21
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Bab III . Perletakan pada pelat
Pada pelat dikenal juga beberapa perletakan yang dapat dilihat pada gambar 1. Pada
umumnya pelat yang banyak dipakai adalah dengan perletakan kaku (rigid). Namun tidak
tertutup kemungkinan dilapangan ada yang dipakai perletakan lainnya.
Kondisi perletakan bebas sisi tanpa
perletakan.
Perletakan sederhana
Perletakan kaku (rigid)
Perletakan elastis.
Gambar 1 : beberapa jenis perletakan pada pelat
Kondisi beban pada pelat ada beberapa jenis seperti pada Gambar 2.
Beban terbagi rata (uniformly
dis distributed load over entire area)
Beban terbagi rata ditempat tertentu
(uniformly distributed load over
part of area)
Line load (beban garis)
Beban terpusat (concentrated load)
Gambar 2 : Jenis-jenis beban yang bekerja pada pelat.
22
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.1 Pelat Isotropic dengan Lendutan kecil (2 arah)
Pada bab ini diperkenalkan pelat isotropic dengan lendutan kecil. Gaya dalam yang bekerja
pada pelat dapat dilihat pada gambar 3.
Persyaratan : - material elastis
- berlaku hukum Hooke
- tebal pelat konstant
- tebal pelat kecil disbanding sisi yang lain
- material homogen
- tidak bekerja gaya normal.
NX = NY = QXY = QYX = 0 persyaratan pelat.
Gambar 3 : Gaya dalam pada pelat dua arah dengan lendutan kecil.
Gaya dalam yang bekerja pada pelat adalah Mx, Mxy, Qx, My, Myx dan Qy. Keenam gaya
inilah yang hendak diketahui besarannya sehingga dapat ditentukan dimensi yang aman
terhadap struktur pelat. Pada hitungan pelat ini tidak diperkenankan ada gaya Normal
Z
Y
X
NY QY
QYX
MY MYX
QXY
QX
NX
MXY
MX
23
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.2 Persamaan Differential pelat.
Untuk menghitung gaya-gaya dalam pelat maka perlu ditetapkan persamaan differential pelat
yang mana pada persamaan ini dapat ditentukan persamaan lendutan. Dari persamaan
lendutan nantinya dapat dicari hubungannya dengan Momen an Gaya Lintang, sehingga gaya
dalam itu kesemuannya dapat dihitung. Gaya-gaya dalam pelat dapat dilihat di gambar 4.
Gambar 4: Momen Lentur, Gaya Lintang dan Momen Torsi yakni di sbx Mx,
Qx dan Mxy sedangkan di sb Y My, Qy dan Myx.
Dengan membuat persamaan keseimbangan kesb X, sb Y dan Z maka diperoleh sbb:
Y
X
QX
QY
MY
MYX
MXY
MX
Z
24
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
ΣX = 0 + - QX = 0 ……… III. .a
ΣY = 0 - + QY = 0 ……… III. .b
ΣZ = 0 + + q = 0 ……… III. .c
dimana : Mx = - D ( + ν. )
My = - D ( + ν. )
Mxy = - Myx = D (1-ν) .
Qx = - D ( + )
Qy = - D ( + . )
Persamaan III.a dan III.b dmasukkan ke III.c
+ + - = - q
MYX = - MXY
Maka : + - 2 . = q. …………………. III.f
III.d dimasukkan ke III.f, maka berlaku :
+ 2. + =
Ini adalah persamaan umum pelat dimana q : beban terbagi rata, D: kekauan Pelat
dan w adalah lendutan pelat.
δMYX
δY
δMX
δX
δMXY
δX
δMY
δY
δQX
δX
δQY
δY
δ2 w
δX2
δ2 w
δY2
δ2 w
δY2
δ2 w
δX2
δ2 w
δX.δY
……….. III.d
δ2MX
δX2
δ2MyX
δX.δY δ
2MY
δY2
δ2MXy
δX.δY
δ2MX
δX2
δ2MY
δY2
δ2MXy
δX.δY
δ4 w
δX2
δ4 w
δX2δY
2
δ4 w
δX4
q
D
δ2 w
δX2
δ2 w
δY2
δ2 w
δY2
δ2 w
δX2
……….. III.e
δ
δX
δ
δy
PERSAMAAN KIRCHOFF
25
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.3. Hubungan Momen dengan Lendutan.
εx = - ν. σx = ( εx + ν. εy )
εy = - ν. σy = ( εy + ν. εx )
εx = ; εy =
maka : σx = ( + ν )
σy = ( + ν. )
∫ σx.z. dy.dz = Mx. dy Mx = D( + ν. ) = -D ( + ν. )
∫ σy.z. dx.dz = My. Dx My = D( + ν. ) = -D ( + ν. )
σn = σx. cos2
α + σy . sin2 α
τnt = ½ (σy – σz) . sin2 α
σx
E σy
E
σy
E σx
E
E
1 – ν 2
E
1 – ν 2
z
rx
z
ry
Ez
1 – ν2
1
rx 1
ry
Ez
1 – ν 2
1
ry
1
rx
1
rx
1
ry δ
2 w
δX2
δ2 w
δY2 -h
/2
h/2
-h/2
h/2 1
ry 1
rx δ
2 w
δY2
δ2 w
δX2
X
Y
dx
dy
α σx
σy
σn
Z Mn
Mnt τnt
h/2
26
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Mn = ∫σn. z. dz = Mx. cos2
α + My. sin2 α
Mnt = -∫τnt.z. dz = ½ sin2 α (Mx – My)
= D(1-ν).
