1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kompleksitas dunia industri yang berkembang pesat di era globalisasi
menimbulkan berbagai masalah terkait produktivitas dan efisiensi suatu perusahaan.
Guna mencapai produktivitas yang tinggi suatu perusahaan harus mampu mengatasi
permasalahan-permasalahan yang terjadi dalam perusahaan tersebut. Perusahaan
haruslah mengetahui efisiensi dari lini produksinya,aliran pendistribusian yang
efektif,jumlah pengangkutan agar diperoleh keuntungan maksimum, persoalan
transportasi, jumlah teknisi yang harus digunakan agar produktivitas maksimum dan
yang tidak kalah penting adalah strategi yang harus digunakan dalam menghadapi
pesaing. Sehingga dengan mengetahui permasalahan yang ada dalam suatu
perusahaan akan dapat dilakukan penilaian kinerja agar tujuan yang ditetapkan
perusahaan dapat tercapai.
Pengelola sebuah perusahaan harusnya bisa mengabil sebuah keputusan yang
tepat dalam mengambil sebuah keputusan guna mengatasi permasalah tersebut.
Keputusan yang diambil oleh pengelola selayaknya merupakan keputusan yang
memberikan keuntungan yang semaksimal mungkin. Guna memperoleh keputusan
yang optimal PT State menunjuk sebuah jasa konsultan sebagai sebuah alternative
mengukur kinerja perusahaannya dan memberikan alternatif solusi bagi masalah
yang terjadi di PT State. Pengunaan jasa konsultan ini diharapkan agar PT State
dapat mencapai produktivitas, efisiensi dan efektivitas yang tinggi.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan yang dialami oleh PT State adalah terkait dengan permasalahan
Markov Chain , Linear Programming , Persoalan Transportasi ,Teori Antrian ,
Knapsack , Stagecoach dan Game Theory. Evaluasi dilakukan agar diperoleh solusi
dari masalah agar PT State dapat mencapai kondisi perusahaan yang optimal.
2
1.3 Batasan Masalah
Masalah yang ada pada perusahaan diselesaikan dengan menggunakan Penelitian
Operasional seperti Markov Chain , Linear Programming , Persoalan Transportasi
,Teori Antrian , Knapsack , Stagecoach dan Game Theory
1.4 Tujuan Penulisan
Tujuan Penulisan laporan ini adalah :
Memberikan solusi atas permasalahan yang terjadi dalam PT State.
Memberi solusi yang dapat memberikan keuntungan maksimal untuk PT
State
Mengevaluasi kinerja perusahaan
1.5 Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, dan sistematika
penuliasan laporan
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Berisi teori-teori dan metode yang digunakan, meliputi Markov Chain , Linear
Programming , Persoalan Transportasi ,Teori Antrian , Knapsack , Stagecoach dan
Game Theory.
BAB III PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
Berisi data yang ada di dalam PT State, yang akan digunakan untuk mengevaluasi
kinerja.
BAB IV ANALISIS
Berisi analisis atas pengolahan data dan solusi yang diperoleh.
BAB V PENUTUP
Berisi kesimpulan dan saran terhadap PT State
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Teori Marcov
Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa
digunakan untuk melakukan pemodelan (modelling) bermacam-macam sistem dan
proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-
perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar
perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu.
Teknik ini dapat digunakan juga untuk menganalisis kejadian-kejadian di waktu-
waktu mendatang secara matematis. Analisa Markov hampir sama dengan decision
analysis, bedanya adalah analisa rantai Markov tidak meberikan keputusan
rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan
yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusan.
(Diktat kuliah OR2 2002, halaman 52)
2.1.1 Syarat Penerapan Analisa Rantai Marcov
Untuk dapat menerapkan analisa rantai Markov ke dalam suatu kasus, ada
beberapa syarat yang harus dipenuhi :
Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama
dengan 1
Probabilitas probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipasi
dalam sistem
Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu
Kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu
Dengan demikian, analisa rantai Markov bukanlah teknik optimisasi, tetapi
adalah teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa
mendatang. Markov Chain bisa diterapkan diberbagai bidang antara lain
ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan lain-lain. Dalam
4
realita, penerapan analisa Markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit
menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk
analisa Markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus
konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi
dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem). Apabila suatu kejadian
tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari berbagi kemungkinan
kejadian, maka rangkaian ekesperimen tersebut disebut Proses Stokastik.
Proses dikatakan terhingga (finite) apabila seluruh kemungkinan kejadian
yamg dapat terjadi, terhingga. Terdapat banyak tipe Proses Stokastik dan
dikelompokkan berdasarkan sifat-sifat fungsi peluangnya.
(Diktat kuliah OR2 2002, halaman 52)
2.1.2 Sifat-sifat Rantai Markov
Beberapa sifat Rantai Markov adalah:
Jumlah state terbatas (0, 1, 2, , m)
Mempunyai sifat Markovian
Probabilitas transisi stasioner/steady state
Mempunyai nilai probabilitas awal P(X0 = 1) untuk semua i
2.1.3 Spesifikasi State Rantai Markov
Bila status j dapat diakses dari status i, dan status i dapat diakses dari j
maka status i dan status j saling berkomunikasi
Jika dalam Markov Chain semua status salinberkomunikasi, maka
Markov Chain adalah irreducible
Status i dikatakan recurrent jika fii = 1 sedangkan jika fii
5
2.1.4 First Passage Times
Untuk menentukan berapa periode yang dibutuhkan state i menuju state j
diberikan rumus :
jk
kjikij P1 ; untuk i j ........(2.1)
2.1.5 Probabilitas Steady State
Persamaan untuk menentukan probabilitas steady state diberikan oleh
persamaan :
m
j
m
i
ijij
j
P
0
j
0
1
n0,1,2,..., juntuk ;
0
............................................................................(2.2)
2.1.6 Expected Average Cost per Unit Time
Perkiraan biaya rata-rata per unit waktu diberikan oleh persamaan :
m
j
j
n
t
tNn
jCXCn
ELim01
1
...(2.3)
Xt merupakan biaya penyimpanan atau holding cost per periode.
2.1.7 Expected Average Cost per Unit Time for Complex Cost Function
m
j
jj
n
t
ttNn
KDXn
Lim01
1 ,1
....(2.4)
Biaya-biaya yang terdapat dalam kasus ini dapat berupa :
Biaya pesan (pada saat kekurangan stok)
Biaya pengiriman
Biaya penalti, bila demand tidak terpenuhi
6
(Diana Puspitasari,2009)
2.1.8 Software Minitab
Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun
menurut baris dan kolom. Bilangan bilangan yang terdapat di suatu matriks
disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks,
perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya
misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan
lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti
dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.
(Wikipedia, 2011)
2.2 Linear Programming
2.2.1 Programa Linear Bilangan Bulat
Programa linear berkaitan dengan teknik penyelesaian permasalahan
pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang
bersaing , dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Programa linier
merupakan teori pendukung dalam membuat suatu keputusan. Programa linier
merupakan model yang mempunyai satu fungsi objektif(tujuan) yang harus
dioptimalkan baik minimasi maupun maksimasi berdasarkan suatu set
konstrain(pembatas/kendala) tertentu.
f.objektif:
Maks/Min z=c1x1+c2x2+.+cnxn(2.5)
Subject to(s/t)
a11x1+a12x2+.+a1nxn () b1
7
am1x1+am2x2+.+amnxn () bm...(2.6)
X1 +X2,..,Xn
Xj;j=1,2,3,n=variabel keputusan
aij, bi , cj, dimana i=1,2,3,.,m adalah parameter model
a,b,c = konstanta
Solusi Model LP terdiri dari berbagai terminologi :
Solusi fisibel adalah penyelesaian yang memenuhi semua
konstrain/pembatas
Daerah fisibel adalah kumpulan dari semua solusi fisibel
Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memberikan nilai terbaik bagi
fungsi tujuan baik minimasi maupun maksimasi.
Dalam pesoalan Linear Programming ada beberapa asumsi yang harus
diperhatikan yaitu:
Asumsi kesebandingan (Proporsionality)
Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah
sebanding dengan nilai variabel keputusan dan kontribusi suatu
variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga
sebanding dengan nilai varisbel keputusan itu.
Asumsi penambahan(additivity)
Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak
bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. Kontribusi
suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas
bersifat tidak bergantung pada niali dari variabel keputusan yang lain.
Asumsi pembagian (divisibility)
Variabel keputusan dapat berbentuk bilangan pecahan.
Asumsi kepastian (certainty)
Koefisien cj,aij,dan bi diketahui nilainya.
8
(Diana Puspitasari,2009)
2.2.2 Solusi Pada Model Programa Linier
Ada 3 macam solusi pada model programa linier :
Feasible
Solusi feasible terjadi bila terdapat titik solusi yang masuk
ke daerah feasible. Daerah feasible dari programa linier adalah set
dari seluruh titik yang memenuhi seluruh pembatas, termasuk
pembatas tanda. Untuk persoalan maksimasi, solusi optimal dari
persoalan programa linier adalah suatu titik pada daerah feasible
dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Pada persoalan minimasi, solusi
optimal adalah suatu titik pada daerah feasible dengan nilai fungsi
tujuan terkecil.
Infeasible
Solusi infeasible terjadi bila tidak terdapat ruang solusi atau
tidak ada daerah yang memenuhi seluruh pembatas. Dalam hal ini
daerah feasiblenya kosong sehingga dengan sendirinya tidak ada
solusi optimum.
Unbounded
Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terbatas sehingga
nilai fungsi tujuan dapat meningkat/menurun secara tidak terbatas.
Pada umumnya, kasus ini terjadi karena kesalahan dalam
memformulasikan persoalan.
9
Gambar 2.1 Ilustrasi Grafis Solusi dalam Linier Programming
(Tjutju T.D, Operations Research ,2003, hal 41-45)
2.2.3 Programa Bilangan Bulat
Programa bilangan bulat atau Integer programming (IP) adalah bentuk
lain dari programa linier atau linier programming dimana divisibilitasnya
melemah atau hilang sama sekali . Bentuk ini muncul karena dalam
kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.
Misalnya,jika variabel keputusan yang dihadapi adalah produk yang harus
diproduksi untuk mencapai keuntungan maksimal,maka jawabannya 1
adalah sangat tidak mungkin memproduksi produk setengah-setengah. Dalam
hal ini haruslah ditentukan apakah akan memproduksi satu atau dua produk.
