Download - Mf113 kalkulus

KALKULUS

POLITEKNIK TELKOM

BANDUNG

2009

Penyusun

Teten Kustendi, Hanung N P, Heru Nugroho, Gelar Budiman

Editor

Agus Pratondo

Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik

sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara

apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.

Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009

No part of this document may be copied, reproduced, printed,

distributed, modified, removed and amended in any form by any means

without prior written authorization of Telkom Polytechnic.

Politeknik Telkom Kalkulus

Kalkulus iii PAGE 10

Kata Pengantar

Assalamu’alaikum Wr. Wb

Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya

courseware ini dapat diselesaikan.

Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin

menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan

penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu

sehingga courseware ini dapat tersusun.

Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang

sempurna, oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku

ini dapat memberikan masukan perbaikan demi pengembangan

selanjutnya.

Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan

membantu seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam

memahami dan mengikuti materi perkuliahan di Politeknik

Telkom.

Amin.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Bandung, Agustus 2009


iv Kalkulus PAGE 10

Christanto Triwibisono

Wakil Direktur I

Bidang Akademik & Pengembangan


Kalkulus v PAGE 10

Daftar Isi

Kata Pengantar .......................................................................... iii Daftar Isi ..................................................................................... v 1 Pendahuluan...................................................................... 1 1.1 Sistem Bilangan Riil .................................................................................. 3 1.1.1 Bilangan Asli ............................................................................................... 3 1.1.2 Bilangan Bulat ............................................................................................ 3 1.1.3 Bilangan pecahan...................................................................................... 4 1.1.4 Bilangan Rasional ...................................................................................... 4 1.1.5 Bilangan Irrasional .................................................................................... 5 1.1.6 Bilangan Riil ................................................................................................ 6 1.2 Garis Bilangan Riil ..................................................................................... 7 1.3 Operasi Pada Bilangan Riil ..................................................................... 7 1.3.1 Sifat – Sifat Medan.................................................................................... 7 1.3.2 Sifat – Sifat Urutan .................................................................................... 8 1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar.............................................................. 8 1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran................. 9 1.6 Interval (Selang) ......................................................................................... 9 2 Persamaan dan Pertidaksamaan ...................................... 16 2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat.............................. 17 2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ................... 23 2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak .......................................................... 45 (6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus : .......... 48 2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak ........................ 52 3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS........................................ 60 Definisi Koordinat Kartesius............................................................................. 61 4 Vektor di Bidang dan di Ruang ........................................ 91 4.1. Pengertian skalar dan vektor ................................................................. 93 4.2. Operasi pada Vektor .............................................................................. 94 5 Matriks ...........................................................................116 SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE ........................................121 6 FUNGSI ...........................................................................157


vi Kalkulus PAGE 10

6.1 Definisi Fungsi ........................................................................................158 6.2 Menyatkan Fungsi .................................................................................159 6.3 Nilai Fungsi..............................................................................................159 6.4 Daerah Asal, dan Daerah Hasil .........................................................160 6.5 Jenis-Jenis Fungsi..................................................................................163 6.5.1 Fungsi Konstan ......................................................................................163 6.5.2 Fungsi Identitas .....................................................................................163 6.5.3 Fungsi Polinom ......................................................................................164 6.5.4 Fungsi linear............................................................................................165 6.5.5 Fungsi Kuadrat .......................................................................................166 6.5.6 Fungsi Nilai Mutlak (Modulus) ..........................................................166 6.5.7 Fungsi Tangga........................................................................................167 6.5.8 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil .......................................................169 6.6 Operasi Aljabar Pada Fungsi .............................................................171 6.7 Komposisi Fungsi ..................................................................................173 6.8 Invers Fungsi...........................................................................................174 6.9 Menyelesaikan Soal dengan Matcad ..............................................177 7 Limit dan Kekontinuan ...................................................183 7.1 Definisi Limit Fungsi .............................................................................185 7.2 Limit Sepihak ..........................................................................................186 7.3 Teorema-Teorema dalam Limit ........................................................186 7.4 Pemecahan Soal Limit .........................................................................187 7.5 Limit Takhingga .....................................................................................192 7.6 Limit di Tak Hingga ..............................................................................195 7.7 Limit Fungsi Trigonometri ..................................................................198 7.8 Kekontinuan Fungsi ..............................................................................199 7.9 Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad ................................205 8 TURUNAN FUNGSI..........................................................211 8.1 Definisi Turunan di Satu Titik ............................................................213 8.2 Turunan Sepihak....................................................................................215 8.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan...............................................216 8.4 Turunan Fungsi Pada Suatu Interval ...............................................217 8.5 Rumus-Rumus Dasar Turunan ..........................................................218 8.6 Aturan Untuk Menentukan Turunan...............................................221


Kalkulus vii PAGE 10

8.7 Turunan Tingkat Tinggi .......................................................................226 8.8 Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad .........................228 9. Penggunaan Turunan .....................................................234 10. Integral Tak Tentu ..........................................................254 10.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN ..................255 10.3 METODE INTEGRASI ..............................................................................257 11. Integral Tentu .................................................................271 12. Penggunaan Integral ......................................................289 Daftar Pustaka ........................................................................... vi


Pendahuluan 1

1 Pendahuluan

Overview

Pada bab ini akan dijelaskan tentang sistem bilangan real yang mana

merupakan bahan utama untuk materi kalkulus. Bab ini diawali

dengan menjelaskan jenis-jenis dari bilangan real yang dilengkapi

dengan struktur pohon bilangan real. Berikutnya akan dijelaskan

tentang garis bilangan, menggambar interval (selang), operasi

himpunan pada interval, dan akan diberikan rumus-rumus dasar

operasi aljabar untuk bilangan real.

Tujuan

1. Memahami sistem bilangan real dan jenis-jenis serta ciri-cirinya.

2. Memahami struktur sistem bilangan real secara diagram.

3. Memahami definisi interval (selang) dan mampu menggambar

berbagai jenis interval.

4. Mahir melakukan operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi

minus pada interval (selang).


2 Pendahuluan PAGE 10

5. Mahir dalam menggunakan rumus-rumus dasar aljabar.


Pendahuluan 3

1.1 Sistem Bilangan Riil

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep

tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur yang

berbeda. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.

Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong,

ditulis dengan notasi atau { }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a S

dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka

dituliskan a S dan dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2

cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai

Contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9

dapat dinyatakan sebagai: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang

dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh

unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila

himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

{ bilanganbulat positif kurangdari 10}A x x

1.1.1 Bilangan Asli

Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana,

anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, …… Himpunan bilangan asli

diberi nama N, jadi N = {1, 2, 3, 4, …………}.

1.1.2 Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol.

Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,

3, 4,…}

Dengan kata lain, bilangan bulat terdiri atas : bilangan bulat negatif,

bilangan nol, dan bilangan bulat positif (Bilangan Asli)



1.1.3 Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan-bilangan yang berbentuk m

n di

mana m dan n adalah bilangan bulat, dan m tidak habis dibagi n.

Bilangan pecahan diberi lambang C.

C = 8 3 5 182 1 15 7 53 9 6 2........, , , , , , , ,.......

1.1.4 Bilangan Rasional

Bilangan rasional terdiri atas bilangan-bilangan bulat dan bilangan-

bilangan pecahan. Definisi persis dari bilangan rasional adalah

sebagai berikut.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

bentuk a

b, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan 0b .

Contoh-1

Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai 12

2atau

30

5, dan

sebagainya.

Bilangan negatif -2 dapat dinyatakan sebagai 30

15atau

8

4

, dan

sebagainya.

Bilangan 0 dapat dinyatakan sebagai 0

2 atau

0

5, dan sebagainya.

Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang. Sebagi

Contoh 3

7 merupakan bilangan rasional!

Karena 3/7 = 0,428571428571428571 ….

memiliki desimal berulang dengan pengulangan “428571”. Dengan

demikian dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan dengan desimal

berulang adalah bilangan rasional.


Pendahuluan 5

Contoh-2

Buktikan bahwa 0,753753753753…. Adalah rasional

Bukti

Misal x = 0,753753753753….

1000 x = 753,753753753…

1000 x – x = 753

999 x = 753

753

999x (terbukti)

Contoh-3

Buktikan bahwa 3,7561561561561….. adalah rasional

Bukti

Misal x = 3,7561561561561561…..

10000 x = 37561,561561561561…..

10 x = 37,561561561561…..

9990 x = 37424

jadi 37424

9990x (terbukti)

Bilangan Rasional kita nyatakan dengan Q .

1.1.5 Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya

adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk a

b di

mana a dan b adalah bilangan bulat dan 0b .

Contoh-4



= 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak

berulang)

e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/ tidak

berulang)

2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak

berulang

Semua bilangan bentuk akar adalah irrasional. Bilangan Iraasional

kita nyatakan dengan I

1.1.6 Bilangan Riil

Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan

irrasional. Himpunan bilangan riil kita nyatakan dengan R

Kompleks

Riil Imajiner

RasionalIrrasional

PecahanBulat

NolBulat Negatif Bulat Positif

Komposit1 Prima

Gambar: Struktur Pohon Bilangan Riil


Pendahuluan 7

1.2 Garis Bilangan Riil

Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan

riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus. Untuk setiap

bilangan riil terdapat satu dan hanya satu titik, dan sebaliknya. Dengan

kata lain titik dan bilangan riil berkorespondensi satu-satu.

Cara menggambar garis bilangan (gambar – 2)

(1) Pilih sembarang titik pada suatu garis lurus sebagai titik asal beri

label 0 (nol).

(2) Pilih arah positif (umumnya ke kanan), dan ditunjukkan dengan

sebuah ujung panah, kemudian

(3) Dengan sembarang satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1

pada jarak satu satuan dari 0 ke arah kanan.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6

2 1,4142

2 1,4142 3,14159

2

1100

2,7182e

Gambar – 2 : Garis Bilangan

1.3 Operasi Pada Bilangan Riil

Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau

mengalikan keduanya untuk mendapatkan bilangan riil baru x y dan

x y. Sifat-Sifat penambahan dan pengalian pada bilangan riil dibagi

menjadi dua, yaitu sifat-sifat medan dan sifat – sifat urutan.

1.3.1 Sifat – Sifat Medan

a. Hukum komutatif x y y x dan x y y x

b. Hukum asosiatif ( ) ( )x y z x y z dan ( ) ( )x y z x y z

c. Hukum distributive ( )x y z x y x z

d. Elemen-elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1

yang memenuhi 0 0x dan 1x x



e. Balikan (invers) : setiap bilangan riil x mempunyai balikan

penjumlahan (balikan aditif) atau disebut juga sebuah negatif yaitu

– x yang memenuhi ( ) 0x x

Juga setiap bilangan riil x kecuali 0 (nol), mempunyai balikan

perkalian

(atau kebalikan) x-1 yang memenuhi 1 1x x

1.3.2 Sifat – Sifat Urutan

a. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka salah

satu harus berlaku x < y atau x = y atau x > y

b. Ketrasitifan : Jika x < y dan y < z maka x < z

c. Penambahan : x < y x + z < y + z

d. Perkalian : Jika z > 0 dan x > y xz > yz

Jika z < 0 dan x > y xz < yz

1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar

Untuk setiap bilangan real a, b, c, dan d berlaku :

1. &a b a c b c ac bc

2. a c b c a b

3. 0 ac bc dan c a b

4. ( )a a

5. ( )a b c ab ac

6. 0 0 0a a

7. ( ) ; ( )a b ab b b

8. ( )( )a b ab

9. ; 0, 0a c

ad bc b db d

10. ; 0a c a c

bb b b

11. ; 0, 0a c ad bc ad bc

b db d bd bd bd

12. ; 0, 0a c ad bc ad bc

b db d bd bd bd


Pendahuluan 9

13. ; 0, 0a c ac

b db d bd

14. ; 0, 0a c a d ad

b cb d b c bc

15. 0 0 atau 0ab a b

1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran

Berikut beberapa rumus perkalian istimewa dan pemfaktoran yang

dapat membantu untuk mengerjakan soal-soal.

1. 2 2 2( ) 2 x y x xy y

2. 2 2 2( ) 2 x y x xy y

3. 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y xy y

4. 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y xy y

5. 2 2 ( )( ) x y x y x y

6. 2 2 2( ) 2 x y x y xy

7. 3 3 2 2( )( ) x y x y x xy y

1.6 Interval (Selang)

Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari

himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan

tertentu

Jika digambarkan pada garis bilangan (garis riil), maka interval akan

berupa suatu segmen garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.

Ada dua jenis selang, yaitu selang berhingga dan selang tak berhingga.



Selang Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Selang Grafik

1 |x a x b

,a b a b

2 |x a x b

,a b a b

3 |x a x b

,a b a b

4 |x a x b

,a b a b

Selang Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas

No Notasi

Himpunan

Notasi

Selang Grafik

1 |x x a ,a

a

2 |x x a [ , )a

a

3 |x x b , b

b

4 |x x b , b

b

Contoh-5 : Menggambar Selang

1. 2 4x

2. -1,5 4,7x

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


Pendahuluan 11

3. 2 x

4. 3,5x

5. 2 3 6 x atau x

6. 5 2 4 7 x atau x

7. 5 x 2 atau 0 x 2 atau x 4

I.7 Operasi Himpunan Pada Himpunan Bilangan Real

Operasi (Union), operasi (irisan), dan operasi minus (-) adalah

operasi-operasi pada himpunan yang sering digunakan pada saat kita

menyelesaikan suatu pertidaksamaan.

Operasi-operasi tersebut didefinisikan sebagai berikut

A B = { x | xA atau xB }

A B = { x | xA dan xB }

A - B = { x | xA dan xB }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


Pendahuluan 13

Contoh-6 : Penggunaan Operasi himpunan

Diketahui A = {x | x < -4 atau 1 x < 5 }

B = {x | -2 x < 2 atau x 3 }

C = {x | x < -3 atau -2 x < 4 }

a. Gambarkan interval-interval tersebut

b. Tentukanlah operasi-Operasi berikut

A B, A B, A – B , B – A, (A - B) (B - A)

Jawab

A

B

C

A B = { x | x < -4 atau x -2 }

A B = { x | 1 x < 2 atau 3 < x < 4 }

A - B = { x | x < -4 atau 2 x 3 }

B - A = { x | -2 x < 1 atau x 4 }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6



(A - B) (B - A) = { x | x < -4 V -2 x < 1 V 2 x 3 V x 4 }

Rangkuman

1. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda

2. Himpunan Bilangan Asli N={1, 2, 3, 4, ....}

3. Himpunan Bilangan Bulat Z={......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......}

4. Himpunan Bilangan Bulat Positif (Asli) A = {1, 2, 3, 4, .......}

5. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

bentuk a/b di mana a dan b bilangan bulat dan b 0

6. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bentuk desimal berulang

misal 2,31456456456456456 ......

7. Bilangan irrasional adalah bilangan riil selain bilangan rasional,

misal e = 2,7182818285……, = 3,1415926536,

2 = 1,414113562373………

8. Tiga operasi Himpunan yang sering digunakan pada saat

menyelesaikan pertidaksamaan adalah:

A B = { x | xA atau xB }

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6


Pendahuluan 15

A B = { x | xA dan xB }

A - B = { x | xA dan xB }


16 Persamaan dan Pertidaksamaan


Overview

Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu hal yang sangat

fundamental dalam matematika. Sangatlah kecil kemungkinannya

pertidaksamaan dapat diselesaikan jika tidak bisa menyelesaikan

persamaan. Sehingga mutlak menyelesaikan persamaan merupakan

syarat sebelum dapat menyelesaikan pertidaksamaan.

Tujuan

1. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan satu

variabel

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan dua

variabel

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan

satu variabel

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan

satu variabel

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

dengan satu variabel

6. Mahasiswa memahami penggunaan nilai mutlak

7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan dan


Persamaan dan Pertidaksamaan 17

pertidaksamaan dengan nilai mutlak

8. Mahasiswa mampu menggunakan Mathcad untuk melakukan

perhitungan penyelesaian soal pada bab ini.

2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat

Menyelesaikan persamaan linier pada dasarnya hanyalah

memindahkan variabel yang dicari nilainya ke ruas kiri sendirian,

sehingga di ruas kanan hanya ada bilangan-bilangan konstanta yang

tinggal dilakukan operasi matematika untuk mencari hasil akhirnya,

dengan demikian dapat diketahui nilai dari variabel tersebut.

Contoh 1 :

Selesaikan persamaan berikut : 3 3 4x x

Penyelesaian :

3 3 4

2 7

7

2

x x

x

x

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat diperlukan sedikit

kejelian dalam mencari akar-akarnya. Ada beberapa cara penyelesaian

persamaan kuadrat, mulai dengan pemfaktoran dan rumus. Yang

memerlukan kejelian adalah pemfaktoran, sementara rumus hanya

perlu dihapalkan.

Contoh 2 :

Selesaikan persamaan berikut : 2 3 10 0x x

Pindahkan semua variabel x ke ruas kiri

dan pindahkan semua angka ke ruas

kanan



Penyelesaian :

Cara pemfaktoran

2 3 10 0x x ,

Maka 10pq dan 3p q

Kemungkinan nilai p dan q :

p q pq p+q

-1 10 -10 9

-2 5 -10 3

-5 2 -10 -3

-10 1 -10 -9

Maka nilai p=-5 dan q=2 karena memenuhi kriteria diatas, selanjutnya : 2

2

1 1

2 2

10 0

5 2 10 0

( 5) 2( 5) 0

( 2)( 5) 0

2 0, maka 2

5 0, maka 5

x px qx

x x x

x x x

x x

x x

x x

Dengan demikian Himpunan penyelesaian :

HP : 1 2| 2, 5x x x

Tabel diatas tidaklah perlu dibuat jika perhitungannya dilakukan

langsung oleh kepala kita, disitulah gunanya kejelian untuk

memfaktorkan persamaan kuadrat.

Cara rumus

Jika diketahui persamaan 2 0ax bx c , cari bilangan p

dan q sedemikian sehingga pq ac dan p q b , setelah p

dan q ditemukan maka persamaan akan menjadi 2 0ax px qx c sehingga tinggal difaktorkan.

Jika diketahui persamaan 2 0ax bx c , maka

12x dapat

dicari dengan rumus abc berikut :

2

12 , dimana : 42

b Dx D b ac

a



2 3 10 0x x ,

Maka 1, 3, 10a b c ,

2

12

2

12

12

4

2

( 3) ( 3) 4.1.( 10)

2.1

3 7

2

b b acx

a

x

x

Sehingga : 1

2

3 72

2

3 75

2

x

x

Dengan demikian HP : 1 2| 2, 5x x x

Hasil akhirnya sama dengan cara sebelumnya.

Dalam rumus abc diatas tampak D, yang merupakan nilai Diskriminan

dari persamaan kuadrat tersebut. Ada 3 kemungkinan nilai D :

D>0 D=0 D<0

Ada 2 nilai x yang

real

Hanya ada satu nilai x

yang real

Tidak ada nilai x

yang real

Menyelesaikan persamaan dengan Mathcad

1. Bukalah Mathcad



2. Dalam Mathcad, dalam menu klik view toolbars Math, maka

akan tampil toolbar berikut :

3. Pada toolbar Math klik icon Boolean toolbar dan icon Symbolic

keyword Toolbar



4. Mulailah mengetikkan persamaan, tanda = diambil dari toolbar

Boolean

5. Dari toolbar symbolic klik solve, kemudian ketikkan variabel yang

dicari, x, dan tekan enter. Maka akan terlihat hasilnya berikut :



2

5

yang ditunjukkan adalah hasilnya dimana : 1 2x dan

2 5x .

2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

Menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencari semua

himpunan bilangan riil yang membuat pertaksamaan berlaku. Pada

kenyataannya, di dalam menyelesaikan suatu pertaksamaan sering

dihadapkan pada operasi himpunan khususnya gabungan (∪) dan

irisan (∩). Untuk itu kita bahas kembali mengenai operasi pada

himpunan dengan beberapa Contoh yang mewakili.

Operasi Pada Himpunan

JIka A dan B adalah himpunan-himpunan maka :

1. A U B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

2. A B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

3. A – B = { x | x ∈ A dan x B }

4. A + B = (A U B) – (A ⋂ B)



Contoh 1 :

Jika A = { x | -4 ≤ x <6 } dan B = { x| x < -2 atau x ≥ 4}

Tentukan : a). A B b). A B c). A – B d). B–A

e). A+B

Penyelesaian :

Himpunan A dan B dapat digambarkan pada garis bilangan berikut :

-2-4 4 6

A

B

a) A U B = {x | x ∈ R } = (-∞,∞) = R

b) A B = {x | -4 ≤ x < -2 atau 4 ≤ x < 6 } = [-4,-2) [4,6)

c) A–B = {x | -2 ≤ x < 4} = [-2,4)

d) B–A={x | x < -4 atau x ≥ 6 } = (-∞,-4) U [6,∞)

e) A+B={x | x < -4 atau x ≥ 6 atau -2 ≤ x < 4}

= (-∞,-4) U [6,∞) U[-2,4)

Contoh 2 :

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 7 <

5 – 4x !

Penyelesaian :

2x – 7 < 5 – 4x

2x + 4x < 5 + 7

6x < 12

x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya : HP : {xl x <2} = (-∞,2)



2



Contoh 3 :

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x + 4 ≤

3x – 8 < 2x + 5 !

Penyelesaian :

x + 4 ≤ 3x – 8 < 2x + 5

x+4 ≤ 3x-8 dan 3x-8 < 2x+5

-2x≤-12 dan x < 13

12

2x

dan x < 13

x ≥ 6 dan x < 13

HP = {x |x ≥6 dan x < 13} = {x| 6≤x<13} = [6, ∞) (-∞,13)= [6,13)

6 13

Contoh 4 :

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x

+ 10 <0 !

Penyelesaian :

1. Tentukan pembuat nol ruas kiri, didapat x=2 atau x=5

x2 – 7x + 10 <0 (x - 2) (x - 5) < 0 …………(*)

2. Gambarkan pada garis bilangan, sehingga terbentuk beberapa

selang (yaitu x < 2,2 < x <5, dan x>5)

3. Tentukan tanda pada masing-masing interval (selang) dengan

cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu

wakil), misal kita ambil : x=0; x=3; dan x = 6.

x = 0 (x - 2)(x - 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)

Maka pada selang x <2 beri tanda (+)

x = 3 (x - 2)(x - 5)= (1) (-2) = -2 < 0 (negatif)

Maka pada selang 2<x <5 beri tanda (-)

x = 0 (x - 2) (x - 5) = (4) (1) = 4 >0 (positif)



Maka pada selang x>5 beri tanda (+) sehingga diperoleh gambar :

2 5

++++ ++++ - - - --

Sekarang perhatikan gambar pertidaksamaan (*) yaitu < 0, atau negatif

(-).

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah interval yang bertanda (-) yaitu

:

HP = {xl 2 < x < 5} = (2,5)

Contoh 5 :

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 9

≥ 0 !

Penyelesaian :

x2 – 9 ≥ 0 (x + 3) (x - 3) ≥ 0

Pembuat nol persamaan : x = -3 dan x = 3

Uji untuk x<-3, misal x=-4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)

Uji untuk -3<x<3, misal x=0, maka (x+3)(x-3)<0 (-)

Uji untuk x>3, misal x=4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)

Sehingga garis bilangannya menjadi seperti di bawah :

-3 3

++++ ++++- - - --

Karena bagian yang dicari adalah bagian yang lebih besar sama

dengan 0, maka bagian penyelesaiannya adalah daserah positif,

sehingga : HP={x|x≤3 atau x≥-3}

Contoh 6 :



-5 4

++++ ++++ - - - --

HP2

-3 2

++++ ++++ - - - --

HP1

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

2x-1 ≤ x-1 < 3x+2

Penyelesaian :

Pertidaksamaan diatas dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan

berikut :

2x–1 ≤ x – 1 dan x-1 < 3x+2

2x-x-1+1 ≤ 0 dan x-3x-1-2 <0

x≤0 dan -2x-3-1-2 < 0

x≤0 dan -2x-3 < 0

x≤0 dan 2x+3 > 0

x≤0 dan 2x > -3

x ≤ 0 dan x > -3/2

maka HP : { x|x≤0 dan x > -3/2 } atau

HP : { x|-3/2 < x ≤ 0 }

Contoh 7 :

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :

6 ≤ x² + x < 20

Penyelesaian :

6 ≤ x² + x dan x² + x < 20

0 ≤ x² -x -6 dan x² + x -20 < 0

x² + x -6 ≥ 0 dan x² + x -20 < 0

(x + 3)(x -2) ≥ 0 dan (x+5)(x-4) < 0

HP1=(-∞,-3]U[2,∞) dan HP2=(-5,4)

HPtot = HP1 ∩ HP2 = (-∞,-3]U[2,∞)∩(-5,4)



-5 1/2

++++ ++++ - - - --

HP

-3-5 2 4

HPtot

Maka berdasarkan garis bilangan tersebut : HPtot=(-5,-3] U [2,4)

Contoh 8

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :

2x² + 9x – 5 < 0

Penyelesaian :

1. Faktorkan dulu 2x² + 9x – 5, cari p dan q sedemikian sehingga

p + q = 9 dan pq = -10

Maka didapat p = 10 q = -1

Sehingga 9x dapat diperoleh menjadi 10x – x = px + qx

2x² + 9x – 5 < 0

2x² + 10x –x -5 < 0

( 2x² + 10 ) – (x + 5 ) < 0

2x(x + 5 ) - ( x + 5 ) < 0

(2x - 1 ) ( x + 5 ) < 0

2. Gunakan garis bilangan untuk menentukan daerah Hp dari x.

Cek x = 0

maka : Hp = { x | -5 < x < ½ }

Hp = ( -5, ½ )

Contoh 9

Carilah himpunan penyelasaian dari

2 10

5

x

x

Penyelesaian :

Gunakan garis bilangan untuk mengecek Hp dari x dan penyebut tidak

boleh nol. Dan cek x = 0.



-5 1/2

++++ ++++ - - - --

HP

-5 1/2

++++ ++++ - - - --

HP

Maka : Hp : {x | -5< x < 1/2 }

Hp : { -5, ½ }

Bandingkan dengan Contoh 8!

Contoh 10

Carilah himpunan penyelesaian dari

2 10

5

x

x

Penyelesaian :

Cek x = 0

Karena penyebut tidak boleh nol,maka

x + 5 ≠ 0

x ≠ -5

Maka Hp : { x | -5 < x ≤ ½ }

Hp : {-5,1/2 }

Bandingkan dengan Contoh 8 dan 9 !