Mxy = D (1-ν)
3.4 Kondisi Batas (Boundary Coditions)
Kondisi perletakan pada pelat ada beberapa tipe. Dan penyelesaian lendutan akan sangat
bergantung kepada konsdisi perletakan pelat tersebut.
- Perletakan Rigid.
(w) = 0 ; ( ) = 0
- Perletakan sederhana.
(w) = 0 ; ( + v. ) = 0 ; (Δw) = 0
- Bebas
(Mx) = 0 ; (Mxy) = 0 ; Qx = 0
-h/2
-h/2
h/2
δ w2
δn. δt
δ w2
δx. δy
δw
δx x = a x = a
x = a
δ2w
δx2
δ2w
δy2 x = a x = a x = a
x = a x = a (x = a)
27
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.5 Pelat dengan tumpuan sederhana.
Dalam bab ini akan diturunkan dulu penyelesaian pelat dengan persamaan yang paling
senderhana yakni dengan beban sinussiodal dengan perletakan pelat sederhana.
3.5. 1 Beban Sinusoidal
Beban sinussoidal adalah yang paling simpel mengerjakan persamaan lendutannya, demikian
juga untuk mendapatkan gaya dalamnya.
Suatu pelat yang dibebani beban sinussoidal dapat dilihat digambar 5 dibawah, dimana
perletakan sederhana dengan lebar pelat a kearah x dan b kearah y. Dimana beban sinusoidal
adalah sebesar
+ 2. + = . Sin . Sin
Syarat batas w = 0, Mx = 0, untuk x = 0, dan x = a
w = 0, My = 0, untuk y = 0, dan y = b
q0
a
b
Y
X
δ4 w
δ x4
δ4 w
δx2δy
2
δ4 w
δ y4
q0
D
πx
a πy
b
Gambar 5:Pelat dengan beban
sinussoidal
28
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan pelat dengan beban sinussoidal adalah sbb:
w = C. Sin . Sin
Dimana C : koefisien yang harus dicari dengan syarat batas.
w = C. Sin . Sin = C. . Cos . Sin
= - C. ( )2. Sin . Sin
= - C. ( )3. Cos . Sin
= - C. ( )4. Sin . Sin
dst, didapat …….. dan
dan dimasuk persamaan pelat diatas maka didapat
π4 ( + )
2 . C = C =
+ )
w = . Sin . Sin
+ )2
Persamaan ini adalah persamaan lendutan dengan beban sinussoidal.
Momen
Mx = - D ( + ν . )
Mxy = - Myx = D (1-ν)
My = - D ( + ν . )
πx
a πy
b
πx
a πy
b δ w
δ x
π
a
πx
a
πy
b
δ2 w
δ x2
π
a πx
a πy
b
δ3 w
δ x3
π
a πx
a πy
b
δ4 w
δ x4
π
a πx
a πy
b
1
a2
1
b2
q0
D
q0
π4. D (
1
a2
1
b2
q0
π4. D (
1
b2
1
a2
πx
a πy
b
δ2 w
δ x2
δ2 w
δ y2
δ2 w
δ y2
δ2 w
δ x2
δ2 w
δx.δy
δ4 w
δ y4
δ4 w
δ x 2
δ y2
29
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Mx = .( + ). Sin . Sin
+ )2
My = . ( + ). Sin . Sin
+ )2
Mxy = . Cos . Cos
+ ) ab
(Mx)max. = .( + )
x = + )
wmax =
y = + ) (My)max. =
Gaya Lintang :
Qx = + = - D ( + )
Qy = - = - D ( + )
Qx = . Cos . Sin
πa ( + )
Qy = . Sin . Cos
πb ( + )
q0
1
b2
1
a2
π2 (
ν
b2
1
a2
πx
a πy
b
q0
1
b2
1
a2
π2 (
1
b2
ν
a2
πx
a πy
b
q0 (1-ν)
1
b2
1
a2
π2 (
πx
a
πy
b
a
2
a
2
q0
π4. D (
1
b2
1
a2
q0
π2 (
1
b2
1
a2
ν
b2
1
a2
q0
π
2 (
1
b2
1
a2 + )
.( 1
b2
ν
a2 + )
δ Myx
δy δ Mx
δx
δ
δx
δ2 w
δx2
δ2 w
δy2
δ My
δy δ Mxy
δx
δ
δx δ
2 w
δx2
δ2 w
δy2
q0
1
a2
1
b2
πx
a
πy
b
q0
1
a2
1
b2
πx
a
πy
b
30
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Vx = (Qx - ) = - ( + ) . Sin
+
Vy = (Qy - ) =- ( + ). Sin
+
R = 2 (Mxy)x=a, y=b =
+ 2
contoh soal: Beban sinusoidal
Diketahui suatu pelat dengan modulus elastisitas E = 31 900 N/mm2, Tebal pelat h = 12
cm, υ = 0,2, qO=300 kg/m2
Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=2m, b) Momen MX di y= 2m , c) MY di x = 3m,
d) MXY di x= 0 m dan e) Vx pada x=0
a
b
R R
R
Y
X
Vy
Vx
δMxy
δy
q0
π a ( 1
a2
1
b2 )
1
a2
2 - ν
b2
πy
b x = a
δMxy
δy
q0
π b ( 1
a2
1
b2 )2
1
b2
2 - ν
a2
πx
a y = b
2 q0 (1-ν)
π2.a b ( 1
b2 ) 1
a2
31
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan lendutan adalah
w = . Sin . Sin
+ )2
Dimana 2
3
112
EhD
kgmNmmxmmmmN
D 500.47810785.41
./.
