1014 0.7607 0.3407 0.1161
0.9482 0.7571 0.1910 0.0365
0.8953 0.7505 0.1448 0.0210
0.9214 0.7410 0.1804 0.0326
0.7419 0.7286 0.0133 0.0002
0.8948 0.7136 0.1813 0.0329
0.7845 0.6962 0.0883 0.0078
0.8400 0.6767 0.1633 0.0267
0.7053 0.6554 0.0499 0.0025
0.9824 0.6326 0.3498 0.1224
0.5818 0.6085 -0.0267 0.0007
0.7406 0.5836 0.1570 0.0246
0.5304 0.5581 -0.0278 0.0008
0.5519 0.5323 0.0196 0.0004
0.4290 0.5065 -0.0775 0.0060
0.6263 0.4809 0.1454 0.0212
0.1382 0.4557 -0.3174 0.1008
0.2403 0.4311 -0.1908 0.0364
0.1366 0.4072 -0.2707 0.0733
0.2547 0.3842 -0.1296 0.0168
-0.1162 0.3623 -0.4785 0.2290
-0.0235 0.3413 -0.3648 0.1331
-0.0799 0.3215 -0.4013 0.1611
0.0462 0.3028 -0.2565 0.0658
0.2861 0.2852 0.0009 0.0000
MSE 0.0440
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
Lampiran 34. Tabel hasil Gambar 3.6
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.0751 -0.0013 0.0000
0.0708 0.0842 -0.0134 0.0002
0.0469 0.1014 -0.0545 0.0030
0.0114 0.1275 -0.1161 0.0135
0.3510 0.1586 0.1924 0.0370
0.2530 0.1882 0.0648 0.0042
0.1484 0.2137 -0.0653 0.0043
0.1878 0.2408 -0.0530 0.0028
0.2745 0.2787 -0.0042 0.0000
0.2810 0.3327 -0.0517 0.0027
0.4569 0.4009 0.0560 0.0031
0.4662 0.4768 -0.0106 0.0001
0.5930 0.5519 0.0410 0.0017
0.7611 0.6208 0.1403 0.0197
0.6341 0.6824 -0.0483 0.0023
0.6781 0.7394 -0.0613 0.0038
0.8435 0.7918 0.0516 0.0027
0.9467 0.8351 0.1117 0.0125
0.9111 0.8640 0.0471 0.0022
0.9117 0.8793 0.0324 0.0010
0.7368 0.8875 -0.1507 0.0227
1.0380 0.8954 0.1426 0.0203
0.8231 0.9062 -0.0831 0.0069
0.9409 0.9196 0.0213 0.0005
0.8530 0.9316 -0.0787 0.0062
1.1014 0.9361 0.1653 0.0273
0.9482 0.9278 0.0204 0.0004
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
0.8953 0.9072 -0.0119 0.0001
0.9214 0.8804 0.0410 0.0017
0.7419 0.8548 -0.1129 0.0127
0.8948 0.8340 0.0608 0.0037
0.7845 0.8173 -0.0328 0.0011
0.8400 0.8002 0.0398 0.0016
0.7053 0.7767 -0.0715 0.0051
0.9824 0.7419 0.2405 0.0578
0.5818 0.6948 -0.1130 0.0128
0.7406 0.6390 0.1016 0.0103
0.5304 0.5790 -0.0486 0.0024
0.5519 0.5158 0.0361 0.0013
0.4290 0.4473 -0.0183 0.0003
0.6263 0.3724 0.2540 0.0645
0.1382 0.2944 -0.1561 0.0244
0.2403 0.2190 0.0213 0.0005
0.1366 0.1504 -0.0138 0.0002
0.2547 0.0928 0.1619 0.0262
-0.1162 0.0529 -0.1692 0.0286
-0.0235 0.0372 -0.0607 0.0037
-0.0799 0.0452 -0.1250 0.0156
0.0462 0.0696 -0.0234 0.0005
0.2861 0.1014 0.1847 0.0341
MSE 0.0102
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Lampiran 35. Tabel hasil Gambar 3.7
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.0720 0.0018 0.0000
0.0708 0.0673 0.0035 0.0000
0.0469 0.0598 -0.0130 0.0002
0.0114 0.0847 -0.0733 0.0054
0.3510 0.1788 0.1722 0.0296
0.2530 0.2388 0.0141 0.0002
0.1484 0.2119 -0.0634 0.0040
0.1878 0.2001 -0.0123 0.0002
0.2745 0.2400 0.0345 0.0012
0.2810 0.3036 -0.0226 0.0005
0.4569 0.3882 0.0687 0.0047
0.4662 0.4762 -0.0101 0.0001
0.5930 0.5718 0.0212 0.0004
0.7611 0.6573 0.1038 0.0108
0.6341 0.6829 -0.0487 0.0024
0.6781 0.7138 -0.0357 0.0013
0.8435 0.8036 0.0399 0.0016
0.9467 0.8870 0.0597 0.0036
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
0.9111 0.9079 0.0032 0.0000
0.9117 0.8809 0.0307 0.0009
0.7368 0.8662 -0.1295 0.0168
1.0380 0.8979 0.1401 0.0196
0.8231 0.9027 -0.0795 0.0063
0.9409 0.9036 0.0372 0.0014
0.8530 0.9384 -0.0854 0.0073
1.1014 0.9825 0.1189 0.0141
0.9482 0.9635 -0.0153 0.0002
0.8953 0.9148 -0.0195 0.0004
0.9214 0.8685 0.0529 0.0028
0.7419 0.8326 -0.0907 0.0082
0.8948 0.8286 0.0662 0.0044
0.7845 0.8172 -0.0328 0.0011
0.8400 0.8014 0.0386 0.0015
0.7053 0.8052 -0.1000 0.0100
0.9824 0.7846 0.1978 0.0391
0.5818 0.7052 -0.1233 0.0152
0.7406 0.6377 0.1029 0.0106
0.5304 0.5695 -0.0391 0.0015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
0.5519 0.5187 0.0333 0.0011
0.4290 0.4859 -0.0568 0.0032
0.6263 0.3941 0.2323 0.0539
0.1382 0.2599 -0.1216 0.0148
0.2403 0.1973 0.0430 0.0018
0.1366 0.1629 -0.0263 0.0007
0.2547 0.0776 0.1771 0.0313
-0.1162 -0.0183 -0.0979 0.0096
-0.0235 -0.0371 0.0136 0.0002
-0.0799 0.0171 -0.0970 0.0094
0.0462 0.1224 -0.0762 0.0058
0.2861 0.2106 0.0755 0.0057
MSE 0.0073
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
Lampiran 36. Tabel hasil Gambar 3.8
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.32707 -0.2533 0.06414
0.0708 0.34349 -0.2727 0.07437
0.0469 0.3608 -0.3139 0.09855
0.0114 0.37899 -0.3676 0.13516
0.3510 0.39804 -0.0470 0.00221
0.2530 0.4179 -0.1650 0.02721
0.1484 0.43852 -0.2901 0.08414
0.1878 0.4598 -0.2720 0.07398
0.2745 0.48165 -0.2072 0.04292
0.2810 0.50394 -0.2229 0.0497
0.4569 0.5265 -0.0696 0.00484
0.4662 0.54916 -0.0830 0.00689
0.5930 0.57172 0.0213 0.00045
0.7611 0.59395 0.1671 0.02792
0.6341 0.6156 0.0185 0.00034
0.6781 0.63643 0.0417 0.00174
0.8435 0.65614 0.1873 0.0351
0.9467 0.67449 0.2723 0.07412
0.9111 0.6912 0.2199 0.04834
0.9117 0.70601 0.2057 0.04229
0.7368 0.71869 0.0181 0.00033
1.0380 0.72903 0.3090 0.09547
0.8231 0.73685 0.0863 0.00744
0.9409 0.74202 0.1988 0.03954
0.8530 0.74445 0.1085 0.01178
1.1014 0.74407 0.3573 0.12767
0.9482 0.7409 0.2073 0.04296
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
0.8953 0.73499 0.1603 0.02571
0.9214 0.72642 0.1950 0.03801
