Download - Nama NPM/Kelas Fakultas/Jurusanma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2014/03/MODUL... · Jawab : TR’ = 0 100 ... maka elastisitas penawarannya: Contoh soal : Fungsi Penawaran

Laboratorium Manajemen Dasar

Matematika Ekonomi 2 i Litbang ATA 13/14

Nama NPM/Kelas Fakultas/Jurusan

:::


Matematika Ekonomi 2 ii Litbang ATA 13/14

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat,

hidayah, dan karunia yang diberikan-Nya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan modul ini tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan

kegunaan modul ini kepada mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran

dalam perkuliahan, maka modul ini dapat digunakan untuk memenuhi

kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum

sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat

meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman

bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu,

modul ini juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa

melihat keadaan perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi

yang ada.

Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu

disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya

sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terimakasih kepada tim Litbang

Matematika Ekonomi 2 - Laboratorium Manajemen Dasar yang turut

berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak

yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

Jakarta, 2013

Tim Litbang ATA 13/14


Matematika Ekonomi 2 iii Litbang ATA 13/14

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i KATA PENGANTAR .................................................................................. ii DAFTAR ISI ................................................................................................ iii DERIVATIF 1. Konsep Dasar Turunan .......................................................................... 1

2. Kaidah Diferensiasi ................................................................................ 1

3. Hubungan Antara Fungsi Dan Derivatifnya ……..................................... 6

3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal ........... 6

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun ........... 6

4. Penerapan Ekonomi ............................................................................... 7

4.1 Elastisitas ………………………………......................................... .... 7

4.1.1 Elastisitas Harga .................................................................. 7

4.1.2 Elastisitas Permintaan ......................................................... 8

4.1.3 Elastisitas Penawaran ......................................................... 13

4.1.4 Elastisitas Produksi .............................................................. 17

4.2. Biaya .............................................................................................. 21

4.3 Penerimaan ………………………………......................................... 26

4.4 Laba Maksimum ............................................................................ 31

INTEGRAL TAK TENTU 1. Konsep Dasar Integral ........................................................................... 34

2. Kaidah-kaidah dalam Integral Tak Tentu ............................................... 35

3. Penerapan Ekonomi .............................................................................. 36

3.1 Fungsi Biaya ................................................................................... 36

3.2 Fungsi Penerimaan ......................................................................... 41

3.3 Fungsi Produksi .............................................................................. 46


Matematika Ekonomi 2 iv Litbang ATA 13/14

3.4 Fungsi Utilitas ................................................................................. 51

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan ......................................... 52

INTEGRAL TERTENTU 1. Konsep Dasar Integral Tertentu ............................................................. 58


2.1 Surplus Konsumen .......................................................................... 58

2.2 Surplus Produsen ........................................................................... 66

TRANSEDENTAL 1. Konsep Dasar Transedental .................................................................. 73

1.1 Fungsi Eksponensial ....................................................................... 73

1.2 Fungsi Logaritmik ............................................................................ 75


2.1 Model Bunga Majemuk ................................................................... 77

2.2 Model Pertumbuhan ........................................................................ 82

2.3 Kurva Gompertz .............................................................................. 86

2.4 Kurva Belajar (Learning Curve) ....................................................... 90

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 96


Matematika Ekonomi 2 1 Litbang ATA 13/14

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi

sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang

bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi

diferensi, dimana : ∆푥 0.

Y

Jika y = f ( x ), maka

∆∆

= ( ∆ ) ( )∆

Bentuk Δy / Δx merupakan hasil bagi perbedaan atau kousien diferensi

(difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat

y terhadap variabel bebas x.

Jika y = f ( x ), maka turunan fungsinya adalah

lim∆ →∆∆

= lim∆ →( ∆ ) ( )

∆

2. KAIDAH DIFERENSIASI Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi fungsi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0

Contoh : y = 4 maka y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi linear Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b

Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12



3. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a xn-1

Contoh : y = 5x4 maka y’ = 5.4x4-1 = 20x3

4. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = n (x), maka y’ = u’ ± v’ Contoh : y = 8x3 – 8x2

u = 8X3 , u’ = 8.3x3-1 = 24x2

v = – 8x2, v’ = -8.2x2-1 = -16x

karena y’= u’ ± v’

maka y’ = 24x2 – 16x

5. Diferensiasi perkalian a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k . u , dimana u = g (x), maka y’= k . u’ Contoh : y = 8 . 7x2

u = 7x2 u’ = 7 . 2x = 14x

karena y’ = k . u’ maka y’ = 8 . 14x = 112x

b. Perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = u’.v + u.v’ Contoh: y = (2x6 – 2)(3x3 – 7)

u = (2x6 – 2) u’ = 2.6x6-1 = 12x5

v = (3x3 – 7) v’ = 3.3x3-1 = 9x2

karena y’ = u’.v + u.v’ maka

y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2)

= 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2

= 54x8 – 84x5 – 18x2



6. Diferensiasi hasil bagi fungsi

Jika y = 풖풗 , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ = 퐮’.퐯–퐮.퐯’

풗ퟐ

Contoh : y = ( – )( – )

u = (9x2 – 5) u’ = 2.9x2-1 = 18x

v = (4x3 – 6) v’ = 3.4x3-1 = 12x2

karena y’ = ’. – . ’, maka:

y’ = ( )( – )–( – )( )

( – )

y’ = – –

( – )

y’ =

( – )

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai) Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka

풅풚

풅풙 = 풅풚풅풖

x 풅풖풅풙

Contoh 1: y = (6x2 + 4)2

misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2

= 12x = 2u

Maka 풅풚풅풙

= 풅풚풅풖

x 풅풖풅풙

= 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x

Contoh 2: y = √3x2 + 4x – 5

y = (3x2 + 4x - 5)1/2

misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2

= 6x + 4 = ½ u-1/2



Maka 풅풚

풅풙 = 풅풚

풅풖 x 풅풖풅풙

= ½ u-1/2. (6x + 4)

= ½ (3x2+ 4x -5)-1/2 . (6x + 4)

= x √ –

x (6x + 4)

=

√ –

8. Derivatif tingkat tinggi Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan

sebanyak n kali.