)2,01(12
120.31900 932
2
3
4sin
6sin
4
1
6
1*478500*14.3
3002
22
4
yxw
= 0.0079 4
sin6
sinyx
x
y
a=6 m
b= 4 m
qo
0
q0
π4. D (
1
b2
1
a2
πx
a πy
b
32
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Lendutan dihitung dengan M-Exel pada y = 2 m.
x y koef sin sin w (mm)
-
2.000
0.00079
-
1.000
-
1.000
2.000
0.00079
0.500
1.000
0.396
2.000
2.000
0.00079
0.866
1.000
0.685
3.000
2.000
0.00079
1.000
1.000
0.791
4.000
2.000
0.00079
0.866
1.000
0.685
5.000
2.000
0.00079
0.500
1.000
0.396
6.000
2.000
0.00079
0.000
1.000
0.000
Gambar lendutan
Lendutan maximum terjadi di tengah bentang yakni 0.791 mm
-
(0.396)
(0.685) (0.791)
(0.685)
(0.396)
(0.000)
w (mm)
w (mm)
33
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan Mx
Dihitung dengan M-Exel
x y koef sin sin MX (y=2m)
-
2.000
150.450
-
1.000
-
1.000
2.000
150.450
0.500
1.000
(75.225)
2.000
2.000
150.450
0.866
1.000
(130.294)
3.000
2.000
150.450
1.000
1.000
(150.450)
4.000
2.000
150.450
0.866
1.000
(130.294)
5.000
2.000
150.450
0.500
1.000
(75.225)
6.000
2.000
150.450
0.000
1.000
(0.000)
Gambar bidang Momen pada y = 2 m, dimana Mx maximum adalah 150,450 kgm.
-
(75.225)
(130.294)
(150.450)
(130.294)
(75.225)
(0.000)
Mx pada y= 2
Series1
4sin
6sin*45,150
yxMx
34
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan My
My dihitung dengan M-Exel
x y koef sin sin MY (x=2m) (kgm)
3.000
-
253.860
1.000
-
-
3.000
1.000
253.860
1.000
0.707
(179.506)
3.000
2.000
253.860
1.000
1.000
(253.860)
3.000
3.000
253.860
1.000
0.707
(179.506)
3.000
4.000
253.860
1.000
0.000
(0.000)
Momen dihitung dengan M-Exel My maximum adalah 253.860 kgm.
-
(179.506)
(253.860)
(179.506)
(0.000)
My pada x=3
4sin
6sin*86.253
yxMy
35
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan Mxy
Mxy dihitung M-Exel didapat
x y koef cos cos Mxy (Kgm)
-
-
11.234
1.000
1.000
11.234
-
1.000
11.234
1.000
0.707
7.944
-
1.500
11.234
1.000
0.383
4.299
-
2.000
11.234
1.000
0.000
0.000
-
2.500
11.234
1.000
(0.383)
(4.299)
-
3.000
11.234
1.000
(0.707)
(7.944)
-
4.000
11.234
1.000
(1.000)
(11.234)
Gambar Mxy pada x=0.Mxy max adalah 11.234 pada (X,Y)=(0,0) dan pada (X,Y)=(0,4).
Pada (X,Y)=(0,2) Mxy adalah 0.
11.234
7.944
4.299
0.000
4.299
7.944
11.234
Mxy pada x=0
Series1
4cos
6cos234.11
yxMxy
36
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan Vx
Vx pada x=0 atau x=a adalah
y (m) Vx (kg/m)
0 0.0
1 155.4
2 219.8
3 155.4
4 0.0
0.0
-155.4
-219.8
-155.4
0.0
Vx pada x=0 atau x= 6
37
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Persamaan Vy pada y=0 dan y=b
Setelah dihitung dengan M-Exel didapat
X (m) VY (kg/m)
0 -
1 307
2 532
3 614
4 532
5 307
6 0
Gambar Vy adalah
-
(307)
(532)
(614)
(532)
(307)
0
Vy pada y=0 dan y=4 m
38
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Reaksi pada sudut pelat, yang disebut juga gaya angkat.
