Tugas Makalah

NOTASI MATRIKS UNTUK OPERATOR LINIER

D

I

S

U

S

U

N

OLEH:

Deslina Zebua

Devi Sunday Hutapea

Hotdon Naibaho

Yusuf Junior S

Pengenalan

1. PERSAMAAN LINEAR

2. NOTASI MATRIKS PADA PERSAMAAN MATRIKS

Operator merupakan yang mengandung informasi tentang nilai-nilai(atau

spektrum) suatu besaran bersangkutan. Untuk memperoleh nilai suatu besaran

tersebut pada mekanika kuantum diperlukan perangkat matematika berupa aljabar operator.

Operator pada fungsi gelombang misalnya operator yang bekerja pada fungsi

gelombang,operatortersebut dapat menghasilkan suatu fungsi lainnya, yakni:

Perangkat matematika yang diperlukan dalam hal ini, meliputi:

Operator Linear

Penjumlahan dan perkalian operator

Sifat tak komutatif perkalian operator

Komutator dari dua operator

Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal

A. Operator linear

Contoh- contoh dari operasi operator linear tersebut, misalnya perkalian

dengan suatu konstanta c , perkalian dengan suatu fungsi : V (x) , diferensiasi :

ketiganya adalah contoh dari operasi yang linear, yaitu memenuhi :

contoh yang tak linear misalnya : penjumlahan dengan suatu fungsi tertentu. namun

selanjutnya kita hanya membahas operator yang linear saja. dua operator disebut

sama : , jika hasi operasi nya terhadap fungsi yang mana saja adalah identik.

B. Penjumlahan dan perkalian operator

Antara dua operator dapat kita lakukan penjumlahan, dan perkalian.

Penjumlahan dari dua operator didefenisikan . Defenisi ini

mengakibatkan, misalnya:

begitu pula Singkatnya Operator- Operator berkomutasi pada operasi

penjumlahan. Perkalian dua operator didefinisikan melalui

Perhatikan defenisi urutannya : bekerja pada , baru kemudian pada fungsi

hasilnya dioperasikan :

Dan sebagainya pada perkalian juga berlaku :

Sehingga

C. Sifat tak komutatif perkalian operator

Umumnya perkalian operator tak komutatif sifatnya,

jika Misalnya, dan maka sedangkan

, yang tidak sama dengan .

Dalam hal ini dapat ditulis :

Karena berlaku untuk setiap dapat dituliskan sebagai kesamaan operator :

Perhatikan bahwa operator , atau :

Apabila persamaan ini kita kalikan dengan , dan mengingat bahwa , maka

kita peroleh kesamaan operator :

Yang memperlihatkan bahwa operator-operator tidak komut.

D. Komutator dari dua operator

Berkaitan dengan sifat-sifatnya terhadap komutasi, dapat didefinisikan

komutator dari dua operator. Operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan

(seperti halnya perkalian antara dua observabel). Pengoperasian perkalian operator

pada suatu fungsi dilakukan berturut-turut dari yang paling depan (paling dekat

dengan fungsi yang dikenai). Perkalian antara dua operator mekanika kuantum yang

sering muncul, karena sifat kedua operator tersebut adalah komutator. Komutator

antara dua operator dan didefinisikan sebagai :

Dari defenisi di atas maka dapat diturunkan identitas-identitas berikut:

Apabila = 0, maka dikatakan bahwa dan bersifat komut.

Nilai observabelnya dapat diukur secara serentak dan pasti serta mempunyai

swafungsi simultan (klasik). Sedangkan apabila 0, dikatakan tidak

komut, dan pengukuran observabelnya tidak bisa dilakukan secara serentar dan pasti

(terikat pada prinsip ketakpastian Heisenberg, = )

E. Ortogonal,tenormalisasi,ortonormal

Jika = 0, kedua fungsi dan itu disebut ortogonal sesamanya suatu

fungsi dengan normal = 1, dimana dx=1 , disebut ternormalisasi.

Suatu himpunan fungsi gelombang yang ortogonal sesamanya,yang masing-

masing ternormalisasi disebut set fungsi gelombang yang ortonormal.

F. Operator Hermit

Operator-operator yang sama dengan setangkup hermitnya disebut Operator

Hermit.

Untuk semua operator hermit berlaku :

Yang berarti operator hermit itu bisa segera kita pindahkan keruang lainnya

tanpa mengalami perubahan apapun.

Untuk setiap besaran fisis terdapat operator Hermitian yang mewakili besaran

tersebut. Observabel –atau kadang disebut sebagai observabel dinamis- sendiri

diartikan sebagai sesuatu yang dapat diukur dan memiliki nilai. Mudahnya, besaran

fisis dalam mekanika Newtonian berubah menjadi observabel (operator)1 dalam

mekanika kuantum.

Misalnya, untuk menggambarkan energi total dalam mekanika kuantum kita

gunakan

Bandingkan dengan Hamiltonian partikel untuk mekanika Newton

G. Operator invers

Beberapa sifat utama operator invers, misalnya:

H. Operator uniter

Suatu operator u yang biasa disebut uniter jika setangkup hermitnya identik

dengan inversnya, atau:

Dengan demikian bagi operator uniter berlaku;

Masalah nilai eigen biasanya hasil operasi terhadap ψ, yakni, ψ

merupakan fungsi yang bebas linear terhadap ψ. namun bagi fungsi-fungsi tertentu,

ψ adalah sebanding dengan ψ.

jadi, bagi fungsi ψ khusus ini berlaku

ψ = aψ (a=konstanta)

Kalau ini berlaku, ψ disebut suatu fungsi eigen dari dan a itu disebut nilai

eigennya, yang berkaitan dengan fungsi eigen ψ tadi. guna menegaskan kaitan fungsi

eigen dengan nilai eigennya, seringkali fungsi eigen itu dibubuhi tanda eigennya: ψa,

sehingga hubungan tadi menjadi

ψa = aψa

Khusus bagi operator hermit berlaku teorema penting berikut ini:

a. Nilai eigen semua real

b. Fungsi-fungsi eigennya, dari nilai eigen yang berbeda, ortogonal sesamanya.

Pengukuran dalam mekanika kuantum dinyatakan dalam persamaan swanilai /

nilai eigen.

dimana

= operator

= vektor keadaan

= nilai eigen (swanilai milik operator )

Nilai eigen menyatakan hasil ukur yang ‘mungkin’ keluar dalam pengukuran.

Misalkan A : V V suatu operator linear pada ruang vektor V. Suatu skalar

kompleks a disebut nilai eigen dari A, jika terdapat vektor tak-nol V yang

memenuhi persamaan

A() = a.

Vektor demikian disebut vektor eigen yang bersangkutan.

Jika V suatu vektor eigen dari operator linear A yang berkaitan dengan

nilai eigen a, maka untuk sembarang c C, dengan c 0, cjuga merupakan

vektor eigen terhadap a. Suatu nilai eigen a dikatakan tak-sederhana dengan orde m,

dimana m 2, jika terdapat m buah vektor eigen yang bebas linear yang berkaitan

dengan a. Jika tidak demikian, maka a disebut nilai eigen yang sederhana. Dapat

diperlihatkan bahwa himpunan semua vektor eigen dari suatu operator linear pada

ruang vektor V yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen a, apabila digabung dengan

himpunan tunggal yang beranggotakan vektor V, membentuk

subruang dari V, yang kita namai subruang eigen yang berkaitan dengan nilai eigen

a.

