Download - Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Transcript
Page 1: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

LAPORAN TAHUNAN

HIBAH BERSAING

PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT

Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun

Dra. Hj. Husna, M.Si / 0014096401 ( Ketua ) Anny Sovia, S.Si., M.Pd/1022058702 (Anggota ) Rahima, S.Si., M.Pd/1031058602 (Anggota ) Yulyanti Harisman, S.Si., M.Pd/1010078601 (Anggota)

Dibiayai Oleh DIPA KOPERTIS Wilayah X No.DIPA -023-04.2.532476 Tanggal

5 Desember 2012 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Hibah Bersaing Nomor: No. 0019/E5.2/PL/2012 Tanggal 3 Januari 2013

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT

OKTOBER 2013

Page 2: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 3: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

ii

PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT

Oleh

Dra. Hj. Husna, M.Si., Anny Sovia, S.Si, M.Pd., Rahima, S.Si, M.Pd., Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd

RINGKASAN

Kemampuan matematis mahasiswa dapat dikembangkan melalui perkuliahan,

salah satunya adalah perkuliahan Kalkulus 1. Perkuliahan akan maksimal jika didukung

oleh bahan perkuliahan yang baik. Bahan perkuliahan yang baik adalah bahan

perkuliahan yang mampu memfasilitasi mahasiswa untuk memahami materi

perkuliahan. Selama ini bahan perkuliahan dalam pembelajaran Kalkulus 1 adalah buku

teks. Buku teks yang dipakai belum menggunakan bahasa yang komunikatif, sehingga

mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri dan kemampuan pemecahan masalah

masih rendah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu bahan perkuliahan yang dapat

memotivasi mahasiswa untuk belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan

pemecahan masalah, yakni berupa modul berbasis masalah. Tujuan penelitian ini adalah

mengembangkan modul berbasis masalah yang valid, praktis dan efektif pada mata

kuliah Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat.

Penelitian ini adalah penelitian pengembangan dengan menggunakan model 4D.

Tahapan yang dilakukan adalah define, design, develop, dan diseminate. Pada tahap

define dilakukan analisis silabus dan buku teks, mereviu literatur, serta wawancara

teman sejawat. Pada tahap design dilakukan perancangan buku kerja. Tahap develop

terdiri atas tahap validasi, praktikalitas, dan efektivitas. Setelah dirancang, buku kerja

divalidasi oleh 5 orang validator. Pada tahap praktikalitas, buku kerja diuji cobakan

kepada mahasiswa Progam Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat

yang mengambil mata kuliah Kalkulus 1. Kegiatan ini diamati oleh 2 orang observer.

Efektivitas buku kerja diamati bersamaan dengan tahap praktikalitas, aspek yang

diamati adalah aktivitas dan hasil belajar mahasiswa. Data dikumpulkan melalui lembar

Page 4: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

iii

validasi, observasi, angket, dan wawancara, kemudian dianalisis secara deskriptif.

Tahap diseminasi adalah tahap penyebaran produk.

Pada laporan kemajuan ini hal-hal yang sudah dilakukan yaitu pada tahapan

difine, dan disain. Pada tahap define hal-hal yang sudah dilakukan adalah analisis

silabus, hasil dari analisis silabus diperoleh materi sudah sesuai dengan silabus,

wawacara dengan teman sejawat diperoleh informasi bahwa proses pembelajaran masih

berpusat pada guru dan mahasiswa malas belajar mandiri. Selanjutnya analisis buku

teks, buku teks yang dipakai adalah: Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg

Purcell Rigdom, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold, Kalkulus

Karangan Koko Martono diperoleh hasil bahwa bahasa buku teks belum sesuai dengan

kemampuan mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. Selanjutnya analisis buku yang berkaitan

dengan Pembuatan Modul dan pengkajian Materi tentang basis masalah. Pada tahap

perancangan Modul sudah divalidasi oleh satu validator dan masih pada modul satu

pada bab pendahuluan. Pada tahap selanjutnya modul ini akan divalidasi untuk bab 2

sampai bab 4 oleh tiga observer tambahan, dan di ujicobakan untuk melihat efektifitas

dan praktikalitas dari modul Kalkulus 1 tersebut. Selajutnya akan

disebarkan(desiminasi) pada mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. laporan ini sudah

diprosidingkan secara Nasional pada seminar di hall conventions unand.

Page 5: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

iv

PRAKATA

Puji syukur diucapkan kepada Allah Swt. karena Berkat rahmatNya

Laporan Penelitian Hibah bersaing dapat diselesaikan tepat waktu. Laporan ini

diperoleh dari sebuah penelitian yang dilakukan selama delapan bulan dengan

Judul: PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA

PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT.

Selesainya laporan kerja sama ini berkat kerjasama dan bantuan berbagai

pihak. Untuk itu sekiranya ucapan terimakasih kami sampaikan kepada:

1. Bapak Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Jakarta.

2. Bapak Koordinator Kopertis Wilayah X Beserta Seluruh Staf di Padang.

3. Ibu Ketua STKIP PGRI SUMBAR di Padang.

4. Ibu Ketua UP3M STKIP PGRI SUMBAR.

5. Pimpinan Program Studi Pendidikan Matematika.

6. Rekan-rekan kerja di prodi Pendidikan Matematika, sebagai rekan diskusi

yang memberikan masukan dan kontribusi terhadap penelitian ini

Demikian laporan penelitian ini dibuat, dan besar harapan adanya kritikan

serta masukan guna kesempurnaan laporan dan rencana untuk penelitian

berikutnya.

Padang, September 2013

Tim Penyusun

Page 6: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

v

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... i

RINGKASAN ............................................................................................ ii

PRAKATA ............................................................................................... iv

DAFTAR ISI ............................................................................................. v

DAFTAR TABEL ..................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................. viii

DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................. ix

BAB 1. PENDAHULUAN ......................................................................... 1

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA .............................................................. 8

BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN ................................ 19

BAB 4. METODE PENELITIAN ............................................................ 21

BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................... 36

BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA .................................... 56

BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN ..................................................... 61

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 63

LAMPIRAN ............................................................................................. 65

Page 7: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

vii

DAFTAR TABEL

Halaman

Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012....................... 2

Aspek Validasi Modul ............................................................................ 23

Indikator Praktikalitas dan Efektivitas Modul.......................................... 25

Kriteria Keberhasilan Aktivitas Belajar Mahasiswa ................................. 34

Kriteria Hasil Belajar Mahasiswa ............................................................ 35

Jawaban dan Skor Validasi ..................................................................... 34

Jawaban dan Skor Validasi ..................................................................... 57

Data Hasil Pengamatan Observer terhadap Aktivitas Mahasiswa ............ 60

Page 8: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Kerangka Berpikir .................................................................................. 18

Alur Penelitian Tahun Pertama dan Kedua .............................................. 27

Diagram Alir Tahap Pendefinisian .......................................................... 39

Page 9: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Instrumen Validasi Intrumen Validitas .................................................... 65

Lembar Validasi Modul Kalkulus 1 ........................................................ 69

Personalia Peneliti .................................................................................. 72

Draf artikel peserta yang mengikutu seminar nasional ............................. 86

Lembar observasi aktivitas (praktikalitas) ............................................... 94

Lembar Observasi Pelaksanaan Perkuliahan(efektifitas) .......................... 96

Pedoman Wawancara(efektifitas) ............................................................ 97

Tes Akhir ................................................................................................ 99

Daftar Nama Peserta Publikasi Makalah

(yang disampaikan di seminar nasional) ................................................. 100

Modul Kalkulus 1 ................................................................................... 103

Page 10: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

1

BAB 1. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam bidang matematika adalah Kalkulus.

Konsep utama Kalkulus adalah limit, kekontinuan, diferensial, dan integral yang

dikaitkan dengan fungsi riil. Kalkulus memiliki dua cabang utama yaitu Kalkulus

diferensial dan Kalkulus integral. Kalkulus Diferensial membahas kecepatan dan

percepatan, kemiringan suatu kurva, sedangkan Kalkulus integral membahas

volume dan luas, panjang busur,pusat massa,kerja, dan tekanan. Kalkulus

digunakan sebagai alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai

permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. Banyak masalah nyata dalam

kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan Kalkulus.

Perkuliahan Kalkulus di STKIP PGRI Sumatera Barat dibagi kedalam dua tahap,

yaitu Kalkulus 1 dan Kalkulus 2. Kalkulus 1 merupakan Kalkulus Diferensial dan

Kalkulus 2 dapat dikatakan Kalkulus Integral.

Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan di

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat dengan

bobot 3 sks. Mata kuliah Kalkulus 1 merupakan mata kuliah dasar yang penting

dipelajari karena merupakan mata kuliah prasyarat dari mata kuliah Kalkulus 2,

Kalkulus Peubah Banyak 1, Analisis Riil1, dan Metode Numerik. Mata kuliah ini

membahas sistem bilangan riil, ketaksamaan, pertaksamaan dan nilai mutlak,

jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan, turunan, dan

menggambar grafik fungsi.

1

Page 11: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

2

Diharapkan dengan mempelajari Kalkulus 1 mahasiswa dapat

mengembangkan kemampuan berpikir kritis, pemecahan masalah, dan

pemahaman konsep mengenai sistem bilangan riil. Mahasiswa diharapkan mampu

memahami mata kuliah ini secara keseluruhan tidak hanya secara parsial.

Pemahaman mahasiswa tersebut didapatkan dari belajar mandiri tanpa

mengharapkan dosen mentranfer seluruh materi secara keseluruhan. Hal ini

disebabkan karena proses perkuliahan diPerguruan Tinggi dituntut usaha mandiri

dari mahasiswa. Proses perkuliahan seperti ini yang membedakan pola belajar

siswa dengan mahasiswa, karena dosen hanya sebagai mediator dan fasilitator.

Dengan adanya kemandirian tersebut, diharapkan konsep akan tertanam dengan

baik sehingga hasil belajar memuaskan.

Kenyataan yang terjadi, masih banyak mahasiswa yang memperoleh nilai

rendah. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:

Tabel 1. Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012

Nilai Jumlah %

A 16 22.04 B 51 C 56

77.96 D 102 E 79

Jumlah Mahasiswa 304 100

Sumber: Program Studi Pendidikan Matematika

Tabel 1 menunjukkan bahwa mahasiswa yang memperoleh nilai kurang dari 65

(kategori C, D, dan E) sebesar 77,96 %. Kenyataan ini masih jauh dari harapan.

Proses perkuliahan Kalkulus 1 selama ini menggunakan metode ceramah

dan menggunakan satu buku teks. Berdasarkan pengamatan peneliti, buku teks

Page 12: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

3

yang dipakai oleh mahasiswa sulit untuk dipahami. Bahasa buku teks Kalkulus 1

masih belum komunikatif dan interaktif, sehingga untuk memahami suatu materi

mahasiswa hanya menunggu penjelasan dari dosen. Hal ini menyebabkan

mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri. Mahasiswa tidak aktif dalam

proses perkuliahan. Perkuliahan hanya bersifat satu arah. Dosen tidak lagi

berfungsi sebagai fasilitator tetapi sudah beralih fungsi sebagai pentransfer

seluruh ilmu yang dimiliki tanpa menyadari bahwa mahasiswa sudah mempunyai

pengetahuan yang dimiliki sebelumnya.

Penggunaan metode ceramah juga mengakibatkan kemampuan berpikir

kritis serta pemecahan masalah mahasiswa rendah. Salah satu model pembelajaran

yang dapat membantu mahasiswa dalam meningkatkan kemampuan berpikir dan

pemecahan masalah adalah pembelajaran berbasis masalah. Pembelajaran berbasis

masalah merupakan salah satu model pembelajaran inovatif yang dapat

memberikan kondisi belajar aktif kepada mahasiswa. Pembelajaran ini

menekankan kepada proses penyelesaian masalah yang dihadapi secara ilmiah.

Mahasiswa tidak hanya sekedar mencatat dan menghapal materi, namun

mahasiswa aktifberpikir dan akhirnya dapat membuat kesimpulan.

Kemandirian mahasiswa dapat diatasi dengan mengembangkan modul

berbasis masalah sehingga materi mudah dipahami oleh mahasiswa secara

mandiri tanpa mengharapkan seluruh materi ditransfer oleh dosen pengampu mata

kuliah. Berdasarkan latar belakang diatas peneliti tertarik untuk mengembangkan

modul berbasis masalah pada mata kuliah Kalkulus 1, sehingga penelitian diberi

Page 13: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

4

judul “ Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus 1 di

STKIP PGRI Sumatera Barat”.

B. Tujuan Khusus

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari

penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

2. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

praktis bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

3. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

efektif bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

C. UrgensiPenelitian

Berdasarkan pembatasan masalah, rumusan masalah dalam penelitian

ini adalah berikut ini.

1. Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus

1?

2. Bagaimana praktikalitas modul berbasis masalah pada perkuliahan

Kalkulus 1?

3. Bagaimana efektivitas modul berbasis masalah pada perkuliahan

Kalkulus 1?

Page 14: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

5

Untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan efektivitas modul, peneliti

rinci menjadi 2 pertanyaan berikut ini.

a. Bagaimana aktivitas mahasiswa selama perkuliahan Kalkulus 1

dengan menggunakan modul berbasis masalah di STKIP PGRI

Sumatera Barat?

b. Bagaimana hasil belajar selama perkuliahan Kalkulus 1 dengan

menggunakan modul berbasis masalah di STKIP PGRI Sumatera

Barat?

D. Inovasi Produk

Produk yang diharapkan pada penelitian ini adalah bahan perkuliahan,

yaitu berupa modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 bagi

mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera

Barat. Modul berbasis masalah ini memiliki karakteristik sebagai berikut.

1. Setiap modul memuat halaman pendahuluan, berupa deskripsi singkat

mengenai isi modul, relevansi dengan modul lainnya, dan standar

kompetensi. Pada bagian ini mahasiswa telah diberikan inti permasalahan

yang akan dipelajari.

2. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan belajar. Setiap kegiatan

belajar memuat materi, contoh, latihan terbimbing, latihan mandiri,

umpan balik, dan tindak lanjut. Berikut penjelasannya.

a. Materi diawali dengan pemberian masalah. Masalah yang dipilih

berupa masalah kontekstual yang mendukung materi Kalkulus 1.

Page 15: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

6

Pada uraian materi setiap modul, bagian rumus ditulis dalam sebuah

kotak sebagai penekanan materi kepada mahasiswa.

b. Contoh merupakan tambahan pengetahuan awal mahasiswa. Contoh

masih berhubungan dengan masalah yang diberikan pada awal

materi.

c. Latihan terbimbingadalah latihan disertai dengan arahan untuk

membantu mahasiswa dalam menyelesaikan soal. Soal disusun dari

tingkat kesukaran rendah hingga tingkat tinggi.

d. Latihan mandiri merupakan latihan yang menuntut kemandirian

mahasiswa dalam mengerjakan soal. Pada latihan mandiri sudah

disediakan tempat untuk menuliskan jawaban soal.

e. Umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar mencocokkan

jawaban latihan dengan kunci jawaban. Dengan adanya umpan balik,

mahasiswa dapat mengetahui tingkat penguasaannya terhadap

materi.

f. Tindak lanjut merupakan kegiatan yang harus dilakukan mahasiswa

atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk untuk

melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari kegiatan

belajar tersebut atau melanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya.

3. Modul juga memuat kunci jawaban. Kunci jawaban yang dimuat

merupakan kunci jawaban semua kegiatan belajar pada modul tersebut.

4. Isi modul, baik materi maupun soal, disadur dari buku Kalkulus 1

karangan Purcel sebagai acuan utama.

Page 16: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

7

5. Bahasa dan sajian isi materi pada modul berbasis masalah disesuaikan

dengan tingkat kemampuan mahasiswa Program Studi Pendidikan

Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat yang heterogen sehingga

memungkinkan mereka untuk belajar mandiri.

6. Isi modul diketik dengan huruf Batang agar lebih terkesan tidak formal,

akrab, dan mudah dibaca.

7. Modul valid dari segi isi dan konstruk.

8. Modul praktis bagi pengguna.

9. Modul efektif dalam perkuliahan Kalkulus 1.

Page 17: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

8

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

A. Kajian Teori

1. Mata Kuliah Kalkulus 1

Mata Kuliah Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan

Keterampilan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI

Sumatera Barat. Kalkulus 1 diberikan pada semester 1 dengan bobot 3

SKS. Materi yang diberikan meliputi sistem bilangan riil, ketaksamaan,

dan nilai mutlak, jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan,

turunan, dan menggambar grafik fungsi serta penerapannya dalam

berbagai masalah yang berkaitan dengan topik tersebut. Standar

kompetensi yang diharapkan setelah mahasiswa mempelajari Kalkulus 1

adalah sebagai berikut.

a. Mahasiswa dapat menguasai konsep-konsep dasar kalkulus diferensial

satu peubah.

b. Mahasiswa dapat mengerjakan (menyelesaikan) berbagai bentuk

perhitungan diferensial.

c. Menerapkan (mengaplikasikan) perhitungan diferensial dalam

berbagai bidang ilmu dan kehidupan sehari-hari.

(Buku Pedoman Akademik STKIP PGRI Sumatera Barat 2011/2012)

Standar kompetensi dapat dicapai dengan memberikan materi-

materi perkuliahan berikut.

8

Page 18: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

9

a. Pendahuluan: sistem bilangan riil, ketaksamaan, nilai mutlak, akar

kuadrat, kuadrat, garis lurus, grafik persamaan, fungsi dan

grafiknya, operasi pada fungsi, fungsi trigonometri.

b. Limit:, pendahuluan limit, pengkajian mendalam tentang limit,

teorema limit, kekontinuan fungsi.

c. Turunan: dua masalah dengan satu tema, turunan, aturan pencarian

turunan, turunan sinus dan kosinus, aturan rantai, notasi Leibniz,

turunan tingkat tinggi, pendifensialan implisit, laju yang berkaitan,

diferensial dan aproksimasi.

d. Penggunaan turunan: maksimum dan minimum, kemonotonan dan

kecekungan, maksimum dan minimum lokal, lebih banyak masalah

maksimum dan minimum, penerapan ekonomi, limit

diketakhinggaan, limit tak terhingga, penggambaran grafik

canggih.

Kalkulus juga dipakai dalam bidang lain, contohnya bidang fisika.

Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan salah satu materi

Kalkulus 1, yaitu turunan. Fisika mempelajari perubahan posisi benda

dan perubahan kecepatan dengan menggunakan konsep turunan.

Kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu, sedangkan

percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun

turunan kedua posisi benda terhadap waktu.

2. Modul

Bahan perkuliahan merupakan bagian yang penting dalam

Page 19: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

10

perkuliahan karena dapat digunakan sebagai sumber belajar baik bagi

dosen maupun mahasiswa. Menurut Suprawoto (2009: 1), bahan

perkuliahan adalah segala bentuk bahan yang digunakan oleh dosen

dalam melaksanakan kegiatan perkuliahan di kelas. Selain itu, bahan

perkuliahan juga merupakan seperangkat materi yang disusun secara

sistematis sehingga tercipta suasana yang memungkinkan mahasiswa

untuk belajar. Bahan perkuliahan yang dimaksud dapat berupa bahan

tertulis maupun bahan tidak tertulis. Bentuknyapun bermacam-macam,

ada yang berbahan cetak, audio visual, audio, visual, dan multimedia.

Salah satu bahan perkuliahan yang berbentuk bahan cetak adalah modul.

Modul adalah bahan perkuliahan yang terdiri atas suatu

rangkaian kegiatan perkuliahan dan disusun secara khusus, jelas, dan

menarik yang mencakup isi materi, contoh soal, dan soal tes. Nasution

(2005:205) mengemukakan, ” Modul adalah suatu unit yang lengkap

yang berdiri sendiri dan terdiri atas suatu rangkaian kegiatan belajar

yang disusun untuk membantu siswa mencapai sejumlah tujuan yang

dirumuskan dengan khusus dan jelas”.

Modul memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk

belajar mandiri, karena masing-masing mahasiswa akan menggunakan

teknik yang berbeda-beda dalam memecahkan suatu permasalahan.

Selain itu, dengan mempelajari modul, mahasiswa dapat mengenal

kelebihan dan kekurangannya, karena modul memberikan evaluasi

untuk mendiagnosis kelemahan mahasiswa. Dengan penggunaan

Page 20: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

11

modul, diharapkan dapat menjadikan mahasiswa berpikir kreatif dan

kritis.

Untuk menghasilkan modul yang dapat meningkatkan motivasi

belajar, pengembangan modul harus memperhatikan karakteristik yang

diperlukan sebagai modul.

a. Self Insruction

Merupakan karakteristik penting dalam modul, dengan karakteristik

tersebut memungkinkan seseorang belajar secara mandiri dan tidak

bergantung pada pihak lain. Syarat modul agar memenuhi karakter

self instruction adalah berikut ini.

1). Memuat tujuan pembelajaran yang jelas, dan dapat

menggambarkan pencapaian standar kompetensi dan

kompetensi dasar.

2). Memuat materi pembelajaran yang dikemas dalam unit-unit

kegiatan kecil/spesifik, sehingga memudahkan dipelajari secara

tuntas.

3). Tersedia contoh dan ilustrasi yang mendukung kejelasn

pemaparan materi pembelajaran.

4). Terdapat soal-soal latihan, tugas dan sejenisnya yang

memungkinkan untuk mengukur penguasaan peserta didik.

5). Konstektual, yaitu materi yang disajikan terkait dengan

suasana, tugas atau konteks kegiatan dan lingkungan peserta

didik.

Page 21: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

12

6). Menggunakan bahasa yang sederhana dan komunikatif.

7). Terdapat rangkuman materi pelajaran

8). Terdapat instrumen penilaian, yang memungkinkan peserta

didik melakukan penilaian mandiri (self assessment).

9). Terdapat umpan balik tentang rujukan/pengayaan/referensi

yang mendukung materi pembelajaran dimaksud.

b. Self Contained

Modul dikatakan self contained bila seluruh materi pembelajaran

yang dibutuhkan termuat dalam modul tersebut. Tujuan dari konsep

ini adalah memberikan kesempatan peserta didik mempelajari

materi pembelajaran secara tuntas, karena materi belajar dikemas

dalam kesatuan yang utuh. Jika harus dilakukan pembagian atau

pemisahan materi dari satu standar kompetensi/kompetensi dasar,

harus dilakukan dengan hati-hati dan memperhatikan keluasan

standar kompetensi/kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta

didik.

c. Stand Alone

Stand Alone atau berdiri sendiri merupakan karakteristik modul

yang tidak tergantung pada bahan ajar/media lain, atau tidak harus

digunakan bersama dengan bahan ajar/media lain. Dengan

menggunakan modul, peserta didik tidak perlu bahan ajar yang lain

untuk mempelajari dan atau mengerjakan tugas pada modul

tersebut. Jika peserta didik masih menggunakan dan bergantung

Page 22: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

13

pada bahan ajar selain modul yang digunakan, maka bahan ajar

tersebut tidak dikategorikan sebagai modul yang berdiri sendiri.

d. Adaptif

Modul hendakanya memiliki daya adaptasi yang tinggi terhadap

perkembangan ilmu dan teknologi. Dikatakan adaptif jika modul

tersebut dapat menyesuaikan perkembangan ilmu pengetahuan dan

teknologi, serta fleksibel/luwes digunakan berbagai perangkat keras

(hardware).

e. User Friendly

Modul hendaknya memenuhi kaidah user friendly atau

bersahabat/akrab dengan pemakainya. Setiap instruksi dan paparan

informasi yang tampil bersifat membantu dan bersahabat dengan

pemakainya, termasuk kemudahan pemakai dalam merespon dan

mengakses sesuai keinginan. Penggunaan bahasa yang sederhana,

mudah dimengerti, serta menggunakan istilah yang umum

digunakan, merupakan salah satu bentuk user friendly.

3. Pembelajaran Berbasis Masalah

Menurut Adhana dalam Made (2010:96), “pembelajaran berbasis

masalah dapat mengembangkan pemecahan masalah matematika

mahasiswa”. Pembelajaran berbasis masalah merupakan suatu model

pembelajaran inovatif yang melibatkan mahasiswa untuk memecahkan

masalah dengan metode ilmiah. Savoie dan Hughes dalam Made (2010:

Page 23: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

14

91) menyatakan bahwa pembelajaran belajar berbasis masalah memiliki

beberapa karakteristik sebagai berikut.

a. Belajar dimulai dengan suatu permasalahan.

b. Permasalahan yang diberikan harus berhubungan dengan dunia nyata

mahasiswa.

c. Mengorganisasikan pembelajaran di seputar permasalahan.

d. Memberikan tanggung jawab yang besar dalam membentuk dan

menjalankan secara langsung proses belajar mereka sendiri.

Pembelajaran ini mahasiswa tidak hanya mendengarkan, mencatat, dan

menghapal materi dari dosen, tetapi mahasiswa diharapkan aktif berpikir,

berkomunikasi, dan mengolah data sehingga kesimpulan tercapai.

Wina (2006:218) mengemukakan ada 6 langkah pembelajaran

berbasis masalah berikut ini.

a. Menyadari masalah.

Pembelajaran berbasis masalah dimulai dengan adanya

masalah yang harus dipecahkan. Kemampuan yang harus dicapai

oleh mahasiswa pada tahapan ini adalah mahasiswa dapat

menentukan masalah yang ada.

b. Merumuskan masalah.

Rumusan masalah sangat penting karena berkaitan dengan

data-data apa yang harus dikumpulkan untuk menyelesaikan masalah

tersebut. Kemampuan yang diharapkan dari mahasiswa dalam

langkah ini adalah mahasiswa dapat menentukan prioritas masalah.

Page 24: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

15

Mahasiswa dapat memanfaatkan pengetahuannya menganalisis

masalah sehingga muncul rumusan masalah yang jelas, spesifik, dan

dapat dipecahkan.

c. Merumuskan hipotesis.

Kemampuan yang diharapkan dalam tahapan ini adalah

mahasiswa dapat menentukan sebab akibat dari masalah yang ingin

diselesaikan. Melalui analisis sebab akibat inilah pada akhirnya

mahasiswa diharapkan dapat menentukan penyelesaian masalah.

d. Mengumpulkan data.

Tahapan ini mendorong mahasiswa untuk mengumpulkan

data yang relevan. Kemampuan yang diharapkan adalah mahasiswa

dapat mengumpulkan dan memilah data.

e. Menguji hipotesis

Kemampuan yang diharapkan dari mahasiswa dalam tahapan

ini adalah kemampuan menelaah data dan sekaligus membahasnya

untuk melihat hubungan dengan masalah yang dikaji. Diharapkan

mahasiswa dapat mengambil keputusan dan kesimpulan.

f. Menentukan penyelesaian

Menentukan penyelesaian adalah tahapan terakhir dari proses

pembelajaran berbasis masalah. Kemampuan yang diharapkan

adalah kemampuan memilih penyelesaian yang memungkinkan

dapat dilakukan.

Page 25: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

16

Proses perkuliahan Kalkulus 1 dengan menggunakan

pembelajaran berbasis masalah diharapkan dapat meningkatkan motivasi

mahasiswa. Pembelajaran berbasis masalah diharapkan dapat

mengembangkan kemampuan berpikir mahasiswa dalam pemecahan

masalah mengenai Kalkulus 1.

4. Modul Berbasis Masalah

Bahan perkuliahan yang dikembangkan untuk perkuliahan

Kalkulus 1 adalah modul yang disusun berdasarkan pembelajaran

berbasis masalah. Modul ini berisi standar kompetensi, uraian materi,

contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak

lanjut, kunci jawaban, dan daftar rujukan. Latihan terbimbing merupakan

latihan yang disertai dengan arahan untuk membantu mahasiswa dalam

menyelesaikan soal, sedangkan latihan mandiri adalah latihan yang

menuntut kemandirian mahasiswa dalam mengerjakan soal. Contoh dan

latihan dibuat agar dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah

mahasiswa. Umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar

mencocokkan jawaban latihan dengan kunci jawaban. Dengan adanya

umpan balik, mahasiswa dapat mengetahui tingkat penguasaannya

terhadap materi. Tindak lanjut merupakan kegiatan yang harus dilakukan

mahasiswa atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk untuk

melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari kegiatan

belajar tersebut atau melanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya.

Page 26: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

17

Modul dibuat dengan menarik dan jelas agar mahasiswa

termotivasi untuk belajar. Dengan modul ini, mahasiswa diharapkan akan

mampu mendefinisikan masalah, kemudian merumuskan masalah,

merumuskan hipotesis, mengumpulkan data, menguji hipotesis, dan

menentukan pilihan penyelesaian. Modul berbasis masalah ini

diharapkan dapat memotivasi mahasiswa belajar mandiri dan

meningkatkan kemampuan pemecahan masalah pada mahasiswa.

B. Penelitian yang Relevan

Rudi (2010) dengan penelitian yang berjudul ”Pengembangan Modul

Pemrograman Pascal”. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan modul

Pemrograman Pascal yang valid, praktikal dan efektif untuk mahasiswa

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Yenny (2010) dengan penelitian berjudul “Pengembangan Perangkat

Pembelajaran Berbasis Model Problem Based Learning Untuk Pembelajaran

IPA Kelas V Sekolah Dasar Pada Sub Materi Alat Pernapasan Pada Manusia

Dan Hewan”. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui validitas,

praktikalitas, dan efektivitas perangkat pembelajaran berbasis model problem

based learning untuk sub materi alat pernapasan pada manusia dan hewan.

Page 27: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

18

C. Kerangka Pemikiran

Secara ringkas kerangka berpikir dari penelitian ini dapat

digambarkan melalui diagram berikut.

Gambar 1. Kerangka Berpikir

Buku teks belum efektif memotivasi belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah

mahasiswa

Mengembangkan modul berbasis masalah

Meningkatkan aktivitas dan hasil belajar mahasiswa

Page 28: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

19

BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

A. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari

penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

2. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

praktis bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

3. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang

efektif bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat.

B. Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan berguna bagi pihak-pihak berikut ini.

1. Bagi mahasiswa, hasil penelitian ini diharapkan mempermudah mahasiswa

memahami pelajaran Kalkulus 1.

2. Bagi dosen, hasil penelitian ini diharapkan dapat menjadi salah satu

alternatif alat bantu yang dapat digunakan dosen agar pembelajaran lebih

efisien, efektif, dan relevan.

19

Page 29: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

20

3. Bagi peneliti, hasil penelitian ini diharapkan dapat menjadi sumber ide dan

referensi bagi peneliti dalam pengembangan sumber belajar dalam bentuk

lain.

4. Bagi pembaca, hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan

dan ilmu pengetahun pembaca, serta sebagai landasan untuk melanjutkan

penelitian ini.

Page 30: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

21

BAB 4. METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian dan

pengembangan (Research and development /R&D). Menurut Sugiyono

(2008:407), ”R&D adalah metode pelitian yang digunakan untuk

menghasilkan produk tertentu, dan menguji keefektifan produk tersebut”.

Produk yang akan dikembangkan dalam penelitian ini adalah alat bantu

perkuliahan yang berupa modul berbasis masalah.

B. Prosedur Penelitian

Penelitian ini menggunakan rancangan penelitian pengembangan

dengan model pengembangan 4-D rancangan Thiagarajan, Semmel, dan

Semmel (Trianto, 2007: 65). Model pengembangannya terdiri atas 4 tahap

yang meliputi: pendefinisian (define), perancangan (design), pengembangan

(develop), dan penyebaran (desseminate). Tahap-tahap yang akan dilalui

peneliti hanya sampai tahap develop karena mengingat keterbatasan waktu

dan biaya. Secara lengkap prosedur yang akan dilakukan sebagai berikut ini.

