Download - Modul Kalkulus

Transcript
Page 1: Modul Kalkulus

MODUL KALKULUS I

Dosen Pembimbing

Dra. Lusia Sugiyati

Tim Penyusun

Fisca Nandya Agustina (08.5644)

Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647)

Gilang Alip Utama (08.5651)

Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665)

I Gede Heprin Prayasta (08.5667)

Jamiatul Mualifah (08.5686)

Lidya Indah Aribi (08.5699)

M. Aulia Rahman (08. 5709)

Moh. Safiudin (08.5727)

Muhamad Anwar (08. 5731)

Nana Khaira (08.5737)

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

Tahun Akademik 2008 / 2009

Page 2: Modul Kalkulus

KATA PENGANTAR

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan

rahmat Beliau lah kami dapat merampungkan modul mata kuliah Kalkulus ini tepat pada

waktunya.

Adapun tujuan penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini adalah untuk memenuhi

tugas akhir semester genap ini. Selain itu kami berharap modul ini dapat digunakan sebagai

panduan dalam satuan acara perkuliahan mata kuliah Kalkulus I. Pada modul ini kami

berusaha menampilkan seluruh materi ang tercantum dalam silabus acara perkuliahan mata

kuliah Kalkulus tahun akademik 2008 / 2009, serta didukung oleh beberapa latihan soal

dilengkapi dengan pembahasannya.

Akhir kata kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Lusia Sugiyati selaku dosen

pembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan

satu per satu yang telah membantu kami dalam proses penyusunan modul ini. Kami

menyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saran

yang bersifat membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan karya kami berikutnya.

Terima Kasih.

Jakarta, 28 Juli 2009

Penulis

Page 3: Modul Kalkulus

DAFTAR ISI

Halaman Judul ........................................................................................................................ i

Kata Pengantar ......................................................................................................................... ii

Daftar Isi ................................................................................................................................ iii

Fungsi Invers Trigonometri ..................................................................................................... 1

Integral Fungsi Trigonometri ................................................................................................... 7

Integral Parsial ......................................................................................................................... 7

Rumus Reduksi Trigonometri ................................................................................................. 8

Integral Substitusi Trigonometri ............................................................................................ 14

Integral Fungsi Rasional ........................................................................................................ 16

Integral Substitusi Lain .......................................................................................................... 26

Improper Integral ....................................................................................................................29

Fungsi Gamma & Fungsi Beta............................................................................................... 32

Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan ......................................40

Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi .............................................................. 42

Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin ...................................................................... 50

Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi ..................................................................... 50

Fungsi dua Variabel, Domain, Range ................................................................................... 53

Turunan parsial, Aturan Rantai .............................................................................................. 55

Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang ......................................................................... 57

Page 4: Modul Kalkulus

FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

I. TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

1. Turunan Fungsi Invers Sinus

Perhatikan grafik y = sin x, kita mencatat bahwa pada interval 2/2/ x

pembatasan sin x menjadikannya satu-satu. Kemudian kita mendefinisikan sin-1

x sebagai

fungsi inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi,

1. sin-1

x = y jika dan hanya jika sin y = x.

2. Domain sin-1

x adalah [-1,1].

3. Range sin-1

x adalah [-П/2, П/2].

Grafik sin-1

x diperoleh dari grafik sin x dengan merefleksikan pada garis y= x.

1.1

2. Turunan Fungsi Invers Cosinus

Jika kita membatasi domain cos x pada [0, П], kita mendapatkan fungsi satu-satu dengan

range [-1,1]. Jadi kita mendefinisikan cos-1

x sebagai invers dari pembatasan tersebut.

1. cos-1

x = y jika dan hanya jika cos y = x.

2. Domain cos-1

x adalah [-1,1].

3. Range cos-1

x adalah [0, П].

Grafik cos-1

x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cos x pada garis y= x.

1.2

3. Turunan Fungsi Invers Tangen

2

1

1

'][sin

U

UU

dx

d

2

1

1

'][cos

U

UU

dx

d

Page 5: Modul Kalkulus

Dengan membatasi domain tan x pada interval (-П/2, П/2) kita memperoleh fungsi satu-satu,

inversnya yang kita ambil adalah tan-1

x. Maka :

1. tan-1

x = y jika dan hanya jika tan y = x.

2. Domain tan-1

x adalah (-∞,+∞).

3. Range tan-1

x adalah (-П/2, П/2).

Grafik tan-1

x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = tan x pada garis y= x.

1.3

4. Turunan Fungsi Invers Cot

Dengan membatasi domain cot x pada interval (0, П) kita memperoleh fungsi satu-satu,

inversnya yang kita ambil adalah cot-1

x. Maka :

1. cot-1

x = y jika dan hanya jika cot y = x.

2. Domain cot-1

x adalah (-∞,+∞).

3. Range cot-1

x adalah (0, П).

Grafik cot-1

x diperoleh dengan merefleksikan grafik y = cot x pada garis y= x.

1.4

5. Turunan Fungsi Invers Sec

Dengan membatasi domain sec x pada interval (0, П/2) dan (П, 3П/2) kita memperoleh fungsi

satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah sec-1

x. Maka :

1. sec-1

x = y jika dan hanya jika sec y = x.

2. Domain sec-1

x adalah 1y .

3. Range sec-1

x adalah (0, П/2) dan (П, 3П/2).

1.5

2

1

1

'][tan

U

UU

dx

d

2

1

1

'][cot

U

UU

dx

d

1

'][sec

2

1

UU

UU

dx

d

Page 6: Modul Kalkulus

6. Turunan Fungsi Invers Cosec

Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0, П/2) dan (П, 3П/2) kita memperoleh

fungsi satu-satu, inversnya yang kita ambil adalah cosec-1

x. Maka :

1. cosec-1

x = y jika dan hanya jika cosec y = x.

2. Domain cosec-1

x adalah 1y .

3. Range cosec-1

x adalah (0, П/2) dan (П, 3П/2).

1.6

Sumber : Schaum Kalkulus hlmn. 105 dan 106.

II. INTEGRAL FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

Tiap rumus pendiferensialan menghasilkan rumus integral.

1. Integral Fungsi Invers Sin dan Cos

2.1

2.2

2. Integral Fungsi Invers Tan dan Cot

2.3

1

'][cos

2

1

UU

UUec

dx

d

CuCuu

du

11

2cossin

1

Ca

uC

a

u

ua

du

11

22cossin a>0

CuCuu

du

11

2cottan

1

Page 7: Modul Kalkulus

2.4

3. Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec

2.5

2.6

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.