R=248 kg
R
R R
R
39
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Tugas 2:
Sebuah pelat dengan a m dan b m, dimana mengalami beban sinusoidal dengan qo
=300 kg/m2, dimana pelat E= dari tabel , fc’= 29 MPa
Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=1/2 a b) Momen MX di y= ½ a , c) MY di x =
½ b, d) MXY di x= 0 m , e) Vx f) Vy dan g) R.
Nim
akhir
a(m) b(m)
1,2 4 4
3.4 4 5
5.6 4 6
7,8 4 7
9,0 4 8
40
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.5.2 Pelat dengan tumpuan sederhana dengan Beban terbagi rata Cara Navier.
Dengan metode Navier
q = f (x,y)
f (x,y) = ∑ ∑ amn . sin . sin
Persamaan diatas dikalikan dengan sin . dy dan diintegralkan dari 0 ke b.
b
yn
b
yn
a
xma
b
xnyxf
m n
mn
bb '
1 10
'
0
sinsinsinsin*),(
∫sin . sin . dy = 0 n ≠ n'
∫sin . sin . dy = n = n'
∫f(x,y) . sin . dy = ∑ amn'. sin
∫ ∫f(x,y). sin . sin . dx. dy = . am'n'
am'n' = ∫ ∫f(x,y). sin . sin . dx. dy
maka : w = ∑ ∑ . Sin . Sin
+ 2
f(x,y) = q0 untuk beban merata
m =1 n =1
~ ~ mπx
a
nπy
b
n'πy
b
nπy
b
n'πy
b 0
b
nπy
b
n'πy
b 0
b b
2
0
b n'πy
b
b
2 m =1
~ mπx
a
m'πx
a
n'πy
b
ab
4 0
a
0
b
4
ab
a
0
b
0
m'πx
a
n'πy
b
1
π4D
~ ~
m =1 n =1
amn
m2
a2
( n2
b2 )
m'πy
a
n'πy
b
41
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
amn = ∫ ∫Sin . Sin . dx. dy =
w = ∑ ∑
dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….
Penjelasan:
4 q0
ab
a
0
b
0
mπx
a nπy
b
16 q0
π4.m.n
16 q0
π6D
~
m =1
~
n =1
Sin mπx
a .Sin nπy
b
m.n. ( m2
a2
+ n
2
b2 )2
42
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
No beban catatan
1 Terbagi rata
2 Segitiga
Dimana m dan
n=1,3,5…
3 Beban terbagi rata
ditempat tertentu
m,n, ganjil
4 Beban terpusat
m,n ganjil
x
y
c
d
p
a
b
43
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
5 Beban setengah
terbagi rata
6 Beban garis
m,n=1,2,3….
Beban terbagi rata:
Untuk tengah bentang x = dan y =
wmax. = ∑ ∑
Pelat bujur sangkar a = b wmax. = = 0,00416
ν = 0,3
maka : wmax. = 0,0454.
16 q0
π6D
~
m =1
~
n =1
(-1) m + n
2 -1
m. n . ( m2
a2
n2
b2 )2 +
a
2
b
2
4 q0. a4
π6.
D
q0. a4
D
q0. a4
E h3
x
y
44
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Secara umum persamaan pelat adalah
Untuk poission ration v = 0 isilah tabel dibawah
1 0.0416
2 ……..
3 ………
4 ………
5 ………
6 ………
7 ………
contoh soal:Navier
Diketahui mutu Beton K 300
Tebal pelat h = 12 cm, υ = 0,2, q=300 kg/m2
Hitung lendutan yang terjadi.
b = 4 M
X
Y
a = 6 M
45
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
w = ∑ ∑
dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….
0q 300 kg/m2
E=30000MN/m2, h=0.12 m, υ=0.2
)1(12 2
3
EhD =
)2.01(12
12.0*300002
3
=4.5 MNm=450 kgm
Pada x=3 m, y=2 m
-
4.32
7.48
12.38
7.48
4.32
0.00
Lendutan pada y=2 m
16 q0
π6D
~
m =1
~
n =1
sin .sin nπy
b
m.n. ( m
2
a2
+ n
2
b2 )2
mπx
a
1 1
2
2
2
2
2
46
4sin
6sin
0111.0m n nm
mn
ynxm
w
18
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
m=1 n=1 m=1 n=1
m=1, n=1 m=3 n=3 m=3 n=3
m=3,n=3 w (m) w(mm)
x y koef sin sin
sinmπx/6 sin n
0 2 0.0111 0 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.00 0 -1.000 0.250 6E-01 6E+00 0.000000 0.000E+00 -
1 2 0.0111 0.5 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.47 0.5 -1.000 0.250 6E-01 6E+00
-0.084155 4.320E-03
4.32
2 2 0.0111 0.866 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.82 0.86603 -1.000 0.250 6E-01 6E+00
-0.145761 7.482E-03
7.48
3 2 0.0111 1 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.95 -1 -1.000 0.250 6E-01 6E+00 0.168310 1.238E-02
12.38
4 2 0.0111 0.866 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.82 0.86603 -1.000 0.250 6E-01 6E+00
-0.145761 7.482E-03
7.48
5 2 0.0111 0.5 1.000 2.8E-
02 6.3E-
02 1.056 0.47 0.5 -1.000 0.250 6E-01 6E+00
-0.084155 4.320E-03
4.32
6 2 0.0111 1E-16 1.000
2.8E-02
6.3E-02 1.056 0.00 -7.4E-16 -1.000 0.250
6E-01 6E+00 0.000000 2.661E-18
0.00
18
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
.......17.095.011.1
46*
4sin
6sin
5.4*
300*16
1 12
2
2
2
26
m n nmnm
ynxm
w
0.0124 m = 1.24 cm
Sedangkan Momen
Mx = π2 DΣ Σ [ (m/a)
2 + ν (n/b)2 ] amn Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)
My = π2 DΣ Σ [ (n/b)
2 + ν (m/n)2 ] amn Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)
Mxy = - π2 D(1- ν2 )Σ Σ [ (mn/ab)
2 ] amn cos (m πx/a). cos (n πx/b)
Pada beban terbagi rata
lihat tabel diatas dengan beban lainnya
Mx=
b/a
1 ???????