Derivatif ke-n dilambangkan dengan 퐝퐧퐲퐝퐱퐧

atau fn(x) atau 퐝퐧퐲퐝퐱

Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x maka

y’ atau = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1

y’’ atau 풅ퟐ풚

풅ퟐ풚 = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst

9. Diferensiasi implisif Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0

suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari

persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx . Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

1.y2 + x.2y – 2x + = 0

( 2xy + 1 ) = - y2 + 2x

=



10. Derivatif fungsi logaritmik

y = ln x 풅풚

풅풙 = ퟏ풙

y = ln u , dimana u = g (x)

= . =

y = alog x 풅풚

풅풙 =

ퟏ퐥퐧 풂

Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx

u = 3 – 3x2

= u’ = -6x

= =

11. Derivatif fungsi eksponensial

y = ex 풅풚

풅풙 = ex

y = ax 풅풚

풅풙 = ax ln a

12. Derivatif fungsi trigonometrik Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :

y = sin x 풅풚

풅풙 = cos x

y = cos x 풅풚

풅풙 = - sin x

y = tg x 풅풚

풅풙 = sec2 x

y = ctg x 풅풚

풅풙 = - cosec2 x



y = sec x 풅풚

풅풙 = sec x . tg x

y = cosec x 풅풚

풅풙 = - cosec x . ctg x

Catatan: sec x = ퟏ

풄풐풔풙

cos x = ퟏ

풔풊풏풙

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA 3.1 Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal

adalah:

1. Tentukanlah titik singgung (xo , yo)

2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo)

4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = ퟏ풎

(x – xo)

* Catatan :

Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis

Singgung kurva

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f’(x) > 0 2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f‘(x) < 0 3. Nilai stasioner

Jika diketahui y = f (x), maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai

Stasioner



Jenis – jenis Titik Stasioner adalah : Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum

Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok

Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari

fungsi tersebut!

Jawab :

TR’ = 0

100 – 10Q = 0

10Q = 100 jadi Q = 10

TR’’ = -10 (TR’’ < 0, merupakan titik balik maksimum)

Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2

= 100(10) - (10)2

= 900

4. PENERAPAN EKONOMI 4.1 ELASTISITAS

4.1.1 Elastisitas harga Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan

perubahan relatif dari harga.

Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang

digunakan yaitu:

1. Elastisitas titik (Point Elasticity)

2. Elastisitas busur (Arc Elasticity)

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

ƞ = ∆ /

/ = ∙



Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.

Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :

a. Elastisitas harga permintaan, ƞ d < 0 (negatif)

b. Elastisitas harga penawaran, ƞ s > 0 (positif )

Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :

a. |ƞ| > 1 elastis

b. |ƞ| < 1 inelastis

c. |ƞ| = 1 unitary elastis

d. |ƞ| = 0 inelastis sempurna

e. |ƞ| = ∞ elastis tak hingga

4.1.2 Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang

yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan

dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah

ƞd = Qd’ ∙

Ƞ = . ∆∆

Ƞ = . ∆∆

Ƞ = ( )/( )/

. ∆∆



Contoh soal :

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 33 – 3P2.

Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifat

elastisitasnya? Analisislah!

Diketahui : Qd = 33 – 3P2 Qd’ = -6P

P = 5

Ditanya : d?

Jawab :

ƞd = Qd’ ∙

ƞd = -6P ∙ –

ƞd = -6(5) ∙ – ( )

ƞd = 3,57 elastis

Analisis : Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3,57 pada saat harga produk

sebesar Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang

diminta akan turun sebanyak 3,57%.



Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka aplikasi EC – Math

2. Pilih Derivatif



3. Pilih Mencari Elastis Permintaan

4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter



5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini. Masukkan angka-angka yang

diketahui di soal.

6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.



4.1.3 Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisian yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi

penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P), maka elastisitas penawarannya:

Contoh soal :

Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -53 + 4P2.

Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 3/ unit. Bagaimana sifat

elastis penawaran tersebut, analisislah !

Diketahui : Qs = -53 + 4P2

Qs’ = 8P

P = Rp 3/ unit

Ditanya : s?

Jawab :

ƞs = Qs’ ∙

ƞs = 8P ∙

ƞs = 8(3) ∙ ( )

ƞs = - 4,23 elastis

Analisis:

Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4,23 pada saat harga produk

sebesar Rp 3. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang

ditawarkan akan bertambah sebanyak 4,23%

ƞs = Qs’ ∙



Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka aplikasi EC – Math

2. Pilih Derivatif



3. Pilih Mencari Elastis Penawaran





diketahui di soal

6. Kemudian tekan Enter , maka hasilnya adalah sebagai berikut.



4.1.4 Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan

(input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P= f(X),

maka elastisitas produksinya:

Contoh soal :

Diketahui Fungsi Produksi suatu barang ditunjukkan oleh P = 4X2 - 3X3.

Hitunglah elastisitas pada X = 4 unit dan analisislah !

Diketahui : P = 4X2 - 3X3

P’ = 8X - 9X2

X = 4

Ditanya : p?

Jawab :

ƞp = P’ ∙

ƞp = 8X – 9X2 ∙ –

ƞp =

ƞp = ( ) ( )( ) ( )

ƞp = 3,5

Analisis :

Jadi elastisitas produksi sebesar 3,5 pada saat jumlah masukan produk

sebesar 4 unit.

ƞp = P’ ∙





2. Pilih Derivatif



3. Pilih Mencari Elastisitas Produksi





diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.