1. Tahap Pendefinisian (define)

Tahap ini dilakukan untuk melihat kondisi yang berhubungan

dengan proses perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat,

kemudian menganalisis permasalahan. Kegiatan yang dilakukan pada

tahap ini adalah sebagai berikut.

21

Page 31: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

22

a. Menganalisis silabus, hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah

materi yang diajarkan sudah sesuai dengan standar kompetensi dan

kompetensi dasar mata kuliah.

b. Menganalisis buku-buku teks Kalkulus 1, untuk melihat kesesuaian isi

buku dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar yang harus

dicapai mahasiswa. Buku-buku yang telah sesuai akan digunakan

sebagai acuan penyusunan konsep dan contoh soal serta latihan soal

pada modul yang akan dikembangkan.

c. Mereviuw literatur yang terkait dengan pengembangan modul, untuk

melihat rujukan mengenai modul dan pembelajaran berbasis masalah.

d. Wawancara dengan teman sejawat dan mahasiswa, ini bertujuan untuk

mengetahui masalah/hambatan apa saja yang dihadapi di lapangan

sehubungan dengan perkuliahan Kalkulus 1.

2. Perancangan (design)

Setelah menganalisis kebutuhan dilanjutkan dengan perancangan.

Pada tahap ini yang akan dilakukan adalah merancang modul Kalkulus 1.

Modul dibuat terdiri dari empat bagian yang dapat dipergunakan untuk

satu semester, bagian-bagiannya yaitu:modul 1pendahuluan, modul 2

fungsi dan limit, modul 3turunan, dan modul 4pengunaan turunan.

Masing-masing modul berisi standar kompetensi, uraian materi,

contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak

lanjut, dan kunci jawaban. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan

belajar yang sudah disesuaikan dengan silabus.

Page 32: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

23

3. Pengembangan (develop)

Pada tahap ini tindakan yang dilakukan adalah validasi, menguji

praktikalitas dan efektivitas modul.

a. Tahap validasi

Ada 2 macam validasi yang digunakan pada modul, yaitu

sebagai berikut.

1). Validitas isi, yaitu apakah modul telah dirancang sesuai dengan

silabus mata kuliah.

2). Validitas konstruk, yaitu kesesuaian komponen-komponen modul

dengan indikator-indikator yang telah ditetapkan.

Modul yang sudah dirancangdikonsultasikan dan didiskusikan dengan

validator, yaitu pakar Kalkulus 1 dan pakar pendidikan, dosen

Kalkulus 1, dan pakar Bahasa Indonesia. Kegiatan validasi dilakukan

dalam bentuk mengisi lembar validasi modul dan diskusi sampai

diperoleh modul yang valid dan layak untuk digunakan. Lembar

validasi modul diisi oleh validator. Adapun aspek-aspek yang

divalidasi dapat dilihat dari Tabel 2.

Tabel 2. Aspek Validasi Modul

No. Aspek Metode pengumpulan data Instrumen

1. Tujuan Memberikan angket validasi kepada pakar Kalkulus 1, dosen Kalkulus 1, serta dosen Bahasa Indonesia

Lembar validasi 2. Rasional

3. Isi modul 4. Karakteristik modul 5. Kesesuaian 6. Bahasa 7. Bentuk fisik 8. Keluwesan

Page 33: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

24

b. Tahap Praktikalitas

Setelah divalidasi, modul ini direvisi dan selanjutnya

diujicobakan untuk mengetahui tingkat praktikalitas (keterpakaian)

modul. Uji coba dilakukan terbatas di satu kelas, yaitu sesi 2013.

Program Studi Pendidikan Matematika di STKIP PGRI Sumatra Barat

yang mengambil mata kuliah Kalkulus 1 semester ganjil tahun

akademik 2013/2014. Praktikalitas berkaitan dengan keterpakaian

bahan perkuliahan oleh mahasiswa dan dosen. Menurut Akker dan

Plomp (2001: 62) “The material are said practical, if the teacher are

able to use materials to execute their lesson in logical and coherent

manner, without to many problems”. Bahan perkuliahan dikatakan

praktis, jika dosen dapat menggunakan bahan tersebut untuk

melaksanakan perkuliahan secara logis dan berkesinambungan tanpa

banyak masalah. Menurut Sukardi (2008: 52) pertimbangan

praktikalitas dapat dilihat dalam aspek-aspek berikut.

1). Kemudahan penggunaan, meliputi: mudah diatur, disimpan, dan

dapat digunakan sewaktu-waktu.

2). Waktu yang diperlukan dalam pelaksanaan sebaiknya singkat,

cepat, dan tepat.

3). Daya tarik bahan perkuliahan terhadap minat mahasiswa.

4). Mudah diinterpretasikan oleh dosen ahli maupun dosen lain

5). Memilki ekivalensi yang sama, sehingga bisa digunakan sebagai

pengganti atau variasi.

Page 34: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

25

Pada penelitian ini praktikalitas dilihat dengan melakukan wawancara

dan observasi pelaksanaan perkuliahan untuk melihat kemudahan,

waktu, dan isi modul.

c. Tahap Efektivitas

Tahap ini dilakukan untuk menilai apakah modul yang

dikembangkan dapat digunakan sesuai harapan untuk meningkatkan

kualitas dan prestasi belajar mahasiswa. Pada uji coba ini akan

diamatiaktivitas dan hasil belajar mahasiswa untuk mengetahui tingkat

efektivitas modul yang telah dikembangkan.

Adapun indikator praktikalitas dan efektivitas modul dapat dilihat

pada Tabel 3.

Tabel 3. Indikator Praktikalitas dan Efektivitas Modul

No Aspek yang dinilai Metode pengumpulan data Instrumen

1 Praktikalitas : a. Pelaksanaan

perkuliahan dengan modul

b. Petunjuk pengisian modul

c. Isi modul d. Waktu untuk

mengisi modul

a. Observasi

pelaksanaan perkuliahan

b. Wawancara mahasiswa

a. Lembar

observasi b. Pedoman

wawancara

2 Efektivitas : a. Dampak

terhadap aktivitas belajar

b. Dampak terhadap hasil belajar

a. Observasi b. Tes

a. Lembar

observasi b. Soal tes

Page 35: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

26

Jika modul belum valid, praktis, dan efektif maka dilakukan revisi

pada bagian yang masih dianggap kurang. Hasil revisi ini dijadikan tolak

ukur dalam memperbaiki modul yang telah dikembangkan. Maka hasil ini

menjadi hasil akhir rangkaian pengembangan modul berbasis masalah.

Page 36: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

27

Secara ringkas alur penelitian tahun pertama dan kedua dapat

dilihat pada gambar berikut:

Gambar 2. Alur Penelitian Tahun Pertama dan Kedua

Uji coba Modul Kalkulus 1 angkatan 2013 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat

Tahap pendefinisian: - Analisis silabus Kalkulus 1 Pendidikan Matematika

STKIP PGRI Sumateara Barat - Analisis buku teks Kalkulus 1 - Reviuw literatur Modul - Wawancara dengan teman sejawat

Tahap perancangan: MerancangModul Berbasis masalah

Revisi

Validasi Modul Berbasis Masalah

Valid?

Ya

Praktis? Efektif?

Tidak Revisi

Modul berbasis masalah yang valid, praktikal dan efektif

Tidak

Ya

Analisis

T a h a p p e n g e m b a n g a n

TAHUN I

TAHUN II

Page 37: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

28

C. Definisi Operasional

1. Modul merupakan bahan ajar yang berisikan sasaran belajar, teori

singkat, latihan terstruktur dan tugas-tugas, soal-soal latihan serta bahan

diskusi. Modul ditujukan untuk membantu mahasiswa agar dapat belajar

mandiri secara kontinu dan terarah.

2. Pembelajaran berbasis masalah merupakan model pembelajaran inovatif

yang melibatkan mahasiswa untuk memecahkan masalah dengan metode

ilmiah. Pembelajaran belajar berbasis masalah memiliki beberapa

karakteristik sebagai berikut.

a. Belajar dimulai dengan suatu permasalahan.

b. Permasalahan yang diberikan harus berhubungan dengan dunia nyata

mahasiswa.

c. Mengorganisasikan pembelajaran di seputar permasalahan.

d. Memberikan tanggung jawab yang besar dalam membentuk dan

menjalankan secara langsung proses belajar mereka sendiri.

3. Validitas adalah kesahihan, sifat benar menurut bahan bukti yang ada,

logika berfikir/semestinya (Depdiknas, 2002). Validitas yang dikaji

meliputi validitas isi dan validitas konstruk. Validitas isi melihat sejauh

mana penilaian mampu mengukur materi/tujuan yang digariskan secara

representatif. Validitas konstruk melihat sejauh mana kebermaknaan

penilaian mengukur sifat atau karakteristik yang tidak dapat diobservasi.

Kegiatan validasi dilakukan oleh para pakar dan praktisi dengan

Page 38: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

29

memberikan modul yang telah dibuat beserta lembar validasinya

sehingga diperoleh media pembelajaran yang valid.

4. Praktikalitas (bersifat praktis) adalah mudah dan senang memakainya

(Depdiknas, 2002). Praktikalitas berkaitan dengan kemudahan

menggunakan modul dan kemajuan yang didapatkan mahasiswa dengan

menggunakan modul.

5. Efektivitas adalah dampak, pengaruh, dan hasil yang ditimbulkan

(Depdiknas, 2002). Pada penelitian ini efektivitas dilihat dari aktivitas

dan hasil belajar belajar mahasiswa. Suatu produk dikatakan efektif

apabila ia memberikan hasil sesuai dengan tujuan yang ditetapkan oleh

peneliti.

D. Instrumen Penelitian

Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah lembar

validasi, lembar observasi, angket,pedoman wawancara, dan tes.

1. Lembar validasi

Lembar validasi digunakan untuk mengetahui apakah modul yang

telah dirancang valid atau tidak. Lembar validasi modul berisi aspek-aspek

yang telah dirumuskan pada Tabel 2. Setiap aspek dikembangkan menjadi

beberapa pernyataan. Skala penilaian untuk lembar validasi menggunakan

skala Likert. Lembar validasi divalidasi langsung oleh validator modul.

2. Lembar observasi

Lembar observasi digunakan untuk mengetahui pelaksanaan

perkuliahan dengan modul dan aktivitas mahasiswa selama proses

Page 39: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

30

perkuliahan berlangsung. Aktivitas mahasiswa yang diamati dalam

penelitian ini adalah:

a. VA = Visual Activities, yaitu mahasiswa membaca modul

b. OA = Oral Activities, yaitu mahasiswa bertanya (pada dosen atau

mahasiswa lain)

c. LA = Listening Activities, yaitu mahasiswa mendengar penjelasan dari

dosen

d. WA = Writing Activities, yaitu mahasiswa mengisi latihan pada modul

e. DA = Drawing activities, yaitu mahasiswa membuat gambar ketika

menyelesaikan soal dalam modul Mengemukakan pendapat

f. MA1 = Mental Activities, yaitu mahasiswa menanggapi, memecahkan

soal, Menganalisis, melihat hubungan, dan menyimpulkan

pembelajaran

g. EA = Emotional Activities, yaitu mahasiswa bersemangat dan bersikap

berani

h. MA2 = Motor Activities, yaitu mahasiswa melakukan tindakaan yang

tidak relevan dengan KBM (menganggu teman, melamun, atau

bermain)

Sebelum digunakan, lembar observasi divalidasi oleh validator instrumen.

Hasil validasi oleh kedua validator menunjukkan bahwa instrumen lembar

observasi ini sudah sangat valid, artinya sudah dapat digunakan.

Page 40: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

31

3. Pedoman wawancara

Pedoman wawancara dibuat untuk mengetahui praktikalitas

penggunaan modul di kelas. Wawancara dilakukan pada mahasiswa

setelah perkuliahan dengan modul selesai. Untuk mewawancarai

mahasiswa, dibuat pedoman wawancara. Pedoman wawancara berisi

pertanyaan-pertanyaan tentang petunjuk, isi dan waktu penggunaan.

Sebelum digunakan, pedoman wawancara divalidasi oleh validator

instrumen. Hasil validasi oleh validator menunjukkan bahwa instrumen

pedoman wawancara ini sudah sangat valid, artinya sudah dapat

digunakan.

4. Tes

Tes adalah suatu alat yang disusun untuk mengukur kualitas,

abilitas, keterampilan atau pengetahuan dari seseorang atau sekelompok

individu. Tes digunakan untuk mengetahui hasil belajar mahasiswa setelah

menggunakan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1.

Melalui tes tersebut dapat ditentukan tinggi rendahnya skor dalam bentuk

kuantitatif selanjutnya dibandingkan dengan standar yang telah ditentukan

untuk ditarik kesimpulan yang bersifat kualitatif.

E. Teknik Analisis Data

Data yang diperoleh melalui berbagai instrumen dianalisis secara

kualitatif dan kuantitatif. Informasi yang diperoleh dari hasil observasi dan

wawancara mengenaipraktikalitas modul dianalisis secara kualitatif. Data dari

hasil lembar validasi modul, lembar observasi aktivitas dianalisis secara

Page 41: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

32

kuantitatif, kemudian digunakan teknik deskriptif untuk menarik kesimpulan

yang bersifat kualitatif. Teknik analisis data dari setiap instrumen

digambarkan sebagai berikut ini.

1. Hasil Validasi

Hasil validasi dari validator terhadap seluruh aspek yang dinilai,

disajikan dalam bentuk tabel. Selanjutnya dicari rerata skor tersebut

dengan menggunakan rumus

n

VR

n

ii

1 (Muliyardi, 2006:82)

dengan

R = rerata hasil penilaian dari para validator Vi = skor hasil penilaian validator ke-i n = banyak validator

Kemudian rerata yang didapatkan dikonfirmasikan dengan kriteria

yang ditetapkan. Cara mendapatkan kriteria tersebut adalah sebagai

berikut:

a. Rentangan skor mulai dari 1 sampai 5

b. Kriteria dibagi atas lima tingkatan. Istilah yang digunakan disesuaikan

dengan aspek-aspek yang bersangkutan.

c. Rentangan rerata dibagi menjadi lima kelas interval.

Lalu, dihitung rerata semua aspek untuk modul. Untuk menentukan

tingkat kevalidan modul digunakan kriteria berikut ini.

a. Bila R> 3,20 maka modul dikategorikan sangat valid.

b. Bila 2,40 <R ≤ 3,20 maka dikategorikan valid.

Page 42: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

33

c. Bila 1,60 <R ≤ 2,40 maka dikategorikan cukup valid.

d. Bila 0,80 <R ≤ 1,60 maka dikategorikan kurang valid.

e. Bila R ≤ 0,80 maka dikategorikan tidak valid.

2. Hasil Observasi

a. Observasi praktikalitas pelaksanaan perkuliahan dengan modul

Hasil observasi dipisah-pisahkan menurut kelompok data.

Untuk menggambarkan data hasil observasi digunakan teknik

deskriptif.

b. Observasi aktivitas mahasiswa

Data observasi diperoleh dengan cara menghitung jumlah

mahasiswa yang melakukan aktivitas sebagaimana terdapat pada

lembar observasi. Data tersebut dianalisis dengan teknik persentase

yang dinyatakan oleh Anas (2005:43) sebagai berikut:

%100NfP

Keterangan:

P = persentase aktivitas f = frekuensi aktivitas N = jumlah mahasiswa

Untuk mengetahui tingkat keberhasilan aktivitas belajar

mahasiswa, Dimyati (2006:125) memberikan kriteria sebagai berikut.

Page 43: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

34

Tabel 4. Kriteria Keberhasilan Aktivitas Belajar Mahasiswa

Kriteria Tingkat keberhasilan Range persentase Sedikit sekali Sedikit Banyak Banyak sekali

Tidak berhasil Kurang berhasil Berhasil Sangat berhasil

0 ≤ P ≤ 25 25 < P ≤ 50 50 < P ≤ 75 75 < P ≤ 100

Sumber: modifikasi Dimyati dan Mudjiono (2006:125)

Berdasarkan Tabel 4 dapat diketahui jika persentase

mahasiswa yang aktif adalah 0 ≤ P ≤ 25, maka dapat disimpulkan

bahwa mahasiswa yang beraktivitas sedikit sekali dan proses

perkuliahan tidak berhasil mengaktifkan mahasiswa. Aktivitas

mahasiswa diamati setiap pertemuan, sehingga dapat diketahui

perkembangan aktivitas mahasiswa dalam perkuliahan yang

menggunakan modul.

3. Hasil Wawancara

Teknik deskriptif digunakan untuk menggambarkan data hasil

wawancara dengan mahasiswa mengenai praktikalitas modul. Miles dan

Huberman dalam Nyimas (2007: 62) menyatakan “bahwa hasil wawancara

dari para pakar menghasilkan data kualitatif berdasarkan transkripsi

tertulis dan catatan yang dibuat saat wawancara berlangsung”.

Miles menyatakan cara menganalisis data kualitatif terdiri dari tiga

tahap, yaitu mereduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan.

Mereduksi data merupakan proses menyeleksi, memfokuskan, dan

mengabstraksi, dan mentransformasi data mentah yang diperoleh melalui

observasi.

Page 44: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

35

4. Hasil Tes

Data yang diperoleh dari tes hasil belajar dianalisis dengan

menggunakan perhitungan presentase mahasiswa yang memenuhi kriteria

ketuntasan minimal. Untuk pengembangan modul ini dikatakan efektif jika

lebih dari 60% mahasiswa mendapatkan nilai 65 – 100

Tabel 5. Kriteria Hasil Belajar Mahasiswa Nilai Mutu Nilai Angka Keterangan

A B C D E

81 < k ≤ 100 66 < k ≤ 80 56 < k ≤ 65 46 < k ≤ 55

k <45

Baik sekali Baik

Cukup Kurang Cukup

Kurang Sumber: Buku Pedoman Akademik STKIP PGRI (2011/2012)

Page 45: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

36

BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Hasil Penelitian

Pengembangan modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1

dengan menggunakan model 4-D memiliki hasil sebagai berikut.

1. Validitas Modul Berbasis Masalah

Kegiatan untuk mendapatkan modul Kalkulus 1 yang valid

diawali dengan melewati tahap Pendefinisian. Pada tahap ini dilakukan

analisis terhadap silabus mata kuliah Kalkulus 1. Analisis silabus

dilakukan untuk melihat apakah materi yang diajarkan sudah sesuai

dengan kompetensi yang diharapkan. Dalam silabus, terdapat empat

materi pokok yang harus dipelajari dalam satu semester. Empat materi

tersebut adalah Pendahuluan, limit, turunan, dan aplikasi turunan untuk

materi keempat. Hasil analisis diperoleh bahwa materi tersebut telah

sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai oleh mahasiswa. Urutan

materi juga telah pas karena materi sistem bilangan Riil adalah materi

pertama yang merupakan materi dasar yang harus dipelajari sebelum

mempelajari materi selanjutnya. Sedangkan materi fungsi limit, turunan,

dan aplikasi turunan merupakan materi terakhir yang mencakup seluruh

materi sebelumnya.

Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis buku rujukan untuk

mata kuliah Kalkulus 1. Analisis buku rujukan yang dilakukan bertujuan

untuk melihat apakah isi buku sudah sesuai dengan kompetensi dalam

36

Page 46: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

37

silabus. Buku rujukan pertama yang dianalisis adalah buku teks yang

selama ini digunakan dalam perkuliahan Kalkulus 1. yaitu kalkulus edisi

kesembilan karangan Varbeg purcell rigdom. Materi dalam buku ini

sudah mencakup sebagian besar kompetensi yang diharapkan. Namun

penyajian dan bahasa materi belum sesuai dengan Kemampuan

mahasiswa STKI PGRI Sumatera Barat. Selain buku karangan Purcell,

buku Kalkulus karangan Koko Martono, dan kalkulus ilmu ukur analitik

karangan Leithold dijadikan sebagai rujukan karena banyak materi yang

dapat dijadikan bahan untuk pengembangan modul. Buku-buku lain yang

berhubungan dengan materi Kalkulus 1 juga dijadikan rujukan.

Setelah menganalisis buku rujukan Kalkulus 1, kegiatan

selanjutnya adalah peneliti berdiskusi dengan teman sejawat. Dari hasil

diskusi diketahui bahwa selama ini proses perkuliahan Kalkulus 1 hanya

menggunakan metode ceramah. Mahasiswa banyak bergantung pada

dosen dalam memahami materi. Mahasiswa belum mampu untuk belajar

mandiri. Perlu suatu metode agar mahasiswa tidak terlalu banyak

membutuhkan bantuan dosen dalam perkuliahan.

Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis literatur yang terkait

dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah. Menganalisis literatur

yang berhubungan dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah

juga sangatlah penting. Dengan adanya literatur, maka peneliti terbantu

dalam perancangan modul.

Page 47: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

38

Berdasarkan analisis-analisis tersebut, maka dirancanglah modul

berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1. Modul yang dirancang

terdiri dari empat macam. Modul 1 untuk pokok bahasan Pendahuluan,

modul 2 untuk pokok bahasan limit, modul 3 untuk pokok turunan,

modul 4 untuk pokok bahasan aplikasi turunan. Modul diharapkan dapat

membantu kemandirian mahasiswa dalam perkuliahan.

Page 48: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

39

Berikut diagram dari tahap pendefinisian.

Gambar 3. Diagram Alir Tahap Pendefinisian

Analisis Silabus mata kuliah Kalkulus 1 1. Sistem Bilangan Riil 2. Limit 3. Turunan 4. Aplikasi Turunan

Analisis Buku rujukan mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak 2 1. Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell

Rigdom 2. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold 3. Kalkulus Karangan Koko Martono 4. Buku rujukan lain

Reviuw literatur pengembangan modul 1. Teknik Penyusunan Modul 2. Strategi Pembelajaran inovatif Kontemporer

karangan Made Wena

Diskusi dengan Teman Sejawat 1. Perkuliahan menggunakan Buku Teks 2. Perkuliahan menggunakan metode

ceramah

Pengembangan Modul Berbasis Masalah untuk Perkuliahan Kalkulus 1

Page 49: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

40

Berikut ini diuraikan karakteristik modul berbasis masalah yang

dirancang.

a. Setiap modul yang dirancang memiliki halaman pendahuluan.

Halaman pendahuluan berisi deskripsi singkat tentang isi modul,

relevansi dan tujuan instruksional. Relevansi berisi kegunaan

mahasiswa dalam mempelajari modul jika modul tersebut dikaitkan

dengan modul lain, sedangkan tujuan instruksional berupa

kompetensi dasar dan indikator yang harus dicapai mahasiswa

setelah mempelajari modul tersebut. Salah satu halaman

pendahuluan dapat dilihat sebagai berikut.

b. Setiap kegiatan belajar berisi materi yang berhubungan dengan

pokok bahasan yang akan dibahas. Materi diawali dengan

pemberian suatu masalah. Masalah yang diberikan berhubungan

dengan bidang lain. Dengan adanya masalah tersebut, mahasiswa

mengetahui manfaat dari pokok bahasan yang dipelajari. Berikut

salah satu pemberian masalah pada awal materi.

Page 50: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

41

Uraian materi juga memuat rumus-rumus yang berhubungan

dengan pokok bahasan yang dibahas. Rumus-rumus tersebut dibuat

dalam kotak agar mahasiswa mudah melihatnya. Berikut salah satu

contoh rumus.

Page 51: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

42

Selain memuat materi, dalam uraian ini juga memuat contoh.

Contoh yang diberikan berguna bagi mahasiswa untuk menambah

pemahaman mengenai materi yang disampaikan. Contoh yang

diberikan berhubungan dengan masalah yang diberikan di awal

materi. Contoh memuat ciri pembelajaran berbasis masalah.

Berikut salah satu bentuk contoh pada modul ini. c. Setelah soal latihan setelatelah itu diberikan beberapa soal latihan

terbimbing dimana pada latihan ini siswa dilatih untuk menguasai

materi tetapi dengan membimbing siswa dalam mengerjakan latihan

dengan mengosongkan bagian-bagian jawaban dari latihan. Berikut

ini diberikan bentuk latihan pada modul

Page 52: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

43

d. Setelah mengerjakan latihan terbimbing. Siswa diminta untuk

megerjakan Soal-soal latihan mandiri diambil dari soal-soal yang

terdapat dalam buku kalkulus edisi kesembilan karangan Varaberg

Purcell rigdom dan buku kalkulus dan ilmu ukur analitik karangan

Leithold, dan referensi tambahan lain yang disesuaikan dengan

kemampuan mahasiswa. Soal latihan yang diambil adalah soal yang

dapat menunjang pembelajaran berbasis masalah. Dengan adanya

latihan tersebut, diharapkan kemampuan pemecahan masalah

mahasiswa dapat meningkat. Berikut salah satu contoh latihan.

e. Pada bagian akhir kegiatan belajar, terdapat umpan balik dan tindak

lanjut. Bagian umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar

mencocokkan jawaban latihan dengan kunci jawaban yang terdapat

Page 53: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

44

pada bagian akhir modul. Hal ini dilakukan agar mahasiswa dapat

mengetahui tingkat penguasaannya terhadap isi kegiatan belajar.

Berikut salah satu bagian umpan balik.

Bagian tindak lanjut berisi kegiatan yang harus dilakukan

mahasiswa atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk

untuk melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari

kegiatan belajar tersebut atau terus melanjutkan ke kegiatan belajar

selanjutnya. Berikut contoh bagian tindak lanjut pada salah satu

kegiatan belajar.

Page 54: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

45

f. Kunci jawaban latihan dan referensi berada pada akhir setiap modul.

Kunci jawaban yang dimuat merupakan kunci jawaban semua

kegiatan belajar pada modul tersebut. Contoh kunci jawaban

diberikan sebagai berikut.

g. Referensi yang berada pada akhir setiap modul berisi acuan yang

digunakan pada saat penulisan modul. Referensi berguna untuk

memberi tahu mahasiswa darimana sumber modul ini didapatkan.

Jika mahasiswa ingin lebih lanjut mengetahui mengenai materi

maka mahasiswa dapat mencari buku yangterdapat dalam referensi.

Berikut salah satu contoh referensi.

Page 55: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

46

Produk yang dibuat yang berupa modul berbasis masalah belum

sepenuhnya selesai. Diantaranya ada beberapa materi yang belum disajikan

dalam masalah kontekstual atau dalam kehidupan sehari-hari. Selanjutnya

beberapa modul yang belum dibuatkan kunci jawabannya. Penyempurnaan

modul ini akan dilakukan pada laporan akhir sebelum dilakukan presentasi

kelayakan.

Validator memvalidasi hasil rancangan modul berbasis masalah

dengan mengisi lembar validasi. Hasil validasi baru dilakukan oleh satu orang

validator dan materi yang divalidasi masih pada bab pendahuluan dengan

tujuh kegiatan belajar. Validasi selajutnya akan dilanjutkan pada tahun kedua

dengan tiga validator lainnya dan untuk keseluruhan materi pada semua bab.

Tabel 6. Jawaban dan Skor Validasi

Pernyataan Skor validator

Tujuan a. Rumusan standar kompetensi jelas

dan komprehensif 4

b. Jumlah standar kompetensi sesuai dengan waktu yang tersedia 5

Page 56: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

47

Rata-rata skor 4.5 Rasional

a. Modul memiliki ciri khas 4 b. Modul mampu memotivasi 4 c. Modul bermanfaat untuk

mahasiswa 5

Rata-rata skor 4.33 Isi modul

a. Teori yang dipakai sesuai dengan materi 5

b. Soal yang dipakai sesuai dengan materi 5

c. Soal yang diberikan bervariasi 4

Skor rata-rata 4,66

Karakteristik a. Adanya masalah yang diberikan di

awal materi 3

b. Masalah yang diberikan familiar bagi mahasiswa 3

c. Modul mampu memunculkan soal bervariasi sehingga dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar

4

d. Modul mampu melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi

3

e. Latihan dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa 2

f. Contoh dan latihan sesuai dengan masalah yang diberikan 3

g. Contoh dapat meningkatkan kemampuan problem solving 3

Skor rata-rata 3,00 Kesesuaian

a. Terdapat kesesuaian tujuan dan materi 4

b. Terdapat kesesuaian materi dan soal 4

c. Terdapat kesesuaian contoh dan latihan 5

Skor rata-rata 4.33 Bahasa

Page 57: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

48

a. Kalimat mudah dipahami 4 b. Kalimat yang digunakan sesuai

dengan kaidah EYD 2

c. Struktur kalimat sesuai dengan kemampuan mahasiswa 4

d. Bahasa yang digunakan komunikatif 4

Skor rata-rata 3.50 Bentuk fisik

a. Format dan desain isi modul menarik 4

b. Gambar yang digunakan menarik 4 c. Cover modul menarik dan mewakili

gambaran isi modul secara keseluruhan

4

Skor rata-rata 4.00 Rata-rata total skor validasi 3.97

Keterangan: Validator: Hamdunah Nasution, M.Si

Penilaian validitas isi dan konstruk yang terlihat pada Tabel 6 dapat

disimpulkan sebagai berikut.

a. Berdasarkan tujuan, tujuan standar kompetensi jelas dan komprehensif. Jika

dikaitkan jumlah standar kompetensi dengan waktu yang tersedia juga sudah

sesuai.

b. Dari segi rasional, modul memiliki ciri khas. Modul bermanfaat untuk

mahasiswa karena modul tersebut dapat memotivasi mahasiswa dalam

perkuliahan Kalkulus 1.

c. Berdasarkan isi modul, teori dan soal yang dipakai sesuai dengan materi.

Kesesuaian ini diharapkan agar mahasiswa mencapai kompetensi yang

dirumuskan. Tingkat kesulitan soal yang terdapat pada modul ini bervariasi

agar mahasiswa tidak mengalami kejenuhan.

Page 58: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

49

d. Berdasarkan karakteristik, modul dinilai sudah memiliki karakteristik

pembelajaran berbasis masalah. Modul memberikan masalah kontekstual

yang berhubungan dengan bidang fisika pada awal materi. Masalah yang

diberikan tersebut tidak asing bagi mahasiswa. Selain itu, modul mampu

melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi.

Contoh dan latihan yang diberikan sesuai dengan masalah yang diberikan.

Latihan tersebut dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa dan contoh

dapat meningkatkan kemampuan problem solving.

e. Berdasarkan aspek kesesuaian, terdapat kesesuaian tujuan dan materi.

Kesesuaian juga terdapat pada materi dan soal serta contoh dan latihan yang

bertujuan agar mahasiswa mudah dalam mempelajari materi.

f. Berdasarkan aspek bahasa, kalimat yang digunakan mudah dipahami dan

sesuai dengan kaidah EYD. Struktur kalimat dalam modul sesuai dengan

kemampuan mahasiswa dan bahasa yang digunakan komunikatif.

g. Berdasarkan bentuk fisik, format dan desain isi modul menarik. Gambar yang

digunakan menarik sehingga dapat membantu mahasiswa dalam memahami

materi. Cover modul menarik dan mewakili gambaran isi modul secara

keseluruhan.

Dari kesimpulan di atas, dapat dikatakan bahwa modul berbasis masalah

dinilai sudah memenuhi syarat sebagai bahan perkuliahan.

Pada lembar validasi, validator juga memberikan catatan. Beberapa

catatan validator diuraikan sebagai berikut.

