VARIAN DAN
STANDAR
DEVIASI
(SIMPANGAN
BAKU)
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
Simpangan Baku
Istilah simpangan baku pertama kali diperkenakan
oleh Karl Pearson pada tahun 1894, dalam
bukunya On the dissection of asymmetrical
frequency curves.
Dalam statistika dan probabilitas, simpangan
baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran
statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia
mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa
juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak
penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-
rata data tersebut.
Varian
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasilpenjumlahan kuadrat (sum of squares) denganukuran data (n).
Namun dalam penerapannya, nilai varian tersebutbias untuk menduga varian populasi. Denganrumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar darivarian sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam mendugavarian populasi, maka n sebagai sum of squaresdiganti dengan n-1 agar nilainya menjadi lebih besardan mendekati varian populasi.
Simpangan Baku
Simpangan baku didefinisikan sebagai akarkuadrat varians.
Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebutdiketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.
Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter.
2ss
Simpangan Baku
Simpangan baku untuk populasi disimbolkandengan σ (sigma) dan didefinisikan dengan rumus:
Simpangan baku untuk sampel disimbolkandengan s dan didefinisikan dengan rumus:
dimana x adalah nilai data dari sampel dan x adalahrata-rata dari sampel.
Perhitungan
Untuk mempermudah penghitungan, rumus variandan standar deviasi (simpangan baku) tersebutbisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus Simpangan Baku (Standar Deviasi) :
Keterangan:s2 = varians = simpangan bakuxi = nilai x ke-Ix = rata-ratan = ukuran sampel
Contoh Perhitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapasiswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut dapat dihitung varian denganmenggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan30,22.Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standardeviasi (simpangan baku) dengan caramengakarkuadratkan nilai varian.
PERMUTASI
DAN
KOMBINASI
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
Faktorial (!)
Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilanganasli yang kurang atau sama dengan n. Faktorialdilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n faktorial".
n! = 1 x 2 x … x (n-2) x( n-1) x n
0! = 1
1! = 1
2! = 1 × 2 = 2
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknyasusunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpamemperhatikan urutannya.
Faktorial (!)
Contoh:Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajangberurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakahjumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempatlukisan tersebut?
Jawab:
Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannyaadalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentukadalah 4!
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagaiberikut.
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Permutasi
Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk darisuatu kumpulan benda yang diambil sebagian atauseluruhnya.
Permutasi menggabungkan beberapa objek dari suatugrup dengan memperhatikan urutan. Dalam permutasi, urutan diperhatikan.
{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}
Lambang permutasi adalah P. n permutasi r, berarti
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masingberwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anakditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasiyang terjadi?
Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
Kombinasi
Kombinasi adalah menggabungkan beberapaobjek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikanurutannya. Oleh karena itu, kombinasi berbedadengan permutasi, dimana letak perbedaannyaadalah susunan yang tidak diurutkan. Padakombinasi, susunan XY sama saja dengan YX.
Lambang kombinasi adalah C. n kombinasi r, berarti .
Rumus penghitungan kombinasi adalah sebagaiberikut.
Kombinasi
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu tim terdapat 4 orang alhli statistikyang sedang melakukan proyek survey. Dalam proyeksurvey tersebut dibutuhkan 2 orang ahli statistik yang untuk sementara ditugaskan membantu bagian entry data. Dua orang tersebut diambil dari 4 orang ahlistatistik tadi.
Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang (A,B,C,D) tersebut dihitung menggunakan rumus kombinasi, dimana nilai r = 2 dan nilai n = 4.
Jadi, ada 6 kombinasi yaitu : A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, dan C-D
Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalahdigunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.
PELUANG
(PROBABILITAS)
Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si
Pendahuluan
Prediksi kejadian sangat diperlukan dan diminati dalamberbagai bidang kehidupan. Seperti peramalan cuaca, penelitian ilmiah, permainan, bisnis, dll.
Ruang contoh : Himpunan semua kemungkinan hasilsuatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S.
S = {1,2,3,4,5,6} adalah kejadian angka pada sebuahdadu.
Kejadian : suatu himpunan bagian dari ruang contoh.
S = {merah, jingga, kuning}
A = {merah} adalah kejadian sederhana
B = {jingga U kuning} = {jingga, kuning} adalah kejadianmajemuk
Konsep Probabilitas
Pandangan Klasik /intuitif
Pandangan Empiris / Probabilitas Relatif
Pandangan Subyektif
Probabilitas Klasik/Intuitif
Didalam pandangan klasik ini probabilitas/peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan bahwa suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi
Contoh : Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (gambar dan angka), kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali maka peluang untuk keluar sisi gambar adalah 1/2.
