7/25/2019 METODE MATRIK
1/83
DIDAPAT DARI DOSEN UNIVERSITAS GUNADARMA
SULARDI., ST., MT.
METODE MATRIK
APLIKASI METODE MATRIK
UNTUK ANALISA STRUKTUR BALOK
1. PENGERTIAN UMUMMetode matrik adalah suatu pemikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang
bersamaan dengan populernya penggunaan computer otomatis untuk operasi perhitungan
aritmatika.
Hal utama dalam analisa untuk menenentukan baik itu deformasi ataupun stress pada
struktur, ialah sampai jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan
deformasi dari elemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya syarat-syarat
kompatibiliti dan kesetimbangan, ada tiga hal yang mendasari analisis ini, yaitu :
1. kesetimbangan
2. hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi
3. kompatibiliti,atau kontinuitas dari deformasi
dalam analisis matrik dikenal ada dua cara :
1. metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method )
2. metode fleksibilitas (flexibility method, atau force method)
1. 1 METODE KEKAKUAN
engan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan,
dinyatakan secara matematis :
{ } [ ]{ }DKQ = !1.1"
7/25/2019 METODE MATRIK
2/83
dimana :
{ }Q # gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat adanya lendutan.
{ }D # lendutan pada titik-titik diskrit
[ ]K # menyatakan kekakuan dari struktur
metode kekakuan ini juga disebut metode lendutan (displacement method), karena analisa
dimulai dengan $ lendutan% sehingga dengan demikian urutan kerjanya secara garis besar
adalah sebagai berikut :
1. kompabiliti& yaitu mencari hubungan antara deformasi dengan lendutan, atau
secara tegasnya mencari deformasi apa yang terjadi pada elemen-elemen
dititik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik
tersebut.
2. persamaan hubungan stress dan strain, yaitu mencari hubungan mengenai
gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pada elemen-
elemen pada struktur tersebut.
3. kesetimbangan, langkah terakhir yang menyatakan hubungan gaya luar dititik
diskrit dengan gaya-gaya dalam atau mencari berapa besar gaya luar di ujung
elemen-elemen yang tepat diimbangi oleh gaya-gaya dalam elemen titik-titik
diskrit.
Metode kekakuan ialah suatu cara untuk analisa struktur dimana dalam proses
perumusan dari analisanya diambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai besaraan $anu%
yang hendak dicari.dalam proses menganalisa akan mengenal beberapa matri' yang
penting sebagai berikut :
1. matrik deformasi [ ]A suatu matyrik yang menyatakan hubungan
kompatibiliti atau hubungan deformasi dan lendutan :
{ } [ ]{ }DAd = !1.2"
dimana :
{ }d # menyatakan deformasi dari elemen struktur
[ ]A # adalah matrik deformasi
[ ]D # menyatakan lendutan ditik diskrit
7/25/2019 METODE MATRIK
3/83
2. matrik kekokohan internen [ ]S , suatu matri' yang memenuhi hokum hooke
dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dan deformasi :
{ } [ ]{ }dS = !1.3"
dimana :
{ } # menyatakan gaya dalam elemen
[ ]S # adalah matri' kekokohan intern elemen
{ }d # menyatan deformasi elemen
3. matri' satis [ ]! , suatu matri' yang menyatakan kesetimbangan antara gaya
luar dan gaya dalam :
{ }Q # [ ]{ }! !1.("
dimana :
{ }Q # menytakan gaya luar yang bekerja dititik diskrit
[ ]! # matri' statis
{ } # gaya dalam elemen
Maka ketiga matri' di atas digabungkan, maka akan didapatkan hubungan :
{ } [ ]{ }{ } [ ][ ]{ }{ } [ ][ ] [ ]{ }( ){ } [ ][ ][ ]{ }
{ } [ ]{ }DKQDAS!Q
dAS!Q
dS!Q
!Q
=
=
=
=
=
").1!
"*.1!
"+.1!
",.1!
"-.1!
ersamaan !1.)" merupakan persamaan inti dari metode kekakuan ini, dimana [ ]K
adalah matri' kekakuan struktur, dengan pengertian :
7/25/2019 METODE MATRIK
4/83
[ ] [ ][ ][ ]AS!K = !1.1/"
0adi salah satu tujuan terminal yang penting adalah proses analisa ini ialah dapat
menurunkan matrik kekakuan struktur [ ]K menurut persamaan !1.1/". elanjutnya akan
mudah dicapai tujuan akhir, yaitu analisa lendutan dan gaya dalam elemen.
1.2 DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS
ntuk analisa ini akan dimulai dengan mengambil lendutan di titik-titik diskrit sebagai
sasaran yanmg harus dihitung.
ntuk mengetahui dimana harus $dipasang% besaran lendutan yang akan dicari tersebut,
maka harus diketahui dahulu beberapa derajat ketidak tentuan kinematis atau istilah
lainnya derajat kebebasan (de"ree of freedom)dari struktur.erajat ketidak-tentuan kinematis ialah suatu besaran yang menytakan jumlah komponen
bebas dari lendutan dititik diskrit yang mungkin terjadiyang berhubungan dengan
diberikannya suatu pembebanan pada struktur. i baah ini diberikan beberapa macam
struktur bidang yang akan ditujukkan berapa derajat ketidak-tentuan kinematisnya.
7/25/2019 METODE MATRIK
5/83
7/25/2019 METODE MATRIK
6/83
4ambar 1.1 derajat ketidak-tentuan kinematis dari struktur ditunjukkan oleh banyaknya
5ector lendutan yang mungkin terjadi di titik bebas, dimana arah 5ector pada gambar
menunjukkan arah 5ector yang positif.
7/25/2019 METODE MATRIK
7/83
1.! DASAR PER"ITUNGAN
alam pasal ini, akan dijelaskan secara mendetail urut-urutan analisa dari suatu
konstruksi bidang !dua dimensi" dengan berdasarkan pada metode kekakuan.
ekarang terlihat satu konstruksi seperti seperti ditunjukkan pada gambar 2.!a"
selanjutnya akan diikuti urutan dari proses analisa.