Contoh Soal :

1. Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos-1

(x2)

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.

Jawab :

3)13(

dx

xd

4

21

1

2))((cos

x

x

dx

xd

4

21

1

)2()13()(cos3

x

xxx

dx

dy

4

221

1

)62()(cos3

x

xxx

dx

dy

CuecCuuu

du

11

2cossec

1

Ca

u

aC

a

u

aua

du

11

22cot

1tan

1 a>0

Ca

uec

aC

a

u

aauu

du

11

22cos

1sec

1 a>0

Page 8: Modul Kalkulus

2. Tentukan dy/dx dari

x

xy

1

1tan 1

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.

Jawab :

222 )1(

2

)1(

11

)1(

)1()1)(1(1

1

x

x

x

xx

x

xx

dx

x

xd

2

2

1

11

)1(

2

x

x

x

x

dx

dy

122

2

2121

2

)1(

)1()1(

)1(

2

2222

2

22

2

x

x

x

x

xxxx

x

x

xx

x

x

3. Tentukan dy/dx dari y = 7 cos-1 x2

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.

Jawab :

xdx

xd

2

12

242

7

)21(2

7

21

2

1

7xxxxx

x

dx

dy

4. Tentukan Integral dari

2/

0

2cos1

sin

d

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 420.

Jawab :

Page 9: Modul Kalkulus

2/

0

2

2/

0

2 cos1

sin

cos1

sin

dd

0

2/

2cos1

sin

d

)(costan1

0

2/

= tan-1

(1) – tan-1

(0)

4

04

5. Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertical kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia

melihat sebuah perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik.

Berapa laju perubahan sudut penglihatan θ apabila perahu berada pada jarak 150 kaki dari

bukit itu?

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418.

Jawab :

Orang

θ

200

X Perahu

Dari gambar tampak bahwa Sudut depresi θ memenuhi hubungan

x

200tan 1

Page 10: Modul Kalkulus

Maka

dt

dx

xdt

dx

xxdt

d

40000

)200()200(

)/200(1

1222

Apabila kita substitusikan x = 150 dan dx/dt = 25, kita memperoleh dθ/dt=-0,08 radian tiap

detik.

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Apabila pengintegralan dengan metode substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metode

penggunaan ganda, yang lebih dikenal edengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasi.

Metode ini didasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Andaikan u=u(x) dan v=v(x). Maka

Dx[u(x)v(x)]= u(x)v’(x) + v(x)u’(x)

dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh

u(x)v(x) = +

atau

= u(x)v(x) -

Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut.

Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah

= uv –

Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah

= [uv -

Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral

yang kedua dengan metode yang sama tetapi pangkat dari x lebih kecil. Jadi di sini pangkat dari x

direduksi agar samakin kecil, sehingga masalahnya dapat diselesaikan. Teknik semacam ini dikenal

sebagai rumus reduksi, yang bentuk umumnya

, dengan 0 < k < n.

a. Rumus reduksi untuk

Page 11: Modul Kalkulus

Misalkan

u = dan dv = ,

maka

du = dx dan v = .

Jadi kita mempunyai rumus reduksi

-

b. Rumus reduksi untuk

dan , n bilangan asli

Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,...,

= = = -

dan = = = .

Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu,

=

Misalkan

u = dan dv =

maka

du = (n – 1) dan v = -

akibatnya,

pindahkan ke ruas kiri, diperoleh

Jadi kita mempunyai rumus reduksi

Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu

c. Rumus reduksi untuk

dan , n bilangan asli

Page 12: Modul Kalkulus

Untuk n = 1, = ln | sec x | + C dan = ln | sin x |+ C

Untuk n = 2, = =

= = .

Untuk n =3,4,5,...,

=

=

=

=

d. Rumus reduksi untuk

dan , n bilangan asli

Untuk n = 1, = ln | sec x + tan x| + C dan = ln | csc x - cot x | + C

Untuk n = 2, ;

Khusus untuk n bilangan genap, n =2k, k=1, 2, ...,

= = =

= = = -

Untuk n = 3,4,5,...,

=

Misalkan

u = dan dv =

maka

du = (n – 2) dan v =

= (n – 2)

akibatnya,

pindahkan ke ruas kiri, diperoleh

Page 13: Modul Kalkulus

Jadi kita mempunyai rumus reduksi

+

Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu

+

e. Rumus reduksi untuk

dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.

Tipe 1. Sekurang-kuarangnya salah satu dari sin x dan cos x berpangkat ganjil. Maka

substitusi untuk lainnya berlaku.

Tipe 2. Kedua pangkat sin x dan cos x adalah genap. Ini selalu melibatkan perhitungan

dengan menggunakan identitas-identitas seperti :

f. Rumus reduksi untuk

dimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.

Tipe 1. n adalah genap; substitusikan u = tan x

Tipe 2. n adalah ganjil dan m adalah ganjil. Substitusikan u = sec x

g. Rumus reduksi untuk kita

memerlukan identitas-identitas:

sin Ax cos Bx =

sin Ax sin Bx =

cos Ax cos Bx =

Soal latihan

1.

Misalkan :

u = x, du= dx

dv = , v =

= x -

] + C

2.

Misalkan

u = ln x,du =

dv = , v =

Page 14: Modul Kalkulus

= ln x . - = ln x

=

3.

=

=

Misalkan

u = csc x

du = - csc x.cot x dx

-du = csc x.cot x dx

=

(kemudian u diganti dengan csc x)

4.

Misalkan

u = x , du = dx

dv = csc x dx , v = -tan x

5.

Misalkan

u = cos x

du = - sin x dx

Page 15: Modul Kalkulus

6.

+

7.

Misalkan

u = du =

dv = dx, v = x

Dimisalkan lagi:

p = 1-4

dp = - 8xdx

- dp = 2xdx

+

8.

Misalkan

u = du =

dv = cos x, v = - sin x

Dimisalkan lagi

u = du =

dv = sin x, v = cos x

2

9.

Misalkan

u = cos x

du = - sin x dx

Page 16: Modul Kalkulus

u diganti kembali dengan cos x menjadi

=

=

Sumber buku :

1. Schaum’s Outlines Kalkulus, bab 31 dan bab 32

2. Kalkulus karya Drs. Koko Martono, M.Si, bab 6

3. Kalkulus dan Geometri Analitis karya Edwin J. Purcell, bab 8.4

Sumber Soal :

1. Purcell hal. 457, no. 15

2. Purcell hal. 457, no. 2

3. Kalkulus hal. 236, no. 12

4. Purcell hal. 457, no. 15

5. Kalkulus hal. 236, no. 24

6. Kalkulus hal. 230

7. Schaum hal. 183, no. 16

8. Soal dari catatan

9. Soal dari Ibu Lusia

10. Purcell hal. 457, no. 14

Page 17: Modul Kalkulus

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Terkadang kita merasa kesulitan dan bingung ketika menemukan integral yang bentuknya tak wajar

dan tidak bisa diselesaikan dengan satu atau dua langkah penyelesaian. Untuk itulah, kita mempelajari

berbagai macam substitusi untuk menemukan solusi dari masalah yang akan kita pecahkan.