2
3
4
5
6
7
~~
~~
~~
m=1
m=1
m=1
n=1
n=1
n=1
19
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.5.3 Beban terbagi rata dengan cara M. Levy
M. Levy w = ∑ Ym . Sin
w = w1 + w2
w1 = (x4 – 2 ax
3 + a
3 x)
w1 defleksi kearah sumbu X
Keungulan M.Levy, bisa untuk berbagai kondisi perletakan.
Sedangkan Navier hanya perletakan sederhana.
untuk w2 diambil dari persamaan
+ 2. + = 0
w2 dipilih agar memenuhu persamaan w1+w2=w
dengan mengambil w =∑ Ym sin
maka
∑ (YIV
m – 2. . Y"m + . Ym) Sin = 0
YIV
m – 2. . Y"m + . Ym = 0
~
m =1
mπx
a
b
2
a
b
2
X
Y
q
24 D
δ4
w
δ x4
δ4
w
δx2δy
2
δ4
w
δ y4
~
m =1
m2.π
2
a2
m4.π
4
a4
mπx
a
m2.π
2
a2
m4.π
4
a4
~
m =1
mπx
a
20
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Penyelesaian umum :
Ym = ( Am. Cosh + Bm. . Sinh + Cm.
+ Dm. . Cosh )
Pelat Simetris Cm = Dm = 0 maka :
w = (x4 – 2 ax
3 + a
3.x) + ∑ (Am. Cosh + Bm . Sinh )
. Sinh
Syarat batas, :
w = 0, = 0 untuk x = 0, dan x = a, dan y = ± maka :
(x4 – 2 ax
3 + a
3.x) = ∑ . Sinh
maka :
w = ∑ ( + Am. Cosh + Bm. . Sinh ) Sinh
Dengan boundary condition : w = 0; = 0 pada x = 0, dan x = a
= αm
Didapat
dan
qa4
D m.πy
a
m.πy
a
m.πy
a
m.πy
a
m.πy
a
m.πy
a
q
24 D
qa4
D m.πy
a
m.πy
a
~
m =1
m.πy
a
m.πx
a
δ2
w
δ y2
b
2
q
24 D
4 qa4
π5 D
~
m =1
1
m5
m.πx
a
4 qa4
D
~
m =1
4
π5.m
5
m.πy
a
m.πy
a
m.πy
a
m.πx
a
δ2
w
δ x2
m.π.b
2 a
21
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
a
xm
b
y
b
y
b
y
mD
qaw m
m
mm
m
mm
sin
2sinh
2
cosh2
22cosh
cosh2
2tanh1
14
5,3,155
4
Pada
x = ; y = 0
w = ∑ ( 1 - )
dimana
Dengan mamasukkan harga maka
maka persamaan diatas
yang sebelah kiri ada didapat koefisien
=0,0130
Maka didapatkan
wmax. = . - ∑ .