Contoh 11

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

x²(x-6)(x+3)(x-2)³≤ 0

Penyelesaian :

1. Buatlah garis bilangan dan tempatkanlah pembuat nol

2. Uji nilai x di setiap selangnya dan berilah tanda

3. Himpunan penyelesaiannya berada pada tanda sesuai

pertidaksamaan



1.

2. Uji nilai x di selang x < -3,misal x = -4,maka

x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(-)(-) = (-)

Uji nilai x di selang -3 < x < 0,misal x = -1,maka

x² (x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)

Uji nilai x di selang 0 < x < 2,misal x = 1,maka

x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)

Uji nilai x di selang 2 < x < 6,misal x=3,maka

x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(+)=(-)

Uji nilai x di selang x>6,misal x=7,maka

x²(x-6)(x+3)(x-2)² = (+)(+)(+)(+) = (+)

maka garis bilangannya akan menjadi sebagai beriku

3. Hp : { x | x ≤ -3 atau 2 ≤ x ≤ 6 }

Hp : {-∞ -3] atau [2, 6]

Contoh 12

Carilah himpunan penyelesaian 2

3

( 6)0

( 3)( 2)

x x

x x

Penyelesaian :

Sama dengan Contoh

3 0 62

x x x x

x x x x

-3 0 2 6

- - - - + + + + - - - - - + + + +



o x o x

-3 0 2 6

penyebut

penyebut3 0

3

x

x

2 0

2

x

x

Uji nilai x di selang x <-3 ; 2

3

( 6) ( )( )( )

( 3)( 2) ( )( )

x x

x x

Uji nilai x di selang -3 < x <0 ; 2

3

( 6) ( )( )( )

( 3)( 2) ( )( )

x x

x x

Uji nilai x diselang 0 < x < 2 ; 2

3

( 6) ( )( )( )

( 6)( 3) ( )( )

x x

x x

Uji nilai x diselang 2 < x < 6; 2

3

( 6) ( )( )( )

( 6)( 3) ( )( )

x x

x x

Maka garis bilangannya akan menjadi seperti berikut

o x o x

+ + + + - - - - + + + +

-3 0 2 6

Sehingga Hp = { x | x < -3 atau 2 < x ≤ 6}

Hp = (-∞, -3) atau (2, 6]

Bandingkan dengan Contoh 11 !



Contoh 13

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

-5 < x4 –x² - 5 < 1

Penyelesaian :

Seperti Contoh 7, kita pecah pertidaksamaan tersebut menjadi dua

pertidaksamaan, namun kita misalkan y = x², maka pertidaksamaan itu

menjadi : -5 < y²-y-5 < 1

-5<y²-y-5< dan y²-y-5<1

y²-y>0 dan y²-y-6<0

y(y-1)>0 dan (y-3)(y+2)<0

o o o o1 -2

- - - + + + + + - - -dan

Y< 0 atau y > 1 dan -2 < y < 3

0 0 0 0

-2 0 1 3

Maka ; -2 < y < 0 atau 1< y < 3

Dari pertidaksamaan terakhir,kita dapat mensubstitusikan kembali y

dengan x²,maka :

-2 < x² < 0 atau 1 < x² < 3

x² + 2 > 0 dan x²<0 atau x²-1 > 0 dan x² - 3 < 0

Kondisi 1 x² + 2 > 0

x² = 2 tidak dapat difaktorkan, maka tinggal uji coba saja x dengan

semua bilangan, diperoleh bahwa x² + 2 > 0,diperoleh

Hp : {x | x ϵ ℝ }



Kondisi 2 x² < 0

Uji x² dengan bilangan real apapun,maka pertidaksamaan ini tidak

pernah akan terpenuhi sehingga Hp : {x | x = ϕ} (himpunan kosong)

akibatnya dari kondisi 1 dan kondisi 2 diperoleh

Hptot1 : {x | x ϵ ℝ dan x = ∅} = Hp1 ∩ Hp2

Hptot2 : {x | x = ∅} (himpunan kosong)

Kondisi 3 x² - 1 > 0

(x-1)(x+1)>0

o o

-1 1

+ + + + - - - -

Hp3 : { x | x < -1 atau x > 1 }

Kondisi 4 x²-3<0 (x-√3)(x+√3)<0

O O

- - - - + + + ++ + + +

-v3 v3

Hp4 : {x | -√3 < x < √3}

Maka : Hptot2 = Hp3 ∩ Hp4

={x| -√3 < x < -1 atau 1 < x < √3 }

O O O O

-3 -1 1 V3

Hptot = Hptot1 ∪ Hptot2 = ∅ ∪(-√3,-1)∪(1,√3)

=(-√3,-1) ∪(1,√3)



Contoh 14

Carilah himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan

6/x – 5 ≤ -x

Penyelesaian :

1. Buat ruas kanan 0

2. seluruh komponen di ruas kiri sampai diperoleh hanya pembilang

dan penyebut saja

3. Penyebut tidak boleh nol dan faktorkan pembilang dan penyebut

4. Buat garis bilangan dan pembuat nol

5. Uji setiap selang dari garis bilangan tersebut

6. Hitinglah himpunan penyelesaiannya

1. 6

5 0xx

2. 26 5

0x x

x

3. ( 2)( 3)

0, 0x x

xx

4.

5. Untuk x < 0 ; ( 2)( 3) ( )( )

( )( )

x x

x

Untuk 0 < x<-2 ; ( 1)( 3) ( )( )

( )( )

x x

x

Untuk 2<x<3 ; ( 2)( 3) ( )( )

( )( )

x x

x

Untuk x>3 ; ( 2)( 3) ( )( )

( )3 ( )

x x

Maka garis bilangannya akan menjadi

o x x

0 -2 3



o x x

0 2 3

+ + + + - - - - - - - - + + + +

6. Hp : { x | x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 3 }

Contoh 15

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

|x+1| < 4

Penyelesaian :

Cara 1 : Gambarkan definisi tanda mutlak :

|x| : +x, x ≥ 0

-x, x < 0

Maka :

untuk x ≥ 1 atau untuk x < 0

|x+1|< 4 atau -(x+1) < 4 |x-1

x+1< 4 atau x+1 > -4

x < 3 atau x >5

karena x ≥ 0, maka : Hp1 : {x| 0≤x<3} atau

karena x < 0,maka : Hp2 : {x|-5 < x< 0}

Hp tot : Hp1 atau Hp2 : Hp1∪ Hp2

: {x|-5 < x <3}

Cara 2 : Gunakan rumus |x² = x²

|x+1|<4 ; |x+1|²< 4²

((x+1)-4)((x+1)+4) < 0…………… ingat: a² - b² =(a-b)(a+b)

(x-3)(x+5)< 0

o o

-5 3

+ + + + - - - - + + + +

Maka : Hp : {x| -5<x<3}

Contoh 16



Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

|x-2|< 3 |x+2|

Penyelesaian :

Agar tidak terlalu panjang, maka yang digunakan adalah

|x|² = x²,

maka :

|x-2|² < 3²|x+2|²

(x-2)² < 9 (x²+4x+4)

X²-4x-4 < 9x²+36x+36

0 < 8x²+ 40x+32

X²+5x+4 > 0

(x+1)(x+4) > 0

Hp : {x | x < -4 atau x > -1}

Contoh 17

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

3(x-1)² + 8|x-1| ≤ 3

Penyelesaian :

Ingat prinsip |x| = x, x > 0

-x, x < 0

|x-1| = x – 1, x ≥ 1

-(x-1), x ≤ 1

Untuk x ≥ 1

3(x-1)² + 8 (x-1) ≤ 3

3(x-1)² + 8(x-1)-3 ≤ 0

anggap : x-1= u,

maka :

3u²+8u-3 ≤ 0

3u² +9u-u-3≤ 0

3u(u+3) – (u+3) ≤ 0

(3u-1)(u+3) ≤ 0

Untuk x ≤ +1

3(x-1)²-8(x-1) ≤ 3

3(x-1)²-8(x-1)-3 ≤ 0

anggap x-1 = u, maka :

3u²-8u-3 ≤ 0

3u²-9u-u-3 ≤0

3u(u-3) + (u-3) ≤ 0

(3u+1)(u-1) ≤ 0

o o

-4 -1

- - - -+ + + + + + + +



x x x x

-3 1/3 -1/3 3

+ + + + - - - - + + + + + + + + - - - - + + + +

Dari garis bilangan diatas

-3 ≤ u ≤ 1

3

Ganti kembali u dengan x-1

-3 ≤ x-1 ≤ 1

3

Tambahkan semua ruas dengan

x≥1

x≤1 - 3+1 ≤ x-1+1 ≤ 1

3+1

-2 ≤ x ≤ 4

3

Karena diatas sudah disyaratkan

x ≥ 1, maka

-2 ≤ x ≤4

3 harus diiriskan dengan

x ≥ 1

Dari garis bilangan diatas

1

3 ≤ u < 3

Ganti kembali u dengan x-1

1

3 + 1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1

Tambahkan semua ruas

dengan x≤1 -

-1

3+1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1

2

3 ≤ x ≤ 4

Karena diatas sudah di

syaratkan x≤1

maka : 2

3≤ x ≤ 4 harus

diiriskan

Dengan x ≤ 1



x x x x x x

-2 1 4/3 2/3 1 4

Sehingga Hp1 {x|1 ≤ x ≤ 4

3}=[1,

4

3]

Sehingga Hp2 : {x| 2

3≤ x≤ 1} = [

2

3,1]

Dengan demikian

Hp tot = Hp1 ∪ Hp2 = [1,4

3] ∪ [

2

3,1]

Hp tot = [2

3,4

3]



Contoh 18

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 4 2 0x x

Penyelesaian : 4 2 0x x 2 2( 1) 0x x

2( 1)( 1) 0x x x

++++++++++++++0 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 +++++++++++++++++

Contoh 19

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2

1xx .

Penyelesaian :

21x

x

x+1-2

0x

2 20

x x

x

0

0 1-2

++++++++++++++ +++++++++ - - - - - - - - - 0

+++++++++++++++++

Contoh 20

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 2 6x x .

Penyelesaian : 22 6x x 22 x x dan 2 6x x

2 2 0x x dan 2 6 0x x

( 1)( 2) 0x x dan ( 2)( 3) 0x x

( 1x atau 2)x dan ( 2 3)x



Himpunan jawab:

, 1 2, 2,3 2,1 2,3 .

-2 -1 2 1

Contoh 21

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 1

.2 3

x x

x x

Penyelesaian : 1

2 3

x x

x x

1

3 2

x x

x x

10

3 2

x x

x x

2 22 4 30

3 2

x x x x

x x

22 2 30

3 2

x x

x x

Karena faktor 22 2 3x x definit positif, maka pertaksamaan ini setara

dengan

10

3 2x x

Jadi himpunan pertaksamaan adalah selang 3,2 .

Contoh 22

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 3 111 ... 0.x x x x

Penyelesaian :

Misalkan 2 3 111 ... ,A x x x x maka 2 3 11 12... .Ax x x x x x

2 3 11 12...Ax x x x x x 2 3 111 ...A x x x x



______________________________ _ 12( 1) 1A x x

Ini mengakibatkan pertaksamaannya dapat ditulis dalam bentuk 12

2 3 11 11 ... 0.

1

xA x x x x

x

Tanda12 1:x

- - - - - - - - - - - - 0 0 +++++++++++++++++++++++++++

Tanda 1:x

0 ++++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1

Untuk 1x berlaku 12 1,x sehingga

12 1 0x .

Untuk 1 1x berlaku 12 1,x sehingga

12 1 0x

Untuk 1x berlaku 12 1x , sehingga

12 1 0x

Himpunan jawab pertaksamaan ini tercapai bila tanda

pembilang dan penyebut keduanya positif, atau keduanya positif, atau

keduanya negative, yang terjadi bila 1x .Jadi himpunan jawab

pertaksamaan 2 3 111 ... 0x x x x adalah selang 1, .

Menyelesaikan pertidaksamaan dengan Mathcad

Dalam Mathcad ketiklah pertidaksamaan 1

2 3

x x

x x

,

Tanda ≥ diambil dari toolbar Boolean, pembagi diambil dari tanda /,

kemudian klik solve dan masukkan variabel x, akhiri dengan menekan

enter, maka akan muncul hasil berikut :



2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak

a. Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan oleh IxI,

didefinisikan sebagai:

Misalnya :

I7I = 7; I4I = 4; I0I = 0; I 2 – 5 I = I-5I = 5

x selalu positif atau nol , atau ditulis x ≥ 0

; jika 0

; jika 0

x x

x xx



Q ( x2,0) 0 P ( x1,0)

O( 0,0)

x mendefinisikan suatu jarak antara x dengan titik asal

x a adalah jarak antara x dan a

b. Teorema Nilai Mutlak

(1.) Untuk setiap bilangan real x berlaku :

(2.) Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :

(3.) Misalkan a , maka :

(4.) Misalkan diberikan δ > 0, maka :

-2 -1 0 1 2 3 4 5

OA = 2 = 2 ; OB = 4 = 4

(a.) x ≥ 0 (b.)

0x x

(b.) =

(d.)

(a.) x a -a < x < a x2 = a2

(b.) x a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2

(a.) x a -a < x < a x2 = a2

(b.) x a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2

(a.) x < δ -δ < x < δ

(b.) x a < δ a – δ < x < a + δ

x a < δ memberikan arti bahwa selisih antara

x dan a kurang dari δ

Ix1I Ix2I



(5.) Mengkuadratkan bentuknya, dengan rumus :

(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus :

Contoh 1

Hitunglah 1x x dengan membongkar tanda mutlaknya !

Penyelesaian :

,

Ingat x a x a

x a x ax a

1, 1

( 1), 11 x x

x xx

maka 1 1, 1

1 2 1, 11 x x x

x x x xx x

(a). x a 2 2x a

2 2x a

(b). x a 2 2x a

2 2x a

(a). , jika

, jika

x a x a

a x x ax a

(b).

, jika

( ), jika

bax b x

ab

ax b xa

ax b



Contoh 2

Hitunglah 2x x dengan membongkar tanda mutlaknya !

Penyelesaian :

, 0

, 0

2 , 0

2 , 0

, 0

3 , 0

maka

2

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x

x

x x

, 0

, 0karena

3 , 0 dan 0 (1)

, 0 dan 0 (2)dan 3

3 , 0 dan 0 (3)

3 , 0 dan 0 (4)

x x

x xx

x x x

x x xx

x x x

x x x

Contoh 3

l 2x – 3l < 4

Penyelesaian :

l 2x – 3l < 4 -4 < 2x – 3 < 4

-4 + 3 < 2x < 4+3

-1 < 2x < 7

-1/2 < x < 7/2

HP = { x / -1/2 < x < 7/2 } = (-1/2, 7/2)

Contoh 4

l 5x + 1l ≥ 9

Penyelesaian :

l 5x + 1l ≥ 9 5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9

5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8

x ≤ -2 atau x ≥ 8/5

Uraikan / bongkar dulu tanda mutlak di bagian dalam, baru

kemudian di bagian luar



HP = { x / x ≤ -2 atau x≥ 8/5 }

= (-∞ ,-2 ] U [ 8/5, ∞)



-13 2 1/5

Contoh 5

l 3x + 1l < 2 lx – 6l

Penyelesaian :

l 3x + 1l < 2 lx – 6l l 3x + 1l < l2x – 12l

(3x + 1)2 < (2x – 12)2

9x2 + 6x + 1 < 4x2 – 48x + 144

5x2 + 54x – 143 < 0

(5x - 11) (x + 13) < 0

Pembuat nol kiri x = 2 1/5 dan x = -13

HP = { x l -13 < x < 2 }

Contoh 6 : x l xl – x ≤ 6

Menurut definisi nilai mutlak lxl :

Ada dua kemungkinan yaitu untuk x < 0 atau x ≥ 0

Penyelesaian :

Selalu (+) untuk x € R

l x l = -x

X < 0 dan

X (-x) –x ≤ 6

-x2 –x ≤ 6

X2 + x +6 ≥ 0

l x l = x

X > 0 dan

X (x) –x ≤ -6

x2 –x -6 ≤ 0

(x+2) (x-3) ≤ 0



HP1 = (x > 0 dan x € R) = (-∞,0) HP2= [0, ∞) n [-2,3] = [0,3]

HP = HP1 U HP2 = (-∞,0) U [0,3] = (-∞,3]

2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak

Proses penyelesaian pertaksamaan yang membuat nilai mutlak

adalah mengubah bentuk persamaan yang diketahui sehingga tidak

memuat nilai mutlak lagi, kemudian, selesaikan pertaksamaan yang

muncul pada setiap kasus. Untuk itu kita dapat menggunakan sifat nilai

mutlak berikut.

Jika 0,a maka 2 2.x a a x x x a

Jika 0,a maka x a x a atau 2 2x a x a

, bila

,bila

x a x ax a

a x x a

Catatan

Berdasarkan sifat pertama dan kedua, kita dapat mengkuadratkan

bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya telah

dipenuhi. Untuk pertaksamaan yang memuat lebih dari satu bentuk

nilai mutlak, sifat ketiga digunakan pada garis bilangan.

Contoh 1

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 3 2 1x .

Penyelesaian

3 2 1x

3 2 1x atau 3 2 1x



3 1x atau 3 3x

1

3x atau 1x

Himpunan Jawab = 1

, 1, .3



Contoh 2

Tentukan himpuinan jawab pertaksamaan 2 3 2x x

Penyelesaian :

2 3 2x x

2 2

2 3 2x x

2 24 12 9 4 4x x x x 23 16 5 0x x

3 1 5 0x x

15

3x

Himpunan jawab =1

5, .3

Contoh 3

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 22x x

Penyelesaian : 2 22x x

2

2 42x x

4 2 44 4x x x 24 4 0x

2 1 0x

1 1 0x x

1 1x

Himpunan jawab = 1,1

Contoh berikut memperlihatkan penyelesaian pertaksamaan nilai

mutlak dengan memanfaatkan garis bilangan.



Contoh 4

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 1 2.x x

Penyelesaian :

Tuliskan pertaksamaannya tanpa bentuk mutlak dengan menggunakan

sifat

, bila 0

, bila 0

x xx

x x

dan

1,bila 11

1 ,bila 1

x xx

x x

Proses penyelesaian pada garis bilangan adalah sebagai berikut

0x 0 1x 1x

x x

1 1x x

Gantikan ke pertak-

samaannya

2 1 2x x

3 1 2x 1

3x

Himpunan Jawab=

1 1

,0 , ,0 .3 3

x x

1 1x x

Gantikan ke pertak-

samaannya

2 1 2x x

1 2x

1x

Himpunan jawab=

0.1 ,1 0,1 .

x x

1 1x x

Gantikan ke pertak-

samaannya

2 1 2x x

3 1 2x

3 3x

Himpunan jawab =

1, ,1 1 .

Perhatikan cara mencari himpunan jawab disetiap selang bagiannya,

hasil perhitungan pada penyelesaian pertaksamaan harus selalu

diiriskan dengan tempat berlakunya pertaksamaan tersebut. Disini

himpunan jawab pertama harus diiriskan dengan selang ,0 ,

himpunan jawab kedua dengan 0,1 ,dan himpunan jawab ketiga

dengan selang 1, .

Karena proses penyelesaian pertaksamaan ini terbagi atas tiga kasus

yang selang pemecahannya saling terasing, maka himpunan jawab

pertaksamaanya adalah gabungan dari ketiga himpunan jawab di atas.

Himpunan jawab = 1 1

,0 0,1 1 ,1 .3 3



Catatan

Proses penyelesaian soal ini terbagi atas tiga kasus, diagram di atas

bermanfaat untuk melihat setiap kasus yang muncul secara

keseluruhan.

Pada Contoh berikut kita akan menyelesaikan pertaksamaan

yang berbentuk pecahan linear yang memuat nilai mutlak. Prosesnya

lebih cepat dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya, kemudian

menggunakan sifat-sifat aljabar elementer. Contoh lainnya adalah

tentang cara mencari batas sebuah bentuk pecahan dengan penyebut

definit positif jika rentang nilai peubah x diketahui.

Contoh 5

tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2.

1 1

x x

x x

Penyelesaian :

Penyelesaian masalah ini dikerjakan dengan mengkuadratkan kedua

ruasnya, membuat ruas kannya nol, dan menggunakan rumus 2 2 ( )( ).a b a b a b

2

1 1

x x

x x

2 22

1 1

x x

x x

2 20

1 1 1 1

x x x x

x x x x

2 2 2 23 2 3 20

1 1 1 1

x x x x x x x x

x x x x

2

2 2

18 1

20

1 1

x x x

x x

.



Karena faktor 2 1 x x definit positif, maka bentuk ini setara dengan

2 2

1

2 01 1

x

x x

Tentukan himpunan jawab pertaksamaan ini dengan bantuan garis

bilangan.

11/2-1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++ +++++++++++++

Himpunan jawab = 1

,1 1, .2

Contoh 6

Jika 2,x buktikan 2

2

2 3 5.

2 4 3

x x

x x

Penyelesaian :

Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan

22 2 4 1 3 3,x x x Maka

2

1 1.

2 4 3x x

Ini mengakibatkan

2

2 2

2 2

2 3 1 12 3 2 3 .

2 4 2 4 3

x xx x x x

x x x x

Untuk 2,x kita akan menentukan batas dari 2 2 3 .x x Untuk ini,

tulislah 2 22 3 ( 1) 4,x x x

Kemudian gunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, mka diperoleh

hasil berikut.

2x

2 2x

3 1 1x

2

0 1 9x



2

4 1 4 5x

25 4 2 3 5x x 2 2 3 5.x x

Dengan menggunakan hasil ini diperoleh

22

2

2 3 1 1 52 3 .5 ,

2 4 3 3 3

x xx x

x x

Sehingga terbuktilah yang diinginkan.

Rangkuman

8. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara

pemfaktoran dan cara rumus abc.

9. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah

2

12 , dimana : 42

b Dx D b ac

a

10. Ada 3 kemungkinan nilai D (Diskriminan), jika D>0, ada 2 nilai x

yang nyata, jika D=0,hanya ada satu nilai x yang nyata, dan jika

D<0 tidak ada nilai x yang nyata.

11. Definisi nilai mutlak : ; jika 0

; jika 0

x x

x xx

atau

, jika

, jika

x a x a

a x x ax a

12. x a adalah jarak antara x dan a.

13. Pertidaksamaan dalam nilai mutlak dapat diselesaikan dengan

membuka tanda mutlaknya dan mengkuadratkan masing-masing

ruas dengan kondisi tertentu.


60 Sistem Koordinat

3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS

Overview

Bab ini menjelaskan konsep dasar persamaan garis linier yang

berbasiskan sistem koordinat kartesius. Hal-hal terkait dengan bab ini

adalah panjang garis lurus, persamaan garis lurus, kaitan antar dua

garis, gradien suatu garis, gradien dua garis yang saling tegak lurus,

dan jarak titik ke garis.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami sistem koordinat berbasis kartesius.

2. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung panjang ruas

garis lurus antara dua titik di luar kepala.

3. Mahasiswa memahami persamaan dasar garis lurus dan

menghitung gradiennya.

4. Mahasiswa memahami beberapa kaidah persamaan garis lurus

dan mampu menggunakannya dalam menyelesaikan soal.


Sistem Koordinat 61

5. Mahasiswa memahami kaitan antar dua garis.

6. Mahasiswa mampu memahami dan menghitung gradien dua

garis yang saling tegak lurus.

7. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung jarak titik ke

suatu garis lurus.

Definisi Koordinat Kartesius

b

a

P(a,b)

0

Gambar 2.1 Koordinat Kartesius

Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis

horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak

lurus di titik O (titik asal). Kedua sumbu ini membagi bidang datar atas

4 bagian, yang dinamakan kuadran 1 sampai dengan kuadran 4, seperti

halnya dengan himpunan bilangan real dengan garis, disini terdapat

korespondensi satu-satu diantara setiap titik di bidang dengan

pasangan terurut 2 bilangan real. Jika garis vertikal dan horizontal

yang melalui titik sebarang P memotong sumbu x di a dan sumbu y di

b, maka koordinat titik P adalah (a, b), dan sebaliknya.

Perhatikan Gambar 2.1 yang memperlihatkan situasinya. Dalam hal ini a

dan b berturut-turut dinamakan absis (koordinat x) dan ordinat

(koordinat y) dari titik P. Sistem koordinat kartesis seringkali ditulis 2R ,

atau ,R R yang menyatakan himpunan semua pasangan terurut (x,y),

x dan y R . Jadi kita mempunyai 2 ,R R R yang menyatakan


62 Sistem Koordinat

himpunan semua pasangan terurut (x,y) dan y R . Jadi kita

mempunyai 2 , : , .R R R x y x y R

Kuadran yang memuat semua garis batasnya (sebagian dari

sumbu x dan sumbu y) dinamakan kuadran tertutup, dan yang sama

sekali tidak memuat garis batasnya dinamakan kuadran terbuka.

Pemberian nama ini sejalan dengan konsep selang tertutup dan selang

terbuka pada garis bilangan real.

Kuadran 1 mempunyai 4 kemungkinan , yaitu

, : 0 dan y 0 , kuadran tertutup,

, : 0 dan y>0 , kuadran terbuka,

, : 0 dan y>0 , dan

, : 0 dan y 0 .

x y x

x y x

x y x

x y x

Kedua himpunan terakhir tidak terbuka dan tidak tertutup.

Selanjutnya, bila hanya disebutkan kuadran 1 saja, kemungkinan yang

terjadi bergantung pada konteks pembicaraannya. Dalam hal ini boleh

memuat garis pembatasnya, yang bergantung pada permasalahan

yang muncul dan akan dibahas.

Tinjau ulang tentang garis lurus pada bidang datar

Panjang ruas garis lurus dengan teorema phytagoras , panjang

ruas garis di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah

PQ= 2 2

1 2 1 2 .x x y y

Persamaan garis lurus Bentuk umum persamaan garis lurus

adalah

0, a dan b tidak semuanya nol. ax by c

Beberapa hal khusus persamaan garis yang :


Sistem Koordinat 63

Sejajar dengan sumbu x adalah y=p;

Sejajar dengan sumbu y adalah x=q;

Tidak sejajar dengan sumbu y adalah y=mx+n (fungsi linear);

Melalui titik asal (0,0) adalah ax+by =0;

Melalui titik (p,0)dan (0,q) p dan q tidak nol adalah 1;x y

p q

Melalui titik (x1, y1) dan mempunyai gradien m adalah y-

y1=m(x-x1);

Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)adalah 1 1

2 1 2 1

.y y x x

y y x x

Kaitan antar dua garis

Garis g: ax + by + c =0 dan h: px+qy+r=0 dikatakan :

Sejajar (ditulis g // h) jika a b c

p q r

Berimpit (ditulis g h), jika a b c

p q r

Berpotongan, jika a b

p q dan berpotongan tegak lurus jika

0, , 0ap bq b q

Gradien suatu garis

Pada persamaan garis g : y=mx+n, besaran m dinamakan gradient

suatu garis g. Arti geometri dari gradient suatu garis tersebut dengan

sumbu x positif . Perhatikan situasinya pada Gambar 2.2


64 Sistem Koordinat

θ

g : y =mx+n

x

y

0

m= tanӨ,Ө=sudut garis g dengan sb-x positif

Gambar 2.2 Persamaan Linier


Sistem Koordinat 65

Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Garis g : y= mx+n dan h : y=px+q saling tegak lurus 1.mp Jadi

dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika perkalian gradiennya

sama dengan -1.