Suatu Integral yang terdiri dari salah satu bentuk , , atau tetapi

bukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik

peubah baru sebagai berikut :

Untuk Gunakan Guna Memperoleh

u = sin z a = a cos z

u = tan z a = a sec z

u = sec z a = a tan z

Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan

dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku – siku seperti yang ditunjukkan dalam

penyelesaian soal – soal dibawah ini.

Latihan Soal

Carilah penyelesaian dari integral sebagai berikut :

1.

Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2 dan = 2 sec z

Penyelesaian :

= =

=

= + C

= - + C 2

z

Page 18: Modul Kalkulus

2.

Ambil x = 2 sec z ; maka dx = 2 sec z tan z dan

Penyelesaian :

= =

= 2 sec z tan z + 2 ln | sec z + tan z | + C 2

= + 2 ln | x + | + C

3.

Ambil x = maka dx = dan

Penyelesaian :

= (

= 3 = 3

= 3 ln | cosec z – cot z | + 3 cos z + C

= 3 ln | + + C

4.

Ambil x = ; maka dx = dan = 3 sec z

= =

= ln |

= ln | | + C 3

2x

2x

3

x

z

z

z

Page 19: Modul Kalkulus

5.

Ambil x = ; maka dx = dz dan = 4cos z

= =

= =

= + C

= + C

Sumber : Kalkulus Edisi Kedua

Frank Ayres, JR.

J.C. Ault, M.Sc.

Dra. Lea Prasetio, M.Sc.

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial ( suku banyak ). Pada umumnya fungsi

rasional sangat sulit untuk diintegralkan. Akan tetapi, ada beberapa metode yang dalam teori

dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi rasional sebagai jumlahan fungsi rasional

sederhana yang dapat diintegralkan dengan metode dari pelajaran sebelumnya. Sebuah fungsi

berbentuk disebut fungsi rasiona dimana N (x) adalah pembilang dan D (x) adalah

penyebut

Ada dua macam fungsi rasional yaitu sebagai berikut :

1. Fungsi rasional sejati

Yaitu dimana derajat pembilang < derajat penyebut. Contoh 1 :

3x 4

z

Page 20: Modul Kalkulus

2. Fungsi rasional tidak sejati

Dimana derajat pembilang > derajat penyebut. Dapat disederhanakan sebagai

penjumlahan dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contoh 2 :

=

hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian oleh penyebut.

Kasus I : Metode Pecahan Parsial

Dalam hal ini diasumsikan bahwa kita ingin mengevaluasi , dimana

Adalah fungsi rasional yang wajar. D(x) ditulis sebagai hasil kali faktor kuadrat

linier dan faktor kuadrat iredusibel. Dalam hal ini yang dimaksud dengan

iredusibel yaitu hasil akar-akar tersebut tidak boleh negatif dimana

.

Contoh 3 :

adalah iredusibel karena 0-4(1)(4)= −16 ≤ 0

adalah redusibel karena

Metode ini menjabarkan fungsi rasional menjadi faktor linier atau pecahan parsial

dan yang kemudian ditentukan nilai integral tak tentunya.

Kasus I : D (x) mempunyai koefisien utama 1 dan merupakan hasil kali faktor-faktor

linier yang berbeda.

Contoh 4 : Hitunglah ∫

Integran ini dapat ditulis sebagai

Diasumsikan A dan B adalah konstanta tertentu dan untuk mendapatkan konstanta-

konstanta ini kedua sisi dapat kalikan (x-1)(x+2) untuk memperoleh

1= A(x+2) + B(x−1)

Pertama, substitusikan -2 untuk x pada 1= A(0) + B(−3)= −3B. jadi B= −

Page 21: Modul Kalkulus

Kedua, substitusikan x=1 dan menghasilkan 1= A(3) + B(0)= 3A. jadi A=

Jadi,

∫ = ∫

= ln │x-1│− ln│x+2│ + C

= ln │ │+ C

Aturan kasus I. menyatakan integran sebagai jumlah dari suku-suku berbentuk untuk

setiap factor linier x-a dari penyebut, dimana A adalah konstanta yang tidak diketahui.

Lalu selesaikan konstanta tersebut dan integrasi menghasilkan jumlah suku-suku

berbentuk

A ln │x-a│.

Perhatian: kita mengasumsikan tanpa bukti bahwa integran selalu mempunyai representasi

yang dikehendaki. Untuk soal khusus, dapat diperiksa pada akhir perhitungan.

Kasus II : Faktor-faktor Linier

Untuk setiap faktor dalam bentuk fakor linier berulang ( x−r ) yang muncul k kali pada

penyebut, gunakan sebagai bagian dari representasi integran.

Tiap faktor linier yang muncul hanya sekali ditangani seperti dalam kasus I.

dengan konstanta yang ditentukan.

Contoh 5 : Tentukan ∫

Integran ini dapat ditulis kembali sebagai

Meskipun adalah faktor kuadrat , itu tidak irredusibel sebab . Jadi, dengan

aturan faktor linier, memperkenalkan dua suku (sebab m=2) berbentuk

Dan faktor (x-2) memperkenalkan satu suku (sebab m=1) berbentuk

Sehingga pecahan parsialnya adalah

Kalikan dengan menghasilkan

Menentukan nilai A, B, dan C dengan memisalkan x=0 dan x=2 untuk memperoleh

Page 22: Modul Kalkulus

B= −2 dan C= 2

Lalu samakan koefisien yang bersesuaian yang memberikan A+C =0 karena tidak ada

nilai yang memiliki nilai untuk . Dan A= −C= −2

Sehingga menjadi

= −2 ln │x│+ + 2 ln │x-2│ +C

= 2 ln │ │+ + C

Kasus III : D(x) adalah hasil kali satu atau lebih factor-faktor kuadrat iredusibel yang

berbeda dan mungkin juga beberapa faktor linier(yang mungkin muncul lebih dari sekali).