α1 = ; α3 = , …………
a
2
4 qa4
Π5 D
~
m =1,3,5
(-1)
m-1
2
m5
αm. tgh αm + 2
2 Cosh αm
5
384
qa4
D 4 qa
4
π5 D
~
m =1,3,5
m-1
2
m5
(-1) αm. tgh αm + 2
2 Cosh αm
π
2 3π
2
22
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Selanjutnya akan dihitung jika b=2a, b=3a, b=4a, b=5a, b=6a,
Maka
b=a
b=2a
b=3a
b=4a
b=5a
23
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
b=5a
secara umum wmax =
α : dapat dilihat di tabel lendutan
Tabel lendutan
perletakan sederhana
dengan M. Levy
lendutan w = α( q a4/D)
No b/a Α
1 1 0.0040
2 2 0.0101
3 3 0.0122
4 4 0.0128
5 5 0.0130
6 6 0.0130
7 7 0.0130
8 10 0.0130
Mx = - q a2π
2 ∑ m
2 [2υBm – (1-υ) Am]. Sinh
My = υ - q a2π
2 ∑ m
2 [2. Bm + (1-υ) Am]. Sinh
Dimana
q x (a-x)
2 m.πx
a
~
m =1,3,5 (y=0)
q x (a-x)
2 m.πx
a
~
m =1,3,5 (y=0)
qa4
D
One way slab
24
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
(Mx)y=0 = β'. q. a2
(My)y=0 = β'1. q. a2
β' dan β'1 dapat dilihat di Tabel 1. [Thimosenko ,1959]
Tabel 1.:
β' dan β'1 untuk Bidang Momen perletakan sederhana pada pelat persegi dengan beban
terbagi rata
ν = 0,3, b ≥ a
b/a Mx = β'qa2,y=0 My = β'1qa2,y=0
X=0,1a X=0,2a X=0,3a X=0,4a X=0,5a X=0,1a X=0,2a X=0,3a X=0,4a X=0,5a
1.0 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 0.0479 0.0168 0.0303 0.0400 0.0459 0.0479
1.1 0.0234 0.0389 0.0180 0.0544 0.0554 0.0172 0.0311 0.0412 0.0475 0.0493
1.2 0.0256 0.0432 0.0515 0.0607 0.0627 0.0174 0.0315 0.0417 0.0480 0.0501
1.3 0.0277 0.0472 0.0599 0.0671 0.0694 0.0175 0.0316 0.0419 0.0482 0.0503
1.4 0.0297 0.0509 0.0649 0.0730 0.0755 0.0175 0.0315 0.0418 0.0481 0.0502
1.5 0.0314 0.0544 0.0695 0.0783 0.0812 0.0173 0.0312 0.0415 0.0478 0.0498
1.6 0.0330 0.0572 0.0736 0.0831 0.0862 0.0171 0.0309 0.0411 0.0472 0.0492
1.7 0.0344 0.0599 0.0773 0.0874 0.0908 0.0169 0.0306 0.0405 0.0466 0.0486
1.8 0.0357 0.0623 0.0806 0.0913 0.0948 0.0167 0.0301 0.0399 0.0459 0.0479
1.9 0.0368 0.0644 0.0835 0.0918 0.0985 0.0165 0.0297 0.0393 0.0451 0.0471
2.0 0.0378 0.0663 0.0861 0.0978 0.1017 0.0162 0.0292 0.0387 0.0444 0.0464
2.5 0.0413 0.0729 0.0952 0.1085 0.1129 0.0152 0.0272 0.0359 0.0412 0.0430
3.0 0.0431 0.0763 0.1000 0.1142 0.1189 0.0145 0.0258 0.0340 0.0390 0.0406
4.0 0.0445 0.0791 0.1038 0.1185 0.1235 0.0138 0.0246 0.0322 0.0369 0.0384
∞ 0.0450 0.0800 0.1050 0.1200 0.1250 0.0135 0.0240 0.0315 0.0360 0.0375
25
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Diketahui sebuah pelat dengan beban q kg/m2, υ=0.3 perbandingan antar b dan a adalah 1.5,
maka hitunglah momen Mx dan My ditampang y=0 , x=a/2
Mx=0,0812qa2
My=0,0498qa2
a
X
Y
0.2a 0.4a
0.3a 0.5a 0.1a
26
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Untuk x =
; Mx = β". q.a
2 My = - β". q.a
2
β" dan β"1 Tabel 2 dibawah
TABEL 2.
β'' dan β''1 untuk Bidang Momen pada perletakan sederhana dengan beban terbagi rata
ν = 0,3, b ≥ a
b/a Mx = β''qa
2,x = a/2 My = β''1qa
2,x = a/2
y=0.4a y=0.3a y=0.2a y=0.1a y=0 y=0.4a y=0.3a y=0.2a y=0.1a y=0
1.0 0.0168 0.0303 0.0400 0.0459 0.0479 0.0209 0.0343 0.0424 0.0466 0.0479
1.1 0.0197 0.0353 0.0465 0.0532 0.0554 0.0225 0.0363 0.0442 0.0481 0.0493
1.2 0.0225 0.0401 0.0526 0.0600 0.0627 0.0239 0.0379 0.0454 0.0490 0.0501
1.3 0.0252 0.0447 0.0585 0.0667 0.0694 0.0252 0.0391 0.0462 0.0494 0.0503
1.4 0.0275 0.0491 0.0639 0.0727 0.0755 0.0263 0.0402 0.0468 0.0495 0.0502
1.5 0.0302 0.0532 0.0690 0.0781 0.0812 0.0275 0.0410 0.0470 0.0493 0.0498
1.6 0.0324 0.0571 0.0737 0.0832 0.0862 0.0288 0.0417 0.0471 0.0489 0.0492
1.7 0.0348 0.0607 0.0780 0.0877 0.0908 0.0295 0.0423 0.0470 0.0484 0.0486
1.8 0.0371 0.0641 0.0819 0.0917 0.0948 0.0304 0.0428 0.0469 0.0478 0.0479
1.9 0.0392 0.0673 0.0854 0.0953 0.0985 0.0314 0.0433 0.0467 0.0472 0.0471
2.0 0.0413 0.0703 0.0887 0.0986 0.1017 0.0322 0.0436 0.0464 0.0465 0.0464
2.5 0.0505 0.0828 0.1012 0.1102 0.1129 0.0360 0.0446 0.0447 0.0435 0.0430
3 0.0586 0.0923 0.1092 0.1168 0.1189 0.0389 0.0447 0.0431 0.0413 0.0406
4 0.0723 0.1054 0.1180 0.1224 0.1235 0.0426 0.0436 0.0406 0.0389 0.0384
∞ 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.1250 0.0375 0.0375 0.0375 0.0375 0.0375
a
2 (x= a
2 ) a
2 ) (x=
27
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Vy = Vq –
Mxmax = β qa2
Mymax = β1 qa
2
Momen maximum (x = ; y = 0) lihat juga total dibawah gaya lintang, lihat tabel 3
dibawah.