0.7419 0.71533 0.0266 0.00071
0.8948 0.70191 0.1929 0.03722
0.7845 0.68635 0.0981 0.00963
0.8400 0.66888 0.1711 0.02928
0.7053 0.64976 0.0555 0.00308
0.9824 0.62926 0.3531 0.12471
0.5818 0.60764 -0.0258 0.00067
0.7406 0.58516 0.1554 0.02416
0.5304 0.56208 -0.0317 0.00101
0.5519 0.53865 0.0133 0.00018
0.4290 0.51509 -0.0861 0.00741
0.6263 0.49162 0.1347 0.01815
0.1382 0.46841 -0.3302 0.10901
0.2403 0.44562 -0.2053 0.04216
0.1366 0.4234 -0.2868 0.08227
0.2547 0.40185 -0.1472 0.02166
-0.1162 0.38108 -0.4973 0.24734
-0.0235 0.36115 -0.3846 0.14795
-0.0799 0.34211 -0.4220 0.17806
0.0462 0.324 -0.2778 0.07715
0.2861 0.30684 -0.0208 0.00043
MSE 0.04891
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
Lampiran 37. Tabel hasil Gambar 3.9
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.08565 -0.0118 0.00014
0.0708 0.09737 -0.0266 0.00071
0.0469 0.11419 -0.0673 0.00453
0.0114 0.13585 -0.1245 0.0155
0.3510 0.161 0.1900 0.0361
0.2530 0.18807 0.0649 0.00421
0.1484 0.21706 -0.0686 0.00471
0.1878 0.25055 -0.0627 0.00394
0.2745 0.29241 -0.0179 0.00032
0.2810 0.34514 -0.0641 0.00411
0.4569 0.40796 0.0490 0.0024
0.4662 0.47701 -0.0108 0.00012
0.5930 0.54726 0.0457 0.00209
0.7611 0.61463 0.1464 0.02144
0.6341 0.67698 -0.0429 0.00184
0.6781 0.73335 -0.0553 0.00305
0.8435 0.78254 0.0609 0.00371
0.9467 0.82264 0.1241 0.0154
0.9111 0.85231 0.0587 0.00345
0.9117 0.87239 0.0393 0.00154
0.7368 0.88599 -0.1492 0.02226
1.0380 0.89686 0.1411 0.01992
0.8231 0.90739 -0.0843 0.0071
0.9409 0.91743 0.0234 0.00055
0.8530 0.92453 -0.0716 0.00512
1.1014 0.92528 0.1761 0.03101
0.9482 0.91745 0.0307 0.00094
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
0.8953 0.90146 -0.0061 3.8E-05
0.9214 0.88035 0.0410 0.00168
0.7419 0.85795 -0.1160 0.01347
0.8948 0.83668 0.0581 0.00338
0.7845 0.81632 -0.0318 0.00101
0.8400 0.79424 0.0458 0.00209
0.7053 0.76681 -0.0616 0.00379
0.9824 0.73115 0.2512 0.06313
0.5818 0.68641 -0.1046 0.01093
0.7406 0.63371 0.1069 0.01143
0.5304 0.5748 -0.0444 0.00198
0.5519 0.51083 0.0411 0.00169
0.4290 0.4423 -0.0133 0.00018
0.6263 0.37018 0.2562 0.06562
0.1382 0.29687 -0.1586 0.02516
0.2403 0.22622 0.0141 0.0002
0.1366 0.16285 -0.0263 0.00069
0.2547 0.11147 0.1432 0.02051
-0.1162 0.076 -0.1922 0.03696
-0.0235 0.05808 -0.0816 0.00665
-0.0799 0.05629 -0.1361 0.01854
0.0462 0.06676 -0.0205 0.00042
0.2861 0.08482 0.2012 0.0405
MSE 0.01093
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
Lampiran 38. Tabel hasil Gambar 3.10
( ) ( ( )) ( ( ))
0.0738 0.0735 0.0003 0.0000
0.0708 0.0708 0.0000 0.0000
0.0469 0.0565 -0.0096 0.0001
0.0114 0.0496 -0.0382 0.0015
0.3510 0.1943 0.1567 0.0246
0.2530 0.2760 -0.0230 0.0005
0.1484 0.1985 -0.0501 0.0025
0.1878 0.1820 0.0058 0.0000
0.2745 0.2401 0.0344 0.0012
0.2810 0.2920 -0.0110 0.0001
0.4569 0.3932 0.0637 0.0041
0.4662 0.4720 -0.0059 0.0000
0.5930 0.5670 0.0259 0.0007
0.7611 0.6888 0.0723 0.0052
0.6341 0.6772 -0.0431 0.0019
0.6781 0.6880 -0.0099 0.0001
0.8435 0.8078 0.0357 0.0013
0.9467 0.9102 0.0366 0.0013
0.9111 0.9188 -0.0077 0.0001
0.9117 0.8859 0.0258 0.0007
0.7368 0.8290 -0.0922 0.0085
1.0380 0.9311 0.1069 0.0114
0.8231 0.8905 -0.0674 0.0045
0.9409 0.9017 0.0392 0.0015
0.8530 0.9190 -0.0661 0.0044
1.1014 1.0199 0.0815 0.0066
0.9482 0.9644 -0.0162 0.0003
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
0.8953 0.9101 -0.0148 0.0002
0.9214 0.8757 0.0457 0.0021
0.7419 0.8083 -0.0664 0.0044
0.8948 0.8436 0.0512 0.0026
0.7845 0.8136 -0.0292 0.0008
0.8400 0.7983 0.0417 0.0017
0.7053 0.7986 -0.0934 0.0087
0.9824 0.8276 0.1548 0.0239
0.5818 0.6758 -0.0940 0.0088
0.7406 0.6546 0.0860 0.0074
0.5304 0.5574 -0.0270 0.0007
0.5519 0.5110 0.0410 0.0017
0.4290 0.5013 -0.0722 0.0052
0.6263 0.4258 0.2006 0.0402
0.1382 0.2165 -0.0782 0.0061
0.2403 0.1942 0.0461 0.0021
0.1366 0.1815 -0.0449 0.0020
0.2547 0.0892 0.1655 0.0274
-0.1162 -0.0526 -0.0636 0.0040
-0.0235 -0.0495 0.0260 0.0007
-0.0799 -0.0066 -0.0733 0.0054
0.0462 0.1497 -0.1034 0.0107
0.2861 0.2616 0.0245 0.0006
MSE 0.0050
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
139
Lampiran 39. Tabel hasil prediksi dan selang kepercayaan gambar 4.10
Indek Prediksi BB BA
1 644.002 634.417 653.586
2 644.522 635.128 653.915
3 645.039 635.834 654.245
4 645.555 636.534 654.576
5 646.069 637.229 654.909
6 646.581 637.919 655.243
7 647.091 638.603 655.579
8 647.598 639.281 655.916
9 648.104 639.954 656.254
10 648.608 640.622 656.595
11 649.110 641.285 656.936
12 649.611 641.942 657.280
13 650.109 642.593 657.624
14 650.605 643.240 657.971
15 651.100 643.881 658.319
16 651.593 644.516 658.669
17 652.084 645.146 659.021
18 652.573 645.771 659.374
19 653.060 646.391 659.730
20 653.546 647.005 660.087
21 654.030 647.614 660.446
22 654.512 648.217 660.806
23 654.992 648.816 661.169
24 655.471 649.408 661.534
25 655.948 649.996 661.900
26 656.424 650.579 662.269
27 656.897 651.156 662.639
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
140
28 657.369 651.727 663.011
29 657.840 652.294 663.386
30 658.309 652.856 663.762
31 658.776 653.412 664.141
32 659.242 653.963 664.522
33 659.707 654.509 664.904
34 660.169 655.050 665.289