Kita memerlukan suatu cara yang sistematis untuk menentukan nilai-nilai

eigen dan vektor-vektor eigen dari suatu operator linear. Pandang ruang hasil-kali

dalam V dengan basis ortonormal S = 1, 2 , ... , n , operator linear A pada

V. Misalkan a suatu nilai eigen dari A, dan

suatu vektor eigen yang bersangkutan, sehingga berlaku persamaan

(1) A() = a. Untuk i = 1,2,...n, perkalian-dalam ruas kiri

(1) dengan i menghasilkan

Dengan demikian, jika ruas kanan (1) juga dikalikan dengan i , maka diperoleh

persamaan (2)

yang dengan notasi (10) dapat pula dituliskan kembali menjadi

(3)

Hubungan (3) ini berupa sistem persamaan linear homogen dalam variabel-

variabel ci , (i 1,2, ... ,n) yang merupakan koordinat-koordinat bagi vektor eigen

yang dicari. Sistem demikian mempunyai penyelesaian yang tak-trivial bila dan

hanya bila determinan matriks koefisien sistem tersebut sama dengan nol. Syarat ini

dapat dinyatakan sebagai (4) det( ASaI ) = 0, dimana AS menyatakan

matriks representasi bagi operator linear A, dan I matris identitas n n. Akar-akar

dari persamaan (4),yang disebut persamaan karakteristik dari operator linear A,

merupakan nilai-nilai eigen yang dicari. Jadi, jika diberikan suatu operator linear A,

maka kita dapat menentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari A dengan

menyelesaikan mula-mula persamaan (4), lalu kemudian persamaan (3).

Sekarang kita akan meninjau perilaku nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen

dari operator Hermit. Kemudian nanti berdasarkan ini akan didefinisikan operator

Hermit yang khusus, yang disebut observabel.

Teorema : Nilai-nilai eigen dari operator Hermit berupa bilangan real.

Bukti:

Misalkan A menyatakan operator Hermit pada ruang hasil-kali dalam V, dan a suatu

nilai eigen dari A. Untuk suatu vektor eigen V, berlaku persamaan A() =

a,

yang jika kedua ruasnya dikalikan dengan ψ menghasilkan hubungan

(5) (A(), a (, .

Berdasarkan definisi operator Hermit dan persamaan (4), dapat disimpulkan bahwa

(A(), ,A()) A(), ,

yang memperlihatkan kerealan ruas kiri (5). Karena hasil-kali dalam di ruas kanan (5)

juga real, maka terbukti bahwa nilai eigen a berupa bilangan real.

Jika sebuah operator,   bekerja pada suatu fungsi,  , dan hasilnya sama dengan fungsi tersebut dikalikan sebuah konstanta,  , maka persamaan ini memenuhi persamaaneigenvalue

Variabel   disebut fungsi eigen (eigenfunction) dan   disebut nilai eigen (eigenvalue).Persamaan eigenvalue ini biasa ditemukan pada persamaan gerak osilasi terkopel (coupled oscillation), persamaan gelombang pada quantum mechanics, dll.Sebagai contoh, misalnya kita mendapatkan persamaan seperti di bawah ini

Untuk menyelesaikannya, kita gunakan matrix identitas

Jadi, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

Dengan memindahruaskan sisi kanan persamaan ke sisi kiri, kita dapatkan

Untuk mendapatkan hasil non-trivia (bukan solusi  ), maka determinan matrix pertama sama dengan nol

Jadi, kita bisa mendapatkan persamaan

Solusi eigenvalue dari persamaan tersebut adalah

Untuk mendapatkan eigenfunction, kita masukkan eigenvalue yang telah kita dapatkan ke persamaan awal.

Dari persamaan di atas, kita bisa mendapatkan 2 persamaan

Jika kita memasukkan nilai   ke dua persamaan di atas, kita dapat

Dan jika kita memasukkan nilai  , kita dapat

Yang kita dapatkan adalah perbandingannya. Jika kita ingin mendapatkan nilainya, kita harus meninjau syarat lain seperti normalisasi, keadaan batas (boundary condition), dll.Perkalian matrix ini hanya salah satu contoh dari persamaan eigenvalue yang biasa ditemukan. Ada banyak macam persamaan eigenvalue, dan belum ada (yang saya ketahui) cara umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan eigenvalue.

Matriks Hermit dan Nilai Eigen

Matriks Hermit

matriks Hermitian adalah matriks persegi dengan entri kompleks yang sama dengan matrik transpose konjugasi - yaitu, elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah sama dengan kompleks konjugasi dari elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i, untuk semua i dan indeks j. Matriks bujursangkar A dengan entri – entri berupa bilangan kompleks dikatakan hermite jika A = A .

Matriks bujur sangkar D adalah matrik Hermitian jika elemen d ij = d*ij

Ciri-ciri Hermit

• Selalu membentuk matrik simetris real.

• Diagonal utama selalu real.

• Setiap matriks Hermitian adalah normal. Ini berarti bahwa semua nilai eigen dari matriks Hermitian adalah nyata, dan vektor eigen dengan nilai eigen yang berbeda adalah orthogonal.

Catatan : Matrik ortogonal adalah matrik yang transposenya = inversnya

• hasil dari dua matriks A dan B Hermitian hanya akan Hermitian jika mereka transpose yaitu jika AB = BA. Jadi dikatakan Hermitian jika A adalah Hermitian dan n adalah bilangan bulat.

• dua vektor eigen dari matrik Hermitian H yang berhubungan dengan nilai eigen yang berbeda adalah ortogonal (Levine, 1998) .

Jika x merupakan vektor eigen dari n n ×matriks A yang berasosiasi dengan nilai eigen λ, maka persamaan Eigen dapat ditulis menjadi :

Ax = λ x

Untuk menghitung nilai dan vektor Eigennya persamaan (2.1) dirubah menjadi suatu

persamaan aljabar linier sebagai berikut :

(λ I − A) x = 0

dengan I menyatakan matriks identitas n × n . Perlu diperhatikan jika matriks A I − λ merupakan matriks nonsingular, persamaan sebelumnya mempunyai solusi yang unik pada 0 = x . Namun, nilai vector Eigen haruslah tidak nol, yang artinya bahwa nilai Eigen merupakan skalar λ untuk matriks A I − λ yang singular.

Vektor X dalam persamaan adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi

persamaan untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor

X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Bila operator yang bekerja pada fungsi eigen berupa operator hermit maka:

1. Nilai eigennya semua real.

2. Fungsi-fungsi eigennya dari nilai eigen yang berbeda orthogonal sesamanya.

TAMBAHAN

Fungsi φ yang tak ternormalisasi akan menjadi ternormalisasi, jika dikalikan dengan suatu bilangan yaitu A yang disebut faktor normalisasi sehingga,

Misalkan set nilai eigen {a} dari operator Hermit A seluruhnya diskrit dan tak berdegenerasi dan bila dipilih fungsi-fungsi eigen yang ternormalisasi maka akan diperoleh suatu set yang fungsi eigen { Ψa } dari A yang ortonormal.

( Ψa , Ψa ) = δ aa’

Apabila A yang Hermit itu adalah operator dari suatu besaran dinamis, kita selalu pula akan menambahkan bahwa set itu lengkap, yaitu fungsi gelombang Ψ(x)sistem dapat dijabarkan terhadap set tersebut.

Ψ(x) = a Ψa

Untuk nilai-nilai eigen kontinu orthonormalitas itu masih bisa dipertahankan namun sekarang dalam bentuk orthonormalitas Dirac.

 Contoh :

Ψ(x) = 1/ √2 ћ ∫ (p) e dp dengan 

Ψ(p) = 1/ √2 ћ ∫ (x) e dx adalah fungsi eigen dari operator momentum P Ψp (x) =

p Ψp (x) yang menunjukkan nilai eigennya adalah p.

Penutup

1. Kesimpulan

Dari makalah yang penulis buat, maka dapat di ambil kesimpulan:

Untuk memperoleh nilai suatu besaran tersebut pada mekanika kuantum

diperlukan perangkat matematika berupa aljabar operator.

Umumnya perkalian operator tak komutatif sifatnya,

Untuk setiap besaran fisis terdapat operator Hermitian yang mewakili besaran

tersebut.

Nilai eigen yaitu menyatakan hasil ukur yang ‘mungkin’ keluar dalam

pengukuran.

Nilai-nilai eigen dari operator Hermit berupa bilangan real.