2
Program Tujuan (Goal Programming)
Interpretasi Grafik dari Program Tujuan
Solusi Komputer untuk Masalah Program Tujuan
Proses Analisis Bertingkat
Pokok Bahasan
3
Studi masalah dengan beberapa kriteria, multiple kriteria,
bukan hanya satu tujuan dalam pengambilan keputusan
Dua teknik akan dibahas: goal programming, dan analytical
hierarchy process (AHP)
Goal programming adalah sebuah variasi pemrograman
linier yang mempertimbangkan lebih dari satu tujuan
(goals) pada fungsi tujuan
Analytical hierarchy process (AHP) mengembangkan
sebuah penilaian untuk setiap alternatif keputusan
didasarkan pada perbandingan masing-masing saat
pengambil keputusan memiliki beberapa tujuan, atau
kriteria, untuk mengambil keputusan tertentu
Pendahuluan
4
Contoh Beaver Creek Pottery Company :
Maksimalkan Z = $40x1 + 50x2
Terbatas pada:
x1 + 2x2 40 jam tenaga kerja
4x1 + 3x2 120 pon tanah liat
x1, x2 0
dimana: x1 = jumlah mangkok yang diproduksi
x2 = jumlah cangkir yang diproduksi
Program Tujuan
Formulasi Model (1 of 2)
5
Penambahan tujuan (goals) berdasarkan tingkat
kepentingan perusahaan:
1. Menghindari penggunaan waktu tenaga kerja kurang
dari 40 jam per hari
2. Mencapai tingkat keuntungan yang memuaskan
sebesar $1,600 per hari.
3. Lebih memilih tidak menyimpan tanah liat lebih dari
120 pon per hari.
4. Berusaha meminimumkan waktu lembur
Program Tujuan
Formulasi Model (2 of 2)
6
Semua batasan tujuan merupakan persamaan yang
menyertakan variabel penyimpangan (deviational variables)
d- dan d+.
Sebuah variabel penyimpangan positif (d+) menunjukkan
jumlah dimana tingkat tujuan tertentu telah terlampaui
Sebuah variabel penyimpangan negatif (d-) menunjukkan
jumlah dimana tingkat tujuan tertentu tidak tercapai
Paling tidak satu atau kedua variabel penyimpangan pada
batasan tujuan harus bernilai nol
Fungsi tujuan dalam model program tujuan adalah
meminimumkan penyimpangan dari tujuan sesuai dengan
prioritasnya
Program Tujuan
Kebutuhan Batasan Tujuan
7
Batasan tujuan tenaga kerja (1, kurang dari 40 jam tenaga
kerja; 4, lembur minimum):
Minimalkan P1d1-, P4d1
+
Menambah batasan tujuan keuntungan (2, mencapai
keuntungan sebesar $1,600):
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P4d1+
Menambah batasan tujuan bahan baku (3, menghindari
menyimpan lebih dari 120 pon tanah liat):
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+, P4d1
+
Program Tujuan
Batasan Tujuan dan Fungsi Tujuan (1 of 2)
8
Model Program Tujuan Lengkap:
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+, P4d1
+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Batasan Tujuan dan Fungsi Tujuan (2 of 2)
9
Merubah tujuan prioritas keempat, lembur sampai 10 jam,
selain meminimumkan jam lembur:
d1+ + d4
- - d4+ = 10
Minimalkan P1d1 -, P2d2
-, P3d3 +, P4d4
+
Penambahan tujuan prioritas kelima “pencapaian tujuan
cangkir merupakan pilihan pertama”:
x1 + d5 - = 30 mangkok
x2 + d6 - = 20 cangkir
Minimalkan P1d1 -, P2d2
-, P3d3 -, P4d4
-, 4P5d5 -+ 5P5d6
-
Program Tujuan
Bentuk Alternatif Batasan Tujuan (1 of 2)
10
Program Tujuan
Bentuk Alternatif Batasan Tujuan (2 of 2)
Model Lengkap dengan Tujuan Baru:
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3-, P4d4
-, 4P5d5-+ 5P5d6
-
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50x2 + d2- - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3- - d3
+ = 120
d1+ + d4
- - d4+ = 10
x1 + d5- = 30
x2 + d6- = 20
x1, x2, d1-, d1
+, d2-, d2
+, d3-, d3
+, d4-, d4
+, d5-, d6
- 0
11
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+,
P4d1+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Batasan Tujuan
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (1 of 6)
12
Prioritas Tujuan Pertama:
Minimalkan
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+,
P4d1+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (2 of 6)
13
Prioritas Tujuan Kedua: Minimalkan
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+,
P4d1+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (3 of 6)
14
Prioritas Tujuan Ketiga: Minimalkan
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+,
P4d1+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (4 of 6)
15
Prioritas Tujuan Keempat: Minimalkan
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+,
P4d1+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (5 of 6)
16
Solusi program tujuan tidak selalu memenuhi semua tujuan
dan solusi ini tidak optimal, tetapi kemungkinan solusi yang
paling memuaskan.