TABEL 3. α, β, γ, δ, n beban terbagi rata dan perletakan sederhana pelat persegi
v = 0,3
b/a
Wmax.
= α
(Mx)max. =
β qa2
(My)max. =
β1 qa2
(Qx)max. =
γ qa
(Qy)max. =
γ1 qa
(Vx)max. =
δ qa
(Vy)max. =
δ1 qa
R
= nqa2
α β β1 Γ γ1 δ δ1 n
1.0 0.00406 0.0479 0.0479 0.338 0.338 0.420 0.420 0.065
1.1 0.00485 0.0554 0.0493 0.360 0.347 0.440 0.440 0.070
1.2 0.00564 0.0627 0.0501 0.380 0.353 0.455 0.453 0.074
1.3 0.00638 0.0694 0.0503 0.397 0.357 0.468 0.464 0.079
1.4 0.00705 0.0755 0.0502 0.411 0.361 0.478 0.471 0.083
1.5 0.00772 0.0812 0.0498 0.424 0.363 0.486 0.480 0.085
1.6 0.00830 0.0862 0.0492 0.435 0.365 0.491 0.485 0.086
1.7 0.00883 0.0908 0.0486 0.444 0.367 0.496 0.488 0.088
1.8 0.00931 0.0948 0.0479 0.452 0.368 0.499 0.491 0.090
1.9 0.00974 0.0985 0.0471 0.459 0.369 0.502 0.494 0.091
2.0 0.01013 0.1017 0.0464 0.465 0.370 0.503 0.496 0.092
3.0 0.01223 0.1189 0.0406 0.493 0.372 0.505 0.498 0.093
4.0 0.01282 0.1235 0.0384 0.498 0.372 0.502 0.500 0.094
5.0 0.01297 0.1246 0.0375 0.500 0.372 0.501 0.500 0.095
∞ 0.01302 0.1250 0.0375 0.500 0.372 0.500 0.500 0.095
0.0325 qa2
M1
R R
M2
My Mz
0.0825 qa
0.338 qa δMxy
δx δMxy
δx
a
2 a
2
a 2
a 2
R= 0.065 qa2
V = 0,3
σx
σy
σ1
σ2
- 0.0325 qa2
x
F1G.63
a
2
qa4
D
28
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Demikian juga Qxmax = γ qa, Qy max = γ1 q a, Vx max = δ qa dan Vy max =δ1 qa.
Sedangkan R = η q a2
η Dimana γ, γ1, δ, δ1 dan η dapat dilihat dari tabel 3 diatas.
Untuk gaya-gaya yang lain, gaya hidrostatik, terpusat dapat dilihat di buku [Thimoshenko,
1959].
Pada tabel dibawah ini dibuat perbandingan antara pelat beton yang poisson rationya 0.2 dan
pelat baja yang poison rationya 0.3
Pelat Bujur Sangkar Mx = β' qa2
ν = 0.3
x β'
0.5 a 0.04773
0.4 a 0.04643
0.3 a 0.04224
0.2 a
0.1 a
Pelat Bujur Sangkar Mx = β' qa2
ν = 0.2
x β'
0.5 a 0.04402 92.23%
0.4 a 0.04290 92.39%
0.3 a 0.03922 92.86%
0.2 a
0.1 a
29
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.6 . Pelat dengan kondisi perletakan yang bervariasi
3.6..1 Pelat dengan Momen diperletakan
+ 2. + = 0
Penyelesaian umum :a
xmYw
m
m
sin
1
Dimana a
ym
a
ymD
a
ym
a
ymC
a
ymB
a
ymAY mmmmm
coshsinhcoshsinh
Dalam konsdisi simetri maka Am=Dm=0
Maka a
xm
a
ym
a
ymC
a
ymBw m
m
m
sinh)sinhcosh(
1
Boundary condition pada y=2
b , maka w=0
Didapat 02
sinh22
cosh a
bm
a
bmC
a
bmB mm
a
bm
a
bmCB mm
2tanh
2
mmmm CB tanh
b/2
b/2
a
f2(x)
f1(x)
δ4
w
δ x4
δ4
w
δx2δy
2
δ4
w
δ y4
30
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Dimana a
bmm
2
Persamaan lendutan:
a
xm
a
ym
a
ym
a
ymCw mm
m
m
sinh)coshtanhsinh(
1
.................a
Dimana Cm harus dicari dengan syarat batas
Pada tumpuan bekerja momen sembarang sebesar
a
xmExfxf m
sin)()( 21 …………………………………b
Syarat batas )(1
2
2
2
xfy
wD
by
dan )(2
2
2
2
xfy
wD
by
……………….c
Dari a, b dan c diperoleh
Cm = -
m
m
Dm
Ea
cosh2 22
2
Maka persamaan lendutan menjadi
)sinhcoshtanh(cosh
sin
2 .....5,3,122
2
a
ym
a
ym
a
ymE
m
a
xm
D
aw mm
m
m
m
Jika momen tumpuan distribusi rata Mo maka pada y=b/2
a
xm
m
MMy
m
sin
14
.....3,2,1
0
Jika ditumpuan beban terbagi rata dengan M0 maka
31
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
a
xm
a
ym
a
ym
a
ym
mD
aMw mm
m m
sin)sinhcoshtanh(
cosh
12
,......5,3,133
2
0
Pada y=0
a
xm
mD
aMw mm
m m
sin)tanh(
cosh
12
,......5,3,133
2
0
Dimana a
bmm
2
Pada tabel 4 dapat dilihat lendutan w, Mx dan My pada pusat pelat akibat Mo (merata di 2
perletakan), sedangkan 2 perletakan lagi sederhana.