35 660.631 655.586 665.675
36 661.090 656.117 666.064
37 661.549 656.643 666.455
38 662.006 657.164 666.847
39 662.461 657.680 667.242
40 662.915 658.192 667.638
41 663.368 658.698 668.037
42 663.819 659.201 668.437
43 664.269 659.698 668.839
44 664.717 660.192 669.243
45 665.164 660.680 669.649
46 665.610 661.165 670.056
47 666.055 661.645 670.464
48 666.498 662.122 670.875
49 666.940 662.594 671.286
50 667.381 663.063 671.699
51 667.821 663.527 672.114
52 668.259 663.988 672.529
53 668.696 664.446 672.946
54 669.132 664.900 673.364
55 669.567 665.351 673.782
56 670.000 665.799 674.202
57 670.433 666.244 674.622
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
141
58 670.864 666.685 675.043
59 671.295 667.124 675.465
60 671.724 667.560 675.887
61 672.152 667.994 676.310
62 672.579 668.425 676.733
63 673.005 668.854 677.156
64 673.430 669.281 677.580
65 673.855 669.705 678.004
66 674.278 670.128 678.427
67 674.700 670.549 678.851
68 675.121 670.967 679.275
69 675.541 671.385 679.698
70 675.961 671.800 680.121
71 676.379 672.214 680.544
72 676.797 672.627 680.967
73 677.214 673.038 681.390
74 677.630 673.448 681.811
75 678.045 673.857 682.233
76 678.459 674.265 682.654
77 678.873 674.671 683.074
78 679.285 675.077 683.494
79 679.697 675.482 683.913
80 680.109 675.886 684.331
81 680.519 676.289 684.749
82 680.929 676.692 685.166
83 681.338 677.094 685.583
84 681.747 677.496 685.998
85 682.155 677.897 686.413
86 682.562 678.297 686.827
87 682.969 678.697 687.240
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
142
88 683.375 679.097 687.652
89 683.780 679.496 688.063
90 684.185 679.896 688.474
91 684.589 680.294 688.884
92 684.993 680.693 689.293
93 685.396 681.092 689.701
94 685.799 681.490 690.108
95 686.201 681.888 690.514
96 686.603 682.287 690.919
97 687.004 682.685 691.324
98 687.405 683.083 691.728
99 687.806 683.481 692.131
100 688.206 683.879 692.533
101 688.606 684.278 692.934
102 689.005 684.676 693.334
103 689.404 685.075 693.734
104 689.803 685.473 694.133
105 690.201 685.872 694.531
106 690.600 686.271 694.928
107 690.997 686.671 695.324
108 691.395 687.070 695.720
109 691.792 687.470 696.115
110 692.189 687.870 696.509
111 692.586 688.270 696.903
112 692.983 688.670 697.296
113 693.380 689.071 697.689
114 693.776 689.472 698.080
115 694.172 689.873 698.472
116 694.569 690.275 698.862
117 694.965 690.677 699.252
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
143
118 695.361 691.079 699.642
119 695.756 691.482 700.031
120 696.152 691.885 700.420
121 696.548 692.288 700.808
122 696.944 692.692 701.196
123 697.340 693.096 701.583
124 697.735 693.500 701.970
125 698.131 693.905 702.357
126 698.527 694.311 702.743
127 698.923 694.716 703.130
128 699.319 695.122 703.516
129 699.715 695.529 703.901
130 700.111 695.936 704.287
131 700.508 696.343 704.672
132 700.904 696.751 705.058
133 701.301 697.159 705.443
134 701.698 697.567 705.828
135 702.095 697.976 706.213
136 702.492 698.385 706.599
137 702.890 698.795 706.984
138 703.287 699.205 707.369
139 703.685 699.616 707.755
140 704.084 700.027 708.140
141 704.482 700.439 708.526
142 704.881 700.850 708.912
143 705.281 701.263 709.299
144 705.680 701.675 709.685
145 706.080 702.089 710.072
146 706.481 702.502 710.459
147 706.882 702.916 710.847
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
144
148 707.283 703.330 711.235
149 707.685 703.745 711.624
150 708.087 704.160 712.013
151 708.489 704.576 712.402
152 708.892 704.992 712.793
153 709.296 705.408 713.184
154 709.700 705.825 713.575
155 710.105 706.243 713.967
156 710.510 706.660 714.360
157 710.916 707.078 714.754
158 711.322 707.497 715.148
159 711.729 707.916 715.543
160 712.137 708.335 715.939
161 712.545 708.754 716.336
162 712.954 709.174 716.734
163 713.364 709.595 717.133
164 713.774 710.016 717.533
165 714.185 710.437 717.934
166 714.597 710.859 718.336
167 715.010 711.281 718.739
168 715.423 711.703 719.143
169 715.837 712.126 719.548
170 716.252 712.549 719.955
171 716.668 712.973 720.363
172 717.084 713.397 720.772
173 717.502 713.821 721.182
174 717.920 714.246 721.593
175 718.339 714.672 722.006
176 718.759 715.098 722.420
177 719.180 715.524 722.836
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
145
178 719.602 715.951 723.253
179 720.025 716.378 723.672
180 720.449 716.805 724.092
181 720.873 717.234 724.513
182 721.299 717.662 724.936
183 721.726 718.091 725.361
184 722.154 718.521 725.787
185 722.583 718.951 726.214
186 723.013 719.382 726.643
187 723.444 719.813 727.074
188 723.876 720.245 727.507
189 724.309 720.678 727.941
190 724.744 721.111 728.377
191 725.179 721.545 728.814
192 725.616 721.979 729.253
193 726.054 722.414 729.694
194 726.493 722.850 730.136
195 726.934 723.287 730.581
196 727.375 723.724 731.027
197 727.818 724.162 731.474
198 728.262 724.601 731.924
199 728.708 725.041 732.375
200 729.155 725.481 732.828
201 729.603 725.923 733.283
202 730.052 726.365 733.740
203 730.503 726.808 734.198
204 730.955 727.252 734.658
205 731.409 727.698 735.120
206 731.864 728.144 735.584
207 732.320 728.591 736.049