4.2 BIAYA

a. Biaya Total (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau

memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap

atau biaya variabel.

Dimana :

TC = Total cost

VC = Variabel cost

FC = Fixed cost

Q = Quantitas

b. Biaya Rata – rata (AC)

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu

barang atau jasa pada tingkat produksi total.

c. Biaya Marginal ( MC) Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat

pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.

Contoh soal : Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Honda di tunjukkan

oleh persamaan TC = 43Q3 + 35Q2 - 44Q + 45. Tentukanlah besarnya biaya

total, biaya rata-rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan

analisisnya!

TC = F(Q) atau TC = FC + VC

AC = TC / Q

MC = TC’ =



Diketahui : TC = 43Q3 + 35Q2 - 44Q + 45

Q = 4

Ditanya : TC, AC dan MC pada Q = 4?

Jawab :

TC = 43(4)3 + 35(4)2 – 44(4) + 45

= 2.752 + 560 – 176 + 45

= 3.181

AC = TC / Q

= 3.181 / 4

= 795,25

MC = TC’

= 129Q2 + 70Q - 44

= 129(4)2 + 70(4) - 44

= 2.064 + 280 - 44

= 2.300

Analisis:

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebesar 4 unit maka biaya total

yang dikeluarkan sebesar Rp 3.181 dengan biaya rata – rata sebesar Rp

795,25 dan biaya marginal Rp 2.300.





2. Pilih Derivatif



3. Pilih Mencari Fungsi Biaya





diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter ,maka hasilnya adalah sebagai berikut.



4.3 PENERIMAAN a. Penerimaan Total (TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

b. Penerimaan Rata – rata (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan

suatu barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama

dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

c. Penerimaan Marginal ( MR )

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat

pertambahan penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.

Contoh Soal :

Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 45Q +

3. Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya

penerimaan total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika

penjualan sebesar 4 unit? Berikan analisisnya!

Diketahui : P = 45Q + 3

Q = 4

Ditanya : Persamaan TR?

Besarnya TR, AR dan MR pada saat Q = 4?

TR = F(Q) = P ∙ Q

MR = TR’ = ∆∆

AR = = ( )

= P



Jawab :

TR = P x Q

= (45Q + 3)Q

= 45Q2 + 3Q

Jika Q = 4, maka:

TR = 45(4)2 + 3(4)

= 720 + 12

= 732

AR = TR / Q

= 732 / 4 = 183

MR = TR’

= 90Q + 3

= 90(4) + 3

= 363

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat

penjualan 4 unit sebesar Rp 732 dengan penerimaan rata – rata sebesar Rp

183 dan penerimaan marginal sebesar Rp 363.





2. Pilih Derivatif



3. Pilih Mencari Fungsi Penerimaan

Karena P = 45Q + 3, maka TR = P . Q = (45Q + 3) . Q = 45Q2 + 3Q

4. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2, kemudian tekan Enter




diketahui di soal:

6. Kemudian tekan Enter, maka hasilnya adalah sebagai berikut.



4.4 LABA MAKSIMUM

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu :

1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata-Rata (Average Approach)

3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum

dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba

dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan

Marginal (MR). laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba (휋 dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan

pertama fungsi (휕n/휕Q) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai

turunan pertama TC (휕TC/휕Q atau MC ) sehingga MR – MC = 0. Dengan

demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian

minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.

Contoh soal: Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -250Q +

20.000 dengan biaya variabel VC = 20Q2 – 2.000Q. Biaya tetap yang

dikeluarkan perusahaan sebesar 25.000. Tentukanlah pada tingkat penjualan

berapa perusahaan bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah

besarnya laba tersebut? Analisislah!

Diketahui : TC = VC + FC = 20Q2 – 2.000Q + 25.000

TR = P x Q = -250Q2 + 20.000Q

Ditanya : Q pada saat laba max?

Jawab :

laba / rugi = TR – TC

= (-250Q2 + 20.000Q) - (20Q2 – 2.000Q + 25.000)

= -270Q2 + 22.000Q – 25.000



Laba maksimum → laba’ = 0

-540Q + 22.000 = 0

540Q = 22.000

Q = 40,74 ≈ 41

Saat Q = 41 → Laba = -270Q2 + 22.000Q – 25.000

= -270(41)2 + 22.000(41) – 25.000

= 423.130

Analisis:

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual

produknya sebanyak 41 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar Rp

423.130.


1. Buka software EC-MATH seperti tampilan dibawah ini



2. Pilih menu Derivatif

3. Pilih Mencari Fungsi Laba

Kemudian masukan data-data yg ada di soal, maka akan muncul output

seperti berikut :



푓(푥)푑푥 = 퐹(푥) + 푐

INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu

integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).

Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang

berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan

atau derivatif dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu

merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas

suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari

integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

Keterangan :

∫ = tanda integral

푓(푥) =diferensial dari F(x)

퐹(푥) = intergal partikular

푐 = konstanta pengintegralan

Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal

dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)

maka:

Untuk fungsi asal : 퐹(푥) = 푥 + 5

Fungsi turunannya : 푓(푥) = ( ) = 2푥



Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:

푓(푥)푑푥 = 퐹(푥) + 푐 = 푥 + 푐

Derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita

mengintegralkan fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c

tidak dapat diisi dengan sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut

sudah ditentukan. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk

integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak

tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU

Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu,

diantaranya:

1. Formula pangkat

푥 푑푥 =푥푛 + 1 + 푘

2. Formula logaritmis 1푥 푑푥 = ln 푥 + 푘

3. Formula eksponensial

푒 푑푥 = 푒 + 푘

푒 푑푢 = 푒 + 푘푢 = 푓(푥)

4. Formula penjumlahan

{(푥) + 푔(푥)}푑푥 = 푓(푥)푑푥 + 푔(푥)푑푥 = 퐹(푥) + 퐺(푥) + 푘

5. Formula perkalian

푛푓(푥)푑푥 = 푛 푓(푥)푑푥푛 ≠ 0



Biaya total (TC) = f(Q)

Biaya marginal (MC) = TC’ = f’(Q)

Biaya total (TC) = ∫푀퐶푑푄 = ∫푓’(푄)

Biaya rata-rata (AC) =

6. Formula subtitusi

푓(푢)푑푢푑푥 푑푥 = 푓(푢)푑푢 = 퐹(푢) + 푘

3. PENERAPAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari

persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi

marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan

turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi,

dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC).