Bukti : tanpa mengurangi keumuman pembuktian, andaikan garis g

dan h melaui titik asal (0,0). Pada gambar 2.3, pilihlah titik P(x1,y1) pada

garis g dan titik Q(x2,y2) pada garis h, dengan x1 dan x2 keduanya tidak

nol.

P(X1,Y1)

Q(X2,Y2)

x

y

g

h

0

Gambar 2.3 Jarak antar 2 titik

Dengan rumus jarak dua titik bidang dapat diperoleh

2 2 2 2 2

1 1 2 2

22 2

1 2 1 2

, , dan

( ) .

OP x y OQ x y

PQ x x y y

Kemudian, dengan rumus Phytagoras dan kebalikannya, serta

penyederhanaan bentuk diperoleh

2 1 22( ) 0g h x x y y

1 2

1 2

1 . 1,g h

y ym m

x x


66 Sistem Koordinat

Karena 1

1

g

ym

x dan 2

2

h

ym

x , dengan demikian terbuktilah apa yang

diinginkan.

Jarak titik ke garis

Jarak titik P(x0, y0) ke garis g:

0 0

2 2( , )

ax by cd P g

a b

Pada gambar di bawah ini, jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PQ.

P(x0,y0)

d(P,g)Q

g : ax+by+c=0

x

y

0

Gambar 2.4 Jarak titik terhadap garis

Terdapat banyak cara untuk membuktikan jarak titik ke garis, yang

paling sederhana dengan cara geometri. Buatlah garis sejajar sumbu y

dan melalui P sehingga memotong garis g di R. Buatlah garis sejajar

sumbu y dan melaui P sehingga memotong garis g di S. Tentukan

koordinat R dan S serta panjang ruas garis PR, PS, dan RS. Dengan

rumus geometri :


Sistem Koordinat 67

.

,PR PS

d P g PQRS

.


68 Sistem Koordinat

Contoh 1 :

Hitunglah gradien dari persamaan linier berikut:

3 2 4 0y x

Penyelesaian :

Buatlah komponen y sendirian di ruas kiri, yang lainnya di ruas kanan

3 2 4 0

3 2 1

3 4

2 3

y x

y x

y x

y mx c

Sehingga gradiennya 3

2

Contoh 2 :

Dari gambar berikut tentukan gradiennya :

8

0 2 x

y

Penyelesaian :

Gunakan rumus : 2 1

2 1

y ym

x x

Perhatikan dan lengkapi grafiknya :


Sistem Koordinat 69

y

x

(0,3)

x1 y1

(2,0)

x2 y2

Maka :

m=0 - 3

2 - 0

m = -3

2

Contoh 3 :

Buatlah grafik dari persamaan berikut:

4 8 2y x

Penyelesaian :

Buatlah 2 titik yang melewati persamaan linier tersebut :

1.Titik pertama

0

:

4. 8.0 2

4 2

2 1

4 2

1(0, )

2

x

maka

y

y

y


70 Sistem Koordinat

2. Titik Kedua

0

:

4.0 8. 2

2 1

8 4

1( ,0)4

y

maka

x

x

Hubungan kedua titik tersebut :

1/2

1/4

y

x

Contoh 4 :

Buatlah persamaan linier dari persamaan berikut:

y

x2

-1

(2,0)

(0,-1)

x1 y1

x2 y2


Sistem Koordinat 71

Penyelesaian :

2 1

2 1

0 ( 1)

2 0

1

2

y ym

x x

m

m

1( 1) ( 0)

2

12

2

12

2

y x

y x

y x

Contoh 5 :

Hitunglah gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan

persamaan berikut:

2 2 4y x

Penyelesaian :

1.Hitunglah gradien persamaan garisnya

2.Gunakan rumus 2

1

1m

m

1

1

21

2 2 4

2 2 4

2

1

1 11

1

y x

y x

y x

y m x c

m

mm

Maka gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan

diatas adalah 1

Contoh 6:

Hitunglah persamaan garis yang sejajar dengan persamaan garis

3 4 1 0y x dan melewati titik (2,3)!

Penyelesaian :

1.Hitung gradient garis yang ada


72 Sistem Koordinat

2.Dengan tersebut gunakan rumus 1 1( )y y m x x

Ingat : jika 1m sejajar dengan

2m ,maka 1 2m m

1

3 4 1 0

3 4 1

4 1

3 3

4

3

y x

y x

y x

m

Karena sejajar 2 1

4

3m m , maka :

1 2 1( )

43 ( 2)

3

4( 2)

3

4 83

3 3

4 8 9

3 3

4 1

3 3

y y m x x

y x

y x

y x

y x

y x

1 1( , ) (2,3)x y

Contoh 7 :

Hitunglah persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan garis

7 3 2 0y x dan melewati titik (0,6) !

Penyelesaian :

1.Hitung gradient garis yang ada

2.Hitung gradient garis yang tegak lurus dengan gradien dari (1)

dengan rumus 2

1

1m

m (sejajar)

3. Gunakan rumus : 1 1( )y y m x x 1 1(0,6) ( , )x y


Sistem Koordinat 73

Contoh 8

Dari grafik disamping, tentukanlah

persamaan garis yang tegak lurus dengan

garis tersebut dan melewati titik asal .

Penyelesaian :

ingat : titik asal adalah titik (0,0)

1. Hitung gradien garis tersebut.

2. Hitung gradien yang tegak lurus dengan gradien dari (1)

3. Hitung persamaan menggunakan y – y 1 = m2 (x – x1)

x 3

( 3,0 )

3

y1 x1

( 0,4 ) 4

4

y

2 11

2 1

0 4 4

3 0 3

y ym

x x

2

1 1 3

43 4

3

m

1 2 1( )

34 ( 0)

4

34

4

y y m x x

y x

y x


74 Sistem Koordinat

Y1 X1


Sistem Koordinat 75

Contoh 9

Hitunglah titik potong antara 2 garis berikut :

4y – 2x = 3 dan 3y – 2x = 6

Penyelesaian :

gunakan subtitusi atau eliminasi

Cara 1 : subtitusi

4y – 2x = 3

-2x = 3 – 4y ..........................(1)

3y -2x -6 Ganti -2x dengan persaman (1)

3y +3-4y = 6

-y +3 = 6

-y = 6-3 = 3

Y = -3 , maka

-2x = 3-4y = 3- 4 (-3) = 3 + 12 = 15

X = 2

15

-7,5

Sehingga tiik potong nya adalah (-7,5 , -3)

Cara 2 : Eliminasi

4y – 2x = 3

3y – 2x = 6

____________ -

y+ 0 = -3

y= -3

4y – 2x = 3 2x = 4y – 3

=-4.3 – 3

2x = -15

x= -7,5

sehingga (-7,5 , -3 )

Contoh 10

Hitunglah jarak antara 2 titik berikut (-2,5) dengan (-1,-3)


76 Sistem Koordinat

Penyelesaian :

Gunakan rumus d = 2 2

2 1 2 1( ) ( )X X Y Y

(-2, 5 ) (-1, -3)

X1 Y1 X2 Y2

2 2( 1 ( 2) ( 3 5)d

1 65

65

Contoh 11

Hitunglah jarak antara titik (7,-1) dengan titik (-2, 5)

Penyelesaian :

Seperti Contoh sebelumnya

(7,-1) (-2, 5)

X1 Y1 X2 Y2

2 2( 2 7) (5 ( 1)d

81 36

117

Contoh 12

Hitunglah jarak antara titik (!,2) dengan garis y = 2x + 3


Sistem Koordinat 77

Penyelesaian :

Gunakan rumus d(P,q)= 0 0

2 2

aX bY c

a b

dimana P (X0, Y0) dan q adalah garis ax + by + c = 0

1. Ubah bentuk y = 2x+3 menjadi ax+by+c=0

y= 2x+3

-2x + y -3 = 0 maka a =-2

b= 1

c= -3

ax + by + c = 0

2.Gunakan rumus jarak titik terhadap garis.

d(P,q)= 0 0

2 2

aX bY c

a b

=22 1)2(

32.11.2

= 5

3

= 55

3

Contoh 13

Diketahui titik A (-1,2) dan titik B (2,3). Tentukan persamaan garis g

yang tegak lurus dengan garis AB dan melalui titik A !


78 Sistem Koordinat

Penyelesaian :

1. Hitung dulu gradient garis AB.

2. Tentukan gradien yang tegak lurus dengan gradien garis AB.

3. Buat persamaan garis yang melalui A (-1,2)

1.A (-1 , 2) B (2 , 3)

X1 Y1 X2 Y2

2 11

2 1

3 2 1

2 ( 1) 3

y ym

x x

2.

2

1

1 13

13

mm

3.

1 2 1( )

2 3( ( 1)) 3 3

3 1

y y m x x

y x x

y x

Contoh 14

Diketahui titik A(-1,2), B(3,2) dan C(-2,3). Tentukan persamaan garis g

yang sejajar dengan garis AC dan melalui titik tengah AB.

Penyelesaian :

1. Hitunglah gradien garis AC

2. Hitunglah koordinat titik tengah AB

3. Buatlah persamaan garis dengan gradien dari (1) dan

melewati titik tengah AB dari (2).

1. A (-1, 2) C (-2 , 3)


Sistem Koordinat 79

X1 Y1 X2 Y2

2 1

2 1

2 2 44

2 ( 1) 1

y ym

x x

2. A (-1,2) B (3,2)

0

1 3

2x

0

2 22

2y

0 1x

3.

0 0( )

2 4( 1)

4 4 2

4 2

y y m x x

y x

y x

y x

Contoh 15

Diketahui titik A(1,1), B(3,-1), dan C(2,2). Hitunglah luas segitoiga ABC!

Penyelesaian :

1. Sketsalah secara asal segitiga ABC

2. Anggap salah satu sebagai alas mislnya AB, berarti tinggal

dicari tinggi dengan menghitung jarak titik C ke garis AB

3. Hitung luas segitiga (2

1x alas x tinggi )

1.

C


80 Sistem Koordinat

A B

Garis AB :

A ( 1, 1) B ( 3 , -1)

X1 Y1 X2 Y2

2 1

2 1

1 11

3 1

y ym

x x

1 1( )

1 1( 1)

2

2 0

1, 1, 2

y y m x x

y x

y x

x y

a b c

2. 0 0

2 2

aX bY cd

a b

C (2 , 2 )

X0 Y0

d


Sistem Koordinat 81

2 2

1.2 1.2 2 2 12

282 2d

3. Luas segitiga = 1

2AB . 2 21 1

(3 1) ( 1 1) 22 2

d

Luas segitiga = 1

4 4 44

= 1 satuan

Carilah dengan menganggap BC sebagai alas.

Contoh 16

Diketahui persamaan kuadrat y = 2x2 -2x -4. Hitunglah Diskriminannya!

Apakah persamaan tersebut berpotongan / bersinggungan / sama

sekali tidak bersinggungan atau berpotongan sumbu x?

Penyelesaian :

Ingat : Diskriminan : D =b2-4ac dari y = ax2 + bx +c

a. Jika D > 0 maka ada 2 titik potong antara sb.x dengan garis y =

ax2 + bx +c dan diperoleh 2 solusi unuk x.

b. Jika D=0 maka garis y= ax2 + bx +c bersinggungan engan sumbu

x dan diperoleh satu solusi untuk x.

c. Jika D < 0 , maka garis y= ax2 + bx +c sama sekali tidak

berpotongan/bersinggungan dengan sumbu x dan solusi untuk x

bukan bilangan nyata.

Y= 2x2 -2x -4

a b c

D = (-2)2 -4.2 (-2)

= 4 + 32

D = 36

D> 0


82 Sistem Koordinat

Maka persamaan y = 2x2 -2x -4 berpotongan dengan sumbu x

menghasilkan 2 solusi x bilangan nyata

Contoh 17

Diketahui persamaan kuadrat y=-3x2-2x+1. HItunglah koordinat titik

kritis dari persamaan tersebut.

Penyelesaian :

a = -3, maka a < 0 sehingga titik kritisnya adalah titik

max

2

2

1 2

1 2

3 2 1 0

3 3 1 0

3 ( 1) ( 1) 0

( 3 1)( 1) 0

1, 1

3

1 21

13 3

2 2 2 3

y x x

x x x

x x x

x x

x x

x xx

1 13( ) 2( ) 1

3 3

1 23. 1

9 3

1 21

3 3

1 2 3 4

3 3

y

Sehingga Koordinat titik puncak /max adalah1 4

( , )3 3

Contoh 18


Sistem Koordinat 83

Diketahui persamaan kuadrat y=-4x+4x+3. Sketsalah persamaan

parabola tersebut !

Penyelesaian :

y = -4x2+4x+3

maka persamaan tersebut berpotongan dengan sumbu x dan

karena a < 0, maka titik kritisnya adalah titik puncak.

c b a

1. HItunglah D, tentukanlah apakah persamaan tersebut

berpotongan / bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap

sumbu x ?

D = b2-4ac

= 42 – 4(-4)3

= 16 + 48

= 64 > 0


84 Sistem Koordinat

2

2

1 2

4 4 3 0

4 6 2 3 0

2 (2 3) (2 3) 0

( 2 1)(2 3) 0

1 3,

2 2

y x x

x x x

x x x

x x

x x

maka diperoleh dua titik yang dilalui persamaan garis tersebut

yaitu 51

( ,0)2

dan

3( ,0)2

1 2

2

1 312 2

2 2 2

1 1 44( ) 4. 3 2 3 4

2 2 4

x xx

y

maka titik puncaknya adalah 1

( ,4)2

y = -4(0)2+4.0+3 = 3

2. HItunglah akar-akar persamaan kuadrat tersebut atau hitung x

pembuat y = 0

3. Hitunglah titik puncak / max persamaan parabola tersebut

4. Hitunglah titik di sumbu y yang dilewati oleh persamaan

tersebut, atau hitung y saat x = 0


Sistem Koordinat 85

maka koordinat (0,3) juga dilalui persamaan garis tersebut.

Sehingga dari 4 modal diatas dapat langsung kita sketsa

grafiknya berikut ini :

1

2

0 1

2

1 3

2

1

2

3

4

Contoh 19

Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2-2x-5. Sketsalah persamaan

parabola tersebut !

Penyelesaian :

y = 3x2 – 2x – 5

b c a

1. HItunglah D, tentukan apakah persamaan tersebut berpotongan

/ bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap sumbu x !

D = b2-4ac

= (-2)2 – 4.3.(-5)

= 4 + 60

= 64 > 0


86 Sistem Koordinat

maka persamaan tersebut dengan sumbu x dan karena a > 0,

maka titik kritisnya adalah titik minimum.


Sistem Koordinat 87

y = 3x2 – 2x – 5 = 0

= 3x2 – 5x + 3x – 5 = 0

= x(3x - 5) + (3x - 5) = 0

= (x + 1)(3x - 5) = 0

x1 = -1 x2 =

maka persamaan kuadrat tersebut berpotongan dengan titik (-1,0) dan

( ,0)

1 2

5 21

13 3

2 2 2 3t

x xx

21 13( ) 2( ) 5

3 3

3 2 1 15 5

9 3 3 3

16

3

ty

maka titik minimalnya adalah 1 16

( , )3 3

y = 3(0)2 - 2.0 - 5 = -5

maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,-5)

2. Hitunglah akar-akar x pembuat y = 0

3. Hitunglah titik minimum persamaan kuadrat tersebut

4. Hitunglah titik potong grafik dengan sumbu y dimana x = 0


88 Sistem Koordinat

dengan demikian grafiknya dapat digambarkan berikut

1 1

3

1x

y

2

3

4

5

Contoh 20

Diketahui persamaan kuadrat y = x2 - x – 2 dan persamaan linier y = -x

– 1

Apakah kedua garis ini berpotongan? Jika iya, tentukan titik potong

kedua garis tersebut !

Penyelesaian

1. Subtitusikan y dari persamaan linier ke persamaan kuadrat

sehingga akan membentuk pesamaan kuadrat baru dengan

variabel x.

2. Dari persamaan kuadrat baru tersebut tentukanlah D, jika D > 0 , 2

garis tersebut berpotongan. Jika D = 0 , 2 garis tersebut

bersinggungan. Jika D < 0, 2 garis tersebut tidak bersinggungan

dan tidak berpotongan.

3. Hitung akar-akar persamaan tersebut maka diperoleh x1 dan x2 (jika

berpotongan)

4. Masukkan nilai x1 dan x2 ke dalam persamaan linier untuk

menentukan koordinatnya


Sistem Koordinat 89

Silakan dikerjakan sendiri !

Rangkuman

1. Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis horizontal

(sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak lurus

di titik O (titik asal)

2. Suatu titik (a,b), a disebut absis (koordinat x) dan b disebut ordinat

(koordinat y)

3. Panjang ruas garis lurus di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah

PQ= 2 2

1 2 1 2 .x x y y

4. Bentuk umum persamaan garis lurus

adalah 0, a dan b tidak semuanya nol. ax by c

5. Jika gradien garis g adalah m dan gradien garis l adalah p, garis g

dan l tegak lurus jika mp=-1, garis g dan garis l sejajar jika m=p.

6. Jarak titik P(x0, y0) ke garis g: 0 0

2 2( , )

ax by cd P g

a b


90 Sistem Koordinat


Vektor 91

4 Vektor di Bidang dan di Ruang

Overview

Bab ini akan menjelaskan tentang vektor di bidang(R-2) dan di

ruang(R-3). Diawali dengan penjelasan tentang definisi skalar dan

vektor, menyatakan vektor, memberi nama vektor, menggambar vektor

di bi bidang. Kemudian akan dijelaskan tentang operasi-operasi yang

dapat diberlakukan terhadap vektor seperti menjumlahkan dua vektor,

perkalian skalar dengan vektor, mementukan panjang vektor, perkalian

titik dan perkalian silang antara dua vektor, sudut antara dua vektor.

Terakhir akan dibahas cara menentukan luas segitiga dengan vector

apabila tiga titik sudutnya diketahui di R-3.

Tujuan

1. Memahami definisi skalar dan vektor

2. Memahami cara memberi nama dan menggambar vektor di

bidang

3. Memahami cara menyatakan vektor dalam beberapa notasi

4. Mampu menentukan jumlah dan selisih dua vektor

5. Mampu menentukan perkalian titik dan perkalian silang.


92 Vektor

6. Mampu menentukan sudut antara dua vektor

7. Mampu menghitung luas segitiga dengan vector apabila tiga titik

sudutnya diketahui di R-3.


Vektor 93

4.1. Pengertian skalar dan vektor

Banyak besaran yang kita jumpai dalam ilmu pengetahuan, seperti luas,

panjang, massa, temperatur, volume, muatan listrik, dan sebagainya

dapat dinyatakan oleh suatu bilangan. Besaran demikian dinamakan

skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, dan pergeseran,

untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya bilangan, tetapi

juga arah. Besaran demikian dinamakan vektor.

Vektor–vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai ruas

garis berarah atau anak panah; arah panah menentukan arah vektor

dan panjang panah menyatakan besarnya, perhatikan gambar-1.

Ekor panah dinamakan titik awal (initial point ) dari vektor, dan

ujung panah dinamakan titik terminal ( terminal point ). Vektor

umumnya dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya a, v, w, u, x.

Vektor dapat pula dinyatakan dengan huruf kecil tipis dengan tanda

garis atau anak panah di atas huruf tersebut seperti a , v , dan w .

Satu cara lagi menyatakan vektor adalah dengan menulis dua huruf

besar berdampingan yang di atasnya diberi garis atau anak panah

seperti AB di mana A adalah titik awal vektor dan B adalah titk ujung

vektor. Untuk menyatakan skalar akan digunakan huruf kecil tipis tanpa

A

B

Gambar 4.1 (a) Vektor AB. (b) Vektor-vektor ekivalen

(a) (b)

v

a

b

c

w


94 Vektor

garis atau anak panah di atasnya seperti a, b, c, k, m, dan sebagainya.

Jika seperti pada gambar 4.1a. titik awal vektor v adalah A

dan titik ujungnya adalah B, maka kita dapat menuliskan bahwa

v = AB .

Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti

vektor-vektor pada gambar 4.1b, dinamakan ekivalen. Vektor-vektor

yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-vektor tersebut

diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda. Jika v dan w ekivalen

maka kita tuliskan

v = w

4.2. Operasi pada Vektor

Penjumlahan dua vektor

Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jumlah

v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan

vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik ujung v. Vektor

v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik ujung

w(gbr 4.2a)

Dalam gambar 4.2b telah dibentuk dua jumlah, yakni v+w

dan w+v. Jelas bahwa

v

w

v+w v

w

v+w v

w

Gambar 4.2

(a) (b)

w+v


Vektor 95

v+w = w+v

dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal jajaran genjang

yang ditentukan oleh v dan w bila vektor-vektor ini diatur lokasinya

sehingga vektor -vektor tersebut mempunyai titik awal yang sama.

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero

vektor) dan dinyatakan dengan o . Kita definisikan

o + v = v + o = v

untuk tiap vektor v. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka -v

adalah negatif v, didefinisikan bagi vektor yang mempunyai besaran

sama seperti v, tetapi arahnya berlawanan dengan v (gambar 4.3).

Vektor ini mempunyai sifat

v + (- v) = 0

Pengurangan dua vektor

Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w

dari v didefinisikan oleh

v - w = v + ( - w)

v

- v

Gambar 4.3


96 Vektor

(Gambar 4.4a)

Untuk mendapatkan selisih v–w tanpa menggambarkan -w,

maka tempatkanlah v dan w sedemikian sehingga titik awalnya

berimpit; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v- w

(gambar 4.4b)

Gambar 4.5 melukiskan hubungan di antara vektor v dan vektor-vektor

2v, (-1)v, (1½)v, dan (-3)v

- w w

v v- w

w

v v-w

Gambar 4.4

(a) (b)

Definisi. Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan real tak

nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang

panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k

> 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv =

o, jika k=0 atau v = o

v

2v (-1)v (1½)v

(-3)v


Vektor 97

Perhatikan bahwa vektor (-1)v mempunyai panjang yang sama dengan

vektor v tetapi arahnya berlawanan dengan vektor v.

4.3. Vektor di Bidang, Komponen vektor

Misalkan v adalah sebarang vektor pada bidang, dan

anggaplah seperti pada gambar 4.6, bahwa vektor v telah ditempatkan

sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal system koordinat

kartesius. Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titk ujung v dinamakan

komponen-komponen v, dan kita tuliskan sebagai

v = (v1, v2)

Jika vektor-vektor ekivalen, v dan w, keduanya digambarkan

sedemikian sehingga kedua titik awalnya terletak di titik asal system

koordinat, maka jelas bahwa titik-titik ujung kedua vektor ini akan

berimpit (karena kedua vektor ini mempunyai panjang dan arah yang

sama). Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen-komponen

yang sama. Sebagai akibatnya adalah bahwa vektor dengan

komponen yang sama harus mempunyai panjang dan arah yang sama

dan vektor-vektor tersebut adalah ekivalen, sehingga kita dapat

mengatakan bahwa dua vektor

v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

ekivalen jika dan hanya jika

Gambar 4.5

(v1, v2)

x

y

Gambar 4.6

v


98 Vektor

v1 = w1 dan v2 = w2

Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar

sangat mudah dilakukan dalam bentuk komponen-komponen seperti

yang diperlihatkan pada gambar 4.7 di bawah ini. Jika

v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)

maka

Jadi, misalnya, jika v = ( 2, -3) dan w = ( 4, 7) maka

v + w = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( 6, 4)

(v1, v2)

x

y

Gambar 4.7 v

w

( w1, w2 )

(v1 + w1, v2 + w2)

v + w

v + w = (v1 + w1, v2 + w2) (4.1 a)


Vektor 99

Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka

Jadi, 5v = 5(2, -3) = (10, -15)

Merujuk pada rumus (4.1 a) dan (4.1 b) dan karena v – w = v + (-

1)w maka

v – w = (v1 - w1, v2 - w2)

misalnya untuk Contoh di atas,

v – w = (v1 - w1, v2 - w2) = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( -2, -10)

kv = (k v1, k v2)

(4.1 b)

(v1, v2)

x

y

Gambar 4.8

v

kv

( kv1, kv2)


100 Vektor

Vektor di ruang-3

Seperti halnya vektor-vektor pada bidang(ruang-2) dapat

digambarkan oleh pasangan dua bilangan real, maka vektor-vektor di

ruang dapat digambarkan oleh tripel bilangan real, dengan

menggunakan sistem koordinat siku-siku .

Setiap pasang sumbu koordinat membentuk bidang yang dinamakan

bidang koordinat (gambar 4.9a). Bidang-bidang ini disebut sebagai

bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Untuk setiap titik P di dalam

ruang kita tetapkan tripel bilangan (x, y, z) yang dinamakan koordinat-

koordinat P

Koordinat-koordinat P didefinisikan sebagai panjang bertanda (gambar

4.9b)

x = OX y = OY z = OZ

x

z

y

O

y

z

x

P

Z

X

Y O

(a) (b)

Gambar 4.9

z

y

O

P ( 2, 5, 3 )

3

2

5

Q ( 2, 5, 0 )

R ( 0, 5, 3 )

S ( 2, 0, 3 )


Vektor 101

Jika vektor v di dalam ruang dilokasikan sedemikian sehingga titik

awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku (gambar 4.11),

maka koordinat titik ujungnya adalah komponen-komponen v, dan

dituliskan sebagai

v = ( v1, v2, v3 )

Jika v = ( v1, v2, v3 ) dan w = ( w1, w2, w3 ) adalah dua vektor di

ruang-3, maka:

(1) v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1= w1 , v2 = w2, dan v3 = w3

x

z

y O

( v1, v2, v3 )

Gambar 4.11

v

v1

v2

v3


102 Vektor

(2) v + w = ( v1+ w1, v2+ w2, v3 +w3 )

(3) kv = ( kv1, kv2, kv3 ) di mana k adalah sembarang skalar.