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
146
208 732.778 729.040 736.517
209 733.238 729.489 736.986
210 733.698 729.940 737.457
211 734.161 730.392 737.930
212 734.625 730.845 738.404
213 735.090 731.299 738.881
214 735.557 731.755 739.359
215 736.025 732.211 739.839
216 736.495 732.670 740.321
217 736.967 733.129 740.805
218 737.440 733.591 741.290
219 737.915 734.053 741.778
220 738.392 734.517 742.267
221 738.870 734.983 742.758
222 739.350 735.450 743.250
223 739.832 735.919 743.745
224 740.315 736.389 744.241
225 740.800 736.861 744.739
226 741.287 737.335 745.239
227 741.776 737.810 745.741
228 742.266 738.287 746.245
229 742.758 738.767 746.750
230 743.252 739.247 747.257
231 743.748 739.730 747.766
232 744.246 740.215 748.277
233 744.746 740.702 748.789
234 745.247 741.190 749.304
235 745.750 741.681 749.820
236 746.256 742.174 750.338
237 746.763 742.669 750.857
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
147
238 747.272 743.166 751.379
239 747.783 743.665 751.902
240 748.297 744.166 752.427
241 748.812 744.670 752.954
242 749.329 745.176 753.483
243 749.848 745.684 754.013
244 750.370 746.194 754.545
245 750.893 746.707 755.079
246 751.419 747.222 755.615
247 751.946 747.740 756.153
248 752.476 748.260 756.692
249 753.008 748.782 757.234
250 753.542 749.307 757.777
251 754.078 749.835 758.322
252 754.617 750.365 758.869
253 755.157 750.897 759.417
254 755.700 751.433 759.968
255 756.245 751.971 760.520
256 756.793 752.511 761.074
257 757.342 753.055 761.630
258 757.894 753.601 762.188
259 758.449 754.150 762.748
260 759.005 754.701 763.310
261 759.564 755.256 763.873
262 760.126 755.813 764.439
263 760.689 756.373 765.006
264 761.256 756.936 765.576
265 761.824 757.501 766.147
266 762.395 758.070 766.720
267 762.969 758.642 767.295
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
148
268 763.545 759.216 767.873
269 764.123 759.794 768.452
270 764.704 760.374 769.033
271 765.287 760.958 769.617
272 765.873 761.544 770.202
273 766.462 762.134 770.790
274 767.053 762.726 771.379
275 767.647 763.322 771.971
276 768.243 763.921 772.565
277 768.842 764.522 773.161
278 769.443 765.127 773.760
279 770.048 765.735 774.360
280 770.654 766.346 774.963
281 771.264 766.960 775.569
282 771.876 767.577 776.176
283 772.491 768.197 776.786
284 773.109 768.820 777.398
285 773.730 769.446 778.013
286 774.353 770.075 778.631
287 774.979 770.708 779.250
288 775.608 771.343 779.873
289 776.240 771.982 780.498
290 776.874 772.623 781.125
291 777.512 773.268 781.756
292 778.152 773.915 782.389
293 778.795 774.565 783.025
294 779.441 775.219 783.664
295 780.091 775.875 784.306
296 780.743 776.534 784.951
297 781.398 777.196 785.599
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
149
298 782.055 777.861 786.250
299 782.716 778.528 786.904
300 783.380 779.199 787.562
301 784.047 779.872 788.223
302 784.717 780.547 788.888
303 785.391 781.225 789.556
304 786.067 781.906 790.227
305 786.746 782.589 790.903
306 787.429 783.275 791.582
307 788.114 783.963 792.265
308 788.803 784.653 792.953
309 789.495 785.346 793.644
310 790.190 786.040 794.339
311 790.888 786.737 795.039
312 791.590 787.436 795.743
313 792.294 788.136 796.452
314 793.002 788.839 797.166
315 793.714 789.543 797.884
316 794.428 790.249 798.607
317 795.146 790.957 799.335
318 795.867 791.666 800.069
319 796.592 792.376 800.807
320 797.320 793.088 801.551
321 798.051 793.801 802.301
322 798.786 794.515 803.056
323 799.524 795.230 803.817
324 800.265 795.947 804.584
325 801.010 796.664 805.356
326 801.758 797.382 806.135
327 802.510 798.101 806.920
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
150
328 803.266 798.820 807.711
329 804.024 799.540 808.509
330 804.787 800.261 809.313
331 805.553 800.982 810.123
332 806.322 801.704 810.941
333 807.095 802.426 811.765
334 807.872 803.149 812.596
335 808.652 803.871 813.433
336 809.436 804.594 814.278
337 810.224 805.318 815.130
338 811.015 806.041 815.989
339 811.810 806.765 816.855
340 812.609 807.489 817.728
341 813.411 808.213 818.608
342 814.217 808.938 819.496
343 815.027 809.662 820.391
344 815.840 810.387 821.294
345 816.658 811.112 822.204
346 817.479 811.837 823.121
347 818.304 812.562 824.046
348 819.133 813.288 824.978
349 819.965 814.013 825.917
350 820.802 814.739 826.864
351 821.642 815.466 827.819
352 822.487 816.192 828.781
353 823.335 816.919 829.751
354 824.187 817.646 830.728
355 825.043 818.374 831.713
356 825.903 819.102 832.705
357 826.767 819.830 833.705
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
151
358 827.635 820.559 834.712
359 828.508 821.288 835.727
360 829.384 822.018 836.749
361 830.264 822.748 837.779
362 831.148 823.479 838.817
363 832.037 824.211 839.862
364 832.929 824.943 840.915
365 833.826 825.676 841.976
366 834.726 826.409 843.044
367 835.631 827.143 844.119
368 836.540 827.878 845.203
369 837.454 828.614 846.294
370 838.371 829.350 847.392
371 839.293 830.088 848.498
372 840.219 830.826 849.612
373 841.149 831.565 850.734
Lampiran 40. Tabel hasil prediksi dan selang kepercayaan gambar 4.12
Indek Prediksi BB BA
1 665.266 664.991 665.009