Probabilitas Empiris / Relatif
Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkanobservasi, pengalaman atau kejadian(peristiwa) yang telah terjadi.
Contoh:
Dari 10.000 hasil suatu produksi100 rusak P(rusak) = 1% = 0,01
Upah (Rp 1000) Jumlah %
200 - 499 90 30
500 - 749 165 55
750 - 999 45 15
Probabilitas Subyektif
Didalam pandangan subyektif probabilitas
ditentukan oleh yang membuat pernyataan
Seorang direktur rumah sakit menyatakan
keyakinannya ( 90%) bahwa rumah sakit yang
dipimpinnya akan dapat mulai swadana ( break
event point) lima tahun kedepan.
Kebenaran dari probabilitas subyektif ini sangat
tergantung kepada orang yang menentukannya
Pengertian
Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah
kejadian (A) yang mungkin dapat terjadi
terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang
mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa.
P(A) = Peluang
n(A) = Peluang kejadian A
n(N) = Peluang seluruh kejadian
Contoh
Berapakah peluang munculnya angka ganjil
pada pelemparan sebuah dadu?
Answer:
Peluang munculnya angka ganjil pada tiap
lemparan adalah 1,3, dan 5. Maka :
Keterkaitan Antar Kejadian
Hubungan atau
Peluang akan semakin besar
Contoh:
Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuahdadu adalah :
Hubungan dan
Peluang akan semakin kecil
Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan sebuahdadu adalah :
Kaidah Penjumlahan
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka :
Contoh:
Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan
peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurang-
kurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5.
Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut?
Kaidah Penjumlahan
Bila A dan B adalah dua kejadian terpisah, maka :
example :
Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan
B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling
terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah
7 atau jumlah 11?
p(A) = 1/6 p(B)=1/18
Kaidah Penjumlahan
Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu
merupakan komplemen lainnya, maka :
Example:
Peluang tidak munculnya angka 3 pada
pelemparan sebuah dadu adalah:
Peluang Bersyarat
Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian
lain.
Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui
suatu kejadian A telah terjadi.
Dilambangkan : P(B|A)
Didefinisikan :
Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin
dan status pekerjaan.Bekerja Menanggur
Laki-Laki 300 50
Perempuan 200 30
Peluang Bersyarat
Kejadian-kejadian
A = yang terpilih laki-laki
B = yang telah bekerja
Jawaban :
Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat untuk kejadian bebas, kejadian satu tidak berhubungan dengankejadian lain.
P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)
Contoh :Percobaan pengambilan kartu berturut dengan
pengembalian.
A : Kartu pertama Ace
B : Kartu kedua sekop
Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruangcontoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetapsama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop.
Peluang Bersyarat
Jawab :
atau
Jadi A dan B adalah kejadian yang saling bebas.
Kaidah Penggandaan
Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka
Contoh :
A : kejadian bahwa sekering pertama rusak.
B : kejadian bahwa sekering kedua rusak.
: A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi
Kaidah Penggandaan
Peluang mendapatkan sekering rusak pada
pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang
mendapatkan sekering rusak pengambilan
kedua adalah 4/19. Jadi :
Kaidah Penggandaan
Bila dua kejadian A dan B bebas, maka
Contoh:
A dan B menyatakan bahwa mobil pemadamkebakaran dan ambulans siap digunakan, maka:
P(A) = 0.98
P(B) = 0.92
A dan B saling bebas.
Kaidah Bayes
Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan
sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) != 0,
untuk i = 1, 2, …, k; maka untuk sembarang
kejadian A yang bersifat P(A) != 0.
untuk r = 1, 2, …, k
)|()()2|()2()1|()1(
)|()()|(
BkAPBkPBAPBPBAPBP
BrAPBrPABrP
Kaidah Bayes
Contoh Tiga anggota organisasi A telah dicalonkan sebagai ketua.
Peluang Pak Andi terpililih adalah 0.4. Peluang Pak Budi terpilih adalah 0.1. Peluang Pak Dedi terpilih adalah 0.5. Seandainya Pak Andi terpilih kenaikan iuran anggota 0.5, Pak Budi dan Pak Dedi masing-masing 0.3 dan 0.4 Berapapeluang Pak Andi terpilih setelah terjadinya kenaikan iurananggota.
Jawab:
A : iuran anggota dinaikkan
B1 : Pak Andi terpilih
B2 : Pak Budi terpilih
B3 : Pak Dedi terpilih
Kaidah Bayes
P(B1) P(A|B1) = (0.4)(0.5) = 0.20
P(B2) P(A|B2) = (0.1)(0.3) = 0.30
P(B3) P(A|B3) = (0.5)(0.4) = 0.20
285.020.030.020.0
20.0)|1( ABP
Top Related