Pendekatan pembulatan dari solusi nilai pecahan tidak dapat memenuhi semua
kendala dan menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Integer
10
programming merupakan teknik dari linier programming dengan tambahan
persyaratan semua atau beberapa variabel bernilai bulat nonnegatif.
2.2.4 Jenis Integer Programming
Ada tiga jenis Integer programming yaitu:
Pure Integer programming (programa bilangan bulat murni)
Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahan programa linier
harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya hilang
sama sekali.
Contoh : min Z= 3x1+5x2
S/t 2x1+4x2 4
3x1+2x2 5
x1,x2 0 , x1,x2integer
Mixed Integer programming (programa bilangan bulat campuran)
Apabila sebagian variabel keputusan dari permasalahan programa
linier harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya
melemah.
Contoh : min Z= 3x1+5x2
S/t 2x1+4x2 4
3x1+2x2 5
x1,x2 0 , x2integer
Zero one Integer programming (programa bilangan bulat nol satu)
Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahan programa linier
harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya hilang
sama sekali.
Contoh : min Z= 3x1+5x2
S/t 2x1+4x2 4
3x1+2x2 5
x1,x2= 0 atau 1
(Tjutju T.D, Operations Research ,2003)
11
2.2.5 Metode Pemecahan Programa Bilangan Bulat
1.Metode Grafis
Metode ini sama seperti pada pemecahan dalam bentuk grafis,namun
dengan tambahan pembatas sebagian atau semuanya bilangan bulat. Metode
ini kadang tidak mampu memberikan solusi yang optimal sesuai yang diminta.
2.Metode Round Off
Metode ini memberikan cara kolot terhadap permasalahan programa
bilangan bulat yakni dengan melakukan pembulatan ( Round Off ) terhadap
solusi optimal bila dimngkinkan Namun metode ini kadang tidak memberikan
metode yang optimal.
3.Metode Branch and Bound
Metode ini dilakukan dengan mengibaratkan suatu permasalahan senagai
pohon,kemudian permasalahan tersebut dibuat percabangan (Branching )
kedalam subset yang lebih kecil. Dari subset tersebut diselesaiakan dengan
membatasi (bounding) solusi optimal dari subset-subset yang lain. Apabila
suatu subset sudah tidak dapat memberikan informasi yang berguna ,maka
subset tersebut dikatakan fathomed. Jadi metode ini dilakukan dalam 3 tahap :
Branching
Bounding
fathomed.
Metode ini sangat baik diterapkan pada pure maupun mixed integer
programming.
( Diana Puspitasai,2009)
12
2.3 Transportasi
Metode transportasi dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa persoalan
optimasi. Persoalan transportasi berkenaan dengan pemilihan route (jalur)
pengangkutan yang mengakibatkan biaya total daripengangkutan itu minimum.
Perumusan persoalan pertama kali dikemukakan oleh F.L. Hitchock pada tahun
1941, kemudian diperluas oleh T.C. Koopmans. Padatahun 1953, W.W. Cooper dan
A. Charnes mengembangkan metode STEPPING-STONE, dan selanjutnya pada
tahun 1955, sebagai modifikasi dari metode Stepping-Stone, dikembangkan metode
MODI (MODIFIED DISTRIBUTION)
Model transportasi berkaitan dengan suatu situasi dimana suatukomoditas
hendak di kirim dari sejumlah sources ( sumber ) menuju kesejumlah destination
(tujuan ). Tujuan dari persoalan tersebut adalah menentukan jumlah komoditas yang
harus di kirim dari tiap-tiap source ke tiap-tiap destination sedemikian hingga biaya
total pengiriman dapat diminimumkan, dan pada saat yang sama pembatas yang
berupa keterbatasan pasokan dan kebutuhan permintaan tidak dilanggar.
(Setiawan ; 2006)
Secara umum persoalan transportasi dapat di gambarkan sebagai berikut :
Gambar 2.2 Model Dasar Model Dasar Transportasi
Transportasi adalah model pemindahan penumpang atau barang dari satutempa
ke tempat lain. Menurut Taha (1996; 202) sesuai dengan namanya, model ini
13
berkaitan dengan penentuan rencana biaya terendah untuk mengirim
susuatudari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.
Data ini mencakup:
a. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap
tujuan.
b. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.
Tujuan dari model menentukan jumlah yang harus dikirim dari setiap sumber
kesetiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total
diminimumkan. Menurut Tarliah (1999; 129) ciri-ciri khusus transportasi
adalah sebagai berikut:
1. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan.
2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber
dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan
besarnya sesuai dengan permintaan dan kapasitas sumber.
4. Biaya transportasi komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya
tertentu.
Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan dalam gambar 2.1
berikut ini :
Misalkan ada sumber dan n buah tujuan.
14
Gambar 2.3 Diagram Model Transportasi
Keterangan:
- Masing-masing sumber mempunyai kapasitas = 1,2,3, m.
- Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak, bj, j = 1,2,3,... n.
- Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber I ke tujuan J. adalah
sebanyak xij.
- Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan j adalah cij.
Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut:
Meminimkan: Max.z = (2.7)
Berdasarkan pembatas : =1 = ai, i = 1, 2, , m.
=1 = aj, i = 1, 2, , m.
xij > 0 untuk seluruh i dan j
Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m = 2, n = 3)
Formulasi matematis :
Min Z = C11X11+ C12X12+ C13X13+ C21X21+ C22X22+ C23X23
15
Berdasarkan pembatas(S/t):
X11+X12+X13 = a1
X21+X22x+X23 = a2 (2.8)
X11+X21 = b1
X12+X22 = b2
X13+X23 = b3
Dan matriks persoalan transportasinya adalah sebagai berikut :
(Pdf Universitas Gunadarma, 2009)
2.3.1 Metode Transportasi
Dalam penyelesaian persoalan transportasi, harus dilakuan langkah-langkah
sebagai berikut:
o Tentukan solusi fesibel awal.
o Tentukan entering variable dari variable-variabel non basis. Bila
semua variable sudah memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila
belum, lanjutkan langkah c.
o Tentukan leaving variable diantara variable-variebel basis yang ada,
kemudian hitung solusi baru. Kembali ke langkah b.
Menentukan solusi fesibel awal.
Ada beberapa metode yang digunakan untuk menentukan solusi fesibel
awal yaitu :
1. Metode North West Corner Method
Metode North West Corner Method diperkenalkan oleh Charnes dan
Cooper, kemudian dikembangkan oleh Danzig. Caranya sebagai berikut :
Pembatas sumber
Pembatas tujuan
16
o Mulai dari pojok barat laut pada tabel persoalan transportasi.
o Teruskan langkah ini, setapak demi setapak, menjauhi pojok barat
laut, sehingga akhirnya harganya telah dicapai pada pojok
tenggara dari tabel.
(Siagian, 1987; 159)
2. Metode Ongkos Terkecil (Least Cost Method)
Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut :
o Identifikasi sel dalam tabel transportasi dengan biaya terendah, dan
alokasikan sebanyak mungkin arus sel lain. Bila ada pertalian, pilih
sel yang berhubungan dengan busur dimana paling banyak unit
yang dikirim. Bila masih terdapat pertalian, pilih salah satu dari sel
yang bertalian.
o Kurangi baris penawaran dan kolom permintaan sebesar jumlah
arus yang dilokasikan ke sel yang diidentifikasikan dalam langkah
a.
o Bila semua baris penawaran dan kolom permintaan telah habis,
STOP. Bila tidak dilanjutkan dengan d.
o Bila baris penawaran sekarang nol, hapus garis itu dari
pertimbangan lebih lanjut dengan menggambar satu garis
melaluinya.Jika kolom permintaan nol, hapus kolom itu dan
menggambar garis yang melaluinya.
o Teruskan dengan langkah a untuk semua baris dan kolom yang
tidak bergaris.
(Anderson, dkk, 1993; 326)
3. Metode Vogel ataua Vogel Aproximation Method (VAM)
Metode Vogel merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk
mengatur alokasi dari beberapa sumber ke beberapa daerah pemasaran.
Menurut Subagyo, dkk, (1990; 100) langkah-langkah untuk
mengerjakannya adalah sebagai berikut :
17
o Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber dan biaya
pengangkutan kedalam matriks.
o Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dari nilai absolute), yaitu
biaya terkecil kedua untuk setiap baris dan kolom.
o Pilih satu nilai perbedaan-perbedaan tersebut diantara semua nilai
perbedaan pada kolom dan baris.
o Isilah pada satu segi empat yang termasuk dalam kolom atau baris
terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah diantara segi
empat yang lain pada kolom atau baris itu. Isinya sebanyak mungkin
yang bisa dilakukan.
o Hilangkan baris atau kolom tersebuat karena baris tersebut sudah
diisi sepenuhnya sehingga tidak mungkin diisi lagi.
o Tentukan kembali perbedan (selisih) biaya pada langkah b untuk
kolom dan baris yang belum terisi. Ulangi langkah c sampai dengan
langkah e, sampai semua kolom dan baris teralokasi.
o Setelah terisi semua, hitung biaya transportasi secara keseluruhan.
4. Penyelesaian Optimalisasi.
Metode yang digunakan untuk uji optimalisasi adalah:
a. Metode Batu Loncatan (Stepping Stone)
Untuk menentukan entering variable dan leaving variable terlebih
dahulu dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variable non basis. Loop
tersebut berawal dan berakhir pada variable non basis, dimana setiap
sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh
variable-variabel basis dalam tabel transportasi. Loop digunakan
untuk memeriksa kemungkinan diperolehnya penurunan ongkos jika
variable non basis dimasukkan menjadi basis. Cara yang dilakukan
adalah dengan memeriksa semua variabel non basis yang terdapat
dalam suatu interaksi, sehingga dapat ditentukan entering variable.
b. Metode MODI (Modified Distribution)
18
Metode MODI tidak lain dari algoritma batu loncatan (Stepping Stone)
dengan teknik yang sudah diperhalus untuk menghitung indeks yang
akan ditingkatkan. Perbedaan antara kedua cara ini terletak pada
langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang
mana terdapat jejak tertutup yang akan ditelusuri. Metode MODI
menghitung indeksi yang akan ditingkatkan ialah tanpa
menggambarkan semua jejak tertutup. Cara MODI cukup menelusuri
satu saja jejak tertutup. Sama seperti pada batu loncatan, dalam cara
MODI dengan aturan pojok barat laut. Sesudah itu baru diteruskan
dengan cara MODI dengan melakukan langkah-langkah penyelesian
secara berurutan.