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+, P4d1
+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
x1 = 15 mangkok
x2 = 20 cangkir
d1+ = 15 jam
Program Tujuan
Interpretasi Grafik (6 of 6)
17
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Formulasi Model
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+, P4d1
+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2- - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3- - d3
+ = 120
x1, x2, d1-, d1
+, d2-, d2
+, d3-, d3
+ 0
18
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Langkah Penyelesaian (1 of 2)
Menetapkan tabel awal menggunakan variabel-variabel penyimpangan untuk permulaan variabel-variabel solusi dasar yang layak. Hitung Zj-Pj
Tentukan kolom pemutar (memasukkan variabel non-dasar) dengan memilih kolom yang mempunyai nilai positif maksimum pada tingkat prioritas tertinggi yang belum diperoleh secara keseluruhan
Menentukan baris pemutar (variabel yang diganti) dengan membagi nilai kolom kuantitas dengan nilai kolom pemutar dan memilih baris dengan nilai positif terkecil atau nol
19
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Langkah Penyelesaian (2 of 2)
Hitung nilai baris pemutar dengan rumus Nilai baris pemutar baru = (nilai baris pemutar lama/nomor pemutar)
Hitung semua nilai baris lainnya dengan menggunakan formula
Nilai baris tabel baru = nilai baris tabel lama – (koefisien kolom pemutar yang berhubungan x nilai baris pemutar tabel baru yang berhubungan)
Hitung baris Zj-Pj yang baru
Tentukan apakah solusi baru merupakan hasil yang memuaskan dengan menguji baris-baris Zj-Pj. Jika tidak ada nilai positif terlihat di tiap tingkat prioritas atau negatif di P tertinggi, solusi tercapai
20
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Tabel Simpleks Pertama
Pj Vari
abel
Kuantit
as
P1 P2 P4 P3
x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+
P1 d1- 40 1 2 1 0 0 -1 0 0
P2 d2- 160 4 5 0 1 0 0 -1 0
d3- 120 4 3 0 0 1 0 0 -1
Zj-Pj P4 0 0 0 0 0 0 -P4 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 0 -P3
P2 160P2 4P2 5P2 0 0 0 0 -P2 0
P1 40P1 P1 2P1 0 0 0 -P1 0 0
21
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Tabel Simpleks Kedua
Pj Varia
bel
Kuan
titas
P1 P2 P4 P3
x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+
x2 20 ½ 1 ½ 0 0 -1/2 0 0
P2 d2- 60 3/2 0 -5/2 1 0 5/2 -1 0
d3- 60 5/2 0 -3/2 0 1 3/2 0 -1
Zj-Pj P4 0 0 0 0 0 0 -P4 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 0 -P3
P2 60P2 3P2/2 0 -5P2 /2 0 0 5P2/2 -P2 0
P1 0 0 0 -P1 0 0 0 0 0
22
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Tabel Simpleks Ketiga
Pj Varia
bel
Kuan
titas
P1 P2 P4 P3
x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+
x2 32 4/5 1 0 1/5 0 0 -1/5 0
P4 d1+ 24 3/5 0 -1 2/5 0 1 -2/5 0
d3- 24 8/5 0 0 -3/5 1 0 3/5 -1
Zj-Pj P4 24P4 3P4/5 0 -P4 2P4/5 0 0 -2P4 /5 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 0 -P3
P2 0 0 0 0 -P2 0 0 0 0
P1 0 0 0 -P1 0 0 0 0 0
23
Metode Simpleks yang Dimodifikasi
Tabel Simpleks Keempat
Pj Varia
bel
Kuan
titas
P1 P2 P4 P3
x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+
X2 20 0 1 0 ½ -1/2 0 -1/2 ½
P4 d1+ 15 0 0 -1 5/8 -3/8 1 -5/8 3/8
X1 15 1 0 0 -3/8 5/8 0 3/8 -5/8
Zj-Pj P4 15P4 0 0 -P4 5P4/8 -3P4 /8 0 -5P4 /8 3P4/8
P3 0 0 0 0 0 0 0 0 -P3
P2 0 0 0 0 -P2 0 0 0 0
P1 0 0 0 -P1 0 0 0 0 0
24
1
Minimalkan P1d1-, P2d2
-, P3d3+, P4d1
+
Terbatas pada:
x1 + 2x2 + d1- - d1
+ = 40
40x1 + 50 x2 + d2 - - d2
+ = 1,600
4x1 + 3x2 + d3 - - d3
+ = 120
x1, x2, d1 -, d1
+, d2 -, d2
+, d3 -, d3
+ 0
Program Tujuan
Solusi Komputer dengan QM for Windows (1 of 3)
30
AHP merupakan sebuah metode untuk membuat urutan
alternatif keputusan dan memilih yang terbaik pada saat
pengambil keputusan memiliki beberapa tujuan, atau
kriteria, untuk mengambil keputusan tertentu
Pengambil keputusan biasanya memiliiki beberapa
alternatif yang dapat dipilih saat mengambil keputusan
Pengambil keputusan akan memilih alternatif terbaik yang
dapat memenuhi kriterianya
AHP merupakan sebuah proses menghitung nilai angka
untuk merangking tiap alternatif keputusan berdasarkan
sejauh mana alternatif tersebut memenuhi kriteria pembuat
keputusan
Analytical Hierarchy Process
Pendahuluan
31
Pemilihan lokasi Southcorp Development Company
shopping mall
Tiga lokasi potensial:
Atlanta
Birmingham
Charlotte
Kriteria perbandingan lokasi:
Pangsa pasar pelanggan
Tingkat pendapatan
Infrastruktur
Transportasi
Analytical Hierarchy Process
Pernyataan Contoh Masalah
32
Puncak hirarki: tujuan (memilih lokasi terbaik).
Level kedua: bagaimana kontribusi keempat kriteria dalam
pencapaian tujuan.
Level ketiga: bagaimana setiap alternatif lokasi
memberikan kontribusi pada tiap kriteria.
Analytical Hierarchy Process
Struktur Hirarki
33
Secara matematis, penetapan preferensi pada tiap tingkat
hirarki.
Secara matematis, tetapkanlah preferensi untuk kriteria
(mengurut tingkat kepentingan).
Penggabungan dua set preferensi yang secara matematis
memberikan nilai (score) bagi tiap lokasi.
Pilih nilai tertinggi sebagai lokasi terbaik.
Analytical Hierarchy Process
Proses Matematika Umum
34
Pada perbandingan berpasangan, dua alternatif
dibandingkan berdasarkan kriteria tertentu dan
mengindikasikan suatu preferensi.
Sebuah skala preferensi digunakan memberikan angka
numerik untuk tiap tingkat preferensi.
Analytical Hierarchy Process
Perbandingan Berpasangan
35
Analytical Hierarchy Process
Perbandingan Berpasangan (2 of 2)
Tingkat Preferensi Nilai Angka
Sama disukai 1
Sama hingga cukup disukai 2
Cukup disukai 3
Cukup hingga sangat disukai 4
Sangat disukai 5
Sangat disukai hingga amat sangat disukai 6
Amat sangat disukai 7
Amat sangat disukai hingga luar biasa disukai 8
Luar biasa disukai 9
36
Tingkat Pendapatan Infrastruktur Transportasi
A
B
C
193
1/911/6
1/361
11/71
713
11/31
11/42
413
1/21/31
Pangsa Pasar
Lokasi A B C
A B C
1 1/3 1/2
3 1 5
2 1/5 1
Analytical Hierarchy Process
Matriks Perbandingan Berpasangan
Sebuah matriks perbandingan berpasangan merangkum
perbandingan berpasangan untuk sebuah kriteria
37
Pangsa Pasar
Lokasi A B C
A B C
1 1/3
1/2 11/6
3 1 5 9
2 1/5 1
16/5
Pangsa Pasar
Lokasi A B C
A B C
6/11 2/11 3/11
3/9 1/9 5/9
5/8 1/16 5/16
Analytical Hierarchy Process
Mengembangkan Preferensi dalam Kriteria (1 of 3)
Dalam sintesis (synthetization), alternatif keputusan dibuat
prioritas dlam tiap kriteria:
38
Matriks Normalisasi dengan Rata-rata Baris
Analytical Hierarchy Process
Mengembangkan Preferensi dalam Kriteria (2 of 3)
39
Matriks Preferensi Kriteria
Analytical Hierarchy Process
Mengembangkan Preferensi dalam Kriteria (3 of 3)
40
Criteria Market Income Infrastructure Transportation
Market Income Infrastructure Transportation
1 5
1/3 1/4
1/5 1
1/9 1/7
3 9 1
1/2
4 7 2 1
Matriks Normalisasi untuk Kriteria dengan Rata-rata Baris
Analytical Hierarchy Process
Merangking Kriteria (1 of 2)
Matriks Perbandingan Berpasangan:
41
0.0612
0.0860
0.6535
0.1993
Analytical Hierarchy Process
Merangking Kriteria (2 of 2)
Vektor Preferensi:
Market
Income
Infrastructure
Transportation
42
Skor Keseluruhan:
Skor lokasi A = .1993(.5012) + .6535(.2819) +
.0860(.1790) + .0612(.1561) = .3091
Skor lokasi B = .1993(.1185) + .6535(.0598) +
.0860(.6850) + .0612(.6196) = .1595
Skor lokasi C = .1993(.3803) + .6535(.6583) +
.0860(.1360) + .0612(.2243) = .5314
Rangking Keseluruhan:
Site Score Charlotte Atlanta
Birmingham
0.5314 0.3091 0.1595 1.0000
Analytical Hierarchy Process
Mengembangkan Rangking Keseluruhan
43
Analytical Hierarchy Process
Ringkasan Tahap Matematis
Mengembangkan matriks perbandingan berpasangan untuk tiap
alternatif keputusan (lokasi) berdasarkan tiap kriteria.
Sintesis
Menjumlahkan nilai tiap kolom pada matriks perbandingan
berpasangan.
Membagi nilai tiap kolom dalam matriks perbandingan berpasangan
dengan jumlah kolom yang bersangkutan (normalisasi).
Rata-rata nilai tiap baris pada matriks normalisasi (vektor prefernsi)
Gabungkan vektor preferensi tiap kriteria menjadi satu matriks
preferensi berdasarkan tiap kriteria.
Membuat matriks perbandingan berpasangan untuk kriteria.
Hitung matriks normalisasi.
Membuat vektor preferensi.
Hitung skor keseluruhan untuk tiap alternatif keputusan
Rangking alternatif keputusan
Analytical Hierarchy Process
Uji Konsistensi
44
2473,0
3474,0
8524,2
8328,0
0,0612
0,0860
0,6535
0,1993
x
12
1
7
1
4
1
219
1
3
17915
435
11
Masing-masing nilai tersebut dibagi dengan
bobot terkait yg diperoleh dari vektor preferensi
kreteria :
0,8328 : 0,1993 = 4,1786
2,8524 : 0,6535 = 4,3648
0,3474 : 0,0860 = 4,0401
0,2474 : 0,0612 = 4,0422
------------------------
Jumlah = 16,6257
Nilai rata-rata = Jumlah/n = 16,6257/4 =4,1564
Jika CI = 0, maka pengambilan keputusan yg sangat konsisten, sedangkan CI > 0, maka pengambilan keputusan yang tidak konsisten (inkonsisten).
Jika CI > 0 harus dilihat kembali ratio CI dengan RI (RI=Random Indeks). Nilai RI ditunjukkan pada tabel berikut :
--------------------------------------------------------------------------
n : 2 3 4 5 6 7 8 9 10
--------------------------------------------------------------------------
RI : 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,51
--------------------------------------------------------------------------
0521,014
41564,4
1-n
n - Rata CI iKonsistens Indeks
CI/RI = 0,0521/0,90 = 0,0580 (5,8 %)
Secara umum, tingkat konsistensi adalah sangat
memuaskan (CI/RI ≤ 0,10), tetapi sebaliknya jika
CI/RI > 0,10 maka terdapat inkonsistensi yg
serius dan hasil analisis AHP tidak mempunyai
arti atau analisis AHP tidak ampuh dalam peng-
ambil keputusan.
52
Setiap alternatif keputusan diberi bobot sesuai dengan
tingkat kepentingan dan seberapa jauh dapat memuaskan
kriteria, berdasarkan rumus:
Si = gijwj
dimana:
wj = suatu bobot antara 0 dan 1.00 yang diberikan
pada kriteria j; 1.00 penting, 0 tidak penting; jumlah
bobot total sama dengan 1.
gij = suatu nilai antara 0 dan 100 mengindikasikan
seberapa jauh alternatif keputusan i memuaskan
kriteria j; 100 kepuasan sangat inggi, 0 tidak puas.
Scoring Model
Pendahuluan
53
Pemilihan mal dengan empat alternatif dan 5 kriteria:
S1 = (.30)(40) + (.25)(75) + (.25)(60) + (.10)(90) + (.10)(80) = 62.75
S2 = (.30)(60) + (.25)(80) + (.25)(90) + (.10)(100) + (.10)(30) = 73.50
S3 = (.30)(90) + (.25)(65) + (.25)(79) + (.10)(80) + (.10)(50) = 76.00
S4 = (.30)(60) + (.25)(90) + (.25)(85) + (.10)(90) + (.10)(70) = 77.75
Mall 4 disukai karena skor tertinggi, diikuti dengan mall 3, 2, 1.
Nilai untuk Alternatif (0 to 100)
Kriteria Keputusan
Bobot (0 - 1.00)
Mall 1
Mall 2
Mall 3
Mall 4
Kedekatan sekolah Pendapatan rerata Lalu lintas kendaraan Kualitas dan ukuran mall Mall terdekat
0.30 0.25 0.25 0.10 0.10
40 75 60 90 80
60 80 90 100 30
90 65 79 80 50
60 90 85 90 70
Scoring Model
Contoh Masalah
Top Related