Page 59: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

50

a. Gambar menarik tetapi tidak sesuai dengan masalah dan ilustrasi gambar cari

yang lebih spesifik

b. Bahasa diperbaiki.

c. Gunakan kata yang baku.

d. Kalimat/pernyataan harus jelas, jangan gantung.

e. Konsisten dalam menggunakan istilah.

f. Setiap rangkuman, harus jelas keterangannya.

g. Berikan contoh yang menjadikan mahasiswa berpikir secara benar sesuai

dengan tuntutan pemecahan masalah.

h. Pada latihan terbimbing bagusnya tidak diberikan tanda karena akan

mengekang kreatifitas mahasiswa dalam menjawab soal yang diberikan.

Berdasarkan catatan yang diberikan oleh validator, belum melakukan

revisi pada modul, karena hal ini akan direncanakan pada tahun berikut nya

sehingga menghasilkan modul yang benar-benar valid. Beberapa contah revisi

validator.

Contoh revisi validator dari segi bahasa

Page 60: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

51

Contoh revisi validator dari segi kesesuain materi

Contoh revisi validator dari segi karakteristik modul

Page 61: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

52

Revisi pada aspek bentuk fisik modul

Revisi-revisi dari vlidator akan di perbaiki pada rencana tahun ke- dua dengan

mengabungkan beberapa revisi dari validator lainya serta untuk seluruh

materi pada seluruh bab.

B. Pembahasan

1. Validitas modul berbasis masalah

Modul berbasis masalah perlu divalidasi untuk memperoleh modul

yang tepat sehingga dapat digunakan sebagai bahan perkuliahan mandiri.

Validitas dilakukan oleh ahli pendidikan dalam bidang masing-masing.

Validitas yang dilakukan pada penelitian ini menekankan pada validitas isi

dan konstruk. Berdasarkan hasil validasi modul berbasis masalah pada bab

Page 62: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

53

pendahuluan oleh satu orang validator dapat diketahui bahwa modul yang

dikembangkan memperoleh rata-rata skor validasi adalah 3,97. Dengan

merujuk kepada kriteria, modul berbasis masalah dapat dikatakan valid

dari segi isi dan konstruk. Modul berbasis masalah yang valid dari segi isi

berarti modul berbasis masalah yang telah dirancang sesuai dengan silabus

mata kuliah, sedangkan valid dari segi konstruk berarti komponen-

komponen modul berbasis masalah tersebut sesuai dengan indikator-

indikator yang telah ditetapkan. Hal ini telah menjawab rumusan masalah

“Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada mata kuliah Kalkulus

kalkulus 1?.

Validitas modul berbasis masalah dapat diuraikan sebagai berikut.

a. Standar kompetensi yang dirumuskan sudah jelas dan komprehensif

serta sesuai dengan waktu yang tersedia. Direktorat Pembinaan SMK

(2008:4) menyatakan modul harus memuat tujuan pembelajaran yang

jelas, dan dapat menggambarkan pencapaian standar kompetensi dan

kompetensi dasar. Rumusan standar kompetensi yang jelas dan

komprehensif membuat mahasiswa mengetahui tujuan yang diperoleh

jika mengikuti perkuliahan Kalkulus 1. Waktu yang tersedia sesuai

dengan standar kompetensi membuat mahasiswa dapat memahami

materi perkuliahan dengan baik.

b. Modul untuk perkuliahan Kalkulu 1 memiliki ciri khas, yaitu modul

yang dikembangkan berbasis masalah. Selain bercirikan pembelajaran

berbasis masalah, modul memuat contoh dengan dengan langkah yang

Page 63: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

54

rinci. Modul berbasis masalah bermanfaat untuk mahasiswa karena

mampu memotivasi mahasiswa dalam perkuliahan. Hal ini sejalan

dengan Muljono (2001:1) yang menyatakan modul dapat

meningkatkan motivasi belajar mahasiswa.

c. Isi modul berupa teori dan soal sudah sesuai dengan materi pada

silabus mata kuliah Kalkulus 1, sehingga mahasiswa dapat mencapai

kompetensi yang diharapkan. Direktorat Pembinaan SMK (2008:16)

menyatakan materi atau isi modul harus sesuai dengan silabus. Modul

berbasis masalah juga memuat soal-soal yang bervariasi agar

mahasiswa tidak jenuh dalam mengerjakan soal.

d. Modul yang dikembangkan memiliki karakteristik suatu pembelajaran

berbasis masalah. Salah satu karakteristik pembelajaran berbasis

masalah yang dimiliki modul adalah adanya masalah yang diberikan

pada awal materi (Savoie dalam Wena, 2010:91). Masalah yang

diberikan tersebut tidak asing bagi mahasiswa. Contoh dan latihan

dibuat sesuai dengan masalah yang diberikan. Modul berbasis masalah

ini dapat meningkatkan kemampuan problem solving.

e. Terdapat kesesuaian antara tujuan perkuliahan dan materi, sehingga

mahasiswa mencapai kompetensi yang diharapkan. Kesesuaian juga

terdapat antara materi dan soal, serta contoh dan soal. Kesesuaian ini

bermanfaat untuk mahasiswa sehingga mudah memahami materi dan

contoh, serta dapat mengerjakan soal dengan baik.

Page 64: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

55

f. Kalimat yang digunakan pada modul berbasis masalah sudah sesuai

dengan kaidah EYD sehingga mudah dipahami. Bahasa yang

digunakan pun komunikatif. Direktorat Pembinaan SMK (2008:5)

menyatakan bahwa modul haruslah menggunakan bahasa yang

sederhana dan komunikatif. Kalimat yang mudah dipahami dan

bahasa yang komunikatif membuat mahasiswa dapat memahami

materi dalam modul tersebut.

g. Format dan desain isi modul menarik. Selain itu, cover modul menarik

dan mewakili isi modul secara keseluruhan. Majid (2006:176)

memaparkan bahwa buku yang baik adalah buku yang disajikan

secara menarik dilengkapi dengan gambar dan keterangan-

keterangannya. Bentuk fisik dari modul berbasis masalah yang

menarik ini dapat meningkatkan motivasi mahasiswa dalam

mempelajari isi modul.

2. Untuk tahap praktikalitas dan efektifitas akan dilakukan pada tahun ke -2

C. Publikasi Hasil Penelitian

Hasil penelitian pengembangan model berbasis masalah pada perkulihan

kalkulus 1 telah di presentasikan dan akan dicetak berupa prosiding pada seminar

nasional matematika dan pendidikan matematika di convention hall unand pada

tanggal 30 September 2013.

Page 65: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

56

BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA

Setelah selesai mendisain modul maka rencana tahapan selanjutnya adalah

1. Memvalidasi Modul Berbasis Masalah

Modul Kalkulus 1 berbasisis masalah yang sudah dirancang akan

divalidasi oleh beberapa validator (pakar) untuk melanjutkan hasil

validasi pada tahun-1 untuk keseluruhan materi. Validitas modul ini

direncanakan akan dilakukan oleh empat validator. Validator-validator

tersebut adalah satu orang pakar Kalkulus 1, satu orang dosen Kalkulus

1, satu orang dosen jurusan Bahasa Indonesia, dan satu orang dosen

jurusan Matematika STKIP PGRI Padang Sumatera Barat. Setelah selesai

divalidasi skor akan dikategorikan berdasarkan kriteria yang telah dibuat

pada bab IV. Pernyataan yang akan divalidasi oleh validator

direncanakan sesuai dengan Tabel 7 berikut.

Tabel 7. Jawaban dan Skor Validasi

Pernyataan Skor rata-rata Jawaban

Tujuan c. Rumusan standar kompetensi jelas dan

komprehensif

d. Jumlah standar kompetensi sesuai dengan waktu yang tersedia

Rasional d. Modul memiliki ciri khas e. Modul mampu memotivasi f. Modul bermanfaat untuk mahasiswa

Isi modul d. Teori yang dipakai sesuai dengan

materi

e. Soal yang dipakai sesuai dengan materi

f. Soal yang diberikan bervariasi

56

Page 66: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

57

Karakteristik h. Adanya masalah yang diberikan di

awal materi

i. Masalah yang diberikan familiar bagi mahasiswa

j. Modul mampu memunculkan soal bervariasi sehingga dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar

k. Modul mampu melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi

l. Latihan dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa

m. Contoh dan latihan sesuai dengan masalah yang diberikan

n. Contoh dapat meningkatkan kemampuan problem solving

Kesesuaian d. Terdapat kesesuaian tujuan dan materi e. Terdapat kesesuaian materi dan soal f. Terdapat kesesuaian contoh dan

latihan

Bahasa e. Kalimat mudah dipahami f. Kalimat yang digunakan sesuai

dengan kaidah EYD

g. Struktur kalimat sesuai dengan kemampuan mahasiswa

h. Bahasa yang digunakan komunikatif Bentuk fisik

d. Format dan desain isi modul menarik e. Gambar yang digunakan menarik f. Cover modul menarik dan mewakili

gambaran isi modul secara keseluruhan

Skor rata-rata validasi

Setelah dilakukan validasi oleh pakar modul direncanakan akan

diuji cobakan kepada mahasiswa kalkulus 1 untuk melihat praktikalitas

dan efektivitas modul yang akan diuraikan sebagai berikut.

Page 67: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

58

2. Praktikalitas Modul Berbasis Masalah

Uji praktikalitas perlu dilakukan untuk mendapat informasi

tentang keterpakaian modul berbasis masalah. Uji praktikalitas menjawab

apakah modul berbasis masalah dapat digunakan atau tidak. Data

praktikalitas modul berbasis masalah diperoleh dari observasi

pelaksanaan perkuliahan dan wawancara dengan mahasiswa. Hal-hal

yang diamati melalui observasi direncanakan sebagai berikut.

a. Observasi pelaksanaan perkuliahan dengan modul berbasis masalah.

Observasi pelaksanaan perkuliahan difokuskan untuk melihat

apakah perkuliahan terlaksana dan melihat jika ada kendala dalam

pelaksanaannya. Observasi dilakukan oleh 1 orang observer.

b. wawancara dengan mahasiswa mengenai praktikalitas modul

berbasis masalah

Wawancara direncanakan dilakukan kepada mahasiswa yang

sedang mengambil mata kuliah Kalkulus 1. Waktu yang digunakan

untuk wawancara direncanakan adalah setelah mahasiswa selesai

mengikuti perkuliahan dengan menggunakan modul. Indikator yang

digunakan dalam wawancara ini adalah waktu, penggunaan, dan

manfaat.

Page 68: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

59

3. Efektifitas modul berbasis masalah

Aspek efektifitas yang diamati dalam proses perkuliahan

Kalkulus 1 dengan menggunakan modul berbasis masalah di kelas uji

coba direncanakan adalah aktivitas dan hasil belajar belajar mahasiswa.

Berikut ini data aktivitas dan hasil belajar mahasiswa yang direncanakan

akan diamati adalah

a. Aktivitas mahasiswa

Data aktivitas mahasiswa diperoleh selama kegiatan

perkuliahan menggunakan modul berbasis masalah. Aktivitas

mahasiswa diamati oleh dua observer dengan mengisi instrumen

aktivitas. Berikut format lembar observasi.

Tabel 8. Data Hasil Pengamatan Observer terhadap Aktivitas Mahasiswa

Aspek yang diamati

Pertemuan 1

Pertemuan 2

Pertemuan 3 % rata-

rata Visual activities

Oral activities Listening activities

Writing activities

Drawing activities

Mental activities

Emotional activities

Motor activities

Page 69: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

60

b. Hasil belajar

Penilaian hasil belajar mahasiswa direncanakan akan

dilakukan dengan memberikan soal tes yang sudah dipersiapkan dan

di validasi

4. Desiminasi

Pada tahap ini direncanakan jika modul kalkulus 1 sudah valid,

efektif dan praktis maka akan dicetak dalam bentuk modul yang

mempunyai NISN, dan disebar luaskan pada mahasiswa STKIP PGRI

Sumbar yang mengambil mata kuliah kalkulus 1.

5. Artikel Atau Prosiding Internasional

Setelah modul selesai dicetak dan laporan akhir pada tahun kedua

sudah layak dan selesai, akan direcanakan mengikuti prosiding

internasional diluar daerah Padang seperti di Bandung, Semarang, dan

Jakarta agar dapat dimasukan pada jurnal yang terakreditasi.

Page 70: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

61

BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Modul berbasis masalah yang dikembangkan untuk perkuliahan

kalkulus 1 meliputi: 1) Pendahuluan, 2) Limit dan Fungsi, 3) Turunan, 4)

Aplikasi Turunan, Modul berbasis masalah yang dirancang memuat indikator

kompetensi, materi, contoh, Latihan Mandiri, Latihan Terbimbing, umpan

balik serta kunci jawaban.

Hal yang sudah dilakukan pada tahun pertama adalah: merancang

modul berbasis masalah dengan tahapan menganalisis silabus, menganalisis

buku teks, menganalisis kebutuhan masiswa dengan melakukan wawacara

teman sejawat.

Selanjutnya hal-hal yang akan dilakukan pada tahun kedua adalah:

1. Memvalidasi modul berbasis masalah

2. Melihat Praktikalitas modul berbasis masalah

3. Melihat efektifitas modul berbasis masalah Keefektifan modul berbasis

masalah diamati melalui aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.

4. Apabila modul sudah valid, praktis, efektif, maka akan disebarluaskan

kepada mahasiswa STKIP PGRI Sumatera Barat (Desiminasi)

B. Saran

Penelitian ini diharapkan menghasilkan modul berbasis masalah untuk

perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat. Jika Penelitian ini

sudah selalesai maka hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai pedoman

61

Page 71: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

62

bagi dosen dalam melaksanakan perkuliahan kalkulus 1. Selain itu, modul

berbasis masalah dapat mempermudah mahasiswa dalam belajar dan dapat

meningkatkan aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.

Dosen dapat mengembangkan modul berbasis masalah untuk mata

kuliah yang lain. Pengembangan modul yang dilakukan harus sejalan dengan

pengembangan pelaksanaan perkuliahan di kelas agar hasil yang diperoleh

sesuai dengan tujuan yang telah ditetapkan. Perlu diperhatikan validitas,

praktikalitas, dan efektifitas modul tersebut karena faktor-faktor tersebut

sangat menentukan kualitas modul yang dihasilkan.

Page 72: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

63

DAFTAR PUSTAKA

Buku Pedoman Akademik 2011/2012 STKIP PGRI Sumatera Barat

Depdiknas. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Departemen Pendidkan Nasional.

Dimyati dan Mudjiono. 1999. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka

Cipta Muliyardi. 2006. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dengan

Menggunakan Komik di Kelas I Sekolah Dasar. Disertasi tidak diterbitkan. Surabaya : Pasca Sarjana UNESA.

Nasution. 2008. Berbagai Pendekatan Dalam Proses Belajar Mengajar. Jakarta:

PT Bumi Aksara Sanjaya, Wina. 2006. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses

Pendidikan. Jakarta: Prenada Media Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: RajaGrafindo

Persada. Sugiyono. 2011. Metodologi Penelitian Penddikan Pendekatan Kuantitatif,

Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta Sukardi. 2009. Evaluasi Pendidikan Prinsip dan Operasionalnya. Yogyakarta:

Bumi Aksara Suprawoto. 2009. Mengembangkan Bahan Ajar dengan Menyusun

Modul.(http://www.scribd.com/doc/16554502/Mengembangkan-Bahan-Ajar-dengan-Menyusun-Modul, diakses 8 September 2010)

Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Jakarta:

Prestasi Pustaka. Wena, Made. 2010. Strategi Pembelajaran Inovatif Kontemporer. Jakarta: Bumi

Aksara Yasmin, Nyimas. 2007. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis RME

Untuk Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Padang: Pasca Sarjana UNP

Page 73: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 74: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 75: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 76: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 77: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 78: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 79: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final
Page 80: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

72

Lampiran 3. Biodata Ketua dan Anggota Tim Peneliti

A. Identitas Diri (Ketua)

1 Nama Lengkap Dra. Hj. Husna, M.Si. 2 Jabatan Fungsional Lektor 3 Jabatan struktural Ketua Unit P3M STKIP PGRI

Sumatera Barat 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 196409141991032001 5 NIDN 0014096401 6 Tempat dan Tanggal Lahir Muara Panas dan 14 September1964 7 Alamat Rumah Komplek Taruko A.14 Gunung

Pangilun 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374386503 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun Padang 10 Nomor Telepon/Faks (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan S1 = 200 orang 13 Mata Kuliah yang Diampu Fisika Dasar

B. Riwayat Pendidikan

S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi IKIP Padang UGM Bidang Ilmu Pendidikan

Fisika Fisika

Tahun Masuk-Lulus 1983-1990 1994-1998 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi

Analisis Materi Elektronika pada Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA IKIP Padang

Analisis Neutronik Pemulsaan Reaktor Kartini

Nama Pembimbing/Promotor

Dra. Djusmaini Djamas, M.Si

Prof. Dr. Prayoto, M.Sc.

C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir

No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)

1 2009 Pengembangan Bahan Ajar Interaktif Fisika dengan

Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar 3

Page 81: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

73

Menggunakan Macromedia Director Pada Materi Listrik Dinamis

2 2010 Pengembangan LKS Berbasis Problem Based Instruction pada Pembelajaran Fisika Kelas X SMAN 7 Padang

Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar

3

3 2011 Pengaruh Penerapan Problem Based Learning (PBL) dalam Pembelajaran Fisika terhadap Kreativitas Belajar Siswa Kelas X SMAN 7 Padang

Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar

2

4 2011 Upaya Meningkatkan Aktivitas Belajar Fisika Dasar Mahasiswa Prodi Pendidikan Biologi STKIP PGRI Sumbar Menggunakan Pendekatan CTL yang Diiringi dengan Handout

Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar

2

k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat

Pendanaan

Sumber Jml (Juta Rp)

2007 Persiapan Menghadapi Ujian Akhir Sekolah (UAS) dan Ujian Akhir Nasional (UAN) Tahun Pelajaran 2006/2007 bagi Siswa-siswi Kelas XII SMK DHUAFA Padang

STKIP PGRI Sumatera Barat

1

Page 82: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

74

2010 Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan

STKIP PGRI Sumatera Barat

5

2010 Persiapan Menghadapi Ujian Akhir Sekolah (UAS) dan Ujian Akhir Nasional (UAN) Tahun Pelajaran 2009/2010 di SMA N 1 Lembang Jaya Kabupaten Solok

STKIP PGRI Sumatera Barat

1

2011 Pelatihan Aplikasi Microsoft Exel untuk Meningkatkan Efektifitas Penilaian Guru sekolah Dasar (SD) Negeri 13 Gadut Kec.Tilatang Kamang

Prodi Pendidikan Matematika

0,5

2012 Penyuluhan tentang Inovasi dalam Pendidikan Matematika

Prodi Pendidikan Matematika

1

2012 Pencegahan Penyalahgunaan Narkoba bagi Kalangan Pelajar di SMK N I Tarusan Kabupaten Pesisir Selatan

STKIP PGRI Sumatera Barat

1

p. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun

terakhir

No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1 Karakterisasi Mineral

Magnetik Sedimen Muara Batang Arau Padang dengan Metoda Suseptibilitas Magnetik dan Isothermal Remanent Magnetization (IMR)

Vol. 1/No.2/Juni 2009 Pelangi

2 Studi tentang Karakteristik Magnetik pada Lapisan Pasir Besi Pantai Sunur Pariaman, Pantai Masang dan Durian Kapeh Agam melalui Metoda Magnetik

V0l. 2/No. 1/Desember 2009

Pelangi

3 Studi Perbandingan Penerapan Strategi

Vol. 2/No. 2/Juni 2010

Pelangi

Page 83: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

75

Question Student Have dengan Strategi Pemecahan Masalahdalam Pembelajaran Fisika Siswa Kelas X SMA Negeri 5 Padang

4 Pengaruh Penggunaan Bahan Ajar Kompilasi Terhadap Hasil Belajar Fisika Siswa Kelas XI IPA SMA Negeri 7 Padang

Vol. 3/No.1/Desember 2010

Pelangi

5 Penerapan Strategi Lightening the Learning Climate disertai Komik dalam Pembelajaran Matematika Siswa Kelas VIII SMPN 28 Padang

Vol. 4/No.1/Desember 2011

Pelangi

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/

Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir

No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar

Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat

1

G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1

H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir

No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1

Page 84: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

76

r. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya

dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan

Tahun Tempat Penerapan

Respons Masyarakat

1

J. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir

No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan

Tahun

1

Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan

dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata

dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.

Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu

persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.

Padang, 10 Maret 2012

Pengusul,

(Dra. Hj. Husna, M.Si)

Page 85: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

77

D. Identitas Diri (Anggota 1)

1 Nama Lengkap Anny Sovia, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1022058702 6 Tempat dan Tanggal Lahir Tanjung Pauh Mudik, 22 Mei 1987 7 Alamat Rumah Jl.Asmat No 124 Komp PT.KA

Padang 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374115417 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun Padang 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan

13 Mata Kuliah yang Diampu 1. Kalkulus 1 2. Kalkulus Peubah Banyak 2 3. Analisis Kompleks

B. Riwayat Pendidikan

S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan

Matematika

Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2012 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi

Menentukan Bentuk Permukaan Kuadrik Melalui Proses Diagonalisasi Matriks

Pengembangan Buku kerja Berbasis Konstruktivisme untuk Perkuliahan Kalkulus Peubah Banyak 2

Nama Pembimbing/Promotor

Drs. Yusmet Rizal, M.Si

Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc

C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir

No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)

1

Page 86: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

78

k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat

Pendanaan

Sumber Jml (Juta Rp)

1 2010

Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan

STKIP PGRI Sumatera Barat

5

2

E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun

terakhir

No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/

Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir

No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar

Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat

1

G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1

H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir

No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1

I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya

dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan

Tahun Tempat Penerapan

Respons Masyarakat

1

Page 87: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

79

f. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir

No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan

Tahun

1

Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan

dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata

dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.

Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu

persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.

Padang, 10 Maret 2012

Pengusul,

(Anny Sovia, S.Si, M.Pd)

Page 88: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

80

D. Identitas Diri (Anggota 2)

1 Nama Lengkap Rahima, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1031058602 6 Tempat dan Tanggal Lahir Solok / 31 Mei 1986 7 Alamat Rumah Komp. Pola Mas I Blok E no. 8 Andalas

Padang

8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374852452 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah

dihasilkan

13 Mata Kuliah yang Diampu

1. Kalkulus 1 2. Kalkulus Peubah Banyak 2 3. Pengantar Dasar Matematika 4. Teknik Sampling

B. Riwayat Pendidikan

S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan

Matematika

Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2012 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi

Model Kontrol Inventori Multi-Produk

Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus Peubah Banyak 2 di STKIP PGRI Sumatera Barat

Nama Pembimbing/Promotor

Irwan, M.Si Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc

C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir

No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)

1

Page 89: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

81

k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat

Pendanaan

Sumber Jml (Juta Rp)

1 2010

Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan

STKIP PGRI Sumatera Barat

5

2

E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun

terakhir

No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/

Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir

No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar

Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat

1

G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1

H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir

No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1

I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya

dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan

Tahun Tempat Penerapan

Respons Masyarakat

1

Page 90: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

82

f. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir

No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan

Tahun

1

Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan

dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata

dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.

Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu

persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.

Padang, 10 Maret 2012

Pengusul,

(Rahima, S.Si,M.Pd)

Page 91: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

83

D. Identitas Diri (Anggota 3)

1 Nama Lengkap Yulyanti Harisman, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional Asisten Ahli 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1010078601 6 Tempat dan Tanggal Lahir Solok, 10 Juli 1986 7 Alamat Rumah Komp. Arai pinang I Blok H. 02

Padang 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/085376500735 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan

13 Mata Kuliah yang Diampu

1.Geometri Ruang 2.Matematika Diskrit 3.Sejarah Matematika 4.Teknik Sampling

B. Riwayat Pendidikan

S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan

Matematika

Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2011 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi

Distribusi Gumbel

Penerapan Motode Grouping Investigation untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa pada Mata Kuliah Evaluasi Pembelajaran Matematika di UMMY Solok

Nama Pembimbing/Promotor

Dra. Nonong Amalita, M.Si

Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc

Page 92: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

84

d. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir

No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)

1

D. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir

No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat

Pendanaan

Sumber Jml (Juta Rp)

1 2011 Latihan Aplikasi Microsoft Exel untuk Meningkatkan Efektivitas Penilaian Guru Sekolah Dasar (SD) Negeri 13 Gadut Kec.Tilatang Kamang

Prodi Pendidikan Matematika

0,5

2 2012 Penyuluhan tentang Inovasi dalam Pendidikan

Prodi Pendidikan Matematika

1

E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun

terakhir

No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1 Penerapan Motode

Grouping Investigation untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa pada Mata Kuliah Evaluasi Pembelajaran Matematika di UMMY Solok

Vol.4/No.1/Desember 2011

Pelangi

2

F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/

Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir

No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar

Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat

1

Page 93: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

85

G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1

H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir

No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1

I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya

dalam 5 Tahun Terakhir

No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan

Tahun Tempat Penerapan

Respons Masyarakat

1

J. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir

No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan

Tahun

1

Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan

dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata

dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima resikonya.

Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu

persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.

Padang, 10 Maret 2012

Pengusul,

(Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd)

Page 94: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

�6

PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT

Yulyanti Harisman1, Husna2, Anny Sovia3, Rahima4

1,2,3,4)Program Studi Pendidikan Matematika. STKIP PGRI SUMBAR, Padang, Indonesia

1)[email protected], 2)[email protected],3)[email protected], 4)[email protected]

Abstrak. Kemampuan matematis mahasiswa melalui perkuliahan Kalkulus 1. Perkuliahan akan maksimal jika didukung oleh bahan perkuliahan yang baik. Bahan perkuliahan yang baik adalah bahan perkuliahan yang mampu memfasilitasi mahasiswa untuk memahami materi perkuliahan. Selama ini bahan perkuliahan dalam pembelajaran Kalkulus 1 adalah buku teks. Buku teks yang dipakai belum menggunakan bahasa yang komunikatif, sehingga mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri dan kemampuan pemecahan masalah masih rendah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu bahan perkuliahan yang dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, yakni berupa modul berbasis masalah. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan modul berbasis masalah yang valid, praktis dan efektif pada mata kuliah Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat. Penelitian ini adalah penelitian pengembangan dengan menggunakan model 4D. Tahapan yang dilakukan hanya pada tahapdefinedan design. Pada tahap define dilakukan analisis silabus dan buku teks, mereviu literatur, serta wawancara teman sejawat. Pada tahap design dilakukan perancangan buku kerja. Hasil pada tahap difinediperoleh materi sudah sesuai dengan silabus, wawacara dengan teman sejawat diperoleh informasi bahwa proses pembelajaran masih berpusat pada dosen dan mahasiswa malas belajar mandiri. Selanjutnya analisis buku teks, buku teks yang dipakai adalah: Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell Rigdom, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold, Kalkulus Karangan Koko Martono diperoleh hasil bahwa bahasa buku teks belum sesuai dengan kemampuan mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. Hasil pada tahap disain yaitu telah dirancang modul sesuai dengan pendisainan modul berbasis masalah pada spesifikasi produk. 1ata Kunci : pengembangan, modul, Kalkulus 1, berbasis, masalah

Page 95: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

87

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat dengan bobot 3 sks. Mata kuliah Kalkulus 1 merupakan mata kuliah dasar yang penting dipelajari karena merupakan mata kuliah prasyarat dari mata kuliah Kalkulus 2, Kalkulus Peubah Banyak 1, Analisis Riil1, dan Metode Numerik. Mata kuliah ini membahas sistem bilangan riil, ketaksamaan, pertaksamaan dan nilai mutlak, jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan, turunan, dan menggambar grafik fungsi.

Diharapkan dengan mempelajari Kalkulus 1 mahasiswa dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, pemecahan masalah, dan pemahaman konsep mengenai sistem bilangan riil. Pemahaman mahasiswa tersebut didapatkan dari belajar mandiri tanpa mengharapkan dosen mentranfer seluruh materi secara keseluruhan.

Kenyataan yang terjadi, masih banyak mahasiswa yang memperoleh nilai rendah. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut: Tabel 1. Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP

PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012

Nilai Jumlah % A 16 22.04 B 51 C 56

77.96 D 102 E 79

Jumlah Mahasiswa 304 100

Sumber: Program Studi Pendidikan Matematika Tabel 1 menunjukkan bahwa mahasiswa yang memperoleh nilai kurang dari 65 (kategori C, D, dan E) sebesar 77,96 %. Kenyataan ini masih jauh dari harapan.

Proses perkuliahan Kalkulus 1 selama ini menggunakan metode ceramah dan menggunakan satu buku teks. Berdasarkan pengamatan peneliti, buku teks yang dipakai oleh mahasiswa sulit untuk dipahami oleh mahasiswa STKIP PGRI SUMBAR. Bahasa buku teks Kalkulus 1 masih belum komunikatif dan interaktif, sehingga untuk memahami suatu materi mahasiswa hanya menunggu penjelasan dari dosen. Hal ini menyebabkan mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri. Mahasiswa tidak aktif dalam proses perkuliahan. Perkuliahan hanya bersifat satu arah. Dosen tidak lagi berfungsi sebagai fasilitator tetapi sudah beralih fungsi sebagai pentransfer seluruh ilmu. sehingga penelitian diberi judul “ Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat”.

Page 96: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

88

Rumusan Masalah

Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1?

Tujuan dan Manfaat Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari penelitian ini adalah Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat

METODE PENELITIAN

Rancangan Penelitian

Jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian dan pengembangan (Research and development /R&D). Menurut Sugiyono (2008:407), ”R&D adalah metode pelitian yang digunakan untuk menghasilkan produk tertentu, dan menguji keefektifan produk tersebut”. Produk yang akan dikembangkan dalam penelitian ini adalah alat bantu perkuliahan yang berupa modul berbasis masalah.

Prosedur Penelitian

Penelitian ini menggunakan rancangan penelitian pengembangan dengan model pengembangan 4-D rancangan Thiagarajan, Semmel, dan Semmel (Trianto, 2007: 65). Model pengembangannya terdiri atas 4 tahap yang meliputi: pendefinisian (define), perancangan (design), pengembangan (develop), dan penyebaran (desseminate).yang dilakukan baru sampaidua tahap yaitu define dan design

1. Tahap Pendefinisian (define) Tahap ini dilakukan untuk melihat kondisi yang berhubungan dengan proses perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat, kemudian menganalisis permasalahan. Kegiatan yang dilakukan pada tahap ini adalah sebagai berikut. a. Menganalisis silabus, hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah materi yang

diajarkan sudah sesuai dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar mata kuliah.

b. Menganalisis buku-buku teks Kalkulus 1, untuk melihat kesesuaian isi buku dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar yang harus dicapai mahasiswa. Buku-buku yang telah sesuai akan digunakan sebagai acuan penyusunan konsep dan contoh soal serta latihan soal pada modul yang akan dikembangkan.

c. Mereviuw literatur yang terkait dengan pengembangan modul, untuk melihat rujukan mengenai modul dan pembelajaran berbasis masalah.

d. Wawancara dengan teman sejawat dan mahasiswa, ini bertujuan untuk mengetahui masalah/hambatan apa saja yang dihadapi di lapangan sehubungan dengan perkuliahan Kalkulus 1.

Page 97: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

89

2. Perancangan (design) Setelah menganalisis kebutuhan dilanjutkan dengan perancangan. Pada tahap

ini yang akan dilakukan adalah merancang modul Kalkulus 1. Modul dibuat terdiri dari empat bagian yang dapat dipergunakan untuk satu semester, bagian-bagiannya yaitu:modul 1pendahuluan, modul 2 fungsi dan limit, modul 3 turunan, dan modul 4 pengunaan turunan.

Masing-masing modul berisi standar kompetensi, uraian materi, contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak lanjut, dan kunci jawaban. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan belajar yang sudah disesuaikan dengan silabus.