2 667.347 666.991 667.009
3 670.486 671.991 672.009
4 664.928 663.991 664.009
5 663.536 663.991 664.009
6 660.116 659.991 660.009
7 657.352 656.991 657.009
8 657.351 656.991 657.009
9 659.651 659.991 660.009
10 659.999 659.991 660.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
152
11 660.000 659.991 660.009
12 660.117 659.991 660.009
13 661.116 660.991 661.009
14 662.766 662.991 663.009
15 662.766 662.991 663.009
16 661.233 660.991 661.009
17 661.116 660.991 661.009
18 661.650 661.991 662.009
19 660.004 659.991 660.009
20 659.397 657.991 658.009
21 666.602 667.991 668.009
22 665.881 665.991 666.009
23 663.818 662.991 663.009
24 667.001 666.991 667.009
25 670.415 670.991 671.009
26 669.649 669.991 670.009
27 666.466 665.991 666.009
28 666.000 665.991 666.009
29 665.652 665.991 666.009
30 663.583 662.991 663.009
31 664.885 664.991 665.009
32 665.882 665.991 666.009
33 665.768 665.991 666.009
34 664.581 663.991 664.009
35 666.304 666.991 667.009
36 664.816 663.991 664.009
37 668.001 667.991 668.009
38 671.417 671.991 672.009
39 671.467 670.991 671.009
40 674.349 673.991 674.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
153
41 678.949 679.991 680.009
42 676.882 676.991 677.009
43 673.699 672.991 673.009
44 674.651 674.991 675.009
45 673.766 673.991 674.009
46 671.231 670.991 671.009
47 669.535 669.991 670.009
48 665.465 664.991 665.009
49 663.651 663.991 664.009
50 660.058 659.991 660.009
51 656.851 656.491 656.509
52 656.118 655.991 656.009
53 656.442 656.491 656.509
54 656.385 656.491 656.509
55 656.142 655.491 655.509
56 659.885 659.991 660.009
57 663.267 663.491 663.509
58 665.407 664.991 665.009
59 669.532 669.991 670.009
60 670.301 670.991 671.009
61 667.163 665.991 666.009
62 670.244 670.991 671.009
63 669.324 669.491 669.509
64 666.966 666.491 666.509
65 667.383 667.491 667.509
66 666.977 667.491 667.509
67 663.989 662.991 663.009
68 666.422 666.991 667.009
69 666.811 665.991 666.009
70 670.719 671.991 672.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
154
71 667.345 666.991 667.009
72 664.653 664.991 665.009
73 660.583 659.991 660.009
74 660.002 659.991 660.009
75 660.116 659.991 660.009
76 660.825 660.991 661.009
77 660.558 660.491 660.509
78 660.500 660.491 660.509
79 660.559 660.491 660.509
80 661.233 660.991 661.009
81 663.323 663.491 663.509
82 663.858 664.491 664.509
83 660.466 659.991 660.009
84 659.617 659.491 659.509
85 659.650 659.991 660.009
86 657.616 657.491 657.509
87 656.176 655.991 656.009
88 656.001 655.991 656.009
89 656.000 655.991 656.009
90 656.000 655.991 656.009
91 656.001 655.991 656.009
92 656.234 655.991 656.009
93 658.118 657.991 658.009
94 661.057 660.991 661.009
95 664.032 664.491 664.509
96 663.767 663.991 664.009
97 662.081 661.491 661.509
98 663.360 663.991 664.009
99 661.234 660.991 661.009
100 660.699 659.991 660.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
155
101 664.302 664.991 665.009
102 664.231 663.991 664.009
103 664.942 664.991 665.009
104 665.441 665.491 665.509
105 665.325 665.491 665.509
106 664.175 663.991 664.009
107 664.061 663.991 664.009
108 664.966 664.491 664.509
109 668.476 668.991 669.009
110 668.997 668.991 669.009
111 668.533 668.991 669.009
112 665.233 664.991 665.009
113 663.235 662.991 663.009
114 663.000 662.991 663.009
115 662.884 662.991 663.009
116 662.118 661.991 662.009
117 662.466 661.991 662.009
118 665.418 665.991 666.009
119 665.121 664.991 665.009
120 666.860 664.991 665.009
121 678.206 680.991 681.009
122 673.926 672.991 673.009
123 673.239 672.991 673.009
124 675.465 674.991 675.009
125 680.069 680.991 681.009
126 679.580 678.991 679.009
127 681.652 681.991 682.009
128 682.236 681.991 682.009
129 684.934 683.991 684.009
130 693.417 693.991 694.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
156
131 698.415 698.991 699.009
132 699.408 698.991 699.009
133 702.849 702.491 702.509
134 708.011 708.991 709.009
135 707.691 706.991 707.009
136 709.136 710.991 711.009
137 699.822 698.991 699.009
138 696.915 693.991 694.009
139 711.323 713.991 714.009
140 711.105 710.991 711.009
141 708.186 708.991 709.009
142 700.932 699.991 700.009
143 699.125 698.991 699.009
144 700.394 698.991 699.009
145 708.440 710.991 711.009
146 702.742 700.991 701.009
147 705.420 705.991 706.009
148 705.530 705.991 706.009
149 701.887 701.991 702.009
150 698.519 696.991 697.009
151 705.114 704.991 705.009
152 711.785 713.991 714.009
153 705.278 703.991 704.009
154 705.235 704.991 705.009
155 706.953 707.991 708.009
156 702.931 701.991 702.009
157 703.887 703.991 704.009
158 705.117 704.991 705.009
159 707.229 706.991 707.009
160 709.550 710.991 711.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
157
161 705.179 702.491 702.509
162 715.898 716.991 717.009
163 721.651 721.991 722.009
164 725.515 723.991 724.009
165 738.071 738.991 739.009
166 745.994 745.991 746.009
167 752.064 752.991 753.009
168 751.532 751.991 752.009
169 747.818 746.991 747.009
170 749.467 748.991 749.009
171 754.186 754.991 755.009
172 754.699 753.991 754.009
173 759.231 758.991 759.009
174 764.367 765.991 766.009
175 759.576 758.991 759.009
