Download - Met num s1

Metode Numerik

Metode Numerik 2

Apa yang akan dibahas

1. Pendahuluan dan motivasi

2. Analisis Kesalahan

3. Persamaan Tidak Linier

4. Persamaan Linier Simultan

5. Interpolasi

6. Integrasi Numerik

7. Solusi Persamaan Differensial Biasa

Metode Numerik 3

Daftar Pustaka

• Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.

• Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta.

• Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGraw-Hill International Editions, Singapore.

• Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Metode Numerik 4

Pendahuluan

• Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.

• Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

• Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

Metode Numerik 5

Motivasi

Kenapa diperlukan?

• Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika

• Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik

Metode Numerik 6

Penyelesaian persoalan numerik

• Identifikasi masalah

• Memodelkan masalah ini secara matematis

• Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya

• Implementasi metode ini dalam komputer

• Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah

Metode Numerik 7

Persoalan analisis numerik

• Eksistensi (ada tidaknya solusi)

• Keunikan (uniqueness)

• Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)

• instabilitas (instability)

• Kesalahan (error)

Contoh: Persamaan kuadrat

Persamaan linier simultan

Metode Numerik 8

Angka Signifikan

• 7,6728 7,67 3 angka signifikan




Metode Numerik 9

Sumber Kesalahan• Kesalahan pemodelan

contoh: penggunaan hukum Newton

asumsi benda adalah partikel

• Kesalahan bawaan

contoh: kekeliruan dlm menyalin data

salah membaca skala

• Ketidaktepatan data

• Kesalahan pemotongan (truncation error)

• Kesalahan pembulatan (round-off error)

Metode Numerik 10

Kesalahan pemotongan (i)

• Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak

Contoh: approksimasi dengan deret Taylor

n

n

in

iiii Rn

xxf

xxf

xxfxfxf !

)(!2

)(!1

)()()(2

1

Kesalahan: )1()1(

)!1(

)(

nn

n xn

fR

ii xxx 1

Metode Numerik 11

Kesalahan pemotongan (ii)

• Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)

)()( 1 ii xfxf

• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)

!1)()()( 1

xxfxfxf iii

• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)

!2)(

!1)()()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Metode Numerik 12

Motivasi Dari Persamaan Non Linear

Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut:

MTR

RR

22

2

R = jari-jari kurva jalan

T = jarak tangensial = 273.935 m

M = ordinat tengah = 73.773 m

Metode Numerik 13

Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii)

Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut:

25.01 0025.011.15813000 NNNNC

dengan

C = biaya per hari

N = jumlah komponen yang diproduksi

Metode Numerik 14

Solusi Persamaan Non Linear (i)

1) Metode Akolade (bracketing method)

Contoh: • Metode Biseksi (Bisection Method)

Keuntungan: selalu konvergen

Kerugian: relatif lambat konvergen

• Metode Regula Falsi (False Position Method)

Metode Numerik 15

Solusi Persamaan Non Linear (ii)

2) Metode Terbuka

Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)

• Metode Newton-Raphson

• Metode Secant

Keuntungan: cepat konvergen

Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen)

Metode Numerik 16

Metode Bagi Dua (i)

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval 00 ,ba

0)()( 00 bfaf

do n = 0,1,…2/)( nn bam

if ,0)()( mfaf n then ,1 nn aa mbn 1

else ,1 man nn bb 1

if 11 nn ab exit

end do

or 0)( mf

Metode Numerik 17

Metode Biseksi (ii)

Metode Numerik 18

Regula Falsi (i)

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval 00 ,ba

0)()( 00 bfaf

do n = 0,1,…)]()(/[])()([ nnnnnn afbfbafabfw

if ,0)()( wfaf n then ,1 nn aa wbn 1

else ,1 wan nn bb 1

if 11 nn ab exit

end do

or 0)( wf

Metode Numerik 19

Regula Falsi (i)

Metode Numerik 20

Regula Falsi Termodifikasi (i)

Inisialisasi: 0000 )()( awbfGafF

do n = 0,1,…]/[][1 FGFbGaw nnn

if ,0)()( 1 nn wfaf then,1 nn aa ,11 nn wb

else ,11 nn wa ,1 nn bb

end do

)( 1 nwfG

if ,0)()( 1 nn wfwf then 2/FF

)( 1 nwfF

if ,0)()( 1 nn wfwf 2/FF thenif 11 nn ab exit

Metode Numerik 21

Regula Falsi Termodifikasi (ii)