Contoh-1

Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1). maka

v + w = (5, -1, 3), 2v = (2, -6, 4), -w = (-4, -2, -1),

v – w = v + (-w) = (-3, -5,1)

Kadang-kadang suatu vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga

titik awalnya tidak di titik asal sistem koordinat. Jika vektor vektor PQ

mempunyai titik awal (x1, y1, z1) dan titik ujung (x2, y2, z2), maka

PQ = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)

Yakni, komponen-komponen PQ diperoleh dengan mengurangkan

koordinat titik awal dari koordinat titik ujung. Hal ini dapat dilihat

dengan menggunakan gambar 4.12; vektor PQ adalah selisih vektor

OQ dan vektor OP , sehingga

PQ = OQ - OP = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

z

y O

Q(x2, y2, z2)

OQ

PQ

v2 OP

P(x1, y1, z1)


Vektor 103

Contoh-2

Komponen-komponen vektor v = PQ dengan titik awal P(-3, 1, 7)

dan titik ujung Q(2, -3, 1) adalah

v = (2 – (-3), -3 - 1, 1 - 7) = (5, -4, -6)

Analog dengan itu, maka di ruang-2, vektor dengan titik awal

P(x1, y1) dan titik ujungnya Q(x2, y2) adalah:

PQ = (x2- x1, y2 - y1)

4.4. Norma Vektor (Panjang Vektor)

Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan

dinyatakan dengan |v|

x

Gambar 4.12

x

z

y O

P( v1, v2, v3 )

|v|

Q

v3

R

S

Gambar 4.13b

|v|

(v1, v2)

Gambar 4.13a


104 Vektor

Berdasarkan teorema Phytagoras, maka norma vektor v = (v1, v2) di

ruang-2 adalah (perhatikan gambar-4.13a)

|v| = 2 21 2v v

Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang-3. Dengan

menggunakan gambar-413b dan dengan dua penerapan teorema

Phytagoras, maka kita peroleh

|v|2 = (OR)2 + (RP)2

= (OQ)2 + (OS)2 + (RP)2

= 2 2 21 2 3v v v

Jadi

|v| = 2 2 21 2 3v v v (4-2)

Jika P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) adalah dua titik di ruang-3, maka

jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor PQ (Gambar-

4.14). Karena

PQ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

z

P( x1, y1, z1 )

Q( x2, y2, z2 )


Vektor 105

maka berdasarkan (4-2) jelas bahwa jarak d di antara kedua titik

tersebut adalah

d 2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) (y y ) (z z )

Demikian juga, jika P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah dua titik di ruang-2,

maka jarak d di antara kedua titik tersebut diberikan oleh

d 2 22 1 2 1(x x ) (y y )

Contoh-3

Norma vektor v = (2, -3, 4) adalah

|v | 2 2 2(2) ( 3) (4) 4 9 16 29

Jarak d di antara titik P(-3, 2, 1) dan titik Q(4,1,-2) adalah

2 2 2 2 2 2d (4 ( 3)) (1 2) ( 2 1) (7) ( 1) ( 3)

49 1 9 59

4.5. Hasil kali titik (dot product)

x

y O

Gambar 4.14


106 Vektor

Misalkan u dan v adalah dua vector tak nol di ruang-2 atau

di ruang-3, yang titik awalnya berimpit. Hasil kali titik (dot product)

dinotasikan u.v didefinisikan oleh

u.v | u | . | v | .cos jika u o dan v o

0 jika u o atau v o

(4-3)

di mana adalah sudut antara vector u dan vector v , dengan

0

Contoh- 4

Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika

u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) dan sudut antar vector u dan vector v

adalah = 60o

Jawab

|u | 2 2 2(2) ( 1) (1) 4 1 1 6

|v | 2 2 2(1) (1) (2) 1 1 4 6

Cos 60o = ½

Jadi, u.v = | u |.| v |. Cos 60o = (6) (6) ½ = 3

Gambar 4.15


Vektor 107

Bentuk Lain Rumus Hasil Kali Titik

Selain bentuk rumus (4-3), hasil kali titk dirumuskan dalam bentuk lain

yang lebih praktis (dapat diturunkan dari rumus cosinus pada segitiga)

Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector-vektor di R3

maka

(4-4)

Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah vector-vektor di R2 maka

(4-5)

Contoh- 5

Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika

u = (2, - 3, - 4) dan v = (1, 5, - 6)

Jawab: u.v = (2)(1) + (-3)(5) + (-4)(-6) = 2 –15 +24 = 11

Dari rumus (4-3) dapat diturunkan rumus untuk mencari sudut antara

dua vektor yaitu

u.v

Cos| u | . | v |

(4-6)

Contoh- 6

Tentukan besar sudut antara vector u dan vector v jika

u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)

Jawab: u.v = (2)(1) + (-1)(1) +(1)(2) = 3

u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

u.v = u1 v1 + u2 v2


108 Vektor

| u | 2 2 2(2) ( 1) (1) 4 1 1 6

| v | 2 2 2(1) (1) (2) 1 1 4 6

u.v 3 3 1

Cos| u | . | v | 6 26. 6

, jadi = 60o

HUBUNGAN ANTARA HASIL u.v DAN SUDUT ANTARA u DAN v

Teorema. Misalkan u dan v adalah vektor di R-2 atau R-3, dan

adalah sudut di antara kedua vector tersebut, maka

lancip jika dan hanya jika u.v > 0

tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

= ½ jika dan hanya jika u.v = 0

Contoh-7: jika u = (2,5), v = (6, 5) dan w = (-5, 2), maka

u.v = (2)(6) + (5)(5) = 12 + 25 = 37 > 0

u.w = (2)(-5) + (5)(2) = -10 + 10 = 0

v.w = (6)(-5) + (5)(2) = -30 + 10 = - 20 < 0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

u


Vektor 109

Maka: u dan v membentuk sudut lancip ( < 90o )

u dan w membentuk sudut ½ = 90o

v dan w membentuk sudut tumpul ( > 90o )

PERKALIAN SILANG DUA VEKTOR

Perkalian silang (Cross Product) antara dua vector hanya

didefinisikan pada vector di R3.

Gambar 4.16

v

w

Definisi : Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah

vector-vektor di R3, maka hasilkali silang u x v adalah vector

yang didefinisikan oleh

u x v = (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)

Atau dalam notasi determinan

u x v = 2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

u u u u u u, ,

v v v v v v


110 Vektor

Contoh-8

Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka

u x v = 4 1 2 1 2 4

, ,1 3 5 3 5 1

= 13, 11, 18

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak

sepanjang sumbu koordinat (gambar-4.17)

Setiap vektor v = (v1, v2, v3) di R-3 dapat dinyatakan dengan I, j, dan k

yaitu

v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k

misal: ( 3, -4, 7 ) = 3i + -4j + 7k

Hasilkali silang dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk

determinan 3x3:

Gambar 4.17

( 1, 0, 0 )

( 0, 1, 0 )

( 0, 0, 1 )

i

j k

Z

Y

X

i = ( 1, 0, 0 )

j = ( 0, 1, 0 )

k = ( 0, 0, 1 )


Vektor 111

u x v = 1 2 3

1 2 3

i j k

u u u

v v v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

u u u u u u

i j kv v v v v v

Untuk Contoh di atas, u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka

u x v =

i j k

2 4 1

5 1 3

4 1 2 1 2 4

1 3 5 3 5 1

i j k

= 13 i +11j –18k = (13, 11, -18 ) =

13

11

18

4. 6 Menyelesaikan Soal Vektor Dengan Mathcad

Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), tentukan :

a. u v

b. u v


112 Vektor

Solusi

Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut

Ketikan u := kemudian akan muncul

Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan

muncul

Tekan tombol akan muncul

,


Vektor 113

Isikan vektor yang bersesuaian dengan soal

Dengan cara yang sama buat vektor v sehingga diperoleh:

Untuk memperoleh Perkalian Titik dan Perkalian Silang kedua

matriks tersbut, pada toolbars matriks pilih tombol dan

disertai tanda ” ” sehingga akan muncul:


114 Vektor

Rangkuman

1. Skalar adalah besaran tanpa arah. Contoh: luas, suhu, jarak, dll.

2. Vektor adalah besaran yang memiliki arah. Contoh: Kecepatan,

Gaya dorong, dll.

3. Menyatakan vektor: v = ( 2, -3, 5 ) = 2i – 3j + 5 k =

4. Panjang vektor u = (u1, u2, u3) adalah |u | = 2 2 21 2 3v v v

5. Perkalian titik (Dot Product) antara u = (u1, u2, u3) dan

v = (v1, v2, v3) adalah u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Perkalian titik menghasilkan skalar (bilangan real)

6. Sudut antara vektor u dan v diperoleh dari rumus

7. lancip jika dan hanya jika u.v > 0

tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

= ½ jika dan hanya jika u.v = 0

8. Perkalian silang antara u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah

u x v =

= (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)

Perkalian silang menghasilkan vektor lagi

2

3

5

u.vCos

| u | . | v |

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

u u u u u u, ,

v v v v v v


Vektor 115


116 Matriks

5 Matriks

Overview

Pada bab ini akan dijelaskan tentang matriks dan operasinya. Diawali

dengan definisi matriks, ukuran matriks(ordo), memberi nama sebuah

matriks, dan menentukan elemen-elemen matriks. Berikutnya akan

dijelaskan operasi-operasi yang berlaku pada matriks, di antaranya:

menjumlahkan dua matriks, mengalikan skalar dengan matriks,

mengalikan dua matriks, mentranspose matriks. Jenis-jenis matriks

adalah hal yang harus segera diketahui, karena operasi-operasi

berikutnya akan tergantung pada jenis matriks tertentu. Selanjutnya

akan diperkenalkan operasi baris elementer (OBE), yang mana

merupakan operasi yang sangat ampuh untuk memecahkan berbagai

kasus yang berhubungan dengan matriks. Materi berikutnya adalah

Determinan dari suatu Matriks persegi, diawali dengan definisi

determinan, kemudian cara-cara memperoleh determinan, sifat-sifat

determinan. Salah satu penggunaan determinan adalah untuk

menentukan Matriks balikan dan menentukan solusi sistem

persamaan linear yang akan dijelaskan di bagian akhir dari materi

matriks ini.

Tujuan

1. Memahami Definisi Matriks dan kegunaannya.

2. Mampu menjumlahkan dan mengurangkan dua matriks

3. Mahir melakukan perkalian dua matriks


Matriks 117

PAGE 10

4. Mahir dalam melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)

5. Mampu menentukan determinan matriks dengan beberapa

metode

6. Mampu mencari Invers Matriks dengan beberapa metode

7. Mampu menentukan solusi Sistem Persamaan Linear dengan

beberapa metode.


118 Matriks

5.1 Definisi Matriks

Sebuah matriks adalah susunan dari bilangan–bilangan berbentuk

persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa atau

kurung siku. Bilangan–bilangan di dalam susunan tersebut disebut

elemen matriks.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam

matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada

matriks tersebut

5.2 Ordo Matriks

Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada

matriks tersebut

Ordo Matriks – a : 3 X 3, Ordo Matriks – b : 3 X 4

Ordo Matriks – c : 1 X 3, Ordo Matriks – d: 3 X 1

Ordo Matriks – e : 1 X 1

5.3 Notasi Matriks

Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-unsurnya

dinyatakan dengan huruf kecil.

Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan a ij untuk

menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari

A sehinga A = [aij]

2 8 5 41 4 3 6

1 3 2 7 20 3 5 8 1 4 3

6 0 4 5 1 0 3e

(a) (b) (c) (d) (e)

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m n

m m mn

a a a

a a aA

a a a


Matriks 119

PAGE 10

5.4 Jenis-jenis Matriks

Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada

entrinya.

Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau

elemennya adalah bilangan nol.

Matriks Satu Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau

elemennya adalah 1.

Matriks Baris

Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya

tersusun dalam tepat satu baris.

Matriks Kolom

Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya

tersusun dalam tepat satu kolom.

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ; 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

A B

1 1 1

1 1 1

1 1 1

C 2 1 0 3 B

0

1

2

C

Matriks nol


120 Matriks

Matriks Persegi

Matriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan

kolomnya sama,

Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya

memenuhi syarat: aij = 0 untuk i > j.

Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya

memenuhi syarat: aij = 0 untuk j < i.

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya

memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j.

Matriks satu Matriks baris Matriks kolom

2 4 6 4

6 3 7 3

6 7 0 2

4 3 2 8

A

2 1 3

0 4 2

0 0 4

A

2 0 0

1 7 0

3 2 4

B

Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah

2 0 0

0 7 0

0 0 4

A


Matriks 121

PAGE 10

Matriks Identitas

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya

memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j

Matriks Transpose

Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari

perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya.

Contoh 5-1

SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE

1) ( A + B )T = AT + BT ; A dan B berordo sama

2) (AT)T = A

3) (AT) = ( A)T ; Suatu skalar

4) (A B)T = BTAT ; A dan B harus memenuhi sifat

perkalian.

5). Setiap Matriks Dapat Dikalikan Dengan Transposenya

Contoh –Contoh :

A =

2 1 2

3 0 1 dan B =

1

2

0

BT = 1 2 0

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 0; 0 1 0 ;

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

1 2 31 3 2 9

3 4 62 4 3 1

2 3 53 6 5 0

9 1 0

TA A


122 Matriks

AT =

2 3

1 0

2 1

( AT )T =

2 3

1 0

2 1

T

=

2 1 2

3 0 1 = A

A B =

2 1 2

3 0 1

1

2

0

= 4

3

(A B)T = 4 3

BT . AT = 1 2 0

2 3

1 0

2 1

= 4 3 = (A B)T

AT . BT =

2 3

1 0

2 1

1 2 0 = ? Tidak dapat dikalikan.


Matriks 123

PAGE 10

5.5 Kesamaan dua matriks

Definisi: Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :

aij = bij, yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut

adalah sama.

Contoh 5-2

Jika

Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5

5.6 OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan Dua Matriks

Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka

jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan

entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut

Contoh 5-3

maka

2. Pengurangan

Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka

selisih

A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri

yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33

;

a a a b b b a b a b a b

A a a a B b b b A B a b a b a b


1 2 1 1 2

2 3 4 2 4

0 4 5 4

w

A dan B x

y z

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33

;


A a a a B b b b A B a b a b a b


3 2 5 4 6 7

1 6 4 0 8 2A dan B

7 4 12

1 2 6A B


124 Matriks

untuk matriks pada Contoh 5-3,

3. Perkalian Skalar Pada Matriks

Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah

matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masingentri dari A

oleh c.

Contoh 5-4

maka:

4. Perkalian Dua Matriks

Jika A = [ aij ] berordo m x p dan

B = [ bij ] berordo p x n , maka

Perkalian AB adalah suatu matriks C = [ Cij ] berordo m x n dimana :

Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aip bpj

Untuk setiap i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n.

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a ca ca ca

A a a a cA ca ca ca

a a a ca ca ca

1 8 2

1 14 2A B

7 4 12

1 2 6Jika A

7 4 12 14 8 242. 2.

1 2 6 2 4 12A


Matriks 125

PAGE 10

Contoh 5-5

Maka AxB =

B(2x4).A(3x4) = Tidak dapat dilaksanakan, karena syarat perkalian tidak

dipenuhi, yaitu banyak kolom matriks kiri banyak baris matriks kanan

Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks

Jika A, B, dan C matriks – matriks yang memenihi syarat perkalian

matriks yang diperlukan , maka :

1. A ( B + C ) = AB + AC

2. ( B + C ) A = BA + CA ( distribitif )

3. A ( BC ) = ( AB ) C ( asosiatif )

4. Perkalian tidak komutatif , AB BA

5. Jika AB = 0 ( matriks nol ) yaitu matriks yang semua elemennya

nol, maka kemungkinan – kemungkinannya adalah :

A = 0 dan B = 0 ; A = 0 dan B 0 ; A 0 dan B 0

6. Bila AB = AC belum tentu B = C

5.7 OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu:

(1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj )

(2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi )

(3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )

8 16 4 2 5

7 22 1 5 2 ;

6 33 0 7 9

5 4

Jika A B

(48 28 12 25) (6 8 6 20) 63 0

( 16 7 30 10) ( 2 2 15 8) 31 23

(24 0 42 45) (3 0 21 36) 111 60

C


126 Matriks

CONTOH-5.6 : Menukar Baris

A =

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

, maka :

b1 b3

3 6 9 12

2 5 8 11

1 4 7 10

baris ke-1 dan baris ke-3 Dipertukarkan

b2 b3

1 4 7 10

3 6 9 12

2 5 8 11

baris ke-2 dan baris ke-3 Dipertukarkan

CONTOH-5.7 : Mengalikan skalar k terhadap baris ( k.bi )

A =

2 5 6

1 4 7

8 0 9

(-3).b2

2 5 6

1 4 7

8 0 9

Baris ke-2 dikali (-3)

(1/2).b3

12

2 5 6

1 4 7

4 0 4

Baris ke-3 dikali (1/2)

CONTOH-5.8 : Menambah Baris Ke-I Dengan K Kali Baris Ke-J

2 5 6

1 4 7

8 0 9

b2 + 2.b1

2 5 6

5 6 5

8 0 9

Baris ke-2 ditambah 2 kali baris ke-1

2 5 6

1 4 7

8 0 9

b3 + 4.b2

2 5 6

1 4 7

12 16 36


Matriks 127

PAGE 10

Baris ke-3 ditambah 4 kali baris ke-2

5.8 DETERMINAN SUATU MATRIKS PERSEGI

Setiap Matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang

disebut DETERMINAN matriks tersebut.

Determinan dari matriks A ditulis dengan : det ( A ) atau A

Determinan dari matriks persegi berordo ( 2 x 2 ) dan (3 x 3)

didefinisikan sebagai berikut :

Jika A = a b

c d

maka det ( A ) = A = a b

c d

= ad - bc

Contoh 5.9

Jika A = 2 3

4 5

maka det ( A ) = A =2 3

4 5

= 10 – 12 = -2

Jika A = 1 2

2 4

maka det ( A ) = A = 1 2

2 4

= 4 – 4 = 0

Determinan Matriks Persegi ( 3 X 3 )

Jika : A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

, maka determinan dari A adalah

det ( A ) = | A | = a11 . a22 . a13 . + a12 . a23 . a31 + a13 . a22 . a31 . – a12 .

a21 . a33 – a11 . a23 . a32

+

- 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 12

21 22

31 32

a a

a a

a a

Metode Sarrus


128 Matriks

CONTOH 5.10: hitunglah Determinan dari matriks

M =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

det(M) =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

= (45)+(84)+(96)–(105)–(-48)– (-72) = 240

Metode di atas tidak berlaku untuk matriks persegi berordo (4x4) atau

yang lebih besar.

5.9 SIFAT-SIFAT DETERMINAN

Sifat-1 :

Sifat-2: Tanda Determinan berubah jika dua baris atau kolom situkar

tempatnya

2 5 0

3 2 1

1 2 4

= -

3 2 1

2 5 0

1 2 4

= +

1 2 4

2 5 01

3 2 1

Jika dua baris / kolom suatu matriks A sama, maka det (A) = 0

Contoh 5.11

5 3 2

8 7 9

5 3 2

= 0 ;

3 4 3

1 5 1

7 2 7

= 0 ;

2 3 1 5

6 5 2 7

2 3 1 5

3 7 7 2

= 0

Sifat-3 : Harga Determinan menjadi k kali, bila suatu baris / kolom

dikalikan dengan k (Suatu Skalar ).

det (A) = det (AT )


Matriks 129

PAGE 10

Contoh 5-12

Misalkan : A =

2 3 2

4 1 1

0 3 2

Det (A) =

2 3 2

4 1 1

0 3 2

misalkan baris ke-1 dikalikan 5 maka :

10 15 10

4 1 1

0 3 2

= 5

2 3 2

4 1 1

0 3 2

= 5 A

Jadi, kita dapat memasukkan atau mengeluarkan skalar dari suatu

determinan secara bebas pada tiap-tiap baris atau kolom, misalnya :

Contoh 5-13

8 4 6

12 5 21

10 7 9

= 2

4 2 3

12 5 21

10 7 9

=

4 4 3

12 10 21

10 14 9

=

4 4 1

12 10 7

10 14 3

Catatan : Jika dilakukan satu kali transformasi elementer Bj(λ) (A)

terhadap matriks A, maka determinannya menjadi

kali.

Akibat : Kalau dalam suatu matriks A salah satu baris/ kolom nol

semua maka det (A) = 0

Contoh 5-14

2 5 7

0 0 0

8 1 4

= 0 ,

8 3 0 4

1 7 0 7

2 4 0 9

6 20 0 2

= 0


130 Matriks

Sifat-4 : Harga determinan tidak berubah apabila suatu baris diberikan

perintah OBE yaitu b i + (k).bj

Contoh 5-15:

2 3 1

2 1 0

4 2 3

b2+(-1).b1

2 3 1

0 2 1

4 2 3

b3+(-2).b1

2 3 1

0 2 1

0 4 1

b3+ (-

2).b2

2 3 1

0 2 1

0 0 3

Akibat : Bila pada sustu matriks A terdapat baris / kolom

berkelipatan, maka harga determinan yaitu det (A) =0

Catatan : Sebuah determinan selalu dapat dituliskan sebagai

penjumlahan dua determinan atau lebih.

Contoh 5-16

2 1 4

3 0 2

4 2 8

=

1 1 1 4

2 1 0 2

2 2 2 8

=

1 1 4

2 0 2

2 2 8

+

1 1 4

1 0 2

2 2 8

5.10 MINOR dan KOFAKTOR

Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij

dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks

yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.

Jadi, bila dilakukan operasi baris elementer B ij (λ) (A) pada matriks A, maka harga determinan A tidak berubah.


Matriks 131

PAGE 10

Bilangan (-1) i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri

aij.

Contoh 5-17 A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

,maka

Minor Entri a11 adalah M11 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

= 5 6

8 9 = 45 – 48 = -3

Kofaktor a11 adalah: c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3

Demikian juga, minor entri a32 adalah :

M32 =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

= 1 3

4 6 = 6 – 12 = -6

Kofaktor a32 adalah : c32 = (-1) 3+2 M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6

5.11 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR

TEOREMA LAPLACE

Jika A suatu matriks persegi A [a ij].

maka determinan matriks A adalah jumlah perkalian elemen-elemen

dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan

perkataan lain :

Atau

Baris-1 dan kolom-1 dihapus

Baris-3 dan kolom-2 dihapus

A =

n

j 1

a ij . cij = a i 1 ci 1 + a i 2 . ci 2 + . . .+ a i n . ci


132 Matriks

Contoh 5-18

Misalkan A =

3 1 0

2 4 3

5 4 2

Hitung det (A) dengan metoda ekspansi sepanjang kolom-1

Jawab :

det (A) = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31

= 3

4 3

4 2 -(-2 )

1 0

4 2 + 5

1 0

4 3 = 3 (-4) – (-2) (-2) + 5 (3) = -1

Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-1

A =

3 1 0

2 4 3

5 4 2

= a11 c11 + a12 c12 + a13 c13

= 3

4 3

4 2- 1

2 3

5 2 + 0

2 4

5 4

= 3 (-4) –(1) (-11) +0 = -12 + 11 = -1

Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-3

Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33

= 5

1 0

4 3-4

3 0

2 3+(-2)

3 1

2 4

A =

n

i 1

a ij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn


Matriks 133

PAGE 10

= 5 (3) – (4) (9) + (-2) (-10)

= +15 – 36 +20 = 35 - 36 = -1

Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan

sepanjang baris atau kolom yang banyak mengandung elemen 0

(nol), karena suku-suku ini hasilnya nol.

Misal B =

2 3 5

4 0 0

8 1 7

Kita ekspansi sepanjang baris-2 (karena banyak nol nya),

Det (B) = - 4

3 5

1 7 + 0

2 5

8 7 - 0

2 3

8 1=-4(16)=-64

5.12 MATRIKS INVERSE

Definisi : Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :

A =

11 11 1

21 22 2

31 32 3

1 2

.... ....

... ...

.... ....

.... .... .... .... ....

.... ....

n

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

a a a

Disebut mempunyai inverse (invertible) bila ada suatu matrik B

sedemikian sehingga :

AB = BA = In


134 Matriks

Matrik B disebut invers dari matrik A, ditulis A-1 , adalah juga matriks

bujur sangkar berordo n.


Matriks 135

PAGE 10

Contoh 5-19

Carilah invers dari A = 2 1

4 3

Penyelesaian misalkan A-1 = 1 2

3 4

a a

a a

maka berlaku

2 1

4 3

.

43

21

aa

aa=

1 0

0 1

Bila dikalikan : 1 3 2 4

1 3 2 4

2 2

4 3 4 3

a a a a

a a a a

= 1 0

0 1

, atau

2a1 + a3 = 1 , 2a2 + a4 = 0 dan bila kita selesaikan

4a + 3a = 0 , 4a + 3a = 1 diperoleh

a1 = 3/2 , a2 = -1/2 , a3 = -2 ,a4 = 1. Jadi A-1 = 3 12 2

2 1

5.13 Menentukan Invers Matriks A dengan Matriks Adjoin

Matriks Kofaktor

Matriks kofaktor dari matriks A adalah matriks C seperti di bawah ini

C =

11 12 1

21 22 2

1 2

.... ....

... ...

.... .... .... .... ....

.... .... .... .... ....

.... ....

n

n

n n nn

c c c

c c c

c c c

Di mana c ij = (-1)i+j.Mij

dengan Mij adalah minor baris-I kolom-j yaitu determinan dari

matriks A di mana baris-I dan kolom-j dihilangkan.


136 Matriks

Matriks Adjoin

Matriks Adjoin adalah Transpose dari matriks kofaktor, jadi

Adj(A) = CT =

11 21 1

12 22 2

13 23 3

1 2

.... ....

... ...

.... ....

.... .... .... .... ....

.... ....

n

n

n

n n nn

c c c

c c c

c c c

c c c

Contoh 5-19

Tentukan matrik Invers dari A =

2 3 4

0 4 2

1 1 5

, jika ada.

Langkah-1: Menentukan Determinan Matriks A (metode bebas)

Det(A) =

2 3 4

0 4 2

1 1 5

= 2 4 2

1 5

+

3 4

4 2

= - 36 - 10 = -46

Catatan: Jika Det(A) = 0, maka A tidak punya invers, dan proses stop.