Contoh 6: (faktor kuadrat yang berbeda). Jabarkan menjadi pecahan parsial bentuk

=

Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan

(4x+1)( . sehingga kita memperoleh

1) + (4x+1)

Apabila kita ambil x= , x= 0 dan x=1 , kita mendapat

+ ( ) jadi A = 2

jadi C = −1

jadi B = 1

Maka

∫ =

= +

= ln │4x+1│+ ln│ 1│− + C

Aturan umum kasus III : faktor-faktor linier ditangani seperti pada kasus I-II. Untuk tiap

faktor kuadrat iredusibel , tempatkan suku pada representasi

integran.

Kasus IV : D (x) adalah hasil kali nol atau lebih faktor linier dengan satu atau lebih factor-

faktor kuadratik iredusibel.

Page 23: Modul Kalkulus

Aturan umum kasus IV: faktor linier ditangani seperti kasus I-II. Untuk tiap factor

kuadrat iredusibel yang muncul pada pangkat ke – k, sisipkan sebagai bagian

dari representasi integran.

Contoh 7 : (Faktor kuadrat berulang). Tentukan ∫ dx

Penjabaran disini adalah

Kita akan memperoleh A=1, B =−1, C =3, D=−5, E=0.

Sehingga ,

= ln │ ln │ │+ ( ) + + C

Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x

Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasil kali, dan hasil bagi berhingga

dari sin x dan cos x disebut fungsi-fungsi rasional dari sin x dan cos x . sebagai contoh :

Metode untuk mengintegralkan fungsi-fungsi seperti ini dapat dilakukan berdasarkan pada

kesamaan trigonometri

sin x = 2sin )cos ) (1)

cos x = ) ) (2)

jika dimisalkan

Page 24: Modul Kalkulus

u

1

Maka dari gambar di atas diperoleh

sin ) = dan cos ) = (3)

substitusi ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh

sin x = 2 = (4)

cos x = − = (5)

kombinasidari persamaan (3), (4), dan (5) mengakibatkan rumus-rumus substitusi berikut,

yang seringkali efektif untuk pengintegralan fungsi-fungsi rasional sin x dan cos x.

u = tan ( −π<x<π ) x = 2

sin x = dan cos x = dx = du

rumus terakhir didapat dari pendiferensiasian x = 2 terhadap u.

Contoh 8: Hitung

= =

Catatan : Metode dari contoh di atas dapat menimbulkan dekomposisi pecahan parsial

yang tidak praktis dan akibatnya hanya akan digunakan jika tidak didapatkan metode yang

lebih sederhana.

Soal- soal Latihan ( Sumber : soal – soal Tutorial tahun 2007)

1. ∫

Page 25: Modul Kalkulus

2. ∫

3. ∫ (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)

4. ∫ (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)

5. ∫

6. (Sumber 6-10: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1 )

7.

8.

9.

10.

Penyelesaian soal !

1. ∫ =

6x+4 = A(

x=3 jadi 22= 11A maka A = 2

x=0 jadi 4= 2A+3C maka C=0

x=1 jadi 10=3A+2B+2C maka B= 2

∫ =

∫ misal u= 3-x du= −dx

= −2∫ = ln │u│+ ln│3-x│+

∫ misal u= du= 2x dx

= ∫ = ln│u│+ = ln│

Jadi, ∫ ln│3-x│+ ln│ + C

2. ∫ dengan metode pecahan parsial

=

Page 26: Modul Kalkulus

4

x=1 jadi 6=0+2C maka C= 3

x=0 jadi 1=−B+C =−B+3 maka B=2

x=−1 jadi 4=(−A+B)(−2)=2A−2(2) maka A=4

∫ = ∫

Untuk ∫

Misal u= du= 2x dx maka 2du=4x dx

=∫ = 2 ln │u│ + 2

= 2 ln│

= 2 ln │

Untuk ∫ =3 ln │x-1│+

Jadi, ∫ 3 ln │x-1│+C

3. ∫ =

x−11= A(x−1)+ B(x+4)

untuk x=1 maka B= −2

untuk x=−4 maka A=3

maka,

∫ ln │x+4│−2 ln │x−1│+ C

4. ∫

2= A(x+2)+ Bx

Untuk x= 0 maka 2= A(2), A = 1

Untuk x=−2 maka 2=B(−2), B= −1

Page 27: Modul Kalkulus

Jadi,

∫ ∫ = ln │x│ − ln │x+2│+ C

= ln│ │ + C

5. ∫ =

5 =

x= jadi = C maka C = 1

x= 0 jadi 1= B+C maka B=0

x=1 jadi 8=3 (A+B)+2C maka A=2

Jadi,

∫ =

= ln │ ln │2x+1│+C

6.

Missal x=

dx= 2z dz

x=0,z=0

x=9,z=3

maka =

= 2

= 2

= 2

7. ∫

Misal x=

dx=5 dz

menjadi,

=∫ =∫

Misal

2zdz=du

Page 28: Modul Kalkulus

Zdz=

ln │ │ + C = ln │ │ + C

8.

x=

dx=2z dz

maka,

=

Diselesaikan dengan melakukan pembagian pembilang dengan penyebut

Sehingga menjadi,

=∫ (−2z−4)dz +

= − ln │1−z│) + C

= − ln │1−z│) + C sesuai ketentuan subs. di atas

= − ln │1− │) + C

9.

Misal

= , =

x= ln (

dx=

maka,

= ∫

=

Untuk u=1 , 2=2A maka A=1

Untuk u=−1,2=−2B maka B= −1

Sehingga,

=

Page 29: Modul Kalkulus

= ln │u-1│− ln │u+1│+ C

= ln C

= ln C

10.

x= du

= = − = −

3

6u du =dv

u du =

= − C

= − C

= C

= − + C

INTEGRAL SUBSTITUSI LAIN

Bila integran adalah rasional kecuali bentuk akar maka agar lebih mudah menyelesaikannya

dapat digunakan beberapa substitusi yaitu;

1. , substitusi au + b = zn akan menggantikan bentuk itu dengan integran

rasional.

2. , substitusi q + pu + u2 = (z - u)2 akan menggantikannya dengan

integran rasional.

3. , substitusi q + pu - u2 = (α + u)2z2 atau q + pu - u2= (β – u )2z2

akan menggantikannya dengan integran rasional.

Page 30: Modul Kalkulus

4. substitusi dengan menggantikan p=zb dimana b adalah kelipatan

persekutuan terkecil dari m dan n.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. = .....

Penyelesaian :

Misalkan 1-x = z2 sehingga -dx=2z dz

Maka integralnya menjadi = = -ln

Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = - ln + C

(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)

2. = .....

