LAPORAN TAHUNAN
HIBAH BERSAING
PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT
Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun
Dra. Hj. Husna, M.Si / 0014096401 ( Ketua ) Anny Sovia, S.Si., M.Pd/1022058702 (Anggota ) Rahima, S.Si., M.Pd/1031058602 (Anggota ) Yulyanti Harisman, S.Si., M.Pd/1010078601 (Anggota)
Dibiayai Oleh DIPA KOPERTIS Wilayah X No.DIPA -023-04.2.532476 Tanggal
5 Desember 2012 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Hibah Bersaing Nomor: No. 0019/E5.2/PL/2012 Tanggal 3 Januari 2013
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI SUMATERA BARAT
OKTOBER 2013
ii
PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT
Oleh
Dra. Hj. Husna, M.Si., Anny Sovia, S.Si, M.Pd., Rahima, S.Si, M.Pd., Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd
RINGKASAN
Kemampuan matematis mahasiswa dapat dikembangkan melalui perkuliahan,
salah satunya adalah perkuliahan Kalkulus 1. Perkuliahan akan maksimal jika didukung
oleh bahan perkuliahan yang baik. Bahan perkuliahan yang baik adalah bahan
perkuliahan yang mampu memfasilitasi mahasiswa untuk memahami materi
perkuliahan. Selama ini bahan perkuliahan dalam pembelajaran Kalkulus 1 adalah buku
teks. Buku teks yang dipakai belum menggunakan bahasa yang komunikatif, sehingga
mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri dan kemampuan pemecahan masalah
masih rendah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu bahan perkuliahan yang dapat
memotivasi mahasiswa untuk belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan
pemecahan masalah, yakni berupa modul berbasis masalah. Tujuan penelitian ini adalah
mengembangkan modul berbasis masalah yang valid, praktis dan efektif pada mata
kuliah Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat.
Penelitian ini adalah penelitian pengembangan dengan menggunakan model 4D.
Tahapan yang dilakukan adalah define, design, develop, dan diseminate. Pada tahap
define dilakukan analisis silabus dan buku teks, mereviu literatur, serta wawancara
teman sejawat. Pada tahap design dilakukan perancangan buku kerja. Tahap develop
terdiri atas tahap validasi, praktikalitas, dan efektivitas. Setelah dirancang, buku kerja
divalidasi oleh 5 orang validator. Pada tahap praktikalitas, buku kerja diuji cobakan
kepada mahasiswa Progam Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat
yang mengambil mata kuliah Kalkulus 1. Kegiatan ini diamati oleh 2 orang observer.
Efektivitas buku kerja diamati bersamaan dengan tahap praktikalitas, aspek yang
diamati adalah aktivitas dan hasil belajar mahasiswa. Data dikumpulkan melalui lembar
iii
validasi, observasi, angket, dan wawancara, kemudian dianalisis secara deskriptif.
Tahap diseminasi adalah tahap penyebaran produk.
Pada laporan kemajuan ini hal-hal yang sudah dilakukan yaitu pada tahapan
difine, dan disain. Pada tahap define hal-hal yang sudah dilakukan adalah analisis
silabus, hasil dari analisis silabus diperoleh materi sudah sesuai dengan silabus,
wawacara dengan teman sejawat diperoleh informasi bahwa proses pembelajaran masih
berpusat pada guru dan mahasiswa malas belajar mandiri. Selanjutnya analisis buku
teks, buku teks yang dipakai adalah: Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg
Purcell Rigdom, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold, Kalkulus
Karangan Koko Martono diperoleh hasil bahwa bahasa buku teks belum sesuai dengan
kemampuan mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. Selanjutnya analisis buku yang berkaitan
dengan Pembuatan Modul dan pengkajian Materi tentang basis masalah. Pada tahap
perancangan Modul sudah divalidasi oleh satu validator dan masih pada modul satu
pada bab pendahuluan. Pada tahap selanjutnya modul ini akan divalidasi untuk bab 2
sampai bab 4 oleh tiga observer tambahan, dan di ujicobakan untuk melihat efektifitas
dan praktikalitas dari modul Kalkulus 1 tersebut. Selajutnya akan
disebarkan(desiminasi) pada mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. laporan ini sudah
diprosidingkan secara Nasional pada seminar di hall conventions unand.
iv
PRAKATA
Puji syukur diucapkan kepada Allah Swt. karena Berkat rahmatNya
Laporan Penelitian Hibah bersaing dapat diselesaikan tepat waktu. Laporan ini
diperoleh dari sebuah penelitian yang dilakukan selama delapan bulan dengan
Judul: PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA
PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT.
Selesainya laporan kerja sama ini berkat kerjasama dan bantuan berbagai
pihak. Untuk itu sekiranya ucapan terimakasih kami sampaikan kepada:
1. Bapak Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Jakarta.
2. Bapak Koordinator Kopertis Wilayah X Beserta Seluruh Staf di Padang.
3. Ibu Ketua STKIP PGRI SUMBAR di Padang.
4. Ibu Ketua UP3M STKIP PGRI SUMBAR.
5. Pimpinan Program Studi Pendidikan Matematika.
6. Rekan-rekan kerja di prodi Pendidikan Matematika, sebagai rekan diskusi
yang memberikan masukan dan kontribusi terhadap penelitian ini
Demikian laporan penelitian ini dibuat, dan besar harapan adanya kritikan
serta masukan guna kesempurnaan laporan dan rencana untuk penelitian
berikutnya.
Padang, September 2013
Tim Penyusun
v
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... i
RINGKASAN ............................................................................................ ii
PRAKATA ............................................................................................... iv
DAFTAR ISI ............................................................................................. v
DAFTAR TABEL ..................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................. viii
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................. ix
BAB 1. PENDAHULUAN ......................................................................... 1
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA .............................................................. 8
BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN ................................ 19
BAB 4. METODE PENELITIAN ............................................................ 21
BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................... 36
BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA .................................... 56
BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN ..................................................... 61
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 63
LAMPIRAN ............................................................................................. 65
vii
DAFTAR TABEL
Halaman
Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012....................... 2
Aspek Validasi Modul ............................................................................ 23
Indikator Praktikalitas dan Efektivitas Modul.......................................... 25
Kriteria Keberhasilan Aktivitas Belajar Mahasiswa ................................. 34
Kriteria Hasil Belajar Mahasiswa ............................................................ 35
Jawaban dan Skor Validasi ..................................................................... 34
Jawaban dan Skor Validasi ..................................................................... 57
Data Hasil Pengamatan Observer terhadap Aktivitas Mahasiswa ............ 60
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Kerangka Berpikir .................................................................................. 18
Alur Penelitian Tahun Pertama dan Kedua .............................................. 27
Diagram Alir Tahap Pendefinisian .......................................................... 39
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Instrumen Validasi Intrumen Validitas .................................................... 65
Lembar Validasi Modul Kalkulus 1 ........................................................ 69
Personalia Peneliti .................................................................................. 72
Draf artikel peserta yang mengikutu seminar nasional ............................. 86
Lembar observasi aktivitas (praktikalitas) ............................................... 94
Lembar Observasi Pelaksanaan Perkuliahan(efektifitas) .......................... 96
Pedoman Wawancara(efektifitas) ............................................................ 97
Tes Akhir ................................................................................................ 99
Daftar Nama Peserta Publikasi Makalah
(yang disampaikan di seminar nasional) ................................................. 100
Modul Kalkulus 1 ................................................................................... 103
1
BAB 1. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu cabang ilmu dalam bidang matematika adalah Kalkulus.
Konsep utama Kalkulus adalah limit, kekontinuan, diferensial, dan integral yang
dikaitkan dengan fungsi riil. Kalkulus memiliki dua cabang utama yaitu Kalkulus
diferensial dan Kalkulus integral. Kalkulus Diferensial membahas kecepatan dan
percepatan, kemiringan suatu kurva, sedangkan Kalkulus integral membahas
volume dan luas, panjang busur,pusat massa,kerja, dan tekanan. Kalkulus
digunakan sebagai alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai
permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. Banyak masalah nyata dalam
kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan Kalkulus.
Perkuliahan Kalkulus di STKIP PGRI Sumatera Barat dibagi kedalam dua tahap,
yaitu Kalkulus 1 dan Kalkulus 2. Kalkulus 1 merupakan Kalkulus Diferensial dan
Kalkulus 2 dapat dikatakan Kalkulus Integral.
Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan di
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat dengan
bobot 3 sks. Mata kuliah Kalkulus 1 merupakan mata kuliah dasar yang penting
dipelajari karena merupakan mata kuliah prasyarat dari mata kuliah Kalkulus 2,
Kalkulus Peubah Banyak 1, Analisis Riil1, dan Metode Numerik. Mata kuliah ini
membahas sistem bilangan riil, ketaksamaan, pertaksamaan dan nilai mutlak,
jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan, turunan, dan
menggambar grafik fungsi.
1
2
Diharapkan dengan mempelajari Kalkulus 1 mahasiswa dapat
mengembangkan kemampuan berpikir kritis, pemecahan masalah, dan
pemahaman konsep mengenai sistem bilangan riil. Mahasiswa diharapkan mampu
memahami mata kuliah ini secara keseluruhan tidak hanya secara parsial.
Pemahaman mahasiswa tersebut didapatkan dari belajar mandiri tanpa
mengharapkan dosen mentranfer seluruh materi secara keseluruhan. Hal ini
disebabkan karena proses perkuliahan diPerguruan Tinggi dituntut usaha mandiri
dari mahasiswa. Proses perkuliahan seperti ini yang membedakan pola belajar
siswa dengan mahasiswa, karena dosen hanya sebagai mediator dan fasilitator.
Dengan adanya kemandirian tersebut, diharapkan konsep akan tertanam dengan
baik sehingga hasil belajar memuaskan.
Kenyataan yang terjadi, masih banyak mahasiswa yang memperoleh nilai
rendah. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut:
Tabel 1. Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012
Nilai Jumlah %
A 16 22.04 B 51 C 56
77.96 D 102 E 79
Jumlah Mahasiswa 304 100
Sumber: Program Studi Pendidikan Matematika
Tabel 1 menunjukkan bahwa mahasiswa yang memperoleh nilai kurang dari 65
(kategori C, D, dan E) sebesar 77,96 %. Kenyataan ini masih jauh dari harapan.
Proses perkuliahan Kalkulus 1 selama ini menggunakan metode ceramah
dan menggunakan satu buku teks. Berdasarkan pengamatan peneliti, buku teks
3
yang dipakai oleh mahasiswa sulit untuk dipahami. Bahasa buku teks Kalkulus 1
masih belum komunikatif dan interaktif, sehingga untuk memahami suatu materi
mahasiswa hanya menunggu penjelasan dari dosen. Hal ini menyebabkan
mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri. Mahasiswa tidak aktif dalam
proses perkuliahan. Perkuliahan hanya bersifat satu arah. Dosen tidak lagi
berfungsi sebagai fasilitator tetapi sudah beralih fungsi sebagai pentransfer
seluruh ilmu yang dimiliki tanpa menyadari bahwa mahasiswa sudah mempunyai
pengetahuan yang dimiliki sebelumnya.
Penggunaan metode ceramah juga mengakibatkan kemampuan berpikir
kritis serta pemecahan masalah mahasiswa rendah. Salah satu model pembelajaran
yang dapat membantu mahasiswa dalam meningkatkan kemampuan berpikir dan
pemecahan masalah adalah pembelajaran berbasis masalah. Pembelajaran berbasis
masalah merupakan salah satu model pembelajaran inovatif yang dapat
memberikan kondisi belajar aktif kepada mahasiswa. Pembelajaran ini
menekankan kepada proses penyelesaian masalah yang dihadapi secara ilmiah.
Mahasiswa tidak hanya sekedar mencatat dan menghapal materi, namun
mahasiswa aktifberpikir dan akhirnya dapat membuat kesimpulan.
Kemandirian mahasiswa dapat diatasi dengan mengembangkan modul
berbasis masalah sehingga materi mudah dipahami oleh mahasiswa secara
mandiri tanpa mengharapkan seluruh materi ditransfer oleh dosen pengampu mata
kuliah. Berdasarkan latar belakang diatas peneliti tertarik untuk mengembangkan
modul berbasis masalah pada mata kuliah Kalkulus 1, sehingga penelitian diberi
4
judul “ Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus 1 di
STKIP PGRI Sumatera Barat”.
B. Tujuan Khusus
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari
penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
2. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
praktis bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
3. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
efektif bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
C. UrgensiPenelitian
Berdasarkan pembatasan masalah, rumusan masalah dalam penelitian
ini adalah berikut ini.
1. Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus
1?
2. Bagaimana praktikalitas modul berbasis masalah pada perkuliahan
Kalkulus 1?
3. Bagaimana efektivitas modul berbasis masalah pada perkuliahan
Kalkulus 1?
5
Untuk memperoleh jawaban dari pertanyaan efektivitas modul, peneliti
rinci menjadi 2 pertanyaan berikut ini.
a. Bagaimana aktivitas mahasiswa selama perkuliahan Kalkulus 1
dengan menggunakan modul berbasis masalah di STKIP PGRI
Sumatera Barat?
b. Bagaimana hasil belajar selama perkuliahan Kalkulus 1 dengan
menggunakan modul berbasis masalah di STKIP PGRI Sumatera
Barat?
D. Inovasi Produk
Produk yang diharapkan pada penelitian ini adalah bahan perkuliahan,
yaitu berupa modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 bagi
mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera
Barat. Modul berbasis masalah ini memiliki karakteristik sebagai berikut.
1. Setiap modul memuat halaman pendahuluan, berupa deskripsi singkat
mengenai isi modul, relevansi dengan modul lainnya, dan standar
kompetensi. Pada bagian ini mahasiswa telah diberikan inti permasalahan
yang akan dipelajari.
2. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan belajar. Setiap kegiatan
belajar memuat materi, contoh, latihan terbimbing, latihan mandiri,
umpan balik, dan tindak lanjut. Berikut penjelasannya.
a. Materi diawali dengan pemberian masalah. Masalah yang dipilih
berupa masalah kontekstual yang mendukung materi Kalkulus 1.
6
Pada uraian materi setiap modul, bagian rumus ditulis dalam sebuah
kotak sebagai penekanan materi kepada mahasiswa.
b. Contoh merupakan tambahan pengetahuan awal mahasiswa. Contoh
masih berhubungan dengan masalah yang diberikan pada awal
materi.
c. Latihan terbimbingadalah latihan disertai dengan arahan untuk
membantu mahasiswa dalam menyelesaikan soal. Soal disusun dari
tingkat kesukaran rendah hingga tingkat tinggi.
d. Latihan mandiri merupakan latihan yang menuntut kemandirian
mahasiswa dalam mengerjakan soal. Pada latihan mandiri sudah
disediakan tempat untuk menuliskan jawaban soal.
e. Umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar mencocokkan
jawaban latihan dengan kunci jawaban. Dengan adanya umpan balik,
mahasiswa dapat mengetahui tingkat penguasaannya terhadap
materi.
f. Tindak lanjut merupakan kegiatan yang harus dilakukan mahasiswa
atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk untuk
melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari kegiatan
belajar tersebut atau melanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya.
3. Modul juga memuat kunci jawaban. Kunci jawaban yang dimuat
merupakan kunci jawaban semua kegiatan belajar pada modul tersebut.
4. Isi modul, baik materi maupun soal, disadur dari buku Kalkulus 1
karangan Purcel sebagai acuan utama.
7
5. Bahasa dan sajian isi materi pada modul berbasis masalah disesuaikan
dengan tingkat kemampuan mahasiswa Program Studi Pendidikan
Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat yang heterogen sehingga
memungkinkan mereka untuk belajar mandiri.
6. Isi modul diketik dengan huruf Batang agar lebih terkesan tidak formal,
akrab, dan mudah dibaca.
7. Modul valid dari segi isi dan konstruk.
8. Modul praktis bagi pengguna.
9. Modul efektif dalam perkuliahan Kalkulus 1.
8
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
A. Kajian Teori
1. Mata Kuliah Kalkulus 1
Mata Kuliah Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan
Keterampilan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI
Sumatera Barat. Kalkulus 1 diberikan pada semester 1 dengan bobot 3
SKS. Materi yang diberikan meliputi sistem bilangan riil, ketaksamaan,
dan nilai mutlak, jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan,
turunan, dan menggambar grafik fungsi serta penerapannya dalam
berbagai masalah yang berkaitan dengan topik tersebut. Standar
kompetensi yang diharapkan setelah mahasiswa mempelajari Kalkulus 1
adalah sebagai berikut.
a. Mahasiswa dapat menguasai konsep-konsep dasar kalkulus diferensial
satu peubah.
b. Mahasiswa dapat mengerjakan (menyelesaikan) berbagai bentuk
perhitungan diferensial.
c. Menerapkan (mengaplikasikan) perhitungan diferensial dalam
berbagai bidang ilmu dan kehidupan sehari-hari.
(Buku Pedoman Akademik STKIP PGRI Sumatera Barat 2011/2012)
Standar kompetensi dapat dicapai dengan memberikan materi-
materi perkuliahan berikut.
8
9
a. Pendahuluan: sistem bilangan riil, ketaksamaan, nilai mutlak, akar
kuadrat, kuadrat, garis lurus, grafik persamaan, fungsi dan
grafiknya, operasi pada fungsi, fungsi trigonometri.
b. Limit:, pendahuluan limit, pengkajian mendalam tentang limit,
teorema limit, kekontinuan fungsi.
c. Turunan: dua masalah dengan satu tema, turunan, aturan pencarian
turunan, turunan sinus dan kosinus, aturan rantai, notasi Leibniz,
turunan tingkat tinggi, pendifensialan implisit, laju yang berkaitan,
diferensial dan aproksimasi.
d. Penggunaan turunan: maksimum dan minimum, kemonotonan dan
kecekungan, maksimum dan minimum lokal, lebih banyak masalah
maksimum dan minimum, penerapan ekonomi, limit
diketakhinggaan, limit tak terhingga, penggambaran grafik
canggih.
Kalkulus juga dipakai dalam bidang lain, contohnya bidang fisika.
Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan salah satu materi
Kalkulus 1, yaitu turunan. Fisika mempelajari perubahan posisi benda
dan perubahan kecepatan dengan menggunakan konsep turunan.
Kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu, sedangkan
percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun
turunan kedua posisi benda terhadap waktu.
2. Modul
Bahan perkuliahan merupakan bagian yang penting dalam
10
perkuliahan karena dapat digunakan sebagai sumber belajar baik bagi
dosen maupun mahasiswa. Menurut Suprawoto (2009: 1), bahan
perkuliahan adalah segala bentuk bahan yang digunakan oleh dosen
dalam melaksanakan kegiatan perkuliahan di kelas. Selain itu, bahan
perkuliahan juga merupakan seperangkat materi yang disusun secara
sistematis sehingga tercipta suasana yang memungkinkan mahasiswa
untuk belajar. Bahan perkuliahan yang dimaksud dapat berupa bahan
tertulis maupun bahan tidak tertulis. Bentuknyapun bermacam-macam,
ada yang berbahan cetak, audio visual, audio, visual, dan multimedia.
Salah satu bahan perkuliahan yang berbentuk bahan cetak adalah modul.
Modul adalah bahan perkuliahan yang terdiri atas suatu
rangkaian kegiatan perkuliahan dan disusun secara khusus, jelas, dan
menarik yang mencakup isi materi, contoh soal, dan soal tes. Nasution
(2005:205) mengemukakan, ” Modul adalah suatu unit yang lengkap
yang berdiri sendiri dan terdiri atas suatu rangkaian kegiatan belajar
yang disusun untuk membantu siswa mencapai sejumlah tujuan yang
dirumuskan dengan khusus dan jelas”.
Modul memberikan kesempatan kepada mahasiswa untuk
belajar mandiri, karena masing-masing mahasiswa akan menggunakan
teknik yang berbeda-beda dalam memecahkan suatu permasalahan.
Selain itu, dengan mempelajari modul, mahasiswa dapat mengenal
kelebihan dan kekurangannya, karena modul memberikan evaluasi
untuk mendiagnosis kelemahan mahasiswa. Dengan penggunaan
11
modul, diharapkan dapat menjadikan mahasiswa berpikir kreatif dan
kritis.
Untuk menghasilkan modul yang dapat meningkatkan motivasi
belajar, pengembangan modul harus memperhatikan karakteristik yang
diperlukan sebagai modul.
a. Self Insruction
Merupakan karakteristik penting dalam modul, dengan karakteristik
tersebut memungkinkan seseorang belajar secara mandiri dan tidak
bergantung pada pihak lain. Syarat modul agar memenuhi karakter
self instruction adalah berikut ini.
1). Memuat tujuan pembelajaran yang jelas, dan dapat
menggambarkan pencapaian standar kompetensi dan
kompetensi dasar.
2). Memuat materi pembelajaran yang dikemas dalam unit-unit
kegiatan kecil/spesifik, sehingga memudahkan dipelajari secara
tuntas.
3). Tersedia contoh dan ilustrasi yang mendukung kejelasn
pemaparan materi pembelajaran.
4). Terdapat soal-soal latihan, tugas dan sejenisnya yang
memungkinkan untuk mengukur penguasaan peserta didik.
5). Konstektual, yaitu materi yang disajikan terkait dengan
suasana, tugas atau konteks kegiatan dan lingkungan peserta
didik.
12
6). Menggunakan bahasa yang sederhana dan komunikatif.
7). Terdapat rangkuman materi pelajaran
8). Terdapat instrumen penilaian, yang memungkinkan peserta
didik melakukan penilaian mandiri (self assessment).
9). Terdapat umpan balik tentang rujukan/pengayaan/referensi
yang mendukung materi pembelajaran dimaksud.
b. Self Contained
Modul dikatakan self contained bila seluruh materi pembelajaran
yang dibutuhkan termuat dalam modul tersebut. Tujuan dari konsep
ini adalah memberikan kesempatan peserta didik mempelajari
materi pembelajaran secara tuntas, karena materi belajar dikemas
dalam kesatuan yang utuh. Jika harus dilakukan pembagian atau
pemisahan materi dari satu standar kompetensi/kompetensi dasar,
harus dilakukan dengan hati-hati dan memperhatikan keluasan
standar kompetensi/kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta
didik.
c. Stand Alone
Stand Alone atau berdiri sendiri merupakan karakteristik modul
yang tidak tergantung pada bahan ajar/media lain, atau tidak harus
digunakan bersama dengan bahan ajar/media lain. Dengan
menggunakan modul, peserta didik tidak perlu bahan ajar yang lain
untuk mempelajari dan atau mengerjakan tugas pada modul
tersebut. Jika peserta didik masih menggunakan dan bergantung
13
pada bahan ajar selain modul yang digunakan, maka bahan ajar
tersebut tidak dikategorikan sebagai modul yang berdiri sendiri.
d. Adaptif
Modul hendakanya memiliki daya adaptasi yang tinggi terhadap
perkembangan ilmu dan teknologi. Dikatakan adaptif jika modul
tersebut dapat menyesuaikan perkembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi, serta fleksibel/luwes digunakan berbagai perangkat keras
(hardware).
e. User Friendly
Modul hendaknya memenuhi kaidah user friendly atau
bersahabat/akrab dengan pemakainya. Setiap instruksi dan paparan
informasi yang tampil bersifat membantu dan bersahabat dengan
pemakainya, termasuk kemudahan pemakai dalam merespon dan
mengakses sesuai keinginan. Penggunaan bahasa yang sederhana,
mudah dimengerti, serta menggunakan istilah yang umum
digunakan, merupakan salah satu bentuk user friendly.
3. Pembelajaran Berbasis Masalah
Menurut Adhana dalam Made (2010:96), “pembelajaran berbasis
masalah dapat mengembangkan pemecahan masalah matematika
mahasiswa”. Pembelajaran berbasis masalah merupakan suatu model
pembelajaran inovatif yang melibatkan mahasiswa untuk memecahkan
masalah dengan metode ilmiah. Savoie dan Hughes dalam Made (2010:
14
91) menyatakan bahwa pembelajaran belajar berbasis masalah memiliki
beberapa karakteristik sebagai berikut.
a. Belajar dimulai dengan suatu permasalahan.
b. Permasalahan yang diberikan harus berhubungan dengan dunia nyata
mahasiswa.
c. Mengorganisasikan pembelajaran di seputar permasalahan.
d. Memberikan tanggung jawab yang besar dalam membentuk dan
menjalankan secara langsung proses belajar mereka sendiri.
Pembelajaran ini mahasiswa tidak hanya mendengarkan, mencatat, dan
menghapal materi dari dosen, tetapi mahasiswa diharapkan aktif berpikir,
berkomunikasi, dan mengolah data sehingga kesimpulan tercapai.
Wina (2006:218) mengemukakan ada 6 langkah pembelajaran
berbasis masalah berikut ini.
a. Menyadari masalah.
Pembelajaran berbasis masalah dimulai dengan adanya
masalah yang harus dipecahkan. Kemampuan yang harus dicapai
oleh mahasiswa pada tahapan ini adalah mahasiswa dapat
menentukan masalah yang ada.
b. Merumuskan masalah.
Rumusan masalah sangat penting karena berkaitan dengan
data-data apa yang harus dikumpulkan untuk menyelesaikan masalah
tersebut. Kemampuan yang diharapkan dari mahasiswa dalam
langkah ini adalah mahasiswa dapat menentukan prioritas masalah.
15
Mahasiswa dapat memanfaatkan pengetahuannya menganalisis
masalah sehingga muncul rumusan masalah yang jelas, spesifik, dan
dapat dipecahkan.
c. Merumuskan hipotesis.
Kemampuan yang diharapkan dalam tahapan ini adalah
mahasiswa dapat menentukan sebab akibat dari masalah yang ingin
diselesaikan. Melalui analisis sebab akibat inilah pada akhirnya
mahasiswa diharapkan dapat menentukan penyelesaian masalah.
d. Mengumpulkan data.
Tahapan ini mendorong mahasiswa untuk mengumpulkan
data yang relevan. Kemampuan yang diharapkan adalah mahasiswa
dapat mengumpulkan dan memilah data.
e. Menguji hipotesis
Kemampuan yang diharapkan dari mahasiswa dalam tahapan
ini adalah kemampuan menelaah data dan sekaligus membahasnya
untuk melihat hubungan dengan masalah yang dikaji. Diharapkan
mahasiswa dapat mengambil keputusan dan kesimpulan.
f. Menentukan penyelesaian
Menentukan penyelesaian adalah tahapan terakhir dari proses
pembelajaran berbasis masalah. Kemampuan yang diharapkan
adalah kemampuan memilih penyelesaian yang memungkinkan
dapat dilakukan.
16
Proses perkuliahan Kalkulus 1 dengan menggunakan
pembelajaran berbasis masalah diharapkan dapat meningkatkan motivasi
mahasiswa. Pembelajaran berbasis masalah diharapkan dapat
mengembangkan kemampuan berpikir mahasiswa dalam pemecahan
masalah mengenai Kalkulus 1.
4. Modul Berbasis Masalah
Bahan perkuliahan yang dikembangkan untuk perkuliahan
Kalkulus 1 adalah modul yang disusun berdasarkan pembelajaran
berbasis masalah. Modul ini berisi standar kompetensi, uraian materi,
contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak
lanjut, kunci jawaban, dan daftar rujukan. Latihan terbimbing merupakan
latihan yang disertai dengan arahan untuk membantu mahasiswa dalam
menyelesaikan soal, sedangkan latihan mandiri adalah latihan yang
menuntut kemandirian mahasiswa dalam mengerjakan soal. Contoh dan
latihan dibuat agar dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah
mahasiswa. Umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar
mencocokkan jawaban latihan dengan kunci jawaban. Dengan adanya
umpan balik, mahasiswa dapat mengetahui tingkat penguasaannya
terhadap materi. Tindak lanjut merupakan kegiatan yang harus dilakukan
mahasiswa atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk untuk
melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari kegiatan
belajar tersebut atau melanjutkan ke kegiatan belajar selanjutnya.
17
Modul dibuat dengan menarik dan jelas agar mahasiswa
termotivasi untuk belajar. Dengan modul ini, mahasiswa diharapkan akan
mampu mendefinisikan masalah, kemudian merumuskan masalah,
merumuskan hipotesis, mengumpulkan data, menguji hipotesis, dan
menentukan pilihan penyelesaian. Modul berbasis masalah ini
diharapkan dapat memotivasi mahasiswa belajar mandiri dan
meningkatkan kemampuan pemecahan masalah pada mahasiswa.
B. Penelitian yang Relevan
Rudi (2010) dengan penelitian yang berjudul ”Pengembangan Modul
Pemrograman Pascal”. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan modul
Pemrograman Pascal yang valid, praktikal dan efektif untuk mahasiswa
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Yenny (2010) dengan penelitian berjudul “Pengembangan Perangkat
Pembelajaran Berbasis Model Problem Based Learning Untuk Pembelajaran
IPA Kelas V Sekolah Dasar Pada Sub Materi Alat Pernapasan Pada Manusia
Dan Hewan”. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui validitas,
praktikalitas, dan efektivitas perangkat pembelajaran berbasis model problem
based learning untuk sub materi alat pernapasan pada manusia dan hewan.
18
C. Kerangka Pemikiran
Secara ringkas kerangka berpikir dari penelitian ini dapat
digambarkan melalui diagram berikut.
Gambar 1. Kerangka Berpikir
Buku teks belum efektif memotivasi belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah
mahasiswa
Mengembangkan modul berbasis masalah
Meningkatkan aktivitas dan hasil belajar mahasiswa
19
BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN
A. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari
penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
2. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
praktis bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
3. Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang
efektif bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat.
B. Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan berguna bagi pihak-pihak berikut ini.
1. Bagi mahasiswa, hasil penelitian ini diharapkan mempermudah mahasiswa
memahami pelajaran Kalkulus 1.
2. Bagi dosen, hasil penelitian ini diharapkan dapat menjadi salah satu
alternatif alat bantu yang dapat digunakan dosen agar pembelajaran lebih
efisien, efektif, dan relevan.
19
20
3. Bagi peneliti, hasil penelitian ini diharapkan dapat menjadi sumber ide dan
referensi bagi peneliti dalam pengembangan sumber belajar dalam bentuk
lain.
4. Bagi pembaca, hasil penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan
dan ilmu pengetahun pembaca, serta sebagai landasan untuk melanjutkan
penelitian ini.
21
BAB 4. METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian dan
pengembangan (Research and development /R&D). Menurut Sugiyono
(2008:407), ”R&D adalah metode pelitian yang digunakan untuk
menghasilkan produk tertentu, dan menguji keefektifan produk tersebut”.
Produk yang akan dikembangkan dalam penelitian ini adalah alat bantu
perkuliahan yang berupa modul berbasis masalah.
B. Prosedur Penelitian
Penelitian ini menggunakan rancangan penelitian pengembangan
dengan model pengembangan 4-D rancangan Thiagarajan, Semmel, dan
Semmel (Trianto, 2007: 65). Model pengembangannya terdiri atas 4 tahap
yang meliputi: pendefinisian (define), perancangan (design), pengembangan
(develop), dan penyebaran (desseminate). Tahap-tahap yang akan dilalui
peneliti hanya sampai tahap develop karena mengingat keterbatasan waktu
dan biaya. Secara lengkap prosedur yang akan dilakukan sebagai berikut ini.
1. Tahap Pendefinisian (define)
Tahap ini dilakukan untuk melihat kondisi yang berhubungan
dengan proses perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat,
kemudian menganalisis permasalahan. Kegiatan yang dilakukan pada
tahap ini adalah sebagai berikut.
21
22
a. Menganalisis silabus, hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah
materi yang diajarkan sudah sesuai dengan standar kompetensi dan
kompetensi dasar mata kuliah.
b. Menganalisis buku-buku teks Kalkulus 1, untuk melihat kesesuaian isi
buku dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar yang harus
dicapai mahasiswa. Buku-buku yang telah sesuai akan digunakan
sebagai acuan penyusunan konsep dan contoh soal serta latihan soal
pada modul yang akan dikembangkan.
c. Mereviuw literatur yang terkait dengan pengembangan modul, untuk
melihat rujukan mengenai modul dan pembelajaran berbasis masalah.
d. Wawancara dengan teman sejawat dan mahasiswa, ini bertujuan untuk
mengetahui masalah/hambatan apa saja yang dihadapi di lapangan
sehubungan dengan perkuliahan Kalkulus 1.