!a" gambar konstruksi statis tak tentu
!b" derajat ketidak-tentuan kinematis : 3
!c" diagram gaya luar eki5alen Q yang koresponding dengan lendutan
sebagai pengganti darisistem pembebanan pada gambar !a"
!d" truktur dasar yang merupakan struktur yang dikekang
7/25/2019 METODE MATRIK
8/83
!e" diberikan 1D # 1 satuan
!f" diberikan 2D #1 satuan
!g" diberikan 3D #1 satuan
!h" diagram H-d, dimana { } merupakan reaksi elemen yang dikekang
terhadap diberikannya deformasi.
!i" diagram kesetimbangan
4ambar 1. 2 6nalisa balok di atas beberapa perletakan.
7/25/2019 METODE MATRIK
9/83
7onstruksi ini ialah balok menerus di atas empat perletakan, satu jepit dan tiga sendi,
merupakan suatu konstruksi dengan derajat ketidak-tentuan kinematis sebesar 3 !gambar
2.b"
8angkah pertama ialah menyelidiki kompatibilitas dari struktur, dengan jalan
memberikan berturut-turut lendutan 1,1 21 == DD dan 13 =D !gambar 2.e, 2.f, dan 2.g".
Mudah dapat kita lihat, baha :
/1
3,
2-(
132
=
=
==
==
d
Dd
Ddd
Ddd
atau disusun secara sistematis :
3
2-
2(
13
12
1 /
Dd
Dd
Dd
Dd
Dd
d
=
=
=
=
=
=
bila dinyatakan dalam hubungan matri' :
=
3
2
1
,
-
(
3
2
1
1//
/1/
/1/
//1
//1/1/
D
D
D
d
d
d
d
d
d
!1.11"
atau
{ } [ ]{ }DAd = !1.12"
7/25/2019 METODE MATRIK
10/83
{ }
111
1//
/1/
/1/
//1
//1
///
321
-
(
3
3
2
1
===
=
DDD
d
d
d
d
d
d
A!1.13"
8angkah keduaialah menyelidiki hubungan gaya dalam dan deformasi dengan melihat
tiap-tiap elemen sebagai bagian yang diskrit, seperti pada gambar 2.h.
ari sifat elastis elemen, didapatkan hubungan :
1
12
1
112
1
12
1
111
3
1
,
1
,
1
3
1
#$
%
#$
%d
#$
%
#$
%d
+=
=
!1.1("
dimana :
1d # menyatakan deformasi yang terjadi di ujung elemen
# menyatakan gaya dalam yang ada di ujung elemen, dalam hal ini
momen lentur
sebenarnya pers.! 1.1( " ini sudah bukan hal yang asing lagi karena sudah sering dijumpai
dalam analisa struktur dengan metode perputaran sudut !sloop deflection method".
9ila pers. ! 1.1( " diin5erskan, akan didapat :
2
1
11
1
11
2(d
%
#$d
%
#$ +=
2
1
11
1
12
(2d
%
#$d
%
#$ += , !1.1"
6nalog dengan pers !!1.1", akan didapatkan :
(
2
23
2
13
2(
d%
#$
d%
#$
+= !1.1"
(
2
23
2
2(
(2d
%
#$d
%
#$ +=
,
3
3-
3
3-
2(d
%
#$d
%
#$ +=
7/25/2019 METODE MATRIK
11/83
,
3
3-
3
3,
(2d
%
#$d
%
#$ += !1.1+"
9ila hubungan ini dinyatakan dalam bentuk matri', maka :
=
,
-
(
3
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
,
-
(
3
2
1
(2////
2(
////
//(2
//
//2(
//
////(2
////2(
d
d
d
d
d
d
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
atau :
{ } [ ]{ }dS = !1.1*"
dimana matri' [ ]S merupakan band matri' :
[ ]S #
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
(2////
2(////
//(2
//
//2(
//
////(2
////
2(
%
#$
%
#$%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
,
-
(
3
2
1
,-(321dddddd
!1.1)"
7/25/2019 METODE MATRIK
12/83
0adi sebenarnya matri' [ ]S ialah suatu matri' yang menyatakan berapa besar gaya dalam
[ ] yang timbul diujung elemen bila di titik-titik tersebut diberikan satu satuan
deformasi { }d .
8angkah ketiga adalah menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam :
Melihat gambar
,3
-(2
-21
Q
Q
Q
=
+=
+=
!1.2/"
9ila dinyatakan secara matrik :
=
,
-
(
3
2
1
3
2
1
1/////
/11///
///11/
Q
Q
Q
!1.21"
atau :
{ } [ ]{ }!Q = !1.22"
dimana :
[ ] =!
-(321
3
2
1
1/////
/11///
///11/
Q
Q
Q
!1.23"
atu hubungan terminal, adalah mendapatkan hubungan :
{ } [ ]{ }DKQ = !1.2("
dimana menurut persamaan !1.1/" dapat dinyatakan :
[ ] [ ][ ]{ }AS!K = !1.2"
untuk mendapatkan lendutan, maka persamaan ! 1.2( " dapat diin5erskan sebagai :
{ } [ ] { }QKD 1= !1.2"
dimana :
7/25/2019 METODE MATRIK
13/83
{ }Q # menyatakan gaya-gaya luar yang bekerja di titik-titik diskrit.
{ }=D menyatakan lendutan di titik bersangkutan yang berkoresponding dengan
gaya { }Q .
ari persamaan ! 1.13" dan ! 1.23", ternyata didapatkan :
[ ] [ ]&A! = !1.2"
persamaan ! 1.2"" ini dapat dibuktikan dengan prinsip kerja 5irtual.
a. gaya luar 5irtual
b. lendutan aktuil
4amabar 1.3 konstruksi balok menerus pada mana dikerjakan gaya 5irtual.
Misalnya pada konstruksi yang sedang dibahas tersebut dikerjakan gaya 5irtual Q
gambar !1.3a " sehingga timbul gaya dalam pada elemennya, maka dari prinsip kerja
5irtuil akan didapatkan hubungan !yang dinyatakan dalam perkalian matri'".