Adapun langkah-langkahya sebagai berikut :
1. Mengetes kemerosotan, alat tes ialah dengan menguji apakah (m + n
1) sama dengan jumlah sel yang terisi. Apabila jumlah sel yang terisi
sama maka bukan persoalan merosot, tapi bila jumlah sel yang terisi
tidak sama maka persoalan merosot, dan pemecahannya dilakukan
seperti pada batu loncatan.
2. Menghitung harga indeks A dan T.
Langkah kedua adalah menghitung bilangan indeks, baik indeks
baris(Ai) mauun indeks kolom (Tj ). Ini dilaksanakan dengan menitik
beratkan pada sel yang sudah terisi, dimana berlaku rumus :
Ai + Tj = Cij, i, j = 1, 2, 3.....(2.9)
Dimana:
Ai = Indeks baris
Tj = Indeks kolom
Cij = Harga dari tiap sel (i, j) yang terisi
3. Menghitung indeks yang ditingkatkan atau sel yang tidak terisi.
19
Langkah ini dilakukan begitu harga baris dan kolom sudah dihitung
menggunakan sel yang sudah terisi. Langkah ini dapat dilakukan
dengan menggunakan rumus :
Iij = Cij Ai Tj..(2.10)
Dimana :
Iij = Indeks yang akan ditingkatkan untuk tiap sel yang belum terisi
Cij = Biaya pada baris ke i dan kolom ke j yang belum terisi
Ai = Baris ke i
Tj = Kolom ke j
4. Jawab Optimal
Untuk mendapat jawaban optimal, kalau semuanya sudah positif.
Apabila sudah dicapai keadaan dimana :
Ai + Tj < atau Iij > 0
Dimana i = 1, 2, .. m, j = 1, 2, n.
Maka jawab optimal sudah dicapai.
(Tarliah1999; 133)
Contoh persoalan transportasi:
1.Menyusun tabel transporasi
2.Penyelesaian Awal (Metoda sudut barat laut)
20
3. Uji Perbaikan
Uji perbaikan pada segi empat WB:
Bagaimana seandainya ditempatkan muatan ke segi empat WB? Jika
satu muatan akan ditempatkan pada segi empat WB, maka harus
dikurangi satu muatan dari segi empat WA, ditambah satu muatan pada
segiempat YA dan dikurangi satu muatan pada segi empat YB (supaya
total kapasitas dan total kebutuhan/ jumlah ke kanan dan jumlah ke
bawah tetap)
Perhatian sekarang pada segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB.
Jika satu muatan ditempatkan pada segi empat WB, maka penempatan
sekarang menjadi
21
Lakukan perbaiakan secara terus menerus hingga diperoleh hasil akhr
sebagai berikut :
4.Memilih Segiempat dengan kotak perbaikan paling bagus
Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki
indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi
empat XC inilah yang dipilih.
22
(Tarliah, 1999; 137)
2.4 Teori Permainan
Teori permainan adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari interaksi
antar agen, di mana tiap strategi yang dipilih akan memiliki payoff yang berbeda
bagi tiap agen. Pertama kali dikembangkan sebagai cabang tersendiri dari ilmu
matematika oleh Oskar Morgenstern dan John von Neumann, cabang ilmu ini telah
berkembang sedemikian pesat hingga melahirkan banyak tokoh peraih nobel, seperti
John Nash (AS), Reinhard Selten (Jerman), dan John Harsanyi (AS) pada tahun
1999 dan Thomas Schelling (AS), Robert Aumann (Israel) pada tahun 2005, dan
Leonid Hurwicz (Amerika Serikat) pada tahun 2007.
2.4.1 Model Teori Permainaan
Model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti
jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian serta jumlah strategi yang
digunakan dalam permainan.
Permainan Dua-Pemain : bila jumlah pemain adalah dua.
Jika jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan
jumlah- nol! Atau jumlah-konstan. Sebaliknya bila tidak sama dengan nol,
permainan disebut permainan bukan jumlah nol (non zero zum game)
2.4.2 Unsur Dasar Teori Permainan
23
Angka dalam matriks pay off merupakan hasil dari strategi
permainan yang berbeda.
Suatu strategi permainan merupakan suatu kegiatan menyeluruh dari
pemain sebagai aksi maupun reaksi yang akan diberikan.
Aturan permainan menunjukan kerangka dari strategi masing-
masing.
Strategi dikatakan dominan apabila suatu pay off dalam strategi
superior terhadap pay off yang lain.
Strategi optimal merupakan kegiatan menyeluruh yang memberikan
keuntungan maksimal.
2.4.3 Penyelesaian Masalan Teori Permainan
Strategi Murni (Pure Strategy Game)
Dalam strategi Murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah
dengan menggunakan strategi tunggal.Melalui aplikasi kriteria maximin
dan kriteria minimax.Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum
dari minimaks baris dan minimum dari minimaks kolom, titik ini
dikenal sebagai titik pelana (saddle point).
Strategi Campuran (Mixed Strategy Game)
Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila
strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah
permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang
optimal bagi masing-masing pemain/perusahaan. Dalam strategi ini
seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran/lebih
dari satu strategi untuk mendapatkan hasil optimal
(Diana Puspita, 2009)
2.4.4 Software Gambit
Gambit adalah library perangkat lunak teori permainan dan alat-alat untuk
pembangunan dan analisis permainan yang luas dan strategis terbatas.
Gambit dirancang untuk menjadi portabel di seluruh platform, dan berjalan
24
pada Linux, Mac OS X, dan Windows. Proyek Gambit menyediakan:
Sebuah antarmuka pengguna grafis, berdasarkan perpustakaan wxWidgets,
menyediakan antarmuka umum dengan asli tampilan dan nuansa seluruh
platform. Sebuah perpustakaan C + + kode sumber untuk mewakili game,
cocok untuk digunakan dalam aplikasi lain. Sebuah API Python untuk
aplikasi scripting. Sebuah antarmuka pengguna berbasis browser baru,
Game Theory Explorer (GTE), untuk masukan dari permainan yang luas
dan strategis.
(Wikipedia, 2011)
2.5 Teori antrian
Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digunakan
untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali diperkenalkan oleh
seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (1878-1929). Proses
antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelangan
pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam suatu baris atau antrian
karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya meninggalkan sistem setelah selesai
dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan sistem antrian adalah himpunan pelanggan,
pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan
masalahnya
2.5.1 Elemen Sistem Antrian
Elemen sistem antrian merupakan komponen yang merupakan bagian atau anggota
dari sistem antrian, yaitu :
Pelanggan
Pelanggan adalah orang atau barang yang menunggu untuk dilayani. Arti
dari pelanggan tidak harus berupa orang, misalnya saja antrian pada loket
pembayaran di supermarket.
Pelayan
25
Pelayan adalah orang atau sesuatu yang memberikan pelayanan. Seperti
halnya pelanggan, pelayan juga tidak harus berupa orang. Misalnya pada
pengambilan uang melalui ATM, mesin ATM dalam hal ini merupakan
pelayan.
Antrian
Antrian merupakan kumpulan pelanggan yang menunggu untuk dilayani.
(Diana Puspita, 2009)
2.5.2 Karakteristik Antrian
Karakteristik yang dapat dilihat dari suatu sistem antrian antara lain :
Distribusi kedatangan ( kedatangan tunggal atau kelompok) Distribusi
kedatangan dari pelanggan dapat dilihat dari waktu antar kedatangan 2
pelanggan yang berurutan (interarrival time) . Pola kedatangan ini dapat
bersifat deterministik ( pasti) maupun stokastik (acak).
Distribusi waktu pelayanan (pelayanan tunggal atau kelompok) Distribusi
pelayanan dapat bersifat deterministik maupun stokastik. Waktu pelayanan
yang sifatnya tetap disebut deterministik.
Sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan) Pada rancangan
sarana pelayanan ini, didalamnya termasuk juga jumlah server (pelanggan)
yang dimiliki oleh sistem pelayanan.
Peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO) dan prioritas pelayanan
Peraturan yang dimaksud adalah prosedur yang dapat digunakan oleh para
pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dari antrian.
Ukuran antrian (terhingga atau tidak terhingga. Ukuran antrian artinya
jumlah maksimum pelanggan yang diijinkan berada dalam sistem
pelayanan (dalam antrian dan dalam pelayanan).
Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga) Ukuran sumber
pemanggilan merupaka ukuran populasi yang potensial untuk menjadi
pelanggan (calling population).
26
Perilaku manusia (perpindahan, penolakan, atau pembatalan). Dalam
sistem antrian, terkadang terjadi perilaku pelanggan yang keluar dari
prosedur. Reneging (pembatalan) yaitu meninggalkan antrian sebelum
dilayani, balking (penolakan) yaitu menolak untuk memasuki antrian.
2.5.3 Tata Letak Model Antrian
Singel Chanel Single Phase
Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa
hanya adasatu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu
fasilitas pelayanan. Singlephase menunjukkan bahwa hanya ada satu
fasilitas pelayanan. Single phasemenunjukkan bahwa hanya ada satu
stationpelayanan atau sekumpulan tunggaloperasi yang dilaksanakan.
Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar darisistem.
Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian
tiket kertetaapi antarkota kecil yang dilayani oleh satu loket, seorang
pelayan took, dan sebagainya.
Single channel-Multiphase
Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang
dilaksanakansecara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh, lini
produksi massa, pencucianmobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.
Multichannel-Single Phase
Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih
fasilitaspelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini
adalah pembeliantiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan
potong rambut oleh beberapatukang potong, dan sebagainya.
Multichannel-Multiphase
Contoh model ini yaitu herregistrasi para mahasiswa di universitas,
pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa,
penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai
beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu
individu dapat dilayani pada suatu waktu. Pada umumnya, jaringan antrian
27
ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian,mungkin simulasi
lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini.
2.5.4 Proses Kelahiran dan Kematian
Kelahiran adalah kedatangan unit yang baru dalam system antrian sedangkan
kematian adalah kepergian unit yang telah dilayani. Proses kelahiran-kematian
biasanya digunakan untuk menganalisa sistemsistemyang bersifat masa seperti
sistem jaringan telekomunikasi dan komputer(dimana sistem mempunyai
pelanggan dalam jumlah besar). Proses ini cocokuntuk pemodelan perubahan-
perubahan pada jumlah populasi.