Penyelesaian :

Misalkan x + 2 = z2 maka x = z

2-2; dx = 2z dz;

Maka integralnya menjadi = = + C

Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = ln + C

(Sumber : Kalkulus edisi kedua,Frank Ayres,dkk 1998,halaman 157)

3.

Penyelesaian :

Misalkan = (z-x)2

x= ; dx = = ;

Page 31: Modul Kalkulus

= dz = 2 =

z =

jadi hasilnya adalah ln + c

(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)

4. = ......

Uraikan = (5+x)(1-x) dan substitusi = (5+x)2z

2

Sehingga diperoleh x =

dx =

Sedang = 5 – 4 (2 =

Jadi integralnya menjadi =

Hasilnya yaitu : + c

(Sumber : Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)

5. = .......

Ambilah z = x4 maka dx = 4z

3 dz dan

dz = 4(1/2 z2 + z + ln + c

= 2 +c

(Sumber : Kalkulus edisi kedua seribuku Schaum,halaman 157).

Page 32: Modul Kalkulus

IMPROPER INTEGRAL

Dalam definisi , diasumsikan bahwa interval [a,b] terbatas. disebut

improper integral jika :

1. Paling sedikit, satu dari batas integralnya tak berhingga. Seperti , ,

.

2. mengandung titik discontinue pada [a,b]. Kemudian kita mendefinisikan

improper integral tersebut dengan cara sebagai berikut :

a. =

b. =

c. +

= +

Dari limit itu, kita bisa menarik kesimpulan, yaitu Jika limitnya ada, maka improper

integral dikatakan konvergen dan nilai dari limit adalah nilai dari integral. Jika limitnya

tidak ada maka improper integral dikatakan divergen yang mana tidak mempunyai nilai.

Jika adalah fungsi tidak negative dan continue pada [a,+ ), maka untuk setiap b>a,

definit integral merupakan daerah dibawah kurva y= dengan batas [a,b]

y

x

Selain itu, disebut improper intregal jika mengandung titik diskontinu pada [a,b].

1. diskontinue pada titik = a

=

2. diskontinue pada titik = b

Page 33: Modul Kalkulus

=

3. diskontinue pada titik = c (a,b)

= +

= +

LATIHAN SOAL

Tentukan nilai improper integral dibawah ini:

1.

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489

Penyelesaian:

=

=

=

=

=

=

=

2.

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489

Penyelesaian :

=

=

Misal :

= sec

Misal :

=

Page 34: Modul Kalkulus

=

= 0

3.

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

= + 1

=

= 1

4.

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

=

Misal :

d dx

Page 35: Modul Kalkulus

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA

1. Fungsi gamma

Notasi : (n)

Definisi :

Yang mana konvergen untuk n > 0

Sifat-sifat fungsi gamma :

a. (n+1) = n (n)

Bukti :

(n+1) =

= +

= +

= + n (n)

Padahal :

= dan seterusnya

=

=

= 0

Terbukti bahwa :

b. (n+1) = n! ( n adalah bilangan bulat positif)

(n) =

misal :

(n) =

(n+1) = n (n)

Page 36: Modul Kalkulus

Bukti:

(1) =

=

=

=

= 1

Jadi (1) = 1

n=1(n+1) = n (n)

(2) = 1 (1)

= 1

n=2 (3) = 2 (2) = 2.1

n=3 (4) = 3 (3) = 3.2.1

n=4 (5) = 4 (4) = 4.3.2.1

Terbukti bahwa:

c.

2. Fungsi Beta

Notasi : B(m,n)

Definisi :

Sifat-sifat fungsi beta :

a. B(m,n) = B(n,m)

Misal :

x = 1-y

x = 0 y = 1 x = 1 y=0

B (m,n) =

=

(n) = (n-1)! atau (n+1) = n!

B (m,n) =

Page 37: Modul Kalkulus

=

= B(n,m)

Terbukti bahwa :

b. B (m,n) =

Bukti:

B(m,n) =

=

=

Terbukti bahwa :

c.

Bukti :

Misal,

=

=

Dengan cara yang sama diperoleh :

=

=

=

Dengan koordinat polar maka:

B(m,n) = B(n,m)

Misal

X=0

X=1

B (m,n) =

Page 38: Modul Kalkulus

= 4

= 2

=

LATIHAN SOAL

1.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

=

2.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Misal :

=

Page 39: Modul Kalkulus

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

=

= =

3.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian:

=

=

=

4.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

Missal

Misal:

Misal:

Misal:

Page 40: Modul Kalkulus

=

= =

5.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

=

= 4!

= 24

6.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

7.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

Misal :

Missal

Page 41: Modul Kalkulus

=

=

=

=

=

= 12

8.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

=

=

=

9. Diketahui

Dengan menggunakan subtitusi x = y/(1-y), tunjukkan bahwa :

(p) (1-p) = Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 291

, Kemudian carilah nilai ! Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 292

Penyelesaian

Page 42: Modul Kalkulus

Misal :

=

=

=

= B(p, 1- p)

=

=

Terbukti bahwa :

=

=

=

=

=

=

=

(p) (1-p) =

Page 43: Modul Kalkulus

=

10.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

Penyelesaian :

=

=

=

=

=

=

BARISAN TAK TERHINGGA

Suatu barisan tak terhingga (sn) adalah fungsi di mana domainnya adalah himpinan bilangpositif

(0,1,2,3,..,..); an adalah nilai fungsi tersebut untuk bilangan bulat positif n yang diberikan. Barisan tak

terhingga biasanya hanya dituliskan beberapa suku pertama dari barisannya saja, contohnya :

1. an = a1 , a2 , a3 , . . , an , . .; an adalah bilangreal.

2. adalah baris 1, , , , . . , , . .

3. adalah baris , , , , . . , , . .

Konvergensi barisan

Barisan disebut konvergen ke L jika

Jika tidak ada , maka barisan divergen.

Suatu barisan juga disebut divergen jika limit pada suku genap dan suku ganjiilnya tidak sama.

Contoh :

1. an = n+1 konvergen ke

2. an = divergen

Page 44: Modul Kalkulus

3. an = n2 – n divergen

4. an = konvergen ke

Sifat-sifat dari barisan yang konvergen :

Theorema :: Andaikan barisan an dan bn masing-masing konvergen ke L dan M serta c suatu

konstanta, maka barisan :

1. (c an ) konvergen ke cL

2. an + bn konvergen ke L+M

3. an - bn konvergen ke L-M

4. an x an konvergen ke L x M

5. an ÷ an konvergen ke L ÷ M ; M ≠ 0

Kemonotonan barisan

an disebut . .