176 756.307 756.991 757.009
177 750.747 748.991 749.009
178 755.07 755.991 756.009
179 754.654 754.991 755.009
180 753.100 750.991 751.009
181 764.416 764.991 765.009
182 772.075 773.991 774.009
183 768.010 766.491 766.509
184 771.244 771.991 772.009
185 770.531 770.991 771.009
186 766.235 765.991 766.009
187 763.932 762.991 763.009
188 767.074 767.991 768.009
189 766.512 764.991 765.009
190 773.837 774.991 775.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
158
191 774.992 774.991 775.009
192 773.833 774.991 775.009
193 765.465 764.991 765.009
194 759.585 758.991 759.009
195 757.652 757.991 758.009
196 754.117 753.991 754.009
197 751.468 750.991 751.009
198 751.998 751.991 752.009
199 751.955 752.991 753.009
200 746.863 744.991 745.009
201 752.073 752.991 753.009
202 753.461 752.991 753.009
203 755.952 756.991 757.009
204 752.585 751.991 752.009
205 753.282 751.991 752.009
206 761.604 762.991 763.009
207 762.463 761.991 762.009
208 765.114 764.991 765.009
209 767.718 768.991 769.009
210 762.813 761.991 762.009
211 761.886 761.991 762.009
212 761.116 760.991 761.009
213 760.996 760.991 761.009
214 759.837 760.991 761.009
215 752.633 750.991 751.009
216 755.354 754.991 755.009
217 761.415 761.991 762.009
218 763.415 763.991 764.009
219 761.349 760.991 761.009
220 760.999 760.991 761.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
159
221 760.420 760.991 761.009
222 757.282 755.991 756.009
223 761.766 761.991 762.009
224 764.600 765.991 766.009
225 758.696 757.991 758.009
226 756.004 755.991 756.009
227 754.465 753.991 754.009
228 755.305 755.991 756.009
229 753.164 751.991 752.009
230 757.302 757.991 758.009
231 757.765 757.991 758.009
232 756.231 755.991 756.009
233 755.535 755.991 756.009
234 752.350 751.991 752.009
235 751.235 750.991 751.009
236 752.118 751.991 752.009
237 754.116 753.991 754.009
238 756.648 756.991 757.009
239 756.416 756.991 757.009
240 752.467 751.991 752.009
241 751.588 750.991 751.009
242 755.583 754.991 755.009
243 762.951 763.991 764.009
244 763.996 763.991 764.009
245 763.882 763.991 764.009
246 762.531 762.991 763.009
247 757.651 757.991 758.009
248 750.932 749.991 750.009
249 749.419 749.991 750.009
250 745.117 744.991 745.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
160
251 741.584 740.991 741.009
252 741.770 741.991 742.009
253 741.350 740.991 741.009
254 743.118 742.991 743.009
255 745.882 745.991 746.009
256 747.650 747.991 748.009
257 747.116 746.991 747.009
258 747.117 746.991 747.009
259 747.884 747.991 748.009
260 748.117 747.991 748.009
261 749.116 748.991 749.009
262 750.766 750.991 751.009
263 750.650 750.991 751.009
264 748.233 747.991 748.009
265 747.118 746.991 747.009
266 746.999 746.991 747.009
267 746.535 746.991 747.009
268 743.698 742.991 743.009
269 744.652 744.991 745.009
270 744.117 743.991 744.009
271 744.349 743.991 744.009
272 746.535 746.991 747.009
273 746.234 745.991 746.009
274 747.582 746.991 747.009
275 752.184 752.991 753.009
276 751.996 751.991 752.009
277 750.650 750.991 751.009
278 747.116 746.991 747.009
279 744.235 743.991 744.009
280 743.237 742.991 743.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
161
281 744.581 743.991 744.009
282 748.837 749.991 750.009
283 746.929 745.991 746.009
284 749.420 749.991 750.009
285 749.348 748.991 749.009
286 750.884 750.991 751.009
287 751.883 751.991 752.009
288 751.999 751.991 752.009
289 751.884 751.991 752.009
290 751.233 750.991 751.009
291 751.884 751.991 752.009
292 752.004 751.991 752.009
293 753.164 751.991 752.009
294 760.836 761.991 762.009
295 761.996 761.991 762.009
296 762.005 761.991 762.009
297 763.401 761.991 762.009
298 773.651 773.991 774.009
299 782.070 782.991 783.009
300 785.620 783.991 784.009
301 795.272 798.991 799.009
302 783.392 781.991 782.009
303 777.938 776.991 777.009
304 779.415 779.991 780.009
305 776.951 777.991 778.009
306 768.282 766.991 767.009
307 767.005 766.991 767.009
308 767.117 766.991 767.009
309 768.116 767.991 768.009
310 769.651 769.991 770.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
162
311 769.348 768.991 769.009
312 770.536 770.991 771.009
313 769.580 768.991 769.009
314 771.188 771.991 772.009
315 769.163 767.991 768.009
316 773.302 773.991 774.009
317 773.650 773.991 774.009
318 771.699 770.991 771.009
319 773.652 773.991 774.009
320 774.001 773.991 774.009
321 774.582 773.991 774.009
322 778.299 778.991 779.009
323 777.299 777.991 778.009
324 771.700 770.991 771.009
325 770.353 769.991 770.009
326 772.117 771.991 772.009
327 774.650 774.991 775.009
328 774.882 774.991 775.009
329 774.118 773.991 774.009
330 774.351 773.991 774.009
331 777.000 776.991 777.009
332 779.533 779.991 780.009
333 779.117 778.991 779.009
334 779.468 778.991 779.009
335 783.118 782.991 783.009
336 788.003 787.991 788.009
337 793.697 792.991 793.009
338 802.719 803.991 804.009
339 804.577 803.991 804.009
340 808.303 808.991 809.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
163
341 808.698 807.991 808.009
342 812.764 812.991 813.009
343 814.484 815.991 816.009
344 807.165 805.991 806.009
345 806.472 805.991 806.009