Intrument Penelitian

Karena tahapan baru hanya sampai desingn penelitian ini belum memakai instrumen untuk melihat validitas, praktikalitas, dan efektifitas, intrument berupa lembar observasi, tes hasil belajar, angket akan digunakan pada tahap development

Tekniks Analisis Data

Karena intrument baru terpakai pada tahap development maka teknik analisa data juga belum bisa dilakukan

Hasil Penelitian dan Pembahasan

Hasil Penelitian Pengembangan modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1 dengan

menggunakan model 4-D memiliki hasil sebagai berikut. 1D Validitas Modul B rbasis Masalah

Kegiatan untuk mendapatkan modul Kalkulus 1 yang valid diawali dengan melewati tahap Pendefinisian. Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap silabus mata kuliah Kalkulus 1. Analisis silabus dilakukan untuk melihat apakah materi yang diajarkan sudah sesuai dengan kompetensi yang diharapkan. Dalam silabus, terdapat empat materi pokok yang harus dipelajari dalam satu semester. Empat materi tersebut adalah Pendahuluan, limit dan fungsi, turunan, dan aplikasi turunan untuk materi keempat. Hasil analisis diperoleh bahwa materi tersebut telah sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai oleh mahasiswa. Urutan materi juga telah pas karena materi sistim bilangan Riil adalah materi pertama yang merupakan materi dasar yang harus dipelajari sebelum mempelajari materi selanjutnya. Sedangkan materi fungsi limit, turunan, dan aplikasi turunan merupakan materi terakhir yang mencakup seluruh materi sebelumnya.

Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis buku rujukan untuk mata kuliah Kalkulus 1. Analisis buku rujukan yang dilakukan bertujuan untuk melihat apakah isi buku sudah sesuai dengan kompetensi dalam silabus. Buku rujukan pertama yang dianalisis adalah buku teks yang selama ini digunakan dalam perkuliahan Kalkulus 1. yaitu kalkulus edisi kesembilan karangan Varbeg purcell rigdom. Materi dalam buku ini sudah mencakup sebagian besar kompetensi yang diharapkan. Namun penyajian dan bahasa materi belum sesuai dengan Kemampuan mahasiswa STKI PGRI SUMBAR. Selain buku karangan Percell, buku Kalkulus karangan koko martono, dan kalkulus

Page 98: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

90

ilmu ukur analitik karangan leithold dijadikan sebagai rujukan karena banyak materi yang dapat dijadikan bahan untuk pengembangan modul. Buku-buku lain yang berhubungan dengan materi Kalkulus 1 juga dijadikan rujukan.

Setelah menganalisis buku rujukan Kalkulus 1,kegiatan selanjutnya adalah peneliti berdiskusi dengan teman sejawat. Dari hasil diskusi diketahui bahwa selama ini proses perkuliahan Kalkulus 1 hanya menggunakan metode ceramah. Mahasiswa banyak bergantung pada dosen dalam memahami materi. Mahasiswa belum mampu untuk belajar mandiri. Perlu suatu metode agar mahasiswa tidak terlalu banyak membutuhkan bantuan dosen dalam perkuliahan.

Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis literatur yang terkait dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah. Menganalisis literatur yang berhubungan dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah juga sangatlah penting. Dengan adanya literatur, maka peneliti terbantu dalam perancangan modul.

Berdasarkan analisis-analisis tersebut, maka dirancanglah modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1. Modul yang dirancang terdiri dari empat macam. Modul 1 untuk pokok bahasan Pendahuluan, modul 2 untuk pokok bahasan fungsi dan limit, modul 3 untuk pokok turunan, modul 4 untuk pokok bahasan aplikasi turunan. Modul diharapkan dapat membantu kemandirian mahasiswa dalam perkuliahan.

Berikut diagram dari tahap pendefinisian.

Analisis Silabus mata kuliah Kalkulus 1 1. Sistem Bilangan Riil 2. Fungsi dan limit 3. Turunan 4. Aplikasi Turunan

Analisis Buku rujukan mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak 2 1. Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell

Rigdom 2. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold 3. Kalkulus Karangan Koko Martono 4. Buku rujukan lain

Reviuw literatur pengembangan modul 1. Teknik Penyusunan Modul 2. Strategi Pembelajaran inovatif Kontemporer

karangan Made Wena

Page 99: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

91

Gambar 3. Diagram Alir Tahap Pendefinisian

Berikut ini diuraikan karakteristik modul berbasis masalah yang dirancang. a. Setiap modul yang dirancang memiliki halaman pendahuluan. Halaman

pendahuluan berisi deskripsi singkat tentang isi modul, relevansi dan tujuan instruksional. Relevansi berisi kegunaan mahasiswa dalam mempelajari modul jika modul tersebut dikaitkan dengan modul lain, sedangkan tujuan instruksional berupa kompetensi dasar dan indikator yang harus dicapai mahasiswa setelah mempelajari modul tersebut. Salah satu halaman pendahuluan dapat dilihat sebagai berikut.

b. Setiap kegiatan belajar berisi materi yang berhubungan dengan pokok bahasan yang akan dibahas. Materi diawali dengan pemberian suatu masalah. Masalah yang diberikan berhubungan dengan bidang lain. Dengan adanya masalah tersebut, mahasiswa mengetahui manfaat dari pokok bahasan yang dipelajari. Berikut salah satu pemberian masalah pada awal materi.

Diskusi dengan Teman Sejawat 1. Perkuliahan menggunakan Buku Teks 2. Perkuliahan menggunakan metode

ceramah

Pengembangan Modul Berbasis Masalah untuk Perkuliahan Kalkulus 1

Page 100: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

92

Hal ini dirancang sesuai dengan urutan modul atau spesifikasi produk yang diacu pada

teori pembuatan modul sebelum nya untuk satu semester dengan empat pokok bahasan.

Simpulan dan Saraa

Modul berbasis masalah yang dikembangkan untuk perkuliahan kalkulus 1 meliputi: 1) Pendahuluan, 2) Limit dan Fungsi, 3) Turunan, 4) Aplikasi Turunan, Modul berbasis masalah yang dirancang memuat indikator kompetensi, materi, contoh, Latihan Mandiri, Latihan Terbimbing, umpan balik serta kunci jawaban.

Hal yang sudah dilakukan pada tahun pertama adalah: merancang modul berbasis masalah dengan tahapan menganalisis silabus, menganalisis buku teks, menganalisis kebutuhan masiswa dengan melakukan wawacara teman sejawat.

Selanjutnya hal-hal yang akan dilakukan pada tahun kedua adalah:

1. Memvalidasi modul berbasis masalah 2. Melihat Praktikalitas modul berbasis masalah

Page 101: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

93

3. Melihat efektifitas modul berbasis masalah Keefektifan modul berbasis masalah diamati melalui aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.

4. Apabila modul sudah valid, praktis, efektif, maka akan disebarluaskan kepada mahasiswa STKIP PGRI SUMBAR(Desiminasi)

Daftar Pustaka

Buku Pedoman Akademik 2011/2012 STKIP PGRI Sumatera Barat

Depdiknas. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Departemen Pendidkan Nasional.

Dimyati dan Mudjiono. 1999. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka Cipta Muliyardi. 2006. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dengan

Menggunakan Komik di Kelas I Sekolah Dasar. Disertasi tidak diterbitkan. Surabaya : Pasca Sarjana UNESA.

Nasution. 2008. Berbagai Pendekatan Dalam Proses Belajar Mengajar. Jakarta: PT

Bumi Aksara Sanjaya, Wina. 2006. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan.

Jakarta: Prenada Media Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: RajaGrafindo Persada. Sugiyono. 2011. Metodologi Penelitian Penddikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif,

dan R&D. Bandung: Alfabeta Sukardi. 2009. Evaluasi Pendidikan Prinsip dan Operasionalnya. Yogyakarta: Bumi

Aksara Suprawoto. 2009. Mengembangkan Bahan Ajar dengan Menyusun

Modul.(http://www.scribd.com/doc/16554502/Mengembangkan-Bahan-Ajar-dengan-Menyusun-Modul, diakses 8 September 2010)

Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Jakarta: Prestasi

Pustaka. Wena, Made. 2010. Strategi Pembelajaran Inovatif Kontemporer. Jakarta: Bumi Aksara Yasmin, Nyimas. 2007. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis RME Untuk

Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Padang: Pasca Sarjana UNP

Page 102: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

94

LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS MAHASISWA

HARI/ TANGGAL : ……................................…… PERTEMUAN KE- : …………………………….... MATERI : …………............................… PETUNJUK UMUM: Berilah tanda checklist (√) pada kolom aktivitas jika mahasiswa melakukan kegiatan tersebut. Indikator aktivitas: VA = Visual Activities, yaitu mahasiswa membaca modul OA = Oral Activities, yaitu mahasiswa bertanya (pada dosen atau mahasiswa lain) LA = Listening Activities, yaitu mahasiswa mendengar penjelasan dari dosen WA =Writing Activities, yaitu mahasiswa membuat latihan pada modul DA =Drawing activities, yaitu mahasiswa membuat gambar ketika menyelesaikan soal latihan pada modul MA1 =Mental Activities, yaitu mahasiswa menanggapi, memecahkan soal, menganalisis, melihat hubungan, dan menyimpulkan pembelajaran EA = Emotional Activities, yaitu mahasiswa bersemangat dan bersikap berani MA2 = Motor Activities, yaitu mahasiswa melakukan tindakan yang tidak relevan dengan KBM (mengganggu teman, melamun, atau bermain)

NO NAMA MAHASISWA

AKTIVITAS MAHASISWA VA OA LA WA DA MA1 EA MA2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Page 103: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

95

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Padang, 2013 Observer ( )

Page 104: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

96

LEMBAR OBSERVASI PELAKSANAAN PERKULIAHAN KALKULUS 1 L ENGA MODUL BERBASIS MASALAH

HARI/TANGGAL : …………………………………. PERTEMUAN KE- : …………………………………. MATERI : …………………………………. 1. Pelaksanaanperkuliahandenganmodul berbasis masalah

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Kendala yang dihadapidalampelaksanaannya …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. Catatan lain yang dirasaperlu ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Padang, 2013 Observer ( )

Page 105: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

97

PEDOMAN WAWANCARA

Waktu

1. Apakah waktu yang tersedia cukup untuk Anda memahami materi?

2. Apakah Anda memerlukan waktu yang relative singkat dalam memahami

materi?

3. Apakah belajar dengan menggunakan modul ini dapat menghemat waktu

perkuliahan di kelas?

Penggunaan

1. Bagaimana dengan soal-soal yang ada pada modul berbasis masalah?

Apakah tergolong mudah, sedang atau sukar?

2. Dapatkah Anda menjawab semua soal yang disediakan?

3. Apakah dengan menggunakan modul berbasis masalah membuat Anda

tidak banyak membutuhkan bimbingan dosen dalamm empelajari materi?

4. Apakah penggunaan bahasa dalam penyajian materi dapat Anda pahami?

5. Apakah petunjuk penggunaan modul jelas?

6. Apakah gambar yang ditampilkan membantu Anda memahami konsep?

Manfaat

1. Apakah materi dan contoh membantu Anda dalam meningkatkan

pemahaman konsep?

2. Apakah belajar dengan menggunakan modul berbasis masalah

meningkatkan motivasi Anda belajar?

Page 106: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

98

3. Apakah dengan menggunakan modul berbasis masalah membantu proses

belajar mandiri?

4. Apakah latihan soal yang terdapat dalam modul dapat membantu kamu

meningkat kan kemampuan pemecahan masalah?

Page 107: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

99

TES AKHIR

1. Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan fungsi (") = "% + 2 2. Tentukanlah:

a. () di mana ( = (2 − 3",)-(". + 3)% b. //0 [sec(tan 8)] c. /:/; di mana ( = cos% A ;BCD;E

3. Carilah persamaan garis singgung kurva ",(, + 4"( = 12( di titik (2,1)

4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong jadi dua bagian. Salah satu potongan

dibentuk jadi bujursangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar jumlah seluruh luas bentukan kawat maksimum.

5. Diketahui fungsi J(") = ;BDC;D, , tentukan a. Daerah asal b. Kesimetrian c. Titik potong terhadap sumbukoordinat d. Selang di mana f naik dan turun e. Ekstrim lokal dari f f. Selang di mana grafik f cekung ke atas dan cekung ke bawah g. Asimtot tegak, datar, atau miring jika ada h. Sketsa grafik (gunakan hasil yang diperoleh dari a sampai g)

Page 108: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

100

Daftar Nama Pemakalah dan Peserta

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2013

Jurusan Matematika-FMIPA UNAND

No. Nama Peserta Instansi Bidang Kajian Judul Makalah

1 Noverina Alfiany Matematika Matematika Aproksimasi Variasional untuk Universitas Andalas Terapan Soliton Cerah Intersite pada Persamaan Schrodinger Diskrit Nonlinier dengan Penambahan Parameter Driving 2 Dewi Estetikasari Matematika Kombinatorika Sifat Komutatif terhadap Graf Corona Universitas Andalas 3 Ahmad Iqbal Baqi Jur. Matematika Matematika Estimasi Tingkat Kematian Bayi FMIPA Unand Terapan dan Harapan Hidup Bayi Kabupaten Padang Pasaman Barat tahun 2005 dengan Menggunakan Metode Sullivan 4 Reni Wijaya Matematika Kombinatorika Bilangan Rainbow Connection pada Universitas Andalas Graf Komplemen 5 Novrianti Matematika Matematika Realisasi Positif dari Sistem Universitas Andalas Terapan Deskriptor Linier Invariant Waktu 6 Gema Hista Medika Matematika Kombinatorika Bilangan Rainbow Conecction Pada Universitas Andalas Graf Kipas 7 Zulfi Amri UMSU Kombinarotika Pelabelan Graceful dan Pelabelan ρ pada Graf 8 – Bintang 8 Wardahani Rahayu Universitas Negeri Pendidikan Belief Mahasiswa Tentang Kalkulus Jakarta Matematika ditinjau dari Jenis Program Studi dan Rekruitmen 9 Ferra Yanuar Matematika Teori Peluang Pemodelan Status Kesehatan Universitas Andalas Dan Statistika Masyarakat Perkotaan Di Sumatera Dengan Teknik Structural Equation Modeling

10 Efendi Matematika Matematika Penerapan Metode Reduksi Graf Universitas Andalas Terapan Untuk Penentuan Ro Pada Model Populasi dengan Waktu kontinyu

11 Muhafzan Matematika Matematika Kestabilan Sistem Descriptor Linier Universitas Andalas Terapan Kontinu

12 Mahdhivan Syafwan Matematika Matematika Kestabilan Soliton Gelap Intersite pada Universitas Andalas Terapan Persamaan Schrödinger Nonlinier Diskrit yang Memuat Parametric Driving

13 Rina Febriana, STKIP PGRI Pendidikan Analisis Konsepsi Matematis Zulfaneti Sumbar Matematika Mahasiswa Tahun Pertama (Studi Kasus Pada Mata Kuliah Kalkulus 2 Di STKIP PGRI Sumatera Barat

14 Sabrina Indah Marni, UIN Suska Riau Pendidikan Penyelesaian Sistem Persamaan Yuslenita Muda Matematika Linear Fuzzy Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD)

Page 109: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

101

15 Rini Warti, Prodi Pendidikan Pendidikan Analisis Hasil Belajar Matematika Ali Murtadlo, Matematika IAIN Matematika Siswa Sekolah Menengah Pertama Romaini STS Jambi Negeri 2 Kota Jambi

16 Dian Savitri, Universitas Pendidikan Pengembangan Media Sebagai Eko Hariyono, Negeri Surabaya Matematika Upaya Melatih Sikap Tanggap Bencana Laily Rosdiana Pada Siswa di Wilayah Pesisir Jawa Timur

17 Mas Mera Jurusan Teknik Matematika Alternative Boussinesq-Type Equations Sipil Universitas Terapan with Velocity at Arbitrary Vertical Andalas Level for Wave-Current Interaction

18 Sri Wahyuni Masril Matematika Matematika Penerapan Operasi Konvolusi untuk Universitas Andalas Terapan Mengatasi Kesulitan Mahasiswa dalam Pembuktian Matematis

19 Anwar Mutaqin Universitas Sultan Pendidikan Model Bahan Ajar untuk Mengatasi Ageng Tirtayasa Matematika Kesulitan Mahasiswa dalam Pembuktian Matematis

20 Yayu Laila Sulastri, Universitas Islam Pendidikan Meningkatkan Minat dan Hasil Belajar Luki Luqmanul Hakim, Nusantara Bandung Matematika Melalui Pembelajaran dengan A. Barnas EK Menggunakan Weblog pada Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP Uninus Bandung

21 Yenni Kurniawati, Universitas Negeri Teori Peluang Faktor yang mempengaruhi IPK Nonong Amalita Padang Dan Statistika Berdasarkan Kualitas Input

Mahasiswa Baru Menggunakan Analisis Regresi Dummy Kombinasi

22 Maiyastri Matematika Teori Peluang Metode Pengkoreksian Data Pencilan Universitas Andalas Dan Statistika dan Pemisahan Data Heterogen pada Model ARMA(p,q) dengan Algoritma EM (Expectation Maximization)

23 Yulyanti Harisman, STKIP PGRI Pendidikan Pengembangan Modul Husna, SUMBAR Matematika Berbasis pada Perkuliahan Anny Sovia, Kalkulus 1 di STKIP PGRI Rahima Sumatera Barat

24 Riry Sriningsih Universitas Negeri Matematika Dinamika Populasi Perokok dengan Padang Terapan Pertumbuhan Logistik dan Denda

25 Lyra Yulianti Matematika Kombinarotika Graf Ramsey (2K2,2G)-minimal Universitas Andalas dan (3K2,G)-minimal

26 Hazmira Yozza, Matematika Teori Peluang Pendugaan Kemungkinan Maksimum Izzati Rahmi HG Universitas Andalas Dan Statistika Parameter Fungsi Produksi Stochastic Frontier

27 Lina Muawanah Nasir, Matematika Matematika Model Black-Scholes untuk Harga Riri Lestari, Universitas Andalas Terapan Opsi Tipe Eropa pada Saham Intel Dodi Devianto Corporation

28 Arrival Rince Putri Matematika Matematika Model Pengendalian Persediaan Universitas Andalas Terapan Dengan Penundaan Tingkat Kerusakan Model Pengendalian Persediaan

29 Riri Lestari Matematika Matematika Opsi Put Amerika Universitas Andalas Terapan

30 Narwen, Matematika Matematika Pencocokan kata secara acak Budi Rudianto, Universitas Andalas Terapan Dengan metode algoritma Genetika Mulia Afriani Kartika menggunakan program Pascal

Page 110: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

102

31 Ari Pani Desvina, UIN Sultan Syarif Penerapan Model Vector Ratnawati Kasim, Riau Autoregressive (VAR) untuk Peramalan Curah Hujan Kota

32 Elva Susanti, Matematika Aljabar Karakterisasi suatu Ideal dari Semigrup Admi Nazra, Universitas Andalas Implikatif I Made Arnawa

33 Nurul Anriani Universitas Sultan Pendidikan Pembelajaran Dengan Pendekatan Ageng Tirtyayasa Matematika Metakognitif Untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa

34 Abdul Aziz, M.Si UIN Malang Teori Peluang Estimasi parameter Model Dan Statistika Regresi Data Panel Dinamis

35 Ismael, Universitas Teori Peluang Studi Eksperimental Perhitungan Nilai Hendri Murfi, Indonesia Dan Statistika Economic Capital Untuk Risiko Dian Lestari Operasional Dengan Menggunakan Loss Distribution Approach

36 Zulakmal, M.Si Matematika Matematika Penyelesaian sistem persamaan Universitas Andalas Terapan Differensial non linear orde satu menggunakan deret Kuasa yang dimodifikasi

37 Mishbah Ulhusna, Matematika Teori Peluang Keterbagian Tak Hingga Distribusi Dodi Devianto Universitas Andalas Dan Statistika Gamma

38 Izzati Rahmi H.G, Matematika Teori Peluang Penerapan Metode Quest Untuk Hazmira Yozza, Universitas Andalas Dan Statistika Mengidentifikasi Komponen- Azzikra Febriani Komponen Penilaian Akreditasi Yang Membedakan Akreditasi Sekolah

39 Faizal Hafiz Fadilah Matematika - Peserta Universitas Andalas

40 Ali Murtadlo, MS Prodi Pendidikan - Peserta Matematika IAIN STS Jambi

41 Sandi Sumardi Universitas - Peserta Islam Bandung

42 M.Sukran,IR,MLIS MTs Al Washliyah - Peserta

Page 111: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 1

PENDAHULUAN

Pendahuluan

Apa itu sistem bilangan Riil? Bagaimana menentukan sifat

urutan pada bilangan Riil? Apa itu ketaksamaan? Bagaimana cara

menyelesaikan ketaksamaan? Jika Anda ingin mengetahui apa itu

sistem bilangan riil dan bagaimana menentukan dan menghitungnya,

maka Anda harus pelajari modul ini. Apa itu fungsi? Bagaimana

menentukan fungsi? Apa sajakah jenis-jenis fungsi? Jika Anda ingin

mengetahui apa itu fungsi dan limit, serta bagaimana menentukan

dan menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada

modul pertama ini terdiri atas delapan kegiatan belajar. Pada

kegiatan belajar pertama akan diuraikan sistem bilangan Riil,

kegiatan belajar kedua akan diuraikan ketaksamaan, pada kegiatan

belajar ketiga akan diuraikan nilai mutlak, kegiatan belajar keempat

akan diuraikan tentang Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan,

kegiatan belajar kelima membahas definisi fungsi dan daerah asal,

kegiatan belajar keenam akan diuraikan jenis-jenis fungsi, pada

kegiatan belajar ketujuh membahas operasi pada fungsi dan tranlasi,

dan kegiatan belajar kedelapan akan diuraikan tentang fungsi

trigonometri. Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan

materi-materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari

modul-modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang

terdapat dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari

modul-modul berikutnya.

Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini

diharapkan Anda dapat memahami dan menggunakan konsep ssitem

bilangan riil dan fungsi, serta diharapkan Anda dapat:

1. Mahasiswa mengetahui dan memahami sistim bilangan Riil.

Page 112: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 2

2. Mahasiswa dapat memahami ketaksamaan.

3. Mahasiswa dapat memahami operasi nilai mutlak.

4. Mahasiswa dapat memahami tentang Bidang Bilangan dan Grafik

Persamaan.

5. Mahasiswa mengetahui dan memahami definisi fungsi dan daerah

asal

6. Mahasiswa dapat memahami jenis-jenis fungsi

7. Mahasiswa dapat memahami operasi pada fungsi dan tranlasi

8. Mahasiswa dapat memahami tentang fungsi trigonometri

Page 113: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 3

Kegiatan Belajar

SISTEM BILANGAN RIIL

Bagaimana kita menghitung jumlah buku dan uang kita? Pada zaman

prasejarah, kita menghitung dengan menggoreskan batu ke batu.

Nah, sekarang kita menghitungnya dengan bilangan 1, 2, 3, .... dst.

Disebut apakah sistem bilangan tersebut? Ya, sistem bilangan

tersebut dinamakan sistem bilangan asli. Jika bilangan asli tersebut

digabung dengan bilangan bulat negatif (⋯ , −3, −2, −1) dan bilangan 0, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan bulat

(⋯ , −3, −2, −1,0,1,2,3, ⋯ ).

Bagaimana jika kita mengukur tinggi atau berat badan kita? Bilangan

bulat tentunya tidak memadai,

tidak memberikan ketelitian

yang cukup. Karena jika hasil

URAIAN MATERI

1

Page 114: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 4

tinggi badan kita adalah 1,58 m, bilangan 1,58 tidak terdapat pada

bilangan bulat. Bilangan tersebut berada pada bilangan riil. Berikut

sistem bilangan riil.

Sistem Bilangan Riil

Masih ingatkah Anda tentang bilangan riil?

Bilangan riil atau disebut juga bilangan nyata merupakan

bilangan yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari,

seperti transaksi jual beli.

Operasi hitung pada bilangan riil yang meliputi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan penarikan

akar juga sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari meskipun

Sistem Bilangan Riil

Bilangan Rasional

Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat

Bilangan Irasional

Page 115: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 5

mungkin orang tidak begitu sadar telah menggunakannya.

Mengingat penting dan luasnya penggunaan bilangan riil dalam

kehidupan sehari-hari maka bilangan riil perlu dimasukkan

sebagai salah satu materi pembelajaran yang harus dikuasai.

Empat Operasi Aritmatika

Sifat-sifat Medan

Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada R memenuhi sifat bilangan

riil, yaitu ∀ ), *, + ∈ - berlaku

1. Hukum komutatif : ) + * = * + ) )* = *)

2. Hukum asosiatif: ) + (* + +) = () + *) + + )(*+) = ()*)+

3. Hukum distribusi: )(* + +) = )* + )+

4. Elemen-elemen identitas: 0 untuk penjumlahan, sehingga ) + 0 = ) 1 untuk perkalian, sehingga ) ∙ 1 = )

5. Invers:

Invers ) untuk penjumlahan adalah −), sehingga ) + (−)) = 0

Invers ) untuk perkalian adalah )34, sehingga ) ∙ )34 = 1

Sifat-sifat Urutan

1. Trikotomi:

Jika ) dan * adalah bilangan riil, maka pasti berlaku salah satu

di antara berikut ini berlaku: ) < * atau ) = * atau ) > *

2. Ketransitifan: ) < * dan * < +, maka ) < +

3. Penjumlahan

Page 116: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 6

) < * jika dan hanya jika ) + + < * + +

Sifat-sifat Aljabar Riil

Misalkan 7, 8, dan 9, berlaku

1. Jika 7 = 8, maka 7 + 9 = 8 + 9 dan 79 = 89

2. Jika 7 + 9 = 8 + 9, maka 7 = 8

3. Jika 79 = 89, maka 7 = 8, 9 ≠ 0

4. −(−7) = 7

5. (734)34 = 7, 7 ≠ 0

6. 7(8 − 9) = 78 − 79

7. 7 ∙ 0 = 0 ∙ 7 = 0

8. 7(−8) = (−7)8, khususnya (−1)7 = −7

9. (−7)(−8) = 78

10. Jika 78 = 0, maka 7 = 0 atau 8 = 0

11. Jika ;< = =>, maka 7? = 89, 8 ≠ 0, ? ≠ 0

Sifat urutan pada bilangan riil

Diberikan 7, 8 ∈ ℝ maka

1. 7 < 8 berarti 8 − 7 positif atau 8 − 7 > 0

2. 7 ≤ 8 berarti 7 = 8 atau 7 < 8

3. 8 > 7 berarti 7 < 8 atau 8 − 7 positif

Aksioma urutan

1. Jika ) < * dan * < + maka ) < + (sifat transitif)

2. Jika ) < * maka ) + 9 < * + 9 (sifat penambahan)

3. Jika ) < * dan 9 > 0 maka 9) < 9* (sifat perkalian)

4. Jika + positif, ) < * ↔ )+ < *+. Jika + negatif, ) < * ↔ )+ > *+

Sekarang Anda pelajari terlebih dahulu contoh berikut ini.

Page 117: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 7

Lakukan operasi dan sederhanakan.

a. (√5 + √3)(√5 − √3) Untuk melakukan operasi tersebut, kita dapat mengalikan

satu-satu bilangan yang berada dalam kurung sebelah kiri

dengan yang di dalam kurung sebelah kanan.

(√5 + √3)(√5 − √3) Maka E√5 + √3FE√5 − √3F = (√5)(√5) − (√5)(√3) + (√3)(√5) − (√3)(√3) = 5 − √15 + √15 − 3 = 5 − 3 E√5 + √3FE√5 − √3F = 2

b. GH34GI4

Untuk melakukan operasinya, pertama kita bisa melakukan

pemfaktoran pada pembilang. Sehingga )J − 1) + 1 = () + 1)() − 1)) + 1

Selanjutnya = (GI4)(G34)GI4

Jadi )J − 1) + 1 = ) − 1) + 1

Setelah Anda mempelajari contoh, selanjutnya Anda kerjakan

latihan terbimbing dan mandiri berikut ya.

CONTOH SOAL

Page 118: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 8

Latihan 1

Lakukan operasi dan sederhanakan

a. 3√2(√2 − √8) 3√2E√2 − √8F = (⋯ )E√2F − (3√2)(⋯ ) = 6 − ⋯

b. GH3G3MG3N )J − ) − 6) − 3 = (⋯ )() − ⋯ )) − 3 = ⋯) − 3

Latihan 1

Lakukan operasi dan sederhanakan

a. 1 − JNIOP b. (NQ + RM)3J c. (5)J − 9)(6) − 2) d. (37J + 7 − 1)J

e. GH3JG3TGIJ

f. JG3JGOGO3JGHIG g. (3) − 6)N h. 4TGHING − QG + MGIN i. JMU3J + UVUH34 − JUI443NU

j. GHIG3MGH34 ∙ GHIG3JGHIRGIM

LATIHAN MANDIRI

LATIHAN TERBIMBING

Page 119: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 9

Penyelesaian

Page 120: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 10

Latihan 2

Buktikan masing-masing jika 7 > 0, 8 > 0.

a. 7 < 8 ⟺ 7J < 8J b. 7 < 8 ⟺ 4; > 4<

Penyelesaian

Page 121: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 11

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 7. 49

8. 144361 9. 30)N −10)J − 54) + 18 ?. 97Q + 67N − 57J − 27 + 1 q. ) − 4 r. −2(1 + ))(1 − ))

Page 122: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 12

s. 27)N - 162)J + 324) − 216 ℎ. 2)

v. 6*J + 9* + 2(3* + 1)(3* − 1) w. G3JGI4

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 123: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 13

Kegiatan Belajar

KETAKSAMAAN

Ketaksamaan

Di dunia ini, tidak semuanya selalu

sama. Ada yang gemuk, ada yang

kurus.

Ada yang tinggi, ada yang pendek.

Dalam dunia matematika, juga terdapat ketaksamaan. Seperti ) > 2

Yang artinya ) lebih dari 2.

Atau 3 < *, yang artinya 3 kurang dari *.

URAIAN MATERI

2

Page 124: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 14

Berikut semua kemungkinan ketaksamaan dalam matematika serta

selang dan grafiknya.

Penulisan Himpunan Pemisahan Selang Grafik {y: { < ) < 8} ({, }) ( )

a b {y: { ≤ y ≤ }} [{, }] [ ]

a b {y: { ≤ y < 8} [{, }) [ )

a b {y: { < ) ≤ 8} ({, }] ( ]

a b {y: y ≤ }} (−∞, }] ]

b {y: y < 8} (−∞, }) )

b {y: y ≥ {} [{, −∞) [

a {y: y > 7} ({, −∞) (

a ℝ (−∞, −∞)

Cara Menyelesaikan Ketaksaman

1. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu

ketaksamaan.

2. Mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu

bilangan positif.

3. Mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negatif, tetapi

kemudian membalikkan arah tanda ketaksamaan.

Page 125: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 15

Nah, Anda sekarang pelajari contoh berikut ya...

Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan dari

1. 2 + 3) < 5) + 8

Jawab: 2 + 3) < 5) + 8 ⟺ 2 + 3) − 2 < 5) + 8 − 2 ⟺ 3) < 5) + 6 ⟺ 3) − 5) < 5) + 6 − 5) ⟺ −2) < 6 ⟺ −2) |− 12~ > 6 |− 12~ ⟺ ) > −3

Dengan himpunan penyelesaian: ¡¢ = {)|) > −3, ) ∈ -} atau (−3, ∞) atau

(

-3

2. 4 < 3) − 2 ≤ 10 4 < 3) − 2 ≤ 10 ⟺ 6 < 3) ≤ 12 ⟺ 2 < ) ≤ 4

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|2 < ) ≤ 4, ) ∈ -}

CONTOH SOAL

Page 126: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 16

atau (2,4] atau

( ]

2 4

3. ⁄y > 2 ⁄y > 2

⟺ 7) − 2 > 0

⟺ 7 − 2)) > 0 ⟺ 7 − 2) = 0 dan ) = 0 ⟺ −2) = −7 dan ) = 0 ⟺ ) = ƒJ dan ) = 0

0 ƒJ Jadi, himpunan penyelesaiannya ¡¢ = §) ¤0 < ) < 72 , ) ∈ -“ Atau (0, 72)

4. GG3N < 4 )) − 3 − 4 < 0

⟺ ) − 4() − 3)) − 3 < 0

⟺ ) − 4) + 12) − 3 < 0

⟺ −3) + 12) − 3 < 0

Page 127: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 17

⟺ −3) + 12 = 0 dan ) − 3 = 0 ⟺ −3) = −12 dan ) = 3 ⟺ ) = 4 dan ) = 3

3 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < 3 7«7‹ ) > 4, ) ∈ -}

Selesaikan

1. 3)J − ) − 2 > 0 3)J − ) − 2 > 0 ⟺ (⋯ ) + ⋯ )() − ⋯ ) > 0 ⟺ ⋯ ) + ⋯ = 0 dan ) − ⋯ = 0 ⟺ ) = ⋯ ) = ⋯

⋯ ⋯

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < ⋯ ∪) > ⋯ , ) ∈ -} Atau (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ )

2. 4NG3J ≤ 4 13) − 2 ≤ 4

LATIHAN TERBIMBING

Page 128: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 18

⟺ 13) − 2 − ⋯ ≤ 0

⟺ 1 − 4(⋯ ) − ⋯ )3) − 2 ≤ 0

⟺ 1 − ⋯ ) + ⋯3) − 2 ≤ 0 ⟺ ⋯ − ⋯ )3) − 2 ≤ 0 ⟺ ⋯ − ⋯ ) = 0 dan ⋯ ) − 2 = 0 ⟺ ⋯ ) = ⋯ dan ⋯ ) = 2 ⟺ ) = ⋯ dan ) = ⋯

⋯ ⋯

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < ⋯ atau ) ≥ ⋯ } Atau (⋯ , ⋯ ) ∪ [⋯ , ⋯ )

Latihan 1

Carilah Himpunan Penyelesaian dan sketsakan grafiknya dari

a. 4) + 7 < 3) − 5

LATIHAN MANDIRI

Page 129: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 19

Penyelesaian

b. 10) − 1 > 8) + 5

Penyelesaian

Page 130: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 20

c. 2 < 5 − 3) < 8

Penyelesaian

d. 2) − 5 ≤ 6 − 6) ≤ 3) + 6

Penyelesaian

Page 131: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 21

e. 2)J + 7) − 15 ≥ 0

Penyelesaian

f. GIRJG34 ≤ 0

Penyelesaian

Page 132: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 22

g. G3JGIQ < 2

Penyelesaian

Latihan 2

Tentukan ), dan nyatakan jawabannya dalam notasi selang

(interval)

a. () + 1)()J + 2) − 7) ≥ )J − 1

b. )Q − 2) ≥ 8

c. ()J + 1)J − 7()J + 1) + 10 < 0

Page 133: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 23

Penyelesaian

Page 134: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 24

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 7. ) < −12 8. ) > 3 9. −1 < ) < 1 ?. 0 < ) < 118 q. ) ≤ −5 7«7‹ ) ≥ 32 r. − 5 ≤ ) < 12 s. ) < −10 7«7‹ ) > −4

Page 135: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 25

Latihan 2 7. −3 ≤ ) ≤ −1 7«7‹ ) ≥ 2 8. −4 ≤ ) ≤ 2 9. −2 < ) < −1 7«7‹ 1 < ) < 2

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 136: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 26

Kegiatan Belajar

NILAI MUTLAK

Sifat manusia terdiri atas 2. Yaitu

jahat

dan

BAIK

Namun keduanya sama-sama termasuk sifat manusia.

URAIAN MATERI

3

Page 137: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 27

Ini sesuai dengan definisi nilai mutlak, yaitu

Nilai mutlak dari ) dinyatakan dengan |)|, didefinisikan sebagai |)| = § ), jika ) ≥ 0−), jika ) < 0

Jadi, nilai mutlak untuk ) dan −) sama-sama bernilai ).

1. |2| = 2 |−5| = −(−5) = 5

2. fi3 − √12fi = −E3 − √12F = √12 = −3

3. |) − 1| = §) − 1, wvfl7 ) − 1 ≥ 01 − ), wvfl7 ) − 1 < 0

Sifat-sifat nilai mutlak

Untuk setiap ), * ∈ ℝ berlaku

1. |)| = |*| jika dan hanya jika ) = ±* dan )J = *J 2. Jika 7 ≥ 0 maka

a. |)| ≤ 7 jika dan hanya jika −7 ≤ ) ≤ 7 dan )J ≤ 7J

b. |)| ≥ 7 jika dan hanya jika ) ≥ 7 atau ) ≤ −7 dan )J ≥ 7J

c. |) + *| ≤ |)| + |*| d. |) − *| ≥ fi|)| − |*|fi

3. |)*| = |)||*| 4. †GU† = |G||U|

CONTOH

Page 138: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 28

1. |) − 1| = 2 ⟺ ) − 1 = ±2 ⟺ ) = 3 atau ) = −1

2. |) − 1| < 2 ⟺ −2 < ) − 1 < 2

3. |) − 1| > 2 ⟺ ) − 1 > 2 atau ) − 1 < −2 ⟺ ) > 3 atau ) < −1

Pertidaksamaan yang Menyangkut Nilai Mutlak

Sebelum membahas pertidaksamaan nilai mutlak terlebih dahulu

disajikan bagaimana cara mengubah bentuk aljabar ke dalam bentuk

yang tidak mengandung nilai mutlak.

1. Ubah bentuk aljabar 3|)| + |) − 2| ke dalam bentuk yang tidak

mengandung tanda mutlak.

Jawab:

Dari bentuk yang diberikan, nilai mutlak berganti tanda di ) = 0 dan ) = 2

Jadi dibagi atas 3 daerah

Untuk ) < 0 3|)| = 3(−)) = −3)

dan |) − 2| = −() − 2) = 2 − )

CONTOH

CONTOH

Page 139: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 29

Jadi 3|)| + |) − 2| = −3) + (2 − )) = −4) + 2

Untuk 0 ≤ ) < 2 3|)| = 3)

dan |) − 2| = −() − 2) = 2 − )

jadi 3|)| + |) − 2| = 3) + 2 − ) = 2) + 2

Untuk ) ≥ 2 3|)| = 3)

dan |) − 2| = ) − 2

Jadi 3|)| + |) − 2| = 3) + () − 2) = 4) − 2

Jadi

3|)| + |) − 2| = ‡ −4) + 2, wvfl7 ) ≤ 02) + 2, wvfl7 0 ≤ ) < 24) − 2, wvfl7 ) ≥ 2

2. 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6

Untuk ) < −1 |) + 1| = −() + 1) |)| = −) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = −2() + 1) + 5(−))[−() − 2)] − 6 = −2) − 2 + 5()J − 2)) − 6 = 5)J − 12) − 8

Untuk −1 ≤ ) < 0

Page 140: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 30

|) + 1| = ) + 1 |)| = −) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = 5)J − 8) − 4

Untuk 0 ≤ ) < 2 |) + 1| = ) + 1 |)| = ) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = −5)J + 12) − 4

Untuk ) ≥ 2 |) + 1| = ) + 1 |)| = −) |) − 2| = () − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = 5)J − 8) − 4

Sehingga

2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = ⎩⎪⎨⎪⎧ 5)J − 12) − 8, wvfl7 ) < −15)J − 8) − 4, wvfl7 − 1 ≤ ) < 0−5)J + 12) − 4, wvfl7 0 ≤ ) < 25)J − 8) − 4, wvfl7 ) ≥ 2

Jadi untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak

dapat diselesaikan dengan 2 cara:

1. Tuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak

2. Menggunakan sifat-sifat nilai mutlak

Page 141: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 31

Selesaikan

1. |) − 5| ≤ 4

Dengan cara I |) − 5| = §) − 5, wvfl7 ) ≥ 55 − ), wvfl7 ) < 5

Untuk ) ≥ 5 ) − 5 ≤ 4 ) ≤ 9

Jadi ¡¢4 = {)| − 5 ≤ ) ≤ 9} Untuk ) < 5 5 − ) ≤ 4 −) ≤ −1 ) ≥ 1

Jadi ¡¢J = {)|1 ≤ ) < 5} Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ¡¢ = {)|1 ≤ ) ≤ 9} Cara II |) − 5| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ ) − 5 ≤ 4 ⟺ 1 ≤ ) ≤ 9

2. |3) − 5| ≥ 1

Cara I

3) − 5 = „3) − 5, wvfl7 ) ≥ 535 − 3), wvfl7 ) < 53

CONTOH

Page 142: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 32

Untuk ) ≥ RN 3) − 5 ≥ 1 ⟺ 3) ≥ 6 ⟺ ) ≥ 2 ¡¢4 = [2, ∞) Untuk ) < RN 5 − 3) ≥ 1 ⟺ −3) ≥ −4 ⟺ ) ≤ 43

¡¢J = |−∞, 43” Maka ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = |−∞, 43” ∪ [2, ∞) Cara II |3) − 5| ≥ 1 ⟺ 3) − 5 ≥ 1 ⟺ 3) ≥ 6 ⟺ ) ≥ 2

Jadi ¡¢4 = [2, ∞) Atau 3) − 5 ≤ −1 ⟺ 3) ≤ 4 ⟺ ) ≤ 43

jadi ¡¢J = |−∞, 43” Maka ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = |−∞, 43” ∪ [2, ∞)

3. |) − 2| + 2|) − 1| > 1

Page 143: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 33

|) − 2| = §) − 2, wvfl7 ) ≥ 22 − ), wvfl7 ) < 2

Untuk |) − 1| = §) − 1, wvfl7 ) ≥ 11 − ), wvfl7 ) < 1

Untuk ) < 1 2 − ) + 2(1 − )) > 1 4 − 3) > 1 −3) > −3 ) < 1 ¡»4 = { } Untuk 1 ≤ ) ≤ 2 2 − ) + 2() − 1) > 1 2 − ) + 2) − 2 > 1 ) > 1 ¡»J = (1,2) Untuk ) ≥ 2 ) − 2 + 2() − 1) > 1 3) − 4 > 1 ) > 53 ¡»N = (2, ∞) Jadi, ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ∪ ¡¢N = (1, ∞)

Page 144: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 34

Selesaikan

Latihan 1 |8 − 3)| ≥ |2)| Penyelesaian |8 − 3)| ≥ |2)| ⟺ (8 − 3))J ≥ (2))J ⋯ − ⋯ ) + ⋯ )J ≥ ⋯ )J ⋯ )J − ⋯ ) + ⋯ ≥ 0 (⋯ ) − ⋯ )() − ⋯ ) ≥ 0

Kasus I ⋯ ) − ⋯ ≥ 0 ⋯ ) ≥ ⋯ ) ≥ ⋯

Dan ) − ⋯ ≥ 0 ) ≥ ⋯

Jadi ¡¢4 = [⋯ , ⋯ ) Kasus 2 ⋯ ) − ⋯ ≤ 0 ⋯ ) ≤ ⋯ ) ≤ ⋯

Dan ) − ⋯ ≤ 0 ) ≤ ⋯ ¡¢J = (⋯ , ⋯ ) Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = (⋯ , ⋯ ] ∪ [⋯ , ⋯ )

LATIHAN MANDIRI

Page 145: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 35

Latihan 2 |) − 2| < 3|) + 7| Penyelesaian

|) − 2| = …) − ⋯ , ) ≥ ⋯⋯ − ), ) ⋯ 2 |) + 7| = …⋯ + ⋯ , ) ≥ ⋯⋯ − ⋯ , ) < ⋯

Untuk ) < ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| −(⋯ − ⋯ ) < 3(⋯ − ⋯ ) −) + ⋯ < − ⋯ ) − ⋯ − ⋯ + ⋯ ) < − ⋯ ⋯ ) < − ⋯ ) < ⋯

Jadi ¡¢4 = (⋯ , ⋯ )

Untuk ⋯ ≤ ) < ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| −(⋯ − ⋯ ) < 3(⋯ + ⋯ ) −) + ⋯ < ⋯ ) + ⋯ ⋯ ) < ⋯ ) > ⋯

Jadi ¡¢J = (⋯ , ⋯ )

Untuk ) ≥ ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| ⋯ − ⋯ < 3 ⋯ + ⋯ ⋯ ) < ⋯ ) > ⋯

Page 146: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 36

Jadi ¡¢N = [⋯ , ⋯ ) Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ∪ ¡¢N = (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ ) ∪ [⋯ , ⋯ ) = (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ )

Latihan 1

Carilah Himpunan Penyelsaian dari

a. |) + 2| < 3

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Page 147: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 37

b. |2) − 5| < 3

Penyelesaian

c. | JGR − 1| ≤ 4

Penyelesaian

Page 148: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 38

d. | GJ + 7| ≥ 2

Penyelesaian

e. | 4G − 3| > 6

Penyelesaian

Page 149: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 39

Latihan 2

Selesaikan ketaksamaan berikut.

a. |) − 2| < 3|) + 7| Penyelesaian

b. |2) − 5| < |) + 4| Penyelesaian

Page 150: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 40

c. 2|)| + |) − 1| ≤ 2

Penyelesaian

d. † GG34† ≤ †G3JGI4† Penyelesaian

Page 151: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 41

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1

a. −5 < ) < 1

b. 1 < ) < 4

c. − 4RJ ≤ ) ≤ JRJ

d. ) ≥ 10 atau ) ≤ −18

e. 0 < ) < 4V atau − 4N < ) < 0

Latihan 2

a. −∞ < ) < − JNJ atau − 4VQ < ) < ∞

Page 152: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 42

b. 4N < ) < 9

c. − 4N ≤ ) ≤ 1

d. −∞ < ) < −1 atau −1 < ) < 4J

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 153: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 43

Kegiatan Belajar

BIDANG BILANGAN DAN GRAFIK PERSAMAAN

GARIS LURUS

Definisi

Himpunan semua pasangan terurut bilangan riil dinamakan bidang

bilangan dan setiap pasangan terurut (), *) dinamakan titik di dalam

bidang bilangan. Bidang bilangan dinamakan ℜJ

»(), *)

Definisi

Grafik suatu persamaan di ℜJ adalah himpunan semua titik (), *) di ℜJ yang koordinatnya adalah bilangan yang memenuhi persamaan

tersebut.

URAIAN MATERI

4

*

)

Page 154: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 44

Tinjauan Ulang tentang Garis Lurus pada Bidang Datar

Panjang ruas garis lurus

Dengan teorema Phytagoras, panjang ruas garis dari titik »()4, *4) ke

titik ¿()J, *J) adalah »¿ = ()4 − )J)J + (*4 − *J)J Persamaan garis lurus

Bentuk umum persamaan garis lurus adalah 7) + 8* + 9 = 0, a dan b tidak semuanya nol Beberapa hal khusus: persamaan garis yang

1. Sejajar dengan sumbu ) adalah * = ¢

2. Sejajar dengan sumbu * adalah ) = ¯

3. Tidak sejajar dengan sumbu * adalah * = ) + (fungsi

linear)

4. Melalui titik (¢, 0) dan (0, ¯), ¢ dan ¯ tidak nol adalah G + U = 1

5. Melalui titik ()4, *4) dan mempunyai gradien adalah * − *4 =() − )4) 6. Melaluli titik ()4, *4) dan ()J, *J) adalah

U3U¸UH3U¸ = G3G¸GH3G¸ Kaitan antar dua garis

Garis s: 7) + 8* + 9 = 0 dan ℎ: ¢) + ¯* + = 0 dikatakan

1. Sejajar (ditulis s//ℎ), jika ; = < ≠ =

2. Berimpit (ditulis s ≡ ℎ), jika ; = < = =

3. Berpotongan, jika ; ≠ < ; dan berpotongan tegak lurus, jika 7¢ + 8¯ = 0, 8, ¯ ≠ 0

Gradien suatu garis

Pada persamaan garis s: * = ) + , besaran dinamakan gradien

garis s.

Page 155: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 45

Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Garis s: * = ) + dan ℎ: * = ¢) + ¯ saling tegak lurus jika dan

hanya jika ¢ = −1. Jadi dua dua garis saling tegak lurus jika dan

hanya jika gradiennya sama dengan -1.

Gradien dua garis yang saling sejajar

Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama.

Jarak titik ke garis

Jarak dari titik »()ª, *ª) ke garis s: 7) + 8* + 9 = 0 adalah

?(», s) = |7)ª + 8*ª + 9|√7J + 8J

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (6,4) dan

mempunyai kemiringan QR.

Penyelesaian

Ambillah sebarang titik lain pada garis itu, misalnya dengan

koordinat (), *). Jika kita menggunakan titik (6,4) untuk mengukur

kemiringannya, kita harus memperoleh QR, yaitu * − 4) − 6 = 45

Atau setelah mengalikannya dengan ) − 6, * − 4 = 45 () − 6)

Contoh 1

Gambar sketsa grafik persamaan *J − ) − 2 = 0

CONTOH

Page 156: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 46

Penyelesaian

Pertama, kita cari terlebih dahulu titik potong )dan * ) 2 −1 −2 −1 2 * −2 −1 0 1 2

Jadi, didapatkan koordinat titiknya adalah Ł(2, −2) , Ø(−1, −1) , C(−2,0), Œ(−1,1), dan º(2,2) Kemudian kita plot titik-titik koordinat tersebut ke dalam grafik )*

Latihan 1

Carilah persamaan garis yang melalui (6,8) yang sejajar dengan

garis yang mempunyai persamaan 3) − 5* = 11.

Penyelesaian

Jika 3) − 5* = 11, maka * = NR ) − 44R . Diperoleh kemiringannya …….

Persamaan yang diinginkan adalah * − ⋯ = …… () − 6)

LATIHAN TERBIMBING

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

g y = y 2-2

E

C

D

B

A

Page 157: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 47

* = …… ) + 225

Latihan 2

Gambar sketsa grafik persamaan * = |) + 3| |) + 3| = … ) + 3, ) ≥ −3− ⋯ − ), ) < ⋯

Penyelesaian

Untuk * = ) + 3, ) ≥ −3, ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ * ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Untuk * = − ⋯ − ), ) < ⋯, ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ * ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

Jadi, didapatkan koordinat titiknya adalah Ł(⋯ , ⋯ ) , Ø(⋯ , ⋯ ) , C(⋯ , ⋯ ), Œ(⋯ , ⋯ ), º(⋯ , ⋯ ) ı(⋯ , ⋯ ) , ł(⋯ , ⋯ ) , ¡(⋯ , ⋯ ), ø(⋯ , ⋯ ), œ(⋯ , ⋯ ) Kemudian kita plot titik-titik koordinat tersebut ke dalam grafik )*

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

Page 158: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 48

Latihan 1

Tuliskan persamaan garis melalui (3, −3) yang

a. Sejajar garis * = 2) + 5

b. Tegak lurus garis * = 2) + 5

c. Sejajar garis 2) + 3* = 6

d. Tegak lurus garis 2) + 3* = 6

e. Sejajar garis melalui (−1,2) dan (3, −1) f. Sejajar garis ) = 8

g. Tegak lurus garis ) = 8

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Page 159: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 49

Latihan 2

Gambarlah sketsa grafik dari persamaan berikut.

a. * = )J − 4

Penyelesaian

b. ) = 4 − *J Penyelesaian

Page 160: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 50

c. 3)J + 4* = 0

Penyelesaian

d. * = )N − 3)

Penyelesaian

Page 161: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 51

e. * = 4GHIJ Penyelesaian

f. |)| + |*| = 4

Penyelesaian

Page 162: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 52

Latihan 3

Gambarlah sketsa grafik dari kedua persamaan pada bidang

koordinat yang sama. Carilah titik potong antara dua grafik

tersebut.

a. * = −) + 1 * = )J + 2) − 1

Penyelesaian

b. * = −3) + 15 * = 3)J − 3) + 3

Penyelesaian

Page 163: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 53

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1

a. * = 2) − 9

b. * = − 4J ) − NJ c. * = − JN ) − 1

d. * = NJ ) − 4RJ

e. * = − NQ ) − NQ f. ) = 3

g. * = −3

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 164: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 54

Kegiatan Belajar

DEFINISI FUNGSI DAN DAERAH ASAL

Definisi Fungsi

Ibukota dari propinsi Jambi adalah Jambi, ibu kota propinsi

Sumatera Barat adalah padang selanjutnya ibu kota dari Sumatera

Utara adalah Medan. Nah sekarang coba anda tuliskan relasi “x

ibukota y”, dimana x anggota himpunan A (nama-nama ibukota) dan

y anggota himpunan B (nama-nama propinsi). Maka nyatakanlah

permasalahan di atas dalam bentuk relasi

Berdasarkan jawaban anda mungkinkah satu propinsi memiliki

dua ibu kota?, ya benar satu propinsi tidak mungkin akan memiliki

ibu kota yang sama. Relasi dari masalah ini merupakan sebuah

fungsi.

URAIAN MATERI

5

Page 165: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 55

Selanjutnya bagaimanakah dengan ilustrasi masalah berikut ini.

“Ani, Ina dan Yuli menyukai apel. Nanda, Evan dan Riza menyukai

anggur. coba ada tuliskan relasi “x menyukai buah y”, dimana x

anggota himpunan A (anak) dan y anggota himpunan B (buah).

Berdasarkan relasi yang anda peroleh apakah apakah merupakan

sebuah fungsi?, ya benar relasi tersebut merupakan fungsi.

Selanjutnya berdasarkan masalah di atas coba buat relasi dari

himpunan B ke Himpunan A dimana relasinya adalah” y disukai x”.

Coba tuliskan jawaban anda

Nah relasi yang anda buat tersebut bukan merupakan sebuah fungsi.

Berdasarkan ilustrasi masalah-masalah di atas definisi dari fungsi

adalah:

Page 166: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 56

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Berdasarkan ilustrasi fungsi sebelumnya “x ibukota y” menurut

anda manakah yang merupakan daerah asal dan daerah hasil?. Yah,

daerah asal adalah himpunan A dan daerah hasil himpunan B.

Daerah asal dimana A= {œ78v, ß‹7«q7 -«77, ß‹7«q7 Ø77«}, dan B= {œ78v, ©q?7, »7?7s}. Selanjutnya misal nya dalam pembelajaran matematika pada gambar

dibawah ini:

kita dapat mengatakan mungkin daerah asal adalah himpunan siswa

dalam kelas matematika dan daerah nilai berupa himpunan nilai {6,7,8,9,10}yang diberikan guru.

Berdasarkan ilustrasi di atas pengertian daerah asal dan daerah hasil

adalah:

Definisi Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (), *) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama. Himpunan semua nilai ) yang mungkin dinamakan daerah asal (domain) fungsi dan himpunan semua nilai * yang dihasilkan dinamakan daerah hasil (daerah nilai/range/jelajah) fungsi.

Page 167: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 57

Agar dapat memahami fungsi di atas pahamilah contoh di bawah ini

Contoh 1

Periksalah apakah relasi(pengaitan) di bawah ini merupakan suatu

fungsi atau bukan! r: - → - dengan aturan r()) = )

Penyelesaian :

Coba anda analisa bentuk relasi pada contoh di atas, apakah bentuk

relasi tersebut merupakan fungsi?. Berdasarkan pengertian fungsi

yang dipaparkan sebelumnya apakah ada pasangan di ) yang

berbeda ke *?. Hal ini dapat dianalisa dengan menggambarkan

daerah fungsi tersebut.

CONTOH SOAL

x

y

Definisi Sebuah fungsi r adalah suatu aturan korespodensi (padanan) yang menghubungkan setiap obyek di ) dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal r()) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah hasil.

Page 168: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 58

Berdasarkan gambar di atas apakah ada anggota di ) yang

mempunyai anggota yang lebih dari satu di³. Hal ini dapat dilakukan

dengan mencoba-cobakan nilai dari dari r()) = ) atau * = ), untuk ) = 1 maka * = 1, ) = 2 maka * = 2 dan selanjutnya. Sehingga, dapat

disimpulkan relasi tersebut merupakan fungsi.

Contoh 2

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari r{)} = 3)J − 5) + 2

Penyelesaian:

Nah beradasarkan definisi, menurut anda bagaimanakah syarat dari

daerah asal dan daerah hasil. Sekarang coba anda tentukan berpakah

nilai ) (daerah asal adalah setiap obyek di ) ) yang mungkin agar r()) terdefinisi pada himpunan bilangan riil!. ya benar semua

anggota bilangan riil jika subtitusikan ke )maka r()) akan dapat

terdefinisi pada bilangan riil. Berdasarkan analisa tersebut dapat kita

peroleh bahwa daerah asal dari fungsi tersebuat adalah bilangan riil

dan daerah hasil juga daerah bilangan riil. Hal ini jga dapat ditulis

kan dalam bentuk hipunan penyelasaian daerah asala yaitu ε = -

dan daerah hasil yaitu Π= -.

Latihan 1

Periksalah apakah relasi(pengaitan) di bawah ini merupakan suatu

fungsi atau bukan! r: - → - dengan aturan r()) = )J + *J = 25

LATIHAN TERBIMBING

Page 169: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 59

Penyelesaian :

Gambarkan lah grafik dari fungsi tersebut

Berdasarkan gambar di atas apakah ada anggota di y yang

mempunyai anggota yang lebih dari satu di ³. Hal ini dapat

dilakukan dengan mencoba-cobakan nilai dari dari r()) = ) atau * =), untuk ) = 0 maka * = ⋯ ?7 * = ⋯ ?7 ‹«‹fl ) = 4, * = ⋯ ?7 * = ⋯

jadi dapat disimpulkan ada satu nilai y yang petanya ada dua di ³.

Jadi menurut anda persamaan di atas apakah merupakan suatu

fungsi?.

Latihan 2

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari r{)} = √9 − )J

Penyelesaian :

Nah beradasarkan definisi, menurut anda bagaimanakah syarat dari

daerah asal dan daerah hasil. Sekarang coba anda tentukan berpakah

nilai ) (daerah asal adalah setiap obyek di ) ) yang mungkin agar r()) terdefinisi pada himpunan bilangan riil!. Menurut anda jika ) = 5 maka apakah r()) terdefinisi pada bilangan Riil?......tentu saja

tidak, karena r()) terdefinisi pada bilangan imajiner. Jadi, menurut

anda apakah syarat dari ) agar r()) terdefinisi pada bilangan Riil?

Page 170: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 60

ya benar, agar r()) terdefinisi maka 9 − )J ≥ 0, maka

penyelesaiannya adalah: 9 − )J ≥ 0 )J − 9 ≤ 0 () + ⋯ )() − ⋯ ) ≤ 0

Selanjutnya, ujilah pada garis bilangan maka nilai ) yang memenuhi

adalah −3 ≤ ) ≤ ⋯ jadi Œµ = [−3,3]. Sekarang coba tentukan daerah

hasil nya dengan mensubtitusi kembali kedaerah hasil maka

diperoleh -µ = [0, … ].

1. Periksalah pengaitan di bawah ini merupakan suatu fungsi atau

bukan s ∶ - → - ?qs7 s()) = )N

2. Tentukanlah daerah asal dan derah hasil dari s()) = RG3JGIQ

Penyelesaian :

LATIHAN MANDIRI

Page 171: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 61

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1

Fungsi

Latihan 2 −2[(7 + ℎ) − [2](7 − 2) Latihan 3

a. Œµ = {)|) ≠ 4, ) ∈ -} b. Œµ = {+ †+ ≥ − JN , ) ∈ -}

Page 172: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 62

c. Œµ = {*|−5 ≤ * ≤ 5, ) ∈ -}

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 173: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 63

Kegiatan Belajar

Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-Jenis Fungsi

Taukah anda fungsi juga memiliki jenis-jenis, coba anda tuliskan

jenis-jenis dari fungsi, ya benar beberapa jenis dari fungsi adalah:

1. Fungsi Genap dan Ganjil

2. Fungsi Nilai Mutlak |y| 3. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar⟦y⟧

Sekarang mari kita lihat definisi dan bagaimana cara mengambarkan

masing-masing funsi tersebut

Fungsi Genap dan Ganjil

Taukah kamu kapan fungsi itu dikatakan genap dan kapan fungsi itu

dikatakan ganjil?, ya benar tentu ada definisi yang harus dipenuhi

untuk menentukan fungsi tersebut genap atau ganjil, berikut adalah

definisi dari fungsi genap dan fungsi ganjil

Fungsi Khusus

Pernahkah kamu sebelumnya mendengar atau mengetahui fungsi

khusus, kalau kita lihat dari ejaan khusus mungkin kah bentuk

6

(1) Fungsi dikatakan genap jika ∀ ) ∈ Œµ , r(−)) = r()) (2) Fungsi dikatakan ganjil jika ∀ ) ∈ Œµ, r(−)) = −r())

URAIAN MATERI

Page 174: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 64

fungsinya khusus atau istimewa ataukah bentuk grafik nya yang

khusus. Mari kita jawab pertanyaan tersebut dengan memahami

materi di bawah ini

Fungsi khusus dapat dibedakan menjadi dua yaitu:

1. Fungsi nilai mutlak

2. Fungsi bilangan bulat terbesar

Mari kita tinjau dari kedua bentuk fungsi tersebut serta

bagaimanakah cara menggambar grafik fungsi tersebut.

Fungsi nilai mutlak

Bentuk dari fungsi nilai mutlak adalah sebagai berikut

Menurut kamu bagaimanakah cara menganalisa bentuk fungsi di

atas jika kita ingin menentukan gambarnya, coba perhatikan jika ) ≥ 0 atau bernilai positif maka nilainya fungsinya juga positif , jika ) < 0 atau bernilai negatif maka nilai fungsi akan bernilai positif.

Contoh nya jika nilai ) = −1 maka nilai fungsi nya adalah ) = −(−1) = 1, maka seperti apakah bentuk grafik dari fungsi tersebut!. Agar lebih

mudah mari kita buat dengan membuat titik contoh dari grafik

tersebut.

No ) r()) 1 ... ..

2 1 1

3 0 0

|)| = … ), ) ≥ 0−), ) < 0

Page 175: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 65

4 -1 1

5 -2 2

6 ... ...

Gambar Grafik

Fungsi bilangan bulat terbesar

Setelah kamu mengetahui bentuk dari fungsi nilai mutlak sekarang

mari kita pelajari fungsi khusus yang kedua yaitu fungsi bilangan

bulat terbesar, mari kita definisikan dahulu, namun sebelumnya kamu

harus mengetahui lambang dari nilai bilangan bulat terbesar. Fungsi

bilangan bulat terbesar biasanya dilambangkan dengan ⟦ ⟧, sekarang mari kita definisi bentuk dari nilai bilangan bulat terbesar

adalah:

Jadi ⟦)⟧ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ). Sama halnya dengan fungsi mutlak kamu tentunya juga harus

mengetahui bagaimana cara menggambarkan fungsi tersebut. Nah

sekarang marilah kita sketsa grafik fungsi dari fungsi bilangan bulat

8

6

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

f x = x

À(y) = ⟦y⟧ = Á ↔ Á ≤ y < + 1, bilangan bulat , ) bilangan riil

Page 176: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 66

terbesar tersebut dengan terlebih dahulu mengambarkan titik uji

dari grafik sesuai dengan definisi dari fungsi bilangan bulat terbesar

yang diperlihatkan pada tabel berikut.