2.5.5 Ukuran Steady State Kinerja Antrian
Kondisi transient berlaku ketika perilaku sistem terus bergantung pada waktu,
seperti halnya proses kelahiran murni dan kematian murni. Sedangkan antrian
dengan gabungan kedatangan dan keberangkatan dimulai berdasarkan kondisi
transient dan secara bertahap mencapai kondisi steady state setelah cukup
banyak waktu berlalu, asalkan paremeter dari sistem tersebut memungkinkan
dicapainya steady state (laju kedatangan > laju pelayanan tidak akan
mencapai steady state tanpa bergantung pada waktu yang telah lalu, karena
ukuran antrian akan meningkat dengan waktu)
(Diana Puspita, 2009)
2.5.6 Struktur Model Antrian
Teori antrian bertujuan untuk mengetahui / menentukan besaran kinerja
system antrian.Kinerja system dapat kita lihat dari:
Paanjang antrian rata-rata
Jumlah pelanggan rata-rata dalam SA
Waktu tunggu (waktu antri rata-rata)
Waktu rata-rata sekarang pelanggan dalam system antrian
28
Adapun dasar karakteristik operasi dari sistem M/M/s/K ini adalah :
1. Probabilitas sistem menganggur
K
sn
Snsns
n Ssn
P
!
1
!
1
10
1
0..(2.11)
2. Jumlah maksimum pelanggan yang berada dalam antrian (Q)
3. Jumlah maksimum pelanggan yang berada dalam sistem
K = Q + s...(2.12)
4. Probabilitas n pelanggan dalam sistem antrian
Pn = P(n-1)n
1
untuk n s, Pn = P(n-1)
s
1
untuk s < n K.(2.13)
5. Probabilitas seorang pelanggan datang dan menunggu dalam antrian
Pw =
2
)(nP
untuk n s(2.14)
6. Jumlah pelanggan yang diperkirakan berada di dalam antrian
Lq =
SSK
SP
SS
SSK
111
1!
02
2
.(2.15)
7. Jumlah pelanggan yang diperkirakan berada didalam sistem :
Karena mekanisme pelayanan memuat lebih dari satu pelayanan dimana
tiap saluran mempunyai laju sama dengan , maka laju pelayanan
seluruh mekanisme pelayanan di dalam sistem ialah dikalikan dengan
jumlah saluran yaitu s. Karena itu s disebut
laju pelayanan mekanisme dan disebut laju pelayanan saluran. Jadi
untuk sistem saluran ganda kita peroleh :
L = Lq +
(1 P(K) )................................................................(2.16)
8. Jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam masa sibuk
29
Lb =)( snP
Lq
=
Pw
Lq
.. .(2.17)
9. Waktu dalam masa sibuk
Wb = )( snP
Wq
=
Pw
Wq
..(2.18)
10. Waktu menunggu yang diperkirakan bagi pelanggan untuk berada di
dalam antrian :
Wq =
Lq
(1 P(k)).....(2.19)
11. Tingkat kedatangan efektif
Ef = )()( nPn
12. Rata-rata pelanggan yang tidak terlayani karenasistem dalam keadaan
penuh(B)
B = - Tingkat kedatangan efektif....(2.20)
13. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat server dalam
keadaan sibuk per satuan waktu
Cs(L Lq) = Csp....(2.21)
14. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat server dalam
keadaan menganggur (idle) per satuan waktu
A = Ci(s - ) = Ci(s L + Lq)........................................................(2.22)
15. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan
menunggu dalam antrian per satuan waktu
B = CwWq( )()( nPn )..(2.23)
16. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan
mendapatkan pelayanan per satuan waktu
C = Cu(W Wq)( )()( nPn )....(2.24)
17. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan tidak
terlayani karena sistem dalam keadaan penuh
30
D = CbB...(2.25)
18. Biaya total yang dikeluarkan saat server dalam keadaan sibuk
E = Cs ( L Lq ) .(2.26)
19. Total biaya yang dikeluarkan
A + B + C + D + E...(2.27)
(Diana Puspita, 2011)
2.5.7 Software QA
Perangkat lunak (QA) terdiri dari alat pemantauan proses rekayasa perangkat
lunak dan metode yang digunakan untuk memastikan kualitas. Metode yang
dicapai banyak dan beragam, dan mungkin termasuk memastikan kesesuaian
dengan satu atau lebih standar, seperti ISO 9000 atau model seperti CMMI.
QA meliputi seluruh proses pengembangan perangkat lunak, yang mencakup
proses seperti definisi persyaratan, perancangan perangkat lunak, coding,
kontrol kode sumber, review kode, manajemen perubahan, manajemen
konfigurasi, pengujian, manajemen rilis, dan integrasi produk. SQA diatur
menjadi gol, komitmen, kemampuan, kegiatan, pengukuran, dan verifikasi.
(Wikipedia, 2011)
2.7 Programa Dinamis
Pemrograman dinamis ini pertama kali dikembangkan oleh seorang ilmuwan
benama Richard Bellman pada tahun 1957. Apabila dalam riset operasional yang
lain, memiliki formulasi standar untuk memecahkan masalah, maka dalam
pemrograman dinamis ini tidak ada formulasi yang standar, artinya setiap masalah
dalam pemrograman dinamis memerlukan pola pendekatan atau penyelesaian yang
berbeda satu dengan lainnya. Oleh karena itu perlu berlatih soal sebanyak mungkin
untuk mendapatkan banyak bentuk penyelesaian kasus yang berbeda-beda.
Pemrograman dinamis adalah teknik matematik yang dapat diterapkan pada
berbagai jenis persoalan. Ia dapat digunakan untuk menyelesaikan pesoalan dalam
area seperti alokasi, pemuatan kargo, penggantian, pembuatan jadwal, dan
inventory. Meskipun demikian, program dinamik adalah 'pendekatan' untuk
31
penyelesaian persoalan dan bukan algoritma tunggal yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan semua jenis persoalan. Jadi, diperlukan algoritma terpisah untuk
menyelesaikan setiap jenis persoalan.
Pendekatan program dinamik meliputi optimisasi proses keputusan multi tahap,
yaitu membagi suatu persoalan ke dalam tahap-tahap atau sub problem dan
kemudian menyelesaikan sub problem itu secara berurutan sampai persoalan awal
akhirnya dapat diselesaikan. Jantung pendekatan program dinamik adalah asas
optimalitas Bellman yang mengatakan bahwa suatu kebijaksanaan optimal
mempunyai sifat bahwa apapun keadaan awal atau keputusan awal,keputusan tersisa
harus merupakan kebijaksanaan optimal terhadap keadaan yang dihasilkan
keputusan pertama.
Karakteristik Persoalan Program Dinamis
Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap
tahap hanya diambil satu keputusan.
Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan
dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam
kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.
Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari
status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.
Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan
bertambahnya jumlah tahapan.
Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah
berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.
Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan
yang dilakukan pada tahap sebelumnya.
Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik
untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap
status pada tahap k + 1.
Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut
32
(Haryanto,2008)
2.7 Stagecoach
Masalah stagecoach adalah masalah klasik dalam programa dinamis. Latar belakang
untuk masalah ini adalah diibaratkan sebagai seorang salesman. Dia bepergian dari
kota S ke kota kota T, namun tidak ingin membayar lebih untuk transportasi dari
yang diperlukan. Sarana transportasi stagecoache, yang dijadwalkan antara kota-
kota kecil di daerah itu. Biaya perjalanan yang dapat ditemukan dengan
menambahkan ongkos perjalanan. Mengingat peta skematis dari rute yang mungkin
dalam bentuk grafik di bawah ini dengan biaya dari individu membentang terkait
dengan busur, masalah dapat dirumuskan sebagai mencari biaya total jalur termurah
dari S ke T dalam grafik. Tujuan dari metode ini adalah mencari biaya termurah
yang dapat dirumuskan. Pertama kita mendefinisikan grafik dengan biaya perjalanan
termurah dari n ke T. Kemudian mencari biaya minimum yang berasal dari
rangkaian rute.
( Harianto, 2008)
2.8 Persoalan Knapsack
Knapsack Problem merupakan suatu persoalan yang menarik untuk diteliti dan
diimplementasikan pada situasi nyata. Persoalan ini banyak diterapkan pada situasi
nyata utamanya pada bidang jasa, seperti pengangkutan barang pada peti kemas atau
dalam skala kecil pada pengangkutan barang dalam kemasan. Inti dari permasalahan
ini adalah bagaimana menentukan kombinasi barang yang akan diangkut untuk
memperoleh keuntungan yang maksimal, dengan pertimbangan tidak melebihi
kapasitas alat angkut yang digunakan. Distribusi barang merupakan sebuah proses
pengiriman barang dari pemasok atau pabrik ke konsumen. Dalam proses ini
tentunya dikeluarkan biaya dalam proses pengiriman, apalagi jarak antar tempat
pengiriman berbeda-beda dan cukup jauh. Agar biaya yang dikeluarkan sedikit dan
memperoleh keuntungan yang maksimal, maka barang-barang yang didistribusikan
sebaiknya dipilih secermat mungkin. Sebagai contoh adalah pada pendistribusian
buah dalam kemasan. Untuk optimalisasi proses distribusi, maka hal-hal yang perlu
33
diperhatikan adalah berat dan volume buah, waktu keawetan, tingkat kebutuhan
pasar, dan keuntungan dari tiap buah kemasan.
(Adityawan, 2009).
Knapsack Problem merupakan masalah optimasi kombinatorial. Sebagai contoh
adalah suatu kumpulan barang masing-masing memiliki berat dan nilai, kemudian
akan ditentukan jumlah tiap barang untuk dimasukkan dalam koleksi sehingga total
berat kurang dari batas yang diberikan dan nilai total seluas mungkin (wikipedia,
2009). Knapsack problem merupakan salah satu dari persoalan klasik yang banyak
ditemukan dalam literatur-literatur lama dan hingga kini permasalahn tersebut masih
sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh nyata dari Knapsack
Problem ini misalnya, jika ada seorang pedagang barang kebutuhan rumah tangga
yang berkeliling menggunakan gerobak. Tentu saja gerobaknya memiliki kapasitas
maksimum, sehingga ia tidak bisa memasukkan semua barang dagangannya dengan
seenak hatinya. Pedagang tersebut harus memilih barang-barang mana saja yang
harus ia angkut, dengan pertimbangan berat dari barang yang dibawanya tidak
melebihi kapasitas maksimum gerobak dan memaksimalkan profit dari
barangbarang yang dibawa (Adit, 2009). Sebuah Knapsack memiliki kapasitas total
V, dimana terdapat n buah item berbeda yang dapat ditempatkan dalam knapsack.