1. Naik jika a1 < a2 < a3 < . . . < an < . .

2. Tidak turun jika a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . .

3. Turun jika a1 > a2 > a3 > . . . > an > . .

4. Tidak naik a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . ≥ an ≥ . .

Untuk menentukan kemonotonan suatu barisan, digunakan uji beda dan uji rasio.

Uji Beda

Naik jika an+1 - an > 0

Turun jika an+1 - an < 0

Tidak turun an+1 - an ≥ 0

Tidak naik an+1 - an ≤ 0

Uji Rasio

Naik jika

Turun jika

Tidak turun jika

Tidak naik jika

Deret tak terhingga

disebut suku-suku deret.

Barisan tak terhingga dapat dibentuk dari jumlah parsial( nya sebagai berikut :

Page 45: Modul Kalkulus

:

S adalah jumlah dari deret.

Jika konvergen ke S, maka disebut juga deret konvergen ke S. Bila

divergen, maka deret divergen, dan tak ada jumlahnya.

Deret Geometrik

Deret geometrik merupakan penjumlahan suku-suku barisan , disebut deret geometrik dengan

rasio r dan suku pertama a. jumlah parsial ke-n, Sn , dinyataka oleh . .

Untuk , oleh karena itu , deret konvergen dengan

jumlah . Jika , deret tersebut divergen ke ∞.

Theorema deret tak terhingga:

1. konvergen jika dan hanya jika konvergen.

2. konvergen jika adalah deret konvergen.

3. konvergen jika adalah deret konvergen.

4. atau tidak ada, maka deret tersebut divergen.

Deret Harmonik

Jumlah parsial deretnya adalah . .

Page 46: Modul Kalkulus

Melanjutkan dengan cara ini kita akan mendapatkan dan dan secara umum

bila n>1. Ini menunjukkan bahwa , dan karena itu deret harmonik

tersebut divergen. Namun, jika dilihat, . Ini tidak membuktikan bahwa eret

harmonik adalah konvergen.

Latihan Soal

1. Untuk tiap barisan berikut, tulislah rumus suku ke-n dan tentukan limitnya (jika ada).

Diasumsikan bahwa n= 1, 2, 3, 4, . .

a.

b.

c.

2. Tunjukkan bahwa barisan adalah konvergen.

3. Tentukan kekonvergenan deret

4. Tentukan jumlah dari deret

5. Evaluasilah

Jawaban:

1. a.

b.

Page 47: Modul Kalkulus

c.

2.

Karena maka barisan konvergen.

3.

Jadi, . Maka deret ini konvergen dan jumlahnya

adalah 1.

4.

, maka jumlah deret tersebut adalah .

5.

deret geometrik dengan dan suku pertama . , maka deret konvergen

dan jumlahnya adalah .

.

(Sumber : Kalkulus Edisi Schaum halaman 245s.d 263)

Page 48: Modul Kalkulus

UJI KONVERGENSI

1. Teorema dan sifat-sifat deret

Ada beberapa teorema dalam uji konvergensi, untuk mengetahui apakah suatu deret

konvergen ataukah divergen.

Teorema 1:

Diketahui deretnya adalah dan suku ke-n adalah , maka:

a) Jika 0 , maka deret tersebut sudah pasti divergen.

b) Jika = 0 , maka deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen.

Ex: deret , tentukan apakah deret ini konvergen atau divergen!

Jaw: =

= 0, pangkat pembilang < pangkat penyebut

Jadi deret ini bisa jadi konvergen, bisa jadi divergen.

Untuk mengetahui lebih lanjut kekonvergensiannnya, akan dicari pada uji

konvergensi.

Teorema 2:

Jika diketahui deret konvergen, suku ke-n adalah , maka: = 0

Teorema ini tidak berlakku kebalikannya. Maksudnya, Jika = 0 , deret ini

bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Seperti halnya teorema di atas (teorema 1).

Ada beberapa sifat dari deret yang berhubungan dengan uji konvergensi.

1) Jika dan adalah deret-deret konvergen, maka:

a) = +

b) = -

2) Jika c 0 (c konstanta), dan deret dan adalah deret konvergen dua-duanya

atau divergen dua-duanya, maka:

= c

2. Uji-uji konvergensi

Uji integral

Page 49: Modul Kalkulus

Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan misalkan f(x) fungsi

dimana k diganti dengan x dalam formula . Jika f(x) turun dan kontiniu pada

interval [a, + ), maka dan keduanya konvergen atau keduanya

divergen.

Konvergensi deret-P

Jika diketahui deret = 1 + + + +…..+ +…..

a) Konvergen jika p>1

b) Divergen jika p<1

Uji banding

Misalkan dan deret-deret dengan suku-suku non negative, dan .

a) Jika konvergen, maka deret juga konvergen.

b) Jika deret divergen, maka juga divergen.

Uji Rasio

Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap = r.

a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen.

b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.

c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)

Uji Akar

Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggap =

r.

a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen.

b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.

c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)

Uji Banding Limit

Misalkan dan deret-deret dengan suku-suku non negative, dan anggap

= r.

Jika r>0 dan r + atau interval (0,+ ), maka deret tersebut keduanya adalah

konvergen atau keduanya divergen.

Uji Rasio Konvergensi Mutlak:

Page 50: Modul Kalkulus

Misal deret adalah deret dengan suku-suku bukan 0, dan anggap

= r .

a) Jika r<1, deret-deret tersebut konvergen mutlak, jadi deret konvergen.

b) Jika r>1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.

c) Jika r=1, tidak dapat ditentukan apakah konvergensi atau konvergen

mutlaknya.

Uji Deret Ganti Tanda

=

=

Kedua deret ganti diatas dikatakan konvergen jika memenuhi dua kondisi sebagai

berikut:

a) an>an+1 , deret decreasing atau dengan uji kemonotonan rasio, < 1

b) = 0

Kedua syarat harus terpenuhi. Jika salah satu tidak terpenuhi, maka deret tersebut

divergen.

Ada hal lain yang harus diperhatikan, yaitu kemutlakan konvergen dari deret tersebut.

Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen mutlak atau bersyarat.

Setelah melakukan uji deret ganti tanda, dilakukan Uji rasio konvergensi mutlak. Jika

setelah melakukan uji rasio konvergensi mutlak, maka:

a) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi

mutlak juga konvergen, deret tersebut konvergensi mutlak.

b) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi

mutlak divergen, deret tersebut konvergensi bersyarat.

Contoh soal:

1. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!

a.