{ } { } { } { }dDQ && = !1.2+"
dengan melihat :
7/25/2019 METODE MATRIK
14/83
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ }
{ } { } [ ]&&& !Q
!Q
DAd
=
=
=
"3/.1!
"2).1!"2*.1!
maka persamaan ! " bisa ditulis &
{ } [ ] { } { } [ ]{ }DAD! &&& = !1.31"
9ila disederhanakan, akan memberikan :
[ ] [ ]
[ ] [ ]&
&
A!
A!
=
=
"33.1!
"32.1!
engan demikian persamaan ! 1.33", bisa ditulis :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &= !1.3("
engan demikian persamaan ! 1.1/" telah dipermudahkan, yaitu untuk menurunkan
matri' kekakuan [ ]K , cukup hanya menurunkan dua matrik penbentuknya, yaitu matri'
deformasi [ ]A dan matri' kekokohan intern elemen [ ]S .
ntuk menghitung gaya dalam digunakan hubungan :
[ ] [ ]{ }dS = !1.3"
atau { } [ ][ ]{ }DAS = !1.3"
dimana :
{ }D # matrik lendutan dititik diskrit yang diperoleh perhitungan
berdasarkan persamaan ! 1.2".
!.# APLIKASI
!.#.1 KONSTRUKSI BALOK MENERUS
selanjutnya akan diberikan beberapa contoh pemakaian metode kekakuan ini pada analisa
struktur.
7/25/2019 METODE MATRIK
15/83
ontoh 3.1
ibaah ini akan dibahas secara singkat analisa dengan metode kekakuan dengan derajat
ketidak-tentuan kinematik tingkat 1.
!a" konstruksi yang akan dianalisa
!b" konstruksi dasar yang dikekang
!c" mopmen primer (fixed'end moment)
Momen primer :m("))
m("))
*!!*
!AA!
.32//(.//.12
1
.-///.//.12
1
2
2
===
===
!d" derajat ketidak-pastian kinematis : 1
// kg;m6
9
7/25/2019 METODE MATRIK
16/83
!e" gaya luar eki5alen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan 1D .
".!32//-///1 m("Q =
!f" diberikan 11 =D satuan
!g" diagram H - d
!h" diagram kesetimbangan
4ambar 1.( balok diatas tiga tumpuan
7/25/2019 METODE MATRIK
17/83
Melihat gambar 1.( !f", dengan mudah akan didapatkan :
[ ]
1
1
(
3
2
1
/
1
1
/
=
=
D
d
d
d
d
A
gari gambar 1.( !g" :
[ ]
(321
*
(
*
2//
*
2
*
(//
//1/
(
1/
2
//1/
2
1/
(
dddd
#$#$
#$#$
#$#$
#$#$
S
=
7/25/2019 METODE MATRIK
18/83
[ ]
=
-./2-.///
2-./-.///
//(./2./
//2./(./
S
dari persamaan !1.3(" :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
# { }/11/
-./2-.///
2-./-.///
//(./2./
//2./(./
#$
/
1
1
/
# { }2-./-./(./2./ #$
/
1
1
/
[ ] [ ]
[ ]
=
=
#$K
#$K
)./
1
)./
1
engan mengubah gaya < menjadi gaya titik eki5alen di ujung elemen !gambar 1.(.c dan
e" dan dengan melihat persamaan !1.2" :
{ } [ ] { }
[ ] { }
#$D
#$D
QKD
2///
1*//)./
1
1
1
1
=
=
=
dari persamaan !1.3" :
{ } [ ][ ]{ }DAS =
{ }
=
-./2-.///2-./-.///
//(./2./
//2./(./
#$
#$ 2///.
/1
1
/
# 2///.
2-./
-./
(./
2./
7/25/2019 METODE MATRIK
19/83
=
-//
1///
*//
(//
(
3
2
1
m("
m("
m("
m("
.-//
.1///
.*//
.(//
(
3
2
1
=
=
=
=
4ambar 1. istribusi gaya dalam
hasil yang ditunjukkan oleh gambar 1. ialah menytakan besarnya momen lentur !dalam
hal ini sebagai momen batang, bukan sebagai momen titik" yang didistribusikan ke
batang elemen 69 dan 9 sesuai dengan kekakuan masing-masing . jadi gaya dalam
{ } yang didapat dari hasil perhitungan ini bukan merupakan memen lentur yang
sebenarnya bekerja.
Momen lentur yang sebenarnya bekerja bisa diperoleh dengan mengurangi gaya dalam
{ } dengan momen primer elemen struktur.
m(")
m(")
m(")
m(")
*
!*
!A
A
.2+//"32//!-//
.(2//"32//!1///
.(2//"-///!*//
.-(//"-///!(//
=++=
+=+=
=++=
+=+=
enting untuk dicatat pula di sini, baha hasil momen akhir ini juga menyatakan momen
batang bukan momen titik.
ontoh 1.2
7/25/2019 METODE MATRIK
20/83
ebagai contoh kedua akan dibahas suatau konstruksi kinematis tertentu seperti pada
gambar 1. !a".
!a" konstruksi yang akan dianalisa dengan beban Q
!b" struktur dasar yang dikekang
!c" derajat ketidak-tentuan kinematis : 2
!d" diberikan 1D # 1 satuan
!e" diberikan 2D # 1 satuan
7/25/2019 METODE MATRIK
21/83
!f" diagram H-d
!g" diagram kesetimbangan
4ambar 1. balok di atas 2 tumpuan
8angkah pertama yang dilakukan ialah menganggap konstruksi ini terdiri atas dua elemen
diskrit. 6 dan 9 ! gambar 3. b". titik segai titik diskrit mempunyai dua derajat
kebebasan, yaitu translasi dan rotasi.