Item i memmiliki bobot vi dan profitnya bi. Jika Xi adalah jumlah item i yang akan
dimasukkan dala Knapsack yaitu bernilai 1 dan 0, maka secara umum tujuan yang
harus tercapai adalah:
34
Dimana V: keuntungan
w: Berat
X : barang
W: Kapasitas Knpasack
Tujuan Knapsack problem adalah agar mendapatkan keuntungan yang maksimum
dari pemilihan barang tanpa melebihi kapasitas daya tampung media transportasi
tersebut.
Penyelesaian Knapsack dengan Greedy :
1. Greedy by Profit
Pada setiap langkah Knapsack diisi dengan obyek yang mempunyai keuntungan
terbesar. Strategi ini mencoba memaksimumkan keuntungan dengan memilih
objek yang paling menguntungkan terlebih dahulu. Pertama kali dilakukan
adalah menurutkan secara menurun obyek-obyek berdasarkan profitnya.
Kemudian obyek-obyek yang dapat ditampung oleh knapsack diambil satu
persatu sampai knapsack penuh atau (sudah tidak ada obyek lagi yang bisa
dimasukan).
2. Greedy by Wight
Pada setiap langkah, knapsack diisi dengan objek yang mempunyai berat paling
ringan. Strategi ini mencoba memaksimumkan keuntungan dengan memasukan
35
sebanyak mungkin objek kedalam knapsack. Pertama kali yang dilakukan
adalah mengurutkan secara menaik objek-objek berdasarkan weight-nya.
Kemudian obyek-obyek yang dapat ditampung oleh knapsack diambil satu
persatu sampai knapsack penuh atau (sudah tidak ada obyek lagi yang bisa
dimasukan).
3. Greedy By Density
Pada setiap langkah, knapsack diisi dengan obyek yang mempunyai densitas
terbesar (perbandingan nilai dan berat terbesar). Strategi ini mencoba
memaksimumkan keuntungan dengan memilih objek yang mempunyai
keuntungan per unit berat terbesar. Pertama kali yang dilakukan adalah mencari
nilai profit per unit/ density dari tiap-tiap objek. Kemudian obyek-obyek
diurutkan berdasarkan densitasnya. Kemudian obyek-obyek yang dapat
ditampung oleh knapsack diambil satu persatu sampai knapsack penuh atau
(sudah tidak ada obyek lagi yang bisa dimasukan).
(wikipedia, 2009)
36
BAB III
PROFILE COMPANY
3.1 Sejarah Perusahaan
Power Synergic Consultant berdiri pada tahun 2013 sebagai biro konsultan lepas
untuk Sistem Manajemen Mutu. Power Synergic Consultant sebagai perusahaan swasta
yang bergerak di manajemen perdagangan umum, dan konsultan manajemen selalu
menekankan pada aspek profesional, berorientasi pada kualitas dan ketepatan waktu
untuk melayani kebutuhan yang makin berkembang dalam manajemen perusahaan agar
semakin maju. Dengan usia perusahaan yang relatif muda, Power Synergic Consultant
mempunyai visi untuk menjadi perusahaan terbaik yang bisa menyelesaikan semua
masalah perusahaan, baik dari perusahaan dengan skala kecil hingga skala besar
sehingga tujuan perusahaan dapat tercapat dengan maksimal, sesuai dengan motto kami
: The Right Solution for Your Business Needs.
3.2 Logo Perusahaan
Arti Lambang :
Bola dengan garis garis di dalamnya memberikan arti perusahaan yang bersinergi dalam
segala aspek dan selalu bekerjasama dalam mencapai tujuan. Warna orange
melambangkan sosialisasi, penuh harapan dan percaya diri, membangkitkan semangat,
37
vitalitas dan kreatifitas. Warna biru melambangkan kestabilan dan konsistensi
perusahaan dalam kompetensinya untuk melaksanakan tugas. Warna hijau
melambangkan bersinergi dengan lingkungan sekitar dan sebagai symbol keseimbangan
pada perusahaan.
3.3 Visi dan Misi Perusahaan
Visi
Menjadi perusahaan business consultant terbaik yang bisa menyelesaikan semua
masalah perusahaan, baik dari perusahaan dengan skala kecil hingga skala besar
sehingga tujuan perusahaan dapat tercapat dengan maksimal.
Misi
Memberikan pelayanan yang terbaik bagi seluruh klien kami dan memeberikan
solusi terbaik untuk memecahkan masalah yang ada pada perusahaan.
3.4 Struktur Organisasi
38
BAB IV
PENGOLAHAN DATA
4.1 Pengumpulan Data
4.1.1Kasus 1:
Tujuan : Memenuhi permintaan konsumen dengan biaya paling optimal
Persoalan :
Setiap akhir minggu akan dilakukan pemeriksaan mengenai jumlah unit televise
dalam showroom, dan jika demand dating akan diterima pada awal minggu
selanjutnya. Berdasarkan kebijakan pimpinan PT Pisces bila pada akhir minggru
produk jenis Sonic dalam pemeran kurang dari 4 maka PT Pisces akan memesan
kepada PT State sebanyak 6 unit. Untuk produk televise Golden akan dilakukan
pemesanan jika jumlah televise dalam showroom kurang dari 3. Jika jumlah
televisi tinggal 2 maka probabilitas memesan 6 adalah 0.45 probabilitas
memesan 5 adalah 0.35 dan probabilitas memesan 4 adalah 0.20. Jika jumlah
televise tinggal 1 maka probabilitas memesan 7 adalah 0.50, probabilitas
memesan 6 adalah 0.35 dan probabilitas memesan 5 adalah 0.15. Jika televise
Golden habis pada akhir minggu maka probabilitas memesan 8 adalah 0.40
sedang kebijakan memesan 7 atau 6 memiliki probabilitas yang sama.
Sedangkan untuk televise Paragon akan dilakukan pemesanan jika jumlah
televise dalam showroom kurang dari 2. Jika jumlah televise tinggal 1 maka
probabilitas mememsan 5 adalah 0.45 probabilita smemesan 4 adalah 0.35dan
probabilitas memesan 3 adalah 0.20. Sedangkan jika jumlah televise paragon
habis pada akhir minggu maka probabilita smemesan 6 adalah 0.50 sedang
kebijakan memesan 5 atau 4 adalah sama.
Inventori akan menyebabkan biaya simpan yang berbeda-beda tergantung dari
jumlah inventori pada minggu itu untuk televise baik Sonic, Golden maupun
Paragon yang diinventorikan akan menimbilkan biaya simpan sebesar 5 %. Jika
permintaan konsumen tidak terpenuhi karena terbatasnbya inventori televise atau
39
inventori mengalami kerusakan, hal ini menyebabkan biaya penalty sebesar 25
% dari harga jual tertinggi dari 3 produk tersebut. Seiring dengan permintaan
terhadap produk yang semakin meningkat PT Pisces membuat suatu
perencanaan mengenai tingkat inventori. K emingkinannya adalah 5 minggu
yang akan dating masih ada 1 unit produk Sonic, Golden dan Paragon, inventori
awal habis dan kapan terjadi kondisi steady state. Demand PT Pisces untuk
produk televise jenis Sonic rata-rata tiap minggu ada;lah 6, untuk Golden 5 dan
untuk Paragon adalah 2unit sehingga dari department logistic PT Pisces harus
melakukan pemesanan kepada PT State untuk memenuhi demand tersebut PT
Pices saat ini memamerkan 10 unit televise jenis Sonic, 8 golden dan 5 unit
Paragon.
Penyelesaian :Menggunakan Rantai Markov
4.1.1Kasus 2
Tujuan : Menentukan jumlah produk basic dan 3D untuk menghasilkan
keuntungan yang maksimum
Persoalan :
Tabel 4. 1 Tabel Persoalan Programa Linier
Penyelesaian :
Menggunakan Integer Linier Programming (ILP)
40
Tujuan : Zmax: 3.000.000X1+6.765.000X2
S/t: 250.000X1+590.000X2250000000
28.000X1 +34.000X2 98000000
X1 ,X2 0
4.1.3 Kasus 3
Tujuan : Menentukan ukuran pendistribusian produk untuk meminimumkan
biaya distribusi
Persoalan :
Produk X DC = 27 14 7 2424 21 21 1124 22 26 5
Gudang X DC = 21 28 6 1727 23 19 1829 17 11 25
Kapasitas gudang yang dimilki PT State adalah :
Tabel 4. 2 Tabel Kapasitas Gudang
Produk
Gudang
A B C
Sonic 19 25 28
Golden 26 31 20
paragon 28 29 20
Solusi: Diselesaikan dengan metode transportasi
4.1.4 Kasus 4
TUJUAN: menentukan apakah perlu adanya penambahan seorang pegawai lagi
di PT.STATE
41
Persoalan:PT STATE memilki 11 mesin tetapi hanya memiliki 9 opeator untuk
mengoprasikan 9 mesin secara bersamaan, dengan kata lain terdapat 2 mesin
sebagai mesin standby untuk digunakan jika ada mesin lain yang rusak. Waktu
mesin rusak berdistribusi eksponensial dengan waktu rata-rata kerusakan selama
26 hari. Untuk waktu perbaikan mesin memiliki distribusi eksponesial dengan
rata-rata waktu perbaikan selama 18 hari.Pada PT STATE hanya memiliki 1
teknisi saja untuk memperbaiki mesin yang rusak. Alternatif yang diberikan
perusahaan adalah dengan menambah seorang lagi teknisi. Dimana Gaji setiap
teknisi perusahaan sekitar Rp 280.000,00 per hari. Perakitan lost profit yang
disebabkan oleh delapan mesin operasi untuk mengassembly part-part adalah Rp
410.000,00 per hari untuk setiap mesin rusak.
Solusi : Masalah ini dapat diselesaikan dengan Teori Antrian yaitu dengan
membandingkan antara single server dan multipleserver
4.1.5 Kasus 5
Tujuan : Menentukan jumlah server kerja agar diperoleh strategi terbaik dan
tidak terjadi bottle neck.