Dengan menggunakan uji perbandingan, maka:

Pembanding adalah = dengan =

< …

Dengan menggunakan uji konvergensi ke-P, terlihat disini bahwa

konvergen karena p=2 atau p > 1.

Menurut uji perbandingan, jika konvergen, maka juga konvergen.

Jadi dengan begitu deret di atas konvergen juga.

b.

Page 51: Modul Kalkulus

Pembanding adalah = dengan =

< …

Karena p = atau p<1, maka divergen.

Oleh karena itu juga divergen.

Maka deret di atas adalah divergen.

2. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!

a.

Dengan menggunakan uji akar, didapatkan:

= =

=

r= > 1, maka deret ini divergen

b.

= =

=

r= < 1, maka deret ini konvergen

3. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!

a. + + + +…….. =

= ; =

=

= =

r= < 1, maka deret ini konvergen.

b. + + + +……… =

= ; =

=

= =

Page 52: Modul Kalkulus

r= >1, maka deret ini divergen

4. Tentukan kekonvergensian mutlak dari deret-deret berikut!

a)

Dengan uji deret ganti tanda, maka:

= ; =

r= = = <1

deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi.

= = 0; syarat 2 terpenuhi

Deret ini konvergen, tapi untuk mengetahui mutlak atau tidak harus

dilakukan uji perbandingan.

Dengan = = , dengan = ( < )

divergen, karena merupakan deret harmonis. Jadi juga divergen.

Karena dengan uji perbandingan mutlak didapatkan hasil divergen, jadi

deret tersebut adalah “konvergen bersyarat”.

b)

Dengan uji deret ganti tanda, maka:

= ; =

r= = = < 1

deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi

= =

=

Syarat 2 tak terpenuhi, jadi deret ini divergen.

Page 53: Modul Kalkulus

DERET PANGKAT (DERET KUASA), INTERVAL, DAN JARI-JARI

KONVERGENSI

Deret tak hingga Σ an(x-c)n

dan Σ anxn secara berurutan disebut sebagai deret pangkat

dalam x sekitar c dan deret pangkat dalam x sekitar 0. deret tersebut bisa konvergen maupun

divergen. Sebagai catatan, deret tersebut pasti konvergen bila x=c.

Terdapat 3 kasus yang mungkin untuk deret pangkat Σan(x-c)n:

(a) deret tersebut konvergen untuk semua x; atau

(b) deret tersebut konvergen untuk semua x dalam interval terbuka (c-R1,c+R1) sekitar

c, tidak di luar interval tertutup [c-R1,c+R1]; atau

(c) deret tersebut hanya konvergen untuk x=c.

Kasus-kasus di atas masing-masing mempunyai jari-jari dan interval sendiri-sendiri.

(a) pada kasus (a), interval konvergensinya (-~,+~) dan jari-jarinya ~.

(b) pada kasus (b), interval konvergensinya (c-R1,c+R1) dan jari-jarinya R1.

(c) pada kasus (c), interval konvergensinya {c} dan jari-jarinya 0.

Untuk mengetahui interval konvergensi, digunakan rumus sebagai berikut:

di mana Σak adalah deret pangkat yang ingin dicari interval konvergensinya.

INTEGRASI DERET PANGKAT

Rumus:

Interval konvergensi dari deret pangkat hasil integrasi adalah sama dengan interval

konvergensi deret asalnya.

Page 54: Modul Kalkulus

DIFERENSIASI DERET PANGKAT

f’(n)= untuk <R1

Deret Taylor dan Deret MacLaurin

A) Deret Taylor untuk f sekitar c sadalah deret pangkat

a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+…

Di mana an= untuk semua n.

B) Deret MacLaurin untuk f adalah deret Taylor untuk f sekitar 0, yaitu deret pangkat

a0+a1x+a2x2+…

Di mana an= untuk semua n.

Beberapa deret MacLaurin yang penting:

1)

2)

3) Sin x =

4) Cos x =

5) Ln (1+x) =

6)

CONTOH SOAL

1) Cari interval konvergensi dari deret !

Jawab:

Konvergen bila

< 1

-1<2x+2<1

Page 55: Modul Kalkulus

Untuk x=-3/2, deret menjadi = yang merupakan deret

konvergen bersyarat.

Untuk x=-1/2, deret menjadi yang divergen menurut perbandingan limit

dengan deret .

Jadi interval konvergensinya [-3/2, -1/2).

2) Cari radius konvergensi dari deret !

Jawab:

=

Konvergen bila

-9<x<9

Deret ini divergen di kedua titik ujungnya (-9 dan 9). Jadi intervalnya

-9<x<9. Sehingga radiusnya 9.

3) Tentukan deret MacLaurin dari

Jawab:

Berdasarkan deret MacLaurin, maka:

e4x

=1+4x+

=1+4x+ +…

=

4) Tentukan deret Taylor dari f(x)=sin x di sekitar x= !

Jawab:

f(x)=sin x f( )=0 sin (x- )= + +…

f(x)=cos x f( )=-1

f(x)=-sin x f( )=0

f(x)=-cos x f( )=1

5) Ekspansikan cos 4x !

Jawab:

Berdasarkan deret Maclaurin cos 4x, maka:

Page 56: Modul Kalkulus

Cos 4x= 1-

Cos 4x=

FUNGSI DUA VARIABEL

Definisi:

Fungsi didefinisikan sebagai dua pemadanan antara dua himpunan bilangan, yakni

himpunan daerah asal (domain) dan himpunan daerah hasil (range) sedemikian sehingga

untuk setiap pasangan terurut bilangan dalam domain ada padanannya satu dan hanya satu

bilangan dalam range merupakan padanan.

Contoh 1:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)

Jawab:

Fungsi ini terdefinisi untuk bilangan real sedemikian untuk semua pasangan terurut bilangan

real (u,y) yang memenuhi

Untuk (x,y) = (1,0) f(1,0) = = 2

Untuk (x,y) = (4,1) f(4,1) = =

Contoh 2:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)

Jawab:

X 0 dan (1-y) 0 sehingga x 0 dan y 1

atau

x 0 dan (1-y) 0 sehingga x 0 dan y 1

jadi Df : { (x,y) x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1 }

Page 57: Modul Kalkulus

LIMIT DUA VARIABEL

Definisi:

Untuk variabel didefinisikan sebagai , berlaku |f(x) -

L| bila 0 |x-c| . Jadi untuk fungsi dua variabel

didefinisikan oleh , berlaku

|f(x,y) - L| bila 0 |(x,y) - (a,b)| .