346 810.121 809.991 810.009
347 815.811 814.991 815.009
348 825.025 826.991 827.009
349 824.326 821.991 822.009
350 835.841 836.991 837.009
351 842.456 841.991 842.009
352 848.901 850.991 851.009
353 842.692 841.991 842.009
354 838.414 838.991 839.009
355 829.719 830.991 831.009
356 813.866 811.991 812.009
357 809.361 808.991 809.009
358 810.158 808.991 809.009
359 815.740 818.991 819.009
360 803.097 800.991 801.009
361 802.525 800.991 801.009
362 813.669 813.991 814.009
363 828.187 823.991 824.009
364 864.636 869.991 870.009
365 868.957 869.991 870.009
366 868.803 860.991 861.009
367 912.832 918.991 919.009
368 923.395 923.991 924.009
369 924.230 923.991 924.009
370 925.529 925.991 926.009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
164
371 922.721 923.991 924.009
372 913.328 910.991 911.009
373 917.083 917.991 918.009
Lampiran 41. Data awal
Tanggal Harga 1gr
02 Januari 2019 665.000
03 Januari 2019 667.000
04 Januari 2019 672.000
05 Januari 2019 664.000
07 Januari 2019 664.000
08 Januari 2019 660.000
09 Januari 2019 657.000
10 Januari 2019 657.000
11 Januari 2019 660.000
12 Januari 2019 660.000
14 Januari 2019 660.000
15 Januari 2019 660.000
16 Januari 2019 661.000
17 Januari 2019 663.000
18 Januari 2019 663.000
21 Januari 2019 661.000
22 Januari 2019 661.000
23 Januari 2019 662.000
24 Januari 2019 660.000
25 Januari 2019 658.000
26 Januari 2019 668.000
28 Januari 2019 666.000
29 Januari 2019 663.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
165
30 Januari 2019 667.000
31 Januari 2019 671.000
01 Februari 2019 670.000
02 Februari 2019 666.000
04 Februari 2019 666.000
06 Februari 2019 666.000
07 Februari 2019 663.000
08 Februari 2019 665.000
09 Februari 2019 666.000
11 Februari 2019 666.000
12 Februari 2019 664.000
13 Februari 2019 667.000
14 Februari 2019 664.000
15 Februari 2019 668.000
16 Februari 2019 672.000
18 Februari 2019 671.000
19 Februari 2019 674.000
20 Februari 2019 680.000
21 Februari 2019 677.000
22 Februari 2019 673.000
23 Februari 2019 675.000
25 Februari 2019 674.000
26 Februari 2019 671.000
27 Februari 2019 670.000
28 Februari 2019 665.000
01 Maret 2019 664.000
02 Maret 2019 660.000
04 Maret 2019 656.500
05 Maret 2019 656.000
06 Maret 2019 656.500
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
166
07 Maret 2019 656.500
08 Maret 2019 655.500
09 Maret 2019 660.000
11 Maret 2019 663.500
12 Maret 2019 665.000
13 Maret 2019 670.000
14 Maret 2019 671.000
15 Maret 2019 666.000
16 Maret 2019 671.000
18 Maret 2019 669.500
19 Maret 2019 666.500
20 Maret 2019 667.500
21 Maret 2019 667.500
22 Maret 2019 663.000
23 Maret 2019 667.000
25 Maret 2019 666.000
26 Maret 2019 672.000
27 Maret 2019 667.000
28 Maret 2019 665.000
29 Maret 2019 660.000
01 April 2019 660.000
02 April 2019 660.000
04 April 2019 661.000
05 April 2019 660.500
06 April 2019 660.500
08 April 2019 660.500
09 April 2019 661.000
10 April 2019 663.500
11 April 2019 664.500
12 April 2019 660.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
167
13 April 2019 659.500
15 April 2019 660.000
16 April 2019 657.500
18 April 2019 656.000
19 April 2019 656.000
20 April 2019 656.000
22 April 2019 656.000
23 April 2019 656.000
24 April 2019 656.000
25 April 2019 658.000
26 April 2019 661.000
27 April 2019 664.500
29 April 2019 664.000
30 April 2019 661.500
01 Mei 2019 664.000
02 Mei 2019 661.000
03 Mei 2019 660.000
04 Mei 2019 665.000
06 Mei 2019 664.000
07 Mei 2019 665.000
08 Mei 2019 665.500
09 Mei 2019 665.500
10 Mei 2019 664.000
11 Mei 2019 664.000
13 Mei 2019 664.500
14 Mei 2019 669.000
15 Mei 2019 669.000
16 Mei 2019 669.000
17 Mei 2019 665.000
18 Mei 2019 663.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
168
20 Mei 2019 663.000
21 Mei 2019 663.000
22 Mei 2019 662.000
23 Mei 2019 662.000
24 Mei 2019 666.000
27 Mei 2019 665.000
28 Mei 2019 665.000
10 Juni 2019 681.000
11 Juni 2019 673.000
12 Juni 2019 673.000
13 Juni 2019 675.000
14 Juni 2019 681.000
17 Juni 2019 679.000
18 Juni 2019 682.000
19 Juni 2019 682.000
20 Juni 2019 684.000
21 Juni 2019 694.000
22 Juni 2019 699.000
24 Juni 2019 699.000
25 Juni 2019 702.500
26 Juni 2019 709.000
27 Juni 2019 707.000
28 Juni 2019 711.000
01 Juli 2019 699.000
02 Juli 2019 694.000
03 Juli 2019 714.000
04 Juli 2019 711.000
05 Juli 2019 709.000
08 Juli 2019 700.000
09 Juli 2019 699.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
169
10 Juli 2019 699.000
11 Juli 2019 711.000
12 Juli 2019 701.000
13 Juli 2019 706.000
15 Juli 2019 706.000
16 Juli 2019 702.000
17 Juli 2019 697.000
18 Juli 2019 705.000
19 Juli 2019 714.000
22 Juli 2019 704.000
23 Juli 2019 705.000
25 Juli 2019 708.000
26 Juli 2019 702.000
27 Juli 2019 704.000
29 Juli 2019 705.000
30 Juli 2019 707.000
31 Juli 2019 711.000
01 Agustus 2019 702.500
02 Agustus 2019 717.000
03 Agustus 2019 722.000
05 Agustus 2019 724.000
06 Agustus 2019 739.000
07 Agustus 2019 746.000
08 Agustus 2019 753.000
09 Agustus 2019 752.000
10 Agustus 2019 747.000
12 Agustus 2019 749.000
13 Agustus 2019 755.000
14 Agustus 2019 754.000
15 Agustus 2019 759.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
170
16 Agustus 2019 766.000