Persoalan :
Produk-produk hasil assembly akan muncul setiap 19 menit dan akan dicek oleh
2 stasiun pengecekan, di stasiun 1 lamanya waktu pengecekan yaitu 21menit,
sedangkan pada stasiun 2 lamanya waktu pengecekan adalah 28menit untuk
setiap produk. Biaya yang dikeluarkan untuk assembly produk sebesar Rp4900,-
/jam, dan apabila perusahaan dalam keadaan sibuk biaya assembly meningkat
menjadi sebesar Rp5500,-/jam, sedangkan dalam keadaan menganggur biaya
assembly sebesar Rp3200,-/jam. Jumlah antrian mksimal dalam sistem ini
adalah sebanyak 10 produk. Dimana setiap antrian produk akan dikenakan biaya
pengecekan yaitu sebesar Rp 2000/jam.
42
4.1.6 Kasus 6
Tujuan : meminimumkan biaya angkut bahan baku berdasarkan kapasitas
angkut yang dimiliki
Persoalaan :
Tabel 4. 3 Tabel Persoalan Knapsack
Bahan
baku(I)
Berat (Wi) Biaya (Pi)
LCD 90 Rp.1.555.000-1.460.000
=95000
Speaker 390 Rp.1.555.000-1.105.000
=450000
chasis 60 Rp.1.555.000-1.500.000
=55000
Solusi : menggunakan metode Knapsack
43
4.1.7 Kasus 7
Tujuan : Menentukan rute terpendek yang menghasilkan biaya minimal.
Persoalan :
Gambar 4. 1 Rute Persoalan Stagecoach
Solusi : untuk meyelesaikan persoalan tersebut kita gunakan Stagecoach
4.1.8 Kasus 8
Tujuan : menentukan strategi yang tepat dari PT state dalam menghadapi
pesaingnya dimasing-masing wilayah.
Persoalan :
PT. State mempunyai pesaing :
Di Kalimantan bersaing dengan PT Smirnov dengan matriks payoff sebagai
berikut
44
Tabel 4. 4 Matriks payoff Persaingan Wilayah Kalimantan
Di Sumatera dengan PT Pearson dengan matriks payoff sebagai berikut
Tabel 4. 5 Matriks payoff Persaingan Wilayah Sumatera
PT Person
PT State 1 2 3
1 5 3 2
2 9 -12 5
3 3 2 -11
Di Sulawesi bersaing dengan PT Bayers dan PT Gauss dengan matriks payoff
sebagai berikut
Tabel 4. 6 Matriks payoff Persaingan Wilayah Sulawesi
1 2
1
1 19 14 16 19 16 19
2 -17 -15 -16 16 -15 -16
2
1 -23 14 -15 -14 14 -6
2 12 -12 15 -16 22 15
3 1 15 -13 -16 -14 18 16
2 -13 -14 16 -7 -15 9
PT Smirnov
PT
State
1 2 3
1 4 2 -3
2 -12 -6 -25
45
Solusi : Permasalahan tersebut diselesaikan dengan Teori Permainan.
4.2 Pengolahan Data
4.2.1 Kasus 1
Rantai Markov
4.2.2 Kasus 2
Integer Linier Programming
Tujuan : Zmax: 3.000.000X1+6.765.000X2
S/t: 250.000X1+590.000X2250000000
28.000X1 +34.000X2 98000000
X1 ,X2 0
a.Manual
b.Software QS
4.2.3 Kasus 3
Transportasi
1.Sonic
a.Manual
menetukan solusi awal dengan metode VAM
46
Sonic
DC 1 2 3 4
KAPAS
ITAS
Gudan
g
penal
ti 1
penal
ti 2
penal
ti 3
penal
ti 5
A 21
28
7
6 17 19 11 4 4
15
12
B
1
27
23
19 24 18 25 1 5 9
-
C 1 4 29 17
11
25 28 6 8 4
-
14
Dema
nd 27 14 7 24
penalti
1
6
6
5
1
penalti
2
6
6
-
1
penalti
3
6
-
-
1
penalti
4
6
-
-
-
Perhitungan biaya manual :
47
(12x52500) + (7x15000)+(1x67500)+(24x45000)+(14x72500)+(14x42500) =
Rp.3.492.500
Melakukan metode steping stone
Ca2 = (28-21)+(29-17)=19
Cb2 = (23-27)+(29-17)= 8
Cb3= (19-27)+(21-6)= 7
Cc3=(11-6)+(21-29)= -3
Ca4=(17-21)+(27-18)=5
Cc4=(25-18)+(27-29)=5
Keterangan :
Pada perhitungan dengan metode steping stone ditemukan angka
minus yaitu pada Cc3 sebesar -3 hal ini menunjukkan masih bisa
dilakukan perbaikan untuk mengurangi biaya.
Maka dilakukan pengalokasian pada Cc3 sehingga diperoleh tabel
transportasi baru seperti dibawah ini
48
Sonic
DC 1 2 3 4
KAPAS
ITAS
Gudan
g
A 21
28
6 17 19
19
B
1
27
23
19 24 18 25
C 7 29 17
7
11
25 28
14
Dema
nd 27 14 7 24
Biaya yang dihasilkan setelah perbaikan adalah
(19x52500)+(1x67500)+(7x72500)+(24x45000)+(7x72500)+(14x42500)+(7x 27500) =
Rp.3.440.000,00
Terlihat setelah diadakannya perbaikan mampu menurunkan biaya sebesar
Rp.52.000,00
b.Output Software.
49
Keterangan :
50
Hasil biaya yang diperoleh antara perhitungan manual dan software
sama yaitu sebesar Rp.3.440.000. Yaitu dengan mengalokasikan produk Sonic
dari gudang 1 mengalokasikan seluruh produk dengan jumlah 19 buah.
Sedangkan pada pabrik 2 dialokasikan ke tujuan DC 1 sebanyak 1 buah dank e
DC 3 sebanyak 24 buah. Dari gudang 3 dialokasikan ke DC 1 sebanyak 7 buah
produk sonic, 14 buah untuk distribusi center 2 dan 7 buah lagi untuk DC 3.
2.Golden
a.Manual
Menentukan Solusi Awal dengan VAM
Golden
DC 1 2 3 4
KAPAS
ITAS
Gudan
g
penal
ti 1
penal
ti 2
penal
ti 3
penal
ti 4
penal
ti 5
A 5 21
28
21
6 17 26 11 4 4 -
15
B
19
27
1
23
19 18 31 1 5 5 -
-
11
C
29 20 17
11
25 20 6 8 - -
-
Dema
nd 24 21 21 11 77
51
penalti
1
6
6
5
1
penalti
2
6
6
-
1
penalti
3
6
6
-
1
penalti
4
-
-
-
-
Perhitungan biaya :
(5x71400)+(21x20400)+(19x91800)+(1x78200)+(11x61200)+(20x57800)=
Rp.4.437.000
Melakukan Metde Stepping Stone
C12=c12-C11+C21-C22=28-21+27-23=11
C31=C31-C17+c22-c12=29-17+23-27=8
C14=c14-c11+c11-c24=17-21+27-18=5
C23=b23-c13+c11-c21=19-6+21-27=7
C33=-c11+c31-c33+c11= -21+29-11+6=3
C34=C34-C23+C22-C24=25-17+23-18=13
Karena pada perhitungan stepping stone semua bertanda plus menunjukkan bahwa
pengalokasian biaya sudah optimal dan tidak dapat dikurangi lagi
52
b.Software QS
Keterangan :
Perhitungan biaya diatribusi yang minimum untuk produk golden baik
menggunakan perhitungan manual ataupun menggunakan software QS
menghasilkan biaya yang sama yaitu Rp.4.437.000,00. Yaitu dengan
mengalokasikan produk Golden dari gudang 1 sebanyak 5 produk dengan
tujuan DC 1 dan 21 Produk dengan tujuan DC 3. Untuk gudang 2 produk
Golden sebanyak 19 buah ke tujuan DC 1, 1 produk ke DC 2 dan 11 produk ke
DC 4. Sedangkan pada gudang 3 semua produk yang berjumlah 20 buah
dialokasikan ke tujuan DC 2
3.Paragon
a.Manual
Menentukan Solusi Awal dengan VAM
53
Paragon
DC 1 2 3 4
KAPAS
ITAS
Gudan
g
penal
ti 1
penal
ti 2
penal
ti 3
penal
ti 4
penal
ti 5
A 21
28
26
6
17 28 11 6 6 -
15
2
B
22
27
2
23
19 5 18 29 1 5 5 5
-
C
29 20 17
11
25 20 6 8 - -
-
Dema
nd 24 22 26 5 77
penalti
1
6
6
5
1
penalti
2
6
6
-
1
penalti
3
6
5
-
1
penalti
4
-
-
-
-
54
Perhitungan Biaya:
(2x86100)+(26x24600)+(22x110700)+(2x94300)+(5x73800)+(20x69700)=
Rp.5.198.800
Melakukan Metode Stepping Stone
Ca2=-21+28-23+27=11
Cc1=29-27+23-17=8
Cb3=19-27+21-6=7
Cc4=25-17+23-18=13
Cc3=11-17+23-6=11
Ca4=17-6+21-21+23-18=16
Keterangan : Karena dalam perhitungan metode steping stone semua bernilai
positif maka biaya distribusi sudah optimum yaitu sebesar Rp.5.198.800.
b.Software QS
55
Katerangan :
Perhitungan biaya distribusi minimum dengan software menunjukkan
hasil yang sama yaitu sebesar Rp.5.198.800. Yaitu dengan mengalokasikan
produk paragon dari gudang 1 sebanyak 1 produk dengan tujuan DC 1 dan 26
Produk dengan tujuan DC 3. Untuk gudang 2 produk paragon sebanyak 22 buah
ke tujuan DC 1, 2 produk ke DC 2 dan 5 produk ke DC 4. Sedangkan pada
gudang 3 semua produk dialokasikan ke tujuan DC 2
4.2.4 Kasus 4
Single Server
Cn =120 1
for n = 1,2,.....