Langkah-2:

Menentukan Matriks Kofaktor

Maka kofaktor dari ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :

c11 = + 4 2

1 5

= -18 ; c12 = - 0 2

1 5

= 2 , c13 = + 0 4

1 1

= 4

,


Matriks 137

PAGE 10

c21 = - 3 4

1 5

= -11 , c22 = + 2 4

1 5

= 14 , c23 = - 2 3

1 1

= 5,

c31 = + 3 4

4 2

= -10 , c32 = - 2 4

0 2

= -4 , c33 = + 2 3

0 4

= -

8 ,

Matriks Kofaktornya adalah : C =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

c c c

c c c

c c c

=

18 2 4

11 14 5

10 4 8

Langkah-3 : Menentukan Matriks Adjoin

Jadi, adj(A) = CT =

18 11 10

2 14 4

4 5 8

Langkah-4: Menentukan Invers A dengan Rumus:

A-1 = 1

. ( )det( )

Adj AA

, dengan syarat det (A) 0

Jadi, A-1 = 1

. ( )det( )

Adj AA

= 1

46

18 11 10

2 14 4

4 5 8

5.14 Menentukan Invers Matriks A dengan OBE


138 Matriks

AA : II OBE I : A-1

Lakukan OBE pada matriks A : I sedemikian sehingga matriks A menjadi

matriks identitas, dan secara otomatis matriks Identitas yang ada di

sebelah kanan A akan menjadi matriks invers dari A.

Contoh 5-20

Tentukan invers dari matriks A =

1 2 3

2 5 3

1 0 8

Penyelesaian : A I

1 2 3 | 1 0 0

2 5 3 | 0 1 0

1 0 8 | 0 0 1

B21(-2)

B31(-1)

1 2 3 | 1 0 0

0 1 3 | 2 1 0

2 0 5 | 1 0 1

B32(2)

1 2 3 | 1 0 0

0 1 3 | 2 1 0

0 0 1 | 5 2 1

B3(-1)

1 2 3 | 1 0 0

0 1 3 | 2 1 0

0 0 1 | 5 2 1

Baris-2 ditambah -2

kali baris-1, dan Baris-

3 ditambah –1 kali

baris-1

Baris-3 ditambah 2 kali baris-2

Baris-3 dikalikan -1


Matriks 139

PAGE 10

B23(3) dan B13

(-3) menghasilkan

1 2 0 | 14 6 3

0 1 0 | 13 5 3

0 0 1 | 5 2 1

B12(-2)

1 0 0 | 40 16 9

0 1 0 | 13 5 3

0 0 1 | 5 2 1

Jadi, Invers dari A adalah A-1 =

40 16 9

13 5 3

5 2 1

Tidak semua matriks persegi mempunyai invers.

Suatu matriks yang DETERMINAN-nya NoL , disebut MATRIKS

SINGULIR, dan matriks yang demikian Tidak mempunyai Invers.

Berikut ini adalah Contoh matriks yang tidak mempunyai

invers.

A =

1 6 4

2 4 1

1 2 5

B21(-2)

1 6 4

0 8 9

1 2 5

B31(1)

Baris-2 tambah 3 kali

baris-3, dan Baris-1

ditambah –3 kali baris-3

Baris-1 ditambah -2

kali baris-2


140 Matriks

1 6 4

0 8 9

0 8 9

Setelah dilakukan beberapa Operasi Baris, Terlihat bahwa ada dua

baris yang sama/ berkelipatan, maka sudah pasti determinannya =

0 , dan oleh karena itu Matriks A tidak mempunyai Invers, atau

tidak dapat dibalik.


Matriks 141

PAGE 10

Jika dilakukan pencarian invers seperti pada Contoh-1, maka hasilnya

adalah sbb:

A I

1 6 4

2 4 1

1 2 5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B21(-1) dan B31

(1)

1 6 4

0 8 9

0 8 9

1 0 0

2 1 0

1 0 1

B32(-1)

1 6 4

0 8 9

0 0 0

1 0 0

2 1 0

1 1 1

Karena terdapat satu baris nol pada matrik kiri, maka matriks A tidak

dapat dibalik.

5.15 Sitem Persamaan Linear

Persamaan Linear

Definisi:

Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, …, xn dapat

dinyatakan dalam bentuk:

1 1 2 2 ... n nax a x a x b

dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.

Contoh:

3 7x y

1 2 3 42 3 7x x x x


142 Matriks

1

3 12

y x z

Sistem Persamaan Linear

Definisi:

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam

peubah x1, x2, …, xn dinamakan system persamaan liniear atau system

linear. Sebuah system sembarang yang terdiri dari m persamaan linear

dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

dimana x1, x2, …, xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui dan a, b

adalah konstanta.

Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

11 11 1

11 11 2

1 1

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

1

2

n

x

x

x

1

2

m

b

b

b

atau

AX = B

dimana: A dinamakan matriks koefisien

X dinamakan matriks peubah

B dinamakan matriks konstanta

Augmented Matrix

Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang

diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:


Matriks 143

PAGE 10

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 22 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

Contoh:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x x x

x x x

x x x

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

Solusi Sistem Persamaan Linear

Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan

Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan

memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.

Contoh:

x – 2y = 7

2x + 3y = 7

{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut

Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah:

SPL mempunyai solusi tunggal


144 Matriks

Artinya : SPL 2x – y = 2

x – y = 0

Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2

SPL mempunyai solusi tak

hingga banyak

Perhatikan SPL

x – y = 0

2x – 2y = 0

Jika digambar dalam kartesius

- Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit

- Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis

tersebut

- Artinya SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak

SPL tidak mempunyai solusi

Perhatikan SPL

x – y = 0

2x – 2y = 2

Jika digambar dalam

kartesius

- Terlihat bahwa dua

garis tersebut adalah

sejajar

- Tak akan pernah

diperoleh titik potong

kedua garis itu

- Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi

Sistem Persamaan Linear Konsisten dan Tak Konsisten

Berdasarkan pemecahannya, Sistem Persamaan Linear dikelompokkan

menjadi dua, yaitu:


Matriks 145

PAGE 10

1. Sistem Persamaan Linear konsisten

Merupakan system persamaan linear yang memiliki sebuah

pemecahan atau tak hingga banyaknya pemecahan.

Contoh:

1 3

1 2 3

1

2 3

x x

x x x

memiliki tak hingga banyaknya

pemecahan

2. Sistem Persamaan Linear tak konsisten

Merupakan system persamaan linear yang tidak memiliki

pemecahan

Contoh:

4

2 2 6

x y

x y

Contoh:

Selesaikanlah sitem persamaan linear berikut ini!

1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x y z

x y z

x y z

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

1 2

1

1 3

1 1 2 91 1 2 9 1 1 2 92 1 7 172 4 3 1 0 2 7 17 0 1 2 23 2

3 6 5 0 0 3 11 27 0 3 11 27

b bb

b b

2 3 3

1 1 2 9 1 1 2 9

7 17 7 173 0 1 2 0 12 2 2 20 0 1 3310 0 2 2

b b b


146 Matriks

3 1

1 2

3 2

35111 0 2 2 1127 170 1 2 2 7

20 0 1 3

b bb b

b b

1 0 0 1 1

0 1 0 2 2

0 0 1 3 3

x

y

z

Eliminasi Gauss – Jordan

Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk

memecahkan system persamaan linear.

Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang

diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana.

Langkah-langkah dalam prosedur ini di antaranya adalah:

1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan

taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan

ini 1 utama)

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka

kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.


Matriks 147

PAGE 10

3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya

tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih

rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam

baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama

mempunyai nol di bawah satu utamanya.

5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama

mempunyai nol di atas satu utamanya.

Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada

dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Jika matriks tersebut juga

memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris

tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)

Contoh:

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris

1 4 3 7 1 1 0 0 1 2 6 0

0 1 6 2 , 0 1 0 , 0 0 1 1 0

0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1

Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi

1 0 0 1 1 0 0 4

0 1 0 2 , 0 1 0 7

0 0 1 3 0 0 1 1

Contoh:

Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan

eliminasi Gaus-Jordan

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z

Solusi:


148 Matriks

1 2 2 1

2

1 3 2 3

1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8

1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93 3

3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14

b b b bb

b b b b

3 1

3

3 2

1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 3 371

0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 1 1552

0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2 2

xb b

b yb b

z

Aturan Cramer

Untuk mencari solusi suatu Sitem Persaman Linear selain

menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan juga dapat menggunakan aturan

cramer.

Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :

11 11 1

11 11 2

1 1

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

1

2

n

x

x

x

1

2

m

b

b

b

Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan

satu persatu (peubah ke-i, xi)

Langkah-langkah menentukan solusi SPL dengan Aturan Cramer

adalah sebagai berikut:

1. Hitung determinan A (|A|)

2. Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.

Contoh :

1 12 1

2 21 21

2

n

n

n n nn

b a a

b a aA

b a a

11 1 1

11 2 22

1

n

n

n n nn

a b a

a b aA

a b a

3. Hitung |Ai|

4. Solusi SPL untuk peubah xi adalah det( )

det( )

ii

Ax

A


Matriks 149

PAGE 10

Contoh

Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan

aturan cramer

2 8

2 3 1

3 7 4 10

x y z

x y z

x y z


150 Matriks

Solusi:

Bentuk SPL menjadi AX = B

1 1 2 8

1 2 3 1

3 7 4 10

x

y

z

1 1 2

1 2 3

3 7 4

A

,

x

X y

z

,

8

1

10

B

det (A) = |A|(ekspansi baris ke-1)

2 3 1 3 1 21 1 2

7 4 3 4 3 7

1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)

13 13 26 52

A

Tentukan Ai

1

8 1 2

1 2 3

10 7 4

A

, 2

1 8 2

1 1 3

3 10 4

A

, 3

1 1 8

1 2 1

3 7 10

A

Hitung |Ai|

1

2 3 1 3 1 28 1 2

7 4 10 4 10 7

8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)

8(13) 26 26 156

A

2

1 11 3 1 31 8 2

3 1010 4 3 4

1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)

26) 104 26 52

A

3

1 12 1 1 21 1 8

3 107 10 3 7

1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)

13 13 104 104

A


Matriks 151

PAGE 10

det( )

det( )

ii

Ax

A

31 2 det( )det( ) det( )156 52 1043; 1; 2

det( ) 52 det( ) 52 det( ) 52

AA Ax y z

A A A

Menyelesaikan Soal Matriks dengan Mathcad

Jika diketahui matriks

2 2 1

1 3 0

5 4 3

A

dan matriks

1 2 2

2 3 2

1 5 3

B

,

tentukan:

a. 2AB A

b. det (A) dan det (B)

c. 1A

Solusi


Ketikan A := kemudian akan muncul


152 Matriks

Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan

muncul

Tekan tombol akan muncul

Isikan matriks yang bersesuaian yang bersesuaian dengan soal


Matriks 153

PAGE 10

Ketikan A*B – 2*A [enter] sehingga akan muncul

Untuk menentukan det(A) dan det(B), pilih tombol pada

toolbar matrix. Sehingga muncul |A| kemudian [enter]

sehingga muncul:


154 Matriks

Untuk mencari A-1 , ketik A pilih tombol pada toolbars

matrix.


Matriks 155

PAGE 10

Rangkuman

1. Sebuah matriks adalah susunan dari bilangan–bilangan berbentuk

persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa

atau kurung siku. Bilangan–bilangan di dalam susunan tersebut

disebut elemen matriks.

2. Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom

pada matriks tersebut

3. Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-

unsurnya dinyatakan dengan huruf kecil.

4. Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :aij = bij,

yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut

adalah sama.

5. Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama

maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan

menambahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks

tersebut

6. Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu:

(1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj )

(2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi )

(3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )

7. jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh

Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap

setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.

8. Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear

dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan system persamaan liniear

atau system linear


156 Matriks

9. Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan

bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL

akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut

10. Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan

untuk memecahkan system persamaan linear.


Fungsi 157

6 FUNGSI

Overview

Setiap pemain sepakbola mengenakan kaos tim dengan nomor

punggung yang berbeda-beda. Misalkan himpunan A terdiri dari 11

pemain Tim Nasional Indonesia dan himpunan B merupakan 11 kaos

Tim yang digunakan oleh Timnas untuk bertanding. Jika diperhatikan

setaip pemain mengenakan tepat satu kaos tim untuk sebuah

pertandingan. Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B kita sebut

fungsi. Pada bab ini akan dipelajari definisi fungi, menyatakan fungsi,

nilai fungsi, daerah asal dan daerah hasil, jenis-jenis fungsi, operasi

aljabar pada fungsi, fungsi komposisi, dan invers fungsi.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami konsep fungsi

2. Mahasiswa mempu menentukan daerah asal dan daerah hasil

sebuah

fungsi

3. Mahasiswa mengatahui jenis-jenis fungsi


158 Fungsi

4. Mahasiswa mampu melakukan operasi aljabar pada fungsi

5. Mahasiswa memahami konsep fungsi komposisi

6. Mahasiswa mampu menentukan invers dari sebuah fungsi

6.1 Definisi Fungsi

Pembahasan mengenai fungi tidak dapat dilepaskan dari

masalah pemetaan atau pengaitan. Suatu pemetaan f dari himpunan A

ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A

dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B.

Perhatikan gambar berikut!

1

2

3

4

a

b

c

d

A B

f

Gambar 6.1: Fungsi

Setiap anggota himpunan A = {1, 2, 3, 4} dipetakan tepat satu pada

anggota di himpunan B.

Contoh

Misalkan 1,2 dan 3,6X Y .

Himpunan (1,3), (2,3) merupakan

fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota

himpunan X dikaitkan atau dipetakan

dengan tepat satu anggota himpunan Y.

1 3

2 6

Gambar 6.2


Fungsi 159

Himpunan (1,3),(1,6),(2,3) bukan

merupakan fungsi, karena ada anggota

himpunan X, yaitu 1, yang dikaitkan

lebih dari satu pada anggota himpunan

Y.

6.2 Menyatkan Fungsi

Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh

huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan

sebagainya.

Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke

himpunan B dinotasikan dengan :

:f A B

Jika x A dan y B, maka notasi pernyataan fungsi tersebut dapat

diganti dengan:

:f x y

“y” adalah peta dari x oleh f, atau “y” adalah fungsi dari “x” dan

umumnya ditulis sebagai:

( )y f x

Bentuk terakhir ini disebut dengan rumus fungsi. x disebut variabel

bebas dan y disebut variabel tak bebas karena nilainya tergantung

pada x.

6.3 Nilai Fungsi

Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika

x diberi suatu harga (nilai). Misal diberikan rumus fungsi 2( ) 2y f x x , maka :

Nilai fungsi untuk : x = -3 adalah 2(3) (3) 2 9 2 7f

: x = -1 adalah 2( 1) ( 1) 2 1 2 1f

1 3

2 6

Gambar 6.3

(2 – 1)


160 Fungsi

: x = 0 adalah 2(0) (0) 2 0 2 2f

: x = a adalah 2( ) ( ) 2f a a

: x = a + 3 adalah 2( 3) ( 3) 2f a a

2

2

6 9 2

6 7

a a

a a

: x = 2 adalah 2( 2) ( 2) 2 2 2 0f

: x = 1

2 adalah

21 1 1 3

2 2 12 2 4 4

f

: x = t2 adalah 2 2 2 4( ) ( ) 2 2f t t t

6.4 Daerah Asal, dan Daerah Hasil

Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan

domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan

himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi

f.

Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak

disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah

himpunan terbesar di dalam sehingga f terdefinisikan atau

ada.

: ( )fD x f x

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A

dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau

Im(f).

( )f fR f x x D :

Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A

mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan

bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan

ditulis y = f(x).


Fungsi 161

A B

fx y

Gambar 6.4 : fungsi dari himpunan A ke B

Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan

variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Contoh

Tentukan daerah asal (Domain) dan daerah hasil (Range) dari fungsi

berikut ini:

1. ( ) 3f x x 2. 2( )f x x 3. ( ) 2 6f x x

4. 2( ) 9f x x 5. 3

( )4

f xx

6. 2

2( )

6 8f x

x x


162 Fungsi

Jawab

1. ( ) 3f x x

Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada dan ( )f x . sehingga

{ | }fD x x dan fR y y

2. 2( )f x x

Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada dan memiliki nilai positif

( ( )f x + ) sehingga { | }fD x x dan fR y y

3. ( ) 2 6f x x

Jika kita memasukan nilai x = 1 maka (1) 2(1) 6 4f (tak

terdefinisi), karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan yang

lebih dari atau sama dengan nol.

2 6 0 2 6 3x x x .

Jadi daerah asalnya dalah: { | 3, }fD x x x

Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan nilai x pada daerah

asal. 0, 0,~fR y y y

4. 2( ) 9f x x

f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau

sama dengan nol, sehingga 2 9 0 ( 3)( 3) 0x x x

Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah 3x

atau 3x jadi daerah asalnya adalah 3 3fD x x atau x .

0, 0,~fR y y y

5. 3

( )4

f xx

-3 0 3


Fungsi 163

Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan

nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka 4 0 4x x sehingga

4 4 atau 4,fD x x x x x x

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :

0, 0,~fR y y y

6. 2

2( )

6 8f x

x x

f(x) akan terdefinisi jika 2 6 8 0 ( 2)( 4) 0x x x x . Nilai x yang

menyebabkan nol adalah x = 2 atau x = 4. Jadi daerah asalnya adalah :

2 atau 4, 2 atau 2 4 atau 4,fD x x x x x x x x x

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :

0, 0,~fR y y y

6.5 Jenis-Jenis Fungsi

6.5.1 Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah sebuah

fungsi yang dirumuskan dengan f(x)

= k, dengan k adalah konstanta riil.

Grafiknya berupa sebuah garis

mendatar yang berjarak k satuan

dari sumbu x

6.5.2 Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah sebuah

fungsi yang dirumuskan dengan f(x)

= x. Grafiknya berupa sebuah garis

4

2 4

x =

k

y =

f(x)

Gambar 6.5

Gambar 6.6 Gambar 6.6


164 Fungsi

yang melalui titik asal (0,0) dengan

gradien (tanjakan) =1

6.5.3 Fungsi Polinom

Fungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari

fungsi identitas dengan memakai operasi – operasi, penambahan,

pengurangan, dan perkalian.


Fungsi 165

Bentuk umum dari polinom adalah: 1

1 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x ax a

di mana koefisien a adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak

negatif (0,1,2,3,… n). Jika an 0, maka n adalah derajat dari fungsi

polinom tersebut.

6.5.4 Fungsi linear

Fungsi Linear adalah fungsi polinom

berderajat satu.

Bentuk umum fungsi linear adalah :

( )f x ax b

a dan b adalah konstan riil grafiknya

berupa garis yang melalui titik –

titik ,0 dan 0,b

ba

jika a > 0 dan b < 0, maka grafiknya

seperti pada gambar disamping.

Koefisien x yaitu a, adalah gradien

atau tanjakan atau kemiringan dari

garis tersebut. Jika a > 0 (positif).

Grafik naik ke kanan, jika a < 0

(negatif) grafik turun kekanan.

Jika b = 0, maka garis

melalui titik asal O(0,0).

Jika a =1 dan b = 0, maka

adalah fungsi identitas

Jika a = 0 dan b 0, maka

adalah fungsi konstan

b

f(x) = ax +

b

f(x) = ax +

b

Gambar 6.7

Gambar 6.8


166 Fungsi

Gambar 6.10

6.5.5 Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat adalah fungsi

polinom berderajat dua. Bentuk

umumnya adalah : 2( )f x ax bx c ; a 0

Gafiknya berbentuk parabola.

Parabola terbuka keatas jika a >

0, dan terbuka ke bawah jika a <

0.

6.5.6 Fungsi Nilai Mutlak (Modulus)

Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dilambangkan dengan x ,

didefinisikan sebagai :

x

Fungsi yang dirumuskan oleh : ( )f x x , disebut

fungsi nilai mutlak. Karena |x| selalu lebih dari

atau sama dengan nol, maka grafik fungsi nilai

mutlak selalu berada di atas atau pada sumbu x.

Grafik dari ( )f x x adalah seperti pada gambar.

Grafik dari y = |x| dapat diperoleh dengan cara

menggambar y = x, kemudian bagian grafik yang

berada dibawah sumbu x dicerminkan terhadap

sumbu x.

Contoh

Diberikan rumus fungsi f(x) = | x – 2 |

a. Tentukanlah nilai – nilai dari : f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3),

f(4)

b. Gambarkan grafiknya

Jawab

x ; jika x 0

x ; jika x < 0

3 2 1 0 1 2 3

3

2

1

1

2

3

a > 0 a < 0

Gambar 6.9


Fungsi 167

f(x) = |x – 2|

a) f(-2) = |-2 – 2| = |-4| = 4 b) Grafik dari f(x) = |x – 2|

f(-1) = |-1 – 2| = |-3| = 3

f(0) = |0 – 2| = |-2| = 2

f(1) = |1 – 2| = |-1| = 1

f(2) = |2 – 2| = |0| = 0

f(3) = |3 – 2| = |1| = 1

f(4) = |4 – 2| = |2| = 2

Grafiknya dapat diperoleh dengan cara menggambar y = x – 2,

kemudian bagian grafik dibawah sumbu x dicerminkan pada

sumbu x.

6.5.7 Fungsi Tangga

Fungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi yang

dilambangkan dengan :

f (x) = ||x||

Didefinisikan sebagai : Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau

sama dengan x.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Dengan bantuan gambar di atas kita dapat dengan mudah

menentukan nilai-nilai fungsi bilangan bulat terbesar pada –7 x 7.

Perhatikan uraian berikut!

|| -3 || = 3; || 2 || = 2; || ½ || = 0; || 23 || = 1; || 5 ½ || = 5

|| -3 || = -3; || -3 ½ || = -4; || - ½ || = || -1||; || -6 ½ || = -7

|| 2 || = 1; || || = || 3,14 || = || 3 ||; || 3 || = || -1,732 || = -2

Pada selang :

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

3

Gambar 6.11

Gambar 6.12 Garis

Bilangan


168 Fungsi

-2 x < -1 f(x) = -2

-1 x < 0 f(x) = -1

0 x < 1 f(x) = 0

1 x < 2 f(x) = 1

2 x < 3 f(x) = 2


Fungsi 169

sehingga grafiknya adalah seperti pada gambar berikut.

6.5.8 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan :

(1) Fungsi Genap, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x

(2) Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x

Jika (1) dan (2) tidak dipenuhi, dikatakan bahwa fungsi tak genap dan

tak ganjil.

Contoh

Periksalah apakah fungsi-fungsi berikut ini genap, ganjil atau tak genap

dan tak ganjil.

a. f(x) = x d. f(x) = 4x g. f(x) = x4 – 3x2

b. f(x) = x2 e. f(x) = x2 – 4 h. f(x) = 2x3 – 5x

c. f(x) = x3 f. f(x) = |x| I. f(x) = x2 + 2x – 8

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

Gambar 6.13


170 Fungsi

Jawab

a. f(x) = x f. f(x) = |x|

f(-x) = -x = -f(x) f(-x) = |-x| = |-1| |x| = 1 |x| = |x|

Jadi f Ganjil Jadi f Genap

b. f(x) = x2 g. f(x) = x4 – 3x2

f(-x) = (-x)2= x2= f(x) f(-x) = (-x)4 – 3(-x)2= x4 – 3x2

Jadi f Genap Jadi f Genap

c. f(x) = x3 h. f(x) = 2x3 – 5x

f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x) f(-x) = 2(-x)3 – 5(-x) = -2x3 + 5x

Jadi f Ganjil = -[2x3 – 5x] = -f(x)

Jadi f Ganjil

d. f(x) = 4x i. f(x) = x2 + 2x - 8

f(-x) = 4(-x) = -4x = -f(x) f(-x) = (-x)2 + 2(-x) – 8

Jadi f Ganjil = x2 – 2x - 8 = -[-x2 + 2x + 8]

f(x) -f(x)

Jadi f tak Genap dan tak Ganjil

e. f(x) = x2 – 4 j. f(x) = x ; x 0

f(-x) = (-x)2 – 4 f(-x) = x (tak terdefinisi)

= x2 – 4 = f(x) Jadi f tak Genap dan tak Ganjil

Jadi f Genap


Fungsi 171

6.6 Operasi Aljabar Pada Fungsi

Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f g ,

selisih f g , hasil kali skalar f , hasil kali .f g , dan hasil bagi

f gmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:

a. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

b. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

c. ( )( ) ( )f x f x

d. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x

e. ( )

( )( ) , asalkan ( ) 0( )

f f xx g x

g g x

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f

dan domain g, yaitu f g f g f g f gD D D D D . Sedangkan untuk f g ,

: ( ) 0f g f gD x D D g x .

Contoh

Jika f dan g masing-masing:

( ) 2 5f x x ( ) 4g x x

maka tentukan: f g , f g , .f g , dan f g beserta domainnya.

Jawab

( ) 2 5 4 ( ) 2 5 4

2 5. ( ) 2 5. 4 ( )

4

f g x x x f g x x x

xf g x x x f g x

x

{ | }fD x x R dan { | 4}fD x x

{ | 4}f g f g f g f gD D D D D x x

: ( ) 0 | 4f g f gD x D D g x x x

Contoh

Jika f dan g masing-masing: ( ) 1f x x dan 1

( )5

g xx

maka tentukan: f g , f g , .f g , dan f g beserta domainnya.

Jawab


172 Fungsi

1 1( ) 1 ( ) 1

5 5

1 1. ( ) 1. ( )

5 5

f g x x f g x xx x

xf g x x f g x

x x

Karena [1, ) dan { 5}f gD D R , maka f g , f g , .f g , dan gf

masing-masing mempunyai domain: [1, ) .


Fungsi 173

6.7 Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi dari f dan g didefinisikan sebagai:

( ) ( ( )), g ff g x f g x R D

Dengan domain : ( )f g g fD x D g x D

( ) ( ( )), f gg f x g f x R D

Dengan domain : ( )g f f gD x D f x D

Contoh

Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut

beserta domainnya.

a. f g b. g f c. f f d. g g

Jawab

a. 2( ) ( ( )) ( 1) ( 1)f g x f g x f x x , dengan domain f gD .

b. 2 2( ) ( ( )) ( ) 1g f x g f x g x x , dengan domain g fD .

c. 2 4( ) ( ( )) ( )f f x f f x f x x , dengan domain f fD .

d. ( ) ( ( )) ( 1) ( 1) 1 2g g x g g x g x x x , dengan domain

g gD .

Contoh

Jika 2( ) 1f x x dan 2( ) 2g x x maka tentukan fungsi-fungsi berikut

ini beserta domainnya.

a. f g b. g f

Jawab

a. 2 2 2 4( ) ( ( )) (2 ) 1 (2 ) 1 4f g x f g x f x x x , dengan domain:

2

2

: ( ) : 1 2 1

1 1: 0 12 : 2 2

2 2

f g g fD x D g x D x x

x x x x

.