Melihat gambar 3., akan didapat hubungan-hubungan sebagai berikut :
7/25/2019 METODE MATRIK
22/83
[ ]
12
1
(
3
2
1
/(
1
1(
1
1
,
1
/,
1
==
=
DD
d
d
d
d
A
=
,
-
(
3
2
1
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
,
-
(
3
2
1
(2////
2(////
//(2//
//2(
//
////(2
////2(
d
d
d
d
d
d
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%#$
%#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
%
#$
7/25/2019 METODE MATRIK
23/83
[ ]
=
(
(
(
2//
(
2
(
(//
//,
(
,
2
//,
2
,
(
#$S { } [ ]{ }dS =
(321
(
3
2
1
12
1//
2
11//
//
3
2
3
1
//3
1
3
2
= #$
selanjutnya dihitung matri' kekakuan [ ]K :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
24/83
#
12
1//
2
11//
//3
2
3
1
//3
1
3
2
/11/
(
1
(
1
,
1
,
1
/(
1
1(
1
1,
1
/,
1
=>
# #$
/(
1
1(
1
1,
1
/,
1
2
11
3
2
3
1*
3
*
3
,
1
,
1
[ ] #$K
=
+.12/*3./
2/*3./2(3/./
[ ]
=
2(3/./2/*3./
2/*3./+.1
31+./
11
#$K
=
#$
#$
D
D
*).-+-
*-.(,/+
2
1
selanjutnya akan bisa dihitung gaya dalam :
{ } [ ][ ]{ }DAS =
# =>
12
1//
211//
//3
2
3
1
//3
1
3
2
/(
1
1(1
1,
1
/,
1
#$
#$
*).-+-
*-.(,/+
7/25/2019 METODE MATRIK
25/83
# =>
2
1
*
3
1*
33
2
,
13
1
,
1
#$
#$*).-+-
*-.(,/+
=
1((/
11-2
11-2
),/
(
3
2
1
4ambar 1.+ istribusi gaya dalam
Maka didapatkan hasil analisa &
m("))
m(")m(")
*!*A
!
A
.11-2
.1((/.)/
==
==
9ila dibandingka hasil ini dengan rumus yang sudah diketahui :
m(")
m(")
!
A
.1((/1/
(.,.1///
.),/1/
(.,.1///
2
2
2
2
==
==
?ernyata hasilnya sama
ontoh 1.3
ada contoh soal selanjutnya ini, akan diperlihatkan bagaimana proses analisa bila
konstruksi pada contoh 1.2 dikombinasikan dengan suatu perletakan elastis di titik .
7/25/2019 METODE MATRIK
26/83
!a" konstruksi yang akan dianalisa, dengan satu perletakan elastis dimana k # /. =>
!b" derajat ketidak-tentuan kinematsi : 2
7/25/2019 METODE MATRIK
27/83
!c" deberikan 1D # 1 satuan
!d" gaya eki5alen dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan 1D
!e" penyederhanaan dari gambar !d"
4ambar 1.* konstruksi balok menerus di atas perletakan elastis.
7/25/2019 METODE MATRIK
28/83
ersoalan pada contoh ini sebenarnya sama dengan contoh 1.2, karena memunyai elemen
batang yang sama dengan derajat kebebasan yang sama pula . maka proses analisa tidal
akan mendetail dibahas lagi disini, dan langsung akan matrik kekakuan :
[ ] #$K
= +.12/*3./
2/*3./2(3/./
[ ]
=
2(3/./2/*3./
2/*3./+.1
31+./
11
#$K
roses selanjutnya akan terlihat adanya perbedaan dengan analisa contoh soal yang lalu,
yaitu dalam menetapklan 5ector gaya yang bekerja, yang disamping ditentukan oleh gaya
luar yang dikethui ,1///("Q= juga dipengaruhi oleh gaya pegas 1(D .
{ } [ ] { }QKD 1=
=
2
1
D
D
2(3/./2/*3./
2/*3./+.1
31+./
1
#$
/
"1///! 1(D
=1
D#$31+./
1"1///!+.1. 1(D
11
11
3/(.2(/*
"-./1///!31+./
+.1
D#$
D
#$D#$
D
=
=
#$D
#$D
+.13)(
(/*3/(.3
1
1
=
=
""+.13)(
-./1///!2/*3./!31+./
12
#$#$
#$D +=
#$D
3.1+(2 =
berdasarkan hasil lendutan 1D dan 2D yang didapat, bisa dihitung gaya dalam yang
timbul pada elemen struktur.
7/25/2019 METODE MATRIK
29/83
{ } #=>
2
1
*
3
1*
33
2
,
13
1
,
1
#$
#$3.1+(
+.13)(
=
).(3-
+.3*(
+.3(*
-.2)/
(
3
2
1
engan demikian didapatkan hasil analisa :
m(")
m(")
m(")
m(")
!
*!
*A
A
.).(3-
.+.3(*
.+.3(*
.-.2)/
=
=
=
=
1.! KONSTRUKSI PORTAL BIDANG TANPA PENGGO$ANGAN PADA MANA
DI%ORMASI AKSIAL DIABAIKAN
alam hal ini akan dibahas analisa dari konstruksi portal bidang. iketahui dua
macam konstruksi portal bidang , yaitu portal tanpa penggoyangan dan portal dengan
penggoyangan, seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2.
alam pasal ini akan dicoba dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan,
dimana deformasi aksial dari elemen-elemennya diabaikan.
!a" ortal tanpa penggoyangan.
7/25/2019 METODE MATRIK
30/83
!b" portal menerus tanpa pergoyangan
!c" portal dengan penggoyangan
4ambar 1.2 konstruksi portal dengan titik hubung kaku
ontoh 1.1
alam pasal ini akan dibahas analisa portal bidang tanpa pergoyangan, dimana deformasi
aksial dari elemen-elemennmya diabaikan.
7/25/2019 METODE MATRIK
31/83
!a" portal bidang yang akan dianalisa, dengan bentuk konstruksi dan system pembebanan
yang simetris
! b" struiktur dasar yang dikekang
Momen primer :
m(")A! .2**-
2.3.,//2
2
==
=!A) m(".(32-
2.3.//2
2
+=
7/25/2019 METODE MATRIK
32/83
m("))*!!* .,2--.3//.
12
1 2 ===
m(")) !A*D .(32==
m("))A!*D
.2**+==
!c" Momen primer
!d" derajat ketidak-pastian kinematis : 2
7/25/2019 METODE MATRIK
33/83
!e" gaya eki5alen dititik yang koresponding dengan lendutan
m("Q
m("Q
.1)3(322-
.1)32-(32
2
1
==
==
!f" diberikan #1 satuan
7/25/2019 METODE MATRIK
34/83
!g" diberikan 2D # 1 satuan
!h" iagram H-d
!i " diagram kesetimbangan
4ambar 1.3 ortal simetris
7/25/2019 METODE MATRIK
35/83
engan memperhatikan gambar 1.3 akan didapatkan :
[ ]
11
//
1/
1/
/1
/1
//
21
,
-
(
3
2
1
=
=
=
DD
d
d
d
d
d
d
A
[ ]
=
-
(
-
2////
-
2
-
(////
//-
"2!(
-
"2!2//
//-
"2!2
-
"2!(//
////-
(
-
2
////-
2
-
(
#$S
#-
2#$
-
(
3
2
1
21////
12////
//(2//
//2(//
////21
////12
-(321
engan demikian :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
36/83
#
/11///
///11/
-
2#$
21////
12////
//(2//
//2(//
////21
////12
//
1/
1/
/1
/1
//
#-
2#$
12(2//
//2(21
//
1/
1/
/1
/1
//
[ ]K #-
2#$
2
2
engan mengubah gaya-gaya luar menjadi gaya eki5alen terpusat di ujung
elemen atau di titik-titik diskrit ! 1. 3.c dan e ", dan dengan melihat persamaan :
{ } [ ] { }QKD 1=
(3,
1.
2
-
2
1
=
#$D
D
1)3
1)3
2
2
#
1-((
1-((
(
-
#$
2
1
D
D#
#$
#$
*
),-*
),-
0adi putaran sudut dititik 9 dan ialah sebesar :
#$DD
*
),-21
==
ari persamaan ! 1.3"
{ } [ ][ ]{ }DAS =
7/25/2019 METODE MATRIK
37/83
##$2
-
21////
12////
//(2//
//2(//
////21
////12
//
1/
1/
/1
/1
//
+
#$
#$
*
),-*
),-
#
(
1)3(
1)3
1/
2/
(2
2(
/2
/1
,
-
(
3
2
1
#
2-.(*
-.)
-.)
-.)
-.)
2-.(*
Melihat momen primernya pada gambar !1.3.c", maka akan didapat :
m(")
m(")
m(")m(")
m(")
m(")
D
*D
*!
!*
!A
A!
.+-.23)"2**!2-.(*
.-/.-2*"(32!-/.)
.-/.-2*"2-!-/.)
.-/.-2*"2-!-/.)
.-/.-2*"(32!-/.)
.+-.23)"2**!2-.(*
=++=
+=+=
=++=+==
=+=
+==
ontoh 1.2 :
Momer .primer
7/25/2019 METODE MATRIK
38/83
ekarang akan dibahas analisa portal pada gambar !1.(" di baah ini :
!a" ortal yang dianalisa
!b" truktur dasar yang dikekang
Momen primer :m(")
#D
.*//2.(// ==
m(")) +##+ .12-/-.*//.12
1 2 ===
m(")) *++* .12-/-.//.12
1 2 ===
7/25/2019 METODE MATRIK
39/83
m(")) !++! .-//(.1///.*
1 ===
!c" Momen primer
!d" erajat ketidak-tentuan kinematsi : 2 !deformasi aksial diabaikan"
7/25/2019 METODE MATRIK
40/83
!e" 4aya eki5alen @ dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan
!f" iberikan 1D # 1 satuan
!g" iberikan 2D # 1 satuan
7/25/2019 METODE MATRIK
41/83
!h" iagram H-d
4ambar 1.( ortal menerus tanpa penggoyangan
imulai dengan menghitung matrik [ ]A dan [ ]S
[ ]
11
//
1/
//
1/
1/
/1
/1
//
21
*
+
,
-
(
3
2
1
=
=
=
DD
d
d
d
d
d
d
d
d
A
7/25/2019 METODE MATRIK
42/83
[ ]
=
-
"2!(
-
"2!2//////
-
"2!2
-
"2!(//////
//((
(2////
//(
2
(
(////
////-
"2!(
-
"2!2//
////-
"2!2
-
"2!(//
//////-
(
-
2
//////-
2
-
(
#$S
#
*
+
-(
3
2
1
1**//////
*1//////
//-1/////
//-1/////////*1//
////*1//
//////*(
//////(*
1/
#$
Matrik kekakuan struktur dapat dihitung berdasarkan persamaan :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
43/83
#
/1/11///
/////11/
1/
#$
1**//////
*1//////
//-1/////
//-1/////
////*1//
////*1//
//////*(
//////(*
//
1/
//
1/
1/
/1
/1
//
#
*1-1/1*//
////*1*(
1/
#$
//
1/
//
1/
1/
/1
/1
//
[ ] =K1/
#$
(2*
*2(
=1K1/
#$
)((
1x
2(*
*(2
#
12((21
23-#$
=
2
1
D
D
12(
(21
23
-
#$
-//
(-/
7/25/2019 METODE MATRIK
44/83
=
2
1
D
D
#$23
-
(2//
+(-/
#$D
#$D
2321///
23
3+2-/
2
1
=
=
{ } [ ][ ]{ }DAS =
#1/
#$
1**//////
*1//////
//-1/////
//-1/////
////*1//
////*1//
//////*(
//////(*
//
1/
//
1/
1/
/1
/1
//
#$
#$
23,
21///23,
3+2-/
#
*/1/
-/
1//
1*
*1
/*
/(
23,
21///23,
3+2-/
{ }
=
1).+1
3*.1(2
().((
)*.**
(.2*
+3.323
2+.12
1(.3
engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur maka akan didapat :
m(")A
.1(.3/1(.3 ==
m(")#A .2+.12/2+.12 ==
m(")#D .*//"*//!/ =+=
7/25/2019 METODE MATRIK
45/83
m(")#+ ..2+.)2,"12-/!+3.323 ==
m(")+# .,(.1-1*"12-/!,(.2,* =+=
m(")+! ./2.(11"-//!)*.** ==
m(")+* .2.11/+"12-/!3*.1(2 ==m(")! .().-(("-//!().(( =+=
m(")* .1).1321"12-/!1).+1 =+=
ekarang ditinjau apakah kesetimbangan dititik-titik pertemuhan terpenuhi :
#+#D#A# )))) ++=
# -12.2+-*//A)2.2+
# / !terpenuhi"
+*+!+## )))) ++=
# -11*.( A (11./2 A 11/+.2
# / !terpenuhi"
KONSTRUKSI PORTAL BIDANG DENGAN PERGO$ANGAN DIMANA
DE%ORMASI AKSIAL DIABAIKAN
etelah pada pasal yang lalu dibahas analisa portal tanpa penggoyangan, sekarang akan
dicoba menganalisa kostruksi portal dengan pergoyangan, dimana deformasi aksial masih
diabaikan.