2. Perancangan (design)
Setelah menganalisis kebutuhan dilanjutkan dengan perancangan.
Pada tahap ini yang akan dilakukan adalah merancang modul Kalkulus 1.
Modul dibuat terdiri dari empat bagian yang dapat dipergunakan untuk
satu semester, bagian-bagiannya yaitu:modul 1pendahuluan, modul 2
fungsi dan limit, modul 3turunan, dan modul 4pengunaan turunan.
Masing-masing modul berisi standar kompetensi, uraian materi,
contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak
lanjut, dan kunci jawaban. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan
belajar yang sudah disesuaikan dengan silabus.
23
3. Pengembangan (develop)
Pada tahap ini tindakan yang dilakukan adalah validasi, menguji
praktikalitas dan efektivitas modul.
a. Tahap validasi
Ada 2 macam validasi yang digunakan pada modul, yaitu
sebagai berikut.
1). Validitas isi, yaitu apakah modul telah dirancang sesuai dengan
silabus mata kuliah.
2). Validitas konstruk, yaitu kesesuaian komponen-komponen modul
dengan indikator-indikator yang telah ditetapkan.
Modul yang sudah dirancangdikonsultasikan dan didiskusikan dengan
validator, yaitu pakar Kalkulus 1 dan pakar pendidikan, dosen
Kalkulus 1, dan pakar Bahasa Indonesia. Kegiatan validasi dilakukan
dalam bentuk mengisi lembar validasi modul dan diskusi sampai
diperoleh modul yang valid dan layak untuk digunakan. Lembar
validasi modul diisi oleh validator. Adapun aspek-aspek yang
divalidasi dapat dilihat dari Tabel 2.
Tabel 2. Aspek Validasi Modul
No. Aspek Metode pengumpulan data Instrumen
1. Tujuan Memberikan angket validasi kepada pakar Kalkulus 1, dosen Kalkulus 1, serta dosen Bahasa Indonesia
Lembar validasi 2. Rasional
3. Isi modul 4. Karakteristik modul 5. Kesesuaian 6. Bahasa 7. Bentuk fisik 8. Keluwesan
24
b. Tahap Praktikalitas
Setelah divalidasi, modul ini direvisi dan selanjutnya
diujicobakan untuk mengetahui tingkat praktikalitas (keterpakaian)
modul. Uji coba dilakukan terbatas di satu kelas, yaitu sesi 2013.
Program Studi Pendidikan Matematika di STKIP PGRI Sumatra Barat
yang mengambil mata kuliah Kalkulus 1 semester ganjil tahun
akademik 2013/2014. Praktikalitas berkaitan dengan keterpakaian
bahan perkuliahan oleh mahasiswa dan dosen. Menurut Akker dan
Plomp (2001: 62) “The material are said practical, if the teacher are
able to use materials to execute their lesson in logical and coherent
manner, without to many problems”. Bahan perkuliahan dikatakan
praktis, jika dosen dapat menggunakan bahan tersebut untuk
melaksanakan perkuliahan secara logis dan berkesinambungan tanpa
banyak masalah. Menurut Sukardi (2008: 52) pertimbangan
praktikalitas dapat dilihat dalam aspek-aspek berikut.
1). Kemudahan penggunaan, meliputi: mudah diatur, disimpan, dan
dapat digunakan sewaktu-waktu.
2). Waktu yang diperlukan dalam pelaksanaan sebaiknya singkat,
cepat, dan tepat.
3). Daya tarik bahan perkuliahan terhadap minat mahasiswa.
4). Mudah diinterpretasikan oleh dosen ahli maupun dosen lain
5). Memilki ekivalensi yang sama, sehingga bisa digunakan sebagai
pengganti atau variasi.
25
Pada penelitian ini praktikalitas dilihat dengan melakukan wawancara
dan observasi pelaksanaan perkuliahan untuk melihat kemudahan,
waktu, dan isi modul.
c. Tahap Efektivitas
Tahap ini dilakukan untuk menilai apakah modul yang
dikembangkan dapat digunakan sesuai harapan untuk meningkatkan
kualitas dan prestasi belajar mahasiswa. Pada uji coba ini akan
diamatiaktivitas dan hasil belajar mahasiswa untuk mengetahui tingkat
efektivitas modul yang telah dikembangkan.
Adapun indikator praktikalitas dan efektivitas modul dapat dilihat
pada Tabel 3.
Tabel 3. Indikator Praktikalitas dan Efektivitas Modul
No Aspek yang dinilai Metode pengumpulan data Instrumen
1 Praktikalitas : a. Pelaksanaan
perkuliahan dengan modul
b. Petunjuk pengisian modul
c. Isi modul d. Waktu untuk
mengisi modul
a. Observasi
pelaksanaan perkuliahan
b. Wawancara mahasiswa
a. Lembar
observasi b. Pedoman
wawancara
2 Efektivitas : a. Dampak
terhadap aktivitas belajar
b. Dampak terhadap hasil belajar
a. Observasi b. Tes
a. Lembar
observasi b. Soal tes
26
Jika modul belum valid, praktis, dan efektif maka dilakukan revisi
pada bagian yang masih dianggap kurang. Hasil revisi ini dijadikan tolak
ukur dalam memperbaiki modul yang telah dikembangkan. Maka hasil ini
menjadi hasil akhir rangkaian pengembangan modul berbasis masalah.
27
Secara ringkas alur penelitian tahun pertama dan kedua dapat
dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2. Alur Penelitian Tahun Pertama dan Kedua
Uji coba Modul Kalkulus 1 angkatan 2013 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat
Tahap pendefinisian: - Analisis silabus Kalkulus 1 Pendidikan Matematika
STKIP PGRI Sumateara Barat - Analisis buku teks Kalkulus 1 - Reviuw literatur Modul - Wawancara dengan teman sejawat
Tahap perancangan: MerancangModul Berbasis masalah
Revisi
Validasi Modul Berbasis Masalah
Valid?
Ya
Praktis? Efektif?
Tidak Revisi
Modul berbasis masalah yang valid, praktikal dan efektif
Tidak
Ya
Analisis
T a h a p p e n g e m b a n g a n
TAHUN I
TAHUN II
28
C. Definisi Operasional
1. Modul merupakan bahan ajar yang berisikan sasaran belajar, teori
singkat, latihan terstruktur dan tugas-tugas, soal-soal latihan serta bahan
diskusi. Modul ditujukan untuk membantu mahasiswa agar dapat belajar
mandiri secara kontinu dan terarah.
2. Pembelajaran berbasis masalah merupakan model pembelajaran inovatif
yang melibatkan mahasiswa untuk memecahkan masalah dengan metode
ilmiah. Pembelajaran belajar berbasis masalah memiliki beberapa
karakteristik sebagai berikut.
a. Belajar dimulai dengan suatu permasalahan.
b. Permasalahan yang diberikan harus berhubungan dengan dunia nyata
mahasiswa.
c. Mengorganisasikan pembelajaran di seputar permasalahan.
d. Memberikan tanggung jawab yang besar dalam membentuk dan
menjalankan secara langsung proses belajar mereka sendiri.
3. Validitas adalah kesahihan, sifat benar menurut bahan bukti yang ada,
logika berfikir/semestinya (Depdiknas, 2002). Validitas yang dikaji
meliputi validitas isi dan validitas konstruk. Validitas isi melihat sejauh
mana penilaian mampu mengukur materi/tujuan yang digariskan secara
representatif. Validitas konstruk melihat sejauh mana kebermaknaan
penilaian mengukur sifat atau karakteristik yang tidak dapat diobservasi.
Kegiatan validasi dilakukan oleh para pakar dan praktisi dengan
29
memberikan modul yang telah dibuat beserta lembar validasinya
sehingga diperoleh media pembelajaran yang valid.
4. Praktikalitas (bersifat praktis) adalah mudah dan senang memakainya
(Depdiknas, 2002). Praktikalitas berkaitan dengan kemudahan
menggunakan modul dan kemajuan yang didapatkan mahasiswa dengan
menggunakan modul.
5. Efektivitas adalah dampak, pengaruh, dan hasil yang ditimbulkan
(Depdiknas, 2002). Pada penelitian ini efektivitas dilihat dari aktivitas
dan hasil belajar belajar mahasiswa. Suatu produk dikatakan efektif
apabila ia memberikan hasil sesuai dengan tujuan yang ditetapkan oleh
peneliti.
D. Instrumen Penelitian
Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini adalah lembar
validasi, lembar observasi, angket,pedoman wawancara, dan tes.
1. Lembar validasi
Lembar validasi digunakan untuk mengetahui apakah modul yang
telah dirancang valid atau tidak. Lembar validasi modul berisi aspek-aspek
yang telah dirumuskan pada Tabel 2. Setiap aspek dikembangkan menjadi
beberapa pernyataan. Skala penilaian untuk lembar validasi menggunakan
skala Likert. Lembar validasi divalidasi langsung oleh validator modul.
2. Lembar observasi
Lembar observasi digunakan untuk mengetahui pelaksanaan
perkuliahan dengan modul dan aktivitas mahasiswa selama proses
30
perkuliahan berlangsung. Aktivitas mahasiswa yang diamati dalam
penelitian ini adalah:
a. VA = Visual Activities, yaitu mahasiswa membaca modul
b. OA = Oral Activities, yaitu mahasiswa bertanya (pada dosen atau
mahasiswa lain)
c. LA = Listening Activities, yaitu mahasiswa mendengar penjelasan dari
dosen
d. WA = Writing Activities, yaitu mahasiswa mengisi latihan pada modul
e. DA = Drawing activities, yaitu mahasiswa membuat gambar ketika
menyelesaikan soal dalam modul Mengemukakan pendapat
f. MA1 = Mental Activities, yaitu mahasiswa menanggapi, memecahkan
soal, Menganalisis, melihat hubungan, dan menyimpulkan
pembelajaran
g. EA = Emotional Activities, yaitu mahasiswa bersemangat dan bersikap
berani
h. MA2 = Motor Activities, yaitu mahasiswa melakukan tindakaan yang
tidak relevan dengan KBM (menganggu teman, melamun, atau
bermain)
Sebelum digunakan, lembar observasi divalidasi oleh validator instrumen.
Hasil validasi oleh kedua validator menunjukkan bahwa instrumen lembar
observasi ini sudah sangat valid, artinya sudah dapat digunakan.
31
3. Pedoman wawancara
Pedoman wawancara dibuat untuk mengetahui praktikalitas
penggunaan modul di kelas. Wawancara dilakukan pada mahasiswa
setelah perkuliahan dengan modul selesai. Untuk mewawancarai
mahasiswa, dibuat pedoman wawancara. Pedoman wawancara berisi
pertanyaan-pertanyaan tentang petunjuk, isi dan waktu penggunaan.
Sebelum digunakan, pedoman wawancara divalidasi oleh validator
instrumen. Hasil validasi oleh validator menunjukkan bahwa instrumen
pedoman wawancara ini sudah sangat valid, artinya sudah dapat
digunakan.
4. Tes
Tes adalah suatu alat yang disusun untuk mengukur kualitas,
abilitas, keterampilan atau pengetahuan dari seseorang atau sekelompok
individu. Tes digunakan untuk mengetahui hasil belajar mahasiswa setelah
menggunakan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1.
Melalui tes tersebut dapat ditentukan tinggi rendahnya skor dalam bentuk
kuantitatif selanjutnya dibandingkan dengan standar yang telah ditentukan
untuk ditarik kesimpulan yang bersifat kualitatif.
E. Teknik Analisis Data
Data yang diperoleh melalui berbagai instrumen dianalisis secara
kualitatif dan kuantitatif. Informasi yang diperoleh dari hasil observasi dan
wawancara mengenaipraktikalitas modul dianalisis secara kualitatif. Data dari
hasil lembar validasi modul, lembar observasi aktivitas dianalisis secara
32
kuantitatif, kemudian digunakan teknik deskriptif untuk menarik kesimpulan
yang bersifat kualitatif. Teknik analisis data dari setiap instrumen
digambarkan sebagai berikut ini.
1. Hasil Validasi
Hasil validasi dari validator terhadap seluruh aspek yang dinilai,
disajikan dalam bentuk tabel. Selanjutnya dicari rerata skor tersebut
dengan menggunakan rumus
n
VR
n
ii
1 (Muliyardi, 2006:82)
dengan
R = rerata hasil penilaian dari para validator Vi = skor hasil penilaian validator ke-i n = banyak validator
Kemudian rerata yang didapatkan dikonfirmasikan dengan kriteria
yang ditetapkan. Cara mendapatkan kriteria tersebut adalah sebagai
berikut:
a. Rentangan skor mulai dari 1 sampai 5
b. Kriteria dibagi atas lima tingkatan. Istilah yang digunakan disesuaikan
dengan aspek-aspek yang bersangkutan.
c. Rentangan rerata dibagi menjadi lima kelas interval.
Lalu, dihitung rerata semua aspek untuk modul. Untuk menentukan
tingkat kevalidan modul digunakan kriteria berikut ini.
a. Bila R> 3,20 maka modul dikategorikan sangat valid.
b. Bila 2,40 <R ≤ 3,20 maka dikategorikan valid.
33
c. Bila 1,60 <R ≤ 2,40 maka dikategorikan cukup valid.
d. Bila 0,80 <R ≤ 1,60 maka dikategorikan kurang valid.
e. Bila R ≤ 0,80 maka dikategorikan tidak valid.
2. Hasil Observasi
a. Observasi praktikalitas pelaksanaan perkuliahan dengan modul
Hasil observasi dipisah-pisahkan menurut kelompok data.
Untuk menggambarkan data hasil observasi digunakan teknik
deskriptif.
b. Observasi aktivitas mahasiswa
Data observasi diperoleh dengan cara menghitung jumlah
mahasiswa yang melakukan aktivitas sebagaimana terdapat pada
lembar observasi. Data tersebut dianalisis dengan teknik persentase
yang dinyatakan oleh Anas (2005:43) sebagai berikut:
%100NfP
Keterangan:
P = persentase aktivitas f = frekuensi aktivitas N = jumlah mahasiswa
Untuk mengetahui tingkat keberhasilan aktivitas belajar
mahasiswa, Dimyati (2006:125) memberikan kriteria sebagai berikut.
34
Tabel 4. Kriteria Keberhasilan Aktivitas Belajar Mahasiswa
Kriteria Tingkat keberhasilan Range persentase Sedikit sekali Sedikit Banyak Banyak sekali
Tidak berhasil Kurang berhasil Berhasil Sangat berhasil
0 ≤ P ≤ 25 25 < P ≤ 50 50 < P ≤ 75 75 < P ≤ 100
Sumber: modifikasi Dimyati dan Mudjiono (2006:125)
Berdasarkan Tabel 4 dapat diketahui jika persentase
mahasiswa yang aktif adalah 0 ≤ P ≤ 25, maka dapat disimpulkan
bahwa mahasiswa yang beraktivitas sedikit sekali dan proses
perkuliahan tidak berhasil mengaktifkan mahasiswa. Aktivitas
mahasiswa diamati setiap pertemuan, sehingga dapat diketahui
perkembangan aktivitas mahasiswa dalam perkuliahan yang
menggunakan modul.
3. Hasil Wawancara
Teknik deskriptif digunakan untuk menggambarkan data hasil
wawancara dengan mahasiswa mengenai praktikalitas modul. Miles dan
Huberman dalam Nyimas (2007: 62) menyatakan “bahwa hasil wawancara
dari para pakar menghasilkan data kualitatif berdasarkan transkripsi
tertulis dan catatan yang dibuat saat wawancara berlangsung”.
Miles menyatakan cara menganalisis data kualitatif terdiri dari tiga
tahap, yaitu mereduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan.
Mereduksi data merupakan proses menyeleksi, memfokuskan, dan
mengabstraksi, dan mentransformasi data mentah yang diperoleh melalui
observasi.
35
4. Hasil Tes
Data yang diperoleh dari tes hasil belajar dianalisis dengan
menggunakan perhitungan presentase mahasiswa yang memenuhi kriteria
ketuntasan minimal. Untuk pengembangan modul ini dikatakan efektif jika
lebih dari 60% mahasiswa mendapatkan nilai 65 – 100
Tabel 5. Kriteria Hasil Belajar Mahasiswa Nilai Mutu Nilai Angka Keterangan
A B C D E
81 < k ≤ 100 66 < k ≤ 80 56 < k ≤ 65 46 < k ≤ 55
k <45
Baik sekali Baik
Cukup Kurang Cukup
Kurang Sumber: Buku Pedoman Akademik STKIP PGRI (2011/2012)
36
BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Hasil Penelitian
Pengembangan modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1
dengan menggunakan model 4-D memiliki hasil sebagai berikut.
1. Validitas Modul Berbasis Masalah
Kegiatan untuk mendapatkan modul Kalkulus 1 yang valid
diawali dengan melewati tahap Pendefinisian. Pada tahap ini dilakukan
analisis terhadap silabus mata kuliah Kalkulus 1. Analisis silabus
dilakukan untuk melihat apakah materi yang diajarkan sudah sesuai
dengan kompetensi yang diharapkan. Dalam silabus, terdapat empat
materi pokok yang harus dipelajari dalam satu semester. Empat materi
tersebut adalah Pendahuluan, limit, turunan, dan aplikasi turunan untuk
materi keempat. Hasil analisis diperoleh bahwa materi tersebut telah
sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai oleh mahasiswa. Urutan
materi juga telah pas karena materi sistem bilangan Riil adalah materi
pertama yang merupakan materi dasar yang harus dipelajari sebelum
mempelajari materi selanjutnya. Sedangkan materi fungsi limit, turunan,
dan aplikasi turunan merupakan materi terakhir yang mencakup seluruh
materi sebelumnya.
Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis buku rujukan untuk
mata kuliah Kalkulus 1. Analisis buku rujukan yang dilakukan bertujuan
untuk melihat apakah isi buku sudah sesuai dengan kompetensi dalam
36
37
silabus. Buku rujukan pertama yang dianalisis adalah buku teks yang
selama ini digunakan dalam perkuliahan Kalkulus 1. yaitu kalkulus edisi
kesembilan karangan Varbeg purcell rigdom. Materi dalam buku ini
sudah mencakup sebagian besar kompetensi yang diharapkan. Namun
penyajian dan bahasa materi belum sesuai dengan Kemampuan
mahasiswa STKI PGRI Sumatera Barat. Selain buku karangan Purcell,
buku Kalkulus karangan Koko Martono, dan kalkulus ilmu ukur analitik
karangan Leithold dijadikan sebagai rujukan karena banyak materi yang
dapat dijadikan bahan untuk pengembangan modul. Buku-buku lain yang
berhubungan dengan materi Kalkulus 1 juga dijadikan rujukan.
Setelah menganalisis buku rujukan Kalkulus 1, kegiatan
selanjutnya adalah peneliti berdiskusi dengan teman sejawat. Dari hasil
diskusi diketahui bahwa selama ini proses perkuliahan Kalkulus 1 hanya
menggunakan metode ceramah. Mahasiswa banyak bergantung pada
dosen dalam memahami materi. Mahasiswa belum mampu untuk belajar
mandiri. Perlu suatu metode agar mahasiswa tidak terlalu banyak
membutuhkan bantuan dosen dalam perkuliahan.
Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis literatur yang terkait
dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah. Menganalisis literatur
yang berhubungan dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah
juga sangatlah penting. Dengan adanya literatur, maka peneliti terbantu
dalam perancangan modul.
38
Berdasarkan analisis-analisis tersebut, maka dirancanglah modul
berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1. Modul yang dirancang
terdiri dari empat macam. Modul 1 untuk pokok bahasan Pendahuluan,
modul 2 untuk pokok bahasan limit, modul 3 untuk pokok turunan,
modul 4 untuk pokok bahasan aplikasi turunan. Modul diharapkan dapat
membantu kemandirian mahasiswa dalam perkuliahan.
39
Berikut diagram dari tahap pendefinisian.
Gambar 3. Diagram Alir Tahap Pendefinisian
Analisis Silabus mata kuliah Kalkulus 1 1. Sistem Bilangan Riil 2. Limit 3. Turunan 4. Aplikasi Turunan
Analisis Buku rujukan mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak 2 1. Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell
Rigdom 2. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold 3. Kalkulus Karangan Koko Martono 4. Buku rujukan lain
Reviuw literatur pengembangan modul 1. Teknik Penyusunan Modul 2. Strategi Pembelajaran inovatif Kontemporer
karangan Made Wena
Diskusi dengan Teman Sejawat 1. Perkuliahan menggunakan Buku Teks 2. Perkuliahan menggunakan metode
ceramah
Pengembangan Modul Berbasis Masalah untuk Perkuliahan Kalkulus 1
40
Berikut ini diuraikan karakteristik modul berbasis masalah yang
dirancang.
a. Setiap modul yang dirancang memiliki halaman pendahuluan.
Halaman pendahuluan berisi deskripsi singkat tentang isi modul,
relevansi dan tujuan instruksional. Relevansi berisi kegunaan
mahasiswa dalam mempelajari modul jika modul tersebut dikaitkan
dengan modul lain, sedangkan tujuan instruksional berupa
kompetensi dasar dan indikator yang harus dicapai mahasiswa
setelah mempelajari modul tersebut. Salah satu halaman
pendahuluan dapat dilihat sebagai berikut.
b. Setiap kegiatan belajar berisi materi yang berhubungan dengan
pokok bahasan yang akan dibahas. Materi diawali dengan
pemberian suatu masalah. Masalah yang diberikan berhubungan
dengan bidang lain. Dengan adanya masalah tersebut, mahasiswa
mengetahui manfaat dari pokok bahasan yang dipelajari. Berikut
salah satu pemberian masalah pada awal materi.
41
Uraian materi juga memuat rumus-rumus yang berhubungan
dengan pokok bahasan yang dibahas. Rumus-rumus tersebut dibuat
dalam kotak agar mahasiswa mudah melihatnya. Berikut salah satu
contoh rumus.
42
Selain memuat materi, dalam uraian ini juga memuat contoh.
Contoh yang diberikan berguna bagi mahasiswa untuk menambah
pemahaman mengenai materi yang disampaikan. Contoh yang
diberikan berhubungan dengan masalah yang diberikan di awal
materi. Contoh memuat ciri pembelajaran berbasis masalah.
Berikut salah satu bentuk contoh pada modul ini. c. Setelah soal latihan setelatelah itu diberikan beberapa soal latihan
terbimbing dimana pada latihan ini siswa dilatih untuk menguasai
materi tetapi dengan membimbing siswa dalam mengerjakan latihan
dengan mengosongkan bagian-bagian jawaban dari latihan. Berikut
ini diberikan bentuk latihan pada modul
43
d. Setelah mengerjakan latihan terbimbing. Siswa diminta untuk
megerjakan Soal-soal latihan mandiri diambil dari soal-soal yang
terdapat dalam buku kalkulus edisi kesembilan karangan Varaberg
Purcell rigdom dan buku kalkulus dan ilmu ukur analitik karangan
Leithold, dan referensi tambahan lain yang disesuaikan dengan
kemampuan mahasiswa. Soal latihan yang diambil adalah soal yang
dapat menunjang pembelajaran berbasis masalah. Dengan adanya
latihan tersebut, diharapkan kemampuan pemecahan masalah
mahasiswa dapat meningkat. Berikut salah satu contoh latihan.
e. Pada bagian akhir kegiatan belajar, terdapat umpan balik dan tindak
lanjut. Bagian umpan balik berisi petunjuk bagi mahasiswa agar
mencocokkan jawaban latihan dengan kunci jawaban yang terdapat
44
pada bagian akhir modul. Hal ini dilakukan agar mahasiswa dapat
mengetahui tingkat penguasaannya terhadap isi kegiatan belajar.
Berikut salah satu bagian umpan balik.
Bagian tindak lanjut berisi kegiatan yang harus dilakukan
mahasiswa atas dasar hasil latihannya. Mahasiswa diberi petunjuk
untuk melakukan kegiatan lanjutan apakah kembali mempelajari
kegiatan belajar tersebut atau terus melanjutkan ke kegiatan belajar
selanjutnya. Berikut contoh bagian tindak lanjut pada salah satu
kegiatan belajar.
45
f. Kunci jawaban latihan dan referensi berada pada akhir setiap modul.
Kunci jawaban yang dimuat merupakan kunci jawaban semua
kegiatan belajar pada modul tersebut. Contoh kunci jawaban
diberikan sebagai berikut.
g. Referensi yang berada pada akhir setiap modul berisi acuan yang
digunakan pada saat penulisan modul. Referensi berguna untuk
memberi tahu mahasiswa darimana sumber modul ini didapatkan.
Jika mahasiswa ingin lebih lanjut mengetahui mengenai materi
maka mahasiswa dapat mencari buku yangterdapat dalam referensi.
Berikut salah satu contoh referensi.
46
Produk yang dibuat yang berupa modul berbasis masalah belum
sepenuhnya selesai. Diantaranya ada beberapa materi yang belum disajikan
dalam masalah kontekstual atau dalam kehidupan sehari-hari. Selanjutnya
beberapa modul yang belum dibuatkan kunci jawabannya. Penyempurnaan
modul ini akan dilakukan pada laporan akhir sebelum dilakukan presentasi
kelayakan.
Validator memvalidasi hasil rancangan modul berbasis masalah
dengan mengisi lembar validasi. Hasil validasi baru dilakukan oleh satu orang
validator dan materi yang divalidasi masih pada bab pendahuluan dengan
tujuh kegiatan belajar. Validasi selajutnya akan dilanjutkan pada tahun kedua
dengan tiga validator lainnya dan untuk keseluruhan materi pada semua bab.
Tabel 6. Jawaban dan Skor Validasi
Pernyataan Skor validator
Tujuan a. Rumusan standar kompetensi jelas
dan komprehensif 4
b. Jumlah standar kompetensi sesuai dengan waktu yang tersedia 5
47
Rata-rata skor 4.5 Rasional
a. Modul memiliki ciri khas 4 b. Modul mampu memotivasi 4 c. Modul bermanfaat untuk
mahasiswa 5
Rata-rata skor 4.33 Isi modul
a. Teori yang dipakai sesuai dengan materi 5
b. Soal yang dipakai sesuai dengan materi 5
c. Soal yang diberikan bervariasi 4
Skor rata-rata 4,66
Karakteristik a. Adanya masalah yang diberikan di
awal materi 3
b. Masalah yang diberikan familiar bagi mahasiswa 3
c. Modul mampu memunculkan soal bervariasi sehingga dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar
4
d. Modul mampu melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi
3
e. Latihan dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa 2
f. Contoh dan latihan sesuai dengan masalah yang diberikan 3
g. Contoh dapat meningkatkan kemampuan problem solving 3
Skor rata-rata 3,00 Kesesuaian
a. Terdapat kesesuaian tujuan dan materi 4
b. Terdapat kesesuaian materi dan soal 4
c. Terdapat kesesuaian contoh dan latihan 5
Skor rata-rata 4.33 Bahasa
48
a. Kalimat mudah dipahami 4 b. Kalimat yang digunakan sesuai
dengan kaidah EYD 2
c. Struktur kalimat sesuai dengan kemampuan mahasiswa 4
d. Bahasa yang digunakan komunikatif 4
Skor rata-rata 3.50 Bentuk fisik
a. Format dan desain isi modul menarik 4
b. Gambar yang digunakan menarik 4 c. Cover modul menarik dan mewakili
gambaran isi modul secara keseluruhan
4
Skor rata-rata 4.00 Rata-rata total skor validasi 3.97
Keterangan: Validator: Hamdunah Nasution, M.Si
Penilaian validitas isi dan konstruk yang terlihat pada Tabel 6 dapat
disimpulkan sebagai berikut.
a. Berdasarkan tujuan, tujuan standar kompetensi jelas dan komprehensif. Jika
dikaitkan jumlah standar kompetensi dengan waktu yang tersedia juga sudah
sesuai.
b. Dari segi rasional, modul memiliki ciri khas. Modul bermanfaat untuk
mahasiswa karena modul tersebut dapat memotivasi mahasiswa dalam
perkuliahan Kalkulus 1.
c. Berdasarkan isi modul, teori dan soal yang dipakai sesuai dengan materi.
Kesesuaian ini diharapkan agar mahasiswa mencapai kompetensi yang
dirumuskan. Tingkat kesulitan soal yang terdapat pada modul ini bervariasi
agar mahasiswa tidak mengalami kejenuhan.
49
d. Berdasarkan karakteristik, modul dinilai sudah memiliki karakteristik
pembelajaran berbasis masalah. Modul memberikan masalah kontekstual
yang berhubungan dengan bidang fisika pada awal materi. Masalah yang
diberikan tersebut tidak asing bagi mahasiswa. Selain itu, modul mampu
melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi.
Contoh dan latihan yang diberikan sesuai dengan masalah yang diberikan.
Latihan tersebut dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa dan contoh
dapat meningkatkan kemampuan problem solving.
e. Berdasarkan aspek kesesuaian, terdapat kesesuaian tujuan dan materi.
Kesesuaian juga terdapat pada materi dan soal serta contoh dan latihan yang
bertujuan agar mahasiswa mudah dalam mempelajari materi.
f. Berdasarkan aspek bahasa, kalimat yang digunakan mudah dipahami dan
sesuai dengan kaidah EYD. Struktur kalimat dalam modul sesuai dengan
kemampuan mahasiswa dan bahasa yang digunakan komunikatif.
g. Berdasarkan bentuk fisik, format dan desain isi modul menarik. Gambar yang
digunakan menarik sehingga dapat membantu mahasiswa dalam memahami
materi. Cover modul menarik dan mewakili gambaran isi modul secara
keseluruhan.
Dari kesimpulan di atas, dapat dikatakan bahwa modul berbasis masalah
dinilai sudah memenuhi syarat sebagai bahan perkuliahan.
Pada lembar validasi, validator juga memberikan catatan. Beberapa
catatan validator diuraikan sebagai berikut.
50
a. Gambar menarik tetapi tidak sesuai dengan masalah dan ilustrasi gambar cari
yang lebih spesifik
b. Bahasa diperbaiki.
c. Gunakan kata yang baku.
d. Kalimat/pernyataan harus jelas, jangan gantung.
e. Konsisten dalam menggunakan istilah.
f. Setiap rangkuman, harus jelas keterangannya.
g. Berikan contoh yang menjadikan mahasiswa berpikir secara benar sesuai
dengan tuntutan pemecahan masalah.
h. Pada latihan terbimbing bagusnya tidak diberikan tanda karena akan
mengekang kreatifitas mahasiswa dalam menjawab soal yang diberikan.
Berdasarkan catatan yang diberikan oleh validator, belum melakukan
revisi pada modul, karena hal ini akan direncanakan pada tahun berikut nya
sehingga menghasilkan modul yang benar-benar valid. Beberapa contah revisi
validator.
Contoh revisi validator dari segi bahasa
51
Contoh revisi validator dari segi kesesuain materi
Contoh revisi validator dari segi karakteristik modul
52
Revisi pada aspek bentuk fisik modul
Revisi-revisi dari vlidator akan di perbaiki pada rencana tahun ke- dua dengan
mengabungkan beberapa revisi dari validator lainya serta untuk seluruh
materi pada seluruh bab.
B. Pembahasan
1. Validitas modul berbasis masalah
Modul berbasis masalah perlu divalidasi untuk memperoleh modul
yang tepat sehingga dapat digunakan sebagai bahan perkuliahan mandiri.
Validitas dilakukan oleh ahli pendidikan dalam bidang masing-masing.
Validitas yang dilakukan pada penelitian ini menekankan pada validitas isi
dan konstruk. Berdasarkan hasil validasi modul berbasis masalah pada bab
53
pendahuluan oleh satu orang validator dapat diketahui bahwa modul yang
dikembangkan memperoleh rata-rata skor validasi adalah 3,97. Dengan
merujuk kepada kriteria, modul berbasis masalah dapat dikatakan valid
dari segi isi dan konstruk. Modul berbasis masalah yang valid dari segi isi
berarti modul berbasis masalah yang telah dirancang sesuai dengan silabus
mata kuliah, sedangkan valid dari segi konstruk berarti komponen-
komponen modul berbasis masalah tersebut sesuai dengan indikator-
indikator yang telah ditetapkan. Hal ini telah menjawab rumusan masalah
“Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada mata kuliah Kalkulus
kalkulus 1?.