Contoh soal : Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan MC = 5Q2 + 5Q + 5.

Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila diketahui

konstanta sebesar 5? Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika

kuantitasnya sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MC = 5Q2 + 5Q + 5

c = 5

Q = 10

Ditanya : Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC & AC jika Q = 10?



Jawab :

TC = ∫MCdQ

= ∫ 5Q2 + 5Q + 5 dQ

= Q3 + Q2 + 5Q + c

= Q3 + Q2 + 5Q + 5

AC =

= ( )

= Q2 + Q + 5 +

Jika Q = 10, maka:

TC = Q3 + Q2 + 5Q + 5

= (10)3 + (10)2 + 5(10) + 5

= (1000) + (100) + 5(10) + 5

= 1.971,67

AC =

= . ,

= 197,167



Analisis :

Apabila MC = 5Q2 + 5Q + 5 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya

totalnya adalah TC = Q3 + Q2 + 5Q + 5, dan fungsi biaya rata-ratanya

adalah AC = Q2 + Q + 5 + .

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya biaya total yang harus

dikeluarkan perusahaan tersebut adalah Rp 1.971,67. Sedangkan besarnya

biaya rata-rata adalah Rp 197,167.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software EC-Math 1. Buka aplikasi EC – Math



2. Pilih Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya



4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan

Banyaknya Variabel lihat pangkat tertinggi dari soal, yaitu 2. Masukkan

FC sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang

diketahui di soal. Klik Calculate.



Penerimaan total (TR) = f(Q)

Penerimaan marginal (MR) = TR’ = f’(Q)

Penerimaan total (TR) = ∫푀푅푑푄 = ∫ 푓’(푄)

Penerimaan rata-rata (AR) =

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada

di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.2 Fungsi Penerimaan Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

Contoh soal :

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh

persamaan MR = 4Q2 + 3Q + 4, maka bentuklah fungsi TR dan AR jika c = 0?



Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika

kuantitas yang terjual sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MR = 4Q2 + 3Q + 4

c = 0

Q = 10

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 10?

Jawab :

TR = ∫ MR dQ

= ∫ 4Q2 + 3Q + 4

= Q3 + Q2 + 4Q + c

= Q3 + Q2 + 4Q

AR =

= 43 32

= Q2 + Q + 4

Jika Q = 10, maka:

TR = Q3 + Q2 + 4Q

= (10)3 + (10)2 + 4(10)

= 1.523,33

AR =

= . ,

= 152,333



Analisis :

Apabila MR = 4Q2 + 3Q + 4 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi

penerimaan totalnya adalah TR = Q3 + Q2 + 4Q dan fungsi persamaan

rata-ratanya adalah AR = Q2 + Q + 4.

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya penerimaan total

perusahaan tersebut adalah Rp 1.523,33. Sedangkan besarnya penerimaan

rata-rata adalah Rp 152,333.





3. Pilih Fungsi Penerimaan





persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.



5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada

di soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.3 Fungsi Produksi Produk Total adalah integral dari produk marginal.

Produk total (P) = f(X) dimana,

P = keluaran; X = masukan

Produk marginal (MP) = P’ = f’(X)

Produk total (P) = ∫푀푃푑푋 = ∫ 푓 ′(푋)푑푋

Produk rata-rata (AP) =



Contoh soal :

Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q2 + 5. Bentuklah

fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika c = 0? Berapakah

besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan

sebesar 10 unit? Analisislah!

Diketahui : MP = 3Q2 + 5

c = 0

X = 10

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 10?

Jawab :

TP = ∫ MP dQ

= ∫ 3Q2 + 5

= Q3 + 5Q + c

= Q3 + 5Q

AP =

= Q3+5Q

= Q2 + 5

Jika X = 10, maka:

TP = Q3 + 5Q

= (10)3 + 5(10)

= 1000 + 50

= 1.050

AP =

= .

= 105



Analisis :

Apabila MP = 3Q2 + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi produk total PT

POOH adalah TP = Q3 + 5Q dan fungsi produk rata-ratanya adalah AP = Q2

+ 5.

Jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit, maka besarnya produk total

adalah 1.050 unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar 105 unit.





3. Pilih Fungsi Produksi





persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.



Utilitas total (TU) = f(Q)

Utilitas marginal (MU) = TU’ = f’(Q)

Utilitas total (TU) = ∫푀푈푑푄 = ∫ 푓’(푄)

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di

soal, yaitu 10. Kemudian klik Calculate.

3.4 Fungsi Utilitas Utilitas Total adalah integral dari utilitas marginal.

Contoh soal: Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 90 – 10Q dan konstantanya

sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 10?



Diketahui : MU = 90 – 10Q

c = 0

Q = 10

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 10?

Jawab :

TU = ∫ MU dQ

= ∫ 90 – 10Q

= 90Q – 5Q2 + c

= 90Q – 5Q2

Jika Q = 10, maka:

TU = 90Q – 5Q2

= 90(10) – 5(10)2

= 900 – 500

= 400

Analisis :

Apabila MU = 90 – 10Q dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas

totalnya adalah TU = 90Q – 5Q2.

Jika kuantitasnya sebesar 10 unit, maka besarnya utilitas total konsumen

tersebut adalah 400.

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan

fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi,

konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari

MPS.



k = a = Autonomous Consumption → konsumsi otonom menunjukkan

besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

k = a = Autonomous Saving → Tabungan otonom menunjukkan

besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

MPC (Marginal Propensity to Consume) → Perbandingan antara

besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan

Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

MPS (Marginal Propensity to Saving) → Perbandingan antara besarnya

perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y)

yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan: MPC < 1 → menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan

pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan

sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > ½ → menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh

digunakan untuk konsumsi.

MPC selalu positif → karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh soal : Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara

jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34

milyar?

C = ∫푀푃퐶푑푌 = 퐹(푌) + 푘 k = a

S = ∫푀푃푆푑푌 = 퐺(푌) + 푘 k = -a

1 > MPC > 1 2

MPC + MPS = 1



Diketahui : MPC = 0,55

Konsumsi otonom = a = k = 34

Ditanya : C dan S?

Jawab :

MPC + MPS = 1

MPS = 1 – MPC

MPS = 1 – 0,55

MPS = 0,45

C = ∫푀푃퐶푑푌

= ∫ 0,55푑푌

= 0,55Y + c

= 0,55Y + 34

S = ∫푀푃푆푑푌

= ∫ 0,45푑푌

= 0,45Y + c

= 0,45Y - 34

Analisis :

Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34; maka fungsi

konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y + 34. Sedangkan fungsi

tabungannya adalah S = 0,45Y – 34.



3. Pilih Fungsi Konsumsi

4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal, yaitu

34, kemudian masukkan nilai MPC, yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate.



Catatan: Untuk mencari fungsi Konsumsi dan tabungan, dapat pula dilakukan dengan

mengklik Integral Tak Tentu → Fungsi Tabungan. Hanya saja, saat

memasukkan nilai k atau a, peru ditambahkan minus.

Untuk contoh soal ini, masukkan nilai k atau a sebesar -34. Lalu masukkan

nilai MPS sebesar 0,45 (didapat dari 1 – MPC). Kemudian klik Calculate.



INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan

dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya

sudah ditentukan.

Rumus Integral tertentu:

푓(푥)푑푥 = [퐹(푥)] = 퐹(푏) − 퐹(푎)

Keterangan :

a = batas minimum

b = batas maksimum

dimana a < b

Contoh : Hitunglah luas daerah persamaan 6x2 – 8x + 2 dibatasi oleh a=2 dan b=4 !

Jawab :

∫ 6푥 – 8푥 + 2푑푥 = [2푥 − 4푥 + 2푥]

= [2(4) − 4(4) + 2(4)] − [2(2) − 4(2) + 2(2)]

= 72 − 4 = 68

2. PENERAPAN EKONOMI 2.1 Surplus Konsumen

Surplus konsumen yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus

yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga



pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas

area dibawah kurva permintaan ( P = f(Q) ) tetapi diatas tingkat harga pasar

(Pe).

퐶푠 = 푓(푄)푑푄 − 푄푒.푃푒 = 푓(푃)푑푃

Dimana :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P = Tingkat harga pada saat Q=0

Grafik Surplus Konsumen

Contoh Soal 1:

Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 55 - 4Q dan fungsi penawaran Ps

= 5 + Q, hitunglah surplus konsumen dengan dua cara? Analisislah dan

buatlah grafiknya !

Diketahui : Pd = 55 - 4Q

Ps = 5 + Q

Ditanya : Cs ?



Jawab :

Cara 1 Pd = Ps P = 55 – 4(10)

55 - 4Q = 5 + Q Pe = 15

- Q - 4Q = 5 – 55

- 5Q = - 50

Qe = 10

Cs = ∫ 푓(푄)푑푄 − 푄푒.푃푒

= ∫ [55– 4Q]dQ– 10. 15

= [55Q – 2Q2 ] – 150

= [55(10) – 2(10)2] – [55(0) – 2(0)2] – 150

= 350 – 0 – 150

= 200

Analisis:

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karena

konsumen dapat membeli dengan harga Rp 15 padahal konsumen sanggup

membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 15.

Grafik Surplus Konsumen Soal 1



Langkah membuat Kurva:

1. Pd = 55 - 4Q

Misal P = 0 → Q = 13,75

Misal Q = 0 → P = 55

2. Letakkan nilai Kuantitas Keseimbangan Pasar (Qe = 10) dan Harga

Keseimbangan Pasar (Pe = 15)

3. Untuk area Cs dapat hitung menggunakan rumus Luas Segitiga, L = (a x t) : 2. Dengan a = 10; t = 40 maka nilai Cs atau Luas Segitiga yang diarsir

adalah L = (10 X 40) : 2 = 200


1. Pilih materi Integral Tentu, lalu pilih Surplus Konsumen 1 (rumus 1)



2. Masukkan jumlah variabel Q yang tertera pada soal (Lihat Fungsi

Permintaannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal, kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan

muncul.



Cara 2

Pd = 55 - 4Q → 4Qd = 55 – P

Qd = 13,75 – 0,25P

Jika : Q = 0 ; 푃 = 55

Cs = ∫ 푓(푃)푑푃

= ∫ [13,75– 0,25P]dP

= [13,75P – 0,125P2]

= [13,75(55) – 0,125(55)2] – [13,75(15) – 0,125(15)2]

= 378,125 – 178,125

= 200

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, Surplus Konsumen 2 (rumus 2)




Permintaannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Jika sudah diinput sesuai soal klik tab Hitung maka

jawaban soal akan muncul.



Contoh Soal 2:

Jika fungsi permintaan P = 34 - 4Q dan tingkat kuantitas keseimbangan

pasarnya adalah 5, hitunglah surplus konsumennya dengan 2 cara,

analisislah dan buat grafiknya!

Diketahui : P = 34 - 4Q

Qe = 5

Ditanya : Cs ?

Jawab :

Qe = 5 → Pe = 34 – 4(5) = 14

Cara 1

Cs = ∫ 푓(푄)푑푄 − 푄푒.푃푒

= ∫ [34 − 4Q]dQ– 5.14

= [34Q – 2Q2] – 70

= [34(5) – 2(5)2] – [34(0) – 2(0)2] – 70

= 120 – 0 – 70

= 50

Cara 2 P = 34 - 4Q → Q = 8,5 – 0.25P

Jika : Q = 0 ; 푃= 34

Cs = ∫ 푓(푃)푑푃

= ∫ [8,5– 0.25P]dP

= [8,5P – 0,125P2]

= [8,5(34) – 0,125(34)2] – [8,5(14) – 0,125(14)2]

= 144,5 – 94.5

= 50



Analisis :

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karena

konsumen dapat membeli dengan harga Rp.14 padahal konsumen sanggup

membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14.

Grafik Surplus Konsumen Soal 2

Langkah membuat Kurva :

1. P = 34 - 4Q

Misal, P = 0 maka nilai Q = 8,5

Misal, Q = 0 maka nilai P = 34




adalah L = (5 X 20) : 2 = 50

2.2 Surplus Produsen

Surplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang

dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang

yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area

diatas kurva penawaran ( P= f (Q) ) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe).



Rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe

sebagai batas atas.

푃푠 = 푄푒.푃푒 − 푓(푄)푑푄 = 푓(푃)푑푃

Dimana :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P = Tingkat harga pada saat Q=0

Grafik Surlus Produsen

Contoh Soal 1: Bila diketahui fungsi penawaran dan fungsi permintaan masing-masing Ps =

33 + Q dan Pd = 45 – Q. Hitunglah surplus PT Lorebus sebagai produsen

dengan dua cara, analisis dan buat grafiknya!

Diketahui : Ps = 33 + Q

Pd = 45 – Q

Ditanya : Ps ?



Jawab :

Cara 1 Pd = Ps P = 33 + (6)

45 – Q = 33 + Q Pe = 39

- Q - Q = 33 – 45

- 2Q = - 12

Qe = 6

Ps = 푄푒.푃푒 − ∫ 푓(푄)푑푄

= 6 . 39 – ∫ [33+ Q]dQ

= 234 – [33Q + 0,5Q2]

= 234 – [33(6) + 0,5(6)2] – [33(0) + 0,5(0)2]

= 234 – 216 – 0

= 18

Analisis :

Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 18 dikarenakan

perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 39 padahal

sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yang lebih rendah dari

harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 33.

Grafik Surplus Produsen Soal 1



Langkah membuat Kurva :

1. Ps = 33 + Q

Misal, P = 0 maka nilai Q = -33

Misal, Q = 0 maka nilai P = 33




adalah L = (6 X 6) : 2 = 18


1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 1 (rumus 1)




Penawarannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan

muncul.



Cara 2

Ps= 33 + Q → Qs = P - 33

Jika Q = 0 ; 푃 = 33

Ps = ∫ 푓(푃)푑푃

= ∫ [P– 33]dP

= [ 0,5P2 – 33P] 3933

= [0,5(39)2 – 33(39)] – [0,5(33)2 – 33(33)]

= -526,5 – (-544,5)

= 18

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Pilih materi Integral Tentu, lalu klik Surplus Produsen 2 (rumus 2)




Penawarannya), pilih 1 variabel

3. Input data sesuai soal. Kemudian klik Hitung maka jawaban soal akan

muncul.



TRANSEDENTAL

1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk

menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang

termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi

logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat

irrasional. Namun pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial

dan fungsi logaritmik. Baik fungsi eksponensial maupun fungsi logaritmik

keduanya memiliki hubungan yang erat, dikarenakan fungsi logaritma adalah

fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen tertentu, atau sebaliknya.

1.1 Fungsi Eksponensial Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat

adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu

konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana

konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.

Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah:

di mana: n > 0

Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:

di mana: n ≠ 0

e = 2,71828

k , c merupakan konstanta

Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain:

1. a0 = 1

2. a-k = 1/(a)k

3. a1/q = q√ a

y = nx

y = ne kx + c



4. am an

5. am / an = a m-n

6. (am)k = amk

Contoh Soal:

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e0,35x - 1 , pada masing-masing

sumbu dan hitunglah f(3)!

Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

e0,35x – 1 = 0

e0,35x = 1

Ln e0,35x = Ln 1

0,35x Ln e = Ln 1

0,35x = 0

x = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

Pada sumbu y ; x = 0

y = e0,35x - 1

y = e0,35(0) - 1

y = e0 - 1

y = 1 - 1

y = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

Untuk x = 3

y = e0,35x - 1

y = e0,35(3) - 1

y = e1,05 – 1

y = 2,7181.05 – 1

Ln e = 1 Ln 1 = 0



y = 2,858 – 1

y = 1,858

Titik potongnya (3 ; 1,858)

Grafik 1 Kurva Eksponensial pada y = e3,5x - 1

1.2 Fungsi Logaritmik

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok

untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 52 = 25, ini berarti

bahwa eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5.

Sedangkan fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya

merupakan bilangan logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x.

Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :

di mana: n > 0

n ≠ 1

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :

di mana: x > -1

Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma

1. Log a.b = log a + log b

2. Log a/b = log a – log b

3. a log b = log b / log a

y = n log x

y = a ln (1 + x) + b



4. a log b = c maka ac = b

5. a log a = 1

6. log xn = n log x

7. a log 1 = 0

8. a a log b = b

Contoh soal: Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) – 3, pada masing-

masing sumbu dan hitunglah f(3)!

Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

-4,5 Ln(1 + x) – 3 = 0

-4,5 Ln (1 + x) = 3

Ln (1 + x) = -0,67

1 + x = e–0,67

1 + x = 0,512

x = -0,488

Titik potongnya (-4,88 ; 0)

Pada sumbu y ; x = 0

y = -4,5 Ln (1 + x) – 3

y = -4,5 Ln (1 + 0) – 3

y = -4,5 Ln 1 – 3

y = -4,5 . 0 – 3

y = –3

Titik potongnya (0 ; -3)

Untuk x = 3

y = -4,5 Ln(1 + x) – 3

y = -4,5 Ln(1 + 3) – 3



y = -4,5 Ln 4 – 3

y = -6,2383 – 3

y = -9,2383

Titik potongnya (3 ; -9,2383)

Grafik 2

Kurva Logaritmik pada y = - 4,5 Ln(1 + x) = 3

2. PENERAPAN EKONOMI

Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah

dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model

yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang

menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:

2.1 Model Bunga Majemuk

Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi

eksponensial. Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa

mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan.

Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada

suku bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

Fn = P ( 1 + i )n



Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun,

maka jumlah di masa mendatang Fn adalah :

di mana :

Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun.

P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0).

i = Tingkat bunga per tahun.

m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.

n = Jumlah tahun

Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan

n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsip-

prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap

model ini.

Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu

tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau

sering), maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:

dimana e = 2,71828

Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous

compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam-

meminjam seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir”

atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan

bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena

itu, model ini dapat pula disebut “model lintah darat”

F n = P(1 + ) m.n

Fn ≈ Pei.n



Contoh Soal :

Tuan Tedi seorang pengusaha tekstil yang sedang melakukan

pengembangan usaha. Modal yang dibutuhkan sekitar Rp 300.000.000,-.

Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Swasta untuk jangka waktu 5 tahun

dengan bunga pinjaman 5% per tahun. Hitunglah:

a. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saat

pinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per kuartal!

b. Berapa rupiah jumlah yang harus dibayarkan oleh Tuan Tedi pada saat

pinjamannya jatuh tempo jika bunga diperhitungkan per jam!

Diketahui : P = 300.000.000

i = 5% = 0,05

m = 3

n = 5

Ditanya : a. F5 per kuartal?

b. F5 per jam?

Jawab : a. Per kuartal (dengan rumus bunga majemuk biasa)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma

F5 = 300.000.000 (1 + , )

F5 = 300.000.000 (1,0167)15

F5 = 300.000.000 (1,2820)

F5 = 384.600.000,-

2) Dengan Menggunakan Logaritma

F5 = 300.000.000 (1,0167)15

Log F5 = log 300.000.000 + 15 log 1,0167

Log F5 = 8,4771 + 0,1079

Log F5 = 8,585

F5 = 384.591.782,-



b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural

F5 ≈ 300.000.000 x e0,05 * 5

F5 ≈ 300.000.000 x e0,25

F5 ≈ 300.000.000 x 1,2840

F5 ≈ 385.200.000,-

2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural

F5 ≈ 300.000.000 x e0,05 * 5

F5 ≈ 300.000.000 x e0,25

Ln F5 ≈ Ln 300.000.000 + 0,25 Ln e

Ln F5 ≈ 19,5193 + 0,25

Ln F5 ≈ 19,7693

F5 ≈ 385.210.309,-

Analisis : Jumlah uang yang harus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo apabila

pembayaran bunga dihitung per kuartal adalah sebesar Rp 384.600.000,-.

Sedangkan jika pembayaran bunga dihitung per jam, maka jumlah uang yang

harus dibayar oleh Tuan Tedi saat jatuh tempo adalah sebesar Rp

385.200.000,-.



Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math 1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik

Transendental.

2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk



3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hitung maka akan

muncul jawaban dibawah data diketahui.

Catatan : Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math

mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual

menggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada

software EC-Math tidak menggunakan pembulatan.

2.2 Model Pertumbuhan

Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi

eksponensial. Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel

kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel

lain yang berkenaan dengan pertumbuhannya.

Pt = P1. R t-1 R = 1 + r



di mana:

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.

t = Jumlah tahun.

P1 = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis).

r = Tingkat pertumbuhan

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala

macam variabel dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah

kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi:

di mana:

N = Variabel yang sedang diamati.

r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu.

t = Indeks tahun.

Contoh Soal : PRINCE merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang

Multi Level Marketing di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2005. Pada awal

usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing/Sales sebanyak

355 orang untuk seluruh Indonesia. Diperkirakan pertumbuhan Personal

Marketingnya sebesar 5% per tahun. Hitunglah berapa jumlah Personal

Marketing yang dimiliki oleh PRINCE pada tahun 2009? Analisislah!

Diketahui : N = 355 orang

t = 5 tahun

r = 0,05

R = 1 + 0,05 = 1,05

Ditanya : N5 = ….. ?

Nt = N1. R t-1 R = 1 + r



Jawab :


Nt = N1 x R(t-1)

N5 = 355 x 1,05(5-1)

N5 = 355 x 1,054

N5 = 355 x 1,2155

N5 = 431 orang


N5 = 20.504 x 1,04(5-1)

N5 = 355 x 1,054

Log N5 = log 355 + 4 log 1,05

Log N5 = 2,5502 + 0,0847

Log N5 = 2,6349

N5 = 431 orang

Analisis :

Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personal Marketing

(sales) akan meningkat menjadi 431 orang, dengan jumlah peningkatan

sebesar 76 orang.




transendental.

2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk.



푁 = 푐.푎

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan

muncul jawaban dibawah data diketahui.

Catatan : Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math

mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual

menggunakan pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada

software EC-Math tidak menggunakan pembulatan..

2.3 Kurva Gompertz

Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat

secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu

peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus

berjalan.