⟦)⟧ = r()) = ≤ ) < + 1

-2 −2 ≤ ) < −1

-1 −1 ≤ ) < 0

0 0 ≤ ) < 1

1 1 ≤ ) < 2

2 2 ≤ ) < 3

3 3 ≤ ) < 4

Berdasarkan tabel di atas dapatkah kamu menganalisa maksud dari

tabel tersebut. Maksud dari tabel di atas adalah jika nilai ) berada

pada selang −Â≤y<−1 maka nilai fungsi atau r()) berada pada -2,

begitu selanjutnya. Maka grafik dari fungsi tersebut dapat kita

gambarkan sebagai berikut:

Page 177: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 67

Contoh 1

Nah sekarang coba kamu pikirkan jika kamu diberikan sebuah

fungsi yang berbentuk r()) = 3)Q − 2)J + 7 bagaimanakan cara

menentukan apakah fungsi tersebut genap atau ganjil, atau bukan

keduanya? Coba kita selesaikan.

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi terlebih dahulu kita menganti variabel) dangan

variabel −) r(−)) = 3(−))Q − (−))J + 7 = 3)Q − 2)J + 7 = r()) Karena r(−)) = r()), sesuai defenisi maka r()) merupakan fungsi

genap

Contoh 2

Bagaimana dengan soal s()) = 3)R − 4)N − 9). Merupakan fungsi

genap, ganjil, atau bukan keduanya?. Perhatikan langkah berikut

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi terkebih dahulu kita menganti variabel) dangan

variabel −)

s(−)) = 3(−))R − 4(−))N − 9(−)) = −3)R + 4)N + 9) = −(3)R − 4)N − 9)) = −s()) Diperoleh s(−)) = −s()), jadi s()) merupakan fungsi ganjil.

CONTOH SOAL

Page 178: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 68

Contoh 3

Nah sekarang mari kita selesaikan menggabar grafik jika fungsi

mutlaknya berbentuk! r()) = |2)| Penyelesaian :

Menurut definisi hubungan dari daerah asalnya dan bentuk

fungsinya adalah |2)| = … 2), ) ≥ 0−2), ) < 0

Selanjutnya mari kita gambarkan titik ujinya

No ) r()) 1 ... ..

2 1 2

3 0 0

4 -1 2

5 -2 4

6 ... ...

Berdasarkan titik uji yang kita peroleh maka grafik fungsi tesebut

dapat digambarkan sebagai berikut

12

10

8

6

4

2

-10 -5 5 10

f x = 2x

Page 179: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 69

Contoh 4

Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut ini: r()) = ⟦)2⟧ = ↔ ≤ ) < + 1 Penyelesaian :

Coba kamu perhatikan bahwa bilangan bulat terbesar dari

definisinya selalu berbentuk ) sekarang bagaimanakah cara

menjadikan fungsi tesebut menjadi bentuk yang sama dengan

definisi. Tentu saja dengan mengalikan seluruh ruas dengan dua

yang dapat kita lihat pada tabel berikut ini:

⟦)2⟧ = r()) = 2 ≤ ) < 2 + 2

-2 −4 ≤ ) < −2

-1 −2 ≤ ) < 0

0 0 ≤ ) < 2

1 2 ≤ ) < 4

2 4 ≤ ) < 6

3 6 ≤ ) < 8

Nah setelah melihat bentuk titik ujinya mari sekarang kita analisa

bentuk tabel diatas pada saat selang ) berada pada selang −4 ≤ ) < −2 maka nilai fungsinya adalah -2, begitulah selanjutnya.

Dari analisa tersebut sekarang kita gambarkan grafinya.

Grafik dari fungsi tersebut adalah

Page 180: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 70

-4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 81 x

y

Latihan 1

Periksalah apakah fungsi berikut apakah fungsi berikut genap atau

ganjil dan bukan kedua nya

Penyelesaian : ℎ()) = 2)Q + 7)N − )J + 9 ℎ(−)) = 2(−))Q + ⋯ − ⋯ + 9 = 2)Q + 7)N − ) + ⋯

Apakah hasil akhir dari fungsi tersebut berbentuk ℎ(−)) =−ℎ()) Atau ℎ(−)) = ℎ()), atau bukan keduanya!!!.

Latihan 2

Gambarlah grafik jika fungsi mutlaknya berbentuk! r()) = |3)| Penyelesaian :

LATIHAN TERBIMBING

Page 181: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 71

Mari kita definisikan bentuk fungsi tersebut sesuai dengan definisi

nilai mutlak

|3)| = …3), ) ≥ 0… , ) < ⋯

Selanjutnya mari gambarkan grafik funsi nya dengan mencari dulu

titik ujinya

No ) r()) 1 ... ..

2 1 3

3 0 0

4 -1 -3

5 -2 ...

6 ... ...

Latihan 3

Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut ini: r()) = ⟦)3⟧ = ↔ ≤ ) < + 1

Page 182: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 72

Penyelesaian :

Coba kamu perhatikan bahwa bilangan bulat terbesar dari

definisinya selalu berbentuk) sekarang bagaimanakah cara

menjadikan fungsi tesebut menjadi bentuk yang sama dengan definisi

tentu saja dengan mengalikan seluruh ruas dengan dua yang dapat

kita lihat pada tabel berikut ini: ⟦)3⟧ = r()) = 3 ≤ ) < 3 + 3

-2 −6 ≤ ) < −3

-1 … ≤ ) < ⋯

0 … ≤ ) < ⋯

1 … ≤ ) <.. 2 … ≤ ) <.. 3 … ≤ ) < ⋯

Gambarkan lah grafik fungsi bilangan bulat terbesar di atas

Page 183: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 73

1. Diketahui fungsi yang berbentuk (a) r()) = 3)Q − 2)J + 8,

(b)s()) = GGH3Q. Tentukanlah apakah fungsi tersebut merupakan

fungsi genap atau ganjil atau bukan keduanya.

2. Gambarlah grafik jika fungsi mutlaknya berbentuk r()) = |) − 2| 3. Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut

ini: r()) = ⟦2) − 1⟧ penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Page 184: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 74

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 185: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 75

Kegiatan Belajar

Operasi pada fungsi, tranlasi, dan Fungsi Trigonometri

Pada kegiatan belajar sebelumnya kita sudah menyingung tentang

daerah asal fungsi, daerah hasil jenis-jenis fungsi,nah pada kegiatan

belajar ini kita akan membahas tentang bagaimanakan jika fungsi di

operasikan. Selanjutnya jika fungsi sudah dioperasikan maka

bagaimanakah cara menentukan daerah asal serta daerah hasil

fungsi tersebut. Untuk memahami ini mari kita lihat dahulu definisi

jika dua fungsi diberikan. Berikut ini adalah beberapa definisi yang

harus kamu pahami

Setelah memahami bentuk definisi di atas sekarang mari kita pahami

bagaimana cara menentukan daerah asal atau daerah hasil jika fungsi

7

URAIAN MATERI

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

(f. g)(x) = f(x). g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(i) Jumlahnya dinyatakan fungsi f + g didefinisikan dengan (ii) Selisihnya dinyatakan dengan f − g didefinisikan dengan

(iii) Hasil kalinya dinyatakan f. g didefinisikan dengan

(iv) Hasil bagi nya dinyatakan ÃÄ didefinisikan dengan

Page 186: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 76

tersebut di operasikan. Dalam hal ini kita juga harus mehami

beberapa bentuk definisi berikut:

Fungsi Komposisi

Setelah kamu memahami bagaimana cara menentukan daerah asal

dari dua fungsi yang dioperasikan. Selanjutnya bagaimanakah cara

menentuka daerah hasil dari dua fungsi yang dikomposisikan. Fungsi

komposisi dan bagaimana cara melakukan operasi komposisi pada

dua fungsi sudah kita pelajari pada matakuliah aljabar. Untuk

menentukan komposisi fungsi terlebih dahulu kita lakukan komposisi

pada fungsi tersebut selanjutnya kita tentukan daerah aslanya. Untuk

lebih jelas akan diuraikan pada contoh soal

Tranlasi

Taukah kamu tentang tranlasi, kalau dilihat dari bahasanya tranlasi

dapat diartikan dengan pergesesran. Jika sebuah benda digeser

maka letak benda tersebut pasti akan berpindah. Sekarang

bagaimanakah kalau sebuah fungsi digeser apakah fungsi tersebut

juga akan perpindah tempat. Pergeseran atau perpindaan suatu

benda tertu dapat terjadi ke arah mana saja mungkin perpindahan itu

dapat terjadi ke atas, ke bawah, kekiri ataupu kekanan.

ŒµIÅ Ç Œµ3Å = Œµ.Å = Œ = Œµ ∩ ŒÅ ?7 ŒÉÊ = Œ − {) ∈ -, s())}

Dalam setiap kasus, daerah asal fungsi hasilnya adalah nilai persekutuan pada Œµ dan ŒÅ dengan syarat pada operasi pengurangan kita harus memperhatikan bawa penyebut tidak boleh nol karena akan mengakibatkan fungsi tidak terdefinisi sehingga untuk bagian (iv) s()) ≠ 0 . jadi untuk menetukan definis fungsi dapat dilakukan dengan cara

Page 187: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 77

Bagaimanakah jikah pergeseseran tersebut dilakukan pada fungsi

tentunya hal tersebut juga mungkin terjadi. Untuk mengetahui hal

tersebut maka pahamilah teorema berikut ini:

Fungsi Trigonometri

Pada materi sebelum nya kita sudah membahas macam-macam

fungsi,diantaranya fungsi genap-ganjil, fungsi khusus, dll. Nah

pada kegiatan belajar ini kita akan membahas sekilas tentang fungsi

trigonometri. Hal ini disebabkan karena pengkajian mendalam

tentang fungsi trigonometri akan dibahas pada mata kuliah

trigonometri.

Bentuk sudut trigonometri yang paling sederhana dalam

pembahasan trigonometri adalah Ëv« dan 9ÌË «, namun bagaimanakah

jika dia dalam bentuk fungsi maka berikut ini akan diberikan definisi

tentang fungsi ini:

* = r() − ℎ) + fl

* = r() + ℎ) + fl

* = r() − ℎ) − fl

* = r() + ℎ) − fl

1. Jika ℎ > 0, fl > 0, * = r()) digeser ℎ satuan ke kanan dan k satuan keatas maka

2. Jika ℎ < 0, fl > 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kiri dan k satuan ke atas

3. Jika ℎ > 0, fl < 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kekanan dan k satuan ke bawah

4. Jika ℎ < 0, fl < 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kiri dan k satuan ke bawah

Page 188: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 78

Setelah kita melihat definisi dari bentuk fungsi dasar trigonometri

sekarang mari kita memahami sifat-sifat dasar dari dari fungsi sinus

dan cosinus tersebut

Selanjut ada beberapa bentuk dari fungsi trigonometri lainnya

sebagai berikut:

Andaikan t merupakan panjang sebuah busur lingkaran satuan dan menentukan titik »(), *) yang tunggal cosinus dan sinus sudut t di tulis cos t dan sisn t didefiniskan sebagai 9ÌË« = ) dan Ëv« = * yang dapat dilihat pada gambar berikut

1. |Ëv«| ≤ 1 ?7 |cos «| ≤ 1 2. sin(« + 2Î) = sin « 3. sin(−)) = − sin ) cos(−)) = − cos ) 4. sin ÏÎ2 − «Ð = cos « 5. ËvJ « + 9ÌËJ« = 1

Page 189: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 79

jika bentuk fungsi mutlak memiliki gambar grafik fungsi dan bilangan

bulat terbesar memiliki gambar grafik, bagaimanakah dengan fungsi

trigonometri!!. Jika kamu ingin menggambarkan grafik fungsi

tersebut apakah yang kamu lakukan pertama kali!!..... ya tentu saja

kamu terlebih dahulu harus menetukan titik-titik ujinya sama halnya

dengan menggambarkan grafik fungsi lainnya. Sekarang marilah kita

mencoba mensketsa grafik sin x

mari kita coba menetukan titik-titk ujinya dengan memisalkan x

dalam bentuk radian sudut-sudut istimewa. Maka kita peroleh titik-

titik ujinya adalah sebagai berikut: ) sin ) −2Î 0 − 32 Î 1 −Î 0 −Î2 -1

0 0 Î2 1 Î 0 32 Î -1 2Î 0

1. tan « = sin «cos «

2. Ëq9« = 1cos «

3. cot « = cos «sin «

4. csc « = 1sin «

Page 190: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 80

Berdasarkan analisa tabel di atas berarti absisnya kita buat

dalam bentuk radian dan ordinat nya hanya berkisar antara 0,-1, dan

1 maka gambar yang kita peroleh adalah sebagai berikut:

Contoh 1

Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah daerah

hasil dari ŒµIÅ Penyelesaian

Berdasar masalahdi atas apakah yang petama kali akan kita

lakukan! Ya tentunya kita harus memperhatikan kembali definisi

dari jika dua fungsi dijumlahkan. Jika dua fungsi dijumlahkan maka

bentuk daerah asalnya adalah ŒµIÅ Ç Œ = Œµ ∩ ŒÅ, jadi menurut definisi

ini kita tentunya kita harus mengingat kembali bagaimana cara menentukan

daerah asal suatu fungsi. Pertama-pertama kita harus menentukan daera

asal r()) = √) + 1. Masih ingatkah kamu bagaimana cara menetukan

daerah asal fungsi tersebut. Ya tentunya daerah asal dari fungsi

tersebut haruslah memenuhi ) + 1 ≥ 0 agar fungsi ini terdefinisi, ini

berarti kita harus menyelesaikan bentuk persamaan tersebut.

CONTOH SOAL

Page 191: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 81

Bagaimanakah cara menyelesaiakanya, ya tentusaja dengacara

menambahkan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 sehingga

mendapatkan bentuk ) ≥ −1, jadi Œµ = [−1, ∞) Hal ini juga berlaku

dalam menentukan daerah asal s()) = √) − 4 sehingga kita peroleh

derah asalnya adalah ) ≥ 4, jadiŒs = [4, ∞) . Nah bagaimana kah cara

menetukan irisan dari kedua daerah asal tersebut atau Œµ ∩ ŒÅ, sama hal

nya dengan menetuka irisan himpuna biasa, irisan nya adalah Œµ ∩ ŒÅ =Ñ) ?v77 ) ∈ Œµ ?7 ) ∈ ŒÅÒ = [4, ∞).

Contoh 2

Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = 2) − 3) tentukan lah jika ı())jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı

Penyelesaian

Langkah apakah yang akan kamu lakukan untuk menyelesaikan

persoalan di atas, ya tentu saja hal pertama yang harus dilakukan

adalah menetukan rÌs

Masih ingat kah kamu cara melakukan operasi tesebut, ya tentu saja

kita akan mengubah bentuk rÌs = rEs())F = r(2) − 3) arti dari

bentuk ini adalah kita menggan setiap variabel ) dengan 2) − 3 maka

akan kita peroleh ı = rÌs = rEs())F = r(2) − 3) ı = √2) − 3

Setelah kita peroleh bentu fungsi F maka akan kita tentukan daerah

asal Fatau ŒÓ hal yang sama kita lakukan yitu dengan menetukan

nilai x hingga nilai fungsi F terdefinisi yaitu pada 2) − 3 ≥ 0,

sehingga kita peroleh daerah asalnya adalah 2 ) ≥ 3 sehingga

Page 192: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 82

ŒÓ = [NJ , ∞) sehingga daerah asal F yang merupakan hasil komposisi dari

fungsi r())dan s()) adalah ŒÓ = [NJ , ∞)

Contoh 3

Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) = |)| selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk fungsi * = r() − 3) = |) − 3| sketsalah grafiknya dan kemanakah arah

pegeseran nya.

Penyelesaian

Langkah awal yang harus kita lakukan adalah sketsalah grafik dari

masing-masing fungsi tersebut. Berikut ini adalah skesa grafik * = r()) = |)| , selanjutnya gambarkan grafik * = r() − 3) = |) − 3| pada satu bidang yang sama.

Berdasarkan kedua gambar grafik di atas apakah yang dapat kamu

simpulkan

.Ya yang dapat kita simpulkan adalah bahwa grafik berpindah

kekanan sebanya tiga satuan. Hal ini sesuai dengan teorema yang

pertama untuk ℎ = 3 > 0 ?7 fl = 0 ≥ 0 maka grafik akan begeser

sejau tiga satua kekanan dan nol satuan ke atas.

4

2

-2

-5 5 10

g x = f x-3

f x = x

Page 193: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 83

Contoh 4

Gambarkan lah grafik fungsi cos t berdasarkan materi yang sudah

kamu pelajari pada kegiatan belajar ini

Penyelesaian

Apakah langkah pertama yang kamu lakukan untu menyelesaikan

permasalahan di atas. Tentu kita akan mencari titik uji nya terlebih

dahulu yang akan disajikan pada tabel di bawah ini:

) cos ) −2Î 1 − 32 Î 0

−Î -1 −Î2 0

0 1 Î2 0 Î -1 32 Î 0

2Î 1

Page 194: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 84

Latihan 1

Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah daera

hasil dari Œµ3Å Penyelesaian

Berdasar masalah di atas apakah yang petama kali akan kita

lakukan! Ya tentunya kita harus memperhatikan kembali definisi

dari jika dua fungsi dijumlahkan. Jika dua fungsi dijumlahkan maka

bentuk daerah asalnya adalah Œµ3Å Ç Œ = ⋯, jadi menurut definisi ini kita

tentunya kita harus mengingat kembali bagaimana cara menentukan daerah

asa suatu fungsi. Pertamakali kita harus menentukan daera asal r()) = √) + 1. Masih ingatkah kamu bagaimana cara menetukan daerah asal

fungsi tersebut. Ya tentunya daerah asal dari fungsi tersebut

haruslah memenuhi ) + ⋯ ≥ 0 agar fungsi ini terdefinisi, ini berarti

kita harus menyelesaikan bentuk persamaan tersebut. Bagaimanakah

cara menyelesaiakanya, ya tentusaja dengacara menambahkan kedua

ruas pertidaksamaan dengan -1 sehingga mendapatkan bentuk ) ≥ ⋯, jadi Œµ = [… , ∞) Hal ini juga berlaku dalam menentukan daerah

asal s()) = √) − 4 sehingga kita peroleh derah asalnya adalah

LATIHAN TERBIMBING

Page 195: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 85

) ≥ ⋯ , jadiŒs = [4, … ) . Nah bagaimana kah cara menetukan irisan dari

kedua daerah asal tersebut atau Œµ ∩ ŒÅ, sama hal nya dengan menetuka

irisan himpuna biasa, irisan nya adalah Œµ ∩ ŒÅ = Ñ) ?v77 ) ∈ Œµ ?7 ) ∈ŒÅÒ = [4, … )

Latihan 2

Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = )J − 1 tentukan lah jika ı()) jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı

penyelesaian

Langkah apakah yang akan kamu lakukan untuk menyelesaikan

persoalan di atas, ya tentu saja hal pertama yang harus dilakukan

adalah menetukan rÌs

Masih ingat kah kamu cara melakukan operasi tesebut, ya tentu saja

kita akan mengubah bentuk rÌs = rEs())F = r(… ) arti dari bentuk ini

adalah kita menggan setiap variabel ) dengan 2) − 3 maka akan kita

peroleh ı = rÌs = rEs())F = r(… ) ı = ⋯

Setelah kita peroleh bentu fungsi F maka akan kita tentukan daerah

asal Fatau ŒÓ hal yang sama kita lakukan yitu dengan menetukan

nilai x hingga nilai fungsi F terdefinisi yaitu pada .... sehingga kita

peroleh daerah asalnya adalah ... sehingga …. sehingga daerah asal F

yang merupakan hasil komposisi dari fungsi r())dan s()) adalah ŒÓ = ⋯

Latihan 3

Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) = |)| selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk fungsi

Page 196: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 86

* = r() − 3) + 2 = |) − 3| + 2 sketsalah grafiknya dan kemanakah

arah pegeseran nya.

Penyelesaian

Langkah awal yang haruskkita lakukan adalah sketsalah grafik dari

masing-masing fungsi tersebut. Berikut ini adalah skesa grafik * = r()) = |)| dan * = r() − 3) + 2 = |) − 3| + 2 dalam satu bidang

cartesius

Baerdasarkan gambar tersebuat apakah yang dapat anda simpulkan

Page 197: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 87

Latihan 4

Gambarkan lah grafik fungsi tan t berdasarkan materi yang sudah

kamu pelajari pada kegiatan belajar ini

penyelesaian

sama halnya dengan contoh soal pecahkan lah persoalan di atas

dengan menentukan titik uji nya terlebih dahulu. Mari kita mencoba ) cos ) −2Î ... − 32 Î ... −Î ... −Î2 ...

0 ... Î2 ... Î ... 32 Î ... 2Î ...

Selanjutnya mari gambarkan grafinya pada kotak yang disediakan di

bawah ini

Page 198: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 88

1. Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah

daera hasil dari Œµ/Å 2. Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = 2) − 5) tentukan lah jika ı())jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı

3. Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk

fungsi * = r()) + 2 sketsalah grafiknya dan kemanakah arah

pegeseran nya.

4. Gambarkanlah grafik persamaan-persamaan berikut ini:

a. * = sin 2)

b. * = 2 sin « c. * = cos( ) − ÔQ)

5. Hitunglah tampa menggunakan kalkulator

a. tan ÏÔNÐ

b. 9Ì« ÏÔNÐ

LATIHAN MANDIRI

Page 199: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 89

Penyelesaian

Page 200: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 90

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 201: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 91

LIMIT

Pendahuluan

Apa itu limit dan bagaimana cara menghitung limit? Jika Anda

ingin mengetahui apa itu fungsi dan limit dan bagaimana menentukan

dan menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada

modul pertama ini terdiri atas dua kegiatan belajar. Pada kegiatan

belajar pertama akan menguraikankan tentang definisi dan teorema-

teorema pada limit, kegiatan belajar kedua analisis pendahuluan

tentang limit serta kekontiniuan fungsi.

Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-

materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-

modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat

dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-

modul berikutnya.

Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini

diharapkan Anda dapat memahamidanmenggunakankonsep fungsi

dan limit serta Khususnya, diharapkan Anda dapat:

1. Mahasiswa dapat memahami tentang definisi dan teorema-

teorema pada limit

2. Mahasiswa dapat memahami tentang analisis pendahuluan tentang

limit serta kekontiniuan fungsi

Page 202: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 92

Kegiatan Belajar

Limit dan Pengkajian Mendalam tentang Tentang Limit

Pengertian Limit

Pada kegiatan belajar ini kita akan membahas tentang limit. Menurut

anda apakah pengertian limit. Untuk memahami pengertian limit

mari kita perhatikan ilustrasi berikut ini misalnya dua orang anak

yang sedang mengendarai sepeda hampir saja bertabrakan.

1

URAIAN MATERI

Page 203: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 93

contoh berikutnya adalah seorang wanita yang hampir jatuh ketika

sedang berdansa karena terpeleset kulit pisang.

Selanjutnya seekor ikan hampir saja dapat menangkap cacing pada

kail seorang pria

Berdasar kan ilustrasi di atas apakah kesimpulan yang dapat kamu

ambil. Ya tentu saja ketiga ilustrasi di atas menggunakan kata-kata

hampir tapi tidak pernah terjadi hal itu lah yang disebut dengan limit

dimana jika diartikan berdasarkan ejaan limit berarti hampir.

Agar lebih memahmi limit dalam bidang kajian matematika Berikut ini

akan diberikan pemahaman secara itiutif dari limit. Pemahaman ini

kan dilustrasikan dengan contoh fungsi berikut: r()) = sin )) , limG→ª sin )) = 1

Page 204: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 94

Pendekatan mendasar mengenai pendekatan intiutif ini akan kita

lihat penyajian nya melalui tabel berikut ini: ) r()) -1,0 0,84147

-0,5 0,95885

-0,1 0,99833

-0,01 0,99998

-0,001 0,99999

... ...

0 ?

.. ...

0,001 0,99999

0,01 0,99998

0,1 0,99833

0,5 0,95885

Berdasarkan analisa dari tabel di atas apakah yang dapat kamu

simpulkan. Coba perhatikan jika )mendekati 0 dari kiri dan dari

kanan maka nilai r())akan mendekati 1, akan tetapi nilainya bukan 1 tetapi hampir

mendekati satu.

Berdasarkan ilustarsi intuitif dapatkah kamu memahami apa itu limit!,

mari kita coba melihat definisi mengenai limit berikut ini:

limG→= r()) = Õ artinya jika ) mendekati c maka r())mendekati Õ

Definisi

Page 205: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 95

Berdasar definisi dan pengkajian intiutif di atas dapat kita lihat

bahwa ada dua pihak nilai ) yang membuat nilai r()) yang mendekati Õ. Diamana ada nilai-nilai ) yang dari kiri dan nilai ) dari kanan.

Hal ini dapat disebut dengan limit sepihak. Untuk memahami limit

sepihak dapat kita pahami teorema berikut:

Berdasar kan teorema 1 dapat kita artikan bahwa jika ) mendekati

nilai 9 dari kiri maka r()) akan mendekati nilai Õ, begitu juga dengan

teorema 2 dapat kita artikan bahwa jika ) mendekati nilai 9 dari kanan

maka r()) akan mendekati nilai Õ

Setelah anda memahami definisi limit dan teorema limit sepihak

coba anda pikirkan apakah sebuah limit dapat terdefisi dan tidak dapat

terdefinisi. Agar dapat memahami hal tersebut coba pahami teorema

berikut ini:

Berdasarkan definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa mungkin

saja limit tidak dapat difenisikan yaitu apabila limit kiri dan limit

kann nya tidak sama

1. Limit kiri = limG→=× r()) = Õ 2. Limit kanan = limG→=Ù r()) = Õ

limG→=× r()) = limG→=Ù r()) = Õ → limG→= r()) = Õ limG→=× r()) ≠ limG→=∓ r()) = Õ → limG→= r()) = Õ tidak ada

Page 206: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 96

Setelah anda memahami pengertian dasar dari limit sekarang mari

kita

Memahami Pengkajian Mendalam tentang Limit

Untuk memahami masalah ini mari kita mulai dengan sebuah kasus. perhatikan r()) = )J + ) − 2) − 1

funngsi ini tidak didefinisikan di ) = 1, tetapi kita dapat melihat

perilaku nilai r() > 1) untuk ) yang dekat ke 1 baik dari arah kanan

maupun dari arah kiri () < 1) jadi r()) = GHIG3J(G34) = (G34)(GIJ)(G34) = () + 2), ) ≠ 1

tabel disamping ini dapat dilihat apa yang terjadi dengan nilai fungsi r jika mendekati 1 ) 0,9 0,999 0,9999 ... 1,0001 1,001 1,01 1 r()) 2,9 2,999 2,9999 ... 3,000,1 3,001 3,01 3 |) − 1| 0,1 0,01 0,001 ... 0,0001 0,001 0,01 0,1 |r()) − 3| 0,1 0,01 0,001 ... 0,0001 0,001 0,001 0,1

1. Jika jarak ) dengan 1 kurang dari 0,1 maka jarak r()) dengan

3 kurang dari 0,1

2. Jika jarak ‹ dengan 1 kurang dari 0,01 maka jarak r()) dengan

3 kurang dari 0,01

Dst

Page 207: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 97

Secara matematis dapat ditulis 0 < |) − 1| < 0,1 → |r()) − 3| < 0,1 0 < |) − 1| < 0,01 → |r()) − 3| < 0,01

0 < |) − 1| < 0,001 → |r()) − 3| < 0,001

Sehingga dapat dikatakan nilai r()) dapat didekatkan ke 3 asalkan

nilai ) diambil cukup dekat ke 1 dengan kata lain |r()) − 3| dapat

dibuat kecil asalakan jarak ) denga 1 cukup kecil, ) ≠ 1

Bilangan-bilangan yang cukup kecil adalah Û dan Ü Û = jarak r()) dengan 3 Ü = jarak r()) dengan 1

Maka dapat di tulis |r()) − 3| < Û asalkan 0 < |) − 1| < Ü

Kondisi ini menyatakan bahwa limit r()) untuk ) mendekati 1 adalah

3 ditulis limG→4 r()) = 3 7«7‹ limG→4 )J + ) − 2) − 1 = 3

Perhatikan bahwa

Nilai r()) dapat diambil ke L asalkan x dekat ke c, tidak perlu di c

Page 208: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 98

Dengan kata lain, jika jarak-jarak dengan c cukup kecil, ) ≠ 7 maka

jarak r()) dapat dibuat sekecil mungkin atau dapat ditulis : 0 < |) − 1| < Ü → |r()) − 3| < Û hal ini dapat di definisikan sebagai

berikut

Contoh 1

Perhatikan lah grafik berikut ini, berdasarkan permasalahan-

permasalah dan teorema-teorema dari limit analisa lah grfafik

berikut ini:

Berdasarkan grafik tersebut tentukan lah

a. r(−3) b. r(−1) c. periksalah apakah limÝ→34 f()) ada atau tidak

CONTOH SOAL

limG→= r()) = Õ 8q7«v 87ℎÞ7 ∀ Û > 0, ∃ Ü > 0 ∋ 0 < |) − 1| <→ |r()) − 3| < Û

1

2

Page 209: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 99

Penyelesaian

a. berdasarkan grafik di atas untuk ) = −3 berapakah nilai yang

ditunjukan oleh *, ya nilai * yang diperlihatkan adalah 1. Jadi

dapat kita simpukan bahwa hasil dari r(−3) =1

b. selanjutnya ntuk nilai ) = −1 berapakah nilai yang ditunjukan

oleh *

ya nilai yang ditunjukan oleh * adalah 1. Jadi dapat kita

simpulkan bahwa r(−1) = 1

c. selanjutnya pada soal nomor tiga bagaimanakah cara

menentukan limÝ→34 f()) ada atau tidak. Agar ini dapat

ditentukan tentu kita harus mengingat lagi teorema limit

sebelumnya. Bahwa limit dikatan ada jika nilai limitnya dari

kiri maupun dari kanan mendekati suatu nilai yang sama

misalkan sebuah nilai L. Nah sekarang coba anda periksa limit

kiri dan limit kanan dari permasalahan ter sebut.