Validitas modul berbasis masalah dapat diuraikan sebagai berikut.
a. Standar kompetensi yang dirumuskan sudah jelas dan komprehensif
serta sesuai dengan waktu yang tersedia. Direktorat Pembinaan SMK
(2008:4) menyatakan modul harus memuat tujuan pembelajaran yang
jelas, dan dapat menggambarkan pencapaian standar kompetensi dan
kompetensi dasar. Rumusan standar kompetensi yang jelas dan
komprehensif membuat mahasiswa mengetahui tujuan yang diperoleh
jika mengikuti perkuliahan Kalkulus 1. Waktu yang tersedia sesuai
dengan standar kompetensi membuat mahasiswa dapat memahami
materi perkuliahan dengan baik.
b. Modul untuk perkuliahan Kalkulu 1 memiliki ciri khas, yaitu modul
yang dikembangkan berbasis masalah. Selain bercirikan pembelajaran
berbasis masalah, modul memuat contoh dengan dengan langkah yang
54
rinci. Modul berbasis masalah bermanfaat untuk mahasiswa karena
mampu memotivasi mahasiswa dalam perkuliahan. Hal ini sejalan
dengan Muljono (2001:1) yang menyatakan modul dapat
meningkatkan motivasi belajar mahasiswa.
c. Isi modul berupa teori dan soal sudah sesuai dengan materi pada
silabus mata kuliah Kalkulus 1, sehingga mahasiswa dapat mencapai
kompetensi yang diharapkan. Direktorat Pembinaan SMK (2008:16)
menyatakan materi atau isi modul harus sesuai dengan silabus. Modul
berbasis masalah juga memuat soal-soal yang bervariasi agar
mahasiswa tidak jenuh dalam mengerjakan soal.
d. Modul yang dikembangkan memiliki karakteristik suatu pembelajaran
berbasis masalah. Salah satu karakteristik pembelajaran berbasis
masalah yang dimiliki modul adalah adanya masalah yang diberikan
pada awal materi (Savoie dalam Wena, 2010:91). Masalah yang
diberikan tersebut tidak asing bagi mahasiswa. Contoh dan latihan
dibuat sesuai dengan masalah yang diberikan. Modul berbasis masalah
ini dapat meningkatkan kemampuan problem solving.
e. Terdapat kesesuaian antara tujuan perkuliahan dan materi, sehingga
mahasiswa mencapai kompetensi yang diharapkan. Kesesuaian juga
terdapat antara materi dan soal, serta contoh dan soal. Kesesuaian ini
bermanfaat untuk mahasiswa sehingga mudah memahami materi dan
contoh, serta dapat mengerjakan soal dengan baik.
55
f. Kalimat yang digunakan pada modul berbasis masalah sudah sesuai
dengan kaidah EYD sehingga mudah dipahami. Bahasa yang
digunakan pun komunikatif. Direktorat Pembinaan SMK (2008:5)
menyatakan bahwa modul haruslah menggunakan bahasa yang
sederhana dan komunikatif. Kalimat yang mudah dipahami dan
bahasa yang komunikatif membuat mahasiswa dapat memahami
materi dalam modul tersebut.
g. Format dan desain isi modul menarik. Selain itu, cover modul menarik
dan mewakili isi modul secara keseluruhan. Majid (2006:176)
memaparkan bahwa buku yang baik adalah buku yang disajikan
secara menarik dilengkapi dengan gambar dan keterangan-
keterangannya. Bentuk fisik dari modul berbasis masalah yang
menarik ini dapat meningkatkan motivasi mahasiswa dalam
mempelajari isi modul.
2. Untuk tahap praktikalitas dan efektifitas akan dilakukan pada tahun ke -2
C. Publikasi Hasil Penelitian
Hasil penelitian pengembangan model berbasis masalah pada perkulihan
kalkulus 1 telah di presentasikan dan akan dicetak berupa prosiding pada seminar
nasional matematika dan pendidikan matematika di convention hall unand pada
tanggal 30 September 2013.
56
BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA
Setelah selesai mendisain modul maka rencana tahapan selanjutnya adalah
1. Memvalidasi Modul Berbasis Masalah
Modul Kalkulus 1 berbasisis masalah yang sudah dirancang akan
divalidasi oleh beberapa validator (pakar) untuk melanjutkan hasil
validasi pada tahun-1 untuk keseluruhan materi. Validitas modul ini
direncanakan akan dilakukan oleh empat validator. Validator-validator
tersebut adalah satu orang pakar Kalkulus 1, satu orang dosen Kalkulus
1, satu orang dosen jurusan Bahasa Indonesia, dan satu orang dosen
jurusan Matematika STKIP PGRI Padang Sumatera Barat. Setelah selesai
divalidasi skor akan dikategorikan berdasarkan kriteria yang telah dibuat
pada bab IV. Pernyataan yang akan divalidasi oleh validator
direncanakan sesuai dengan Tabel 7 berikut.
Tabel 7. Jawaban dan Skor Validasi
Pernyataan Skor rata-rata Jawaban
Tujuan c. Rumusan standar kompetensi jelas dan
komprehensif
d. Jumlah standar kompetensi sesuai dengan waktu yang tersedia
Rasional d. Modul memiliki ciri khas e. Modul mampu memotivasi f. Modul bermanfaat untuk mahasiswa
Isi modul d. Teori yang dipakai sesuai dengan
materi
e. Soal yang dipakai sesuai dengan materi
f. Soal yang diberikan bervariasi
56
57
Karakteristik h. Adanya masalah yang diberikan di
awal materi
i. Masalah yang diberikan familiar bagi mahasiswa
j. Modul mampu memunculkan soal bervariasi sehingga dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar
k. Modul mampu melibatkan gambar yang membantu mahasiswa dalam memahami materi
l. Latihan dapat mendorong kreatifitas berpikir mahasiswa
m. Contoh dan latihan sesuai dengan masalah yang diberikan
n. Contoh dapat meningkatkan kemampuan problem solving
Kesesuaian d. Terdapat kesesuaian tujuan dan materi e. Terdapat kesesuaian materi dan soal f. Terdapat kesesuaian contoh dan
latihan
Bahasa e. Kalimat mudah dipahami f. Kalimat yang digunakan sesuai
dengan kaidah EYD
g. Struktur kalimat sesuai dengan kemampuan mahasiswa
h. Bahasa yang digunakan komunikatif Bentuk fisik
d. Format dan desain isi modul menarik e. Gambar yang digunakan menarik f. Cover modul menarik dan mewakili
gambaran isi modul secara keseluruhan
Skor rata-rata validasi
Setelah dilakukan validasi oleh pakar modul direncanakan akan
diuji cobakan kepada mahasiswa kalkulus 1 untuk melihat praktikalitas
dan efektivitas modul yang akan diuraikan sebagai berikut.
58
2. Praktikalitas Modul Berbasis Masalah
Uji praktikalitas perlu dilakukan untuk mendapat informasi
tentang keterpakaian modul berbasis masalah. Uji praktikalitas menjawab
apakah modul berbasis masalah dapat digunakan atau tidak. Data
praktikalitas modul berbasis masalah diperoleh dari observasi
pelaksanaan perkuliahan dan wawancara dengan mahasiswa. Hal-hal
yang diamati melalui observasi direncanakan sebagai berikut.
a. Observasi pelaksanaan perkuliahan dengan modul berbasis masalah.
Observasi pelaksanaan perkuliahan difokuskan untuk melihat
apakah perkuliahan terlaksana dan melihat jika ada kendala dalam
pelaksanaannya. Observasi dilakukan oleh 1 orang observer.
b. wawancara dengan mahasiswa mengenai praktikalitas modul
berbasis masalah
Wawancara direncanakan dilakukan kepada mahasiswa yang
sedang mengambil mata kuliah Kalkulus 1. Waktu yang digunakan
untuk wawancara direncanakan adalah setelah mahasiswa selesai
mengikuti perkuliahan dengan menggunakan modul. Indikator yang
digunakan dalam wawancara ini adalah waktu, penggunaan, dan
manfaat.
59
3. Efektifitas modul berbasis masalah
Aspek efektifitas yang diamati dalam proses perkuliahan
Kalkulus 1 dengan menggunakan modul berbasis masalah di kelas uji
coba direncanakan adalah aktivitas dan hasil belajar belajar mahasiswa.
Berikut ini data aktivitas dan hasil belajar mahasiswa yang direncanakan
akan diamati adalah
a. Aktivitas mahasiswa
Data aktivitas mahasiswa diperoleh selama kegiatan
perkuliahan menggunakan modul berbasis masalah. Aktivitas
mahasiswa diamati oleh dua observer dengan mengisi instrumen
aktivitas. Berikut format lembar observasi.
Tabel 8. Data Hasil Pengamatan Observer terhadap Aktivitas Mahasiswa
Aspek yang diamati
Pertemuan 1
Pertemuan 2
Pertemuan 3 % rata-
rata Visual activities
Oral activities Listening activities
Writing activities
Drawing activities
Mental activities
Emotional activities
Motor activities
60
b. Hasil belajar
Penilaian hasil belajar mahasiswa direncanakan akan
dilakukan dengan memberikan soal tes yang sudah dipersiapkan dan
di validasi
4. Desiminasi
Pada tahap ini direncanakan jika modul kalkulus 1 sudah valid,
efektif dan praktis maka akan dicetak dalam bentuk modul yang
mempunyai NISN, dan disebar luaskan pada mahasiswa STKIP PGRI
Sumbar yang mengambil mata kuliah kalkulus 1.
5. Artikel Atau Prosiding Internasional
Setelah modul selesai dicetak dan laporan akhir pada tahun kedua
sudah layak dan selesai, akan direcanakan mengikuti prosiding
internasional diluar daerah Padang seperti di Bandung, Semarang, dan
Jakarta agar dapat dimasukan pada jurnal yang terakreditasi.
61
BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Modul berbasis masalah yang dikembangkan untuk perkuliahan
kalkulus 1 meliputi: 1) Pendahuluan, 2) Limit dan Fungsi, 3) Turunan, 4)
Aplikasi Turunan, Modul berbasis masalah yang dirancang memuat indikator
kompetensi, materi, contoh, Latihan Mandiri, Latihan Terbimbing, umpan
balik serta kunci jawaban.
Hal yang sudah dilakukan pada tahun pertama adalah: merancang
modul berbasis masalah dengan tahapan menganalisis silabus, menganalisis
buku teks, menganalisis kebutuhan masiswa dengan melakukan wawacara
teman sejawat.
Selanjutnya hal-hal yang akan dilakukan pada tahun kedua adalah:
1. Memvalidasi modul berbasis masalah
2. Melihat Praktikalitas modul berbasis masalah
3. Melihat efektifitas modul berbasis masalah Keefektifan modul berbasis
masalah diamati melalui aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.
4. Apabila modul sudah valid, praktis, efektif, maka akan disebarluaskan
kepada mahasiswa STKIP PGRI Sumatera Barat (Desiminasi)
B. Saran
Penelitian ini diharapkan menghasilkan modul berbasis masalah untuk
perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat. Jika Penelitian ini
sudah selalesai maka hasil penelitian ini dapat dijadikan sebagai pedoman
61
62
bagi dosen dalam melaksanakan perkuliahan kalkulus 1. Selain itu, modul
berbasis masalah dapat mempermudah mahasiswa dalam belajar dan dapat
meningkatkan aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.
Dosen dapat mengembangkan modul berbasis masalah untuk mata
kuliah yang lain. Pengembangan modul yang dilakukan harus sejalan dengan
pengembangan pelaksanaan perkuliahan di kelas agar hasil yang diperoleh
sesuai dengan tujuan yang telah ditetapkan. Perlu diperhatikan validitas,
praktikalitas, dan efektifitas modul tersebut karena faktor-faktor tersebut
sangat menentukan kualitas modul yang dihasilkan.
63
DAFTAR PUSTAKA
Buku Pedoman Akademik 2011/2012 STKIP PGRI Sumatera Barat
Depdiknas. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Departemen Pendidkan Nasional.
Dimyati dan Mudjiono. 1999. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka
Cipta Muliyardi. 2006. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dengan
Menggunakan Komik di Kelas I Sekolah Dasar. Disertasi tidak diterbitkan. Surabaya : Pasca Sarjana UNESA.
Nasution. 2008. Berbagai Pendekatan Dalam Proses Belajar Mengajar. Jakarta:
PT Bumi Aksara Sanjaya, Wina. 2006. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses
Pendidikan. Jakarta: Prenada Media Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: RajaGrafindo
Persada. Sugiyono. 2011. Metodologi Penelitian Penddikan Pendekatan Kuantitatif,
Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta Sukardi. 2009. Evaluasi Pendidikan Prinsip dan Operasionalnya. Yogyakarta:
Bumi Aksara Suprawoto. 2009. Mengembangkan Bahan Ajar dengan Menyusun
Modul.(http://www.scribd.com/doc/16554502/Mengembangkan-Bahan-Ajar-dengan-Menyusun-Modul, diakses 8 September 2010)
Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Jakarta:
Prestasi Pustaka. Wena, Made. 2010. Strategi Pembelajaran Inovatif Kontemporer. Jakarta: Bumi
Aksara Yasmin, Nyimas. 2007. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis RME
Untuk Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Padang: Pasca Sarjana UNP
72
Lampiran 3. Biodata Ketua dan Anggota Tim Peneliti
A. Identitas Diri (Ketua)
1 Nama Lengkap Dra. Hj. Husna, M.Si. 2 Jabatan Fungsional Lektor 3 Jabatan struktural Ketua Unit P3M STKIP PGRI
Sumatera Barat 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 196409141991032001 5 NIDN 0014096401 6 Tempat dan Tanggal Lahir Muara Panas dan 14 September1964 7 Alamat Rumah Komplek Taruko A.14 Gunung
Pangilun 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374386503 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun Padang 10 Nomor Telepon/Faks (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan S1 = 200 orang 13 Mata Kuliah yang Diampu Fisika Dasar
B. Riwayat Pendidikan
S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi IKIP Padang UGM Bidang Ilmu Pendidikan
Fisika Fisika
Tahun Masuk-Lulus 1983-1990 1994-1998 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi
Analisis Materi Elektronika pada Jurusan Pendidikan Fisika FMIPA IKIP Padang
Analisis Neutronik Pemulsaan Reaktor Kartini
Nama Pembimbing/Promotor
Dra. Djusmaini Djamas, M.Si
Prof. Dr. Prayoto, M.Sc.
C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir
No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)
1 2009 Pengembangan Bahan Ajar Interaktif Fisika dengan
Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar 3
73
Menggunakan Macromedia Director Pada Materi Listrik Dinamis
2 2010 Pengembangan LKS Berbasis Problem Based Instruction pada Pembelajaran Fisika Kelas X SMAN 7 Padang
Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar
3
3 2011 Pengaruh Penerapan Problem Based Learning (PBL) dalam Pembelajaran Fisika terhadap Kreativitas Belajar Siswa Kelas X SMAN 7 Padang
Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar
2
4 2011 Upaya Meningkatkan Aktivitas Belajar Fisika Dasar Mahasiswa Prodi Pendidikan Biologi STKIP PGRI Sumbar Menggunakan Pendekatan CTL yang Diiringi dengan Handout
Yayasan Pendidikan PGRI Sumbar
2
k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir
No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat
Pendanaan
Sumber Jml (Juta Rp)
2007 Persiapan Menghadapi Ujian Akhir Sekolah (UAS) dan Ujian Akhir Nasional (UAN) Tahun Pelajaran 2006/2007 bagi Siswa-siswi Kelas XII SMK DHUAFA Padang
STKIP PGRI Sumatera Barat
1
74
2010 Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan
STKIP PGRI Sumatera Barat
5
2010 Persiapan Menghadapi Ujian Akhir Sekolah (UAS) dan Ujian Akhir Nasional (UAN) Tahun Pelajaran 2009/2010 di SMA N 1 Lembang Jaya Kabupaten Solok
STKIP PGRI Sumatera Barat
1
2011 Pelatihan Aplikasi Microsoft Exel untuk Meningkatkan Efektifitas Penilaian Guru sekolah Dasar (SD) Negeri 13 Gadut Kec.Tilatang Kamang
Prodi Pendidikan Matematika
0,5
2012 Penyuluhan tentang Inovasi dalam Pendidikan Matematika
Prodi Pendidikan Matematika
1
2012 Pencegahan Penyalahgunaan Narkoba bagi Kalangan Pelajar di SMK N I Tarusan Kabupaten Pesisir Selatan
STKIP PGRI Sumatera Barat
1
p. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun
terakhir
No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1 Karakterisasi Mineral
Magnetik Sedimen Muara Batang Arau Padang dengan Metoda Suseptibilitas Magnetik dan Isothermal Remanent Magnetization (IMR)
Vol. 1/No.2/Juni 2009 Pelangi
2 Studi tentang Karakteristik Magnetik pada Lapisan Pasir Besi Pantai Sunur Pariaman, Pantai Masang dan Durian Kapeh Agam melalui Metoda Magnetik
V0l. 2/No. 1/Desember 2009
Pelangi
3 Studi Perbandingan Penerapan Strategi
Vol. 2/No. 2/Juni 2010
Pelangi
75
Question Student Have dengan Strategi Pemecahan Masalahdalam Pembelajaran Fisika Siswa Kelas X SMA Negeri 5 Padang
4 Pengaruh Penggunaan Bahan Ajar Kompilasi Terhadap Hasil Belajar Fisika Siswa Kelas XI IPA SMA Negeri 7 Padang
Vol. 3/No.1/Desember 2010
Pelangi
5 Penerapan Strategi Lightening the Learning Climate disertai Komik dalam Pembelajaran Matematika Siswa Kelas VIII SMPN 28 Padang
Vol. 4/No.1/Desember 2011
Pelangi
F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/
Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir
No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar
Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat
1
G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1
H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir
No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1
76
r. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya
dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan
Tahun Tempat Penerapan
Respons Masyarakat
1
J. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir
No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan
Tahun
1
Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan
dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata
dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.
Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu
persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.
Padang, 10 Maret 2012
Pengusul,
(Dra. Hj. Husna, M.Si)
77
D. Identitas Diri (Anggota 1)
1 Nama Lengkap Anny Sovia, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1022058702 6 Tempat dan Tanggal Lahir Tanjung Pauh Mudik, 22 Mei 1987 7 Alamat Rumah Jl.Asmat No 124 Komp PT.KA
Padang 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374115417 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun Padang 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan
13 Mata Kuliah yang Diampu 1. Kalkulus 1 2. Kalkulus Peubah Banyak 2 3. Analisis Kompleks
B. Riwayat Pendidikan
S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan
Matematika
Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2012 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi
Menentukan Bentuk Permukaan Kuadrik Melalui Proses Diagonalisasi Matriks
Pengembangan Buku kerja Berbasis Konstruktivisme untuk Perkuliahan Kalkulus Peubah Banyak 2
Nama Pembimbing/Promotor
Drs. Yusmet Rizal, M.Si
Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc
C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir
No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)
1
78
k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir
No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat
Pendanaan
Sumber Jml (Juta Rp)
1 2010
Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan
STKIP PGRI Sumatera Barat
5
2
E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun
terakhir
No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1
F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/
Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir
No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar
Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat
1
G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1
H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir
No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1
I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya
dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan
Tahun Tempat Penerapan
Respons Masyarakat
1
79
f. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir
No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan
Tahun
1
Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan
dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata
dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.
Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu
persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.
Padang, 10 Maret 2012
Pengusul,
(Anny Sovia, S.Si, M.Pd)
80
D. Identitas Diri (Anggota 2)
1 Nama Lengkap Rahima, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1031058602 6 Tempat dan Tanggal Lahir Solok / 31 Mei 1986 7 Alamat Rumah Komp. Pola Mas I Blok E no. 8 Andalas
Padang
8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/081374852452 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah
dihasilkan
13 Mata Kuliah yang Diampu
1. Kalkulus 1 2. Kalkulus Peubah Banyak 2 3. Pengantar Dasar Matematika 4. Teknik Sampling
B. Riwayat Pendidikan
S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan
Matematika
Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2012 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi
Model Kontrol Inventori Multi-Produk
Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus Peubah Banyak 2 di STKIP PGRI Sumatera Barat
Nama Pembimbing/Promotor
Irwan, M.Si Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc
C. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir
No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)
1
81
k. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir
No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat
Pendanaan
Sumber Jml (Juta Rp)
1 2010
Pelatihan Penggunaan Media Komputer dalam Pembelajaran Matematika di MTsN Talaok Pesisir Selatan
STKIP PGRI Sumatera Barat
5
2
E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun
terakhir
No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1
F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/
Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir
No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar
Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat
1
G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1
H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir
No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1
I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya
dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan
Tahun Tempat Penerapan
Respons Masyarakat
1
82
f. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir
No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan
Tahun
1
Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan
dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata
dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima iesikonya.
Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu
persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.
Padang, 10 Maret 2012
Pengusul,
(Rahima, S.Si,M.Pd)
83
D. Identitas Diri (Anggota 3)
1 Nama Lengkap Yulyanti Harisman, S.Si., M.Pd. 2 Jabatan Fungsional Asisten Ahli 3 Jabatan struktural 4 NIP/NIK/Identitas lainnya 5 NIDN 1010078601 6 Tempat dan Tanggal Lahir Solok, 10 Juli 1986 7 Alamat Rumah Komp. Arai pinang I Blok H. 02
Padang 8 Nomor Telepon/Faks/HP -/-/085376500735 9 Alamat Kantor Jl. Gunung Pangilun 10 Nomor Telepon/Fax (0751)7053826/(0751)7053826 11 Alamat e-mail [email protected] 12 Lulusan yang telah dihasilkan
13 Mata Kuliah yang Diampu
1.Geometri Ruang 2.Matematika Diskrit 3.Sejarah Matematika 4.Teknik Sampling
B. Riwayat Pendidikan
S-1 S-2 S-3 Nama Perguruan Tinggi UNP UNP Bidang Ilmu Matematika Pendidikan
Matematika
Tahun Masuk-Lulus 2004-2008 2009-2011 Judul Skripsi/Thesis/Disertasi
Distribusi Gumbel
Penerapan Motode Grouping Investigation untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa pada Mata Kuliah Evaluasi Pembelajaran Matematika di UMMY Solok
Nama Pembimbing/Promotor
Dra. Nonong Amalita, M.Si
Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd., M.Sc
84
d. Pengalaman Penelitian Selama Lima Tahun terakhir
No Tahun Judul penelitian Pendanaan Sumber Jml (Juta Rp)
1
D. Pengalaman Pengabdian Kepada Masyarakat Dalam 5 Tahun Terakhir
No Tahun Judul Pengabdian Kepada Masyarakat
Pendanaan
Sumber Jml (Juta Rp)
1 2011 Latihan Aplikasi Microsoft Exel untuk Meningkatkan Efektivitas Penilaian Guru Sekolah Dasar (SD) Negeri 13 Gadut Kec.Tilatang Kamang
Prodi Pendidikan Matematika
0,5
2 2012 Penyuluhan tentang Inovasi dalam Pendidikan
Prodi Pendidikan Matematika
1
E. Pengalaman Penulisan Artikel Ilmiah dalam Jurnal dalam 5 Tahun
terakhir
No Judul Artikel Ilmiah Volume/Nomor/Tahun Nama Jurnal 1 Penerapan Motode
Grouping Investigation untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa pada Mata Kuliah Evaluasi Pembelajaran Matematika di UMMY Solok
Vol.4/No.1/Desember 2011
Pelangi
2
F. Pengalaman Penyampaian Makalah Secara Oral pada Pertemuan/
Seminar Ilmiah dalam 5 Tahun Terakhir
No Nama Pertemuan Ilmiah/seminar
Judul Artikel Imiah Waktu dan Tempat
1
85
G. Pengalaman Penulisan Buku dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul Buku Tahun Jumlah halaman Penerbit 1
H. Pengalaman Perolehan HKI dalam 5-10 Tahun Terakhir
No Judul/Tema HKI Tahun Jenis Nomor P/ID 1
I. Pengalaman Merumuskan Kebijakan Publik/Rekayasa Sosial Lainnya
dalam 5 Tahun Terakhir
No Judul/Tema/Jenis Rekayasa Sosial Lainnya yang Telah Diterapkan
Tahun Tempat Penerapan
Respons Masyarakat
1
J. Penghargaan yang Pernah Diraih dalam 10 Tahun Terakhir
No Jenis Penghargaan Institusi Pemberi Penghargaan
Tahun
1
Semua data yang saya isikan dan tercantum dalam biodata ini adalah benar dan
dapat dipertanggungjawabkan secara hukum. Apabila dikemudian hari ternyata
dijumpai ketidaksesuaian dengan kenyataan, saya sanggup menerima resikonya.
Demikian biodata ini saya buat dengan sebenarnya untuk memenuhi salah satu
persyaratan dalam pengajuan hibah bersaing.
Padang, 10 Maret 2012
Pengusul,
(Yulyanti Harisman, S.Si, M.Pd)
�6
PENGEMBANGAN MODUL BERBASIS MASALAH PADA PERKULIAHAN KALKULUS 1 DI STKIP PGRI SUMATERA BARAT
Yulyanti Harisman1, Husna2, Anny Sovia3, Rahima4
1,2,3,4)Program Studi Pendidikan Matematika. STKIP PGRI SUMBAR, Padang, Indonesia
1)[email protected], 2)[email protected],3)[email protected], 4)[email protected]
Abstrak. Kemampuan matematis mahasiswa melalui perkuliahan Kalkulus 1. Perkuliahan akan maksimal jika didukung oleh bahan perkuliahan yang baik. Bahan perkuliahan yang baik adalah bahan perkuliahan yang mampu memfasilitasi mahasiswa untuk memahami materi perkuliahan. Selama ini bahan perkuliahan dalam pembelajaran Kalkulus 1 adalah buku teks. Buku teks yang dipakai belum menggunakan bahasa yang komunikatif, sehingga mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri dan kemampuan pemecahan masalah masih rendah. Oleh karena itu dibutuhkan suatu bahan perkuliahan yang dapat memotivasi mahasiswa untuk belajar mandiri dan meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, yakni berupa modul berbasis masalah. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan modul berbasis masalah yang valid, praktis dan efektif pada mata kuliah Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat. Penelitian ini adalah penelitian pengembangan dengan menggunakan model 4D. Tahapan yang dilakukan hanya pada tahapdefinedan design. Pada tahap define dilakukan analisis silabus dan buku teks, mereviu literatur, serta wawancara teman sejawat. Pada tahap design dilakukan perancangan buku kerja. Hasil pada tahap difinediperoleh materi sudah sesuai dengan silabus, wawacara dengan teman sejawat diperoleh informasi bahwa proses pembelajaran masih berpusat pada dosen dan mahasiswa malas belajar mandiri. Selanjutnya analisis buku teks, buku teks yang dipakai adalah: Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell Rigdom, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold, Kalkulus Karangan Koko Martono diperoleh hasil bahwa bahasa buku teks belum sesuai dengan kemampuan mahasiswa STKIP PGRI Sumbar. Hasil pada tahap disain yaitu telah dirancang modul sesuai dengan pendisainan modul berbasis masalah pada spesifikasi produk. 1ata Kunci : pengembangan, modul, Kalkulus 1, berbasis, masalah
87
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kalkulus 1 merupakan Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat dengan bobot 3 sks. Mata kuliah Kalkulus 1 merupakan mata kuliah dasar yang penting dipelajari karena merupakan mata kuliah prasyarat dari mata kuliah Kalkulus 2, Kalkulus Peubah Banyak 1, Analisis Riil1, dan Metode Numerik. Mata kuliah ini membahas sistem bilangan riil, ketaksamaan, pertaksamaan dan nilai mutlak, jenis-jenis dan operasi fungsi, limit fungsi, kekontinuan, turunan, dan menggambar grafik fungsi.
Diharapkan dengan mempelajari Kalkulus 1 mahasiswa dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, pemecahan masalah, dan pemahaman konsep mengenai sistem bilangan riil. Pemahaman mahasiswa tersebut didapatkan dari belajar mandiri tanpa mengharapkan dosen mentranfer seluruh materi secara keseluruhan.
Kenyataan yang terjadi, masih banyak mahasiswa yang memperoleh nilai rendah. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut: Tabel 1. Nilai Kalkulus 1 Mahasiswa Pogram Studi Pendidikan Matematika STKIP
PGRI Sumatera Barat Tahun Pelajaran 2011/2012
Nilai Jumlah % A 16 22.04 B 51 C 56
77.96 D 102 E 79
Jumlah Mahasiswa 304 100
Sumber: Program Studi Pendidikan Matematika Tabel 1 menunjukkan bahwa mahasiswa yang memperoleh nilai kurang dari 65 (kategori C, D, dan E) sebesar 77,96 %. Kenyataan ini masih jauh dari harapan.
Proses perkuliahan Kalkulus 1 selama ini menggunakan metode ceramah dan menggunakan satu buku teks. Berdasarkan pengamatan peneliti, buku teks yang dipakai oleh mahasiswa sulit untuk dipahami oleh mahasiswa STKIP PGRI SUMBAR. Bahasa buku teks Kalkulus 1 masih belum komunikatif dan interaktif, sehingga untuk memahami suatu materi mahasiswa hanya menunggu penjelasan dari dosen. Hal ini menyebabkan mahasiswa tidak termotivasi untuk belajar mandiri. Mahasiswa tidak aktif dalam proses perkuliahan. Perkuliahan hanya bersifat satu arah. Dosen tidak lagi berfungsi sebagai fasilitator tetapi sudah beralih fungsi sebagai pentransfer seluruh ilmu. sehingga penelitian diberi judul “ Pengembangan Modul Berbasis Masalah pada Perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat”.
88
Rumusan Masalah
Bagaimana validitas modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1?
Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dikemukakan, tujuan dari penelitian ini adalah Menghasilkan modul berbasis masalah pada perkuliahan Kalkulus 1 yang valid bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat
METODE PENELITIAN
Rancangan Penelitian
Jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian dan pengembangan (Research and development /R&D). Menurut Sugiyono (2008:407), ”R&D adalah metode pelitian yang digunakan untuk menghasilkan produk tertentu, dan menguji keefektifan produk tersebut”. Produk yang akan dikembangkan dalam penelitian ini adalah alat bantu perkuliahan yang berupa modul berbasis masalah.
Prosedur Penelitian
Penelitian ini menggunakan rancangan penelitian pengembangan dengan model pengembangan 4-D rancangan Thiagarajan, Semmel, dan Semmel (Trianto, 2007: 65). Model pengembangannya terdiri atas 4 tahap yang meliputi: pendefinisian (define), perancangan (design), pengembangan (develop), dan penyebaran (desseminate).yang dilakukan baru sampaidua tahap yaitu define dan design
1. Tahap Pendefinisian (define) Tahap ini dilakukan untuk melihat kondisi yang berhubungan dengan proses perkuliahan Kalkulus 1 di STKIP PGRI Sumatera Barat, kemudian menganalisis permasalahan. Kegiatan yang dilakukan pada tahap ini adalah sebagai berikut. a. Menganalisis silabus, hal ini bertujuan untuk mengetahui apakah materi yang
diajarkan sudah sesuai dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar mata kuliah.
b. Menganalisis buku-buku teks Kalkulus 1, untuk melihat kesesuaian isi buku dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar yang harus dicapai mahasiswa. Buku-buku yang telah sesuai akan digunakan sebagai acuan penyusunan konsep dan contoh soal serta latihan soal pada modul yang akan dikembangkan.
c. Mereviuw literatur yang terkait dengan pengembangan modul, untuk melihat rujukan mengenai modul dan pembelajaran berbasis masalah.
d. Wawancara dengan teman sejawat dan mahasiswa, ini bertujuan untuk mengetahui masalah/hambatan apa saja yang dihadapi di lapangan sehubungan dengan perkuliahan Kalkulus 1.
89
2. Perancangan (design) Setelah menganalisis kebutuhan dilanjutkan dengan perancangan. Pada tahap
ini yang akan dilakukan adalah merancang modul Kalkulus 1. Modul dibuat terdiri dari empat bagian yang dapat dipergunakan untuk satu semester, bagian-bagiannya yaitu:modul 1pendahuluan, modul 2 fungsi dan limit, modul 3 turunan, dan modul 4 pengunaan turunan.
Masing-masing modul berisi standar kompetensi, uraian materi, contoh soal, latihan terbimbing, latihan mandiri, umpan balik, tindak lanjut, dan kunci jawaban. Setiap modul terdiri atas beberapa kegiatan belajar yang sudah disesuaikan dengan silabus.
Intrument Penelitian
Karena tahapan baru hanya sampai desingn penelitian ini belum memakai instrumen untuk melihat validitas, praktikalitas, dan efektifitas, intrument berupa lembar observasi, tes hasil belajar, angket akan digunakan pada tahap development
Tekniks Analisis Data
Karena intrument baru terpakai pada tahap development maka teknik analisa data juga belum bisa dilakukan
Hasil Penelitian dan Pembahasan
Hasil Penelitian Pengembangan modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1 dengan
menggunakan model 4-D memiliki hasil sebagai berikut. 1D Validitas Modul B rbasis Masalah
Kegiatan untuk mendapatkan modul Kalkulus 1 yang valid diawali dengan melewati tahap Pendefinisian. Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap silabus mata kuliah Kalkulus 1. Analisis silabus dilakukan untuk melihat apakah materi yang diajarkan sudah sesuai dengan kompetensi yang diharapkan. Dalam silabus, terdapat empat materi pokok yang harus dipelajari dalam satu semester. Empat materi tersebut adalah Pendahuluan, limit dan fungsi, turunan, dan aplikasi turunan untuk materi keempat. Hasil analisis diperoleh bahwa materi tersebut telah sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai oleh mahasiswa. Urutan materi juga telah pas karena materi sistim bilangan Riil adalah materi pertama yang merupakan materi dasar yang harus dipelajari sebelum mempelajari materi selanjutnya. Sedangkan materi fungsi limit, turunan, dan aplikasi turunan merupakan materi terakhir yang mencakup seluruh materi sebelumnya.
Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis buku rujukan untuk mata kuliah Kalkulus 1. Analisis buku rujukan yang dilakukan bertujuan untuk melihat apakah isi buku sudah sesuai dengan kompetensi dalam silabus. Buku rujukan pertama yang dianalisis adalah buku teks yang selama ini digunakan dalam perkuliahan Kalkulus 1. yaitu kalkulus edisi kesembilan karangan Varbeg purcell rigdom. Materi dalam buku ini sudah mencakup sebagian besar kompetensi yang diharapkan. Namun penyajian dan bahasa materi belum sesuai dengan Kemampuan mahasiswa STKI PGRI SUMBAR. Selain buku karangan Percell, buku Kalkulus karangan koko martono, dan kalkulus
90
ilmu ukur analitik karangan leithold dijadikan sebagai rujukan karena banyak materi yang dapat dijadikan bahan untuk pengembangan modul. Buku-buku lain yang berhubungan dengan materi Kalkulus 1 juga dijadikan rujukan.
Setelah menganalisis buku rujukan Kalkulus 1,kegiatan selanjutnya adalah peneliti berdiskusi dengan teman sejawat. Dari hasil diskusi diketahui bahwa selama ini proses perkuliahan Kalkulus 1 hanya menggunakan metode ceramah. Mahasiswa banyak bergantung pada dosen dalam memahami materi. Mahasiswa belum mampu untuk belajar mandiri. Perlu suatu metode agar mahasiswa tidak terlalu banyak membutuhkan bantuan dosen dalam perkuliahan.
Kegiatan selanjutnya adalah menganalisis literatur yang terkait dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah. Menganalisis literatur yang berhubungan dengan modul dan pembelajaran berbasis masalah juga sangatlah penting. Dengan adanya literatur, maka peneliti terbantu dalam perancangan modul.
Berdasarkan analisis-analisis tersebut, maka dirancanglah modul berbasis masalah untuk mata kuliah Kalkulus 1. Modul yang dirancang terdiri dari empat macam. Modul 1 untuk pokok bahasan Pendahuluan, modul 2 untuk pokok bahasan fungsi dan limit, modul 3 untuk pokok turunan, modul 4 untuk pokok bahasan aplikasi turunan. Modul diharapkan dapat membantu kemandirian mahasiswa dalam perkuliahan.
Berikut diagram dari tahap pendefinisian.
Analisis Silabus mata kuliah Kalkulus 1 1. Sistem Bilangan Riil 2. Fungsi dan limit 3. Turunan 4. Aplikasi Turunan
Analisis Buku rujukan mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak 2 1. Kalkulus edisi kesembilan karangan varberg Purcell
Rigdom 2. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Karangan Leithold 3. Kalkulus Karangan Koko Martono 4. Buku rujukan lain
Reviuw literatur pengembangan modul 1. Teknik Penyusunan Modul 2. Strategi Pembelajaran inovatif Kontemporer
karangan Made Wena
91
Gambar 3. Diagram Alir Tahap Pendefinisian
Berikut ini diuraikan karakteristik modul berbasis masalah yang dirancang. a. Setiap modul yang dirancang memiliki halaman pendahuluan. Halaman
pendahuluan berisi deskripsi singkat tentang isi modul, relevansi dan tujuan instruksional. Relevansi berisi kegunaan mahasiswa dalam mempelajari modul jika modul tersebut dikaitkan dengan modul lain, sedangkan tujuan instruksional berupa kompetensi dasar dan indikator yang harus dicapai mahasiswa setelah mempelajari modul tersebut. Salah satu halaman pendahuluan dapat dilihat sebagai berikut.
b. Setiap kegiatan belajar berisi materi yang berhubungan dengan pokok bahasan yang akan dibahas. Materi diawali dengan pemberian suatu masalah. Masalah yang diberikan berhubungan dengan bidang lain. Dengan adanya masalah tersebut, mahasiswa mengetahui manfaat dari pokok bahasan yang dipelajari. Berikut salah satu pemberian masalah pada awal materi.
Diskusi dengan Teman Sejawat 1. Perkuliahan menggunakan Buku Teks 2. Perkuliahan menggunakan metode
ceramah
Pengembangan Modul Berbasis Masalah untuk Perkuliahan Kalkulus 1
92
Hal ini dirancang sesuai dengan urutan modul atau spesifikasi produk yang diacu pada
teori pembuatan modul sebelum nya untuk satu semester dengan empat pokok bahasan.
Simpulan dan Saraa
Modul berbasis masalah yang dikembangkan untuk perkuliahan kalkulus 1 meliputi: 1) Pendahuluan, 2) Limit dan Fungsi, 3) Turunan, 4) Aplikasi Turunan, Modul berbasis masalah yang dirancang memuat indikator kompetensi, materi, contoh, Latihan Mandiri, Latihan Terbimbing, umpan balik serta kunci jawaban.
Hal yang sudah dilakukan pada tahun pertama adalah: merancang modul berbasis masalah dengan tahapan menganalisis silabus, menganalisis buku teks, menganalisis kebutuhan masiswa dengan melakukan wawacara teman sejawat.
Selanjutnya hal-hal yang akan dilakukan pada tahun kedua adalah:
1. Memvalidasi modul berbasis masalah 2. Melihat Praktikalitas modul berbasis masalah
93
3. Melihat efektifitas modul berbasis masalah Keefektifan modul berbasis masalah diamati melalui aktivitas dan hasil belajar mahasiswa.
4. Apabila modul sudah valid, praktis, efektif, maka akan disebarluaskan kepada mahasiswa STKIP PGRI SUMBAR(Desiminasi)
Daftar Pustaka
Buku Pedoman Akademik 2011/2012 STKIP PGRI Sumatera Barat
Depdiknas. 2002. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Departemen Pendidkan Nasional.
Dimyati dan Mudjiono. 1999. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: PT Rineka Cipta Muliyardi. 2006. Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dengan
Menggunakan Komik di Kelas I Sekolah Dasar. Disertasi tidak diterbitkan. Surabaya : Pasca Sarjana UNESA.
Nasution. 2008. Berbagai Pendekatan Dalam Proses Belajar Mengajar. Jakarta: PT
Bumi Aksara Sanjaya, Wina. 2006. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan.
Jakarta: Prenada Media Sudijono, Anas. 2005. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: RajaGrafindo Persada. Sugiyono. 2011. Metodologi Penelitian Penddikan Pendekatan Kuantitatif, Kualitatif,
dan R&D. Bandung: Alfabeta Sukardi. 2009. Evaluasi Pendidikan Prinsip dan Operasionalnya. Yogyakarta: Bumi
Aksara Suprawoto. 2009. Mengembangkan Bahan Ajar dengan Menyusun
Modul.(http://www.scribd.com/doc/16554502/Mengembangkan-Bahan-Ajar-dengan-Menyusun-Modul, diakses 8 September 2010)
Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Jakarta: Prestasi
Pustaka. Wena, Made. 2010. Strategi Pembelajaran Inovatif Kontemporer. Jakarta: Bumi Aksara Yasmin, Nyimas. 2007. Pengembangan Perangkat Pembelajaran Berbasis RME Untuk
Kelas IV Sekolah Dasar. Tesis tidak diterbitkan. Padang: Pasca Sarjana UNP
94
LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS MAHASISWA
HARI/ TANGGAL : ……................................…… PERTEMUAN KE- : …………………………….... MATERI : …………............................… PETUNJUK UMUM: Berilah tanda checklist (√) pada kolom aktivitas jika mahasiswa melakukan kegiatan tersebut. Indikator aktivitas: VA = Visual Activities, yaitu mahasiswa membaca modul OA = Oral Activities, yaitu mahasiswa bertanya (pada dosen atau mahasiswa lain) LA = Listening Activities, yaitu mahasiswa mendengar penjelasan dari dosen WA =Writing Activities, yaitu mahasiswa membuat latihan pada modul DA =Drawing activities, yaitu mahasiswa membuat gambar ketika menyelesaikan soal latihan pada modul MA1 =Mental Activities, yaitu mahasiswa menanggapi, memecahkan soal, menganalisis, melihat hubungan, dan menyimpulkan pembelajaran EA = Emotional Activities, yaitu mahasiswa bersemangat dan bersikap berani MA2 = Motor Activities, yaitu mahasiswa melakukan tindakan yang tidak relevan dengan KBM (mengganggu teman, melamun, atau bermain)
NO NAMA MAHASISWA
AKTIVITAS MAHASISWA VA OA LA WA DA MA1 EA MA2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
95
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Padang, 2013 Observer ( )
96
LEMBAR OBSERVASI PELAKSANAAN PERKULIAHAN KALKULUS 1 L ENGA MODUL BERBASIS MASALAH
HARI/TANGGAL : …………………………………. PERTEMUAN KE- : …………………………………. MATERI : …………………………………. 1. Pelaksanaanperkuliahandenganmodul berbasis masalah
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Kendala yang dihadapidalampelaksanaannya …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. Catatan lain yang dirasaperlu ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Padang, 2013 Observer ( )
97
PEDOMAN WAWANCARA
Waktu
1. Apakah waktu yang tersedia cukup untuk Anda memahami materi?
2. Apakah Anda memerlukan waktu yang relative singkat dalam memahami
materi?
3. Apakah belajar dengan menggunakan modul ini dapat menghemat waktu
perkuliahan di kelas?
Penggunaan
1. Bagaimana dengan soal-soal yang ada pada modul berbasis masalah?
Apakah tergolong mudah, sedang atau sukar?
2. Dapatkah Anda menjawab semua soal yang disediakan?
3. Apakah dengan menggunakan modul berbasis masalah membuat Anda
tidak banyak membutuhkan bimbingan dosen dalamm empelajari materi?
4. Apakah penggunaan bahasa dalam penyajian materi dapat Anda pahami?
5. Apakah petunjuk penggunaan modul jelas?
6. Apakah gambar yang ditampilkan membantu Anda memahami konsep?
Manfaat
1. Apakah materi dan contoh membantu Anda dalam meningkatkan
pemahaman konsep?
2. Apakah belajar dengan menggunakan modul berbasis masalah
meningkatkan motivasi Anda belajar?
98
3. Apakah dengan menggunakan modul berbasis masalah membantu proses
belajar mandiri?
4. Apakah latihan soal yang terdapat dalam modul dapat membantu kamu
meningkat kan kemampuan pemecahan masalah?
99
TES AKHIR
1. Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan fungsi (") = "% + 2 2. Tentukanlah:
a. () di mana ( = (2 − 3",)-(". + 3)% b. //0 [sec(tan 8)] c. /:/; di mana ( = cos% A ;BCD;E
3. Carilah persamaan garis singgung kurva ",(, + 4"( = 12( di titik (2,1)
4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong jadi dua bagian. Salah satu potongan
dibentuk jadi bujursangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar jumlah seluruh luas bentukan kawat maksimum.
5. Diketahui fungsi J(") = ;BDC;D, , tentukan a. Daerah asal b. Kesimetrian c. Titik potong terhadap sumbukoordinat d. Selang di mana f naik dan turun e. Ekstrim lokal dari f f. Selang di mana grafik f cekung ke atas dan cekung ke bawah g. Asimtot tegak, datar, atau miring jika ada h. Sketsa grafik (gunakan hasil yang diperoleh dari a sampai g)
100
Daftar Nama Pemakalah dan Peserta
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2013
Jurusan Matematika-FMIPA UNAND
No. Nama Peserta Instansi Bidang Kajian Judul Makalah
1 Noverina Alfiany Matematika Matematika Aproksimasi Variasional untuk Universitas Andalas Terapan Soliton Cerah Intersite pada Persamaan Schrodinger Diskrit Nonlinier dengan Penambahan Parameter Driving 2 Dewi Estetikasari Matematika Kombinatorika Sifat Komutatif terhadap Graf Corona Universitas Andalas 3 Ahmad Iqbal Baqi Jur. Matematika Matematika Estimasi Tingkat Kematian Bayi FMIPA Unand Terapan dan Harapan Hidup Bayi Kabupaten Padang Pasaman Barat tahun 2005 dengan Menggunakan Metode Sullivan 4 Reni Wijaya Matematika Kombinatorika Bilangan Rainbow Connection pada Universitas Andalas Graf Komplemen 5 Novrianti Matematika Matematika Realisasi Positif dari Sistem Universitas Andalas Terapan Deskriptor Linier Invariant Waktu 6 Gema Hista Medika Matematika Kombinatorika Bilangan Rainbow Conecction Pada Universitas Andalas Graf Kipas 7 Zulfi Amri UMSU Kombinarotika Pelabelan Graceful dan Pelabelan ρ pada Graf 8 – Bintang 8 Wardahani Rahayu Universitas Negeri Pendidikan Belief Mahasiswa Tentang Kalkulus Jakarta Matematika ditinjau dari Jenis Program Studi dan Rekruitmen 9 Ferra Yanuar Matematika Teori Peluang Pemodelan Status Kesehatan Universitas Andalas Dan Statistika Masyarakat Perkotaan Di Sumatera Dengan Teknik Structural Equation Modeling
10 Efendi Matematika Matematika Penerapan Metode Reduksi Graf Universitas Andalas Terapan Untuk Penentuan Ro Pada Model Populasi dengan Waktu kontinyu
11 Muhafzan Matematika Matematika Kestabilan Sistem Descriptor Linier Universitas Andalas Terapan Kontinu
12 Mahdhivan Syafwan Matematika Matematika Kestabilan Soliton Gelap Intersite pada Universitas Andalas Terapan Persamaan Schrödinger Nonlinier Diskrit yang Memuat Parametric Driving
13 Rina Febriana, STKIP PGRI Pendidikan Analisis Konsepsi Matematis Zulfaneti Sumbar Matematika Mahasiswa Tahun Pertama (Studi Kasus Pada Mata Kuliah Kalkulus 2 Di STKIP PGRI Sumatera Barat
14 Sabrina Indah Marni, UIN Suska Riau Pendidikan Penyelesaian Sistem Persamaan Yuslenita Muda Matematika Linear Fuzzy Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
101
15 Rini Warti, Prodi Pendidikan Pendidikan Analisis Hasil Belajar Matematika Ali Murtadlo, Matematika IAIN Matematika Siswa Sekolah Menengah Pertama Romaini STS Jambi Negeri 2 Kota Jambi
16 Dian Savitri, Universitas Pendidikan Pengembangan Media Sebagai Eko Hariyono, Negeri Surabaya Matematika Upaya Melatih Sikap Tanggap Bencana Laily Rosdiana Pada Siswa di Wilayah Pesisir Jawa Timur
17 Mas Mera Jurusan Teknik Matematika Alternative Boussinesq-Type Equations Sipil Universitas Terapan with Velocity at Arbitrary Vertical Andalas Level for Wave-Current Interaction
18 Sri Wahyuni Masril Matematika Matematika Penerapan Operasi Konvolusi untuk Universitas Andalas Terapan Mengatasi Kesulitan Mahasiswa dalam Pembuktian Matematis
19 Anwar Mutaqin Universitas Sultan Pendidikan Model Bahan Ajar untuk Mengatasi Ageng Tirtayasa Matematika Kesulitan Mahasiswa dalam Pembuktian Matematis
20 Yayu Laila Sulastri, Universitas Islam Pendidikan Meningkatkan Minat dan Hasil Belajar Luki Luqmanul Hakim, Nusantara Bandung Matematika Melalui Pembelajaran dengan A. Barnas EK Menggunakan Weblog pada Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP Uninus Bandung
21 Yenni Kurniawati, Universitas Negeri Teori Peluang Faktor yang mempengaruhi IPK Nonong Amalita Padang Dan Statistika Berdasarkan Kualitas Input
Mahasiswa Baru Menggunakan Analisis Regresi Dummy Kombinasi
22 Maiyastri Matematika Teori Peluang Metode Pengkoreksian Data Pencilan Universitas Andalas Dan Statistika dan Pemisahan Data Heterogen pada Model ARMA(p,q) dengan Algoritma EM (Expectation Maximization)
23 Yulyanti Harisman, STKIP PGRI Pendidikan Pengembangan Modul Husna, SUMBAR Matematika Berbasis pada Perkuliahan Anny Sovia, Kalkulus 1 di STKIP PGRI Rahima Sumatera Barat
24 Riry Sriningsih Universitas Negeri Matematika Dinamika Populasi Perokok dengan Padang Terapan Pertumbuhan Logistik dan Denda
25 Lyra Yulianti Matematika Kombinarotika Graf Ramsey (2K2,2G)-minimal Universitas Andalas dan (3K2,G)-minimal
26 Hazmira Yozza, Matematika Teori Peluang Pendugaan Kemungkinan Maksimum Izzati Rahmi HG Universitas Andalas Dan Statistika Parameter Fungsi Produksi Stochastic Frontier
27 Lina Muawanah Nasir, Matematika Matematika Model Black-Scholes untuk Harga Riri Lestari, Universitas Andalas Terapan Opsi Tipe Eropa pada Saham Intel Dodi Devianto Corporation
28 Arrival Rince Putri Matematika Matematika Model Pengendalian Persediaan Universitas Andalas Terapan Dengan Penundaan Tingkat Kerusakan Model Pengendalian Persediaan
29 Riri Lestari Matematika Matematika Opsi Put Amerika Universitas Andalas Terapan
30 Narwen, Matematika Matematika Pencocokan kata secara acak Budi Rudianto, Universitas Andalas Terapan Dengan metode algoritma Genetika Mulia Afriani Kartika menggunakan program Pascal
102
31 Ari Pani Desvina, UIN Sultan Syarif Penerapan Model Vector Ratnawati Kasim, Riau Autoregressive (VAR) untuk Peramalan Curah Hujan Kota
32 Elva Susanti, Matematika Aljabar Karakterisasi suatu Ideal dari Semigrup Admi Nazra, Universitas Andalas Implikatif I Made Arnawa
33 Nurul Anriani Universitas Sultan Pendidikan Pembelajaran Dengan Pendekatan Ageng Tirtyayasa Matematika Metakognitif Untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa
34 Abdul Aziz, M.Si UIN Malang Teori Peluang Estimasi parameter Model Dan Statistika Regresi Data Panel Dinamis
35 Ismael, Universitas Teori Peluang Studi Eksperimental Perhitungan Nilai Hendri Murfi, Indonesia Dan Statistika Economic Capital Untuk Risiko Dian Lestari Operasional Dengan Menggunakan Loss Distribution Approach
36 Zulakmal, M.Si Matematika Matematika Penyelesaian sistem persamaan Universitas Andalas Terapan Differensial non linear orde satu menggunakan deret Kuasa yang dimodifikasi
37 Mishbah Ulhusna, Matematika Teori Peluang Keterbagian Tak Hingga Distribusi Dodi Devianto Universitas Andalas Dan Statistika Gamma
38 Izzati Rahmi H.G, Matematika Teori Peluang Penerapan Metode Quest Untuk Hazmira Yozza, Universitas Andalas Dan Statistika Mengidentifikasi Komponen- Azzikra Febriani Komponen Penilaian Akreditasi Yang Membedakan Akreditasi Sekolah
39 Faizal Hafiz Fadilah Matematika - Peserta Universitas Andalas
40 Ali Murtadlo, MS Prodi Pendidikan - Peserta Matematika IAIN STS Jambi
41 Sandi Sumardi Universitas - Peserta Islam Bandung
42 M.Sukran,IR,MLIS MTs Al Washliyah - Peserta
Modul
Kalkulus 1 1
PENDAHULUAN
Pendahuluan
Apa itu sistem bilangan Riil? Bagaimana menentukan sifat
urutan pada bilangan Riil? Apa itu ketaksamaan? Bagaimana cara
menyelesaikan ketaksamaan? Jika Anda ingin mengetahui apa itu
sistem bilangan riil dan bagaimana menentukan dan menghitungnya,
maka Anda harus pelajari modul ini. Apa itu fungsi? Bagaimana
menentukan fungsi? Apa sajakah jenis-jenis fungsi? Jika Anda ingin
mengetahui apa itu fungsi dan limit, serta bagaimana menentukan
dan menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada
modul pertama ini terdiri atas delapan kegiatan belajar. Pada
kegiatan belajar pertama akan diuraikan sistem bilangan Riil,
kegiatan belajar kedua akan diuraikan ketaksamaan, pada kegiatan
belajar ketiga akan diuraikan nilai mutlak, kegiatan belajar keempat
akan diuraikan tentang Bidang Bilangan dan Grafik Persamaan,
kegiatan belajar kelima membahas definisi fungsi dan daerah asal,
kegiatan belajar keenam akan diuraikan jenis-jenis fungsi, pada
kegiatan belajar ketujuh membahas operasi pada fungsi dan tranlasi,
dan kegiatan belajar kedelapan akan diuraikan tentang fungsi
trigonometri. Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan
materi-materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari
modul-modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang
terdapat dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari
modul-modul berikutnya.
Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini
diharapkan Anda dapat memahami dan menggunakan konsep ssitem
bilangan riil dan fungsi, serta diharapkan Anda dapat:
1. Mahasiswa mengetahui dan memahami sistim bilangan Riil.
Modul
Kalkulus 1 2
2. Mahasiswa dapat memahami ketaksamaan.
3. Mahasiswa dapat memahami operasi nilai mutlak.
4. Mahasiswa dapat memahami tentang Bidang Bilangan dan Grafik
Persamaan.
5. Mahasiswa mengetahui dan memahami definisi fungsi dan daerah
asal
6. Mahasiswa dapat memahami jenis-jenis fungsi
7. Mahasiswa dapat memahami operasi pada fungsi dan tranlasi
8. Mahasiswa dapat memahami tentang fungsi trigonometri
Modul
Kalkulus 1 3
Kegiatan Belajar
SISTEM BILANGAN RIIL
Bagaimana kita menghitung jumlah buku dan uang kita? Pada zaman
prasejarah, kita menghitung dengan menggoreskan batu ke batu.
Nah, sekarang kita menghitungnya dengan bilangan 1, 2, 3, .... dst.
Disebut apakah sistem bilangan tersebut? Ya, sistem bilangan
tersebut dinamakan sistem bilangan asli. Jika bilangan asli tersebut
digabung dengan bilangan bulat negatif (⋯ , −3, −2, −1) dan bilangan 0, maka bilangan tersebut dinamakan bilangan bulat
(⋯ , −3, −2, −1,0,1,2,3, ⋯ ).
Bagaimana jika kita mengukur tinggi atau berat badan kita? Bilangan
bulat tentunya tidak memadai,
tidak memberikan ketelitian
yang cukup. Karena jika hasil
URAIAN MATERI
1
Modul
Kalkulus 1 4
tinggi badan kita adalah 1,58 m, bilangan 1,58 tidak terdapat pada
bilangan bulat. Bilangan tersebut berada pada bilangan riil. Berikut
sistem bilangan riil.
Sistem Bilangan Riil
Masih ingatkah Anda tentang bilangan riil?
Bilangan riil atau disebut juga bilangan nyata merupakan
bilangan yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari,
seperti transaksi jual beli.
Operasi hitung pada bilangan riil yang meliputi penjumlahan,
pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan penarikan
akar juga sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari meskipun
Sistem Bilangan Riil
Bilangan Rasional
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat
Bilangan Irasional
Modul
Kalkulus 1 5
mungkin orang tidak begitu sadar telah menggunakannya.
Mengingat penting dan luasnya penggunaan bilangan riil dalam
kehidupan sehari-hari maka bilangan riil perlu dimasukkan
sebagai salah satu materi pembelajaran yang harus dikuasai.
Empat Operasi Aritmatika
Sifat-sifat Medan
Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada R memenuhi sifat bilangan
riil, yaitu ∀ ), *, + ∈ - berlaku
1. Hukum komutatif : ) + * = * + ) )* = *)
2. Hukum asosiatif: ) + (* + +) = () + *) + + )(*+) = ()*)+
3. Hukum distribusi: )(* + +) = )* + )+
4. Elemen-elemen identitas: 0 untuk penjumlahan, sehingga ) + 0 = ) 1 untuk perkalian, sehingga ) ∙ 1 = )
5. Invers:
Invers ) untuk penjumlahan adalah −), sehingga ) + (−)) = 0
Invers ) untuk perkalian adalah )34, sehingga ) ∙ )34 = 1
Sifat-sifat Urutan
1. Trikotomi:
Jika ) dan * adalah bilangan riil, maka pasti berlaku salah satu
di antara berikut ini berlaku: ) < * atau ) = * atau ) > *
2. Ketransitifan: ) < * dan * < +, maka ) < +
3. Penjumlahan
Modul
Kalkulus 1 6
) < * jika dan hanya jika ) + + < * + +
Sifat-sifat Aljabar Riil
Misalkan 7, 8, dan 9, berlaku
1. Jika 7 = 8, maka 7 + 9 = 8 + 9 dan 79 = 89
2. Jika 7 + 9 = 8 + 9, maka 7 = 8
3. Jika 79 = 89, maka 7 = 8, 9 ≠ 0
4. −(−7) = 7
5. (734)34 = 7, 7 ≠ 0
6. 7(8 − 9) = 78 − 79
7. 7 ∙ 0 = 0 ∙ 7 = 0
8. 7(−8) = (−7)8, khususnya (−1)7 = −7
9. (−7)(−8) = 78
10. Jika 78 = 0, maka 7 = 0 atau 8 = 0
11. Jika ;< = =>, maka 7? = 89, 8 ≠ 0, ? ≠ 0
Sifat urutan pada bilangan riil
Diberikan 7, 8 ∈ ℝ maka
1. 7 < 8 berarti 8 − 7 positif atau 8 − 7 > 0
2. 7 ≤ 8 berarti 7 = 8 atau 7 < 8
3. 8 > 7 berarti 7 < 8 atau 8 − 7 positif
Aksioma urutan
1. Jika ) < * dan * < + maka ) < + (sifat transitif)
2. Jika ) < * maka ) + 9 < * + 9 (sifat penambahan)
3. Jika ) < * dan 9 > 0 maka 9) < 9* (sifat perkalian)
4. Jika + positif, ) < * ↔ )+ < *+. Jika + negatif, ) < * ↔ )+ > *+
Sekarang Anda pelajari terlebih dahulu contoh berikut ini.
Modul
Kalkulus 1 7
Lakukan operasi dan sederhanakan.
a. (√5 + √3)(√5 − √3) Untuk melakukan operasi tersebut, kita dapat mengalikan
satu-satu bilangan yang berada dalam kurung sebelah kiri
dengan yang di dalam kurung sebelah kanan.
(√5 + √3)(√5 − √3) Maka E√5 + √3FE√5 − √3F = (√5)(√5) − (√5)(√3) + (√3)(√5) − (√3)(√3) = 5 − √15 + √15 − 3 = 5 − 3 E√5 + √3FE√5 − √3F = 2
b. GH34GI4
Untuk melakukan operasinya, pertama kita bisa melakukan
pemfaktoran pada pembilang. Sehingga )J − 1) + 1 = () + 1)() − 1)) + 1
Selanjutnya = (GI4)(G34)GI4
Jadi )J − 1) + 1 = ) − 1) + 1
Setelah Anda mempelajari contoh, selanjutnya Anda kerjakan
latihan terbimbing dan mandiri berikut ya.
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 8
Latihan 1
Lakukan operasi dan sederhanakan
a. 3√2(√2 − √8) 3√2E√2 − √8F = (⋯ )E√2F − (3√2)(⋯ ) = 6 − ⋯
b. GH3G3MG3N )J − ) − 6) − 3 = (⋯ )() − ⋯ )) − 3 = ⋯) − 3
Latihan 1
Lakukan operasi dan sederhanakan
a. 1 − JNIOP b. (NQ + RM)3J c. (5)J − 9)(6) − 2) d. (37J + 7 − 1)J
e. GH3JG3TGIJ
f. JG3JGOGO3JGHIG g. (3) − 6)N h. 4TGHING − QG + MGIN i. JMU3J + UVUH34 − JUI443NU
j. GHIG3MGH34 ∙ GHIG3JGHIRGIM
LATIHAN MANDIRI
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 9
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 10
Latihan 2
Buktikan masing-masing jika 7 > 0, 8 > 0.
a. 7 < 8 ⟺ 7J < 8J b. 7 < 8 ⟺ 4; > 4<
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 11
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 7. 49
8. 144361 9. 30)N −10)J − 54) + 18 ?. 97Q + 67N − 57J − 27 + 1 q. ) − 4 r. −2(1 + ))(1 − ))
Modul
Kalkulus 1 12
s. 27)N - 162)J + 324) − 216 ℎ. 2)
v. 6*J + 9* + 2(3* + 1)(3* − 1) w. G3JGI4
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 13
Kegiatan Belajar
KETAKSAMAAN
Ketaksamaan
Di dunia ini, tidak semuanya selalu
sama. Ada yang gemuk, ada yang
kurus.
Ada yang tinggi, ada yang pendek.
Dalam dunia matematika, juga terdapat ketaksamaan. Seperti ) > 2
Yang artinya ) lebih dari 2.
Atau 3 < *, yang artinya 3 kurang dari *.
URAIAN MATERI
2
Modul
Kalkulus 1 14
Berikut semua kemungkinan ketaksamaan dalam matematika serta
selang dan grafiknya.
Penulisan Himpunan Pemisahan Selang Grafik {y: { < ) < 8} ({, }) ( )
a b {y: { ≤ y ≤ }} [{, }] [ ]
a b {y: { ≤ y < 8} [{, }) [ )
a b {y: { < ) ≤ 8} ({, }] ( ]
a b {y: y ≤ }} (−∞, }] ]
b {y: y < 8} (−∞, }) )
b {y: y ≥ {} [{, −∞) [
a {y: y > 7} ({, −∞) (
a ℝ (−∞, −∞)
Cara Menyelesaikan Ketaksaman
1. Menambahkan bilangan yang sama pada kedua pihak suatu
ketaksamaan.
2. Mengalikan kedua pihak suatu ketaksamaan dengan suatu
bilangan positif.
3. Mengalikan kedua pihak dengan suatu bilangan negatif, tetapi
kemudian membalikkan arah tanda ketaksamaan.
Modul
Kalkulus 1 15
Nah, Anda sekarang pelajari contoh berikut ya...
Tentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan dari
1. 2 + 3) < 5) + 8
Jawab: 2 + 3) < 5) + 8 ⟺ 2 + 3) − 2 < 5) + 8 − 2 ⟺ 3) < 5) + 6 ⟺ 3) − 5) < 5) + 6 − 5) ⟺ −2) < 6 ⟺ −2) |− 12~ > 6 |− 12~ ⟺ ) > −3
Dengan himpunan penyelesaian: ¡¢ = {)|) > −3, ) ∈ -} atau (−3, ∞) atau
(
-3
2. 4 < 3) − 2 ≤ 10 4 < 3) − 2 ≤ 10 ⟺ 6 < 3) ≤ 12 ⟺ 2 < ) ≤ 4
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|2 < ) ≤ 4, ) ∈ -}
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 16
atau (2,4] atau
( ]
2 4
3. ⁄y > 2 ⁄y > 2
⟺ 7) − 2 > 0
⟺ 7 − 2)) > 0 ⟺ 7 − 2) = 0 dan ) = 0 ⟺ −2) = −7 dan ) = 0 ⟺ ) = ƒJ dan ) = 0
0 ƒJ Jadi, himpunan penyelesaiannya ¡¢ = §) ¤0 < ) < 72 , ) ∈ -“ Atau (0, 72)
4. GG3N < 4 )) − 3 − 4 < 0
⟺ ) − 4() − 3)) − 3 < 0
⟺ ) − 4) + 12) − 3 < 0
⟺ −3) + 12) − 3 < 0
Modul
Kalkulus 1 17
⟺ −3) + 12 = 0 dan ) − 3 = 0 ⟺ −3) = −12 dan ) = 3 ⟺ ) = 4 dan ) = 3
3 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < 3 7«7‹ ) > 4, ) ∈ -}
Selesaikan
1. 3)J − ) − 2 > 0 3)J − ) − 2 > 0 ⟺ (⋯ ) + ⋯ )() − ⋯ ) > 0 ⟺ ⋯ ) + ⋯ = 0 dan ) − ⋯ = 0 ⟺ ) = ⋯ ) = ⋯
⋯ ⋯
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < ⋯ ∪) > ⋯ , ) ∈ -} Atau (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ )
2. 4NG3J ≤ 4 13) − 2 ≤ 4
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 18
⟺ 13) − 2 − ⋯ ≤ 0
⟺ 1 − 4(⋯ ) − ⋯ )3) − 2 ≤ 0
⟺ 1 − ⋯ ) + ⋯3) − 2 ≤ 0 ⟺ ⋯ − ⋯ )3) − 2 ≤ 0 ⟺ ⋯ − ⋯ ) = 0 dan ⋯ ) − 2 = 0 ⟺ ⋯ ) = ⋯ dan ⋯ ) = 2 ⟺ ) = ⋯ dan ) = ⋯
⋯ ⋯
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya ¡¢ = {)|) < ⋯ atau ) ≥ ⋯ } Atau (⋯ , ⋯ ) ∪ [⋯ , ⋯ )
Latihan 1
Carilah Himpunan Penyelesaian dan sketsakan grafiknya dari
a. 4) + 7 < 3) − 5
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 19
Penyelesaian
b. 10) − 1 > 8) + 5
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 20
c. 2 < 5 − 3) < 8
Penyelesaian
d. 2) − 5 ≤ 6 − 6) ≤ 3) + 6
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 21
e. 2)J + 7) − 15 ≥ 0
Penyelesaian
f. GIRJG34 ≤ 0
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 22
g. G3JGIQ < 2
Penyelesaian
Latihan 2
Tentukan ), dan nyatakan jawabannya dalam notasi selang
(interval)
a. () + 1)()J + 2) − 7) ≥ )J − 1
b. )Q − 2) ≥ 8
c. ()J + 1)J − 7()J + 1) + 10 < 0
Modul
Kalkulus 1 23
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 24
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 7. ) < −12 8. ) > 3 9. −1 < ) < 1 ?. 0 < ) < 118 q. ) ≤ −5 7«7‹ ) ≥ 32 r. − 5 ≤ ) < 12 s. ) < −10 7«7‹ ) > −4
Modul
Kalkulus 1 25
Latihan 2 7. −3 ≤ ) ≤ −1 7«7‹ ) ≥ 2 8. −4 ≤ ) ≤ 2 9. −2 < ) < −1 7«7‹ 1 < ) < 2
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 26
Kegiatan Belajar
NILAI MUTLAK
Sifat manusia terdiri atas 2. Yaitu
jahat
dan
BAIK
Namun keduanya sama-sama termasuk sifat manusia.
URAIAN MATERI
3
Modul
Kalkulus 1 27
Ini sesuai dengan definisi nilai mutlak, yaitu
Nilai mutlak dari ) dinyatakan dengan |)|, didefinisikan sebagai |)| = § ), jika ) ≥ 0−), jika ) < 0
Jadi, nilai mutlak untuk ) dan −) sama-sama bernilai ).
1. |2| = 2 |−5| = −(−5) = 5
2. fi3 − √12fi = −E3 − √12F = √12 = −3
3. |) − 1| = §) − 1, wvfl7 ) − 1 ≥ 01 − ), wvfl7 ) − 1 < 0
Sifat-sifat nilai mutlak
Untuk setiap ), * ∈ ℝ berlaku
1. |)| = |*| jika dan hanya jika ) = ±* dan )J = *J 2. Jika 7 ≥ 0 maka
a. |)| ≤ 7 jika dan hanya jika −7 ≤ ) ≤ 7 dan )J ≤ 7J
b. |)| ≥ 7 jika dan hanya jika ) ≥ 7 atau ) ≤ −7 dan )J ≥ 7J
c. |) + *| ≤ |)| + |*| d. |) − *| ≥ fi|)| − |*|fi
3. |)*| = |)||*| 4. †GU† = |G||U|
CONTOH
Modul
Kalkulus 1 28
1. |) − 1| = 2 ⟺ ) − 1 = ±2 ⟺ ) = 3 atau ) = −1
2. |) − 1| < 2 ⟺ −2 < ) − 1 < 2
3. |) − 1| > 2 ⟺ ) − 1 > 2 atau ) − 1 < −2 ⟺ ) > 3 atau ) < −1
Pertidaksamaan yang Menyangkut Nilai Mutlak
Sebelum membahas pertidaksamaan nilai mutlak terlebih dahulu
disajikan bagaimana cara mengubah bentuk aljabar ke dalam bentuk
yang tidak mengandung nilai mutlak.
1. Ubah bentuk aljabar 3|)| + |) − 2| ke dalam bentuk yang tidak
mengandung tanda mutlak.
Jawab:
Dari bentuk yang diberikan, nilai mutlak berganti tanda di ) = 0 dan ) = 2
Jadi dibagi atas 3 daerah
Untuk ) < 0 3|)| = 3(−)) = −3)
dan |) − 2| = −() − 2) = 2 − )
CONTOH
CONTOH
Modul
Kalkulus 1 29
Jadi 3|)| + |) − 2| = −3) + (2 − )) = −4) + 2
Untuk 0 ≤ ) < 2 3|)| = 3)
dan |) − 2| = −() − 2) = 2 − )
jadi 3|)| + |) − 2| = 3) + 2 − ) = 2) + 2
Untuk ) ≥ 2 3|)| = 3)
dan |) − 2| = ) − 2
Jadi 3|)| + |) − 2| = 3) + () − 2) = 4) − 2
Jadi
3|)| + |) − 2| = ‡ −4) + 2, wvfl7 ) ≤ 02) + 2, wvfl7 0 ≤ ) < 24) − 2, wvfl7 ) ≥ 2
2. 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6
Untuk ) < −1 |) + 1| = −() + 1) |)| = −) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = −2() + 1) + 5(−))[−() − 2)] − 6 = −2) − 2 + 5()J − 2)) − 6 = 5)J − 12) − 8
Untuk −1 ≤ ) < 0
Modul
Kalkulus 1 30
|) + 1| = ) + 1 |)| = −) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = 5)J − 8) − 4
Untuk 0 ≤ ) < 2 |) + 1| = ) + 1 |)| = ) |) − 2| = −() − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = −5)J + 12) − 4
Untuk ) ≥ 2 |) + 1| = ) + 1 |)| = −) |) − 2| = () − 2) Jadi 2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = 5)J − 8) − 4
Sehingga
2|) + 1| + 5|)||) − 2| − 6 = ⎩⎪⎨⎪⎧ 5)J − 12) − 8, wvfl7 ) < −15)J − 8) − 4, wvfl7 − 1 ≤ ) < 0−5)J + 12) − 4, wvfl7 0 ≤ ) < 25)J − 8) − 4, wvfl7 ) ≥ 2
Jadi untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak
dapat diselesaikan dengan 2 cara:
1. Tuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak
2. Menggunakan sifat-sifat nilai mutlak
Modul
Kalkulus 1 31
Selesaikan
1. |) − 5| ≤ 4
Dengan cara I |) − 5| = §) − 5, wvfl7 ) ≥ 55 − ), wvfl7 ) < 5
Untuk ) ≥ 5 ) − 5 ≤ 4 ) ≤ 9
Jadi ¡¢4 = {)| − 5 ≤ ) ≤ 9} Untuk ) < 5 5 − ) ≤ 4 −) ≤ −1 ) ≥ 1
Jadi ¡¢J = {)|1 ≤ ) < 5} Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ¡¢ = {)|1 ≤ ) ≤ 9} Cara II |) − 5| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ ) − 5 ≤ 4 ⟺ 1 ≤ ) ≤ 9
2. |3) − 5| ≥ 1
Cara I
3) − 5 = „3) − 5, wvfl7 ) ≥ 535 − 3), wvfl7 ) < 53
CONTOH
Modul
Kalkulus 1 32
Untuk ) ≥ RN 3) − 5 ≥ 1 ⟺ 3) ≥ 6 ⟺ ) ≥ 2 ¡¢4 = [2, ∞) Untuk ) < RN 5 − 3) ≥ 1 ⟺ −3) ≥ −4 ⟺ ) ≤ 43
¡¢J = |−∞, 43” Maka ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = |−∞, 43” ∪ [2, ∞) Cara II |3) − 5| ≥ 1 ⟺ 3) − 5 ≥ 1 ⟺ 3) ≥ 6 ⟺ ) ≥ 2
Jadi ¡¢4 = [2, ∞) Atau 3) − 5 ≤ −1 ⟺ 3) ≤ 4 ⟺ ) ≤ 43
jadi ¡¢J = |−∞, 43” Maka ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = |−∞, 43” ∪ [2, ∞)
3. |) − 2| + 2|) − 1| > 1
Modul
Kalkulus 1 33
|) − 2| = §) − 2, wvfl7 ) ≥ 22 − ), wvfl7 ) < 2
Untuk |) − 1| = §) − 1, wvfl7 ) ≥ 11 − ), wvfl7 ) < 1
Untuk ) < 1 2 − ) + 2(1 − )) > 1 4 − 3) > 1 −3) > −3 ) < 1 ¡»4 = { } Untuk 1 ≤ ) ≤ 2 2 − ) + 2() − 1) > 1 2 − ) + 2) − 2 > 1 ) > 1 ¡»J = (1,2) Untuk ) ≥ 2 ) − 2 + 2() − 1) > 1 3) − 4 > 1 ) > 53 ¡»N = (2, ∞) Jadi, ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ∪ ¡¢N = (1, ∞)
Modul
Kalkulus 1 34
Selesaikan
Latihan 1 |8 − 3)| ≥ |2)| Penyelesaian |8 − 3)| ≥ |2)| ⟺ (8 − 3))J ≥ (2))J ⋯ − ⋯ ) + ⋯ )J ≥ ⋯ )J ⋯ )J − ⋯ ) + ⋯ ≥ 0 (⋯ ) − ⋯ )() − ⋯ ) ≥ 0
Kasus I ⋯ ) − ⋯ ≥ 0 ⋯ ) ≥ ⋯ ) ≥ ⋯
Dan ) − ⋯ ≥ 0 ) ≥ ⋯
Jadi ¡¢4 = [⋯ , ⋯ ) Kasus 2 ⋯ ) − ⋯ ≤ 0 ⋯ ) ≤ ⋯ ) ≤ ⋯
Dan ) − ⋯ ≤ 0 ) ≤ ⋯ ¡¢J = (⋯ , ⋯ ) Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J = (⋯ , ⋯ ] ∪ [⋯ , ⋯ )
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 35
Latihan 2 |) − 2| < 3|) + 7| Penyelesaian
|) − 2| = …) − ⋯ , ) ≥ ⋯⋯ − ), ) ⋯ 2 |) + 7| = …⋯ + ⋯ , ) ≥ ⋯⋯ − ⋯ , ) < ⋯
Untuk ) < ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| −(⋯ − ⋯ ) < 3(⋯ − ⋯ ) −) + ⋯ < − ⋯ ) − ⋯ − ⋯ + ⋯ ) < − ⋯ ⋯ ) < − ⋯ ) < ⋯
Jadi ¡¢4 = (⋯ , ⋯ )
Untuk ⋯ ≤ ) < ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| −(⋯ − ⋯ ) < 3(⋯ + ⋯ ) −) + ⋯ < ⋯ ) + ⋯ ⋯ ) < ⋯ ) > ⋯
Jadi ¡¢J = (⋯ , ⋯ )
Untuk ) ≥ ⋯ |) − 2| < 3|) + 7| ⋯ − ⋯ < 3 ⋯ + ⋯ ⋯ ) < ⋯ ) > ⋯
Modul
Kalkulus 1 36
Jadi ¡¢N = [⋯ , ⋯ ) Sehingga ¡¢ = ¡¢4 ∪ ¡¢J ∪ ¡¢N = (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ ) ∪ [⋯ , ⋯ ) = (⋯ , ⋯ ) ∪ (⋯ , ⋯ )
Latihan 1
Carilah Himpunan Penyelsaian dari
a. |) + 2| < 3
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 37
b. |2) − 5| < 3
Penyelesaian
c. | JGR − 1| ≤ 4
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 38
d. | GJ + 7| ≥ 2
Penyelesaian
e. | 4G − 3| > 6
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 39
Latihan 2
Selesaikan ketaksamaan berikut.
a. |) − 2| < 3|) + 7| Penyelesaian
b. |2) − 5| < |) + 4| Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 40
c. 2|)| + |) − 1| ≤ 2
Penyelesaian
d. † GG34† ≤ †G3JGI4† Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 41
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1
a. −5 < ) < 1
b. 1 < ) < 4
c. − 4RJ ≤ ) ≤ JRJ
d. ) ≥ 10 atau ) ≤ −18
e. 0 < ) < 4V atau − 4N < ) < 0
Latihan 2
a. −∞ < ) < − JNJ atau − 4VQ < ) < ∞
Modul
Kalkulus 1 42
b. 4N < ) < 9
c. − 4N ≤ ) ≤ 1
d. −∞ < ) < −1 atau −1 < ) < 4J
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 43
Kegiatan Belajar
BIDANG BILANGAN DAN GRAFIK PERSAMAAN
GARIS LURUS
Definisi
Himpunan semua pasangan terurut bilangan riil dinamakan bidang
bilangan dan setiap pasangan terurut (), *) dinamakan titik di dalam
bidang bilangan. Bidang bilangan dinamakan ℜJ
»(), *)
Definisi
Grafik suatu persamaan di ℜJ adalah himpunan semua titik (), *) di ℜJ yang koordinatnya adalah bilangan yang memenuhi persamaan
tersebut.
URAIAN MATERI
4
*
)
Modul
Kalkulus 1 44
Tinjauan Ulang tentang Garis Lurus pada Bidang Datar
Panjang ruas garis lurus
Dengan teorema Phytagoras, panjang ruas garis dari titik »()4, *4) ke
titik ¿()J, *J) adalah »¿ = ()4 − )J)J + (*4 − *J)J Persamaan garis lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus adalah 7) + 8* + 9 = 0, a dan b tidak semuanya nol Beberapa hal khusus: persamaan garis yang
1. Sejajar dengan sumbu ) adalah * = ¢
2. Sejajar dengan sumbu * adalah ) = ¯
3. Tidak sejajar dengan sumbu * adalah * = ) + (fungsi
linear)
4. Melalui titik (¢, 0) dan (0, ¯), ¢ dan ¯ tidak nol adalah G + U = 1
5. Melalui titik ()4, *4) dan mempunyai gradien adalah * − *4 =() − )4) 6. Melaluli titik ()4, *4) dan ()J, *J) adalah
U3U¸UH3U¸ = G3G¸GH3G¸ Kaitan antar dua garis
Garis s: 7) + 8* + 9 = 0 dan ℎ: ¢) + ¯* + = 0 dikatakan
1. Sejajar (ditulis s//ℎ), jika ; = < ≠ =
2. Berimpit (ditulis s ≡ ℎ), jika ; = < = =
3. Berpotongan, jika ; ≠ < ; dan berpotongan tegak lurus, jika 7¢ + 8¯ = 0, 8, ¯ ≠ 0
Gradien suatu garis
Pada persamaan garis s: * = ) + , besaran dinamakan gradien
garis s.
Modul
Kalkulus 1 45
Gradien dua garis yang saling tegak lurus
Garis s: * = ) + dan ℎ: * = ¢) + ¯ saling tegak lurus jika dan
hanya jika ¢ = −1. Jadi dua dua garis saling tegak lurus jika dan
hanya jika gradiennya sama dengan -1.
Gradien dua garis yang saling sejajar
Dua garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama.
Jarak titik ke garis
Jarak dari titik »()ª, *ª) ke garis s: 7) + 8* + 9 = 0 adalah
?(», s) = |7)ª + 8*ª + 9|√7J + 8J
Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (6,4) dan
mempunyai kemiringan QR.
Penyelesaian
Ambillah sebarang titik lain pada garis itu, misalnya dengan
koordinat (), *). Jika kita menggunakan titik (6,4) untuk mengukur
kemiringannya, kita harus memperoleh QR, yaitu * − 4) − 6 = 45
Atau setelah mengalikannya dengan ) − 6, * − 4 = 45 () − 6)
Contoh 1
Gambar sketsa grafik persamaan *J − ) − 2 = 0
CONTOH
Modul
Kalkulus 1 46
Penyelesaian
Pertama, kita cari terlebih dahulu titik potong )dan * ) 2 −1 −2 −1 2 * −2 −1 0 1 2
Jadi, didapatkan koordinat titiknya adalah Ł(2, −2) , Ø(−1, −1) , C(−2,0), Œ(−1,1), dan º(2,2) Kemudian kita plot titik-titik koordinat tersebut ke dalam grafik )*
Latihan 1
Carilah persamaan garis yang melalui (6,8) yang sejajar dengan
garis yang mempunyai persamaan 3) − 5* = 11.
Penyelesaian
Jika 3) − 5* = 11, maka * = NR ) − 44R . Diperoleh kemiringannya …….
Persamaan yang diinginkan adalah * − ⋯ = …… () − 6)
LATIHAN TERBIMBING
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
g y = y 2-2
E
C
D
B
A
Modul
Kalkulus 1 47
* = …… ) + 225
Latihan 2
Gambar sketsa grafik persamaan * = |) + 3| |) + 3| = … ) + 3, ) ≥ −3− ⋯ − ), ) < ⋯
Penyelesaian
Untuk * = ) + 3, ) ≥ −3, ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ * ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Untuk * = − ⋯ − ), ) < ⋯, ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ * ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Jadi, didapatkan koordinat titiknya adalah Ł(⋯ , ⋯ ) , Ø(⋯ , ⋯ ) , C(⋯ , ⋯ ), Œ(⋯ , ⋯ ), º(⋯ , ⋯ ) ı(⋯ , ⋯ ) , ł(⋯ , ⋯ ) , ¡(⋯ , ⋯ ), ø(⋯ , ⋯ ), œ(⋯ , ⋯ ) Kemudian kita plot titik-titik koordinat tersebut ke dalam grafik )*
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
Modul
Kalkulus 1 48
Latihan 1
Tuliskan persamaan garis melalui (3, −3) yang
a. Sejajar garis * = 2) + 5
b. Tegak lurus garis * = 2) + 5
c. Sejajar garis 2) + 3* = 6
d. Tegak lurus garis 2) + 3* = 6
e. Sejajar garis melalui (−1,2) dan (3, −1) f. Sejajar garis ) = 8
g. Tegak lurus garis ) = 8
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 49
Latihan 2
Gambarlah sketsa grafik dari persamaan berikut.
a. * = )J − 4
Penyelesaian
b. ) = 4 − *J Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 50
c. 3)J + 4* = 0
Penyelesaian
d. * = )N − 3)
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 51
e. * = 4GHIJ Penyelesaian
f. |)| + |*| = 4
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 52
Latihan 3
Gambarlah sketsa grafik dari kedua persamaan pada bidang
koordinat yang sama. Carilah titik potong antara dua grafik
tersebut.
a. * = −) + 1 * = )J + 2) − 1
Penyelesaian
b. * = −3) + 15 * = 3)J − 3) + 3
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 53
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1
a. * = 2) − 9
b. * = − 4J ) − NJ c. * = − JN ) − 1
d. * = NJ ) − 4RJ
e. * = − NQ ) − NQ f. ) = 3
g. * = −3
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 54
Kegiatan Belajar
DEFINISI FUNGSI DAN DAERAH ASAL
Definisi Fungsi
Ibukota dari propinsi Jambi adalah Jambi, ibu kota propinsi
Sumatera Barat adalah padang selanjutnya ibu kota dari Sumatera
Utara adalah Medan. Nah sekarang coba anda tuliskan relasi “x
ibukota y”, dimana x anggota himpunan A (nama-nama ibukota) dan
y anggota himpunan B (nama-nama propinsi). Maka nyatakanlah
permasalahan di atas dalam bentuk relasi
Berdasarkan jawaban anda mungkinkah satu propinsi memiliki
dua ibu kota?, ya benar satu propinsi tidak mungkin akan memiliki
ibu kota yang sama. Relasi dari masalah ini merupakan sebuah
fungsi.
URAIAN MATERI
5
Modul
Kalkulus 1 55
Selanjutnya bagaimanakah dengan ilustrasi masalah berikut ini.
“Ani, Ina dan Yuli menyukai apel. Nanda, Evan dan Riza menyukai
anggur. coba ada tuliskan relasi “x menyukai buah y”, dimana x
anggota himpunan A (anak) dan y anggota himpunan B (buah).
Berdasarkan relasi yang anda peroleh apakah apakah merupakan
sebuah fungsi?, ya benar relasi tersebut merupakan fungsi.
Selanjutnya berdasarkan masalah di atas coba buat relasi dari
himpunan B ke Himpunan A dimana relasinya adalah” y disukai x”.
Coba tuliskan jawaban anda
Nah relasi yang anda buat tersebut bukan merupakan sebuah fungsi.
Berdasarkan ilustrasi masalah-masalah di atas definisi dari fungsi
adalah:
Modul
Kalkulus 1 56
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Berdasarkan ilustrasi fungsi sebelumnya “x ibukota y” menurut
anda manakah yang merupakan daerah asal dan daerah hasil?. Yah,
daerah asal adalah himpunan A dan daerah hasil himpunan B.
Daerah asal dimana A= {œ78v, ß‹7«q7 -«77, ß‹7«q7 Ø77«}, dan B= {œ78v, ©q?7, »7?7s}. Selanjutnya misal nya dalam pembelajaran matematika pada gambar
dibawah ini:
kita dapat mengatakan mungkin daerah asal adalah himpunan siswa
dalam kelas matematika dan daerah nilai berupa himpunan nilai {6,7,8,9,10}yang diberikan guru.
Berdasarkan ilustrasi di atas pengertian daerah asal dan daerah hasil
adalah:
Definisi Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (), *) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama. Himpunan semua nilai ) yang mungkin dinamakan daerah asal (domain) fungsi dan himpunan semua nilai * yang dihasilkan dinamakan daerah hasil (daerah nilai/range/jelajah) fungsi.
Modul
Kalkulus 1 57
Agar dapat memahami fungsi di atas pahamilah contoh di bawah ini
Contoh 1
Periksalah apakah relasi(pengaitan) di bawah ini merupakan suatu
fungsi atau bukan! r: - → - dengan aturan r()) = )
Penyelesaian :
Coba anda analisa bentuk relasi pada contoh di atas, apakah bentuk
relasi tersebut merupakan fungsi?. Berdasarkan pengertian fungsi
yang dipaparkan sebelumnya apakah ada pasangan di ) yang
berbeda ke *?. Hal ini dapat dianalisa dengan menggambarkan
daerah fungsi tersebut.
CONTOH SOAL
x
y
Definisi Sebuah fungsi r adalah suatu aturan korespodensi (padanan) yang menghubungkan setiap obyek di ) dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal r()) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah hasil.
Modul
Kalkulus 1 58
Berdasarkan gambar di atas apakah ada anggota di ) yang
mempunyai anggota yang lebih dari satu di³. Hal ini dapat dilakukan
dengan mencoba-cobakan nilai dari dari r()) = ) atau * = ), untuk ) = 1 maka * = 1, ) = 2 maka * = 2 dan selanjutnya. Sehingga, dapat
disimpulkan relasi tersebut merupakan fungsi.
Contoh 2
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari r{)} = 3)J − 5) + 2
Penyelesaian:
Nah beradasarkan definisi, menurut anda bagaimanakah syarat dari
daerah asal dan daerah hasil. Sekarang coba anda tentukan berpakah
nilai ) (daerah asal adalah setiap obyek di ) ) yang mungkin agar r()) terdefinisi pada himpunan bilangan riil!. ya benar semua
anggota bilangan riil jika subtitusikan ke )maka r()) akan dapat
terdefinisi pada bilangan riil. Berdasarkan analisa tersebut dapat kita
peroleh bahwa daerah asal dari fungsi tersebuat adalah bilangan riil
dan daerah hasil juga daerah bilangan riil. Hal ini jga dapat ditulis
kan dalam bentuk hipunan penyelasaian daerah asala yaitu ε = -
dan daerah hasil yaitu Œ = -.
Latihan 1
Periksalah apakah relasi(pengaitan) di bawah ini merupakan suatu
fungsi atau bukan! r: - → - dengan aturan r()) = )J + *J = 25
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 59
Penyelesaian :
Gambarkan lah grafik dari fungsi tersebut
Berdasarkan gambar di atas apakah ada anggota di y yang
mempunyai anggota yang lebih dari satu di ³. Hal ini dapat
dilakukan dengan mencoba-cobakan nilai dari dari r()) = ) atau * =), untuk ) = 0 maka * = ⋯ ?7 * = ⋯ ?7 ‹«‹fl ) = 4, * = ⋯ ?7 * = ⋯
jadi dapat disimpulkan ada satu nilai y yang petanya ada dua di ³.
Jadi menurut anda persamaan di atas apakah merupakan suatu
fungsi?.
Latihan 2
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari r{)} = √9 − )J
Penyelesaian :
Nah beradasarkan definisi, menurut anda bagaimanakah syarat dari
daerah asal dan daerah hasil. Sekarang coba anda tentukan berpakah
nilai ) (daerah asal adalah setiap obyek di ) ) yang mungkin agar r()) terdefinisi pada himpunan bilangan riil!. Menurut anda jika ) = 5 maka apakah r()) terdefinisi pada bilangan Riil?......tentu saja
tidak, karena r()) terdefinisi pada bilangan imajiner. Jadi, menurut
anda apakah syarat dari ) agar r()) terdefinisi pada bilangan Riil?
Modul
Kalkulus 1 60
ya benar, agar r()) terdefinisi maka 9 − )J ≥ 0, maka
penyelesaiannya adalah: 9 − )J ≥ 0 )J − 9 ≤ 0 () + ⋯ )() − ⋯ ) ≤ 0
Selanjutnya, ujilah pada garis bilangan maka nilai ) yang memenuhi
adalah −3 ≤ ) ≤ ⋯ jadi Œµ = [−3,3]. Sekarang coba tentukan daerah
hasil nya dengan mensubtitusi kembali kedaerah hasil maka
diperoleh -µ = [0, … ].
1. Periksalah pengaitan di bawah ini merupakan suatu fungsi atau
bukan s ∶ - → - ?qs7 s()) = )N
2. Tentukanlah daerah asal dan derah hasil dari s()) = RG3JGIQ
Penyelesaian :
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 61
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1
Fungsi
Latihan 2 −2[(7 + ℎ) − [2](7 − 2) Latihan 3
a. Œµ = {)|) ≠ 4, ) ∈ -} b. Œµ = {+ †+ ≥ − JN , ) ∈ -}
Modul
Kalkulus 1 62
c. Œµ = {*|−5 ≤ * ≤ 5, ) ∈ -}
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 63
Kegiatan Belajar
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis-Jenis Fungsi
Taukah anda fungsi juga memiliki jenis-jenis, coba anda tuliskan
jenis-jenis dari fungsi, ya benar beberapa jenis dari fungsi adalah:
1. Fungsi Genap dan Ganjil
2. Fungsi Nilai Mutlak |y| 3. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar⟦y⟧
Sekarang mari kita lihat definisi dan bagaimana cara mengambarkan
masing-masing funsi tersebut
Fungsi Genap dan Ganjil
Taukah kamu kapan fungsi itu dikatakan genap dan kapan fungsi itu
dikatakan ganjil?, ya benar tentu ada definisi yang harus dipenuhi
untuk menentukan fungsi tersebut genap atau ganjil, berikut adalah
definisi dari fungsi genap dan fungsi ganjil
Fungsi Khusus
Pernahkah kamu sebelumnya mendengar atau mengetahui fungsi
khusus, kalau kita lihat dari ejaan khusus mungkin kah bentuk
6
(1) Fungsi dikatakan genap jika ∀ ) ∈ Œµ , r(−)) = r()) (2) Fungsi dikatakan ganjil jika ∀ ) ∈ Œµ, r(−)) = −r())
URAIAN MATERI
Modul
Kalkulus 1 64
fungsinya khusus atau istimewa ataukah bentuk grafik nya yang
khusus. Mari kita jawab pertanyaan tersebut dengan memahami
materi di bawah ini
Fungsi khusus dapat dibedakan menjadi dua yaitu:
1. Fungsi nilai mutlak
2. Fungsi bilangan bulat terbesar
Mari kita tinjau dari kedua bentuk fungsi tersebut serta
bagaimanakah cara menggambar grafik fungsi tersebut.
Fungsi nilai mutlak
Bentuk dari fungsi nilai mutlak adalah sebagai berikut
Menurut kamu bagaimanakah cara menganalisa bentuk fungsi di
atas jika kita ingin menentukan gambarnya, coba perhatikan jika ) ≥ 0 atau bernilai positif maka nilainya fungsinya juga positif , jika ) < 0 atau bernilai negatif maka nilai fungsi akan bernilai positif.
Contoh nya jika nilai ) = −1 maka nilai fungsi nya adalah ) = −(−1) = 1, maka seperti apakah bentuk grafik dari fungsi tersebut!. Agar lebih
mudah mari kita buat dengan membuat titik contoh dari grafik
tersebut.
No ) r()) 1 ... ..
2 1 1
3 0 0
|)| = … ), ) ≥ 0−), ) < 0
Modul
Kalkulus 1 65
4 -1 1
5 -2 2
6 ... ...
Gambar Grafik
Fungsi bilangan bulat terbesar
Setelah kamu mengetahui bentuk dari fungsi nilai mutlak sekarang
mari kita pelajari fungsi khusus yang kedua yaitu fungsi bilangan
bulat terbesar, mari kita definisikan dahulu, namun sebelumnya kamu
harus mengetahui lambang dari nilai bilangan bulat terbesar. Fungsi
bilangan bulat terbesar biasanya dilambangkan dengan ⟦ ⟧, sekarang mari kita definisi bentuk dari nilai bilangan bulat terbesar
adalah:
Jadi ⟦)⟧ = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan ). Sama halnya dengan fungsi mutlak kamu tentunya juga harus
mengetahui bagaimana cara menggambarkan fungsi tersebut. Nah
sekarang marilah kita sketsa grafik fungsi dari fungsi bilangan bulat
8
6
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
f x = x
À(y) = ⟦y⟧ = Á ↔ Á ≤ y < + 1, bilangan bulat , ) bilangan riil
Modul
Kalkulus 1 66
terbesar tersebut dengan terlebih dahulu mengambarkan titik uji
dari grafik sesuai dengan definisi dari fungsi bilangan bulat terbesar
yang diperlihatkan pada tabel berikut.