Dimana:

N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati

c = Batas jenuh pertumbuhan

a = Proporsi pertumbuhan awal

r = Tingkat pertumbuhan rata-rata

t = Indeks waktu

Contoh soal: PT Chup-chup adalah perusahaan penghasil permen lollipop. Manajer

perusahaan mempunyai data bahwa produksi awal permen lollipop berjumlah

3.534 bungkus. Tingkat rata-rata pertumbuhan produksi permen lollipop per

tahunnya sebesar 35%. Perusahaan membatasi produksinya maksimal 5.444

bungkus. Hitunglah berapa jumlah produksi permen lollipop yang dihasilkan

PT Chup-chup pada tahun kelima?

Diketahui : c = 5.444

x = 3.534

a = = ..

= 0,649

r = 35% = 0,35

t = 5

Ditanya : N untuk tahun kelima atau N5 = ?

Jawab :


N = c. a

N = 5.444x0,649 ,

N = 5.444 x 0,6490,005252

N = 5.444 x 0,9977320177

N = 5.431,65 ≈ 5.432




N = 5.444 X 0,649 ,

N = 5.444 x 0,6490,005252

Log N = log 5.444 + 0,005252 log 0,649

Log N = 3,735918 + 0,005252(-0,1877553)

Log N = 3,735918 + (-0,00098609)

Log N = 3,73493191

N = 5.431,65 ≈ 5.432

Analisis :

Dengan produksi awal sebanyak 3.534 bungkus dan rata-rata pertumbuhan

35% didapatkan jumlah permen lollipop tahun ke-5 sebanyak 5.432 bungkus.

Jumlah produksi tahun ke-5 masih dibawah produksi maksimum perusahaan

yaitu 5.444 bungkus.


Transendental.



2. Pilih Model Kurva Gompertz

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka

akan muncul jawaban dibawah data diketahui.



푦 = 푚− 푠푒

Catatan:

Hasil pengerjaan dengan cara manual berbeda dengan hasil pengerjaan

menggunakan software EC-Math. Hal ini dikarenakan bahwa software EC-

Math menggunakan angka dibelakang koma. Sedangkan pada cara manual

menggunakan pembulatan.

2.4 Kurva Belajar (Learning Curve) Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi

untuk menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya

dengan variabel waktu.

Bentuk Dasar

Dimana:

m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai

k, m, s > 0

Perilaku Produksi

Dimana:

P = Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu

Pm = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu

Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t

= 0)

t = Indeks waktu r = Tingkat pertumbuhan produksi

P = Pm – Ps . 푒 .



Perilaku Biaya

Dimana:

C = Biaya total per satuan waktu

Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan)

per satuan waktu

Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0)

t = Indeks waktu

r = Persentase kenaikan biaya per satuan waktu

Contoh soal: Sebuah mesin perakit televisi pada awal produksi hanya mampu beroperasi

53% dari kapasitas yang ditentukan. Namun. manajer produksi perusahaan

yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sebesar 4% setiap bulannya. Jika

kapasitas produksi maksimum perusahaan sebesar 534 unit, maka:

a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan mesin perakit tersebut!

b. Berapa unit televisi yang dihasilkan pada awal produksi?

c. Berapa unit televisi yang dihasilkan setelah mesin tersebut di operasikan

selama 5 bulan?

d. Analisislah!

Diketahui : Pm = 534

Ps = 47%(534) = 250,98 ≈ 251

r = 4% = 0,04

t = 5

Ditanya : a. Persamaan P?

b. Produksi perdana?

C = Cm – Cs . 푒 .



c. Jumlah produksi setelah 5 bulan?

d. Analisis!

Jawab :

a. Persamaan perilaku produksi

P = Pm - Ps . e - r. t

P = 534 – 250,98 . e – 0,04. t

b. Jumlah produksi perdana

53 % x 534 = 283,02 ≈ 283

c. Jumlah produksi setelah 5 bulan


P = 534 – 251 . e – 0,04. t

= 534 – 251 . e – 0,04. 5

= 534 – 251 . e – 0,2

= 534 – 251 . (0,81873)

= 534 – 205,50123

= 328,49877 ≈ 328

2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural

P = 534 – 251. e – 0,04. t

= 534 – 251. e – 0,04. 5

= 534 – 251 . e – 0,2

= 534 – 251 (-0,2 ln e)

= 534 – 251 (-0,2 . 1)

= 534 – 251 (anti ln -0,2)

= 534 – 251 (0,81873)

= 534 – 205,50123

= 328,49877 ≈ 328



d. Analisis

Jadi hasil produksi televisi yang dioptimalkan setelah 5 bulan adalah

sebanyak 328 unit televisi dari awal produksi sebanyak 283 unit. Hal ini

berarti ada peningkatan dalam optimalisasi produksi selama 5 bulan

sebanyak 45 unit.

Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec- Math

1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik Transendental.



2. Pilih Model Kurva Belajar (Learning Curve)

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka

akan muncul jawaban dibawah data diketahui.



Catatan:

Hasil pengerjaan dengan cara manual berbeda dengan hasil pengerjaan

menggunakan software EC-Math. Hal ini dikarenakan bahwa software EC-

Math menggunakan angka dibelakang koma. Sedangkan pada cara manual

menggunakan pembulatan.



DAFTAR PUSTAKA

Assauri, Sofjan. 1996. Matematika Ekonomi, Edisi Baru. Jakarta: PT Raja

Grafindo Persada.

Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kedua.

Yogyakarta: BPFE.

Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi, Edisi

Pertama. Yogyakarta: ANDI.

H. Johanes dan Budiono, Sri Handoko. 1994. Pengantar Matematika untuk

Ekonomi. Jakarta: LP3ES.

Kalangi, Josep Bintang. 2006. Matematika Ekonomi & Bisnis. Jakarta:

Salemba Empat.

Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA

2012/2013.

Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002.