C0 = 1
C1 = 0
1 =
0,342
0,056 = 6,11
C2 = 10
21 =
0,342 0,342
0,056 0,056 = 37,30
C3 = 210
321 =
0,342 0,342 0,342
0,056 0,056 0,056 = 227,78
C4 = 320
431 =
0,3040,342 0,342
0,056 0,056 0,056 =1236,52
C5 = 430
541 =
0,266 0,304 0,342
0,056 0,056 0,056 = 5873,45
C6 = 540
654 =
0228 0,266 0,342
0,056 0,056 0,056 = 23913,34
C7 = 654
761 =
0,19 0,228 0,342
0,056 0,056 0,056 = 81134,54
C8 = 760871
= 0,152 0,19 0,342
0,056 0,056 0,056 = 220222,33
C9 = 870
981 =
0,114 0,152 0,342
0,056 0,056 0,056 = 448309,75
56
C10 = 980
1091 =
0,076 0,114 0,342
0,056 0,056 0,056 = 608420,37
C11 = 870
981 =
0,038 0,076 0,342
0,056 0,056 0,056 = 0,0
Single server (s = 1)
= , = 0,1,2, ,
0 N
= , for n= 1,2,...
0 = ( 11-0)1/24 = 0.458
1 = ( 11-1)1/24 = 0.417
2 = ( 11-2)1/24 = 0.375
3 = ( 11-3)1/24 = 0.334
4 = ( 11-4)1/24 = 0.292
5 = ( 11-5)1/24 = 0.250
6 = ( 11-6)1/24 = 0.208
7 = ( 11-7)1/24 = 0.167
8 = ( 11-8)1/24 = 0.125
9 = ( 11-9)1/24 = 0.084
10 = ( 11-10)1/24 = 0.042
11 = ( 11-11)1/24 = 0.000
1 = 1/18 = 0,056
57
=1
Cn =0
= 0.0000005
Pn = Cn. Po
P0 = C0 x Po
= 1 x 0.0000005
= 0.0000005
P1 = C1 x Po
= 6,11 x 0.0000005
= 0.000003
P2 = C2 x Po
= 37,30x 0.0000005
= 0.00019
P3 = C3 x Po
= 227,78x 0.0000005
= 0.000114
P4 = C4 x Po
= 1236,52x0.0000005
= 0.000618
P5 = C5 x Po
= 5873,45x 0.0000005
58
= 0.00237
P6 = C6 x Po
= 23913,34x0.0000005
= 0.011957
P7 = C7 x Po
= 81134,54x 0.0000005
= 0.040567
P8 = C8 x Po
= 220222,33x 0.0000005
= 0.110111
P9 = C9 x Po
= 448309,75x 0.0000005
= 0.224155
P10 = C10 x Po
= 608420,37x 0.0000005
= 0,30421
P11 = C10 x Po
= 0,0 x 0.0000005
= 0
G(n) = Lost Profit( n-2)
59
G0 = 410.000 (0-2)
= 410.000x -2 = -820.000 = 0
G1 = 410.000 (1-2)
= 410.000x -1 = -410.000= 0
G2 = 410.000 (2-2)
= 410.000x 0 = 0
G3 = 410.000 (3-2)
= 410.000x 1 = 410.000
G4 = 410.000 (4-2)
= 410.000x 2 = 820.000
G5 = 410.000 (5-2)
= 410.000x 3 = 1.230.000
G6 = 410.000 (6-2)
= 410.000x 4 = 1.640.000
G7 = 410.000 (7-2)
= 410.000x 5 = 2.050.000
G8 = 410.000 (8-2)
= 410.000x 6 = 2.460.000
G9 = 410.000 (9-2)
= 410.000x 7 = 2.870.000
G10 = 410.000 (10-2)
60
= 410.000x 8 = 3.280.000
G11 = 410.000 (11-2)
= 410.000x 8 = 3.690.000
E (CW)n = G(n) x P (n)
E (CW)0 = G(0) x P (0)
= -820000 x 0,0000
= 0
E (CW)1 = G(1) x P (1)
= -410000 x 0,0000222
= 0
E (CW)2 = G(2) x P (2)
= 0x 0,0000222
= 0
E (CW)3 = G(3) x P (3)
= 410000 x 0,000114
= 46,74
E (CW)4 = G(4) x P (4)
= 820000 x 0,000618
= 506,9716
61
E (CW)5 = G(5) x P (5)
= 1230000 x 0,002937
= 3612,173
E (CW)6 = G(6) x P (6)
= 1640000 x 0,011957
= 19608,94
E (CW)7 = G(7) x P (7)
= 2050000 x 0,040567
= 83162,91
E (CW)8 = G(8) x P (8)
= 2460000 x 0,110111
= 270873,5
E (CW)9 = G(9) x P (9)
= 2870000 x 0,224155
= 643324,5
E (CW)10 = G(10) x P (10)
= 3280000 x 0,304210
= 0
E (CW)11 = G(10) x P (11)
= 3690000 x0
= 0
Biaya = E(CW)total + GajiTeknisi
62
= 2018945 + 280.000
= Rp. 2.298.945
Alternatifketikateknisimesin 1 orang
Tabel 4.12 Teori Antrian Single Server
Multi Server
Cn =1201
for n = 1,2,.....
Multi server (S=3)
= , = 0,1,2, ,
0 N
= , for n = 1,2, s
, for n = s, s + 1
=1
Cn =0
= 0,003652
63
Pn = Cn. Po
P0 = C0 x Po
= 0 x 0,003652
= 0
P1 = C1 x Po
= 2,088643 x 0,003652
= 0,007628
P2 = C2 x Po
= 2,088643 x 0,003652
= 0,007628
P3 = C3 x Po
= 23,08163x 0,003652
= 0,084294
P4 = C4 x Po
= 36,54592x 0,003652
= 0,133466
P5 = C5 x Po
= 49,59804x 0,003652
= 0,181132
P6 = C6 x Po
= 56,09302x 0,003652
= 0,204852
P7 = C7 x Po
64
= 50,75083x 0,003652
= 0,185342
P8 = C8 x Po
= 34,43806x 0,003652
= 0,125768
P9 = C9 x Po
= 15,57912x 0,003652
= 0,056895
P10 = C10 x Po
= 3,523849 x 0,003652
= 0
= 0,012869
P11 = C11 x Po
= 0 x 0,003652
= 0
G(n) = Lost Profit( n-2)
G0 = 410.000(0-2)
= 410.000 x -2 = -820.000 = 0
G1 = 410.000(1-2)
= 410.000 x -1 = -410.000 = 0
G2 = 410.000(2-2)
65
= 410.000 x 0 = 0
G3 = 410.000(3-2)
= 410.000 x 1 = 410.000
G4 = 410.000(4-2)
= 410.000 x 2 = 820.000
G5 = 410.000(5-2)
= 410.000 x 3 = 1230000
G6 = 410.000(6-2)
= 410.000 x 4 = 1640000
G7 = 410.000(7-2)
= 410.000 x 5 = 2050000
G8 = 410.000(8-2)
= 410.000 x 6 = 2460000
G9 = 410.000(9-2)
= 410.000 x 7 = 2870000
G10 = 410.000(10-2)
= 410.000 x 8 = 3280000
G11 = 410.000(11-2)
= 410.000 x 8 = 3690000
66
E (CW)n = G(n) x P (n)
E (CW)0 = G(0) x P (0)
= 0 x 0
= 0
E (CW)1 = G(1) x P (1)
= 0 x 0,007628
= 0
E (CW)2 = G(2) x P (2)
= 0x 0,007628
= 0
E (CW)3 = G(3) x P (3)
= 410000 x 0,084294
=34560,59
E (CW)4 = G(4) x P (4)
= 820000 x 0,133466
= 109441,9
E (CW)5 = G(5) x P (5)
= 1230000 x0,181132
= 222792,4
E (CW)6 = G(6) x P (6)
= 1640000 x 0,204852
= 335956,8
E (CW)7 = G(7) x P (7)
67
= 2050000 x0,185342
= 379951,1
E (CW)8 = G(8) x P (8)
= 2460000 x 0,125768
= 309388,8
E (CW)9 = G(9) x P (9)
= 2870000 x 0,056895
= 163288,5
E (CW)10 = G(10) x P (10)
=3280000 x 0,012869
= 42210,64
E (CW)11 = G(11) x P (11)
=3690000 x0
= 0
Biaya = E(CW)total + GajiTeknisi
= 1.597.591 + 280.000
= Rp. 1.877.591
68
Alternatif ketika teknisi mesin ditambah 1 orang
Tabel 4.13 Teori Antrian Multi Server
Tabel 4.14 Rekapitulasiuntukbiaya 1 teknisi
E(CW) E(SC)
L.
Profit
2.298.945 280000 410000
Tabel 4.15 Rekapitulasiuntukbiaya2teknisi
E(CW) E(SC)
L.
Profit
1.877.591 280000 410000
Keterangan:
Dari data hasil perhitungan diperoleh hasil bahwa PT STAGE
disarankan/direkomendasikan untuk menggunakan 2 teknisi, karena berdasarkan
69
perhitungan tersebut diperoleh kesimpulan bahwa penggunaan 2 teknisi memerlukan
biaya yang relatif lebih kecil dibanding dengan1 teknisi dikarenakan waktu untuk
mengassembly menjadi jauh lebih cepat sehingga biayanya menjadi relatif rendah.
E(CW) = total expected waiting ost per periodewaktu
4.2.4 Kasus 5
Teori Antrian Metode Terbatas
UntukJumlah Server=2
a. Perhitungan Manual
Jumlahmaksimumantrian Q = 10
Jumlah server S = 2
Biaya-biaya :
Cu = Biaya assembly
= Rp 4900/jam
Cs = biaya assembly dalamkeadaansibuk (busy/jam)
= Rp. 5500/jam
Ci = biaya assembly dalamkeadaanmenganggur (idle)/jam
= Rp. 3200/jam
Cw = Biayaprodukmenungguuntukdiproses
= Rp 2000,-/jam
Tingkat Performansi (L, Lq, W, Wq, Pw, Lb, Wb) dariSistem Yang Ada Sekarang
Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuanwaktu
44,222821
60
x
70
Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuanwaktu
16,319
60
K
sn
Snss
n
n
Ssn
Po
!
1
!
1
1
1
0
0,215
88,4
16,3....
88,4
16,3
88,4
16,3
44,2
16,3
!2
1
!1
44,2
16,3
!0
44,2
16,3
1
44,22
16,3
44,2
16,3
!2
1
44,2
16,3
!