174 Fungsi

b. 2 2( ) ( ( )) ( 1 ) 2(1 )g f x g f x g x x , dengan domain:

: ( ) : 1 1g f f gD x D f x D x x .

6.8 Invers Fungsi

Fungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x),

fungsi f–1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f –1 (y).

Rumus untuk fungsi invers dari f diperoleh dengan cara mengganti x

dengan y dan y dengan x pada bentuk x = f –1 (y) sehingga diperoleh

rumus : y = f –1 (x)

Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai berikut.

1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x

sebagai fungsi dari y)

2. Namakanlah x sebagai f –1 (y), sehingga f –1 (y) = f(y)

3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi

invers f –1 (x)

Contoh

Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut dan gambarkan

fungsi tersebut dan inversnya pada satu salib sumbu.

a). ( ) 3 2f x x

b). 3( )f x x

Jawab

a. 3 2y x

3 2x y

2 1 2

3 3 3

yx y ……Langkah (1)

1 1 2( )

3 3f y y ……….Langkah (2)

1 1 2( )

3 3f x x ………..Langkah (3)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

3 2y xy x

1 2

3 3y x


Fungsi 175

Jadi fungsi invers dari

( ) 3 2f x x adalah

1 1 2( )

3 3f x x

Pada gambar tampak jelas bahwa grafik 1 1 2( )

3 3y f x x merupakan

pencerminan dari grafik ( ) 3 2y f x x terhadap garis y x dan

sebaliknya.

b. 3y x

3x y

1 1 13 3 3 3( )x y x y …Langkah (1)

11 3( )f y y ……………..Langkah (2)

11 3( )f x x …………… Langkah (3)

Jadi fungsi invers dari

3( )f x x adalah 11 3( )f x x

Pada gambar tampak jelas bahwa

grafik 11 3( )y f x x merupakan

pencerminan dari grafik

3( )y f x x terhadap garis

y xdan sebaliknya.

Contoh

Tentukan fungsi invers dari 3 4 1

( ) ,2 1 2

xf x x

x

!

Jawab

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4 3y x

y x

13y x

Gambar 6.14

Gambar 6.15


176 Fungsi

3 4

2 1

xy

x

(2 1) 3 4 2 3 4 2 3 4 (2 3) 4y x x xy y x xy x y x y y

4

2 3

yx

y

……(langkah 1)

1 4( )

2 3

yf y

y

…….(langkah 2)

1 4( )

2 3

xf x

x

…….(langkah 2)


Fungsi 177

6.9 Menyelesaikan Soal dengan Matcad

1. Jika diketahui 2( ) 2 5f x x x , tentukan nilai

1( 2), dan (1000)

2f f f

Buka software mathcad

Akan muncul halaman awal mathcad berikut


178 Fungsi

Pilih tombol evaluation toolbars akan muncul

Pilih “:=” dan akan muncul

Definisikan fungsi sehingga akan muncul

kemudian enter sehingga pada mathcad muncul tanda “+”

Ketikan ( 2)f disertai “=” yang ada pada tombol evaluation

toolbars kemudian enter sehingga akan muncul

Dengan cara yang sama kita akan mudah menghitung nilai dari

1 dan (1000)

2f f

f x( ) x

22x 5


Fungsi 179


180 Fungsi

Rangkuman

1. Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi

jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan

dengan tepat satu anggota dari himpunan B

2. Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh

huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan

sebagainya.

3. Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A

ke himpunan B dinotasikan dengan :

:f A B

4. Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika x

diberi suatu harga (nilai).

5. Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain

atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B

dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

6. Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A

dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau Im(f).

7. Fungsi konstan adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x)

= k, dengan k adalah konstanta riil.

8. Fungsi Identitas adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan

f(x) = x. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal (0,0)

dengan gradien (tanjakan) =1

9. Fungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari

fungsi identitas dengan memakai operasi – operasi, penambahan,

pengurangan, dan perkalian

10. Fungsi Linear adalah fungsi polinom berderajat satu.

11. Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua.


Fungsi 181

12. Fungsi yang dirumuskan oleh : ( )f x x , disebut fungsi nilai

mutlak.

13. Fungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi

yang dilambangkan dengan f (x) = ||x|| Didefinisikan sebagai :

Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.


182 Fungsi

14. Suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan :

Fungsi Genap, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x

Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x

15. Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f g ,

selisih f g , hasil kali skalar f , hasil kali .f g , dan hasil bagi

f gmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:

a. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

b. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x

c. ( )( ) ( )f x f x

d. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x

e. ( )

( )( ) , asalkan ( ) 0( )

f f xx g x

g g x

16. Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f g , didefinisikan sebagai

( ) ( ( ))f g x f g x dengan domain : ( )f g g fD x D g x D

17. Fungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x), fungsi f–

1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f –1 (y).

18. Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai

berikut.

1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x

sebagai fungsi dari y)

2. Namakanlah x sebagai f –1 (y), sehingga f –1 (y) = f(y)

3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi

invers f –1 (x)


Fungsi 183

7 Limit dan Kekontinuan

Overview

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkataan

“hampir”. Seorang pembalap Moto Gp Valentino Rossi yang dijuluki

The Doctor memacu motornya dengan kecepatan hampir

(mendekati) 150 km/jam di sebuah tikungan. Dalam matematika

permasalahan tersebut ditemukan pada pembahasan mengenai limit.

Pada bab ini akah dipelajari definisi limit, limit sepihak, teorema-

teorema dalam limit, pemecahan soal limit, limit tak hingga, limit di

tak hingga, limit fungsi trigonimetri dan kekontinuan fungsi.

Tujuan



1. Mahasiswa memahami definisi limit

2. Mahasiswa memahami konsep limit kiri dan limit kanan

3. Mahasiswa memahami teorema-teorema dalam limit

4. Mahasiwa memhami pemecahan soal limit

5. Mahasiswa memahami limit tak hingga dan limit di takhingga

6. Mahasiswa memahami limit fungsi trigonometri

7. Mahasiwa memahami konsep kekontinuan suatu fungsi


Limit dan Kekontinuan 185

7.1 Definisi Limit Fungsi

Konsep limit merupakan dasar dari kalkulus diferensial dan

kalkulus integral. Perhatikan fungsi yang didefinisikan oleh 2 2 8

( )4

x xf x

x

.

Untuk x 4, f(x) dapat ditulis sebagai:

4 2( ) 2 ; 4

4

x xf x x x

x

Yang grafiknya adalah seperti di bawah ini.

Dari grafik terlihat, bahwa jika nilai x cukup mendekati 4, maka nilai

f(x) akan mendekati 6.

Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut!

Sehingga secara intuisi, limit di satu titik dapat didefinisikan sebagai

berikut : Misal f(x) terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan tidak

terdefinisi di c, nilai f(x) akan mendekati L, bila x mendekati

c.

X 3.5 3.899 4 4.001 4.011 4.1 4.2

f(x) 5.5 5.999 … 6.001 6.011 6.1 6.2



limx c

f x L

7.2 Limit Sepihak

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdefinisikan pada suatu interval buka

(a, b), yang memuat titik c, dan tidak terdefinisi di c, maka :

Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)

mendekati L. Notasi disebut limit kanan

limx c

f x L

Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)

mendekati G. Notasi disebut limit kanan

limx c

f x G

Dari definisi limit kiri dan limit kanan di atas, diperoleh suatu teorema

sebagai berikut:

lim ( ) lim ( ) dan lim ( ) x c x c x c

f x L f x L f x L

7.3 Teorema-Teorema dalam Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut

ini sangat diperlukan dalam hitung limit.

1. limx c

A A

, ,Ac

2. limx c

x c

Jika lim ( )x c

f x

dan lim ( )x c

g x

keduanya ada dan k maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut:

1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

2 lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x



3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

4 lim ( )

( )lim

( ) lim ( )

x c

x cx c

f xf x

g x g x

, asalkan lim ( ) 0x c

g x

5 Untuk n :

(a). lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

(b). lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

, asalkan lim ( ) 0

x cf x

(c). 1

1lim ( ) lim ( )

nn

x c x cf x f x

, asalkan untuk n genap lim ( ) 0

x cf x

7.4 Pemecahan Soal Limit

Untukl menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa

cara. di antaranya adalah sebagai berikut.

1. Substitusi langsung

2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)

3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)

Contoh

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)

a. 2

lim (3 5)x

x

b. 2

2lim (2 7 6)x

x x

c. 1

lim 7 2 1x

x x

d. 1

2 3lim

5 2x

x

x

Jawab

a. 2

lim (3 5) 3(2) 5 6 5 1x

x



b. 2 2

2lim (2 7 6) 2(2) 7(2) 6 8 14 6 0x

x x

c. 1

lim 7 2 1 7(1) 2(1) 1 7 1 7x

x x

d. 1

2 3 2( 1) 3 2 3 1lim

5 2 5( 1) 2 5 2 3x

x

x

Contoh

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)

a. 2

2

4lim

2x

x

x

b. 2

22

3 2lim

4x

x x

x

c. 1

1lim

1x

x

x

Jawab

a. 2 2

2

4 2 4 4 4 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x

. Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai

berikut. 2

2 2

( 2)4lim lim

2x x

xx

x

( 2)

2

x

x

2lim( 2) 2 2 4x

x

b. 2 2

2 22

3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0lim (tidak terdefinisi)

4 4 04 2 4x

x x

x

.

Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran

sebagai berikut. 2

22 2

( 2)3 2lim lim

4x x

xx x

x

( 1)

( 2)

x

x

2

1 2 1 1lim

( 2) 2 2 2 4x

x

x x

c. 1

1 1 1 0lim

01 1 1x

x

x

. Untuk menyelesaikannya maka

digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

1 1

11lim lim

1x x

xx

x

1

1

x

x



1

lim 1 1 1 2x

x

Contoh

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan Akar)

a. 2

2 2lim

2x

x

x

b. 2

21

2 3lim

1x

x

x

Jawab



a. 2

2 2 2 2 2 4 2 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x

.

Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan

akar sebagai berikut.

2 2

2 2 2 2 2 2lim lim

2 2 2 2x x

x x x

x x x

2 2

2

2 2lim

2 2 2x

x

x x

2

( 2) 4lim

2 2 2x

x

x x

2

2limx

x

2x 2 2x

2

1lim

2 2x x

1 1 1 1

2 2 42 2 2 4 2

b.

22

2 21

2 ( 1) 32 3 2 4 0lim

1 1 01 1 ( 1)x

x

x

.

Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan

akar sebagai berikut.

2 2 2

2 2 21 1

2 3 2 3 2 3lim lim

1 1 2 3x x

x x x

x x x



22 2

2 21

2

2 21

2

1

2 3 lim

1 2 3

4 3 lim

1 2 3

1 lim

x

x

x

x

x x

x

x x

x

21 x 2

21

2

2 3

1 lim

2 3

1 1 1 1

2 2 42 42 ( 1) 3

x

x

x

Contoh

Diketahui fungsi berikut: 2

2 ; 1

( ) ; 1 2

3 ; 2

x x

f x x x

x x

. Tentukanlah:

a. 1

lim ( )x

f x

b. 2

lim ( )x

f x

Jawab

a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang

digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju -1 dari

kanan aturan fungsi yang digunakan adalah 2x . Oleh karena

itu, untuk mencari 1

lim ( )x

f x

digunakan limit sepihak (limit kiri

dan limit kanan)

1 1lim ( ) lim ( 2) 1 2 1

x xf x x

2 2

1 1lim ( ) lim ( 1) 1

x xf x x

11 1lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1

xx xf x f x f x



b. Perhatikan untuk x menuju 2dari kiri aturan fungsi yang

digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan

aturan fungsi yang digunakan adalah 3x . Oleh karena itu,

untuk mencari 2

lim ( )x

f x

digunakan limit sepihak (limit kiri dan

limit kanan) 2 2

2 2lim ( ) lim 2 4

x xf x x

2 2lim ( ) lim ( 3) 2 3 1

x xf x x

12 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak ada

xx xf x f x f x

7.5 Limit Takhingga

Sebelum membahas mengenai limit takhingga perhatikan

masalah perhitungan 20

1limx x

. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat

dengan 0, maka nilai-nilai 2

1( )f x

x diberikan pada tabel berikut ini.

x 2

1

x x 2

1

x

1 1 - 1 1

0,5 4 - 0,5 4

0,01 10.000 - 0,01 10.000

0,0001 100.000.000 - 0,0001 100.000.000

0,000005 40.000.000.000 - 0,000005 40.000.000.000

Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat

dengan 0, maka nilai 2

1( )f x

x menjadi semakin besar. Bahkan nilai

2

1( )f x

x akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik



dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi 2

1( )f x

x dapat

dilihat pada gambar berikut

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak

hingga, ditulis:

0lim ( )x

f x

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

a. lim ( )x c

f x

jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi

x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.

b. lim ( )x c

f x


x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.

Contoh

Diketahui 1

( )1

f xx

beserta grafiknya.

Tentukan:

a. 1

lim ( )x

f x

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

4

3

2

1

1

2

3

4

1



b. 1

lim ( )x

f x

c. 1

lim ( )x

f x

Jawab

a. Perhatikan grafik 1

( )1

f xx

! Jika 1x maka 1

1x

1 1

1 1lim ( ) lim

1 0x xf x

x

b. Perhatikan grafik 1

( )1

f xx

! Jika 1x maka 1

1x

1 1

1 1lim ( ) lim

1 0x xf x

x

c. 11 1

lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adaxx x

f x f x f x

Contoh

Hitunglah limit berikut ini!

a. 2

4lim

2x x

b. 2

4lim

2x x

c. 2

4lim

2x x

d. 2

4lim

2x x

e. 2

3

3lim

6x

x

x x

f. 2

3

3lim

6x

x

x x Jawab

a. 2

4 4lim

2 0x x

b. 2

4 4lim

2 0x x

c. 2

4 4lim

2 0x x



d. 2

4 4lim

2 0x x

e. 2

3 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x x

x xx x

f. 2

3 3

3 3 9 9lim lim

( 3)( 2) 0 (5) 06x x

x x

x xx x

7.6 Limit di Tak Hingga

Pada bagian sebelumnya telah

dijelaskan pengertian limit untuk

x c , dengan c suatu bilangan

berhingga. Lalu bagaimana nilai

( )f x apabila nilai x cukup besar. Untuk

memahami permasalahan tersebut

perhatikan bagaimana nilai 1

( )f xx

apabila nilai x cukup besar. Perhatikan tabel berikut!

x 1

( )f xx

10 0,1

1.000.000 0,000001

5.000.000 0,0000002

100.000.000 0,00000001

Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah

positif) nilai ( )f x semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini

dikatakan:

1lim 0x x

Bagaimana jika x semakin besar tak terbatas (arah negatif). Perhatikan

tabel berikut ini!

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

10

8

6

4

2

2

4

6

8

10

1

x

x



x 1

( )f xx

- 1 - 1

- 1.000.000 - 0,000001

- 5.000.000 - 0,0000002

- 100.000.000 - 0,00000001

Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah

negatif) nilai ( )f x semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini

dikatakan:

1lim 0

x x

Dari penjelasan tersebut diperoleh pengertian limit menuju tak hingga

sabagai berikut.

a. lim ( )x

f x L

jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup

besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah

positif) maka ( )f x mendekati L.

b. lim ( )x

f x L


besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah

negatif) maka ( )f x mendekati L.

Contoh

Hitunglah limit berikut ini!

a. 4

lim2x x

b. 6 1

lim2 10x

x

x

c. 2

4lim

2 2x

x

x x

d. 2

2

6lim

2 3x

x

x x

e. 2

lim1x

x

x x



f. 2lim 3

xx x x

g. 3

2lim

3x

x

x Jawab

a. 4 4

lim 02x x

b. 6 1

lim (tak tentu)2 10x

x

x

.

Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi

dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:

16 6 0lim 3

10 2 02x

x

x

c. 2

4lim (tak tentu)

2 2x

x

x x


dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh:

22

44 0lim lim 0

2 2 1 0 02 2 1x x

x x

x x x x

d. 2

2

6lim (bentuk tak tentu)

2 3x

x

x x


dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh: 2

2

6 6 6lim lim 3

3 2 02 3 2x x

x

x x x

e. 2

lim (tak tentu)1x

x

x x


dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:



2 2

2

22 2 2

1lim lim

1 1

1 1 lim lim

1 11 1

1 1

1 0 0

x x

x x

x

x x x xx

x xx xx x x

f. 2lim 3 (tak tentu)

xx x x

22 2

2

3lim 3 lim 3

3x x

x x xx x x x x x

x x x

2 2

2

2

( 3)lim

3

3lim

3

x

x

x x x

x x x

x

x x x

2

31lim

311 1x

x

x x

1 0 1

2( 1 0 0 1)

g. 3

2lim (tak tentu)

3x

x

x

3

23

1 1lim lim

31 0 03x x

x

x x x

7.7 Limit Fungsi Trigonometri

Beberapa rumus limit fungsi trigonometri di antaranya adalah

sebagai berikut:



(i)

0 0

sinlim lim 1

sinx x

x x

x x

(ii)

0 0

tanlim lim 1

tanx x

x x

x x

Contoh

Hitung

0

sin5lim

tan3!

Jawab

0 0

0 0 0

sin5 sin5 3 1lim lim 5

tan3 5 tan3 3

sin5 3 5 lim lim lim

5 tan3 3

untuk 0 berakibat 3 0 dan 5 0 , sehingga:

0 5 0 3 0 0

sin5 sin5 3 5lim lim lim lim

tan3 5 tan3 3

5 5 1.1.

3 3

7.8 Kekontinuan Fungsi

Fungsi ( )f x kontinu di x a jika memenuhi syarat-syarat berikut

ini:

1. f(a) ada atau terdefinisikan,

2. limx a

f x

ada

3. limx a

f x f a

Jika minimal salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka f

dikatakan tidak kontinu di x a .

a

º

f ( )f a tidak ada

( )f x tidak kontinu di x a



a

lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adax ax a x a

f x f x f x

( )f x tidak kontinu di

x a

f

a

º

f 1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )

x a

x a

f a

f x

f x f a

( )f x tidak kontinu di x a



Contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di 2x , jika tidak sebutkan alasannya!

a. 2 4

( )2

xf x

x

b.

2 4, 2

2( )

3 , 2

xx

xf x

x

c. 2

1, 2( )

1, 2

x xf x

x x

Jawab

a.

2 4( )

2

xf x

x

22 4 0(2)

2 2 0f

(2)f tidak terdefinisi (ada) . ( )f x tidak

kontinu di 2x

b.

2 4, 2

2( )

3 , 2

xx

xf x

x

(2) 3f (ada)

f

a

º

1. ( ) ada

2. lim ( ) ada

3. lim ( ) ( )

x a

x a

f a

f x

f x f a

( )f x kontinu di x a



2

2 2 2

( 2)4lim ( ) lim lim

2x x x

xxf x

x

( 2)

2

x

x

2lim( 2) 4x

x

2

lim ( ) (2)x

f x f

( )f x tidak kontinu di 2x

c. 2

1, 2( )

1, 2

x xf x

x x

2(2) 2 1 3f (ada)

2

lim ( )x

f x

2 2

lim ( ) lim ( 1) 2 1 3x x

f x x

2 2

2 2lim ( ) lim ( 1) 2 1 3

x xf x x

22 2

lim ( ) lim ( ) 3 lim ( ) 3xx x

f x f x f x

2

lim ( ) (2)x

f x f

( )f x kontinu di 2x



Contoh

Diketahui fungsi

2

3 2, 1

( ) 5 ,1 3

1, 3

x x

g x x

x x

. Selidiki apakah ( )g x kontinu di

a. 1x

b. 3x

Jawab

a. 1x

(1) 3(1) 2 5g

1

lim ( )x

g x

1 1

lim ( ) lim(3 2) 5x x

g x x

1 1

lim ( ) lim 5 5x x

g x

11 1

lim ( ) lim ( ) 5 lim ( ) 5xx x

g x g x g x

1

lim ( ) (1)x

g x g

( )g x kontinu di 1x

b. 3x

(3) 5g

3

lim ( )x

g x

3 3

lim ( ) lim 5 5x x

g x

2 2

3 3lim ( ) lim ( 1) 3 1 8

x xg x x

3 1

lim ( ) lim ( )x x

g x g x

( )g x tidak kontinu di 3x

Contoh

Diketahui fungsi ; 1

( )3 ; 1

x a xf x

x x

. Tentukan nilai a agar ( )f x kontinu

1x !

Jawab



(1) 3 1 2f

1 1 1

lim ( ) ada jika lim ( ) lim ( )x x x

f x f x f x

1 1

lim ( ) lim( ) 1x x

f x x a a

1 1

lim ( ) lim(3 ) 3 1 2x x

f x x

1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

1 2

1

a

a

1

lim ( ) (1) 2x

f x f

Jadi agar ; 1

( )3 ; 1

x a xf x

x x

kontinu di 1x maka 1a , sehingga

diperoleh 1; 1

( )3 ; 1

x xf x

x x

Contoh

Diketahui fungsi 2

6; 2

( ) ; 2 1

12; 1

ax x

f x ax bx x

ax x

. Tentukan nilai a dan b

agar ( )f x kontinu!

Jawab

Perhatikan batas fungsi ( )f x adalah 2 dan 1x x maka :

2x

2 2

lim ( ) lim ( 6) 2 6x x

f x ax a

2

2 2lim ( ) lim ( ) 4 2

x xf x ax bx a b

1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

2 6 4 2

2 2 6

3*

a a b

a b

a b



1x

2

1 1lim ( ) lim( )x x

f x ax bx a b

1 1

lim ( ) lim( 12) 12x x

f x ax a

1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

12

2 12 * *

a b a

a b

Eliminasi * dan **

3

2 12 +

3 9 3, 6

a b

a b

a a b

Jadi 2

3 6; 2

( ) 3 6 ; 2 1

3 12; 1

x x

f x x x x

x x

7.9 Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad

Hitunglah llimit berikut ini!

a. 1

2 3lim

5 2x

x

x

b. 2

4lim

2x x

c. 6 1

lim2 10x

x

x

Solusi




Pilih tombol calculus toolbars

sehingga muncul.

Tekan tombol atau tekan [ctrl] L untuk memunculkan

operator limit

Untuk memperoleh operator limit kiri dan kanan tekan tombol

atau . Operator limit kiri dan kanan juga bias

dimunculkan dengan menekan [Ctrl][Shift] B dan [Ctrl][Shift]

A



Masukan ekspresi sesuai dengan soal

Untuk mendapatkan hasil, tekan tombol evaluation toolbar

, pilih tombol “ “ kemudian Enter



Rangkuman

1. Misal f(x) terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan tidak

terdefinisi di c, nilai f(x) akan mendekati L, bila x mendekati c.

limx c

f x L

2. Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan Nilai f(x)

mendekati L. Notasi disebut limit kanan

limx c

f x L

3. Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)

mendekati G. Notasi disebut limit kanan

limx c

f x G

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema

berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.

1. limx c

A A

, ,Ac

2. limx c

x c

4. Jika lim ( )x c

f x

dan lim ( )x c

g x

keduanya ada dan k maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut:

1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

2 lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x

3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

4 lim ( )

( )lim

( ) lim ( )

x c

x cx c

f xf x

g x g x

, asalkan lim ( ) 0x c

g x



5 Untuk n :

(a). lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

(b). lim ( ) lim ( )n

n

x c x cf x f x

, asalkan lim ( ) 0

x cf x

(c). 1

1lim ( ) lim ( )

nn

x c x cf x f x

, asalkan untuk n genap lim ( ) 0

x cf x

5. Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa

cara. di antaranya adalah sebagai berikut.

1. Substitusi langsung

2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)

3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)

6. lim ( )x c

f x


x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.

7. lim ( )x c

f x


x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.

8. lim ( )x

f x L


besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah

positif) maka ( )f x mendekati L.

9. lim ( )x

f x L


besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah

negatif) maka ( )f x mendekati L.

10. Fungsi ( )f x kontinu di x a jika memenuhi syarat-syarat

berikut ini:

1. f(a) ada atau terdefinisikan,

2. limx a

f x

ada

3. limx a

f x f a


Turunan Fungsi 211

8 TURUNAN FUNGSI

Overview

Dalam sebuah lintasan balap atau sirkut seorang pembalap

terkadang menemukan lintasan yang berupa turunan atau tanjakan.

Dalam matematika konsep turunan memiliki arti geometris gradien

garis singgung pada sebuah fungsi di sebuah titik. Pada bab ini akan

dipelajari definisi turunan di satu titik, turunan sepihak,

keterdiferensialan dan kekontinuan, turunan pada suatu interval,

rumus dasar turunan, aturan menentukan turunan, dan turunan

tingkat tinggi.

Tujuan

1. Mahasiswa memahami definisi turunan di suatu titik

2. Mahasiswa memahami turunan kiri dan turunan kanan


212 Turunan Fungsi

3. Mahasiwa memahami hubungan keterdiferensialan dengan

kekontinuan

4. Mahasiwa memahami rumus-rumus dasar turunan

5. Mahaiswa memahami aturan menentukan turunan

6. Mahasiswa memahami turunan tingkat tinggi


Turunan Fungsi 213

8.1 Definisi Turunan di Satu Titik

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat

c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan

sebagai:

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c

bila limitnya ada.

Dengan penggantian x c h , jika 0x c h dan x c h ,

turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

Perhatikan gambar berikut:

y

xc x

f(c)

f(x)

Garis

SInggung

f

Arti geometri dari turunan fungsi f di titik c adalah gradien garis

singgung pada grafik fungsi f di titik ( , ( ))c f c seperti telihat pada

gambar. Jika ( ) ( )

limx c

f x f c

x c

maka '( )f c ada dan kita katakana fungsi f


214 Turunan Fungsi

terdiferensialkan di c (mempunyai turunan/dapat

diturukan/diferensiabel di c).