⟦)⟧ = r()) = ≤ ) < + 1
-2 −2 ≤ ) < −1
-1 −1 ≤ ) < 0
0 0 ≤ ) < 1
1 1 ≤ ) < 2
2 2 ≤ ) < 3
3 3 ≤ ) < 4
Berdasarkan tabel di atas dapatkah kamu menganalisa maksud dari
tabel tersebut. Maksud dari tabel di atas adalah jika nilai ) berada
pada selang −Â≤y<−1 maka nilai fungsi atau r()) berada pada -2,
begitu selanjutnya. Maka grafik dari fungsi tersebut dapat kita
gambarkan sebagai berikut:
Modul
Kalkulus 1 67
Contoh 1
Nah sekarang coba kamu pikirkan jika kamu diberikan sebuah
fungsi yang berbentuk r()) = 3)Q − 2)J + 7 bagaimanakan cara
menentukan apakah fungsi tersebut genap atau ganjil, atau bukan
keduanya? Coba kita selesaikan.
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi terlebih dahulu kita menganti variabel) dangan
variabel −) r(−)) = 3(−))Q − (−))J + 7 = 3)Q − 2)J + 7 = r()) Karena r(−)) = r()), sesuai defenisi maka r()) merupakan fungsi
genap
Contoh 2
Bagaimana dengan soal s()) = 3)R − 4)N − 9). Merupakan fungsi
genap, ganjil, atau bukan keduanya?. Perhatikan langkah berikut
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi terkebih dahulu kita menganti variabel) dangan
variabel −)
s(−)) = 3(−))R − 4(−))N − 9(−)) = −3)R + 4)N + 9) = −(3)R − 4)N − 9)) = −s()) Diperoleh s(−)) = −s()), jadi s()) merupakan fungsi ganjil.
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 68
Contoh 3
Nah sekarang mari kita selesaikan menggabar grafik jika fungsi
mutlaknya berbentuk! r()) = |2)| Penyelesaian :
Menurut definisi hubungan dari daerah asalnya dan bentuk
fungsinya adalah |2)| = … 2), ) ≥ 0−2), ) < 0
Selanjutnya mari kita gambarkan titik ujinya
No ) r()) 1 ... ..
2 1 2
3 0 0
4 -1 2
5 -2 4
6 ... ...
Berdasarkan titik uji yang kita peroleh maka grafik fungsi tesebut
dapat digambarkan sebagai berikut
12
10
8
6
4
2
-10 -5 5 10
f x = 2x
Modul
Kalkulus 1 69
Contoh 4
Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut ini: r()) = ⟦)2⟧ = ↔ ≤ ) < + 1 Penyelesaian :
Coba kamu perhatikan bahwa bilangan bulat terbesar dari
definisinya selalu berbentuk ) sekarang bagaimanakah cara
menjadikan fungsi tesebut menjadi bentuk yang sama dengan
definisi. Tentu saja dengan mengalikan seluruh ruas dengan dua
yang dapat kita lihat pada tabel berikut ini:
⟦)2⟧ = r()) = 2 ≤ ) < 2 + 2
-2 −4 ≤ ) < −2
-1 −2 ≤ ) < 0
0 0 ≤ ) < 2
1 2 ≤ ) < 4
2 4 ≤ ) < 6
3 6 ≤ ) < 8
Nah setelah melihat bentuk titik ujinya mari sekarang kita analisa
bentuk tabel diatas pada saat selang ) berada pada selang −4 ≤ ) < −2 maka nilai fungsinya adalah -2, begitulah selanjutnya.
Dari analisa tersebut sekarang kita gambarkan grafinya.
Grafik dari fungsi tersebut adalah
Modul
Kalkulus 1 70
-4 -3 -2 -1 2 3 4 5 6 7 81 x
y
Latihan 1
Periksalah apakah fungsi berikut apakah fungsi berikut genap atau
ganjil dan bukan kedua nya
Penyelesaian : ℎ()) = 2)Q + 7)N − )J + 9 ℎ(−)) = 2(−))Q + ⋯ − ⋯ + 9 = 2)Q + 7)N − ) + ⋯
Apakah hasil akhir dari fungsi tersebut berbentuk ℎ(−)) =−ℎ()) Atau ℎ(−)) = ℎ()), atau bukan keduanya!!!.
Latihan 2
Gambarlah grafik jika fungsi mutlaknya berbentuk! r()) = |3)| Penyelesaian :
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 71
Mari kita definisikan bentuk fungsi tersebut sesuai dengan definisi
nilai mutlak
|3)| = …3), ) ≥ 0… , ) < ⋯
Selanjutnya mari gambarkan grafik funsi nya dengan mencari dulu
titik ujinya
No ) r()) 1 ... ..
2 1 3
3 0 0
4 -1 -3
5 -2 ...
6 ... ...
Latihan 3
Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut ini: r()) = ⟦)3⟧ = ↔ ≤ ) < + 1
Modul
Kalkulus 1 72
Penyelesaian :
Coba kamu perhatikan bahwa bilangan bulat terbesar dari
definisinya selalu berbentuk) sekarang bagaimanakah cara
menjadikan fungsi tesebut menjadi bentuk yang sama dengan definisi
tentu saja dengan mengalikan seluruh ruas dengan dua yang dapat
kita lihat pada tabel berikut ini: ⟦)3⟧ = r()) = 3 ≤ ) < 3 + 3
-2 −6 ≤ ) < −3
-1 … ≤ ) < ⋯
0 … ≤ ) < ⋯
1 … ≤ ) <.. 2 … ≤ ) <.. 3 … ≤ ) < ⋯
Gambarkan lah grafik fungsi bilangan bulat terbesar di atas
Modul
Kalkulus 1 73
1. Diketahui fungsi yang berbentuk (a) r()) = 3)Q − 2)J + 8,
(b)s()) = GGH3Q. Tentukanlah apakah fungsi tersebut merupakan
fungsi genap atau ganjil atau bukan keduanya.
2. Gambarlah grafik jika fungsi mutlaknya berbentuk r()) = |) − 2| 3. Gambarkan grafik dari fungsi bilangan bulat terbesar berikut
ini: r()) = ⟦2) − 1⟧ penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 74
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 75
Kegiatan Belajar
Operasi pada fungsi, tranlasi, dan Fungsi Trigonometri
Pada kegiatan belajar sebelumnya kita sudah menyingung tentang
daerah asal fungsi, daerah hasil jenis-jenis fungsi,nah pada kegiatan
belajar ini kita akan membahas tentang bagaimanakan jika fungsi di
operasikan. Selanjutnya jika fungsi sudah dioperasikan maka
bagaimanakah cara menentukan daerah asal serta daerah hasil
fungsi tersebut. Untuk memahami ini mari kita lihat dahulu definisi
jika dua fungsi diberikan. Berikut ini adalah beberapa definisi yang
harus kamu pahami
Setelah memahami bentuk definisi di atas sekarang mari kita pahami
bagaimana cara menentukan daerah asal atau daerah hasil jika fungsi
7
URAIAN MATERI
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
(f. g)(x) = f(x). g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x)
(i) Jumlahnya dinyatakan fungsi f + g didefinisikan dengan (ii) Selisihnya dinyatakan dengan f − g didefinisikan dengan
(iii) Hasil kalinya dinyatakan f. g didefinisikan dengan
(iv) Hasil bagi nya dinyatakan ÃÄ didefinisikan dengan
Modul
Kalkulus 1 76
tersebut di operasikan. Dalam hal ini kita juga harus mehami
beberapa bentuk definisi berikut:
Fungsi Komposisi
Setelah kamu memahami bagaimana cara menentukan daerah asal
dari dua fungsi yang dioperasikan. Selanjutnya bagaimanakah cara
menentuka daerah hasil dari dua fungsi yang dikomposisikan. Fungsi
komposisi dan bagaimana cara melakukan operasi komposisi pada
dua fungsi sudah kita pelajari pada matakuliah aljabar. Untuk
menentukan komposisi fungsi terlebih dahulu kita lakukan komposisi
pada fungsi tersebut selanjutnya kita tentukan daerah aslanya. Untuk
lebih jelas akan diuraikan pada contoh soal
Tranlasi
Taukah kamu tentang tranlasi, kalau dilihat dari bahasanya tranlasi
dapat diartikan dengan pergesesran. Jika sebuah benda digeser
maka letak benda tersebut pasti akan berpindah. Sekarang
bagaimanakah kalau sebuah fungsi digeser apakah fungsi tersebut
juga akan perpindah tempat. Pergeseran atau perpindaan suatu
benda tertu dapat terjadi ke arah mana saja mungkin perpindahan itu
dapat terjadi ke atas, ke bawah, kekiri ataupu kekanan.
ŒµIÅ Ç Œµ3Å = Œµ.Å = Œ = Œµ ∩ ŒÅ ?7 ŒÉÊ = Œ − {) ∈ -, s())}
Dalam setiap kasus, daerah asal fungsi hasilnya adalah nilai persekutuan pada Œµ dan ŒÅ dengan syarat pada operasi pengurangan kita harus memperhatikan bawa penyebut tidak boleh nol karena akan mengakibatkan fungsi tidak terdefinisi sehingga untuk bagian (iv) s()) ≠ 0 . jadi untuk menetukan definis fungsi dapat dilakukan dengan cara
Modul
Kalkulus 1 77
Bagaimanakah jikah pergeseseran tersebut dilakukan pada fungsi
tentunya hal tersebut juga mungkin terjadi. Untuk mengetahui hal
tersebut maka pahamilah teorema berikut ini:
Fungsi Trigonometri
Pada materi sebelum nya kita sudah membahas macam-macam
fungsi,diantaranya fungsi genap-ganjil, fungsi khusus, dll. Nah
pada kegiatan belajar ini kita akan membahas sekilas tentang fungsi
trigonometri. Hal ini disebabkan karena pengkajian mendalam
tentang fungsi trigonometri akan dibahas pada mata kuliah
trigonometri.
Bentuk sudut trigonometri yang paling sederhana dalam
pembahasan trigonometri adalah Ëv« dan 9ÌË «, namun bagaimanakah
jika dia dalam bentuk fungsi maka berikut ini akan diberikan definisi
tentang fungsi ini:
* = r() − ℎ) + fl
* = r() + ℎ) + fl
* = r() − ℎ) − fl
* = r() + ℎ) − fl
1. Jika ℎ > 0, fl > 0, * = r()) digeser ℎ satuan ke kanan dan k satuan keatas maka
2. Jika ℎ < 0, fl > 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kiri dan k satuan ke atas
3. Jika ℎ > 0, fl < 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kekanan dan k satuan ke bawah
4. Jika ℎ < 0, fl < 0, * = r()) digeser sejauh ℎ satuan ke kiri dan k satuan ke bawah
Modul
Kalkulus 1 78
Setelah kita melihat definisi dari bentuk fungsi dasar trigonometri
sekarang mari kita memahami sifat-sifat dasar dari dari fungsi sinus
dan cosinus tersebut
Selanjut ada beberapa bentuk dari fungsi trigonometri lainnya
sebagai berikut:
Andaikan t merupakan panjang sebuah busur lingkaran satuan dan menentukan titik »(), *) yang tunggal cosinus dan sinus sudut t di tulis cos t dan sisn t didefiniskan sebagai 9ÌË« = ) dan Ëv« = * yang dapat dilihat pada gambar berikut
1. |Ëv«| ≤ 1 ?7 |cos «| ≤ 1 2. sin(« + 2Î) = sin « 3. sin(−)) = − sin ) cos(−)) = − cos ) 4. sin ÏÎ2 − «Ð = cos « 5. ËvJ « + 9ÌËJ« = 1
Modul
Kalkulus 1 79
jika bentuk fungsi mutlak memiliki gambar grafik fungsi dan bilangan
bulat terbesar memiliki gambar grafik, bagaimanakah dengan fungsi
trigonometri!!. Jika kamu ingin menggambarkan grafik fungsi
tersebut apakah yang kamu lakukan pertama kali!!..... ya tentu saja
kamu terlebih dahulu harus menetukan titik-titik ujinya sama halnya
dengan menggambarkan grafik fungsi lainnya. Sekarang marilah kita
mencoba mensketsa grafik sin x
mari kita coba menetukan titik-titk ujinya dengan memisalkan x
dalam bentuk radian sudut-sudut istimewa. Maka kita peroleh titik-
titik ujinya adalah sebagai berikut: ) sin ) −2Î 0 − 32 Î 1 −Î 0 −Î2 -1
0 0 Î2 1 Î 0 32 Î -1 2Î 0
1. tan « = sin «cos «
2. Ëq9« = 1cos «
3. cot « = cos «sin «
4. csc « = 1sin «
Modul
Kalkulus 1 80
Berdasarkan analisa tabel di atas berarti absisnya kita buat
dalam bentuk radian dan ordinat nya hanya berkisar antara 0,-1, dan
1 maka gambar yang kita peroleh adalah sebagai berikut:
Contoh 1
Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah daerah
hasil dari ŒµIÅ Penyelesaian
Berdasar masalahdi atas apakah yang petama kali akan kita
lakukan! Ya tentunya kita harus memperhatikan kembali definisi
dari jika dua fungsi dijumlahkan. Jika dua fungsi dijumlahkan maka
bentuk daerah asalnya adalah ŒµIÅ Ç Œ = Œµ ∩ ŒÅ, jadi menurut definisi
ini kita tentunya kita harus mengingat kembali bagaimana cara menentukan
daerah asal suatu fungsi. Pertama-pertama kita harus menentukan daera
asal r()) = √) + 1. Masih ingatkah kamu bagaimana cara menetukan
daerah asal fungsi tersebut. Ya tentunya daerah asal dari fungsi
tersebut haruslah memenuhi ) + 1 ≥ 0 agar fungsi ini terdefinisi, ini
berarti kita harus menyelesaikan bentuk persamaan tersebut.
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 81
Bagaimanakah cara menyelesaiakanya, ya tentusaja dengacara
menambahkan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 sehingga
mendapatkan bentuk ) ≥ −1, jadi Œµ = [−1, ∞) Hal ini juga berlaku
dalam menentukan daerah asal s()) = √) − 4 sehingga kita peroleh
derah asalnya adalah ) ≥ 4, jadiŒs = [4, ∞) . Nah bagaimana kah cara
menetukan irisan dari kedua daerah asal tersebut atau Œµ ∩ ŒÅ, sama hal
nya dengan menetuka irisan himpuna biasa, irisan nya adalah Œµ ∩ ŒÅ =Ñ) ?v77 ) ∈ Œµ ?7 ) ∈ ŒÅÒ = [4, ∞).
Contoh 2
Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = 2) − 3) tentukan lah jika ı())jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı
Penyelesaian
Langkah apakah yang akan kamu lakukan untuk menyelesaikan
persoalan di atas, ya tentu saja hal pertama yang harus dilakukan
adalah menetukan rÌs
Masih ingat kah kamu cara melakukan operasi tesebut, ya tentu saja
kita akan mengubah bentuk rÌs = rEs())F = r(2) − 3) arti dari
bentuk ini adalah kita menggan setiap variabel ) dengan 2) − 3 maka
akan kita peroleh ı = rÌs = rEs())F = r(2) − 3) ı = √2) − 3
Setelah kita peroleh bentu fungsi F maka akan kita tentukan daerah
asal Fatau ŒÓ hal yang sama kita lakukan yitu dengan menetukan
nilai x hingga nilai fungsi F terdefinisi yaitu pada 2) − 3 ≥ 0,
sehingga kita peroleh daerah asalnya adalah 2 ) ≥ 3 sehingga
Modul
Kalkulus 1 82
ŒÓ = [NJ , ∞) sehingga daerah asal F yang merupakan hasil komposisi dari
fungsi r())dan s()) adalah ŒÓ = [NJ , ∞)
Contoh 3
Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) = |)| selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk fungsi * = r() − 3) = |) − 3| sketsalah grafiknya dan kemanakah arah
pegeseran nya.
Penyelesaian
Langkah awal yang harus kita lakukan adalah sketsalah grafik dari
masing-masing fungsi tersebut. Berikut ini adalah skesa grafik * = r()) = |)| , selanjutnya gambarkan grafik * = r() − 3) = |) − 3| pada satu bidang yang sama.
Berdasarkan kedua gambar grafik di atas apakah yang dapat kamu
simpulkan
.Ya yang dapat kita simpulkan adalah bahwa grafik berpindah
kekanan sebanya tiga satuan. Hal ini sesuai dengan teorema yang
pertama untuk ℎ = 3 > 0 ?7 fl = 0 ≥ 0 maka grafik akan begeser
sejau tiga satua kekanan dan nol satuan ke atas.
4
2
-2
-5 5 10
g x = f x-3
f x = x
Modul
Kalkulus 1 83
Contoh 4
Gambarkan lah grafik fungsi cos t berdasarkan materi yang sudah
kamu pelajari pada kegiatan belajar ini
Penyelesaian
Apakah langkah pertama yang kamu lakukan untu menyelesaikan
permasalahan di atas. Tentu kita akan mencari titik uji nya terlebih
dahulu yang akan disajikan pada tabel di bawah ini:
) cos ) −2Î 1 − 32 Î 0
−Î -1 −Î2 0
0 1 Î2 0 Î -1 32 Î 0
2Î 1
Modul
Kalkulus 1 84
Latihan 1
Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah daera
hasil dari Œµ3Å Penyelesaian
Berdasar masalah di atas apakah yang petama kali akan kita
lakukan! Ya tentunya kita harus memperhatikan kembali definisi
dari jika dua fungsi dijumlahkan. Jika dua fungsi dijumlahkan maka
bentuk daerah asalnya adalah Œµ3Å Ç Œ = ⋯, jadi menurut definisi ini kita
tentunya kita harus mengingat kembali bagaimana cara menentukan daerah
asa suatu fungsi. Pertamakali kita harus menentukan daera asal r()) = √) + 1. Masih ingatkah kamu bagaimana cara menetukan daerah asal
fungsi tersebut. Ya tentunya daerah asal dari fungsi tersebut
haruslah memenuhi ) + ⋯ ≥ 0 agar fungsi ini terdefinisi, ini berarti
kita harus menyelesaikan bentuk persamaan tersebut. Bagaimanakah
cara menyelesaiakanya, ya tentusaja dengacara menambahkan kedua
ruas pertidaksamaan dengan -1 sehingga mendapatkan bentuk ) ≥ ⋯, jadi Œµ = [… , ∞) Hal ini juga berlaku dalam menentukan daerah
asal s()) = √) − 4 sehingga kita peroleh derah asalnya adalah
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 85
) ≥ ⋯ , jadiŒs = [4, … ) . Nah bagaimana kah cara menetukan irisan dari
kedua daerah asal tersebut atau Œµ ∩ ŒÅ, sama hal nya dengan menetuka
irisan himpuna biasa, irisan nya adalah Œµ ∩ ŒÅ = Ñ) ?v77 ) ∈ Œµ ?7 ) ∈ŒÅÒ = [4, … )
Latihan 2
Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = )J − 1 tentukan lah jika ı()) jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı
penyelesaian
Langkah apakah yang akan kamu lakukan untuk menyelesaikan
persoalan di atas, ya tentu saja hal pertama yang harus dilakukan
adalah menetukan rÌs
Masih ingat kah kamu cara melakukan operasi tesebut, ya tentu saja
kita akan mengubah bentuk rÌs = rEs())F = r(… ) arti dari bentuk ini
adalah kita menggan setiap variabel ) dengan 2) − 3 maka akan kita
peroleh ı = rÌs = rEs())F = r(… ) ı = ⋯
Setelah kita peroleh bentu fungsi F maka akan kita tentukan daerah
asal Fatau ŒÓ hal yang sama kita lakukan yitu dengan menetukan
nilai x hingga nilai fungsi F terdefinisi yaitu pada .... sehingga kita
peroleh daerah asalnya adalah ... sehingga …. sehingga daerah asal F
yang merupakan hasil komposisi dari fungsi r())dan s()) adalah ŒÓ = ⋯
Latihan 3
Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) = |)| selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk fungsi
Modul
Kalkulus 1 86
* = r() − 3) + 2 = |) − 3| + 2 sketsalah grafiknya dan kemanakah
arah pegeseran nya.
Penyelesaian
Langkah awal yang haruskkita lakukan adalah sketsalah grafik dari
masing-masing fungsi tersebut. Berikut ini adalah skesa grafik * = r()) = |)| dan * = r() − 3) + 2 = |) − 3| + 2 dalam satu bidang
cartesius
Baerdasarkan gambar tersebuat apakah yang dapat anda simpulkan
Modul
Kalkulus 1 87
Latihan 4
Gambarkan lah grafik fungsi tan t berdasarkan materi yang sudah
kamu pelajari pada kegiatan belajar ini
penyelesaian
sama halnya dengan contoh soal pecahkan lah persoalan di atas
dengan menentukan titik uji nya terlebih dahulu. Mari kita mencoba ) cos ) −2Î ... − 32 Î ... −Î ... −Î2 ...
0 ... Î2 ... Î ... 32 Î ... 2Î ...
Selanjutnya mari gambarkan grafinya pada kotak yang disediakan di
bawah ini
Modul
Kalkulus 1 88
1. Jika diberikan r()) = √) + 1 ?7 s()) = √) − 4 tentukan lah
daera hasil dari Œµ/Å 2. Diketahui fungsi f dan g yang didefinisikan oleh r()) = √) dan s()) = 2) − 5) tentukan lah jika ı())jika rÌs = ı dan tentukan daerah asal ı
3. Jika diberikan sebuah permasalahan diketahui fungsi * = r()) selajutnya fungsi tersebut ditranlasikan ke dalam bentuk
fungsi * = r()) + 2 sketsalah grafiknya dan kemanakah arah
pegeseran nya.
4. Gambarkanlah grafik persamaan-persamaan berikut ini:
a. * = sin 2)
b. * = 2 sin « c. * = cos( ) − ÔQ)
5. Hitunglah tampa menggunakan kalkulator
a. tan ÏÔNÐ
b. 9Ì« ÏÔNÐ
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 89
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 90
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 91
LIMIT
Pendahuluan
Apa itu limit dan bagaimana cara menghitung limit? Jika Anda
ingin mengetahui apa itu fungsi dan limit dan bagaimana menentukan
dan menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada
modul pertama ini terdiri atas dua kegiatan belajar. Pada kegiatan
belajar pertama akan menguraikankan tentang definisi dan teorema-
teorema pada limit, kegiatan belajar kedua analisis pendahuluan
tentang limit serta kekontiniuan fungsi.
Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-
materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-
modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat
dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-
modul berikutnya.
Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini
diharapkan Anda dapat memahamidanmenggunakankonsep fungsi
dan limit serta Khususnya, diharapkan Anda dapat:
1. Mahasiswa dapat memahami tentang definisi dan teorema-
teorema pada limit
2. Mahasiswa dapat memahami tentang analisis pendahuluan tentang
limit serta kekontiniuan fungsi
Modul
Kalkulus 1 92
Kegiatan Belajar
Limit dan Pengkajian Mendalam tentang Tentang Limit
Pengertian Limit
Pada kegiatan belajar ini kita akan membahas tentang limit. Menurut
anda apakah pengertian limit. Untuk memahami pengertian limit
mari kita perhatikan ilustrasi berikut ini misalnya dua orang anak
yang sedang mengendarai sepeda hampir saja bertabrakan.
1
URAIAN MATERI
Modul
Kalkulus 1 93
contoh berikutnya adalah seorang wanita yang hampir jatuh ketika
sedang berdansa karena terpeleset kulit pisang.
Selanjutnya seekor ikan hampir saja dapat menangkap cacing pada
kail seorang pria
Berdasar kan ilustrasi di atas apakah kesimpulan yang dapat kamu
ambil. Ya tentu saja ketiga ilustrasi di atas menggunakan kata-kata
hampir tapi tidak pernah terjadi hal itu lah yang disebut dengan limit
dimana jika diartikan berdasarkan ejaan limit berarti hampir.
Agar lebih memahmi limit dalam bidang kajian matematika Berikut ini
akan diberikan pemahaman secara itiutif dari limit. Pemahaman ini
kan dilustrasikan dengan contoh fungsi berikut: r()) = sin )) , limG→ª sin )) = 1
Modul
Kalkulus 1 94
Pendekatan mendasar mengenai pendekatan intiutif ini akan kita
lihat penyajian nya melalui tabel berikut ini: ) r()) -1,0 0,84147
-0,5 0,95885
-0,1 0,99833
-0,01 0,99998
-0,001 0,99999
... ...
0 ?
.. ...
0,001 0,99999
0,01 0,99998
0,1 0,99833
0,5 0,95885
Berdasarkan analisa dari tabel di atas apakah yang dapat kamu
simpulkan. Coba perhatikan jika )mendekati 0 dari kiri dan dari
kanan maka nilai r())akan mendekati 1, akan tetapi nilainya bukan 1 tetapi hampir
mendekati satu.
Berdasarkan ilustarsi intuitif dapatkah kamu memahami apa itu limit!,
mari kita coba melihat definisi mengenai limit berikut ini:
limG→= r()) = Õ artinya jika ) mendekati c maka r())mendekati Õ
Definisi
Modul
Kalkulus 1 95
Berdasar definisi dan pengkajian intiutif di atas dapat kita lihat
bahwa ada dua pihak nilai ) yang membuat nilai r()) yang mendekati Õ. Diamana ada nilai-nilai ) yang dari kiri dan nilai ) dari kanan.
Hal ini dapat disebut dengan limit sepihak. Untuk memahami limit
sepihak dapat kita pahami teorema berikut:
Berdasar kan teorema 1 dapat kita artikan bahwa jika ) mendekati
nilai 9 dari kiri maka r()) akan mendekati nilai Õ, begitu juga dengan
teorema 2 dapat kita artikan bahwa jika ) mendekati nilai 9 dari kanan
maka r()) akan mendekati nilai Õ
Setelah anda memahami definisi limit dan teorema limit sepihak
coba anda pikirkan apakah sebuah limit dapat terdefisi dan tidak dapat
terdefinisi. Agar dapat memahami hal tersebut coba pahami teorema
berikut ini:
Berdasarkan definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa mungkin
saja limit tidak dapat difenisikan yaitu apabila limit kiri dan limit
kann nya tidak sama
1. Limit kiri = limG→=× r()) = Õ 2. Limit kanan = limG→=Ù r()) = Õ
limG→=× r()) = limG→=Ù r()) = Õ → limG→= r()) = Õ limG→=× r()) ≠ limG→=∓ r()) = Õ → limG→= r()) = Õ tidak ada
Modul
Kalkulus 1 96
Setelah anda memahami pengertian dasar dari limit sekarang mari
kita
Memahami Pengkajian Mendalam tentang Limit
Untuk memahami masalah ini mari kita mulai dengan sebuah kasus. perhatikan r()) = )J + ) − 2) − 1
funngsi ini tidak didefinisikan di ) = 1, tetapi kita dapat melihat
perilaku nilai r() > 1) untuk ) yang dekat ke 1 baik dari arah kanan
maupun dari arah kiri () < 1) jadi r()) = GHIG3J(G34) = (G34)(GIJ)(G34) = () + 2), ) ≠ 1
tabel disamping ini dapat dilihat apa yang terjadi dengan nilai fungsi r jika mendekati 1 ) 0,9 0,999 0,9999 ... 1,0001 1,001 1,01 1 r()) 2,9 2,999 2,9999 ... 3,000,1 3,001 3,01 3 |) − 1| 0,1 0,01 0,001 ... 0,0001 0,001 0,01 0,1 |r()) − 3| 0,1 0,01 0,001 ... 0,0001 0,001 0,001 0,1
1. Jika jarak ) dengan 1 kurang dari 0,1 maka jarak r()) dengan
3 kurang dari 0,1
2. Jika jarak ‹ dengan 1 kurang dari 0,01 maka jarak r()) dengan
3 kurang dari 0,01
Dst
Modul
Kalkulus 1 97
Secara matematis dapat ditulis 0 < |) − 1| < 0,1 → |r()) − 3| < 0,1 0 < |) − 1| < 0,01 → |r()) − 3| < 0,01
0 < |) − 1| < 0,001 → |r()) − 3| < 0,001
Sehingga dapat dikatakan nilai r()) dapat didekatkan ke 3 asalkan
nilai ) diambil cukup dekat ke 1 dengan kata lain |r()) − 3| dapat
dibuat kecil asalakan jarak ) denga 1 cukup kecil, ) ≠ 1
Bilangan-bilangan yang cukup kecil adalah Û dan Ü Û = jarak r()) dengan 3 Ü = jarak r()) dengan 1
Maka dapat di tulis |r()) − 3| < Û asalkan 0 < |) − 1| < Ü
Kondisi ini menyatakan bahwa limit r()) untuk ) mendekati 1 adalah
3 ditulis limG→4 r()) = 3 7«7‹ limG→4 )J + ) − 2) − 1 = 3
Perhatikan bahwa
Nilai r()) dapat diambil ke L asalkan x dekat ke c, tidak perlu di c
Modul
Kalkulus 1 98
Dengan kata lain, jika jarak-jarak dengan c cukup kecil, ) ≠ 7 maka
jarak r()) dapat dibuat sekecil mungkin atau dapat ditulis : 0 < |) − 1| < Ü → |r()) − 3| < Û hal ini dapat di definisikan sebagai
berikut
Contoh 1
Perhatikan lah grafik berikut ini, berdasarkan permasalahan-
permasalah dan teorema-teorema dari limit analisa lah grfafik
berikut ini:
Berdasarkan grafik tersebut tentukan lah
a. r(−3) b. r(−1) c. periksalah apakah limÝ→34 f()) ada atau tidak
CONTOH SOAL
limG→= r()) = Õ 8q7«v 87ℎÞ7 ∀ Û > 0, ∃ Ü > 0 ∋ 0 < |) − 1| <→ |r()) − 3| < Û
1
2
Modul
Kalkulus 1 99
Penyelesaian
a. berdasarkan grafik di atas untuk ) = −3 berapakah nilai yang
ditunjukan oleh *, ya nilai * yang diperlihatkan adalah 1. Jadi
dapat kita simpukan bahwa hasil dari r(−3) =1
b. selanjutnya ntuk nilai ) = −1 berapakah nilai yang ditunjukan
oleh *
ya nilai yang ditunjukan oleh * adalah 1. Jadi dapat kita
simpulkan bahwa r(−1) = 1
c. selanjutnya pada soal nomor tiga bagaimanakah cara
menentukan limÝ→34 f()) ada atau tidak. Agar ini dapat
ditentukan tentu kita harus mengingat lagi teorema limit
sebelumnya. Bahwa limit dikatan ada jika nilai limitnya dari
kiri maupun dari kanan mendekati suatu nilai yang sama
misalkan sebuah nilai L. Nah sekarang coba anda periksa limit
kiri dan limit kanan dari permasalahan ter sebut.