ontoh 1 :
i baah ini diberikan satu contoh analisa portal sederhana dengan penggoyangan
kesamping. engan memperhatikan gambar ! ", selanjutnya diturunkan [ ]A dan [ ]S
7/25/2019 METODE MATRIK
46/83
7/25/2019 METODE MATRIK
47/83
7/25/2019 METODE MATRIK
48/83
7/25/2019 METODE MATRIK
49/83
[ ]
321
,
-
(
3
2
1
//(
1
1/(
1
1//
/1/
/1(
1
//(
1
DDD
d
d
d
d
d
d
A
=
[ ]
=
(
(
(
2////
(
2
(
(////
//(
"2!(
(
"2!2//
//(
"2!2
(
"2!(//
////((
(2
////(
2
(
(
#$S
7/25/2019 METODE MATRIK
50/83
7/25/2019 METODE MATRIK
51/83
#*
#$
2(*3
*2(3
333
[ ]
=
31-(*1-3(*
(*(*-12
12(*
1
.
*1
#$K
[ ]
=
31-(*
1-3(*
(*(*-12
1-
11
#$K
etelah [ ]K dan [ ] 1K dihitung, maka besar lendutan dan gaya-gaya dalam akan dapat
dengan mudah ditentukan.
{ }D [ ] { }QK 1=
=
3
2
1
D
D
D
31-(*
1-3(*
(*(*-12
1-
1
#$
-//
-//
1///
=
3
2
1
D
D
D
#$1-
1
)///
*+///
-12///
#$D ;/-.32*21=
#$D ;,).--+2 =
#$D ;).-+3 =
{ }2
#$ =
21////
12////
//(2//
//2(//
////21
////12
//(
1
1/(
11//
/1/
/1(
1
//(
1
#$
#$
#$
;).-+
;).--+
;/-.32*2
7/25/2019 METODE MATRIK
52/83
# 2
1
1/(
1
2/(
1(2/
2(/
/2(
3
/1(
3
).-+).--+
/-.32*2
{ }
-
(
3
2
1
)2.12/1
/+.11+3
/+.+3
/+.11+3
/+.+3
)2.)-1
=
engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur, maka akan didapat :
m(")A
.)2.)-1/)2.)-1 ==
m(")*A ./+.+3//+.+3 ==
m(")*D ./+.+3"-//!/+.11+3 ==
m(")D* ./+.11+3"-//!/+.+3 =+=
m(")D! ./+.11+3//+.11+3 ==
m(")! .)2.12/1/)2.12/1 ==
ontoh 2
ibaah ini akan dicoba menganalisa satu portal sederhana dengan pergoyangan satu
arah yaitu mendataryang dikombinasikan dengan pegas, dengan kontanta pegas k. 9eban-
beban dan ukuran konstruksi diambil sama dengan contoh : 1.
7/25/2019 METODE MATRIK
53/83
7/25/2019 METODE MATRIK
54/83
ersoalan kekakuan struktur pada contoh soal ini adalah sama dengan contoh 1, jadi
proses menghitung kekakuan [ ]K adalah sama dengan contoh tersebut.
[ ] =K #*
#$
2(*3
*2(3
333
[ ]
=
31-(*
1-3(*
(*(*-12
1-11#$
K
{ }D [ ] { }QK 1=
7/25/2019 METODE MATRIK
55/83
=
3
2
1
D
D
D
31-(*
1-3(*
(*(*-12
1-
1
#$
-//
-//
.1/// 1D(
{ }D [ ] { }QK 1=
=
3
2
1
D
D
D
+
+
1
1
1
.(*)///
(*3+///
.-12-12///
1-,
1
D(
(D
D(
#$
".-12-12///!1-
111 D(
#$D =
untuk #$((
1=
11 /*2/-;/-.32*2 D#$D =
#$D ;/-.32*2*2/-.11=
#$D ;*2.1*/21= ("(D +/.(-/1=
2D # ";*2.1*/2.
(
1.(**+///!
1-
1#$#$
#$+
#$D ;/1.(1)2 =
";*2.1*/2.(
1.(*)///!
1-
13
#$#$#$
D +=
#$D ;)*.*/3=
{ } [ ][ ]{ }DAS =
#
#$
#$
#$#$
;)*,.*/
;/1.(1)
;*2.1*/2
1/(
3
2/(
3(2/
2(/
/2(
3
/1(
3
2
7/25/2019 METODE MATRIK
56/83
{ }
=
--.+1
/(.+-+
/(.2-+
/(.+-+
/(.2-+
--.(
engan memperhatikan momen primer dari elemen-elemen struktur , maka akan
didapatkan :
m(")A .--.(=
m(")*A ./(.2-+=
m(")*D ./(.2-+"-//!/(.+-+ ==
m(")D* ./(.+-+"-//!/(.2-+ =+=
m(")D! ./(.+-+=
m(")! .--.+1=
ontoh 3
4ambar 3.1( menunjukkan satu portal yang dapat bergoyang pada arah mendatar, dimana
satu kakinya 9 miring, dengan sudut kemiringan .
engan memperhatikan gambar 3,1( dan memperhatikan baha deformasi aksial
akibat diberikannya lendutan 2D dan 3D adalah sama dengan contoh-contoh yang lalu,
maka akan dapat menurunkan matrik [ ]A dan matrik [ ]S .
7/25/2019 METODE MATRIK
57/83
7/25/2019 METODE MATRIK
58/83
7/25/2019 METODE MATRIK
59/83
7/25/2019 METODE MATRIK
60/83
[ ]
21
/
"-"!3!
-
/"-"!3!
-
/"("!3!
(
1"("!3!
(
1(
1
/(1
DD
A
=
7/25/2019 METODE MATRIK
61/83
#
//3
1
1/3
1
1/3
1
/13
1
/1(
1
//(
1
[ ]
=
-
(
-
2////
-
2
-
(////
//(
"2!(
(
"2!2//
//(
"2!2
(
"2!(//
////(
(
(
2
////
(
2
(
(
#$S
#1/
#$
-(321
-
(
3
2
1
*(////
(*////
//2/1///
//1/2///
////1/-
////-1/
elanjutnya :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
62/83
7/25/2019 METODE MATRIK
63/83
[ ]
=
1*.2)+-*.+(-.11+
-*.+(*2.2++11-
-.11+11-+(/
1+.*+/
1.
1/1
#$K
#
(33./1/)./1+1./1/)./(/(./1+./
1+1./1+.///+.11
#$
{ } [ ] { }QKD 1=
=
3
2
1
D
D
D
(33./1/)./1+1./
1/)./(/(./1+./
1+1./1+.///+.11
#$
-//
1//
3(.333
=
3
2
1
D
D
D
#$
#$
#$
;1-2.2*(
;)21.3*
;*23.(2+
{ } [ ][ ]{ }DAS =
#
//3
1
1/3
1
1/31
/13
1
/1(
1
//(
1
*(////
(*//////2/1///
//1/2///
////1/-
////-1/
1/
#$
#$
#$
#$
;1-2.2*(
;)21.3*
;*23.(2+
#
(/(
*/(
2/1/1/
1/2/1/
/1/(
1-
/-(
1-
1/#$
#$
#$
#$
;1-2.2*(
;)21.3*
;*23.(2+
7/25/2019 METODE MATRIK
64/83
{ }
=
+)/.2*(
(-1.3)*
-,/.1/1
-1(.122
-13.121
)+3.1(/
Momen akhir :
7/25/2019 METODE MATRIK
65/83
primer
)omen
m("
m("
m("
m("
m("m("
m("
)
)
)
)
))
)
!
D!
D*
*D
*#
*A
A
=
=
=
=
==
=
+
=
=
=
=
==
=
.+)/.2*(
.((/.3*)
.((/.3*)
.(*+.2+*
.(//.-13.121
.)+3.1(/
"-//!
"-//!
"(//!
+)/.2*(
(-1.3)*
-,/.1/1
-1(.221
-13.121
)+3.1(/
!. KONSTRUKSI RANGKA BATANG DENGAN TITIK "UBUNG ENGSEL
ada pasal-pasal yang lalu, telah dibahas analisa struktur dengan sambungan kaku
dimana deformasi normal masih diabaikan.ekarang akan dapat dianalisa konstruksi rangka batang yang justru dianggap
hanya mengalami deformasi normal !aksial" saja.
ebenarnya proses analisanya adalah sama dengan yang tealah dilakuakan pada
pasal-pasal yang lalu, hanya berbeda pada cara memberikan 5ector lendutan, dimana
hanya ada 5ector lendutan translasi saja, dan matrik yang meyatakan hubungan gaya
7/25/2019 METODE MATRIK
66/83
dalam dan deformasi, baik gaya dalam maupun deformasi yang timbul hanyalah bersifat
aksial saja. ontoh terliha di baah ini.
7/25/2019 METODE MATRIK
67/83
7/25/2019 METODE MATRIK
68/83
4amnbar 3.1 7onstruksi Bangka 9atang
Memperhatikan gambar 3.1, akan dengan mudah dapat ditentukan matrik [ ]A , yaitu
matrik yang menyatakan hubungan deformasi dan lendutan.
ari gambar 3.1 e, untuk 11=D
/
/
1
/
/
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
d
d
d
d
d
ari gambar (.1.f, untuk 12 =D
/
/
/
1
/
-
(
3
2
1
=
=
==
=
d
d
d
d
d
ari gambar (.1.g, untuk 13 =D
-
3.1
-3.1
1
/
-
(
3
2
1
==
==
=
=
=
Sind
Sind
d
d
d
ari gambar (.1.h, untuk 1( =D
7/25/2019 METODE MATRIK
69/83
-
(.1
-
(.1
/
/
/
-
(
3
2
1
==
==
=
=
=
*osd
*osd
d
d
d
0adi matrik [ ]A :
[ ]
1111
-
(
-
3//
-
(
-
3//
/1/1//1/
////
(321
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
DDDD
d
d
d
d
d
A
7/25/2019 METODE MATRIK
70/83
esuai dengan apa yang telah disinggung di bagian depan pada pasal ini, maka elemen-
elemen pada konstruksi rangka batang ini hanya menderita deformasi aksial saja, yanmg
dengan demikian hanya menimbulkan gaya dalam normal saja. 7arena disini membahas
konstruksi yang elastis, maka hokum Hooke akan berlaku karenanya.
4ambar 3.1 9atang yang menderita gaya normal H dan mengalami deformasi aksial d
Melihat 4ambar 3.1,
A#
%d=
engan demikian :
d%
A#=
dimana%
A#menyatakan kekakuan aksial dari batang pada gambar.
engan melihat persamaan ! ", maka jelas dapat diketahui baha matrik [ ]S , akan
terdirin dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :
7/25/2019 METODE MATRIK
71/83
[ ]
111
///
///
//
//
//
321
(
3
33
2
22
1
11
=
=
=
=
ddd
%
A
%
#A
%
#A
%
#A
S
engan demikian sekaran sudah dapat dihitung matrik kekakuan [ ]K , yaitu:
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
72/83
( )
=
-
(
-
3//
-
(
-
3//
///1
//1/
//1/
-
2////
/-
2///
//3
2//
///
2
1/
////2
1
-
(
-
(///
-
3
-
31//
///11
//1//
A#
=
2-
*
2-
*///
2-
,
2-
,
3
2//
///21
21
//3
2//
A#
[ ]
=
12-
,(///
/3+-
3-*/
3
2//1/
/3
2/
3
2
A#K
[ ]
=
,(
12-///
/
3,
12-/
3,
12-//1/
/3,
12-/
3,
1+)
11
A#K
untuk menghitung lendutan dipakai persamaan :
{ } [ ] { }QKD 1=
7/25/2019 METODE MATRIK
73/83
[ ]
=
(
3
2
1
1
(
3
2
1
Q
Q
Q
Q
K
D
D
D
D
=
2///
/
/
1///
,(
12-///
/3,
12-/
3,
12-//1/
/3,
12-/
3,
1+)
1
(
3
2
1
A#
D
D
D
D
=
2-.3)/,
22.3(+2
/
22.()+2
1
(
3
2
1
A#
D
D
D
D
elanjutnya
[ ] [ ][ ]{ }DAS =
=
,+.(1,
33.2/*3
1///
/
/
-
(
3
2
1
0adi gaya batang nomor :
=
2-.3)/,
22.3(+2
/
22.()+2
2-
*
2-
,//
2-*
2-,//
/3
2/
3
2
//2
1/
//2
1/
-
(
3
2
1
7/25/2019 METODE MATRIK
74/83
("
("
("
+.(1:(
33.2/*3:(
1///:3
/:2
/:1
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
&onto' !.1(
7/25/2019 METODE MATRIK
75/83
7/25/2019 METODE MATRIK
76/83
7/25/2019 METODE MATRIK
77/83
Memperhatikan gambar di atas, akan didapat matrik matrik deformasi[ ]A
4ambar d, untuk 11 =D
1
*./
/
/
*./
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
d
d
d
d
d
4ambar e, untuk 12 =D
/
./
/
/
./
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
d
d
d
d
d
7/25/2019 METODE MATRIK
78/83
4ambar f, untuk 13 =D
1
/
3*-./
3*-./
/
-
(
3
2
1
==
=
=
=
d
d
d
d
d
4ambar g, untuk 1( =D
/
/
)23./
)23./
/
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
d
d
d
d
d
4ambar h, untuk 1- =D
/
./
/23./
/
/
-
(
3
2
1
=
=
=
=
=
d
d
d
d
d
0adi atrik [ ]A :
[ ]
=
//1/1
.///./*./
)23./)23./3*-.///
/)23./3*-.///
///./*./
A
Matrik [ ]S terdiri dari elemen-elemen kekakuan aksial, yaitu :
7/25/2019 METODE MATRIK
79/83
[ ]
=
-
--
(
((
3
33
2
22
1
11
////
////
////
////
////
%
#A
%
#A
%
#A
%
#A
%
#A
S
[ ]
=
--/.,
--////
////
//,-/.(
,-//
///,-/.(
,-/
////1///.2
2-
#
#
#
#
S
[ ]
=
33.33////
/2-///
//-///
///-//
////2-
2///
#$S
Matrik kekakuan [ ]K :
[ ] [ ] [ ][ ]ASAK &=
7/25/2019 METODE MATRIK
80/83
=
/./)23.///
//)23./)23.//
1/3*-./3*-././
/.///./
1*.///*./
2///
33.33////
/2-///
//-///
///-//
////2-
#$
//1/1
.///./*./
)23./)23./3*-.///
/)23./3*-.///
///./*./
[ ]
=
.-2/.(2++.++)12
/.(21).*-///
++.++/1-.(*/33.33
)//1*/
12/33.33/33.-
2///
#K
[ ]
=
2.3+*(.1*)(.2)/(.1*).21+
2.11*2.1(-.)(*.1/*
2.2*+2.1(-*.1))
*.2/-*.1/*
.1+2
11symetris
#K j
8endutan yang terjadi :
{ } [ ] { }QKD 1=
{ } [ ]
=
/
/
/
/
1///
1KD
{ }
+
+
+
=
.21+
*.1/*
*.1))
*.1/*
.1+2
1////
#D
7/25/2019 METODE MATRIK
81/83
elanjutnya :
{ } [ ][ ]{ }DAS =
#
# 1////
.21+
*.1/**.1))
*.1/*
.1+2
//33.33/33.33
1-//1-2/1-.(1-.(2-.1)//
/1-.(2-.1)//
///1-2/
2///
=
{ }
-
(
3
2
1
(-33
)1//
*.-*+(
*.-*+(
1)//
=
0adi dapat gaya-gaya &
"!
"!
"!
"!
"!
(-33
)1//
*.-*+(
*.-*+(
)1///
-
(
3
2
1
tari(
te(an
tari(
tari(
te(an
("
("
("
("
("
=
=
=
=
=
SOAL UJIAN TENGA" ) AK"IR SEMESTER
Mata 7uliah : Methode Matrik ?anggal :Cakultas : C? Daktu : 1*/ menit
0enjang; jurusan : 1; ?eknik ipil osen : ulardi, ?, M?
?ingkat ; 7elas : 3 ?6 /1 ifat jian : 9uka 9ukuemester ; ?ahun : E> ; 2//*;2//) 0mlh oal : 1 soal
7/25/2019 METODE MATRIK
82/83
Soa* +
iketahui portal bidang tanpa pergoyangan kesamping pada gambar di atas, dimana
deformasi aksial diabaikan dari elemen-elemennya.
Petan-aan +
Hitung momen akhir dari masing-masing elemen, dengan methode matrik
7/25/2019 METODE MATRIK
83/83
Soa* +2
iketahui portal bidang dengan pergoyangan kesamping pada gambar di atas, dimana
deformasi aksial diabaikan dari elemen-elemennya.
Petan-aan +
Hitung momen akhir dari masing-masing elemen, dengan methode matrik
Top Related