Contoh

Hitunglah '(2)f jika diketahui fungsi berikut:

a. ( ) 2f x x

b. 2( )f x x

Jawab

a. ( ) 2f x x

(i) ( ) ( )

'( ) limx c

f x f cf c

x c

2 2 2

2( 2)( ) (2) 2 2(2)'(2) lim lim lim

2 2x x x

xf x f xf

x x

2x 2lim 2 2x

(ii) 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

0 0 0

0

(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4'(2) lim lim lim

2 lim

h h h

h

f h f h hf

h h h

h

h 0

lim 2 2h

b. 2( )f x x

(i) ( ) ( )

'( ) limx c

f x f cf c

x c

2 2 2

2 2 2 2

( 2)( ) (2) 2 4'(2) lim lim lim lim

2 2 2x x x x

xf x f x xf

x x x

( 2)

2

x

x

2 lim( 2) 2 2 4

xx

(ii) 0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h


Turunan Fungsi 215

2 2 2

0 0 0

2

0 0

(2 ) (2) (2 ) 2 4 4 4'(2) lim lim lim

4 lim lim

h h h

h h

f h f h h hf

h h h

h h h

h

(4 )h

h

0lim(4 ) 4 0 4h

h

8.2 Turunan Sepihak

Sejalan dengan konsep limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit

kanan pada turunan juga terdapat konnsep turunan sepihak. Turunan

kiri dan turunan kanan dari sautau fungsi di satu titik didefinisikan

sebagai berikut:

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari

fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau

'

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan

dari fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:

' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau

'

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada

Sembarang fungsi mememiliki turunan di sebuah titik jika

turunan kiri dan turunan kanannya sama. Oleh karena itu, diperoleh

definisi sebagai berikut.

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat

titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan

hanya jika ' '( ) ( )f c f c

Contoh

Selidiki apakah ; 0

( ) ; 0

x xf x x

x x

mempunyai turunan di 0x !

Jawab

Turunan kiri fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:


216 Turunan Fungsi

'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim ( 1) 1

0x x x

f x f xf

x x

Turunan kanan fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:

'

0 0 0

( ) (0) 0(0) lim lim lim (1) 1

0x x x

f x f xf

x x

' '(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0f f f x x

Contoh

Diketahui

2 3 , 1( )

1 2 , 1

x x xf x

x x

a) Selidiki apakah ( )f x diferensiabel di 1x

b) Jika ya, tentukan '(1)f

Jawab:

a) 2

'

11

( ) (1) 3 (1 2 1)(1) lim lim

1 1xx

f x f x xf

x x

2

1 1

( 1)lim lim 1

1 1x x

x x x x

x x

b) '

1 1

( ) (1) 1 2 (1 2 1)(1) lim lim

1 1x x

f x f xf

x x

1 1

2 2 1lim 2 lim 1

1 ( 1)( 1)x x

x x

x x x

Jadi, f diferensiabel di x = 1. ' ' '(1) (1) 1 , maka (1) 1.f f f

8.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan

Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c. Pernyataan

tersebut dapat juga dinyatakan sebagai: Jika f(x) tidak kontinu di c

maka f tidak mempunyai turunan di c. Dengan kata lain kekontinuan

adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan. Sifat tersebut tidak


Turunan Fungsi 217

berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f

diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh

Tunjukkan bahwa 1, 1

( ) | 1|1, 1

x xf x x

x x

kontinu di x = 1 tetapi

tidak diferensiabel di x = 1

Jawab :

(i) Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1

f(1) = 0

1 1

lim ( ) lim ( 1) 0x x

f x x

1 1

lim ( ) lim 1 0x x

f x x

1

lim ( ) 0x

f x

Jadi 1

lim 1x

f(x) f( )

Jadi ( ) | 1|f x x kontinu di x = 1

(ii) Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau ' '(1) (1)f f ?

'

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | ( 1)(1) lim lim lim 1

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x

'

1 1 1

( ) (1) | 1| | 0 | 1(1) lim lim lim 1.

1 1 1x x x

f x f x xf

x x x

Karena ' '(1) (1)f f maka ( ) | 1|f x x tidak diferensiabel di x

= 1.

8.4 Turunan Fungsi Pada Suatu Interval

Turunan fungsi pada suatu selang dikenal sebagai turunan

pertama didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan fungsi ( )y f x terdefinisi pada interval I. Turunan fungsi f

pada interfal I ditulis 'f adalah suatu fungsi yang aturannya untuk

setiap x I ditentukan oleh:

( ) ( )'( ) lim

t x

f t f xf x

t x

atau

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

jika limitnya ada.


218 Turunan Fungsi

Notasi Turunan

Turunan ( )y f x terhadap x dinotasikan dengan 'y atau '( )f x .

Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan ( )y f x

terhadap x di antaranya dalah: , ( ), , ( )x x

dy df x D y D f x

dx dx. Notasi

dy

dx

dikenal sebagai notasi Leibniz.

8.5 Rumus-Rumus Dasar Turunan

Dengan menggunakan definisi turunan fungsi f pada selang I,

yaitu 0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

dengan mudah akan diperoleh rumus-

rumus dasar turunan sebagai berikut:

Turunan Fungsi Konstan

Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka

'( ) 0f x

0 0 0 0

( ) ( ) 0'( ) lim lim lim lim 0 0

h h h h

f x h f x k kf x

h h h

Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. ( ) 2f x

b. ( ) 15f x

c. ( ) 22f x

Jawab

a. ( ) 2 '( ) 0f x f x

b. ( ) 15 '( ) 0f x f x

c. ( ) 22 '( ) 0f x f x

Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil

Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x


Turunan Fungsi 219

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2f x x

b. 3( ) 15f x x

c. 14( ) 5f x x

Jawab

a. 3 3 1 2( ) 2 '( ) (3)(2) 6f x x f x x x

b. 3 3 1 4( ) 15 '( ) ( 3)(15) 45f x x f x x x

c. 31 1 14 4 4

1 5( ) 5 '( ) (5)

4 4f x x f x x x

Turunan Kelipatan Fungsi

Misalkan ( ) ( )n

f x k u x dimana ( )u x merupakan fungsi dari x maka

1

'( ) ( )( ) ( ) '( )n

f x n k u x u x


220 Turunan Fungsi

Contoh

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a. 3( ) 2(3 4)f x x

b. 3( ) 15(4 1)f x x

Jawab

a. 3( ) 2(3 4)f x x

3 1

2

2

'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)'

6(3 4) (3)

18(3 4)

f x x x

x

x

b. 3( ) 15(4 1)f x x

3 1

4

4

'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)'

( 45)(4 1) (4)

180(4 1)

f x x x

x

x

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:

(i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x

(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x

(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x

(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x

(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x

(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec '( )f x u x f x x u x

Contoh

Tentukan rumus fungsi berikut:

a. ( ) sin(5 )f x x

b. 2( ) sin( 2 )f x x x

c. 1( ) cos( )5f x x

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x


Turunan Fungsi 221

e. ( ) tan(2 )f x x

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x

Jawab

a. ( ) sin(5 )f x x

'( ) cos(5 ) (5 )' cos5 5 5cos(5 )f x x x x x

b. 2( ) sin( 2 )f x x x

2 2

2

2

'( ) cos( 2 ) ( 2 )'

cos( 2 ) (2 2)

(2 2)cos( 2 )

f x x x x x

x x x

x x x

c. 1( ) cos( )5f x x

1 1 1 1 1 1'( ) sin( ) ( )' sin( ) ( ) sin( )5 5 5 5 5 5f x x x x x

d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x

3 2 3 2

3 2 2

2 3 2

'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'

sin(2 4 ) (6 2 4)

(6 2 4)sin(2 4 )

f x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

e. ( ) tan(2 )f x x

2

2

2

'( ) sec (2 ) (2 )'

sec (2 ) 2

2sec (2 )

f x x x

x

x

f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x

2 3 2 3 2

2 3 2 2

2 2 3 2

'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'

sec ( 3 ) (3 6 )

(3 6 )sec ( 3 )

f x x x x x

x x x x

x x x x

8.6 Aturan Untuk Menentukan Turunan

Beberapa aturan yang digunakan untuk menentukan turunan



222 Turunan Fungsi

Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi

, , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I dengan

aturan sebagai berikut:

a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x

d.

'

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

( ( ))

f f x g x f x g xx

g g x

Aturn tersebut dapat ditulikan dalam bentuk yang lain, yaitu:

a. ( )' ' 'u v u v

b. ( )' ' 'u v u v

c. ( )' ' 'uv u v uv

d. '

2

' 'u u v uv

v v

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x

Jawab

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x

Misalkan 32u x dan

5( 5)v x

2' 6u x dan 4' 5( 5)v x

2 5 3 4

2 5 3 4

( )' ' '

(6 )( 5) (2 )(5( 5) )

6 ( 5) 10 ( 5)

uv u v uv

x x x x

x x x x

2 5 3 4'( ) 6 ( 5) 10 ( 5)f x x x x x


Turunan Fungsi 223

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x

Misalkan 45u x dan 3(2 1)v x

3' 20u x dan 2' 6(2 1)v x

'

2

3 3 4 2

23

3 3 4 2

6

' '

(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )

(2 1)

20 (2 1) 30 (2 1)

(2 1)

u u v uv

v v

x x x x

x

x x x x

x

3 3 4 2

6

20 (2 1) 30 (2 1)'( )

(2 1)

x x x xf x

x

Aturan Rantai

Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di x

dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi

( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:

( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du

f g x f g x g xdx du dx

Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dv

dx du dv dx

Contoh

Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan

rantai!

a. 5(3 5)y x

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x

c. 22 4 1y x x

d. 4 3sin(2 3 )y x x

Jawab


224 Turunan Fungsi

a. 5(3 5)y x

5 45dy

y u udu

dan 3 5 3du

u xdx

4

4

4

5 3

15

15(3 5)

dy dy du

dx du dx

u

u

x

b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x

3 23dy

y u udu

4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du

u x x x x x xdx

2 3 2

3 2 2

3 2 4 3 2 2

3 (8 9 8 )

(24 27 24 )

(24 27 24 )(2 3 4 1)

dy dy du

dx du dx

u x x x

x x x u

x x x x x x

c. 22 4 1y x x

1 12 2

112 2

dyy u u u

du u

22 4 1 4 4du

u x x xdx


Turunan Fungsi 225

2

2

1 (4 4)

2

4( 1)

2 2 4 1

2( 1)

2 4 1

dy dy du

dx du dx

xu

x

x x

x

x x

d. 4 3sin(2 3 )y x x

sin cosdy

y u udu

dan 4 3 3 22 3 8 27du

u x x x xdx

3 2

4 3 3 2

sin (8 27 )

sin(2 3 )(8 27 )

dy dy du

dx du dx

u x x

x x x x

Contoh

Tentukan dy

dxdari 4 3( 5)y sin x

Jawab

Misal 3 5v x maka 23dv

xdx

sinu v maka 3cos cos( 5)du

v xdv

4y u maka 3 3 34 4 ( 5)

dyu sin x

du

Sehingga 2 3 3 3. . 12 ( 5) ( 5)

dy dy du dvx sin x cos x

dx du dv dx

Contoh

Jika diketahui '(0) 2, (0) 0 , '(0) 3f g g , tentukan ( )'(0).f g

Jawab


226 Turunan Fungsi

( )'( ) ' ( ) '( )

( )'(0) ' (0) '(0)

' 0 3

(2)(3)

6

f g x f g x g x

f g f g g

f

8.7 Turunan Tingkat Tinggi

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari turunan petama dari

fungsi f. Selain dapat dicari turunan pertama dari sebuah fungsi, kita

juga dapat menentukan turunan kedua, ketiga, dan seterusnya samapai

turunan ke-n dari sebuah fungsi.

Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama

yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh

turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi.

Jika ( )y f x maka

Turunan pertama : ' '( )dy df

y f xdx dx

Turunan kedua : 2 2

2 2'' ''( )

d y d fy f x

dx dx

Turunan ketiga : 3 3

3 3'' ' '''( )

d y d fy f x

dx dx

Turunan keempat : 4 4

(4) (4)

4 4( )

d y d fy f x

dx dx

. .

. .

. .

Turunan ke-n : ( ) ( )( )n n

n n

n n

d y d fy f x

dx dx

Contoh

Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi

berikut ini!

a. 6 32 5y x x


Turunan Fungsi 227

b. siny x

Jawab

a. 6 32 5y x x

5 2

4

3

(4) 2

' 12 15

'' 60 30

''' 240 30

720

y x x

y x x

y x

y x


228 Turunan Fungsi

b. siny x

(4)

' cos

'' sin

''' cos

sin

y x

y x

y x

y x

8.8 Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad

Tentukan tuunan dari fungsi berikut ini!

a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x

b. 4

3

5( )

(2 1)

xf x

x

Solusi



sehingga muncul.

Tekan tombol atau tekan [Shift] / untuk memunculkan


Turunan Fungsi 229

operator turunan pertama

Untuk memperoleh operator turunan ke-n tekan tombol

atau [Ctrl][Shift] /

Masukan ekspresi sesuai dengan soal


230 Turunan Fungsi

Untuk mendapatkan hasil, tekan tombol evaluation toolbar

, pilih tombol “ “ kemudian Enter


Turunan Fungsi 231

Rangkuman

1. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.

Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan

sebagai:

( ) ( )'( ) lim

x c

f x f cf c

x c

bila limitnya ada.

2. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari


' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau

'

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada.

3. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari


' ( ) ( )( ) lim

x c

f x f cf c

x c

atau

'

0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h

bila limitnya ada

4. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat

titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika

dan hanya jika ' '( ) ( )f c f c

5. Misalkan fungsi ( )y f x terdefinisi pada interval I. Turunan fungsi

f pada interfal I ditulis 'f adalah suatu fungsi yang aturannya

untuk setiap x I ditentukan oleh:

( ) ( )'( ) lim

t x

f t f xf x

t x

atau

0

( ) ( )'( ) lim

h

f x h f xf x

h

jika limitnya ada.


232 Turunan Fungsi

6. Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil

maka '( ) 0f x


Turunan Fungsi 233

7. Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x

8. Misalkan ( ) ( )n

f x k u x dimana ( )u x merupakan fungsi dari x

maka 1

'( ) ( )( ) ( ) '( )n

f x n k u x u x

9. Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:

(i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x

(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x

(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x

(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x

(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x

(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec '( )f x u x f x x u x

10. Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka

fungsi , , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I

dengan aturan sebagai berikut:

a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x

c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x

d.

'

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

( ( ))

f f x g x f x g xx

g g x

11. Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di

x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi

( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:

( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du

f g x f g x g xdx du dx


234 Penggunaan Turunan

9. Penggunaan Turunan

Overview

Turunan dapat digunakan untuk berbagai hal. Pada bab ini yang akan

dibahas adalah penggunaan turunan untuk menentukan

kemonotonan, nilai ekstrim, kecekungan, dan titik belok suatu fungsi

dan menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan

meminimumkan atau memaksimumkan suatu besaran tertentu,

seperti meminimumkan biaya, memaksimumkan volume dan lain-lain

Tujuan

1. Mahasiswa mampu mementukan selang kemonotonan suatu

fungsi

2. Mahasiswa mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi

3. Mahasiswa mampu menentukan selang kecekungan suatu fungsi


Penggunaan Turunan 235

4. Mahasiswa mampu menentukan titik belok suatu fungsi

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan ehari-hari

menggunakan

konsep turunan



9.1 Kemonotonan Fungsi

Definisi. Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I

monoton turun pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .

Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton.

f(x2)

f(x1)

f(x1)

f(x2)

x1 x2 x1 x2

(a) monoton turun (b) monoton naik

Gambar 9.1 Fungsi monoton

Dari gambar (a) terlihat bahwa sudut yang dibentuk antara

garis singgung dan sumbu x positif adalah sudut tumpul, atau dengan

kata lain gradient (kemiringan) garis singgung bernilai negatif. Dari

gambar (b) terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh garis singgung

dan sumbu x positif adalah sudut lancip, dengan kata lain gradient

garis singgung bernilai positif. Sebelumnya sudah diketahui bahwa arti

geometris dari turunan pertama adalah gradien garis singgung.

Sehingga kita menentukan selang kemonotonan dengan

menggunakan uji turuna pertama.



Uji turunan pertama untuk kemonotonan.

Andaikan f diferensiabel di selang I, maka

i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I

ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I



Contoh

Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :

3 213( ) 3 4f x x x x

Jawab:

3 2 213( ) 3 4 '( ) 2 3f x x x x f x x x

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I

2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

f x

x x

x x

x x

f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (3, )

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I

2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 3

f x

x x

x x

x x

f(x) monoton turun pada selang ( 1,3)

Contoh

Tentukan selang kemonotonan

2( 1)

( )x

f xx

Jawab

2 2( 1) 2 1( )

x x xf x

x x

2 2 2 2

2 2 2

(2 2)( ) ( 2 1)(1) 2 2 2 1) 1'( )

x x x x x x x x xf x

x x x

-1 3

(-) (+)(+)

f ’

-1 3

(-) (+)(+)

f ’



Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I

2

2

2

'( ) 0

10

( 1)( 1)0

f x

x

x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (1, )

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I

2

2

2

'( ) 0

10

( 1)( 1)0

f x

x

x

x x

x

f(x) monoton naik pada selang ( 1,0) dan (0,1)

9.2 Ekstrim Fungsi

Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah

definisinya.

Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.

f(c) disebut nilai maksimum

minimum global dari f pada I jika

( ) ( )

( ) ( )

f c f xx I

f c f x


minimum lokal dari f pada I jika terdapat

selang buka yang memuat c sehingga

( ) ( )

( ) ( )

f c f x

f c f x untuk setiap

x pada selang buka tadi.

-1 1

(-) (+)(-)

f ’

0

(+)

-1 1

(-) (+)(-)

f ’

0

(+)



Eksistensi maksimum-minimum

Jika f kontinu pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai

maksimum dan minimum.

Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim

fungsi disebut titik kritis, kemungkinan titik kritis :

a. Titik ujung selang I

b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c ) , secara

geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))

c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada ), secara

geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))

Untuk jelasnya, perhatikan gambar 6.2 berikut .

x

y

a b c d e f

max lokal

min global

max global

min lokal

max lokal

min lokal

Gambar 9.2 Nilai ekstrim fungsi dan titik kritis



Titik x = a dan x = b merupakan ujung selang

Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner

Titik x = e merupakan titik singular.

Untuk menentukan apakah pada suatu titik kritis tertentu

terjadi nilai maksimum atau minimum gunakan uji turunan pertama.

Perhatikan di sekitar x = b, dimana terjadi minimum, disebelah

kiri x = b fungsi monoton turun ( f ’(x) <0) dan disebelah kanan x =

b fungsi monoton naik ( f ’(x) > 0).

Disekitar x = c dimana terjadi maksimum terjadi sebaliknya,

disebelah kiri x = c fungsi monoton naik dan disebelah kanan x = c

fungsi monoton turun.

Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

Jika

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang ( , )c c dan

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang

( , )c c , maka f(c) merupakan nilai maksimum

minimum lokal f.

Khusus untuk titik stasioner, untuk menentukan apakah terjadi nilai

maksimum atau nilai minimum dapat juga digunakan uji turunan

kedua.



Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ( untuk titik stasioner)

Misalkan '( ) 0f c Jika

''( ) 0

''( ) 0

f c

f c maka f(c) merupakan nilai

maksimum

minimum

lokaldari f.

Contoh

Tentukan nilai ekstrim fungsi 3 213( ) 3 4f x x x x

Jawab:

3 2 21( ) 3 4 '( ) 2 3

3f x x x x f x x x

Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner

2

1 2

'( ) 0

2 3 0

( 1)( 3) 0

1 dan 3

f x

x x

x x

x x

3 2

3 2

3 2

1( ) 3 4

3

1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5

3 3 3 3

1 1(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5

3 3

f x x x x

f

f

Untuk menentukan apakah ( 1) dan (3)f f merupakan nilai maksimum

lokal atau minimum lokal kita menggunakan hasil pada contoh

sebelumnya.

Pada selang ( , 1) , '( ) 0f x

Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x

-1 3

(-) (+)(+)

f ’



Jadi 2

( 1) 53

f merupakan nilai maksimum lokal

Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x

Pada selang (3, ) , '( ) 0f x

Jadi (3) 5f merupakan nilai minimum lokal

Contoh

Tentukan nilai ekstrim fungsi

2( 1)

( )x

f xx

Jawab

Pada contoh sebelumnya diproleh

(a) '( ) 0 pada ( , 1) dan '( ) 0 padaf x f x (-1,0),

maka

2( 1 1)( 1) 0

1f adalah nilai maksimum lokal.

(b) '( ) 0 pada (0,1) dan '( ) 0 pada (1, )f x f x ,

maka

2(1 1)

(1) 41

f adalah nilai minimum lokal.

9.3 Kecekungan fungsi

Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) akan cekung ke bawah

di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik

tersebut. Sedangkan grafik fungsi y = f ( x ) akan cekung ke atas di

suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung kurva di titik

tersebut.

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila '( )f x naik

pada interval I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila '( )f x

turun pada interval I. Oleh karena itu dapat disimpulkan :

-1 1

(-) (+)(-)

f ’

0

(+)



Uji turunan kedua untuk kecekungan

1. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I

2. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh

Tentukan selang kecekungan dari 3( )f x x

Jawab

2'( ) 3 dan "( ) 6f x x f x x

f cekung ke atas jika pada "( ) 0 ,f x x I

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)

f cekung ke bawah jika pada "( ) 0 ,f x x I

"( ) 0 6 0

0

f x x

x

Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)

9.4 Titik belok

Definisi. Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok

dari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di

sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung

ke bawah atau sebaliknya.

Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku

"( ) 0f b atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b ( "( )f b tidak ada

).

Contoh

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :

a. 3( ) 2 1f x x



b. 4( )f x x

c. 13( ) 1f x x

Jawab

a. Dari 3( ) 2 1f x x maka "( ) 12f x x .

Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.

Fungsi f kontinu di x = 0.

Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka

"( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -

1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

b. Dari 4( )f x x maka 2"( ) 12f x x .

Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok

Fungsi f kontinu di x = 0

Untuk x < 0 dan x > 0 maka "( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan.

Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

c. 13( ) 1f x x maka

53

2"( )

9f x

x.

Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.

Fungsi f kontinu di x = 0.

Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka

"( ) 0f x .

Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) =

1.

Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.

Contoh: Menentukan Ekstrim dengan uji turunan ke-dua

Jika 23)( 23 xxxf , tentukan nilai ekstrimnya, dan tentukan

titik belok jika ada.

Jawab :



2 2( ) 3 6 3( 2 )

( ) 6 6 6( 1)

6

f x x x x x

f x x x

f

2 2( ) 3( 2 ) 0 2 0 ( 2) 0f x x x x x x x

Jadi harga kritisnya adalah 0x dan 2x

(0) 6(0 1) 6f [negatif] Kurva cekung ke bawah

Jadi untuk 0x ada maksimum, dan nilai ekstrim

3 2(0) 0 3(0) 2 2f

(2) 6(2 1) 6f [positif] Kurva cekung ke atas

Jadi untuk 2x ada minimum, dan nilai ekstrimnya

3 2(2) 2 3(2) 2 8 12 2 2f

Mencari titik belok :

( ) 0f x atau tak ada

6 6 0 1x x

karena (1) 6f , maka untuk 1x ada titik belok

3 2(1) 1 3.1 2 1 3 2 0f

Jadi titik beloknya di (1,0).

9.5 Masalah Pengoptimuman

Seorang pebisnis ingin meminimumkan biaya dan memaksimumkan

keuntungan. Seorang manajer proyek ingin waktu pengerjaan suatu

proyeknya minimum. Dalam subbab ini akan dipecahkan masalah

seperti diatas dengan menggunakan turunan.



Langkah yang dilakukan :

Modelkan masalah tersebut dalam bentuk fungsi satu

peubah

Tentukan titik kritis dari fungsi tersebut

Tentukan nilai ektrimnya ( maksimum atau minimum)

Contoh

Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm.

Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong

keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan

ukuran kotak agar volume kotak maksimum.

Jawab :

Misalkan pojok yang dipotong adalah x, sehingga kita punya ukuran

kotak :

tinggi = x,lebar = 24 – 2x, dan panjang = 45 – 2x. Jadi kita punya

model matematika untuk volume kotak sebagai

V = x (24 – 2x)(45 – 2x)

= 4x3 - 138x2 + 1080x , 0 < x < 12

x

x

x

x

x x

24-2x

x x 45-2x



2'( ) 12 276 1080V x x x

''( ) 24 276V x x

Titik kritis : 2'( ) 0 12 276 1080 0V x x x

2 23 90 0x x

( 18)( 5) 0x x

x = 18 atau x = 5

Di sini tidak mungkin x = 18, karena melebihi ukuran karton, jadi yang

mungkin adalah x = 5. Dan ''(5) 156 0V , berarti tercapai nilai

maksimum. Jadi agar volume kotak maksimum, maka ukuran kotak

adalah 5 x 14 x 35 cm.

9.6 Menyelsaikan Penggunaan Turunan dengan Mathcad

Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun!

3 213( ) 3 4f x x x x

Solusi





sehingga muncul.

Untuk menentukan selang kemonotonan suatu fungsi maka

kita memerlukan turuan pertama fungsi tersebut.

Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) ( ) 0d

f x f x x Idx

Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) ( ) 0d

f x f x x Idx

Pilih Boolean toolbar sehingga muncul

Untuk menentukan selang dimana f monoton naik Tuliskan

ekspresi ( ) 0d

f xdx

kemudian pilih Symbolic Keyword Toolbar

sehingga muncul



Pilih solve, dan ketikan x disertai tanda “” dan enter sehingga

akan muncul solusi yang diinginkan

f(x) monoton naik jika 1x atau 3x (pada selang

( , 1) (3, )

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan selang dimana

f monoton turun

f(x) monoton turun jika 1x dan 3x (pada selang ( 1,3)



Rangkuman

1. Fungsi f(x) dikatakan

monoton naik pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I

monoton turun pada interval I jika untuk

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .

2. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.


minimum global dari f pada I jika

( ) ( )

( ) ( )

f c f xx I

f c f x


minimum lokal dari f pada I jika terdapat

selang buka yang memuat c sehingga

( ) ( )

( ) ( )

f c f x

f c f x untuk setiap

x pada selang buka tadi.

3. Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim

fungsi disebut titik kritis, kemungkinan titik kritis :

a. Titik ujung selang I

b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c ) , secara geometris :

garis singgung mendatar dititik (c,f(c))\

c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada ), secara geometris:

terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))

4. Jika

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang ( , )c c dan

'( ) 0

'( ) 0

f x

f x pada selang

( , )c c , maka f(c) merupakan nilai maksimum

minimum lokal f.



5. Misalkan '( ) 0f c

Jika

''( ) 0

''( ) 0

f c

f c maka f(c) merupakan nilai

maksimum

minimum lokaldari f.

6. Uji turunan kedua untuk kecekungan

a. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I

b. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

7. Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari

kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di

sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b

cekung ke bawah atau sebaliknya. Syarat perlu x = b merupakan

absis dari titik belok bila berlaku "( ) 0f b atau f(x) tidak

diferensiabel dua kali di x = b ( "( )f b tidak ada ).

8. Langkah-langkah menyelesaikan permasalahn pengoptimuman


Modelkan masalah tersebut dalam bentuk fungsi satu

peubah

Tentukan titik kritis dari fungsi tersebut

Tentukan nilai ektrimnya ( maksimum atau minimum)


254 Integral Tak Tentu

10. Integral Tak Tentu

Overview

Integral dapat dianalogikan seperti saat kita memakai baju kemeja,

kitapun dengan mudah melepaskannya kembali. Apabila cara memakai

kemeja dan melepaskannya dimodelkan sebagai dua operasi maka

operasi yang kedua menghapuskan operasi yang pertama. Kita dapat

katakan bahwa dua operasi tersebut merupakan operasi balikan

(inverse). Dalam hal ini matematika mempunyai banyak operasi balikan

seperti penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian,

pemangkatan dan penarikan akar. Sebagaimana kita telah mempelajari

differensial (turunan) sebagai sebuah operasi maka operasi balikannya

disebut sebagai Integral atau anti turunan.

Tujuan

1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar dari integral atau anti

turunan

2. Mahasiswa mampu memahami defenisi Integral tak tentu

3. Mahasiswa mampu memahami aturan Linieritas dalam integral tak

tentu

4. Mahasiswa mampu memahami intergral tak tentu dari fungsi

trigonometri.

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral tak tentu

dengan aturan integral.


Integral Tak Tentu 255


dengan aturan substitusi


dengan metode Parsial.

10.1 KONSEP DASAR

Integral tak tentu atau anti turunan adalah operasi balikan dari

turunan atau dari pendiferensialan.

Perhatikan beberapa turunan di bawah ini :

3 8F x x turunannya 23F x x



Dapat kita lihat anti turunan dari 23x adalah 3 8x , atau 3 12x , atau 3 3x . Untuk ketiga jawaban tersebut hanya berbeda pada

konstantanya, jadi dapat kita perumum bahwa anti turunan dari 23x

adalah 3x c , dimana c adalah konstanta riil sembarang.

10.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN

Karena salah satu dari lambang turunan adalah Dx , maka ada yang

menggunakan Ax sebagai anti turunan, jadi anti turunan dari 23x

ditulis sebagai :

Definisi :

Dikatakan bahwa F adalah anti turunan dari f pada selang s , jika

d

F fdx

pada selang s , yakni jika F x f x untuk semua

x dalam selang s

2 33Ax x x c



Tetapi cara penulisan Leibniz untuk anti turunan adalah yang sangat

populer yaitu menggunakan lambang .....dx , jadi anti turunan dari

23x ditulis sebagai:

Lambang disebut “integral” , dan fungsi yang ada dibawah tanda

disebut “integran”.

Untuk membuktikan teorema diatas, cukup dengan menurunkan atau

mendiferensialkan ruas kanan yang harus menghasilkan integran dari

ruas kiri yaitu :

Jika pada Teorema (aturan Pangkat), n = 0, maka: 1ox dx dx x c

jadi

2 33x dx x c

TEOREMA A (Aturan Pangkat)

Jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1, maka

dx x c

xk xn

dk

n 1x

n 1 C

11 11

1 1

nn nd x n

c x xdx n n



CONTOH I-1

Contoh 1

1. 5 61

6x dx x c

2. 7 833

8x dx x c

3. 3 3 11

3 1x dx x c

4. 125 . 5x dx x dx

3

2

1 2

2 3x c

x

12

1

12

5

1x c

32

10

3x c 310

3x c

5. 2 52x x x dx 5 2 41 1

5 4x x x c

6. 123

3

1x dx x x dx

x

21

2x c

3221 2

2 3x x c

10.3 METODE INTEGRASI

10.3.1 Metode Substitusi

TEOREMA B (Kelinieran)

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu)

dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka :

i. .k f x dx k f x dx

ii. f x g x f x dx g x dx

iii. f x g x f x dx g x dx

(I-4)



Aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi yaitu : jika U g x

adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan dan n suatu bilangan

rasional 1n , maka :

Jika 1n r , maka :

Jika U g x , maka :

Dari yang terakhir ini kita dapatkan teorema berikut :

Contoh 2

1. Cari a. 83 25 3 5x x x dx

TEOREMA (Aturan Pangkat yang diperumum)

Andaikan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r suatu bilangan

rasional yang bukan –1 , maka :

cr

xgdxxgxg

rr

1

1

Atau dengan notasi Leibtniz

cn

UdUU

nn

1

1

1 11 n n nd n du duU U U

dx n n dx dx

1 1 11

1

r r rd du duU U U

dx r dx dx

11

1

rrdg x g x g x

dx r



b. 5Sin x Cos x dx

Jawab :

a. Misal 3 5U x x , maka 2(3 5)dU x dx , jadi

9

8 83 25 3 59

Ux x x dx U dU c

9315

9x x c

b. Misal U Sin x , maka dU Cos x dx , Jadi

65 5 61 1

6 6Sin x Cos x dx U dU U c Sin x c

Contoh 3:

Cari : a. 82 5 2x x dx e.

34 53 2 6x x dx

b. 6

5 3 5x dx f. 23 3 7x x dx

c. 53 24 7 12x x dx g. 2 25 1 5 3 2t t t dt

d. 43 24x x dx h.

2

3

2 5

ydy

y



Penyelesaian

a. 82 5 2x x dx , Misal 2 5 2u x du x dx

Jadi , 82 85 2x x dx u du

9

92

1

9

15

9

u c

x c

b. 6

5 3 5x dx + , Misal 5 3 5u x du dx

Jadi, 6 65 3 5x dx u du

7

7

1

7

15 3

7

u c

x c

c. 53 24 7 12x x dx , misal 3 24 7 12u x du x dx

jadi, 52 24 7 12x x dx

5

6

63

1

6

14 7

6

u du

u c

x c

d. 43 24x x dx misal 3 24 3u x du x dx

2 1

3x dx du jadi

43 24x x dx

4 41 1.3 3

u du u du

55 31 1 1

43 5 15

u c x c



4

45

45

3 1

10 4

3 12 6

10 4

32 6

40

u c

x c

x c

e. 34 53 2 6x x dx Misal 52 6x u

4

4

10

1

10

du x dx

x dx du

Jadi 34 53 2 6x x dx

f. 23 3 7x x dx misal 23 7u x

6

1

6

du xdx

xdx du

jadi, 122 23 3 7 3 7 3x x dx x xdx

1 12 2

1 13.

6 2u du u du

12

32

1

12

3

2

1 1

2 1

1 2 1

2 3 3

13 7

3

u c

u c u c

x c



4 .

1.

4

du y dy

y dy du

12

12

12

12

1

12

2

3 3

4

3 1

4 1

3 32 2 5

4 2

ydy u du

u

u c

u c y c

h. 2

3

2 5

ydy

y misal 22 5u y

jadi, 2

3

2 5

ydy

y

Setelah anda mahir dengan metode di atas coba untuk mencari

4 21x x dx

Jawab : misal 4 1u x maka 34du x dx dengan demikian

2 1

4x dx du

x

Untuk soal ini, metode yang digunakan sebagaimana contoh

sebelumnya gagal karena 1

4x tidak dapat dipindahkan ke depan tanda

integral (hanya konstanta yang dapat dipindahkan). Jadi soal ini dapat

diselesaikan dengan proses aljabar biasa sebagai berikut

4 2 6 2 7 31 11

7 3x x dx x x dx x x c

Contoh 4

a. Buktikan bahwa Sin x dx Cos x c dan

Cos x dx Sin x c

Bukti :



karena cosd

x Sin xdx

, maka menurut definisi bahwa

Cos x c adalah anti turunan dari Sin x , dan karena

dSin x Cos x

dx , maka Sin x c adalah anti turunan dari Cos x .

Dari rumus turunan: d duSin u Cos u

dx dx

dan d duCos u Sin u

dx dx

Diperoleh :

Sin u du Cos u c

dan Cos u du Sin u c

b. Cari 46 6Sin x Cos x dx

Jawab : misal : 6 6. 6u Sin x du Cos x dx

1

66

Cos x dx du

Jadi :

4 4 4

5

5

5

1

1 16 6 .

6 6

1 1

6 5

1 16

6 5

16

30

Sin x Cos x dx u du u du

u c

Sin x c

Sin x c

c. Cari 3. 3 5Sin x dx

Misal 1

3 5 33

u x du dx dx du

Jadi 3. 3 5Sin x dx Sin u du Cos u c

3 5Cos x c

d. Cari 2 2 .Cos x x dx



Misal : 2 2 2 .u x du xdx , 1

2xdx du

Jadi :

2

2

1

1 12 . .

2 2

1 12

2 2

Cos x xdx Cos u du Cos udu

Sin u c Sin x c



e. Cari 5 2 2.Sin x x Cos x dx

Misal : 2 22 cosu Sin x du x x dx

2 1

2x Cos x dx du

Jadi : 5 2 2 5 1.2

Sin x x Cos x dx u du

6

6 2

1

1 1

2 6

1

12

u c

Sin x c

f. Cari f x jika diketahui 2 5f x x

Untuk mendapatkan f x diperlukan pengintegralan dua kali

terhadap f x , yaitu :

2 5f x f x dx x dx

3

15x x c

3

15f x f x dx x x c dx 21

24

2

5

4

1cxcxx

10.3.2 Metode Parsial

Apabila pengintegralan dengan aljabar biasa maupun metode subsitusi

tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan Ganda atau

yang lebih popular dengan sebutan integral Parsial dapat memberikan

hasil. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil

kali dua fungsi:

[ ( ) ( )] ( ) '( ) ( ) '( )xD u x v x u x v x v x u x

Dengan mengintegralkan dua ruas tersebut kita memperoleh :

( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )u x v x u x v x dx v x u x dx

atau

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx



Karena dv =v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan di atas dapat ditulis

sebagai berikut:

udv uv vdu

Contoh 5

Tentukan .cosx xdx

Penyelesaian: Kita ingin menulis x cos x dx sebagai u dv. Salah satu cara

ialah memisalkan u = x dan dv = cos x dx. Jadi du = dx dan v =

cosxdx = sin x. apabila kita ringkas substitusi ganda tersebut, kita

peroleh:

cos

sin

u x dv xdx

du dx v x

Rumus integral parsialnya menjadi:

. cos . sin sinx xdx x x x dx

u dv u v v du

= x . sin x + cos x + C

10.4 Menghitung dengan Mathcad

Contoh 6.

Hitung (3 cos )x x dx , Buka tampilan awal Mathcad



Kemudian tekan tombol evaluation toolbar , pilih ‘:=’ untuk

mendefenisikan fungsi,

Kemudian akan muncul,

Ketikkan pendefenisian fungsi f(x):=3x-cos (x). Lalu enter,maka akan

muncul tanda ‘+ berwarna merah’. Tekan tombol calculus toolbar

, pilih tanda , sebagai integral tak tentu. Lalu akan

muncul,

Langkah berikutnya ketikkan fungsi ( )f x dx , tekan tanda

’’ pada evaluation toolbar dilanjutkan dengan tombol ‘=’, Maka akan

diperoleh hasil akhir



Rangkuman

1. operasi balikan dari differensial disebut sebagai Integral atau anti

turunan.

2. Jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1, maka

3. Solusi pengintegralan dapat menggunakan:

a. Metode Aljabar sederhana atau biasa

b. Metode Substitusi

c. Metode Parsial

xk xn

dk

n 1x

n 1 C


Integral Tentu 271

11.Integral Tentu

Overview

Integral Tentu merupakan konsep lanjutan dari Integral tak tentu

karena seluruh aturan dalam integral tak tentu berlaku pula

dalam integral tentu. Gagasan awalnya di perkenalkan sekaligus

dikembangkan oleh Riemann. Hal paling penting dalam

pembahasan Integral tentu adalah kenyataan bahwa integral

tentu secara tepat berkaitan dengan konsep luas daerah.

Tujuan

1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar dari integral

tentu

2. Mahasiswa mampu memahami defenisi Integral tentu

3. Mahasiswa mampu memahami aturan Linieritas dalam

integral tentu

4. Mahasiswa mampu memahami intergral tentu dari fungsi

trigonometri.

5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral

tentu dengan aturan integral.


tentu dengan aturan substitusi


272 Integral Tentu


tentu dengan metode Parsial.

11.1 Konsep Dasar

Integral tentu di konstruksi dengan jumlah Riemann yang

menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada

selang tutup [ a,b ].

f(x)

0 a=x0 Δxk b=xn

Langkah-langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik

pembagian 0 1 ... na x x x b

0 1 2{ , , ,..., }nP a x x x b x disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

| |,k k k kk n

P Maks x x x x

.


Integral Tentu 273

3. Pilih 1[ , ]k k kc x x , k=1,2,..., n dan bentuk jumlah Riemann

1

( )n

k k

k

f c x

. Jika || || 0P maka diperoleh limit jumlah

Riemann || || 0

1

lim ( )n

P k kk

f c x

. Jika limit ini ada, maka f

dikatakan terintegralkan (Riemann) pada selang [a,b].


274 Integral Tentu

Definisi. Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai

:

( ) lim ( ) lim ( )|| || 0 1 1

b n nf x dx f c x f c x

k k k knPa k k

Jika f(x) positif pada [a,b] maka b

a

dx)x(f menyatakan luas daerah

yang dibatasi oleh sumbu x, grafik y = f(x), garis x = a, garis x =

b.

Contoh : Hitung 2

0

2x dx

Jawab : Langkah :

1. Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama

panjang 2

nx

Sehingga :

0x0

n2

1 x0x

n2.2

2 x20x

......

ni2

i xi0x

2. Pilih ci = xi

3. Bentuk jumlah reimann

0 2 X1 X2 Xi Xi-1

x x x


Integral Tentu 275

2

2 2 4 4

21 1 1 1 1

4 42 1

n n n n ni i

i i n n nni i i i i

f c x in n

n

22n

n

4

2

)1n(n

n

42


276 Integral Tentu

1. Jika 0 atau n diperoleh

2

0n2

n22limdx2x

a dan b berturut turut disebut batas bawah dan batas atas.

DEFINISI (Integral Tentu )

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup

{a,b}. jik

n

k

kkn

xxfLim1

~

ada, maka dikatakan f diintegralkan pada [a,b], dan b

a

dxxf ,

disebut Integral tentu dari xf , terhadap x, dari x = 0 sampai x

= b, diberikan oleh

b

a

n

k

kkn

xxfLimdxxf1

~

a dan b berturut turut disebut batas bawah dan batas atas.


Integral Tentu 277

SIFAT – SIFAT INTEGRAL TENTU

1. 0a

af x dx

2. b

a

a

bdxxfdxxf

3. b

a

b

adxxfkdxxkf

4. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

5. c

a

b

c

b

adxxfdxxfdxxf ; jika a < c < b

6. Jika u

adxxfuF , maka ufuF

du

d

11.2 TEOREMA DASAR KALKULUS

Jika xf kontinu pada selang bxa dan jika xF adalah

integral tak tentu dari xf , maka

Contoh 1

Hitunglah :

a. 3

2

223

2

2 252353552 xxdxx

10104159

b.

2

1

222

1

2 112

322

2

3

2

313 xxdxx

aFbFxFdxxf b

a

b

a


278 Integral Tentu

2

171

2

326

c. 2

1

2 .1 dttt misal dt.tdutu 21 2

dutdt2

1

Jadi

cuduuduutdtt 22

2

1

2

1.

2

1

2

1.1

1

2214

1ct

menurut teorema dasar

2

1

2

11

222 14

11 ctdt.tt

1

22

1

22 114

11

4

1cct

4

9

4

911

cc

d. 8

131 ?dx.x , Misal : dxduxu 331

dudx3

1

1

33 319

2

3

2

3

1

3

131 2

1

cxcuduudx.x

menurut teorema dasar,


Integral Tentu 279

8

1

8

1

3

319

231 xdx.x

33

312419

2

9

1348125

9

2425

9

2 33

Cara lain untuk menghitung Integral Tentu yang memakai

penggantian, yaitu dengan mengubah batas – batas integrasi.

[ untuk contoh c dan a ].

Perhitungan contoh c dengan mengubah batas

2

1

21 ?dt.tt

Misal dt.tdutu 21 2

dudt.t2

1

batas – batas integrasi : jika 1t maka

0112u

jika 2t maka

3212

u


280 Integral Tentu

jadi :

2

1

3

0

3

0

2

2

1

2

11 du.udu.udt.tt

22

3

0

2 02

13

2

1

2

1

2

1

2

1u

4

9

2

9

2

1

e. 8

131 ?dx.x misal : dxduxu 331

dudx3

1

Batas – batas : jika 41311 xux

258318 xux

8

1

25

4

25

42

3

2

32

3

2

1

4259

2

3

2

3

1

3

1.

3

1..31 uduuduudxx

9

1348125

9

2

f. 2

0

32 12 ?dx.xx

Batas – batas

baru


Integral Tentu 281

dudxxdxxduxu3

131 223

batas – batas : 1100 3 ux

9122 3 ux

Jadi : 2

0

5

1

9

1

32 2

1

3

2

3

1212 duudu.udx.xx

9

1

2

3

3

2

3

2u

9

10426

9

4

139

4

199

4

2

3

2

3

2

3

2

g. 3

01 ?dx.xx

Misal : dxdu.u.xuxu 211 2

12 ux


282 Integral Tentu

batas – batas : jika 1100 uux

jika 2133 uux

3

0

2

1

22 211 du.u.uudx.xx

15

116

15

582

15

5

15

3

15

40

15

962

3

1

5

1

3

8

5

322

3

1

5

12

2

.2.1

2

1

35

2

1

24

2

1

2

uu

duuu

duuuu


Integral Tentu 283

h. 4

3?2 dxx

Ingat definisi nilai mutlak ! 2 xxf kita tulis

sebagai

2x jika 2x ;

202 xx

xf 2 x jika 2x ; 202 xx

Jadi

4

3

2

3

4

2222 dxxdxxdxx

2

37

2

36

2

1

182

32

428862

942

2222

1424

2

1323

2

1222

2

1

22

12

2

1

2222

4

2

22

3

2

xxxx


284 Integral Tentu

i.

2

0

3 ?dx.xcos.xSin

Misal dx.xCosduxSinu

Batas – batas :

Jika 000 Sinux

Jika 122 Sinux

Jadi :

2

0

1

0

1

4

433

4

1

4

1uduudx.xcos.xSin


Integral Tentu 285

j. e

1

dxxln

(metode parsial)

Misal u = lnx maka dxx

1du

dv = dx maka v = x

jadi Cxxlnxdxx

1xxlnxdxxln .

Sehingga

1)1()eelne(|xxlnxdxxlne

1

e1

Menghitung integral tentu dengan menggunakan MathCad

Contoh 2.

Hitung

3

0

2 )3( dxxx

Buka tampilan awal Mathcad


286 Integral Tentu

Kemudian tekan tombol evaluation toolbar , pilih ‘:=’ untuk

mendefenisikan fungsi,

Kemudian akan muncul,

Ketikkan pendefenisian fungsi f(x):= 3x 2 - x. Lalu enter,maka akan

muncul tanda ‘+ berwarna merah’. Tekan tombol calculus toolbar

, pilih tanda , sebagai integral tentu

Lalu akan muncul,

Langkah berikutnya ketikkan fungsi 3

0

)( dxxf , tekan tanda ’=’

pada evaluation toolbar, Maka akan diperoleh hasil akhir


Integral Tentu 287

Rangkuman

4. Jika xf kontinu pada selang bxa dan jika xF

adalah integral tak tentu dari xf , maka

5. sifat – sifat integral tentu

a. a

adxxf 0

b. b

a

a

bdxxfdxxf

c. b

a

b

adxxfkdxxkf

d. b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

e. c

a

b

c

b

adxxfdxxfdxxf ; jika a < c < b

f. Jika u

adxxfuF , maka ufuF

du

d

aFbFxFdxxf b

a

b

a


288 Integral Tentu


Penggunaan Integral 289

12.Penggunaan Integral

Overview

Pembahasan singkat tentang luas di dalam bab sebelumnya diperlukan

untuk memberikan dasar tentang defenisi integral tentu. Setelah

konsep ini benar-benar dipahami kita akan berlanjut dan

menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang

bentuknya rumit. Pola yang sama akan dapat juga menentukan

volume bunda putar yang merupakan suatu benda padat yang

diperoleh dengan cara memutar suatu daerah di bidang datar

terhadap suatu garis di bidang tersebut. Penggunaan integral tentu

untuk mengitung volume benda sangat berguna manakala bentuk

benda tersebut tidak beraturan sebagaimana benda-benda lainnya

seperti kubus, kerucut dan sebagainya yang memiliki formula khusus

untuk menghitungnya pun dapat didekati dengan teknik

pengintegralan

Tujuan


290 Penggunaan Integral

1. Mahasiswa mampu memahami penerapan integral

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan berbagai persoalan penerapan

integral

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan Luas Daerah dengan

konsep Integral

4. Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan Volume benda

dengan konsep integral

12.1 Luas daerah Bidang Rata

Pembahasan singkat tentang luas pada subbab 5.4 diperlukan untuk

memberikan dasar tentang definisi integral tentu. Setelah memahami

konsep ini, sekarang kita gunakan integral tentu untuk menghitung

luas daerah dengan bentuk yang rumit.

12.1.1 Daerah di atas sumbu X

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh grafik )(xfy , ax ,

bx , dan 0y .

a b xi

xi

f(xi)

f(x)



b

a

i

iiP

n

i

ii

nnii

ni

dxxf

xxf

xxf

xxfxxfxxfxxf

RARARARARA

)(

)(lim

)(

)(...)(...)()(

)(...)(...)()()(

10||

1

2211

21

Sehingga diperoleh bahwa luas daerah di atas sumbu X adalah

b

a

dxxfRA )()( .

Sebagaimana dapat diperlihatkan dalam ilustrasi berikut

y

x

a b

12.1.2 Daerah di bawah sumbu X

Dengan cara yang sama seperti halnya mencari luas daerah diatas

sumbu X maka untuk luas daerah di bawah sumbu X diperoleh:

y = f(x)

R



b

a

dxxfRA )()( .



Contoh 1

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 33 23 xxxy , ruas

sumbu x antara x = -1 dan x = 2, dan oleh garis x = 2.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa ada

sebagian daerah yang berada

di atas sumbu x dan ada yang

di bawah sumbu x. Sehingga

luas masing-masing bagian

harus dihitung secara terpisah.

4

23

4

74

324

324

3333)(

2

1

23

41

1

23

4

2

1

231

1

23

xx

xx

xx

xx

dxxxxdxxxxRA

1 -1 2

3

-3

3



12.1.3 Daerah di antara dua kurva

Tinjaulah kurva y =

f(x) dan kurva y =

g(x) dengan

)()( xfxg pada

selang bxa .

Dengan cara yang

sama seperti halnya

mencari luas daerah di

atas sumbu x maka

untuk luas daerah di

antara dua kurva

diperoleh:

b

a

dxxgxfRA )()()(

Contoh 2

Tentukan luas daerah antara kurva 4xy dan

22 xxy .

Penyelesaian

b a

x y = f(x)

y = g(x) f(x)-g(x)



15

7

5

1

3

11

53

2)(

1

0

532

1

0

42

xxx

dxxxxRA

12.2 Volume Benda Putar

Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas. Hal ini tidaklah

mengherankan karena integral tersebut memang diciptakan untuk

keperluan itu. Bahkan hampir setiap besaran yang dianggap sebagai

hasil pemotongan sesuatu menjadi bagian-bagian yang lebih kecil,

aproksimasikan tiap bagian, penjumlahan, dan pengambilan limit bila

tiap bagian mengecil dapat diartikan sebagai suatu integral.

12.2.1 Metode cakram

Suatu daerah rata yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidang

yang terbagi oleh sebuah garis lurus dan diputar tehadap garis

tersebut maka daerah tersebut akan membentuk suatu benda putar.

22 xxy

4xy

1

2 1



Apabila daerah R yang dibatasi kurva xfy sumbu x, garis x = a,

dan garis x = b kemudian R diputar terhadap sumbu x maka volume

benda putar yang terjadi adalah

b

a

dxxfV2

.

Contoh 3

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang

dibatasi kurva xy sumbu x dan garis x = 4 bila R diputar

terhadap sumbu x.

Penyelesaian

Maka volumenya adalah 82

4

0

4

0

4

0

2

xdxxdxxV

12.3 Metode cincin (pengembangan metode cakram)

Apabila daerah R yang dibatasi kurva xfy , xgy , sumbu x,

garis x = a, dan garis x = b dengan xfxg untuk bxa

kemudian R diputar terhadap sumbu x maka volume benda putar yang

terjadi adalah

b

a

dxxgxfV22

.

x

y

x

x

x 4

xy



Contoh 4

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang

dibatasi kurva 2xy dan xy 82 apabila R diputar terhadap

sumbu x.

Jadi volumenya adalah

5

48

5

3216

54

8

8

2

0

52

2

0

4

2

0

222

22

xx

dxxx

dxxx

dxxgxfV

b

a

12.4 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung

Contoh 5

Daerah R adalah sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva 51 xxy sumbu x, sumbu y, dan garis x =1. Tentukan

volume dari benda putar yang terjadi bila daerah R diputar

mengelilingi sumbu y.

Penyelesaian

2

4

x

x8

2x

2xy

xy 82

51 xxy

y

x x



Jadi volumenya

21

41

7

1

3

1

2

12

73222

122

1

0

7321

0

62

1

0

5

xxxdxxxx

dxxxxdxxfxV

b

a

Rangkuman



1. Luas daerah di atas sumbu X dapat diperoleh

b

a

dxxfRA )()( .

2. Luas daerah di bawah sumbu X diperoleh:

b

a

dxxfRA )()( .

3. Luas daerah di antara dua kurva diperoleh:

b

a

dxxgxfRA )()()(

4. Volume benda putar dengan menggunakan metode cakram

adalah

b

a

dxxfV2

.

5. Volume benda putar dengan menggunakan metode kulit

tabung adalah

b

a

dxxfxV 2


vi PAGE 10

Daftar Pustaka

1. Martono, K. Kalkulus Differensial. Alvagracia, Bandung. 1987

2. Purcell, E.J, Varberg D. Kalkulus dan Geometri Analistis.Jilid

1.Terjemahan I. Nyoman susila dkk, Edisi 5. Erlangga. Jakarta. 1992

2. http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/fungsi-turunan-bab-

akhir.pdf

3. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/limit_dan_fungsi_kontinu.doc

4. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/fungsi_dan_grafik_fungsi.doc

5. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/pendahuluan_kalkulus.doc

http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/fungsi-turunan-bab-akhir.pdf

http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/fungsi-turunan-bab-akhir.pdf