Berdasarkan gambar di atas menurut kamu berapakah nilai

dari limÝ→34× f()) , coba perhatikan bahwa nilai limit dari kiri.Jika

kita

perhatikan nilai sepanjang nilai adalah 2. Jadi dapat kita

simpulkan bahwa limÝ→34× f()) = 2 nah selanjutnya bagaimanakah nilai dari limit kanan fungsi

tersebut apakah juga mendekati 2, juka dilihat dari grafik nilai

limit untu -1 dari kanan adalah 2 artinya adalah limÝ→34Ù f()) = 2 . berdasarkan analisa kita tersbut dapat kita

simpulkan bahwa limit kiri sama dengan limit kanan araninya

limit menuju -1 ada yitu 2 yang dapat kita lihat sebagai berikut: limÝ→34× f()) = 2 = limÝ→34Ù f()) = 2 = limÝ→34 f()) = 2

Page 210: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 100

Contoh 2

Buktikan lah bahwa limâ→Q(3) − 7) = 5

Berdasarkan permasalahan di atas yang apakah yang dapat kita

lakukan, jika pada permasalahan pada modul sebelumnya kita hanya

diminta menetukan nilai limitnya, pada modul ini kita diminta untuk

membuktikan limG→4( 3) − 7) = 5. Agar kamu dapat menyelesaikan

permasalahan ini ingat lah teorema atau definisi yang berkaitan

dengan permasalahan ini. Mari kita mengadakan analisis analisis

pendahuluan terlebih dahulu, mari tinjau permasalahan berikut:

Analisis pendahuluan

Misalakan Û bilangan positif (Û > 0) sembarang kita harus mengsilkan Ü > 0 ∋ 0 < |) − 4| < Ü → |(3) − 7) − 5| < Û

Padang |(3) − 7) − 5| < Û |3) − 12| < Û |3) − 12| < Û |3() − 4)| < Û 3|() − 4)| < Û |() − 4)| < Û

Nah sekarang coba perhatikan karena 0<|() − 4)| < Û → |() − 4)|<ãN, pilih Ü = ãN Berdasarkan analisis pendahuluan maka kita peroleh bukti formal

Kita pilih Û > 0, pilih Ü = ãN maka 0 < |) − 4| < Ü membawakan |(3) − 7) − 5| = |3) − 12| = |3) − 12| = |3() − 4)| = 3 |) − 4| < 3Ü =Û bearati |(3) − 7) − 5| < Û

Page 211: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 101

Latihan 1

Perhatikan lah grafik berikut ini dimana grafik yang sama pada

contoh soal berikut, berdasarkan permasalahan-permasalah dan

teorema-teorema dari limit analisa lah grfafik berikut ini:

Berdasarkan grafik tersebut tentukan lah

a. r(1) b. periksalah apakah limÝ→4 f()) ada atau tidak

Penyelesaian

a. berdasarkan grafik di atas untuk ) = 1 berapakah nilai yang

ditunjukan oleh *, ya nilai * yang diperlihatkan adalah 1. Jadi

dapat kita simpukan bahwa hasil dari r(1) =...

b. selanjutnya pada soal nomor tiga bagaimanakah cara

menentukan limÝ→4 f()) ada atau tidak. Agar ini dapat

ditentukan tentu kita harus mengingat lagi teorema limit

sebelumnya. Bahwa limit dikatakan ada jika nilai limitnya dari

kiri maupun dari kanan mendekati suatu nilai yang sama

misalkan sebuah nilai L. Nah sekarang coba anda periksa limit

kiri dan limit kanan dari permasalahan ter sebut.

LATIHAN TERBIMBING

2

1

Page 212: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 102

Berdasarkan gambar di atas menurut kamu berapakah nilai

dari limÝ→4Ù f()) , coba perhatikan bahwa nilai limit dari kiri

jika kita

perhatikan nilai sepanjang nilai adalah 2. Jadi dapat kita

simpulkan bahwa limÝ→4× f()) = ⋯ nah selanjutnya bagaimanakah nilai dari limit kanan fungsi

tersebut apakah juga mendekati 2, juka dilihat dari grafik nilai

limit untu -1 dari kanan adalah 2 artinya adalah limÝ→4Ù f()) =. .. berdasarkan analisa kita tersbut dapat kita

simpulkan bahwa limit kiri sama dengan limit kanan araninya

limit menuju -1 ada yitu 2 yang dapat kita lihat sebagai

berikut: limÝ→4× f()) = ⋯ = limÝ→4Ù f()) = ⋯ = limÝ→4 f()) = ⋯

Latihan 2

Buktikan bahwa

limG→N )J − 2) − 3) − 3 = 4

penyelesaian

Analisis pendahuluan

Berdasarkan permasalahan di atas yang apakah yang dapat kita

lakukan, jika pada permasalahan pada modul sebelumnya kita hanya

diminta menetukan nilai limitnya, pada modul ini kita diminta untuk

membuktikan

Page 213: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 103

limG→N )J − 2) − 3) − 3 = 4

.Agar kamu dapat menyelesaikan permasalahan ini ingatlah teorema

atau definisi yang berkaitan dengan analisis pendahuluan yang harus

kita lakukan. mari tinjau permasalahan berikut:

Analisis pendahuluan

Misalakan Û bilangan positif (Û > 0) sembarang kita harus mengsilkan Ü > 0 ∋ 0 < |) − ⋯ | < Ü → | GH3JG3NG3N | < Û

Padang | )J − 2) − 3) − 3 | < Û

ä)J − 2) − 3 − 4() − 3)) − 3 ä < Û

ä)J − 2) − 3 − 4() − 3)) − 3 ä < Û

† …) − 3† < Û † …) − 3† < Û |() − 3)| < Û

Nah sekarang coba perhatikan karena 0<|() − 3)| < Ü → | GH3JG3NG3N −4| <Û pilih Ü = Û.

Nah setelah menyelesaikan analisis pendahuluan coba kontruksi

analisis formal berikut ini

Page 214: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 104

1. misalkan f didefinisikan oleh grafik

å ) + 5 , wvfl7 ) < −3 9 − )J , wvfl7 − 3 ≤ ) < 35 − ) , wvfl7 3 < )

Berdasarkan analisa terhadap fungsi di atas coba kamu

gambarkanlah grafik nya

Setelah kamu menganalisa grafik fungsi tersebut selesaikan

masalah berikut ini

a. Tentukanlah limit di bawah ini ada atau tidak limG→3N r()) b. Tentukanlah limG→N r())

LATIHAN MANDIRI

Page 215: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 105

2. limG→34(3) + 2) = −3

3. limG→N() − 5) = −2

4. limG→J(3) + 2) = 8

Penyelesaian

Page 216: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 106

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 217: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 107

Kegiatan Belajar

Teorema-Teorema pada Limit dan Kekontiniuan

Setelah anda memahami tentang pengertian limit dan pemahaman

mendasar tentang limit, sekarang mari kita pahami tentang teorema-

teorema dasar tentang limit

URAIAN MATERI

1

misalkan fungsi r dan s mempunyai limit di 9 maka ∶ 1. limG→= r()) = Õ dan limG→= r()) = ©, maka Õ = © 2. limG→= ç = ç , ç suatu konstanta 3. limG→= ) = 9 4. limG→= fl r()) = fl dan limG→= r()) 5. limG→= [ r()) + s())] = limG→= r()) + limG→= s()) 6. lim G→=[ r()) − s())] = limG→= r()) − limG→= s()) 6. lim G→=[ r()). s())] = limG→= r()). limG→= s())

7. lim G→= èr())s())é = limG→= r()).limG→= s()) , limG→= s()) ≠ 0

8. limG→= (r()))â = (limG→= r()))â

9 limG→= r())ê = ëlimG→= r())ê

10. 7. jika lim G→= r()) = Õ maka limG→=|r())| = |Õ| b. jika limG→=|r())| = 0 maka jika limG→= r()) = 0

Page 218: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 108

Setelah anda mempelajari tentang beberapa teorema tentang limit

sekarang mari kita pelajari tentang teorema kekontiniuan. Menurut

kamu apakah yang dimaksud dengan kekontiniuan!. Dari asal

bahasanya kontiniu berarti berkesinambungan. Coba perhatikan

gambar grafik berikut mari analisa manakah grafik yang kontiniu

Gambar 1

Gambar 2

Page 219: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 109

c

f

Gambar 3

Berdasarkan gambar di atas manakah gambar grafik fungsi yang

merupakan fungsi yang kontiniu!!. Ya benar grafik pada Gambar 3

adalah grafik yang menunjukan kontiniu, nah sekarang coba kamu

perhatikan antara Grafik 1, Grafik 2 dan Grafik 3. Dari ektiga grafik

tersebut dimanakah letak perbedaanya?. Perbedaannya adalah pada

Garbar 1 jelas terlihat barwa nilai yang mendekati suatu titik

berbeda dari kiri dengan dari kanan. Sedangkan pada Gambar 3 ada

bulatan yang kosong dan ada bulatan yang penuh. Hal ini artinya

adalah limit nya tidak sama dengan nilai fungsinya. Berdasarkan

analisa yang kamu lakukan besakah kamu memprediksi apakah

syarat dari fungsi dikatakan kontiniu jika dikaitkan dengan limit

Sekarang mari pahami syarat suatau fungsi f dikatakan kontiniu

Agar anda lebih memahami beberapa teorema tentang limit dan

definisi dari kekontiniuan mari pahami beberapa latihan terbimbing

berikut

1. limG→= r())ada 2. r(9)ada 3. limG→= r()) = r(9)

Page 220: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 110

Contoh 1

Sederhanakanlah bentuk limit berikut ini: limâ→ì )J + 7) − 5

Penyelesaian:

Berdasarkan masalah di atas bagaimanakah cara menyelesaikan limit

tersebut. Mari ingat lagi teorema-teorema tentang limit. Hal yang

dapat dilakukan adalah

limâ→ì )J + 7) − 5 = limâ→ì )J + limâ→ì 7) − limâ→ì 5 = 3J + 7.3 − 5 = 9 + 21 − 5 = 25

Contoh 2

Jika diketahui suatu fungsir()) = GH3 QG3J , tidak kontiniu di ) = 2

bagaimana agar fungsi tersebut terdefini di ) = 2

Penyelesaian :

Perhatikanlah penyelesaian berikut ini:

limG→J r()) = limG→J )J − 4) − 2

= lim G→J () − 2)() + 2)) − 2

= lim G→J() + 2) = 4

Jadi dapa disimpulkan agar r()) kontiniu di ) = 2 disefinisikan r()) = 4

CONTOH

Page 221: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 111

Latihan 1

Jika diketahui suatu fungsir()) = GH3 NG3N , tidak kontiniu di ) = 3

bagaimana agar fungsi tersebut terdefini di ) = 3

Penyelesaian :

Perhatikanlah penyelesaian berikut ini:

limG→N r()) = limG→N )J − …) − ⋯

= lim G→⋯ () − ⋯ )() + ⋯ )) − ⋯

= lim G→⋯() + 3) = 6

Jadi dapa disimpulkan agar r()) kontiniu di ) = ⋯ disefinisikan r()) =

Sederhanakanlah bentuk limit berikut:

1. limG→N ë(G)OIJGIN(G)HIR

2. limG→N GO3JƒG3N

3. limG→Q √G3JG3Q

4. ℎ(«) = í îO3Tî3J , « ≠ 2 12 , « = 2 apakahℎ(«) kontiniu?

LATIHAN TERBIMBING

LATIHAN MANDIRI

Page 222: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 112

Penyelesaian

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Page 223: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 113

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 224: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 114

TURUNAN

Pendahuluan

Apa itu turunan? Bagaimana menghitung turunan? Jika Anda

ingin mengetahui apa turunan itu dan bagaimana menghitungnya,

maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada modul pertama ini

terdiri atas empat kegiatan belajar. Pada kegiatan belajar pertama

akan diuraikan dua masalah satu tema, turunan, pada kegiatan

belajar kedua aturan pencarian turunan, turunan fungsi trigonometri,

pada kegiatan belajar ketiga aturan rantai, turunan tingkat tinggi,

diferensial implisit, dan pada kegiatan belajar empat laju terkait,

diferensial dan aproksimasi.

Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-

materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-

modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat

dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-

modul berikutnya.

Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini

diharapkan Anda dapat

memahamidanmenggunakankonsepturUnanserta Khususnya,

diharapkan Anda dapat:

1. Melalui diminta mensketsa suatu kurva, melalui kurva tersebut

mahasis wa memahami pengertian gradien garissinggung dan

kecepatan sesaat yang dikaitkan dengan turunan.

2. Mahasiswa menentukan turunan suatu fungsi menggunakan

definisi.

Page 225: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 115

3. Mahasiswa menentukans yarat suatu fungsi dapat diturunkan

baik melalui analisis maupun grafik.

4. Diberikan beberapa aturan mencari turunan, mahasiswa

diminta menentukan turunan berbagai fungsi.

5. Mahasiswa menentukan turunan menggunakan aturan rantai.

6. Dengan menggunakan kurva mahasiswa dapat memahami

pengertian turunan Leibniz.

7. Diberikan fungsi, mahasiswa mencari turunan tingkat tinggi

suatu fungsi.

8. Mahasiswa menyelesaikan persamaan diferensial

menggunakan pendiferensialan implisit.

Page 226: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 116

Kegiatan Belajar

DUA MASALAH SATU TEMA

DUA MASALAH SATU TEMA

Kemiringan Garis Singgung

Perhatikan bahwa pada grafik berikut ℎ menyatakan suatu perubahan

nilai ). Tali busur »¿ (secant line) kemiringannya diberikan oleh ïð = r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

h

))(,( hcfhcQ

))(,( cfcP

)()( cfhcf

x

y

c hc

Anggaplah » tetap, dan ¿ bergerak sepanjang kurva menuju », jadi ¿

mendekati ». Hal ini setara dengan menyatakan ℎ mendekati nol.

Jika hal ini terjadi, tali busur itu berputar mengelilingi titik tetap ».

Maka posisi limit inilah yang diinginkan sebagai garis singgung

(tangent line) pada grafik di», yaitu pada saat ℎ mendekati nol.

URAIAN MATERI

1

Page 227: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 117

Sehingga kemiringan garis singgungpada grafik r di titik »E9, r(9)Fdapat didefinisikan dengan î;â = limñ→ª òó= = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

Kecepatan Sesaat

Masih ingatkah Anda tentang kecepatan? Coba perhatikan gambar di

bawah ini!

Gambar tersebut memperlihatkan seorang pembalap yang sedang

bertanding, kira-kira berapa kecepatan rata-rata yang ditempuh

pembalap tersebut pada waktu tertentu?. Bagaimana Anda mencari

kecepatan rata-rata pembalap tersebut? Coba ingat lagi definisi

kecepatan rata-rata yang pernah Anda pelajari di sekolah

menengah. Ya, kecepatan rata-rata itu sama dengan selisih jarak

dibagi dengan selisih waktu.

Nah sekarang coba misalkan waktu pada saat pembalap

tersebut start adalah «4 dan misalkan waktu pada saat pembalap pada

posisi tertentu dengan«J. Kemudian, misalkan posisi pembalap pada

saat «4 adalah )4 dan posisi pada saat «J adalah )J.

Page 228: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 118

Berdasarkan ilustrasi di atas bagaimana cara menentukan

kecepatan pembalap yang bergerak dari )4 pada saat «4 menuju )J pada saat «J.

Jika mobil bergerak dengan selisih waktu yang sangat kecil, maka

kecepatan rata-rata pada limit ∆« mendekati nol adalah

yang didefinisikan sebagai kecepatan sesaat.

Definisi (kecepatan sesaat)

Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi

posisi r(«), maka kecepatan sesaat pada saat 9 adalah

asalkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞.

õ = )J − )4«J − «4 = ∆)∆«

õ = lim∆î→ª ∆)∆«

õ = limñ→ª õ;î;3;î; = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

)4 )J

Page 229: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 119

Turunan

Sebelum ini telah dipelajari mengenai kemiringan garis singgung dan

kecepatan sesaat, keduanya merupakan manifestasi dari pemikiran

dasar yang sama. Untuk itu perlu digunakan pengertian matematis

guna mendefinisikan dua hal tersebut. Turunan merupakan nama

netral yang telah disepakati.

Definisi(Turunan)

Turunan fungsi r adalah fungsi lain r′ yang nilainya pada sebarang

bilangan 9 adalah rù(9) = úvℎ → 0 r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

asalkan limit ada

Bentuk-bentuk setara untuk turunan

h

))(,( hcfhc

))(,( cfc

)()( cfhcf

x

y

c hc

rù(9) = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

rù(9) = lim→ª r(9 + ¢) − r(9)¢

Tidak ada yang keramat tentang penggunaan ℎ dalam mendefinisikan rù(9). Artinya ℎ boleh saja diganti dengan variabel lain, misalnya

Page 230: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 120

cx

))(,( xfx

))(,( cfc

)()( cfxf

x

y

c x

Teorema (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kontinuitas)

Jika r′(9) ada, maka r kontinu di 9

Artinya , jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di

suatu titik, maka kurva tersebut tidak dapat melompat atau sangat

berayun di titik tersebut.

Notasi Leibniz

Perhatikan gambar berikut

x

))(,( xxfxx

))(,( xfx

y

x

y

x x

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, kemiringan garis sekan

akan mendekati garis singgung ketika ∆) → 0, untuk kemiringan garis

singgung digunakan lambang

rù(9) = limG→= r()) − r(9)) − 9

Berdasarkan gambar di samping turunan dapat juga ditulis dalam bentuk

Page 231: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 121

?*?) = lim∆G→ª Δ*Δ) = lim∆G→ª r() + Δ)) − r())Δ) = r′()) Gottfried Wilhelm Leibniz menyebut

>U>G suatu hasil bagi dua bilangan

yang sangat kecil. Disini kita akan menggunakannya sebagai

lambang untuk turunan. Lambang-lambang turunan yang setara

dengan itu adalah *ù = ŒG* = rù()) = ?*?)

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di

bawah ini

Contoh 1

Carilah kemiringan garis singgung kurva r()) = 2)J − 1, pada saat 9 = 2.

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi, maka î;â = limñ→ª r(2 + ℎ) − r(2)ℎ

= limñ→ª (2(2 + ℎ)J − 1) − (2(2)J − 1)ℎ

= limñ→ª (8 + 8ℎ + 2ℎJ − 1) − 7ℎ

= limñ→ª ℎ(8 + 2ℎ)ℎ = 8 + 2(0) = 8

Jadi, kemiringan garis singgung kurva r()) pada saat 9 = 2 adalah 8.

Contoh 2

CONTOH SOAL

Page 232: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 122

Nanda kepasar membeli sayur dengan mengendarai sepeda motor.

Jarak pasar dengan rumah Nanda50 km. Berapa kecepatan rata-rata

dan waktu (dalam jam) yang mungkin?

Penyelesaian :

Berdasarkan soal di atas apa saja informasi yangAnda peroleh?, ya

benar yang diketahui dari soal adalah: ∆) = 50 km, dengan )4 =0 dan)J = 50 km.

Menurut anda apakah yang akan kita cari?.

Tentukan õ dan «(jam)yang mungkin yang dibutuhkan Nanda untuk

menempuh jarak 50 km.

Berdasarkan informasi dan yang ditanya dari soal di atas strategi

apakah yang mungkin Anda lakukan untuk menyelesaikankannya.

Mungkin kah Anda memikirkan bahwa penyelesaian soal di atas

dapat dilakukan dengan mencoba-coba atau try and error?, mungkin

saja hal itu dapat dilakukan, coba ingat kembali bahwa kecepatan

rata-rata adalah selisih jarak dibagi dengan selisih waktu, ingatlah

bahwa «4 = 0 dan)4 = 0, sehingga bentuk kecepatan rata-rata yang

sudah kita pelajari sebelumnya dapat berubah menjadi õ = GHîH = Gî, sehingga ) = õ x «, jika demikian bisakah anda memberikan solusi

yang mungkin untuk menyelesaikan masalah tersebut?, tentunya

anda akan memikirkan perkalian berapa angka-angka apasajakah

yang akan menghasilkan 50 km, ayo......!!!!! coba sebutkan salah satu

jawaban yang mungkin!, ya benar sekali salah satu jawaban yang

mungkin adalah jikakecepatan Nandaõ = 25 km jamþ maka waktu yang

dibutuhkan Nanda adalah « = 2 jam, sekarang coba sebutkan lagi

kemungkinan lainnya....ya benar jika kecepatan Nandaõ = 50 km jamþ

maka waktu yang dibutuhkan Nanda adalah « = 1 w7, nah hal ini

dapat anda lakukan sampai semua kemungkin dapat ditemukan.

Page 233: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 123

Contoh 3

Diketahui r()) = )N + 2)J. Carilah r′(−1) Penyelesaian :

Berdasarkan definisi rù(−1) = limñ→ª (9 + ℎ)N + 2(9 + ℎ)J − (9N + 29J)ℎ

= limñ→ª (−1 + ℎ)N + 2(−1 + ℎ)J − ((−1)N + 2(−1)J)ℎ

= limñ→ª −1 + 3ℎ − 3ℎJ + ℎN + 2ℎJℎ

= limñ→ª ℎ(ℎJ − ℎ − 1)ℎ = −1

Jadi, rù(−1) = −1

Latihan 1

Carilah gradien garis singgung kurva r()) = )J + 2) − 2 pada ) = −1; 0; 1,5; dan 2 untuk ) = 9

Penyelesaian : î;â = limñ→ª [() + ℎ)J + 2( … + ℎ) − (… ) − ()J + … − 2)ℎ

= limñ→ª ℎ

= limñ→ª ℎ

= limñ→ª ℎ = … + 2

Untuk ) = −1, = …

Untuk ) = 0, = …

Untuk ) = 1,5, = …

LATIHAN TERBIMBING

Page 234: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 124

Untuk ) = 2, = …

Jadi gradien garis singgung kurva r()) pada ) = −1; 0; 1,5; dan 2

berturut-turut adalah ... , ... , ... , dan ...

Latihan 2

Misalkan sebuah benda bergerak di sepanjang garis koordinat,

sehingga jarak berarahnya dari titik asal setelah « detik adalah √2« + 1

a. Cari kecepatan sesaat pada « = ÿ, ÿ > 0

b. Kapan benda itu akan mencapai kecepatan 4J jam/detik

Penyelesaian :

a. Misalkan jarak berarah dengan ), yakni ) = √2« + 1

Kecepatan sesaat diperoleh dari turunan pertama fungsi jarak

Maka diperoleh õ = 4√…..I4 jam/detik

Sehingga kecepatan sesaat pada saat « = ÿ adalah õ =⋯ jam/detik

b. Dari jawaban (a) diperoleh kecepatan sesaat setelah « detik

adalah 4√JŠI4

Jadi, kita harus menyelesaikan persamaan 4J = 4√JŠI⋯

Sehingga diperoleh ÿ = ⋯ detik

Latihan 3

Limit yang diberikan berikut adalah suatu fungsi limñ→ª 4(3 + ℎ)J − 4(3)ℎ

Tentukan fungsi apa dan di titik mana ?

Page 235: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 125

Penyelesaian :

Diketahui bahwa turunan dari suatu fungsi rdidefinisikan oleh rù(9) = úvℎ → 0 r(9 + ℎ) − r(9)ℎ

Dengan melihat bentuk limit yang diberikan dapat disimpulkan bahwa rù(9) = … , dengan 9 = …

Latihan 1

Carilah persamaan garis singgung kurva * = 3 sin 2) di titik ÏÔJ , 0Ð

Penyelesaian

Latihan 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu X sehingga posisinya

diberikan oleh ) = 5«J + 1, ) dalam meter dan « dalam detik.

Hitunglah kecepatan rata-ratanya dalam selang waktu antara

LATIHAN MANDIRI

Page 236: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 126

d. 2 detik dan 3 detik

e. 2 detik dan 2,1 detik

f. 2 detik dan 2,001 detik

g. 2 detik dan 2,00001 detik

h. Kecepatan sesaat pada 2 deti

Penyelesaian

Latihan 3

Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan dari r(«) =2√« + 2«

Page 237: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 127

Penyelesaian

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Page 238: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 128

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 : * = −6) + 3Î

Latihan 2 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10« Latihan 3 :

4Ô + 2

Latihan 4 :

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 239: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 129

Kegiatan Belajar

Aturan Pencarian Turunan dan Turunan Fungsi Trigonometri

Aturan Pencarian Turunan

Teorema (Aturan pencarian turunan)

1. Jika r()) = fl, fl adalah konstanta maka untuk sebarang ), rù()) = 0. Jadi Œ(fl) = 0

2. Jika r()) = ), maka rù()) = 1. Jadi Œ()) = 1

3. Jika r()) = )â, bilangan positif maka rù()) = )â34.Jadi Œ()â), )â34 4. Jika fl suatu konstanta dan r fungsi terdiferensialkan maka (flr)()) = flr′()) 5. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r + s)ù()) =rù()) + s′()).Jadi Œ[r()) + s())] = Œ[r())] + Œ[s())] 6. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r − s)ù()) =rù()) − sù()). Jadi Œ[r()) − s())] = Œ[r())] − Œ[s())] 7. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r ∙ s)ù()) =rù())s()) + r())sù()). Jadi Œ[r()) ∙ s())] = Œ[r())] ∙ s()) + r()) ∙Œ[s())] 8. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan dan s()) ≠ 0 maka ϵÅÐù ()) = µŸ(G)∙Å(G)3µ(G)Åù(G)[Å(G)]H . Jadi Œ ϵÅÐ = Å(G)Ž[µ(G)]3µ(G)Ž[Å(G)][Å(G)]H

URAIAN MATERI

2

Page 240: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 130

Turunan Fungsi Trigonometri

Teorema

1. ŒG(sin )) = cos )

Bukti

Untuk memperlihatkan bahwa sinus mempunyai turunan

digunakan kesamaan trigonometri sin() + ℎ) = sin ) cos ℎ + cos ) sin ℎ

dan juga teorema limñ→ª 1 − cos ℎℎ = 0

limñ→ª sin ℎℎ = 1

maka rù()) = limñ→ª sin() + ℎ) − sin )ℎ

= limñ→ª sin ) cos ℎ + cos ) sin ℎ − sin )ℎ

= limñ→ª sin ) cos ℎ − sin )ℎ + limñ→ª cos ) sin ℎℎ

= limñ→ª − sin ) (1 − cos ℎ)ℎ + limñ→ª cos ) sin ℎℎ

= − sin ) limñ→ª (1 − cos ℎ)ℎ + cos ) limñ→ª sin ℎℎ = − sin ) . (0) + cos ) . (1) = cos )

2. ŒG(cos )) = − sin )

Bukti

Untuk memperlihatkan bahwa cosinus mempunyai turunan

digunakan kesamaan trigonometri cos() + ℎ) = cos ) cos ℎ + sin ) sin ℎ

rù()) = limñ→ª cos() + ℎ) − cos )ℎ

Page 241: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 131

= limñ→ª cos ) cos ℎ − sin ) sin ℎ − cos )ℎ

= limñ→ª cos ) cos ℎ − cos )ℎ − limñ→ª sin ) sin ℎℎ

= limñ→ª − cos ) (1 − cos ℎ)ℎ − limñ→ª sin ) sin ℎℎ

= − cos ) limñ→ª (cos ℎ − 1)ℎ − sin ) limñ→ª sin ℎℎ = − cos ) . (0) − sin ) . (1) = sin )

3. ŒG(tan )) = secJ )

Bukti

Karena tangen merupakan hasil pembagian antara sinus dan

cosinus, maka ŒG(tan )) = ŒG |sin )cos )~

dengan menggunakan aturan pendiferensialan (8) diperoleh ŒG(tan )) = cos ) cos ) + sin ) sin )cosJ )

= cosJ ) + sinJ )cosJ )

= 1cosJ ) = secJ )

Pembuktian nomor 4, 5, dan 6 dijadikan latihan untuk Anda.

4. ŒG(sec )) = sec ) tan )

5. ŒG(cot )) = − cscJ )

6. ŒG(csc )) = − csc ) cot )

Page 242: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 132

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di

bawah ini

Contoh 1

Carilah ŒG* dari

a. * = ¢)J

b. * = 3)Q − )34ª c. * = JG − 5)3J d. * = )()J − 3) e. * = GGI4

Penyelesaian

a. ŒG* = 2¢)J34 = 2¢) (aturan pangkat, (3))

b. ŒG* = 12)N + 10)344 (aturan pangkat, (3))

c. * dapat diubah menjadi bentuk * = 2)3Q − 5)3J, sehingga ŒG* = −8)3R + 10)3N (aturan pangkat, (3))

d. ŒG* = ŒG()). ()J − 3) + ). ŒG()J − 3) = (1)()J − 3) + )(2)) =()J − 3) + 2)J = 3)J − 3 (aturan hasil kali, (7))

e. ŒG* = Žš(G).(GI4)3G.Žš(GI4)(GI4)H = (4)(GI4)3(G)(4)(GI4)H = 4(GI4)H (aturan hasil

bagi, (8))

Contoh 2

Carilah r′ dari fungsi yang diberikan berikut ini

a. r()) = )J cos )

b. r()) = ™ž0 G43J !™ G Penyelesaian

a. r()) = )J cos ) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan

penyelesaian turunan (yaitu aturan hasil kali, (7)), maka

CONTOH SOAL

Page 243: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 133

rù()) = ŒG()J) ∙ cos ) + )J ∙ ŒG(cos )) = 2) cos ) + )J(− sin ))= 2) cos ) − )J sin )

b. r()) = ™ž0 G43J !™ Gdapat diselesaikan dengan menggunakan aturan

penyelesaian turunan (yaitu aturan hasil bagi, (8)), maka rù()) = ŒG(sin )) ∙ (1 − 2 cos )) − sin ) ∙ ŒG(1 − 2 cos ))(1 − 2 cos ))J

= (cos )) (1 − 2 cos )) − (sin ))(2 sin ))(1 − 2 cos ))J

= cos ) − 2 cosJ ) − sinJ )(1 − 2 cos ))J

= cos ) − 2 (cosJ ) + sinJ ))(1 − 2 cos ))J

= cos ) − 2(1 − 2 cos ))J

Latihan 1

Carilah ŒG* dari

a. * = √2)

b. * = ÔGH c. * = (3) − 2)() + 1) d. * = GHIJGIR

Penyelesaian :

a. * = √2) setara dengan bentuk * = ⋯ ) H, sehingga ŒG* = ⋯ )…

b. * = ÔGH = Î)3J, maka ŒG* = −2 … )…

c. Dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh ŒG* = 3() + 1) + ( … − . . . )(1) = … … … … ….

LATIHAN TERBIMBING

Page 244: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 134

d. Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh ŒG* = ŒG()J + 2) ∙ (… + … ) − ()J + 2) ∙ ŒG(… + … )(… + … )J = … … … … … … … … … … … … … … … …. = … … … … … … … … … … … … … … … …. = … … … … … … … … … … … … … … … …. Latihan 2

Buktikan bahwa ŒG(sec )) = sec ) tan )

Penyelesaian : ŒG(sec )) = ŒG | 1cos )~

= ŒG(1) ∙ (… … … ) − (… ) ∙ ŒG(… … … )cosJ ) = … …cosJ )

= …cos ) ∙ sin )… … = sec ) tan )

Latihan 1

Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan berikut ini

a. r(«) = ΫQ + 10«J − 2«3H b. s()) = JRG − 4QG c. s()) = (3)J − 4))()N + 2) − 1) d. ℎ(«) = JGI4GIR (3) − 1)

LATIHAN MANDIRI

Page 245: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 135

Penyelesaian :

Latihan 2

Jikar(2) = 5, rù(2) = 2, s(2) = −1, dan sù(2) = 3. Carilah

a. (r ∙ s)′(2) b. (r + s)′(2) c. (r/s)′(2)

Page 246: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 136

Penyelesaian :

Latihan 3

Carilah persamaan garis singgung kurva * = )Q − 6) yang tegak lurus

pada garis ) − 2* + 6 = 0

Page 247: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 137

Penyelesaian :

Latihan 4

Tinggiℎ dalam meter dari sebuah bola di atas tanah pada saat « detik

diberikan oleh ℎ = −10«J + 3« + 50.

a. Berapa kecepatan sesaat pada saat « = 3?

b. Kapan kecepataan sesaatnya 0?

Penyelesaian :

Page 248: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 138

Latihan 5

Tentukan turunan yang diberikan

a. ŒU(cot * csc *) b. >>U Ï4I™ž0 U43™ž0 UÐ

c. ŒG[() − sin ))() + cos ))] Penyelesaian :

Page 249: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 139

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 250: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 140

Kegiatan Belajar

Aturan Rantai dan Turunan Tingkat Tinggi

Aturan Rantai

Teorema(Aturan Rantai)

Misalkan * = r()) dan ) = s()) menentukan fungsi komposit * = rEs())F = (r ∘ s)()). Jika s terdiferensialkan di ) dan r

terdiferensialkan di ‹, maka r ∘ s terdiferensialkan di ) dan (r ∘ s)ù()) = rùEs())Fs′()) yakni ŒG* = ŒG*. ŒG-

atau ?*?) = ?*?‹ ?‹?)