Berdasarkan gambar di atas menurut kamu berapakah nilai
dari limÝ→34× f()) , coba perhatikan bahwa nilai limit dari kiri.Jika
kita
perhatikan nilai sepanjang nilai adalah 2. Jadi dapat kita
simpulkan bahwa limÝ→34× f()) = 2 nah selanjutnya bagaimanakah nilai dari limit kanan fungsi
tersebut apakah juga mendekati 2, juka dilihat dari grafik nilai
limit untu -1 dari kanan adalah 2 artinya adalah limÝ→34Ù f()) = 2 . berdasarkan analisa kita tersbut dapat kita
simpulkan bahwa limit kiri sama dengan limit kanan araninya
limit menuju -1 ada yitu 2 yang dapat kita lihat sebagai berikut: limÝ→34× f()) = 2 = limÝ→34Ù f()) = 2 = limÝ→34 f()) = 2
Modul
Kalkulus 1 100
Contoh 2
Buktikan lah bahwa limâ→Q(3) − 7) = 5
Berdasarkan permasalahan di atas yang apakah yang dapat kita
lakukan, jika pada permasalahan pada modul sebelumnya kita hanya
diminta menetukan nilai limitnya, pada modul ini kita diminta untuk
membuktikan limG→4( 3) − 7) = 5. Agar kamu dapat menyelesaikan
permasalahan ini ingat lah teorema atau definisi yang berkaitan
dengan permasalahan ini. Mari kita mengadakan analisis analisis
pendahuluan terlebih dahulu, mari tinjau permasalahan berikut:
Analisis pendahuluan
Misalakan Û bilangan positif (Û > 0) sembarang kita harus mengsilkan Ü > 0 ∋ 0 < |) − 4| < Ü → |(3) − 7) − 5| < Û
Padang |(3) − 7) − 5| < Û |3) − 12| < Û |3) − 12| < Û |3() − 4)| < Û 3|() − 4)| < Û |() − 4)| < Û
Nah sekarang coba perhatikan karena 0<|() − 4)| < Û → |() − 4)|<ãN, pilih Ü = ãN Berdasarkan analisis pendahuluan maka kita peroleh bukti formal
Kita pilih Û > 0, pilih Ü = ãN maka 0 < |) − 4| < Ü membawakan |(3) − 7) − 5| = |3) − 12| = |3) − 12| = |3() − 4)| = 3 |) − 4| < 3Ü =Û bearati |(3) − 7) − 5| < Û
Modul
Kalkulus 1 101
Latihan 1
Perhatikan lah grafik berikut ini dimana grafik yang sama pada
contoh soal berikut, berdasarkan permasalahan-permasalah dan
teorema-teorema dari limit analisa lah grfafik berikut ini:
Berdasarkan grafik tersebut tentukan lah
a. r(1) b. periksalah apakah limÝ→4 f()) ada atau tidak
Penyelesaian
a. berdasarkan grafik di atas untuk ) = 1 berapakah nilai yang
ditunjukan oleh *, ya nilai * yang diperlihatkan adalah 1. Jadi
dapat kita simpukan bahwa hasil dari r(1) =...
b. selanjutnya pada soal nomor tiga bagaimanakah cara
menentukan limÝ→4 f()) ada atau tidak. Agar ini dapat
ditentukan tentu kita harus mengingat lagi teorema limit
sebelumnya. Bahwa limit dikatakan ada jika nilai limitnya dari
kiri maupun dari kanan mendekati suatu nilai yang sama
misalkan sebuah nilai L. Nah sekarang coba anda periksa limit
kiri dan limit kanan dari permasalahan ter sebut.
LATIHAN TERBIMBING
2
1
Modul
Kalkulus 1 102
Berdasarkan gambar di atas menurut kamu berapakah nilai
dari limÝ→4Ù f()) , coba perhatikan bahwa nilai limit dari kiri
jika kita
perhatikan nilai sepanjang nilai adalah 2. Jadi dapat kita
simpulkan bahwa limÝ→4× f()) = ⋯ nah selanjutnya bagaimanakah nilai dari limit kanan fungsi
tersebut apakah juga mendekati 2, juka dilihat dari grafik nilai
limit untu -1 dari kanan adalah 2 artinya adalah limÝ→4Ù f()) =. .. berdasarkan analisa kita tersbut dapat kita
simpulkan bahwa limit kiri sama dengan limit kanan araninya
limit menuju -1 ada yitu 2 yang dapat kita lihat sebagai
berikut: limÝ→4× f()) = ⋯ = limÝ→4Ù f()) = ⋯ = limÝ→4 f()) = ⋯
Latihan 2
Buktikan bahwa
limG→N )J − 2) − 3) − 3 = 4
penyelesaian
Analisis pendahuluan
Berdasarkan permasalahan di atas yang apakah yang dapat kita
lakukan, jika pada permasalahan pada modul sebelumnya kita hanya
diminta menetukan nilai limitnya, pada modul ini kita diminta untuk
membuktikan
Modul
Kalkulus 1 103
limG→N )J − 2) − 3) − 3 = 4
.Agar kamu dapat menyelesaikan permasalahan ini ingatlah teorema
atau definisi yang berkaitan dengan analisis pendahuluan yang harus
kita lakukan. mari tinjau permasalahan berikut:
Analisis pendahuluan
Misalakan Û bilangan positif (Û > 0) sembarang kita harus mengsilkan Ü > 0 ∋ 0 < |) − ⋯ | < Ü → | GH3JG3NG3N | < Û
Padang | )J − 2) − 3) − 3 | < Û
ä)J − 2) − 3 − 4() − 3)) − 3 ä < Û
ä)J − 2) − 3 − 4() − 3)) − 3 ä < Û
† …) − 3† < Û † …) − 3† < Û |() − 3)| < Û
Nah sekarang coba perhatikan karena 0<|() − 3)| < Ü → | GH3JG3NG3N −4| <Û pilih Ü = Û.
Nah setelah menyelesaikan analisis pendahuluan coba kontruksi
analisis formal berikut ini
Modul
Kalkulus 1 104
1. misalkan f didefinisikan oleh grafik
å ) + 5 , wvfl7 ) < −3 9 − )J , wvfl7 − 3 ≤ ) < 35 − ) , wvfl7 3 < )
Berdasarkan analisa terhadap fungsi di atas coba kamu
gambarkanlah grafik nya
Setelah kamu menganalisa grafik fungsi tersebut selesaikan
masalah berikut ini
a. Tentukanlah limit di bawah ini ada atau tidak limG→3N r()) b. Tentukanlah limG→N r())
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 105
2. limG→34(3) + 2) = −3
3. limG→N() − 5) = −2
4. limG→J(3) + 2) = 8
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 106
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 107
Kegiatan Belajar
Teorema-Teorema pada Limit dan Kekontiniuan
Setelah anda memahami tentang pengertian limit dan pemahaman
mendasar tentang limit, sekarang mari kita pahami tentang teorema-
teorema dasar tentang limit
URAIAN MATERI
1
misalkan fungsi r dan s mempunyai limit di 9 maka ∶ 1. limG→= r()) = Õ dan limG→= r()) = ©, maka Õ = © 2. limG→= ç = ç , ç suatu konstanta 3. limG→= ) = 9 4. limG→= fl r()) = fl dan limG→= r()) 5. limG→= [ r()) + s())] = limG→= r()) + limG→= s()) 6. lim G→=[ r()) − s())] = limG→= r()) − limG→= s()) 6. lim G→=[ r()). s())] = limG→= r()). limG→= s())
7. lim G→= èr())s())é = limG→= r()).limG→= s()) , limG→= s()) ≠ 0
8. limG→= (r()))â = (limG→= r()))â
9 limG→= r())ê = ëlimG→= r())ê
10. 7. jika lim G→= r()) = Õ maka limG→=|r())| = |Õ| b. jika limG→=|r())| = 0 maka jika limG→= r()) = 0
Modul
Kalkulus 1 108
Setelah anda mempelajari tentang beberapa teorema tentang limit
sekarang mari kita pelajari tentang teorema kekontiniuan. Menurut
kamu apakah yang dimaksud dengan kekontiniuan!. Dari asal
bahasanya kontiniu berarti berkesinambungan. Coba perhatikan
gambar grafik berikut mari analisa manakah grafik yang kontiniu
Gambar 1
Gambar 2
Modul
Kalkulus 1 109
c
f
Gambar 3
Berdasarkan gambar di atas manakah gambar grafik fungsi yang
merupakan fungsi yang kontiniu!!. Ya benar grafik pada Gambar 3
adalah grafik yang menunjukan kontiniu, nah sekarang coba kamu
perhatikan antara Grafik 1, Grafik 2 dan Grafik 3. Dari ektiga grafik
tersebut dimanakah letak perbedaanya?. Perbedaannya adalah pada
Garbar 1 jelas terlihat barwa nilai yang mendekati suatu titik
berbeda dari kiri dengan dari kanan. Sedangkan pada Gambar 3 ada
bulatan yang kosong dan ada bulatan yang penuh. Hal ini artinya
adalah limit nya tidak sama dengan nilai fungsinya. Berdasarkan
analisa yang kamu lakukan besakah kamu memprediksi apakah
syarat dari fungsi dikatakan kontiniu jika dikaitkan dengan limit
Sekarang mari pahami syarat suatau fungsi f dikatakan kontiniu
Agar anda lebih memahami beberapa teorema tentang limit dan
definisi dari kekontiniuan mari pahami beberapa latihan terbimbing
berikut
1. limG→= r())ada 2. r(9)ada 3. limG→= r()) = r(9)
Modul
Kalkulus 1 110
Contoh 1
Sederhanakanlah bentuk limit berikut ini: limâ→ì )J + 7) − 5
Penyelesaian:
Berdasarkan masalah di atas bagaimanakah cara menyelesaikan limit
tersebut. Mari ingat lagi teorema-teorema tentang limit. Hal yang
dapat dilakukan adalah
limâ→ì )J + 7) − 5 = limâ→ì )J + limâ→ì 7) − limâ→ì 5 = 3J + 7.3 − 5 = 9 + 21 − 5 = 25
Contoh 2
Jika diketahui suatu fungsir()) = GH3 QG3J , tidak kontiniu di ) = 2
bagaimana agar fungsi tersebut terdefini di ) = 2
Penyelesaian :
Perhatikanlah penyelesaian berikut ini:
limG→J r()) = limG→J )J − 4) − 2
= lim G→J () − 2)() + 2)) − 2
= lim G→J() + 2) = 4
Jadi dapa disimpulkan agar r()) kontiniu di ) = 2 disefinisikan r()) = 4
CONTOH
Modul
Kalkulus 1 111
Latihan 1
Jika diketahui suatu fungsir()) = GH3 NG3N , tidak kontiniu di ) = 3
bagaimana agar fungsi tersebut terdefini di ) = 3
Penyelesaian :
Perhatikanlah penyelesaian berikut ini:
limG→N r()) = limG→N )J − …) − ⋯
= lim G→⋯ () − ⋯ )() + ⋯ )) − ⋯
= lim G→⋯() + 3) = 6
Jadi dapa disimpulkan agar r()) kontiniu di ) = ⋯ disefinisikan r()) =
Sederhanakanlah bentuk limit berikut:
1. limG→N ë(G)OIJGIN(G)HIR
2. limG→N GO3JƒG3N
3. limG→Q √G3JG3Q
4. ℎ(«) = í îO3Tî3J , « ≠ 2 12 , « = 2 apakahℎ(«) kontiniu?
LATIHAN TERBIMBING
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 112
Penyelesaian
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Modul
Kalkulus 1 113
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 114
TURUNAN
Pendahuluan
Apa itu turunan? Bagaimana menghitung turunan? Jika Anda
ingin mengetahui apa turunan itu dan bagaimana menghitungnya,
maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada modul pertama ini
terdiri atas empat kegiatan belajar. Pada kegiatan belajar pertama
akan diuraikan dua masalah satu tema, turunan, pada kegiatan
belajar kedua aturan pencarian turunan, turunan fungsi trigonometri,
pada kegiatan belajar ketiga aturan rantai, turunan tingkat tinggi,
diferensial implisit, dan pada kegiatan belajar empat laju terkait,
diferensial dan aproksimasi.
Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-
materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-
modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat
dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-
modul berikutnya.
Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini
diharapkan Anda dapat
memahamidanmenggunakankonsepturUnanserta Khususnya,
diharapkan Anda dapat:
1. Melalui diminta mensketsa suatu kurva, melalui kurva tersebut
mahasis wa memahami pengertian gradien garissinggung dan
kecepatan sesaat yang dikaitkan dengan turunan.
2. Mahasiswa menentukan turunan suatu fungsi menggunakan
definisi.
Modul
Kalkulus 1 115
3. Mahasiswa menentukans yarat suatu fungsi dapat diturunkan
baik melalui analisis maupun grafik.
4. Diberikan beberapa aturan mencari turunan, mahasiswa
diminta menentukan turunan berbagai fungsi.
5. Mahasiswa menentukan turunan menggunakan aturan rantai.
6. Dengan menggunakan kurva mahasiswa dapat memahami
pengertian turunan Leibniz.
7. Diberikan fungsi, mahasiswa mencari turunan tingkat tinggi
suatu fungsi.
8. Mahasiswa menyelesaikan persamaan diferensial
menggunakan pendiferensialan implisit.
Modul
Kalkulus 1 116
Kegiatan Belajar
DUA MASALAH SATU TEMA
DUA MASALAH SATU TEMA
Kemiringan Garis Singgung
Perhatikan bahwa pada grafik berikut ℎ menyatakan suatu perubahan
nilai ). Tali busur »¿ (secant line) kemiringannya diberikan oleh ïð = r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
h
))(,( hcfhcQ
))(,( cfcP
)()( cfhcf
x
y
c hc
Anggaplah » tetap, dan ¿ bergerak sepanjang kurva menuju », jadi ¿
mendekati ». Hal ini setara dengan menyatakan ℎ mendekati nol.
Jika hal ini terjadi, tali busur itu berputar mengelilingi titik tetap ».
Maka posisi limit inilah yang diinginkan sebagai garis singgung
(tangent line) pada grafik di», yaitu pada saat ℎ mendekati nol.
URAIAN MATERI
1
Modul
Kalkulus 1 117
Sehingga kemiringan garis singgungpada grafik r di titik »E9, r(9)Fdapat didefinisikan dengan î;â = limñ→ª òó= = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
Kecepatan Sesaat
Masih ingatkah Anda tentang kecepatan? Coba perhatikan gambar di
bawah ini!
Gambar tersebut memperlihatkan seorang pembalap yang sedang
bertanding, kira-kira berapa kecepatan rata-rata yang ditempuh
pembalap tersebut pada waktu tertentu?. Bagaimana Anda mencari
kecepatan rata-rata pembalap tersebut? Coba ingat lagi definisi
kecepatan rata-rata yang pernah Anda pelajari di sekolah
menengah. Ya, kecepatan rata-rata itu sama dengan selisih jarak
dibagi dengan selisih waktu.
Nah sekarang coba misalkan waktu pada saat pembalap
tersebut start adalah «4 dan misalkan waktu pada saat pembalap pada
posisi tertentu dengan«J. Kemudian, misalkan posisi pembalap pada
saat «4 adalah )4 dan posisi pada saat «J adalah )J.
Modul
Kalkulus 1 118
Berdasarkan ilustrasi di atas bagaimana cara menentukan
kecepatan pembalap yang bergerak dari )4 pada saat «4 menuju )J pada saat «J.
Jika mobil bergerak dengan selisih waktu yang sangat kecil, maka
kecepatan rata-rata pada limit ∆« mendekati nol adalah
yang didefinisikan sebagai kecepatan sesaat.
Definisi (kecepatan sesaat)
Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi
posisi r(«), maka kecepatan sesaat pada saat 9 adalah
asalkan bahwa limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞.
õ = )J − )4«J − «4 = ∆)∆«
õ = lim∆î→ª ∆)∆«
õ = limñ→ª õ;î;3;î; = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
)4 )J
Modul
Kalkulus 1 119
Turunan
Sebelum ini telah dipelajari mengenai kemiringan garis singgung dan
kecepatan sesaat, keduanya merupakan manifestasi dari pemikiran
dasar yang sama. Untuk itu perlu digunakan pengertian matematis
guna mendefinisikan dua hal tersebut. Turunan merupakan nama
netral yang telah disepakati.
Definisi(Turunan)
Turunan fungsi r adalah fungsi lain r′ yang nilainya pada sebarang
bilangan 9 adalah rù(9) = úvℎ → 0 r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
asalkan limit ada
Bentuk-bentuk setara untuk turunan
h
))(,( hcfhc
))(,( cfc
)()( cfhcf
x
y
c hc
rù(9) = limñ→ª r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
rù(9) = lim→ª r(9 + ¢) − r(9)¢
Tidak ada yang keramat tentang penggunaan ℎ dalam mendefinisikan rù(9). Artinya ℎ boleh saja diganti dengan variabel lain, misalnya
Modul
Kalkulus 1 120
cx
))(,( xfx
))(,( cfc
)()( cfxf
x
y
c x
Teorema (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kontinuitas)
Jika r′(9) ada, maka r kontinu di 9
Artinya , jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di
suatu titik, maka kurva tersebut tidak dapat melompat atau sangat
berayun di titik tersebut.
Notasi Leibniz
Perhatikan gambar berikut
x
))(,( xxfxx
))(,( xfx
y
x
y
x x
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, kemiringan garis sekan
akan mendekati garis singgung ketika ∆) → 0, untuk kemiringan garis
singgung digunakan lambang
rù(9) = limG→= r()) − r(9)) − 9
Berdasarkan gambar di samping turunan dapat juga ditulis dalam bentuk
Modul
Kalkulus 1 121
?*?) = lim∆G→ª Δ*Δ) = lim∆G→ª r() + Δ)) − r())Δ) = r′()) Gottfried Wilhelm Leibniz menyebut
>U>G suatu hasil bagi dua bilangan
yang sangat kecil. Disini kita akan menggunakannya sebagai
lambang untuk turunan. Lambang-lambang turunan yang setara
dengan itu adalah *ù = ŒG* = rù()) = ?*?)
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di
bawah ini
Contoh 1
Carilah kemiringan garis singgung kurva r()) = 2)J − 1, pada saat 9 = 2.
Penyelesaian :
Berdasarkan definisi, maka î;â = limñ→ª r(2 + ℎ) − r(2)ℎ
= limñ→ª (2(2 + ℎ)J − 1) − (2(2)J − 1)ℎ
= limñ→ª (8 + 8ℎ + 2ℎJ − 1) − 7ℎ
= limñ→ª ℎ(8 + 2ℎ)ℎ = 8 + 2(0) = 8
Jadi, kemiringan garis singgung kurva r()) pada saat 9 = 2 adalah 8.
Contoh 2
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 122
Nanda kepasar membeli sayur dengan mengendarai sepeda motor.
Jarak pasar dengan rumah Nanda50 km. Berapa kecepatan rata-rata
dan waktu (dalam jam) yang mungkin?
Penyelesaian :
Berdasarkan soal di atas apa saja informasi yangAnda peroleh?, ya
benar yang diketahui dari soal adalah: ∆) = 50 km, dengan )4 =0 dan)J = 50 km.
Menurut anda apakah yang akan kita cari?.
Tentukan õ dan «(jam)yang mungkin yang dibutuhkan Nanda untuk
menempuh jarak 50 km.
Berdasarkan informasi dan yang ditanya dari soal di atas strategi
apakah yang mungkin Anda lakukan untuk menyelesaikankannya.
Mungkin kah Anda memikirkan bahwa penyelesaian soal di atas
dapat dilakukan dengan mencoba-coba atau try and error?, mungkin
saja hal itu dapat dilakukan, coba ingat kembali bahwa kecepatan
rata-rata adalah selisih jarak dibagi dengan selisih waktu, ingatlah
bahwa «4 = 0 dan)4 = 0, sehingga bentuk kecepatan rata-rata yang
sudah kita pelajari sebelumnya dapat berubah menjadi õ = GHîH = Gî, sehingga ) = õ x «, jika demikian bisakah anda memberikan solusi
yang mungkin untuk menyelesaikan masalah tersebut?, tentunya
anda akan memikirkan perkalian berapa angka-angka apasajakah
yang akan menghasilkan 50 km, ayo......!!!!! coba sebutkan salah satu
jawaban yang mungkin!, ya benar sekali salah satu jawaban yang
mungkin adalah jikakecepatan Nandaõ = 25 km jamþ maka waktu yang
dibutuhkan Nanda adalah « = 2 jam, sekarang coba sebutkan lagi
kemungkinan lainnya....ya benar jika kecepatan Nandaõ = 50 km jamþ
maka waktu yang dibutuhkan Nanda adalah « = 1 w7, nah hal ini
dapat anda lakukan sampai semua kemungkin dapat ditemukan.
Modul
Kalkulus 1 123
Contoh 3
Diketahui r()) = )N + 2)J. Carilah r′(−1) Penyelesaian :
Berdasarkan definisi rù(−1) = limñ→ª (9 + ℎ)N + 2(9 + ℎ)J − (9N + 29J)ℎ
= limñ→ª (−1 + ℎ)N + 2(−1 + ℎ)J − ((−1)N + 2(−1)J)ℎ
= limñ→ª −1 + 3ℎ − 3ℎJ + ℎN + 2ℎJℎ
= limñ→ª ℎ(ℎJ − ℎ − 1)ℎ = −1
Jadi, rù(−1) = −1
Latihan 1
Carilah gradien garis singgung kurva r()) = )J + 2) − 2 pada ) = −1; 0; 1,5; dan 2 untuk ) = 9
Penyelesaian : î;â = limñ→ª [() + ℎ)J + 2( … + ℎ) − (… ) − ()J + … − 2)ℎ
= limñ→ª ℎ
= limñ→ª ℎ
= limñ→ª ℎ = … + 2
Untuk ) = −1, = …
Untuk ) = 0, = …
Untuk ) = 1,5, = …
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 124
Untuk ) = 2, = …
Jadi gradien garis singgung kurva r()) pada ) = −1; 0; 1,5; dan 2
berturut-turut adalah ... , ... , ... , dan ...
Latihan 2
Misalkan sebuah benda bergerak di sepanjang garis koordinat,
sehingga jarak berarahnya dari titik asal setelah « detik adalah √2« + 1
a. Cari kecepatan sesaat pada « = ÿ, ÿ > 0
b. Kapan benda itu akan mencapai kecepatan 4J jam/detik
Penyelesaian :
a. Misalkan jarak berarah dengan ), yakni ) = √2« + 1
Kecepatan sesaat diperoleh dari turunan pertama fungsi jarak
Maka diperoleh õ = 4√…..I4 jam/detik
Sehingga kecepatan sesaat pada saat « = ÿ adalah õ =⋯ jam/detik
b. Dari jawaban (a) diperoleh kecepatan sesaat setelah « detik
adalah 4√JŠI4
Jadi, kita harus menyelesaikan persamaan 4J = 4√JŠI⋯
Sehingga diperoleh ÿ = ⋯ detik
Latihan 3
Limit yang diberikan berikut adalah suatu fungsi limñ→ª 4(3 + ℎ)J − 4(3)ℎ
Tentukan fungsi apa dan di titik mana ?
Modul
Kalkulus 1 125
Penyelesaian :
Diketahui bahwa turunan dari suatu fungsi rdidefinisikan oleh rù(9) = úvℎ → 0 r(9 + ℎ) − r(9)ℎ
Dengan melihat bentuk limit yang diberikan dapat disimpulkan bahwa rù(9) = … , dengan 9 = …
Latihan 1
Carilah persamaan garis singgung kurva * = 3 sin 2) di titik ÏÔJ , 0Ð
Penyelesaian
Latihan 2
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu X sehingga posisinya
diberikan oleh ) = 5«J + 1, ) dalam meter dan « dalam detik.
Hitunglah kecepatan rata-ratanya dalam selang waktu antara
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 126
d. 2 detik dan 3 detik
e. 2 detik dan 2,1 detik
f. 2 detik dan 2,001 detik
g. 2 detik dan 2,00001 detik
h. Kecepatan sesaat pada 2 deti
Penyelesaian
Latihan 3
Gunakan definisi turunan untuk menentukan turunan dari r(«) =2√« + 2«
Modul
Kalkulus 1 127
Penyelesaian
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Modul
Kalkulus 1 128
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 : * = −6) + 3Î
Latihan 2 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10« Latihan 3 :
4Ô + 2
Latihan 4 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 129
Kegiatan Belajar
Aturan Pencarian Turunan dan Turunan Fungsi Trigonometri
Aturan Pencarian Turunan
Teorema (Aturan pencarian turunan)
1. Jika r()) = fl, fl adalah konstanta maka untuk sebarang ), rù()) = 0. Jadi Œ(fl) = 0
2. Jika r()) = ), maka rù()) = 1. Jadi Œ()) = 1
3. Jika r()) = )â, bilangan positif maka rù()) = )â34.Jadi Œ()â), )â34 4. Jika fl suatu konstanta dan r fungsi terdiferensialkan maka (flr)()) = flr′()) 5. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r + s)ù()) =rù()) + s′()).Jadi Œ[r()) + s())] = Œ[r())] + Œ[s())] 6. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r − s)ù()) =rù()) − sù()). Jadi Œ[r()) − s())] = Œ[r())] − Œ[s())] 7. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan maka (r ∙ s)ù()) =rù())s()) + r())sù()). Jadi Œ[r()) ∙ s())] = Œ[r())] ∙ s()) + r()) ∙Œ[s())] 8. Jika r dan s fungsi yang terdiferensialkan dan s()) ≠ 0 maka ϵÅÐù ()) = µŸ(G)∙Å(G)3µ(G)Åù(G)[Å(G)]H . Jadi Œ ϵÅÐ = Å(G)Ž[µ(G)]3µ(G)Ž[Å(G)][Å(G)]H
URAIAN MATERI
2
Modul
Kalkulus 1 130
Turunan Fungsi Trigonometri
Teorema
1. ŒG(sin )) = cos )
Bukti
Untuk memperlihatkan bahwa sinus mempunyai turunan
digunakan kesamaan trigonometri sin() + ℎ) = sin ) cos ℎ + cos ) sin ℎ
dan juga teorema limñ→ª 1 − cos ℎℎ = 0
limñ→ª sin ℎℎ = 1
maka rù()) = limñ→ª sin() + ℎ) − sin )ℎ
= limñ→ª sin ) cos ℎ + cos ) sin ℎ − sin )ℎ
= limñ→ª sin ) cos ℎ − sin )ℎ + limñ→ª cos ) sin ℎℎ
= limñ→ª − sin ) (1 − cos ℎ)ℎ + limñ→ª cos ) sin ℎℎ
= − sin ) limñ→ª (1 − cos ℎ)ℎ + cos ) limñ→ª sin ℎℎ = − sin ) . (0) + cos ) . (1) = cos )
2. ŒG(cos )) = − sin )
Bukti
Untuk memperlihatkan bahwa cosinus mempunyai turunan
digunakan kesamaan trigonometri cos() + ℎ) = cos ) cos ℎ + sin ) sin ℎ
rù()) = limñ→ª cos() + ℎ) − cos )ℎ
Modul
Kalkulus 1 131
= limñ→ª cos ) cos ℎ − sin ) sin ℎ − cos )ℎ
= limñ→ª cos ) cos ℎ − cos )ℎ − limñ→ª sin ) sin ℎℎ
= limñ→ª − cos ) (1 − cos ℎ)ℎ − limñ→ª sin ) sin ℎℎ
= − cos ) limñ→ª (cos ℎ − 1)ℎ − sin ) limñ→ª sin ℎℎ = − cos ) . (0) − sin ) . (1) = sin )
3. ŒG(tan )) = secJ )
Bukti
Karena tangen merupakan hasil pembagian antara sinus dan
cosinus, maka ŒG(tan )) = ŒG |sin )cos )~
dengan menggunakan aturan pendiferensialan (8) diperoleh ŒG(tan )) = cos ) cos ) + sin ) sin )cosJ )
= cosJ ) + sinJ )cosJ )
= 1cosJ ) = secJ )
Pembuktian nomor 4, 5, dan 6 dijadikan latihan untuk Anda.
4. ŒG(sec )) = sec ) tan )
5. ŒG(cot )) = − cscJ )
6. ŒG(csc )) = − csc ) cot )
Modul
Kalkulus 1 132
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di
bawah ini
Contoh 1
Carilah ŒG* dari
a. * = ¢)J
b. * = 3)Q − )34ª c. * = JG − 5)3J d. * = )()J − 3) e. * = GGI4
Penyelesaian
a. ŒG* = 2¢)J34 = 2¢) (aturan pangkat, (3))
b. ŒG* = 12)N + 10)344 (aturan pangkat, (3))
c. * dapat diubah menjadi bentuk * = 2)3Q − 5)3J, sehingga ŒG* = −8)3R + 10)3N (aturan pangkat, (3))
d. ŒG* = ŒG()). ()J − 3) + ). ŒG()J − 3) = (1)()J − 3) + )(2)) =()J − 3) + 2)J = 3)J − 3 (aturan hasil kali, (7))
e. ŒG* = Žš(G).(GI4)3G.Žš(GI4)(GI4)H = (4)(GI4)3(G)(4)(GI4)H = 4(GI4)H (aturan hasil
bagi, (8))
Contoh 2
Carilah r′ dari fungsi yang diberikan berikut ini
a. r()) = )J cos )
b. r()) = ™ž0 G43J !™ G Penyelesaian
a. r()) = )J cos ) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan
penyelesaian turunan (yaitu aturan hasil kali, (7)), maka
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 133
rù()) = ŒG()J) ∙ cos ) + )J ∙ ŒG(cos )) = 2) cos ) + )J(− sin ))= 2) cos ) − )J sin )
b. r()) = ™ž0 G43J !™ Gdapat diselesaikan dengan menggunakan aturan
penyelesaian turunan (yaitu aturan hasil bagi, (8)), maka rù()) = ŒG(sin )) ∙ (1 − 2 cos )) − sin ) ∙ ŒG(1 − 2 cos ))(1 − 2 cos ))J
= (cos )) (1 − 2 cos )) − (sin ))(2 sin ))(1 − 2 cos ))J
= cos ) − 2 cosJ ) − sinJ )(1 − 2 cos ))J
= cos ) − 2 (cosJ ) + sinJ ))(1 − 2 cos ))J
= cos ) − 2(1 − 2 cos ))J
Latihan 1
Carilah ŒG* dari
a. * = √2)
b. * = ÔGH c. * = (3) − 2)() + 1) d. * = GHIJGIR
Penyelesaian :
a. * = √2) setara dengan bentuk * = ⋯ ) H, sehingga ŒG* = ⋯ )…
b. * = ÔGH = Î)3J, maka ŒG* = −2 … )…
c. Dengan menggunakan aturan perkalian diperoleh ŒG* = 3() + 1) + ( … − . . . )(1) = … … … … ….
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 134
d. Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh ŒG* = ŒG()J + 2) ∙ (… + … ) − ()J + 2) ∙ ŒG(… + … )(… + … )J = … … … … … … … … … … … … … … … …. = … … … … … … … … … … … … … … … …. = … … … … … … … … … … … … … … … …. Latihan 2
Buktikan bahwa ŒG(sec )) = sec ) tan )
Penyelesaian : ŒG(sec )) = ŒG | 1cos )~
= ŒG(1) ∙ (… … … ) − (… ) ∙ ŒG(… … … )cosJ ) = … …cosJ )
= …cos ) ∙ sin )… … = sec ) tan )
Latihan 1
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan berikut ini
a. r(«) = ΫQ + 10«J − 2«3H b. s()) = JRG − 4QG c. s()) = (3)J − 4))()N + 2) − 1) d. ℎ(«) = JGI4GIR (3) − 1)
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 135
Penyelesaian :
Latihan 2
Jikar(2) = 5, rù(2) = 2, s(2) = −1, dan sù(2) = 3. Carilah
a. (r ∙ s)′(2) b. (r + s)′(2) c. (r/s)′(2)
Modul
Kalkulus 1 136
Penyelesaian :
Latihan 3
Carilah persamaan garis singgung kurva * = )Q − 6) yang tegak lurus
pada garis ) − 2* + 6 = 0
Modul
Kalkulus 1 137
Penyelesaian :
Latihan 4
Tinggiℎ dalam meter dari sebuah bola di atas tanah pada saat « detik
diberikan oleh ℎ = −10«J + 3« + 50.
a. Berapa kecepatan sesaat pada saat « = 3?
b. Kapan kecepataan sesaatnya 0?
Penyelesaian :
Modul
Kalkulus 1 138
Latihan 5
Tentukan turunan yang diberikan
a. ŒU(cot * csc *) b. >>U Ï4I™ž0 U43™ž0 UÐ
c. ŒG[() − sin ))() + cos ))] Penyelesaian :
Modul
Kalkulus 1 139
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 140
Kegiatan Belajar
Aturan Rantai dan Turunan Tingkat Tinggi
Aturan Rantai
Teorema(Aturan Rantai)
Misalkan * = r()) dan ) = s()) menentukan fungsi komposit * = rEs())F = (r ∘ s)()). Jika s terdiferensialkan di ) dan r
terdiferensialkan di ‹, maka r ∘ s terdiferensialkan di ) dan (r ∘ s)ù()) = rùEs())Fs′()) yakni ŒG* = ŒG*. ŒG-
atau ?*?) = ?*?‹ ?‹?)
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan dari suatu fungsi r akan menghasilkan suatu fungsi baru r′. Jika r′ diturunkan masih tetap menghasilkan fungsi lain yang
dilambangkan dengan rùù(dibaca r dua aksen) dan disebut turunan
kedua dari r. Jika diturunkan lagi disebut turunan ketiga dari r.