32
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Tabel 4:lendutan dan momen pada y=±
b/a W Mx My
0 0.1250 Mo b2/D 0.300 Mo 1.000 Mo
0.50 0.0964 Mo b2/D
0.387 Mo 0.770 Mo
0.75 0.0620 Mo b2/D 0.424 Mo 0.476Mo
1.00 0.0368 Mo a2/D
0.394 Mo
0.256 Mo
1.50 0.0280 Moa2/D
0.264 Mo
0.046 Mo
2.00 0.0174 Moa2/D 0.153 Mo
-0.010 Mo
Contoh soal: Sebuah pelat b/a=2
a
b
33
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
3.6..2 Pelat dengan beban merata dua tumpuan jepit dua lainnya sederhana
Jika pelat ditumpu sederhana maka persamaan lendutannya adalah
a
xm
b
y
b
y
b
y
mD
qaw m
m
mm
m
mm
sin
2sinh
2
cosh2
22cosh
cosh2
2tanh1
14
5,3,155
4
mmma
xm
mD
qa
y
w
tanh1tanhsin
12
5,3,144
3
a)
Pada y = b/2 dan y=-b/2 besar momen adalah
a
xmEMy
m
m
sin
1
Dari bab sebelumnya maka persamaan lendutan akibat My adalah sebesar
b/2
b/2
a
x
y
q
34
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
)sinhcoshtanh(cosh
sin
2 .....5,3,122
2
a
ym
a
ym
a
ymE
m
a
xm
D
aw mm
m
m
m
y
w mmmE
m
a
xm
D
am
m
m
m
1tanhtanhcosh
sin
2 .....5,3,122
2
b)
Dari a dan b
1tanhtanh
tanh1tanh433
2
mmmm
mmmm
mm
qaE
1tanhtanh
tanh1tanhsin
4
...5,3,133
2
)2
(
mmmm
mmmm
m
by m
a
xm
qaMy
Dari bab sebelumnya akibat momen tepi maka lendutan
)sinhcoshtanh(cosh
sin
2 .....5,3,122
2
a
ym
a
ym
a
ymE
m
a
xm
D
aw mm
m
m
m
)sinhcoshtanh(1tanhtanh
tanh1tanh
cosh
sin
2 .....5,3,125
4
a
ym
a
ym
a
ym
m
a
xm
D
aw mm
m mmmm
mmmm
m
Lendutan diatas adalah akibat momen tepi,sedangkan lendutan total adalah lendutan akibat
beban terbagi rata dengan perletakan sederhana dikurang dengan lentutan akibat momen tepi
W= wakibat beban merata (perletakan sederhana) – w akibat momen tepi
Selanjutnya didapat
35
Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan
Mx=
a
ym
a
ym
a
ym
m
xm
qamm
mmmm
mmmm
m m
coshtanh12sinh1
1tanhtanh
tanh1tanh
cosh
sin2
5,3,123
2
My=
a
ym
a
ym
a
ym
m
xm
qamm
mmmm
mmmm
m m
coshtanh12sinh1
1tanhtanh
tanh1tanh
cosh
sin2
5,3,123
2
Dimana a
bmm
2
Maka Mx= dan My= , pada x=a/2 dan y=0, My= pada x=a/2 dan y=b/2
Tabel 4:
Tabel 4: pelat persegi beban terbagi rata, tumpuan
jepit-jepit dan sendi-sendi v=0.3, b<a
a/b x=a/2, y=0
x=a/2, y=0
x=a/2, y=0
x=a/2, y=b/2
α
0.0026 0.0125 0.0417 -0.0833
2 0.0026 0.0142 0.042 -0.0842
1.5 0.00247 0.0179 0.0406 -0.0822
1.4 0.0024 0.0192 0.0399 -0.081
1.3 0.00234 0.0203 0.0388 -0.0794
1.2 0.00223 0.0215 0.0375 -0.0771
1.1 0.00209 0.023 0.0355 -0.0739
1
2
b
a
Top Related