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan dari suatu fungsi r akan menghasilkan suatu fungsi baru r′. Jika r′ diturunkan masih tetap menghasilkan fungsi lain yang

dilambangkan dengan rùù(dibaca r dua aksen) dan disebut turunan

kedua dari r. Jika diturunkan lagi disebut turunan ketiga dari r.

Turunan keempat dinyataakan dengan r(Q), turunan kelima

dinyatakan dengan r(R), dan seterusnya. * = r())

3

URAIAN MATERI

Page 251: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 141

*ù = rù()) = ?*?) = ŒG*

*ùù = rùù()) = ??) |?*?)~ = ?J*?)J = ŒGJ*

*ùùù = rùùù()) = ??) #?J*?)J$ = ?N*?)N = ŒGN*

*(â) = r(â)()) = ??) #?â34*?)â34$ = ?â*?)â = ŒG â*

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di

bawah ini

Contoh 1

Cariturunan yang ditunjukkan

a. ŒG(3)J + 2)M b. ŒG ÏGHI443G ÐJ

c. ŒG(cosJ 2)) Penyelesaian :

a. ŒG(3)J + 2)M = 6(3)J + 2)M34ŒG(3)J + 2) = 6(3)J + 2)R(6)) =36)(3)J + 2)R

b. ŒG ÏGHI443G ÐJ = 2 ÏGHI443G Ð ŒG ÏGHI443G Ð = 2 ÏGHI443G Ð %JG(43G)3(GHI4)(34)(43G)H & =2 ÏGHI443G Ð %EJG3JGHFI(GHI4)(43G)H & = 2 ÏGHI443G Ð ÏJG3GHI4(43G)H Ð = JEGHI4FEJG3GHI4F(43G)O

c. ŒG(cosJ 2)) = 2 cos 2) ŒG(cos 2)) = 2(cos 2))(− sin 2))ŒG(2)) =2(cos 2))(− sin 2))(2) = −4 sin 2) cos 2)

Contoh 2

Carilah r" dari masing-masing fungsi yang diberikan di bwah ini

a. r(«) = 2«J + 3« + 1

b. r(() = cosJ (

CONTOH SOAL

Page 252: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 142

Penyelesaian :

a. rù(«) = 4« + 3 rùù(«) = 4

b. rù(() = 2 cos ( Œ)(cos () = −2 cos ( sin ( r"(() = Œ)(−2 cos () ∙ sin ( + (−2 cos () ∙ Œ)(sin ()= −2sinJ ( − 2cosJ ( = −(sinJ ( + cosJ () = −1

Latihan 1

Carilah >U>G jika diketahui * = ÏGHI4 !™ GÐQ

Penyelesaian : ?*?) = 4 #)J + 1cos ) $N ŒG #)J + 1cos ) $

= 4 |… + …cos ) ~N è… (cos )) − ()J + 1)(… … … )… … … é =. … … … … … … … … … . … … … =. … … … … … … … … … . … … …

Latihan 2

Tentukan Œî[sinJ(sin(cos «))] Penyelesaian : Œî[sinJ(sin(cos «))] = 2 sin(sin(cos «)) Œî(… … …(… … … )) = 2 sin(sin(cos «)) cos(… … … ) Œî(cos «) = 2 sin(sin(cos «)) cos(… … … ) (… … … ) Latihan 3

Carir"(2) dari r(«) = Jî Penyelesaian : rù(«) = −2(… . ) r"(«) = … … … r"(2) = … … …

LATIHAN TERBIMBING

Page 253: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 143

Latihan 1

Carilah turunan yang ditunjukkan

1. *′ dimana * = *EJGP3JFOG3N ” 2. >U>î dimana * = [sin « tan(«J + 1)] 3. ŒG[)J cosN 4)]

Penyelesaian :

LATIHAN MANDIRI

Page 254: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 144

Latihan 2

Sebuah bus bergerak di sepanjang jalan mendatar menurut rumus Ë = 6« − «J.

a. Berapakah kecepatan õ(«) dan percepatan 7(«) bus tersebut?

b. Kapan bus bergerak ke kanan?

c. Kapan bus bergerak ke kiri?

d. Gambarkan sebuah diagaram skematis yang memperlihatkan

gerakan bus.

Penyelesaian :

Page 255: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 145

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 256: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 146

Kegiatan Belajar

Pendiferensialan Implisit dan Laju yang berkaitan

Pendiferensialan Implisit

Perhatikan persamaan berikut 2*J + * = )Q

Kita tidak dapat menyatakan * dalam bentuk ). Persamaan tersebut

mendefinisikan * sebagai fungsi implisit ). Dengan menganggap *

sebagai suatu fungsi yang tidak diketahui oleh ), yakni *()). Maka

persamaan di atas dapat ditulis sebagai 2*())J + *()) = )Q

Dengan mediferensisasi kedua ruas persamaan terhadap ) (dengan

menggunakan aturan rantai), diperoleh ??) (2*J) + ??) (*) = 4)N 4* ?*?) + ?*?) = 4)N ?*?) (4* + 1) = 4)N ?*?) = 4)N(4* + 1)

Metode yang seperti ini disebut pendiferensialan implisit.

4

URAIAN MATERI

Page 257: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 147

Laju yang berkaitan

Banyak masalah yang menyangkut laju perubahan dari dua atau lebih

peubah yang saling berkaitan terhadap waktu, dimana setiap peubah

tidak perlu dinyatakan langsung sebagai fungsi waktu. Sebagai

contoh, misalkan kita mempunyai persamaan yang melibatkan

peubah ) dan *, dan kedua peubah ) dan * merupakan fungsi dari

peubah ketiga «, dengan « satuan menyatakan waktu. Karena laju

perubahan dari ) terhadap «, dan laju perubahan * terhadap « berturut-turut diberikan oleh

>G>î dan >U>î, kedua ruas persamaan yang

diberikan dapat didiferensiasi terhadap « dengan menerapkan aturan

rantai.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di

bawah ini

Contoh 1

Cari >U>G dari )J − *J = 1 dengan menggunakan turunan implisit

Penyelesaian : ??) ()J) − ??) (*J) = ??) (1) 2) − 2* ?*?) = 0

−2* ?*?) = −2) ?*?) = )*

Contoh 2

Sebuah balon dilepas dari jarak 150 m dari seorang pengamat yang

berdiri di atas tanah. Jika balon naik lurus ke atas dengan laju 8 m/s.

CONTOH SOAL

Page 258: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 148

Seberapa cepat jarak antara balon dan pengamat bertambah pada

ketinggian 50 m?

Penyelesaian :

Dari soal diketahui >ñ>î = 8 /Ë dan yang akan dicari adalah

>òòî pada

saat ℎ = 50 . ËJ = ℎJ + (150)J Persamaan diatas turunkan secara implisit, sehingga diperoleh 2Ë ?Ë?« = 2ℎ ?ℎ?«

Ë ?Ë?« = ℎ ?ℎ?«

pada saat ℎ = 50 , ËJ = (50)J + (150)J Ë = √25000 = 50√10

menyebabkan (50√10) ?Ë?« = (50)(8) ?Ë?« = 8√10 = 45 √10 /Ë

Jadi, kecepatan jarak antara balon dan pengamat bertambah adalah QR √10 /Ë.

h(t) s(t)

Balon pengamat

Page 259: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 149

Latihan 1

Tentukan >U>G dari )* = 1

Penyelesaian :

Dengan memanfaatkan aturan pencarian turunan (7) dan turunan

rantai, diperoleh ?())?) * + (… ) ?*?) = 0

… + (… ) ?*?) = 0 ?*?) = − …)

Latihan 2

Rusuk kubus bertambah panjang dengan laju 3 9/?«fl. Berapa

kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 9?

Penyelesaian :

Misalkan volume dengan + dan rusuk . Dari soal diketahui bahwa >>î = … …

Akan dicari >,>î saat = 10 9.

Volume kubus + = … , maka ?+?« = 3(… ) ??« = … … = … …

Jadi, kecepatan pertambahan volume kubus adalah ...... 9N/?«fl.

LATIHAN TERBIMBING

Page 260: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 150

Latihan 1

Cari *" jika )J − 3* + 1 = 0

Penyelesaian :

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban

latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban

benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui

tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.

LATIHAN MANDIRI

Page 261: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 151

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 262: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 152

APLIKASI TURUNAN

Pendahuluan

Setelah kumu membahas turunan pada pertemuan sebelum

nya, sekarang mari kita pelajari bagaimana cara pengaplikasian

turunan tersebut kedalam soal-soal? Bagaimana menghitung

turunan? Jika Anda ingin mengetahui apa turunan itu dan bagaimana

menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada

modul pertama ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Pada kegiatan

belajar pertama akan diuraikan dua masalah satu tema, turunan, pada

kegiatan belajar kedua aturan pencarian turunan, turunan fungsi

trigonometri, pada kegiatan belajar ketiga aturan rantai, turunan

tingkat tinggi, diferensial implisit, dan pada kegiatan belajar empat

laju terkait, diferensial dan aproksimasi.

Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-

materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-

modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat

dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-

modul berikutnya.

Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini

diharapkan Anda dapat memahami dan menggunakan konsep

turUnanserta Khususnya, diharapkan Anda dapat:

1. Melalui diminta mensketsa suatu kurva, melalui kurva tersebut

mahasiswa memahami pengertian gradient garis singgung dan

kecepatan sesaat yang dikaitkan dengan turunan

Page 263: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 153

2. Mahasiswa menentukan turunan suatu fungsi menggunakan

definisi

3. Mahasiswa menentukan syarat suatu fungsi dapat diturunkan baik

melalui analisis maupun grafik

4. Diberikan beberapa aturan mencari turunan, mahasiswa diminta

menentukan turunan berbagai fungsi

5. Mahasiswa menentukan turunan menggunakan aturan rantai

6. Dengan menggunakan kurva mahasiswa dapat memahami

pengertian turunan Leibniz

7. Diberikan fungsi, mahasiswa mencari turunan tingkat tinggi suatu

fungsi

8. Mahasiswa menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan

pendiferensialan implicit

Page 264: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 154

Kegiatan Belajar

Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Nilai maksimum dan minimum fungsi

Definisi

a. r(9) adalah nilai maksimum r pada ß jika r(9) ≥ r()) untuk

semua ) di ß

b. r(9) adalah nilai minimum r pada ß jika r(9) ≤ r()) untuk

semua ) di ß

c. r(9) adalah nilai ekstrim r pada ß jika ia adalah nilai

maksimum atau nilai minimum

* = r())

*

) ß

URAIAN MATERI

1

Page 265: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 155

Perhatikan grafik fungsi r()) = )J, dengan Œµ = (−∞, ∞)

Nilai minimum dari r()) = )J adalah 0, sedangkan nilai maksimumnya

tidak ada.

Nah bagaimana Jika r()) = )J mempunyai daerah asal [−1,2], maka

diperoleh nilai maksimumnya 4 dan nilai minimum 0, yang dapat

dilihat pada grafik berikut

Grafik

10

8

6

4

2

-2

-5 5 10 15

f x = x2

Page 266: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 156

Bagaimana jika r()) = )J dengan daerah asal [−1,2)? Ya, nilai

maksimumnya tidak ada dan nilai minimum 0,yang dapat dilihat pada

grafik berikut

Gambar grafik

Dari kasus tiga kasus di atas, dapat disimpulkan:

Teorema Titik Kritis

Andaikan r didefinisikan pada selang ø yang memuat titik 9. Jika r(9) titik ekstrim, maka 9 haruslah suatu titik kritis, yakni 9 berupa salah

satu dari yang berikut ini

(i) Titik ujung ø, merupakan titik yang terletak pada ujung

interval.

(ii) Titik stasioner dari rù(9) = 0. Artinya terdapat suatu nilai 9

yang membuat turunan pertama dari r(9) sama dengan 0.

(iii) Titik singular dari rù(9) tidak ada. Artinya terdapat suatu

nilai 9 yang membuat turunan pertama dari r(9) tidak

terdefinisi pada bilangan rill.

“Jika r kontinu pada suatu selang tutup, maka r mempunyai nilai maksimum dan minimum”

Page 267: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 157

Kemonotonan dan Kecekungan

Grafik

Teorema Kemonotonan:

1. r naik pada titik ) = 9, jika rù()) > 0

2. rturun pada titik ) = 9, jika rù()) < 0

Teorema kecekungan

1. Jika r"()) > 0 maka r cekung ke atas

Jika r"()) < 0 maka r cekung ke bawah

Contoh 1

Diketahui fungsi s()) = 11 + )J , ø = [−2,1] Kenali titik kritis dan cari nilai maksimum dan minimum dari s()) Penyalesaian

Sebelum menentukan nilai maksimum dan minimum, terlebih dahulu

ditentukan kritis dari s()). 1. Titik ujung

Titik ujung dari s()) adalah pada ) = −2 dan ) = 1

2. Titik stasioner

Terjadi pada saat ) = 0

3. Titik singular

CONTOH SOAL

Page 268: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 158

Karena tidak terdapat nilai ) yang membuat s′()) tidak

terdefinisi pada bilangan riil, maka titik singular tidak ada.

Titik-titik kritis yang diperoleh adalah ) = −2, ) = 0, dan ) = 1.

Maka diperoleh s(−2) = 4R, s(0) = 1, s(0) = 4J . Nilai maksimum dari s()) adalah 1 dan nilai minimum adalah 4R.

Contoh 2

Seorang penduduk mempunyai 100 kawat berduri yang akan

dipakai membuat pagar identik yang berdampingan, berapa ukuran

seluruh kelilingnya agar luas maksimum?

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas dapat dibentuk suatu model

matematika:Persamaan untuk keliling pagar 3) + 2* = 100

sehingga * = 50 − NJ ).

Persamaan untuk luas pagar Õ = ) ∙ * = ) |50 − 32 )~ = 50) − 32 )J

y

x

Page 269: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 159

Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang ), maka 0 ≤ ) ≤ 4ªªN . Jadi

kita memaksimumkan Õ pada %0, 4ªªN &. Untuk mencari nilai maksimum,

harus dicari titik kritis.

1. Titik ujung ) = 0 dan ) = 4ªªN

2. Titik stasioner pada saat ) = RªN

3. Titik singular tidak ada

Berdasarkan titik-titik kritis yang didapat, diperoleh Õ(0) = 0, Õ Ï4ªªN Ð = 0, dan Õ ÏRªN Ð = 416, 67. Jadi nilai maksimum terjadi pada saat ) = RªN , dan * = 50 − NJ ÏRªN Ð = 25.

Contoh 3

Diketahui s()) = G4IGH . Tentukan dimana daerah naik dan turun.

Penyelesaian

Pertama tentukan turunan pertama dari s()). sù()) = 1 − )J(1 + )J)J Diperoleh titik pemecah ) = −1 dan ) = 1, kemudian masukkan titik

uji

s()) naik pada (−1,1) s()) turun pada (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

+ - -

-1 1

Page 270: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 160

Latihan 1

Diketahui fungsi s()) = )HP, ø = [−1, 32] Kenali titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum dari s()). Penyelesaian

Titik ujung dari fungsi tersebut adalah ) = −1 dan ) = ⋯

Titik stasioner terjadi pada saat ) = ⋯

Titik singular terjadi pada saat ) = 0

Jadi diperoleh nilai maksimum .... dan nilai minimum

Latihan 2

Perhatikanlah pemasalahan berikut ini r()) = )N − 6)J + 9) + 1 tentukanlah dimana fungsi tersebut naik dan

turun

Penyelesaian

Pertama Tentukan lah turuna rù()) = ⋯

Diperoleh titik ujinya ) = ⋯ dan ) = ⋯

Maka gambarkan lah grafiknya

LATIHAN TERBIMBING

Page 271: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 161

Maka diperoleh r()) naik pada ........ r()) turun pada ........

Latihan 1

Carilah maksimum dan minimum dari r()) = ) O + 4

Penyelesaian

LATIHAN MANDIRI

Page 272: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 162

Latihan 2

Diketahui r()) = 3)R − 5)N + 2. Tentukan

a. Daerah r naik

b. Daerah r turun

c. Daerah ekstrim

d. Daerah cekung ke atas

e. Daerah cekung ke bawah

f. Titik balik

Penyelesaian

Page 273: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 163

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 274: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 164

Kegiatan Belajar

Kemonotonan dan Kecekungan

Limit diketakhinggaan, limit tak hingga

Maksimum dan Minimum Lokal

Fungsi r dengan daerah asal ß = [7, 8] adalah nilai maksimum global.

Definisi:

1. r(9) disebut nilai minimum lokal jika r(9) nilai minimum pada [7, 8] ∩ ß.

2. r(9) disebut nilai maksimum lokal jika r(9) nilai maksimum

pada [7, 8] ∩ ß.

3. r(9) disebut nilai ekstrim lokal jika r(9) adalah nilai maksimum

lokal atau nilai minimum lokal.

a b d c

2

URAIAN MATERI

Page 275: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 165

Teorema (uji turunan pertama):

1. r(9) adalah maksimum lokal jika r′()) > 0, ∀) ∈ (7, 9) danr′()) < 0, ∀) ∈ (9, 8).

2. r(9) adalah maksimum lokal jika r′()) > 0, ∀) ∈ (7, 9) dan r′()) < 0, ∀) ∈ (9, 8). Teorema (uji turunan kedua)

1. r(9) nilai maksimum lokal jika r′′(9) < 0

2. r(9) nilai minimum lokal jika r′′(9) < 0

Limit diketakhinggaan, limit tak hingga

Apakah yang dimaksudkan dengan limit diketakhinggaan dan limit

tak hingga, untuk memahami kedua istilah tersebut mari kita pahami

permasalahan berikut ini:

Kita mulai memahaminya dari beberapa contoh, perhatikanlah

permaslahan berikut ini

limâ→ì 5) + 1) − 1

Masih ingatkah kamu bagai mana cara menyelesaikan limit tersebut,

ya trik untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah mebagi seluruh

elemen denganpangkat ) tertinggi , maka kita peroleh hasilnya

sebgai berikut

= lim â→ì 5)/) + 1/))/) − 1/)

= 5 + 01 − 0

= 5

Page 276: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 166

Selanjutnya mari selesaikan bentu soal berikut ini

limâ→ì 2)N − 3)J + 15)N − 6x + 1

Hal yang sama dapat kita lakukan pada bentuk di atas yaitu dengan

membagi sluruh pangkat dengan )N

= limâ→ì 2)N − 3)J + 15)N − 6x + 1

= lim â→ì 2)N/)N − 3)J/)N + 1/)N5)N/)N − 6x/)N + 1/)N

= lim â→ì 2 − 3/x + 05 − 6/)J + 0

= limâ→ì 2 − 0 + 05 − 0 + 0

= 25

Penyelesaian dari kedua contoh soal tersebut disebut dengan limit

diketakhinggaan

Selanjutnya bagaimanakah dengan limit tak hingga, perhatikanlah

contoh berikut:

Tentukan lah limit dari limG→JÙ ) + 1)J − 5) + 6

Page 277: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 167

Bagaimakah cara menyelesaikan limit tersebut mari kita analisa

bentuk limit tersebut limit tersebut dapat kita bentuk menjadi limG→JÙ ) + 1() − 3)() − 2)

Jika kita subtitusikan 2 maka tentu hasil nya adalah ∞ namun bernilai

negatif atau nilai positif, hal ini dapat kita tentukan dengan cara limG→JÙ ) + 1 = 3

limG→JÙ ) − 3 = −1

limG→JÙ ) − 2 = 0

Maka dari hasil analisa di atas kita peroleh

limG→JÙ GI4GH3RGIM = − ∞

Selanjutnya coba perhatikan lagi contoh berikut ini limî→NÙ 3 + «3 − «

Periksalah apakah hasil nya − ∞ atau ∞, jika kita perhatikan maka

kita peroleh limî→NÙ 3 − 3I = 0 , karena nol nya adalah mendekati negatif

Maka kita peroleh hasil

limî→NÙ NIîN3î = − ∞

Page 278: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 168

Nah bentuk dari soal-soal tersebut disebut limit ditak hingga

Selanjutnya mari kita pelajari tentang asimtot

Asimtot ada tiga macam

1. Asimtod tegak

2. Asimtod mendatar

3. Asimtot miring

Nah sekarang mari kita bahas masing-masing asimtod tersebut

Mari kita mulai dengan asimtod tegak

1. Garis ) = 9 disebut dengan asimtod tegak dari grafik * = r()) jika salah satu pernyataan berikut terpenuhi

2. Garis * = 8 adalah asimtod mendatar dengan * = r()) jika

memenuhi hal berikut ini:

7. lim G→ =Ù r()) = ∞ 8. lim G→ =Ù r()) = −∞ 9. lim G→ =× r()) = ∞ ?. lim G→ =× r()) = − ∞

7. limG→ì r()) = 8 8. limG→3ì r()) = 8

Page 279: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 169

3. Asimtot miring adalah garsis * = 7) + 8 disebut asimtod

miring jika limit tersebut memenuhi hal berikut:

Agar kita dapat lebih memahami bentuk-bentuk asimtod tersebut

mari kita coba memahami contoh soal berikut ini:

Contoh 1

jika r()) = )N − 3)J + 2, kenali titik kritis (a) uji turunan pertama, (b)

(jika mungkin) uji turunan kedua

Penyelesaian

Titik kritis

Titik stasioner: ) = 0, ) = 2

Uji turunan pertama r′()) > 0 dan r()) < 0 maksimum lokal di ) = 0 → r()) = 2 r′()) < 0 dan r()) > 0 maksimum lokal di ) = 2 → r()) = −2

Uji turunan kedua rùù()) = 6) − 6 = 0 rùù(0) = 6.0 − 6 = −6 (maks lokal) rùù(2) = 6.2 − 6 = 6 (min lokal)

Contoh 2

CONTOH SOAL

7. lim G→ì r())) = 7 8. lim G→ì(r()) − )) = 8

Page 280: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 170

Tentukan lah asimtod mendatar dan asimtod tegak untuk grafik

fungsi r()) = NGI4 Penyelesaian

a. berikut ini Berdasarkan permasalahan di atas apakah yang

harus kitalakukan!, untuk menetukan asimtod datar dari grafik

tersebut mari kita lihat penyelesaian di bawah ini lim G→34Ù r()) = lim G→34Ù 3) + 1 ∞

dan lim G→34× NGI4 = −∞

Dari bentuk tersebut maka kita peroleh asimtod datarnya

adalah

Garis ) = −1

b. Selanjutnya bagaimanakah dengan asimtod tegak dari fungsi

tersebut dapat kita lakukan dengan langkah

lim G→ì r()) = lim G→ì 3) + 1

= lim G→ì 3/))/) + 1/)

= 01 + 0

= 0

Berdasarkan analisa di atas maka kita peroleh asimtod

mendatar nya adalah * = 0

Page 281: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 171

Latihan 1

Tentukan lah asimtod mendatar, asimtod tegak dan asimtod miring

dari fungsi berikut ini:

r()) = () + 1)J)

Penyelesaian

a. berikut ini Berdasarkan permasalahan di atas apakah yang

harus kitalakukan!, untuk menetukan asimtod datar dari grafik

tersebut mari kita lihat penyelesaian di bawah ini lim G→3ªÙ r()) = lim G→3ªÙ () + 1)J) = ⋯

dan lim G→…× (GI4)HG = −∞

Dari bentuk tersebut maka kita peroleh asimtod datarnya

adalah

Garis ) = ⋯

b. Selanjutnya bagaimanakah dengan asimtod tegak dari fungsi

tersebut dapat kita lakukan dengan langkah

lim G→ì r()))J = lim G→ì () + 1)J)J

= lim G→ì )J + 2) + ⋯)J

= )J/)J + 2)/)J + ⋯)J/)J

LATIHAN TERBIMBING

Page 282: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 172

= 4IªI⋯4

= 1

Selanjut pada bagian kedua yaitu diperoleh

lim G→ì( r()) − )) = lim G→ì (GI4)HG -x

= lim G→ì )J + 2) + 1 − )J)

= lim G→ì 2) + 1)

= JG/GI4/GG/G = 2 + 01

= ......

Berdasarkan analisa di atas maka kita peroleh asimtod

miringnya adalah nya adalah * = ) + 2

LATIHAN MANDIRI

Page 283: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 173

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah

Page 284: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 174

Kegiatan Belajar

Penerapan dari aplikasi turunan

Penerapan dari aplikasi turunan

Berdasarkan uraian materi di atas kita dapat menggambarkan grafik

canggih dari suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut

Contoh 1

Gambar grafik canggih dari fungsir()) = )Q − 4)

penyelesaian

Agar kita mampu untuk menggambarkan grafik diatas maka kita akan

mengikuti langkah-langkah di atas

1. Periksalah daerah asal dan daerah hasil 2. Uji kesimetrian apakah dia fungsi genapa atau fungsi ganjil 3. Cari titik perpotongan dengan sumbu koordinat 4. Gunakan turunan pertama untuk mencari titikkritis, tempat naik dan

temapat turun 5. Uji titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal 6. Susun turnan kedua untuk menegtahui tempat grafik cekung ke ats

atau cekung kebawah dan untuk mengkondisikan titik balik 7. Cari asimtod

URAIAN MATERI

3

CONTOH SOAL

Page 285: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 175

1. Periksa lah daerah asal dan daerah hasil dari fungsi di atas,

dengan mengingat materi pada modul sebelumnya maka

daerah asal dari fungsi tersebut adalah ε = -

-µ = -

Titik ujung tidak ada

2. Periksalah kesimetrian dari fungsi tersebut r(−)) = (−))N − 4(−)) = −)N + 4) = −()N − 4)) = −r()) Berarti r()) adalah fungsi ganjil, yang mengakibatkan bahawa

fungsi simetri terhadap titik asala

3. Perpotongan dengan sumbu koor dinat

a. Titik potong dengan sumbu * , ) = 0, diperoleh r()) = ())N − 4()), dan jika disubtitusikan r(0) = (0)N − 4(0) = 0 maka * = 0 diperoleh titik potong (0,0)

b. Titk potong dengan sumbu ), * = 0, r()) = ())N − 4()), dan jika disubtitusikan 0 = ())N − 4()) ())N − 4()) = 0 )N − 4) = 0 )()J − 4) = 0 )() − 2)() + 2) = 0

Akan diperoleh titik potong nya adalah(0,0), (−2,0), (2,0) 4. Uji turunan pertama

Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah r ())ù = 3())J − 4

Selanjutnya kita tentukan titik kritis nya yaitu

Page 286: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 176

r ())ù = 0 3())J − 4 = 0

Maka diperoleh E√3) − 2F√3) + 2) = 0

r ())ù > 0 , r ())naik pada |−∞, − 23 √3~ ∪ |23 √3 , ∞~

r ())ù < 0 , r ())turun pada |23 √3, − 23 √3~

Titik stasioner nya di) = − JN √3 dan ) = JN √3

5. Uji titik kritis

Utuk menetukan nilai masimum lokal dan minimum lokal maka

kita menguji titik kapan dia max lokal dan kapan dia min lokal

Titik mak lokal jika r ())ù > 0 selanjutnya r ())ù < 0 yaitu di ) = − JN √3 maka r ()) = r Ï− JN √3Ð = (− JN √3)Q − 4(− JN √3) = 4MV √3

Titik min lokal r ())ù < 0 selajutnya r ())ù > 0 yaitu di ) = JN √3

Maka diperoleh r ÏJN √3Ð = (JN √3)Q − 4(JN √3 ) = - 4MV √3

6. Uji turunan kedua

Turunan kedua dari fungsi r ())ùù = 6) 6) = 0 ) = 0

−23 √3 23 √3

− + +

Page 287: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 177

Maka kita uji titik 0 pada garis bilangan untuk melihat tanda

dari daerah disekitar titik 0

r ())ùù > 0 , artinya grafik r ())cekung ke atas pada selang (0, ∞) r ())ùù < 0 , artinya grafik r ())cekung ke bawah pada selang (−∞, 0)

Selanjutnya titik balik dari grafik tersebut adalah r ())ùù = 0 6) = 0 ) = 0 r (0) = 0

Jadi titik balik adalah (0,0)

7. Asimtod 7. lim G→ =Ù r()) = ∞ (tidak ada) dan lim G→ =× r()) = −∞ (tidak ada) Maka tidak ada asimtod datar

b. lim G→ì r()) = 8 (tidak ada) maka asimtot tegak juga tidak ada

Maka dapat kita gambarkan grafiknya sebagai berikut:

Grafik

0

− +

Page 288: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 178

Contoh 2

Sebuah kontainer, volumenya = 72 N, panjangnya = 2 kali lebarnya

tentukan volume container tersebut agar bahan yang digunakan

sehemat-hematnya

Penyelesain

bagaimana cara menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus

mengingat kembali rumus volume dapat diilustrasikan pada sebuah

kotak berikut

Berdasarkan gambar dapat kita peroleh volume dari kontainer

adalah + = 2)J* = 72 maka diperoleh * = 36)J

2) )

*

Page 289: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 179

Pada soal yang menjadi pertayaan adalah pengunaan bahan

sehemat-hemat berarti yang akan kita tentukan adalah luas selubung

kontainer dimana dapat kita tentukan yaitu:

Õ = 2.2)J + 2)* + 2.2)* = 4)J + 2) 36)J + 4) 36)J

= 4)J + 216)J

Agar bahan sehemat-hematnya maksimum maka kita harus

menetukan Õù = 8) − 216)J = 0

= 8)N − 216)J = 0

)N = 2168 = 27

) = 3

Maka diperoleh Panjang = 6 m, lebar= 3 m, dan tinggi= 4 m

Page 290: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 180

Latihan 1

Sebuah kaleng susu berbentuk silinder , luasnya adalah 9429J

tentukan lah ukuran silinder agar isi silinder itu sebanyak-bnyaknya

Penyelesain

Nah untuk menyelesaikan nya maka kita harus mengingat kembali

rumus luas permukaan lingkaran yaitu: luas = 2ÎJ + 2Ϋ = 924 = ÎJ + Ϋ = ⋯

« = 462 − ÎJ…

Selanjutnya volume dari lingakaran adalah

+ = ÎJ« = ÎJ 462 − ÎJ… = 462 − ÎN Selanjutnya kita tentukan turunan pertamnya +ù = 462 − 3ÎJ= 0 J = ⋯ = ⋯

LATIHAN TERBIMBING

Page 291: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 181

Maka kita peroleh

« = 462 − ÎJ… = 462 − Î(7)J… = ⋯

1. gambarkanlah grafik dari h()) = GGI4 dengan terlebih dahulul

menentukan hal-hal berikut 7. daerah asal dan daerah hasil 8. kesimetrian 9. perpotongan sumbu koordinat ?. selang dimana h naik dan turun q. ektrim lokal r.selang dimana grafik h cekung ke atas dan cekung

kebawah ℎ. asimtod

2. Sebuah tangga sepanjang 20 dm bersandar didinding. Jika

ujung bawah tangga ditarik sepanjang lantai menjahui dinding

dengan kecepatan 2 dm/dt, seberapa cepat ujung atas tangga

bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga

sejauh 4 dm dari dinding

LATIHAN MANDIRI

Page 292: Penelitian Hibah Bersaing Stkip Final

Modul

Kalkulus 1 182

Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah

jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah

jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk

mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan

belajar.

Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%

Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:

90% - 100% = baik sekali

80% - 89% = baik

70% - 79% = cukup

< 70% = kurang

Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai

tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul

berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi

lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kunci Jawaban

Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah