Download - Pendugaan Parameter - … · Estimasi Varians Populasi Estimasi interval varians populasi berbentuk: (n 1)s2

Pendugaan Parameter

Ayundyah Kesumawati

Prodi Statistika FMIPA-UII

April 13, 2015

Ayundyah (UII) Pendugaan Parameter April 13, 2015 1 / 30

Pendugaan

1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga /menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui

2 Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatuparameter

3 Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) daridata sampel yang diketahui


Sifat-sifat Penduga

1 θ merupakan penduga tak bias dari θ jika E(θ̂)=θ

2 θ̂ merupakan penduga konsisten bagi θ apabila nilai θ̂ cenderungmendekati nilai parameter θ untuk n yang semakin besar mendekatitak terhingga

3 θ̂ merupakan penduga yang efisien bagi θ jika penduga θ̂ memilikivarians tau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan denganpenduga lainnya.

4 θ̂ merupakan penduga yang cukup bagi θ apabila θ̂ mencakupseluruh informasi tentang θ yang terkandung di dalam sampel.


Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya

1 Pendugaan Titik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkansatu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai pendugadengan nilai sebenarnya (parameter)

2 Pendugaan Interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/daerah pembatasanDigunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilaisebenarnya/parameternya akan berada.Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaanSelang kepercayaan : (1-α) x 100


Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya

1 Pendugaan rata-rata

2 Pendugaan proporsi

3 Pendugaan varians


Pendugaan interval untuk rata-rata

1 Untuk sampel besar (n > 30)

a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilansampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui

X − Zα2.σ√n< µ < X + Zα

2.σ√n

(1)

Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-ratasampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakaidistribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata-rataditentukan.


Sehingga didapat dua batas kepercayaan

θ̂ = x − Zα2.σ√ndan θ̂ = x + Zα

2.σ√n

(2)

Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2,6.Hitung selang kepercayaan 95 % dan 99 % untuk rata-rata IP semuamahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0,3.


b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembaliandan σ diketahui

X − Zα/2σ√n.

√N − n

N − 1< µ < X + Zα/2

σ√n.

√N − n

N − 1(3)


2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

X − tα2.s√n< µ < X + tα

2.s√n

(4)

dengan

s =

√Σni=1Xi

n − 1−

(Σni=1Xi )

2

n(n − 1)


Latihan Soal

1 Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yangdiperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksisatu jenis kain. Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yangdiperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jikadiasumsikan standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasiinterval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95% ?

2 Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukurberatnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlahpendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99% ?


Pendugaan Interval Untuk Proporsi

1. Untuk sampel besar (n > 30)

a. Untuk populasi tidak terbatas

p − Zα/2

√p(1− p)

n< P < p + Zα/2

√p(1− p)

n(5)

b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian

p − Zα/2

√p(1− p)

n

√N − n

N − 1< P < p + Zα/2

√p(1− p)

n

√N − n

N − 1(6)


2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)

p − tα/2

√p(1− p)

n< P < p + tα/2

√p(1− p)

n(7)


Latihan Soal

1. Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak.Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalampeti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yangrusak. Digunakan interval keyakinan 99 %.

2. Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitasrusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yangrusak ?

3. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatisdengan diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standardeviasinya (populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empatbuah baut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternyasebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan dengan tingkatkepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut.


4. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukurberatnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlahpendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99 %

5. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMATselama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukaimakanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsisebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makansiangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan intervalkeyakinan 98 %


Pendugaan Parameter Dua Populasi

Dalam materi ini akan dibahas metode inferensi (pendugaan) statistikuntuk membandingkan dua perlakuan atau dua populasi berdasarkansampel-sampel yang independen.Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata µ1 dan µ2, varians σ21dan σ22, maka estimasi dari selisih µ1 dan µ2 adalah x1 dan x2, sehingga

Z =(x1 − x2)− (µ1 − µ2)√(

σ21n1

)+

(σ22n2

)


Pendugaan Interval Beda Dua Rata-Rata

1. Untuk sampel besar dan σ21 dan σ22 diketahui(X 1 − X 2

)− Zα

2.σX 1−X 2

< (µ1 − µ2) <(X 1 − X 2

)+ Zα

2.σX 1−X 2

dengan

σX 1−X 2=

√(σ21n1

)+

(σ22n2

)


Contoh Soal

Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswaputra mempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selangkepercayaan 96 % untuk selisih µ1-µ2. Anggap standar deviasi populasiuntuk masing-masing putri dan putra adalah 8 dan 6


Misal :X 1 = 86 adalah nilai siswa putra, n1=75 dan σ1=6X 1 = 76 adalah nilai siswa putri, n1=50 dan σ1=8α = 0, 04→ z0,02 = 2, 05. Sehingga Selang kepercayaan 96 % bagi selisihrata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah(

X 1 − X 2

)− Zα

2.σX 1−X 2

< (µ1 − µ2) <(X 1 − X 2

)+ Zα

2.σX 1−X 2

(86− 76)− (2, 05).

√82

50+

62

75< (µ1 − µ2) < (86− 76) + (2, 05)

√82

75+

62

50

sehingga diperoleh .... < (µ1 − µ2) < ....


Interpretasi

1. Dapat dipercaya 96 % bahwa selisih rata-rata nilai ujian kimia semuasiswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3,43 hingga 8,57.

2. Dengan tingkat signifikansi 4 %, rata-rata nilai ujian kimia semuasiswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimiasemua siswa putri.


2. Untuk sampel kecil, σ21 dan σ22 tidak diketahui, selang kepercayaan(1-α) 100% untuk µ1 − µ2(

X 1 − X 2

)− tα

2.sX 1−X 2

< (µ1 − µ2) <(X 1 − X 2

)+ tα

2.sX 1−X 2

dengan

sX 1−X 2=

√(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2.

√(1

n1

)+

(1

n2

)dan

s21 =ΣX 2

1

n1 − 1− (ΣX1)2

n1(n1 − 1)

s22 =ΣX 2

2

n2 − 1− (ΣX2)2

n2(n2 − 1)


ContohSuatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkanoleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standardeviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yangdihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata2.04 grdan standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikanberdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengantingkat kepercayaan 90 persen.


2. Selang kepercayaan (1-α)100 % untuk µ1 − µ2; dimana σ21 6= σ22, σ21

dan σ22 tidak diketahui.

(X 1 − X 2

)− tvα

2.

√s21n1

+s22n2

< µ1 − µ2 <(X 1 − X 2

)+ tvα

2.

√s21n1

+s22n2

dengan

v =

(S21

n1+

S22

n1

)2

(S21

n1

)2

(n1 − 1)+

(S22

n2

)2

(n2 − 1)


Soal LatihanDalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor, a5 sampel dikumpulkandari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel daristasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standardeviasi 3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyairata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selangkepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnyapada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal daripopulasi normal dengan varians yang berbeda


Pendugaan interval beda dua proporsi

(P1 − P2)− Zα/2.s(p1−p2) < p1 − p2 < (P1 − P2) + Zα/2.s(p1−p2)

dengan

Sp1−p2 =

√p1(1− p1)

n1+

p2(1− p2)

n2


ContohSuatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedangdirencanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untukmelihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat. Dan 80 dari2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selangkepercayaan 90 % untuk selisih sesungguhnya proporsi yang baik dalamkedua cara tersebut!


Estimasi Varians Populasi

Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilaiparameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambillangkah-langkah dalam mengendalikannya

Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkanagar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatupersyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisaterjamin


Estimasi Varians Populasi

Estimasi interval varians populasi berbentuk:

(n − 1)s2

χ2α/2;v

< σ2x <(n − 1)s2

χ21−α/2;v

keterangan:χ2α/2;v = Nilai kritis yang tergantung tingkat kepercayaan dan derajat

kebebasan vα = 1 - tingkat kepercayaanv = derajat kebebasan = n - 1


ContohSuatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerjamengisi gandum ke dalam kotak rata-rata sebanyak 25 kg. Suatupemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standardpengisian gandum itu adalah 0,0894 kg. Estimasikan deviasi standardpopulasi dg tingkat kepercayaan 95 %


Latihan Soal

1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50potong tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis Amemiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg,sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgnsimpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda duarata-rata dgn interval keyakinan 94 %

2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja ygpernah menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 orgdewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara tsb. Berapa bedaproporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bldigunakan tingkat keyakinan 90%


3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaanfilm.

Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putarfilm-film yang diproduksi oleh dua perusahaan tersebut denganmenggunakan interval keyakinan %