Dalam penghitungan sangat tergantung dari bagaimana (x,y) atau

tergantung dari kurva (lintasan) menuju ke (a,b). dikatakan ada bila nilai

limit dari semua lintasan atau kurva menuju (a,b) sama.

Contoh Soal:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)

Jawab:

i). Lintasan sumbu x (y=0, x 0)

= = 0

ii). Lintasan y =

= =

Nilai kedua limit tersebut tidak sama jadi limitnya tidak ada.

KONTINUITAS

Definisi:

Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (x0, y0) jika:

1. f (x0, y0) terdefinisi

2. ada

Page 58: Modul Kalkulus

3.

Teorema:

Jika g dan h adalah suatu fungsi variabel yang kontinu maka f(x,y) = g(x).h(y) adalah suatu

fungsi kontinu dari x dan y.

Contoh:

Fungsi f(x,y) = kontinu karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu

g(x)= dan h(x)=

TURUNAN PARSIAL

Definisi:

Misalkan z = f(x,y) adalah fungsi dua variabel. Jika x bervariasi sementara y dipertahankan

tetap, z menjadi fungsi dari x, maka turunannya terhadap x:

Disebut turunan parsial (pertama) dari f terhadap x dan dilambangkan dengan atau

atau . Demikian pula jika y bervariasi sementara x dipertahankan tetap.

Jadi

Contoh 1:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari f(x,y) =

(Sumber: Buku Kalkulus Shaum’s Outlines hlm. 288)

Jawab:

Page 59: Modul Kalkulus

Berdasarkan teori tersebut kita dapat mendapatkan hasil bahwa:

fx(x,y) = 2x sin y dan fy(x,y) = x2 cos y.

Turunan Parsial dari Orde yang Lebih Tinggi

Kita dapat mengambil turunan parsial terhadap x dan y, dari , menghasilkan:

= fxx (x,y) = ) dan = fyx (x,y) = )

Demikian pula, dari kita memperoleh:

= fyy (x,y) = ) dan = fyx (x,y) = )

Contoh 2:

Tentukan turunan parsial kedua dari z = x2

+ 3xy + y2

terhadap x saja!

(Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 291 dengan perubahan seperlunya)

Jawab:

= 2

ATURAN RANTAI

Misalnya z= f(x,y) dimana f diferensiabel, dan dimisalkan x = g(t) dan y = h(t), di mana g dan

h adalah fungsi-fungsi diferensiabel dengan satu variabel. Maka z=f(g(t),h(t)) adalah fungsi

diferensiabel dengan satu variabel, dan

Contoh 3:

Misalkan z = xy + sin x, dan misalkan x=t2 dan y = cos t.

Jawab:

(Sumber: Buku Kalkulus Schaum’s Outlines hlm. 295 dengan perubahan seperlunya)

Page 60: Modul Kalkulus

Catat bahwa = y + cos x, dan = x, selanjutnya = 2t dan = -sin t

Sekarang, sebagai fungsi dari t, z = t2 cos t + sin(t

2)

Berdasarkan rumus yang disebutkan sebelumnya,

REFERENSI

Buku Schaum’s Outlines

Catatan Perkuliahan Kalkulus Semester 2 oleh Dra. Lusia Sugiyati

INTEGRAL RANGKAP 2 DAN VOLUME

INTEGRAL RANGKAP 2

Perhatikan sebuah fungsi yang kontinu pada daerah terbatas R dari bidang

xy. Definisikan partisi P dari R dengan menggambarkan satu kisi dari garis horizontal dan

vertikal yang membagi daerah R menjadi subdaerah R1,R2,…,Rn dengan luas masing-masing

. Pada tiap subdaerah, Rk, pilih sebuah titik dan bentuklah

penjumlahan

Definisikan diameter subdaerah sebagai jarak terbesar antara sebarang dua titik di dalam atau

pada batasnya dan lambangkan diameter maksimum dari subdaerah tersebut dengan dP .

Andaikan bahwa kita memilih partisi sedemikian rupa sehingga dan

(Dengan kata lainnya kita membuat lebih banyak subdaerah dan membuat dimeternya

semakin kecil). Maka Integral Rangkap dari atas R didefinisikan sebagai

Page 61: Modul Kalkulus

Yang menyatakan bahwa adalah suatu bilangan sedemikian rupa sehingga

untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif n0 sedemikian rupa sehingga, untuk

sebarang dan sebarang partisi dengan , dan sebarang aproksimasi jumlah

yang bersesuaian kita mempunyai

Teorema / Sifat-Sifat Integral Rangkap 2

1.

2.

3.

4.

Contoh Soal dan Penyelesaian :

(1)

(Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.

339)

Jawab :

Page 62: Modul Kalkulus

(2)

(Schaum’s Outlines Kalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.

339)

Page 63: Modul Kalkulus

Jawab :

VOLUME INTEGRAL RANGKAP 2

Bila adalah nonnegatif pada daerah R, dapat diinterpretasikan sebagai volume.

Jika sebarang suku menyatakan volume suatu kolom vertikal yang alasnya

adalah luas dan tingginya adalah jarak yang diukur vertikal dari titik

yang dipilih ke permukaan . Kemudian , ini dapat dianggap sebagai

aproksimasi volume kolom vertikal yang alas bawahnya adalah subdaerah Rk dan alas atasnya

adalah proyeksi Rk pada permukaan.

Page 64: Modul Kalkulus

Yang berarti bahwa integral rangkap 2 tersebut merupakan volume benda ruang yang dibatasi

oleh daerah R pada bagian alas dan permukaan pada bagian alas atasnya.

Contoh Soal dan Penyelesaian :

(3) Misalkan adalah nonnegatif dan kontinu di atas daerah R dari bidang xy

yang batasnya terdiri dari busur dua kurva dan yang

berpotongan pada titik-titik K dan L. Tentukan rumus untuk volume V dibawah

permukaan !

Jawab :

Misalkan bagian volume tersebut dipotong oleh bidang dimana

, bertemu dengan batas R di titik-titik dan dan

misalkan juga bertemu dengan permukaan pada busur UV sepanjang

. Luas dari bagian STUV terebut diberikan oleh

Jadi, luas bagian irisan melintang dari volume yang dipotong oleh bidang-bidang yang

paralel dengan bidang yz diketahui sebagai fungsi dari x,

dimana x adalah jarak bidang pembagi dari titik asal. Sehingga

(4) Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder dan bidang-bidang

dan !

Jawab :

dimana diintegrasikan atas lingkaran pada

bidang xy. Jika,

Page 65: Modul Kalkulus

Maka,

Page 66: Modul Kalkulus
Page 67: Modul Kalkulus