1
1
8102
10
2
221
0
K
n
n
n
n
n
Pn = P(n-1)n
1
untuk n s
P2 = P(1) 0,27901,2950820,2151
1
44,2
16,3
x
P3 = P(2) 0,18030,6475410,27902
1
44,2
16,3
x
Pn = P(n-1)s
1
untuk s < n K
P4 = P(3) 0,11630,6475410,18032
1
44,2
16,3
x
71
P5 = P(4) 0,07500,6475410,11632
1
44,2
16,3
x
P6 = P(5) 0,04840,6475410,07502
1
44,2
16,3
x
P7 = P(6) 0,03120,6475410,04842
1
44,2
16,3
x
P8 = P(7) 0,02010,6475410,03122
1
44,2
16,3
x
P9 = P(8) 0,01300,6475410,02012
1
44,2
16,3
x
P10 = P(9) 0,00840,6475410,01302
1
44,2
16,3
x
P11 = P(10) 0,00540,6475410,00842
1
44,2
16,3
x
P12 = P(11) 0035,00,6475410054,02
1
44,2
16,3
x
Tingkat Kedatangan Dan Probabilitas Pelanggan Dalam Sistem Sekarang Dengan
Jumlah Server = 2
Tabel 4.16TabelTingkat Kedatangan Dan Probabilitas Pelanggan Dalam Sistem
Sekarang Dengan Jumlah Server = 2
N n P(n) n x P(n)
0 10 0,2168 2,168
72
1 10 0,2796 2,796
2 10 0,1803 1,803
3 10 0,1163 1,163
4 10 0,0750 0,750
5 10 0,0484 0,484
6 10 0,0312 0,312
7 10 0,0201 0,201
8 10 0,0130 0,130
9 10 0,0084 0,084
10 10 0,0054 0,054
11 10 0,0035 0,035
12 10 0,0022 0,022
1 10
Rata-rata panjang antrian
0,683138
))244,2/16,3(1()244,2/16,3)212()244,2/16,31)0,6475411(!2
)244,2/16,3()44,2
16,3(0,215
)1()(1)1(!
)/(
1010
2
2
2
xxx
x
sKs
PoLq sKsK
s
Rata-rata jumlah konsumen yang berada pada sistem
1,958634
)0,0151231(44,2/16,30,683138
)1(/ 10
PLqL
73
Waktu tunggu dalam antrian
0,31433
)015123,01(16,3/0,682655
)1(/
PLqWq
Waktu tunggu dalam sistem
0,90047
)015123,01(16,3/1,958634
)1(/ 12
PLW
Biaya-biaya :
Biaya assembly dalam keadaan menganggur (idle)
2318,411 Rp
0,682655)1,958634/jam(23200, Rp
Lq)LCi(sA
Biaya produk menunggu untuk diproses
628,1374
1)0,313847(/,2000
))()((
Rp
jamRp
nPWqCwB
Biaya assembly
,7142,791
2,485859)0,3138470,900249(/,4900
))()((
Rp
jamRp
nPWqWCuC
Biaya assembly dalam keadaan sibuk
,7015,231
)0,6826551,958151(/,5500
)(
Rp
jamRp
LqLCsD
74
Total biaya dari sistem sekarang :
A + B + C + D = Rp17.104,57
-
b. Perhitungan Software
Jumlah server 2
Gambar 4.25 Input Software Server 2
Total Cost
Gambar 4.26 Output Software Server 2
75
Jumlah Server 3
Jumlah Server 4
76
Jumlah Server 5
77
Jumlah Server = 6
78
Jumlah Server = 7
79
Jumlah server = 8
80
Grafik
81
Grafik antar server
Perubahan Lamda
82
Perubahan Miu
Grafik perubahan miu
4.2.6 Kasus 6
Knapsack
4.2.7 Kasus 7
83
Stagecoach
Gambar 4. 2 Rute Stagecoach
Keterangan:
Pada persoalan ini biaya diperoleh dari menghitung jarak (S) x harga 1 liter bensin ,
jarak diperoleh dari mengalikan waktu tempuh dengan kecepatan (85 km/jam). Setelah
diperoleh dibagi dengan 15 km karena 1 liter bensin dapat menempuh jarak 15 km,
kemudian dikalikan Rp 5000.
Perhitungan Stagecoach dilakukan dengan cara mundur atau Backward . Dalam
menghitung stagecoach terdapat fungsi basis dan rekurens seperti dibawah ini :
Basis : f5S = CX5
Fungsi Rekurens :
84
a. Perhitungan Manual
Stage 5
S F(5)*C1 X5*
Pekalongan 47400 Semarang
Salatiga 53.900 Semarang
Stage 4
X4
S
f4(C5,X4+f5*(X4) f4* X4*
Pekalongan Salatiga
Batang 75200 - 75200 Pekalongan
Magelang - 87900 87900 Magelang
Stage 3
X3
S
f3(C5,X3+f4*(X3) f3* X3*
Batang Magelang
Bojonegoro 167300 180000 167300 Batang
Magetan 154300 167000 154300 Batang
85
Stage 2
X2
S
f2(C5,X2+f3*(X2) f2* X2*
Bojonegoro Magetan
Gresik 251800 242700 242700 Magetan
Lamongan 251800 242700 242700 Magetan
Sidoharjo 251800 242700 242700 Magetan
Stage 1
X1
S
f2(C5,X2+f4*(X3) f1* X1*
Gresik Lamongan Sidoharjo
Surabaya 358900 383800 358000 358000 Sidoharjo
Malang 384100 378200 380400 378200 Lamongan
Purbalingga 359500 365700 370200 359500 Gresik
Jember 381600 364600 368800 364600 Lamongan
Madiun 365700 383800 381000 365700 Gresik
86
b.Software QS (Dynamic Proggaming )
Gambar 4. 3 Input Pada Persoalan Stagecoach
Surabaya (PT Sony)
Gambar 4. 4 Output Software QS untuk Surabaya Semarang
87
Malang (PT LG)
Gambar 4. 5 Output Software QS untuk Malang Semarang
Purbalingga (PT Samsung )
Gambar 4. 6 Output Software QS untuk Purbalingga Semarang
Jember (PT Panasonic)
Gambar 4. 7 Output Software QS untuk Jember Semarang
88
Madiun
Gambar 4. 8 Output Software QS untuk Madiun Semarang
Keterangan :
Perusahaan supplier yang dipilih PT State adalah PT Sony yang berlokasi di Surabaya
dengan rute yang ditempuh adalah Surabaya-Sidoharjo--Magetan-Batang-Pekalongan-
Semarang dengan biaya Rp.358000,00.
Hasil yang diperoleh antara rekomendasi rute perhitungan manual dengan software QS
menghasilkan rute yang sama dengan manual yaitu Surabaya-Sidoharjo--Magetan-
Batang-Pekalongan-Semarang dengan biaya Rp.358000,00.
4.2.8 Kasus 8
Teori Permainan
a.Manual
Persaingan PT State dengan PT Sminrov (Wilayah Kalimantan )
a.Perhitungan Manual
89
PT Smirnov Min baris
PT State 1 2 3
1 4 2 -3 -3(maksimin)
2 -12 -6 -28 -28
Maks kolom 4 2 -3(minimaks)
Solusi :
Untuk memenangkan persaingan digunakan strategi murni karena nilai minimaks dan
maksimin sama yaitu -3 yang merupakan sadle point, dimana daerah pemasaran agar PT
State meperoleh keuntungan yang maksimal adalah dengan strategi 1 dan bagi PT
Smirnov menggunakan strategi 3.
b. Software Gambi
Gambar 4. 9 Perhitungan Payoff Wilayah Kalimantan
Persaingan PT State dengan PT Pearson Wilayah Sumatera
a.Perhitungan Manual
90
PT Pearson Min Baris
PT State B1 B2 B3
A1 5 3 2 2(Minimax)
A2 9 -12 5 -12
A3 3 2 -11 -11
Max Kolom 9 3(Maksimin) 5
Karena nilai maximin dan minimax tidak sama maka lihat adakah dominasi
B1 mendominasi B2 maka Coret B1
PT Pearson
PT State B1 B2 B3
A1 5 3 2
A2 9 -12 5
A3 3 2 -11
Kemudian Lihat A ternyata juga ditemukan adanya dominasi , yaitu A3 mendominasi
maka coret A3
91
PT Pearson
PT State B1 B2 B3
A1 5 3 2
A2 9 -12 5
A3 3 2 -11
Maka matriks payoffnya menjadi
PT Pearson Min Kolom
PT State B2 B3
A1 3 2 2
A2 -12 5 -12
Max Kolom 3 5
92
Gunakan mix Strategy
Untuk PT State
PT Pearson Min Kolom
PT State B1 B2
A1 3 2 P
A2 -12 5 1-p
Max Kolom -12+15p 5-3p
93
-12+15p = 5-3p
15p+3p = 17
18p = 17
P =17
18 =0,94
1-P =1-0,94
=0,06
Artinya PT Sate menggunakan strategi:
A1 : 94% dan A2 : 6%
Keuntungan yang diperoleh PT State
Mengunakan Strategi A1 : -12+15(0,94)=2,1
Mengunakan Strategi A2 : 5-3(0,06) =4,82
Untuk PT Pearson
PT Pearson Min Kolom
PT State B1 B2
A1 3 2 2+q
A2 -12 5 -17q+5
Max Kolom Q 1-q
2+q = -17q+5
q+17q = 5-2
18q = 3
q = 3
18= 0,167 =
0,17=17%
1- q = 1-0,17
=0,83=83%Artinya PT
Pearson mengunakan
strategi B2 sebaesar 17%
dan strategi B3 sebesar 83%
Keuntungan yang diperoleh PT
Pearson
Menggunakan Strategi 2 :
2+q=2+0,17=2,17
Menggunakan Strategi 3:
-17q+5 = -17(0,17)+5=2,11
94
b. Software Gambit
Gambar 4. 10 Solusi Akhir Wilayah Sumatera
Keterangan perhitungan baik mengunakan cara manual maupun menggunakan
software gambit memberikan rekomendasi strategi yang sama yaitu untuk PT
State menggunakan A1 : 94% ( 17
18)dan A2 : 6%(
1
18) dan untuk PT Pearson
strategi B2 sebaesar 17% ( 1
6)dan strategi B3 sebesar 83% (
5
6). Sadle point
yang diperoleh adalah ( 13
6)
95
Wilayah Sulawesi
Pengisian payoff
Dominasi
96