17 Agustus 2019 759.000
19 Agustus 2019 757.000
20 Agustus 2019 749.000
21 Agustus 2019 756.000
22 Agustus 2019 755.000
23 Agustus 2019 751.000
24 Agustus 2019 765.000
26 Agustus 2019 774.000
27 Agustus 2019 766.500
28 Agustus 2019 772.000
29 Agustus 2019 771.000
30 Agustus 2019 766.000
31 Agustus 2019 763.000
02 September 2019 768.000
03 September 2019 765.000
04 September 2019 775.000
05 September 2019 775.000
06 September 2019 775.000
06 September 2019 765.000
07 September 2019 759.000
09 September 2019 758.000
10 September 2019 754.000
11 September 2019 751.000
12 September 2019 752.000
13 September 2019 753.000
14 September 2019 745.000
16 September 2019 753.000
17 September 2019 753.000
18 September 2019 757.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
171
19 September 2019 752.000
20 September 2019 752.000
21 September 2019 763.000
23 September 2019 762.000
24 September 2019 765.000
25 September 2019 769.000
26 September 2019 762.000
27 September 2019 762.000
28 September 2019 761.000
29 September 2019 761.000
30 September 2019 761.000
01 Oktober 2019 751.000
02 Oktober 2019 755.000
03 Oktober 2019 762.000
04 Oktober 2019 764.000
05 Oktober 2019 761.000
06 Oktober 2019 761.000
07 Oktober 2019 761.000
08 Oktober 2019 756.000
09 Oktober 2019 762.000
10 Oktober 2019 766.000
11 Oktober 2019 758.000
12 Oktober 2019 756.000
14 Oktober 2019 754.000
15 Oktober 2019 756.000
16 Oktober 2019 752.000
17 Oktober 2019 758.000
18 Oktober 2019 758.000
19 Oktober 2019 756.000
21 Oktober 2019 756.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
172
22 Oktober 2019 752.000
23 Oktober 2019 751.000
24 Oktober 2019 752.000
25 Oktober 2019 754.000
26 Oktober 2019 757.000
28 Oktober 2019 757.000
29 Oktober 2019 752.000
30 Oktober 2019 751.000
31 Oktober 2019 755.000
01 November 2019 764.000
02 November 2019 764.000
03 November 2019 764.000
04 November 2019 763.000
05 November 2019 758.000
06 November 2019 750.000
07 November 2019 750.000
08 November 2019 745.000
09 November 2019 741.000
11 November 2019 742.000
12 November 2019 741.000
13 November 2019 743.000
14 November 2019 746.000
15 November 2019 748.000
16 November 2019 747.000
16 November 2019 747.000
18 November 2019 748.000
18 November 2019 748.000
19 November 2019 749.000
20 November 2019 751.000
21 November 2019 751.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
173
22 November 2019 748.000
23 November 2019 747.000
24 November 2019 747.000
25 November 2019 747.000
26 November 2019 743.000
27 November 2019 745.000
28 November 2019 744.000
29 November 2019 744.000
30 November 2019 747.000
02 Desember 2019 746.000
03 Desember 2019 747.000
04 Desember 2019 753.000
05 Desember 2019 752.000
06 Desember 2019 751.000
07 Desember 2019 747.000
09 Desember 2019 744.000
10 Desember 2019 743.000
11 Desember 2019 744.000
12 Desember 2019 750.000
13 Desember 2019 746.000
14 Desember 2019 750.000
16 Desember 2019 749.000
17 Desember 2019 751.000
18 Desember 2019 752.000
19 Desember 2019 752.000
20 Desember 2019 752.000
21 Desember 2019 751.000
23 Desember 2019 752.000
26 Desember 2019 752.000
27 Desember 2019 752.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
174
30 Desember 2019 762.000
31 Desember 2019 762.000
02 Januari 2020 762.000
03 Januari 2020 762.000
04 Januari 2020 774.000
06 Januari 2020 783.000
07 Januari 2020 784.000
08 Januari 2020 799.000
09 Januari 2020 782.000
10 Januari 2020 777.000
11 Januari 2020 780.000
13 Januari 2020 778.000
14 Januari 2020 767.000
15 Januari 2020 767.000
16 Januari 2020 767.000
17 Januari 2020 768.000
18 Januari 2020 770.000
20 Januari 2020 769.000
21 Januari 2020 771.000
22 Januari 2020 769.000
23 Januari 2020 772.000
24 Januari 2020 768.000
27 Januari 2020 774.000
28 Januari 2020 774.000
29 Januari 2020 771.000
30 Januari 2020 774.000
31 Januari 2020 774.000
01 Februari 2020 774.000
03 Februari 2020 779.000
04 Februari 2020 778.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
175
05 Februari 2020 771.000
06 Februari 2020 770.000
07 Februari 2020 772.000
10 Februari 2020 775.000
11 Februari 2020 775.000
12 Februari 2020 774.000
13 Februari 2020 774.000
14 Februari 2020 777.000
15 Februari 2020 780.000
17 Februari 2020 779.000
18 Februari 2020 779.000
19 Februari 2020 783.000
20 Februari 2020 788.000
21 Februari 2020 793.000
22 Februari 2020 804.000
24 Februari 2020 804.000
25 Februari 2020 809.000
26 Februari 2020 808.000
27 Februari 2020 813.000
28 Februari 2020 816.000
29 Februari 2020 806.000
01 Maret 2020 806.000
02 Maret 2020 810.000
03 Maret 2020 815.000
04 Maret 2020 827.000
05 Maret 2020 822.000
06 Maret 2020 837.000
07 Maret 2020 842.000
09 Maret 2020 851.000
10 Maret 2020 842.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
176
11 Maret 2020 839.000
12 Maret 2020 831.000
13 Maret 2020 812.000
14 Maret 2020 809.000
15 Maret 2020 809.000
16 Maret 2020 819.000
17 Maret 2020 801.000
18 Maret 2020 801.000
19 Maret 2020 814.000
20 Maret 2020 824.000
21 Maret 2020 870.000
22 Maret 2020 870.000
23 Maret 2020 861.000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Top Related