Turunan keempat dinyataakan dengan r(Q), turunan kelima
dinyatakan dengan r(R), dan seterusnya. * = r())
3
URAIAN MATERI
Modul
Kalkulus 1 141
*ù = rù()) = ?*?) = ŒG*
*ùù = rùù()) = ??) |?*?)~ = ?J*?)J = ŒGJ*
*ùùù = rùùù()) = ??) #?J*?)J$ = ?N*?)N = ŒGN*
*(â) = r(â)()) = ??) #?â34*?)â34$ = ?â*?)â = ŒG â*
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di
bawah ini
Contoh 1
Cariturunan yang ditunjukkan
a. ŒG(3)J + 2)M b. ŒG ÏGHI443G ÐJ
c. ŒG(cosJ 2)) Penyelesaian :
a. ŒG(3)J + 2)M = 6(3)J + 2)M34ŒG(3)J + 2) = 6(3)J + 2)R(6)) =36)(3)J + 2)R
b. ŒG ÏGHI443G ÐJ = 2 ÏGHI443G Ð ŒG ÏGHI443G Ð = 2 ÏGHI443G Ð %JG(43G)3(GHI4)(34)(43G)H & =2 ÏGHI443G Ð %EJG3JGHFI(GHI4)(43G)H & = 2 ÏGHI443G Ð ÏJG3GHI4(43G)H Ð = JEGHI4FEJG3GHI4F(43G)O
c. ŒG(cosJ 2)) = 2 cos 2) ŒG(cos 2)) = 2(cos 2))(− sin 2))ŒG(2)) =2(cos 2))(− sin 2))(2) = −4 sin 2) cos 2)
Contoh 2
Carilah r" dari masing-masing fungsi yang diberikan di bwah ini
a. r(«) = 2«J + 3« + 1
b. r(() = cosJ (
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 142
Penyelesaian :
a. rù(«) = 4« + 3 rùù(«) = 4
b. rù(() = 2 cos ( Œ)(cos () = −2 cos ( sin ( r"(() = Œ)(−2 cos () ∙ sin ( + (−2 cos () ∙ Œ)(sin ()= −2sinJ ( − 2cosJ ( = −(sinJ ( + cosJ () = −1
Latihan 1
Carilah >U>G jika diketahui * = ÏGHI4 !™ GÐQ
Penyelesaian : ?*?) = 4 #)J + 1cos ) $N ŒG #)J + 1cos ) $
= 4 |… + …cos ) ~N è… (cos )) − ()J + 1)(… … … )… … … é =. … … … … … … … … … . … … … =. … … … … … … … … … . … … …
Latihan 2
Tentukan Œî[sinJ(sin(cos «))] Penyelesaian : Œî[sinJ(sin(cos «))] = 2 sin(sin(cos «)) Œî(… … …(… … … )) = 2 sin(sin(cos «)) cos(… … … ) Œî(cos «) = 2 sin(sin(cos «)) cos(… … … ) (… … … ) Latihan 3
Carir"(2) dari r(«) = Jî Penyelesaian : rù(«) = −2(… . ) r"(«) = … … … r"(2) = … … …
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 143
Latihan 1
Carilah turunan yang ditunjukkan
1. *′ dimana * = *EJGP3JFOG3N ” 2. >U>î dimana * = [sin « tan(«J + 1)] 3. ŒG[)J cosN 4)]
Penyelesaian :
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 144
Latihan 2
Sebuah bus bergerak di sepanjang jalan mendatar menurut rumus Ë = 6« − «J.
a. Berapakah kecepatan õ(«) dan percepatan 7(«) bus tersebut?
b. Kapan bus bergerak ke kanan?
c. Kapan bus bergerak ke kiri?
d. Gambarkan sebuah diagaram skematis yang memperlihatkan
gerakan bus.
Penyelesaian :
Modul
Kalkulus 1 145
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 146
Kegiatan Belajar
Pendiferensialan Implisit dan Laju yang berkaitan
Pendiferensialan Implisit
Perhatikan persamaan berikut 2*J + * = )Q
Kita tidak dapat menyatakan * dalam bentuk ). Persamaan tersebut
mendefinisikan * sebagai fungsi implisit ). Dengan menganggap *
sebagai suatu fungsi yang tidak diketahui oleh ), yakni *()). Maka
persamaan di atas dapat ditulis sebagai 2*())J + *()) = )Q
Dengan mediferensisasi kedua ruas persamaan terhadap ) (dengan
menggunakan aturan rantai), diperoleh ??) (2*J) + ??) (*) = 4)N 4* ?*?) + ?*?) = 4)N ?*?) (4* + 1) = 4)N ?*?) = 4)N(4* + 1)
Metode yang seperti ini disebut pendiferensialan implisit.
4
URAIAN MATERI
Modul
Kalkulus 1 147
Laju yang berkaitan
Banyak masalah yang menyangkut laju perubahan dari dua atau lebih
peubah yang saling berkaitan terhadap waktu, dimana setiap peubah
tidak perlu dinyatakan langsung sebagai fungsi waktu. Sebagai
contoh, misalkan kita mempunyai persamaan yang melibatkan
peubah ) dan *, dan kedua peubah ) dan * merupakan fungsi dari
peubah ketiga «, dengan « satuan menyatakan waktu. Karena laju
perubahan dari ) terhadap «, dan laju perubahan * terhadap « berturut-turut diberikan oleh
>G>î dan >U>î, kedua ruas persamaan yang
diberikan dapat didiferensiasi terhadap « dengan menerapkan aturan
rantai.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di
bawah ini
Contoh 1
Cari >U>G dari )J − *J = 1 dengan menggunakan turunan implisit
Penyelesaian : ??) ()J) − ??) (*J) = ??) (1) 2) − 2* ?*?) = 0
−2* ?*?) = −2) ?*?) = )*
Contoh 2
Sebuah balon dilepas dari jarak 150 m dari seorang pengamat yang
berdiri di atas tanah. Jika balon naik lurus ke atas dengan laju 8 m/s.
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 148
Seberapa cepat jarak antara balon dan pengamat bertambah pada
ketinggian 50 m?
Penyelesaian :
Dari soal diketahui >ñ>î = 8 /Ë dan yang akan dicari adalah
>òòî pada
saat ℎ = 50 . ËJ = ℎJ + (150)J Persamaan diatas turunkan secara implisit, sehingga diperoleh 2Ë ?Ë?« = 2ℎ ?ℎ?«
Ë ?Ë?« = ℎ ?ℎ?«
pada saat ℎ = 50 , ËJ = (50)J + (150)J Ë = √25000 = 50√10
menyebabkan (50√10) ?Ë?« = (50)(8) ?Ë?« = 8√10 = 45 √10 /Ë
Jadi, kecepatan jarak antara balon dan pengamat bertambah adalah QR √10 /Ë.
h(t) s(t)
Balon pengamat
Modul
Kalkulus 1 149
Latihan 1
Tentukan >U>G dari )* = 1
Penyelesaian :
Dengan memanfaatkan aturan pencarian turunan (7) dan turunan
rantai, diperoleh ?())?) * + (… ) ?*?) = 0
… + (… ) ?*?) = 0 ?*?) = − …)
Latihan 2
Rusuk kubus bertambah panjang dengan laju 3 9/?«fl. Berapa
kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 9?
Penyelesaian :
Misalkan volume dengan + dan rusuk . Dari soal diketahui bahwa >>î = … …
Akan dicari >,>î saat = 10 9.
Volume kubus + = … , maka ?+?« = 3(… ) ??« = … … = … …
Jadi, kecepatan pertambahan volume kubus adalah ...... 9N/?«fl.
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 150
Latihan 1
Cari *" jika )J − 3* + 1 = 0
Penyelesaian :
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah jawaban
latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah jawaban
benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui
tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan belajar.
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 151
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 152
APLIKASI TURUNAN
Pendahuluan
Setelah kumu membahas turunan pada pertemuan sebelum
nya, sekarang mari kita pelajari bagaimana cara pengaplikasian
turunan tersebut kedalam soal-soal? Bagaimana menghitung
turunan? Jika Anda ingin mengetahui apa turunan itu dan bagaimana
menghitungnya, maka Anda harus pelajari modul ini. Materi pada
modul pertama ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Pada kegiatan
belajar pertama akan diuraikan dua masalah satu tema, turunan, pada
kegiatan belajar kedua aturan pencarian turunan, turunan fungsi
trigonometri, pada kegiatan belajar ketiga aturan rantai, turunan
tingkat tinggi, diferensial implisit, dan pada kegiatan belajar empat
laju terkait, diferensial dan aproksimasi.
Materi yang terdapat dalam modul ini merupakan materi-
materi dasar yang menjadi prasyarat dalam mempelajari modul-
modul berikutnya. Dengan memahami materi-materi yang terdapat
dalam modul ini akan memudahkan Anda dalam mempelajari modul-
modul berikutnya.
Setelah Anda mempelajari materi-materi dalam modul ini
diharapkan Anda dapat memahami dan menggunakan konsep
turUnanserta Khususnya, diharapkan Anda dapat:
1. Melalui diminta mensketsa suatu kurva, melalui kurva tersebut
mahasiswa memahami pengertian gradient garis singgung dan
kecepatan sesaat yang dikaitkan dengan turunan
Modul
Kalkulus 1 153
2. Mahasiswa menentukan turunan suatu fungsi menggunakan
definisi
3. Mahasiswa menentukan syarat suatu fungsi dapat diturunkan baik
melalui analisis maupun grafik
4. Diberikan beberapa aturan mencari turunan, mahasiswa diminta
menentukan turunan berbagai fungsi
5. Mahasiswa menentukan turunan menggunakan aturan rantai
6. Dengan menggunakan kurva mahasiswa dapat memahami
pengertian turunan Leibniz
7. Diberikan fungsi, mahasiswa mencari turunan tingkat tinggi suatu
fungsi
8. Mahasiswa menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan
pendiferensialan implicit
Modul
Kalkulus 1 154
Kegiatan Belajar
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai maksimum dan minimum fungsi
Definisi
a. r(9) adalah nilai maksimum r pada ß jika r(9) ≥ r()) untuk
semua ) di ß
b. r(9) adalah nilai minimum r pada ß jika r(9) ≤ r()) untuk
semua ) di ß
c. r(9) adalah nilai ekstrim r pada ß jika ia adalah nilai
maksimum atau nilai minimum
* = r())
*
) ß
URAIAN MATERI
1
Modul
Kalkulus 1 155
Perhatikan grafik fungsi r()) = )J, dengan Œµ = (−∞, ∞)
Nilai minimum dari r()) = )J adalah 0, sedangkan nilai maksimumnya
tidak ada.
Nah bagaimana Jika r()) = )J mempunyai daerah asal [−1,2], maka
diperoleh nilai maksimumnya 4 dan nilai minimum 0, yang dapat
dilihat pada grafik berikut
Grafik
10
8
6
4
2
-2
-5 5 10 15
f x = x2
Modul
Kalkulus 1 156
Bagaimana jika r()) = )J dengan daerah asal [−1,2)? Ya, nilai
maksimumnya tidak ada dan nilai minimum 0,yang dapat dilihat pada
grafik berikut
Gambar grafik
Dari kasus tiga kasus di atas, dapat disimpulkan:
Teorema Titik Kritis
Andaikan r didefinisikan pada selang ø yang memuat titik 9. Jika r(9) titik ekstrim, maka 9 haruslah suatu titik kritis, yakni 9 berupa salah
satu dari yang berikut ini
(i) Titik ujung ø, merupakan titik yang terletak pada ujung
interval.
(ii) Titik stasioner dari rù(9) = 0. Artinya terdapat suatu nilai 9
yang membuat turunan pertama dari r(9) sama dengan 0.
(iii) Titik singular dari rù(9) tidak ada. Artinya terdapat suatu
nilai 9 yang membuat turunan pertama dari r(9) tidak
terdefinisi pada bilangan rill.
“Jika r kontinu pada suatu selang tutup, maka r mempunyai nilai maksimum dan minimum”
Modul
Kalkulus 1 157
Kemonotonan dan Kecekungan
Grafik
Teorema Kemonotonan:
1. r naik pada titik ) = 9, jika rù()) > 0
2. rturun pada titik ) = 9, jika rù()) < 0
Teorema kecekungan
1. Jika r"()) > 0 maka r cekung ke atas
Jika r"()) < 0 maka r cekung ke bawah
Contoh 1
Diketahui fungsi s()) = 11 + )J , ø = [−2,1] Kenali titik kritis dan cari nilai maksimum dan minimum dari s()) Penyalesaian
Sebelum menentukan nilai maksimum dan minimum, terlebih dahulu
ditentukan kritis dari s()). 1. Titik ujung
Titik ujung dari s()) adalah pada ) = −2 dan ) = 1
2. Titik stasioner
Terjadi pada saat ) = 0
3. Titik singular
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 158
Karena tidak terdapat nilai ) yang membuat s′()) tidak
terdefinisi pada bilangan riil, maka titik singular tidak ada.
Titik-titik kritis yang diperoleh adalah ) = −2, ) = 0, dan ) = 1.
Maka diperoleh s(−2) = 4R, s(0) = 1, s(0) = 4J . Nilai maksimum dari s()) adalah 1 dan nilai minimum adalah 4R.
Contoh 2
Seorang penduduk mempunyai 100 kawat berduri yang akan
dipakai membuat pagar identik yang berdampingan, berapa ukuran
seluruh kelilingnya agar luas maksimum?
Penyelesaian
Perhatikan gambar berikut
Berdasarkan gambar di atas dapat dibentuk suatu model
matematika:Persamaan untuk keliling pagar 3) + 2* = 100
sehingga * = 50 − NJ ).
Persamaan untuk luas pagar Õ = ) ∙ * = ) |50 − 32 )~ = 50) − 32 )J
y
x
Modul
Kalkulus 1 159
Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang ), maka 0 ≤ ) ≤ 4ªªN . Jadi
kita memaksimumkan Õ pada %0, 4ªªN &. Untuk mencari nilai maksimum,
harus dicari titik kritis.
1. Titik ujung ) = 0 dan ) = 4ªªN
2. Titik stasioner pada saat ) = RªN
3. Titik singular tidak ada
Berdasarkan titik-titik kritis yang didapat, diperoleh Õ(0) = 0, Õ Ï4ªªN Ð = 0, dan Õ ÏRªN Ð = 416, 67. Jadi nilai maksimum terjadi pada saat ) = RªN , dan * = 50 − NJ ÏRªN Ð = 25.
Contoh 3
Diketahui s()) = G4IGH . Tentukan dimana daerah naik dan turun.
Penyelesaian
Pertama tentukan turunan pertama dari s()). sù()) = 1 − )J(1 + )J)J Diperoleh titik pemecah ) = −1 dan ) = 1, kemudian masukkan titik
uji
s()) naik pada (−1,1) s()) turun pada (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
+ - -
-1 1
Modul
Kalkulus 1 160
Latihan 1
Diketahui fungsi s()) = )HP, ø = [−1, 32] Kenali titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum dari s()). Penyelesaian
Titik ujung dari fungsi tersebut adalah ) = −1 dan ) = ⋯
Titik stasioner terjadi pada saat ) = ⋯
Titik singular terjadi pada saat ) = 0
Jadi diperoleh nilai maksimum .... dan nilai minimum
Latihan 2
Perhatikanlah pemasalahan berikut ini r()) = )N − 6)J + 9) + 1 tentukanlah dimana fungsi tersebut naik dan
turun
Penyelesaian
Pertama Tentukan lah turuna rù()) = ⋯
Diperoleh titik ujinya ) = ⋯ dan ) = ⋯
Maka gambarkan lah grafiknya
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 161
Maka diperoleh r()) naik pada ........ r()) turun pada ........
Latihan 1
Carilah maksimum dan minimum dari r()) = ) O + 4
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 162
Latihan 2
Diketahui r()) = 3)R − 5)N + 2. Tentukan
a. Daerah r naik
b. Daerah r turun
c. Daerah ekstrim
d. Daerah cekung ke atas
e. Daerah cekung ke bawah
f. Titik balik
Penyelesaian
Modul
Kalkulus 1 163
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 164
Kegiatan Belajar
Kemonotonan dan Kecekungan
Limit diketakhinggaan, limit tak hingga
Maksimum dan Minimum Lokal
Fungsi r dengan daerah asal ß = [7, 8] adalah nilai maksimum global.
Definisi:
1. r(9) disebut nilai minimum lokal jika r(9) nilai minimum pada [7, 8] ∩ ß.
2. r(9) disebut nilai maksimum lokal jika r(9) nilai maksimum
pada [7, 8] ∩ ß.
3. r(9) disebut nilai ekstrim lokal jika r(9) adalah nilai maksimum
lokal atau nilai minimum lokal.
a b d c
2
URAIAN MATERI
Modul
Kalkulus 1 165
Teorema (uji turunan pertama):
1. r(9) adalah maksimum lokal jika r′()) > 0, ∀) ∈ (7, 9) danr′()) < 0, ∀) ∈ (9, 8).
2. r(9) adalah maksimum lokal jika r′()) > 0, ∀) ∈ (7, 9) dan r′()) < 0, ∀) ∈ (9, 8). Teorema (uji turunan kedua)
1. r(9) nilai maksimum lokal jika r′′(9) < 0
2. r(9) nilai minimum lokal jika r′′(9) < 0
Limit diketakhinggaan, limit tak hingga
Apakah yang dimaksudkan dengan limit diketakhinggaan dan limit
tak hingga, untuk memahami kedua istilah tersebut mari kita pahami
permasalahan berikut ini:
Kita mulai memahaminya dari beberapa contoh, perhatikanlah
permaslahan berikut ini
limâ→ì 5) + 1) − 1
Masih ingatkah kamu bagai mana cara menyelesaikan limit tersebut,
ya trik untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah mebagi seluruh
elemen denganpangkat ) tertinggi , maka kita peroleh hasilnya
sebgai berikut
= lim â→ì 5)/) + 1/))/) − 1/)
= 5 + 01 − 0
= 5
Modul
Kalkulus 1 166
Selanjutnya mari selesaikan bentu soal berikut ini
limâ→ì 2)N − 3)J + 15)N − 6x + 1
Hal yang sama dapat kita lakukan pada bentuk di atas yaitu dengan
membagi sluruh pangkat dengan )N
= limâ→ì 2)N − 3)J + 15)N − 6x + 1
= lim â→ì 2)N/)N − 3)J/)N + 1/)N5)N/)N − 6x/)N + 1/)N
= lim â→ì 2 − 3/x + 05 − 6/)J + 0
= limâ→ì 2 − 0 + 05 − 0 + 0
= 25
Penyelesaian dari kedua contoh soal tersebut disebut dengan limit
diketakhinggaan
Selanjutnya bagaimanakah dengan limit tak hingga, perhatikanlah
contoh berikut:
Tentukan lah limit dari limG→JÙ ) + 1)J − 5) + 6
Modul
Kalkulus 1 167
Bagaimakah cara menyelesaikan limit tersebut mari kita analisa
bentuk limit tersebut limit tersebut dapat kita bentuk menjadi limG→JÙ ) + 1() − 3)() − 2)
Jika kita subtitusikan 2 maka tentu hasil nya adalah ∞ namun bernilai
negatif atau nilai positif, hal ini dapat kita tentukan dengan cara limG→JÙ ) + 1 = 3
limG→JÙ ) − 3 = −1
limG→JÙ ) − 2 = 0
Maka dari hasil analisa di atas kita peroleh
limG→JÙ GI4GH3RGIM = − ∞
Selanjutnya coba perhatikan lagi contoh berikut ini limî→NÙ 3 + «3 − «
Periksalah apakah hasil nya − ∞ atau ∞, jika kita perhatikan maka
kita peroleh limî→NÙ 3 − 3I = 0 , karena nol nya adalah mendekati negatif
Maka kita peroleh hasil
limî→NÙ NIîN3î = − ∞
Modul
Kalkulus 1 168
Nah bentuk dari soal-soal tersebut disebut limit ditak hingga
Selanjutnya mari kita pelajari tentang asimtot
Asimtot ada tiga macam
1. Asimtod tegak
2. Asimtod mendatar
3. Asimtot miring
Nah sekarang mari kita bahas masing-masing asimtod tersebut
Mari kita mulai dengan asimtod tegak
1. Garis ) = 9 disebut dengan asimtod tegak dari grafik * = r()) jika salah satu pernyataan berikut terpenuhi
2. Garis * = 8 adalah asimtod mendatar dengan * = r()) jika
memenuhi hal berikut ini:
7. lim G→ =Ù r()) = ∞ 8. lim G→ =Ù r()) = −∞ 9. lim G→ =× r()) = ∞ ?. lim G→ =× r()) = − ∞
7. limG→ì r()) = 8 8. limG→3ì r()) = 8
Modul
Kalkulus 1 169
3. Asimtot miring adalah garsis * = 7) + 8 disebut asimtod
miring jika limit tersebut memenuhi hal berikut:
Agar kita dapat lebih memahami bentuk-bentuk asimtod tersebut
mari kita coba memahami contoh soal berikut ini:
Contoh 1
jika r()) = )N − 3)J + 2, kenali titik kritis (a) uji turunan pertama, (b)
(jika mungkin) uji turunan kedua
Penyelesaian
Titik kritis
Titik stasioner: ) = 0, ) = 2
Uji turunan pertama r′()) > 0 dan r()) < 0 maksimum lokal di ) = 0 → r()) = 2 r′()) < 0 dan r()) > 0 maksimum lokal di ) = 2 → r()) = −2
Uji turunan kedua rùù()) = 6) − 6 = 0 rùù(0) = 6.0 − 6 = −6 (maks lokal) rùù(2) = 6.2 − 6 = 6 (min lokal)
Contoh 2
CONTOH SOAL
7. lim G→ì r())) = 7 8. lim G→ì(r()) − )) = 8
Modul
Kalkulus 1 170
Tentukan lah asimtod mendatar dan asimtod tegak untuk grafik
fungsi r()) = NGI4 Penyelesaian
a. berikut ini Berdasarkan permasalahan di atas apakah yang
harus kitalakukan!, untuk menetukan asimtod datar dari grafik
tersebut mari kita lihat penyelesaian di bawah ini lim G→34Ù r()) = lim G→34Ù 3) + 1 ∞
dan lim G→34× NGI4 = −∞
Dari bentuk tersebut maka kita peroleh asimtod datarnya
adalah
Garis ) = −1
b. Selanjutnya bagaimanakah dengan asimtod tegak dari fungsi
tersebut dapat kita lakukan dengan langkah
lim G→ì r()) = lim G→ì 3) + 1
= lim G→ì 3/))/) + 1/)
= 01 + 0
= 0
Berdasarkan analisa di atas maka kita peroleh asimtod
mendatar nya adalah * = 0
Modul
Kalkulus 1 171
Latihan 1
Tentukan lah asimtod mendatar, asimtod tegak dan asimtod miring
dari fungsi berikut ini:
r()) = () + 1)J)
Penyelesaian
a. berikut ini Berdasarkan permasalahan di atas apakah yang
harus kitalakukan!, untuk menetukan asimtod datar dari grafik
tersebut mari kita lihat penyelesaian di bawah ini lim G→3ªÙ r()) = lim G→3ªÙ () + 1)J) = ⋯
dan lim G→…× (GI4)HG = −∞
Dari bentuk tersebut maka kita peroleh asimtod datarnya
adalah
Garis ) = ⋯
b. Selanjutnya bagaimanakah dengan asimtod tegak dari fungsi
tersebut dapat kita lakukan dengan langkah
lim G→ì r()))J = lim G→ì () + 1)J)J
= lim G→ì )J + 2) + ⋯)J
= )J/)J + 2)/)J + ⋯)J/)J
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 172
= 4IªI⋯4
= 1
Selanjut pada bagian kedua yaitu diperoleh
lim G→ì( r()) − )) = lim G→ì (GI4)HG -x
= lim G→ì )J + 2) + 1 − )J)
= lim G→ì 2) + 1)
= JG/GI4/GG/G = 2 + 01
= ......
Berdasarkan analisa di atas maka kita peroleh asimtod
miringnya adalah nya adalah * = ) + 2
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 173
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Modul
Kalkulus 1 174
Kegiatan Belajar
Penerapan dari aplikasi turunan
Penerapan dari aplikasi turunan
Berdasarkan uraian materi di atas kita dapat menggambarkan grafik
canggih dari suatu fungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut
Contoh 1
Gambar grafik canggih dari fungsir()) = )Q − 4)
penyelesaian
Agar kita mampu untuk menggambarkan grafik diatas maka kita akan
mengikuti langkah-langkah di atas
1. Periksalah daerah asal dan daerah hasil 2. Uji kesimetrian apakah dia fungsi genapa atau fungsi ganjil 3. Cari titik perpotongan dengan sumbu koordinat 4. Gunakan turunan pertama untuk mencari titikkritis, tempat naik dan
temapat turun 5. Uji titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal 6. Susun turnan kedua untuk menegtahui tempat grafik cekung ke ats
atau cekung kebawah dan untuk mengkondisikan titik balik 7. Cari asimtod
URAIAN MATERI
3
CONTOH SOAL
Modul
Kalkulus 1 175
1. Periksa lah daerah asal dan daerah hasil dari fungsi di atas,
dengan mengingat materi pada modul sebelumnya maka
daerah asal dari fungsi tersebut adalah ε = -
-µ = -
Titik ujung tidak ada
2. Periksalah kesimetrian dari fungsi tersebut r(−)) = (−))N − 4(−)) = −)N + 4) = −()N − 4)) = −r()) Berarti r()) adalah fungsi ganjil, yang mengakibatkan bahawa
fungsi simetri terhadap titik asala
3. Perpotongan dengan sumbu koor dinat
a. Titik potong dengan sumbu * , ) = 0, diperoleh r()) = ())N − 4()), dan jika disubtitusikan r(0) = (0)N − 4(0) = 0 maka * = 0 diperoleh titik potong (0,0)
b. Titk potong dengan sumbu ), * = 0, r()) = ())N − 4()), dan jika disubtitusikan 0 = ())N − 4()) ())N − 4()) = 0 )N − 4) = 0 )()J − 4) = 0 )() − 2)() + 2) = 0
Akan diperoleh titik potong nya adalah(0,0), (−2,0), (2,0) 4. Uji turunan pertama
Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah r ())ù = 3())J − 4
Selanjutnya kita tentukan titik kritis nya yaitu
Modul
Kalkulus 1 176
r ())ù = 0 3())J − 4 = 0
Maka diperoleh E√3) − 2F√3) + 2) = 0
r ())ù > 0 , r ())naik pada |−∞, − 23 √3~ ∪ |23 √3 , ∞~
r ())ù < 0 , r ())turun pada |23 √3, − 23 √3~
Titik stasioner nya di) = − JN √3 dan ) = JN √3
5. Uji titik kritis
Utuk menetukan nilai masimum lokal dan minimum lokal maka
kita menguji titik kapan dia max lokal dan kapan dia min lokal
Titik mak lokal jika r ())ù > 0 selanjutnya r ())ù < 0 yaitu di ) = − JN √3 maka r ()) = r Ï− JN √3Ð = (− JN √3)Q − 4(− JN √3) = 4MV √3
Titik min lokal r ())ù < 0 selajutnya r ())ù > 0 yaitu di ) = JN √3
Maka diperoleh r ÏJN √3Ð = (JN √3)Q − 4(JN √3 ) = - 4MV √3
6. Uji turunan kedua
Turunan kedua dari fungsi r ())ùù = 6) 6) = 0 ) = 0
−23 √3 23 √3
− + +
Modul
Kalkulus 1 177
Maka kita uji titik 0 pada garis bilangan untuk melihat tanda
dari daerah disekitar titik 0
r ())ùù > 0 , artinya grafik r ())cekung ke atas pada selang (0, ∞) r ())ùù < 0 , artinya grafik r ())cekung ke bawah pada selang (−∞, 0)
Selanjutnya titik balik dari grafik tersebut adalah r ())ùù = 0 6) = 0 ) = 0 r (0) = 0
Jadi titik balik adalah (0,0)
7. Asimtod 7. lim G→ =Ù r()) = ∞ (tidak ada) dan lim G→ =× r()) = −∞ (tidak ada) Maka tidak ada asimtod datar
b. lim G→ì r()) = 8 (tidak ada) maka asimtot tegak juga tidak ada
Maka dapat kita gambarkan grafiknya sebagai berikut:
Grafik
0
− +
Modul
Kalkulus 1 178
Contoh 2
Sebuah kontainer, volumenya = 72 N, panjangnya = 2 kali lebarnya
tentukan volume container tersebut agar bahan yang digunakan
sehemat-hematnya
Penyelesain
bagaimana cara menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus
mengingat kembali rumus volume dapat diilustrasikan pada sebuah
kotak berikut
Berdasarkan gambar dapat kita peroleh volume dari kontainer
adalah + = 2)J* = 72 maka diperoleh * = 36)J
2) )
*
Modul
Kalkulus 1 179
Pada soal yang menjadi pertayaan adalah pengunaan bahan
sehemat-hemat berarti yang akan kita tentukan adalah luas selubung
kontainer dimana dapat kita tentukan yaitu:
Õ = 2.2)J + 2)* + 2.2)* = 4)J + 2) 36)J + 4) 36)J
= 4)J + 216)J
Agar bahan sehemat-hematnya maksimum maka kita harus
menetukan Õù = 8) − 216)J = 0
= 8)N − 216)J = 0
)N = 2168 = 27
) = 3
Maka diperoleh Panjang = 6 m, lebar= 3 m, dan tinggi= 4 m
Modul
Kalkulus 1 180
Latihan 1
Sebuah kaleng susu berbentuk silinder , luasnya adalah 9429J
tentukan lah ukuran silinder agar isi silinder itu sebanyak-bnyaknya
Penyelesain
Nah untuk menyelesaikan nya maka kita harus mengingat kembali
rumus luas permukaan lingkaran yaitu: luas = 2ÎJ + 2Ϋ = 924 = ÎJ + Ϋ = ⋯
« = 462 − ÎJ…
Selanjutnya volume dari lingakaran adalah
+ = ÎJ« = ÎJ 462 − ÎJ… = 462 − ÎN Selanjutnya kita tentukan turunan pertamnya +ù = 462 − 3ÎJ= 0 J = ⋯ = ⋯
LATIHAN TERBIMBING
Modul
Kalkulus 1 181
Maka kita peroleh
« = 462 − ÎJ… = 462 − Î(7)J… = ⋯
1. gambarkanlah grafik dari h()) = GGI4 dengan terlebih dahulul
menentukan hal-hal berikut 7. daerah asal dan daerah hasil 8. kesimetrian 9. perpotongan sumbu koordinat ?. selang dimana h naik dan turun q. ektrim lokal r.selang dimana grafik h cekung ke atas dan cekung
kebawah ℎ. asimtod
2. Sebuah tangga sepanjang 20 dm bersandar didinding. Jika
ujung bawah tangga ditarik sepanjang lantai menjahui dinding
dengan kecepatan 2 dm/dt, seberapa cepat ujung atas tangga
bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga
sejauh 4 dm dari dinding
LATIHAN MANDIRI
Modul
Kalkulus 1 182
Bagaimana mengukur tingkat penguasaan Anda?Cocokkanlah
jawaban latihan mandiri Anda dengan kunci jawaban! Hitunglah
jawaban benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk
mengetahui tingkat pengusaan Anda terhadap materi kegiatan
belajar.
Rumus: Tingkat penguasaan = Jumlah jawaban benarJumlah soal latihan mandiri x100%
Arti tingkat pengusaan yang Anda capai:
90% - 100% = baik sekali
80% - 89% = baik
70% - 79% = cukup
< 70% = kurang
Berapa persenkah tingkat penguasaan Anda?Apabila Anda mencapai
tingkat 80% atau lebih, anda dapat meneruskan dengan modul
berikutnya. Tetapi, kalau kurang dari 80%, Anda harus mengulangi
lagi kegiatan belajar ini terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban
Latihan 1 : a. 25 ?«þ , b. 20,5 ?«þ , c. 20,005 ?«þ , d. 20,00005 ?«þ , e. 10«
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Top Related