Metode Numerik 22

Iterasi Titik Tetap

Metode Numerik 23

Metode Newton-Raphson

Metode Numerik 24

Metode Secant

Metode Numerik 25

Akar Ganda (i)2)1( xy 3)1( xy

Metode Numerik 26

Akar Ganda (ii)

4)1( xy

Metode Numerik 27

Akar Ganda (iii)

)(xf•

• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak berubah tanda

dan )(xf menuju nol disekitar akar

Modifikasi metode Newton-Raphson:

)(

)()(

xf

xfxu

Bentuk alternatif:

Hasil akhir:)()()]([

)()(21

iii

iiii xfxfxf

xfxfxx

Metode Numerik 28

Motivasi Persamaan Linier

• Persamaan linier simultan sering muncul dalam sains dan teknik (sekitar 75 %):– Analisis struktur– Analisis jaringan – Interpolasi– Riset Operasi– Teknik Transportasi– Manajemen Konstruksi– Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa– Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial

Metode Numerik 29

Persamaan Linier Simultan

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

dalam notasi matriks

b

n

x

n

A

nnnn

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Metode Numerik 30

Pandangan Secara Geometri

• Secara geometri, solusi persamaan linier simultan merupakan potongan dari hyperplane

• 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui– Hyperplane: garis– Potongan hyperplane: titik potong

• 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui– Hyperplane: bidang– Potongan hyperplane: garis potong

Metode Numerik 31

Matriks Bujursangkar (i)

a) Matriks Simetris jiij aa

b) Matriks Diagonal ,0iia jiaij untuk 0

c) Matriks Identitas ,1iia jiaij untuk 0

d) Matriks segitiga atas

ji

jiaij untuk 0

untuk 0

e) Matriks segitiga bawah

ji

jiaij untuk 0

untuk 0

Metode Numerik 32

Matriks Bujursangkar (ii)

f) Matriks pita

Lebar pita 3 tridiagonal matriks

selainnya0

1untuk 0 jiaij

Lebar pita 5 tridiagonal matriks

selainnya0

2untuk 0 jiaij

Metode Numerik 33

Matriks Segitiga

nnnn

nn

nn

cxu

cxuxu

cxuxuxu

22222

11212111

Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal menjadi persamaan linier berbentuk segitiga sehingga mudah diselesaikan

Dalam notasi matriks

cU x

Metode Numerik 34

Syarat Regularitas

• Sebuah matriks bujursangkar A yang mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak singular jika salah satu syarat di bawah ini terpenuhi: – A dapat diinversikan– Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan

nol

• det (A) 0

Metode Numerik 35

Eliminasi Gauß

Metode Numerik 36

Substitusi Balik

Metode Numerik 37

Contoh Persamaan Linier

Metode Numerik 38

Interpolasi

• Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya

• Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi Polinom

• Polinom berbentuk:

011

1)( axaxaxaxP nn

nnn

Metode Numerik 39

Metode Lagrange (i)

Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x) diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan diperoleh:

))...()()((

...))...()((

))...()(()(

1210

201

210

nn

n

nn

xxxxxxxxa

xxxxxxa

xxxxxxaxP

Metode Numerik 40

Metode Lagrange (ii)

Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi

nnn

n

n

yxP

yxP

yxP

)(

...................

)(

)(

11

00

Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka

))...()...()...()(( 01110 niiiiii

ii xxxxxxxxxx

ya

Metode Numerik 41

Metode Lagrange (iii)

Dengan memakai fungsi Lagrange

))...()...()...()((

))...()...()...()((

)(

)(

01110

1110

0 niiiiii

niin

ij

j ji

ji xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xxL

maka

nn

n

iiin yLyLyLyLxP

11000

)(

Metode Numerik 42

Motivasi untuk interpolasi (i)

Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun)

15 16,366

20 38,337

25 86,736

30 190,050

Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang.

Metode Numerik 43

Motivasi Interpolasi (ii)

Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut.

Metode Numerik 44

Motivasi untuk Interpolasi (iii)

T(ºC) (10-3 Ns/m2)

0 1,792

10 1,308

30 0,801

50 0,549

70 0,406

90 0,317

100 0,284

Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini:

Metode Numerik 45

Motivasi untuk Interpolasi (iv)

Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC. Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga kisaran kesalahan dari hasil yang didapat.

Metode Numerik 46

Pengintegralan Numerik

Integral: b

a

xxfI d)(

Jika fungsi primitif )(xF yaitux

xFxf

d

)(d)(

tidak diketahui Pengintegralan Numerik

tafsiran geometrik: luas daerahJika 0)( xf

diketahui

)()(d)( aFbFxxfIb

a

y

0a b x

f(x)

I

Metode Numerik 47

Formula Integrasi Newton-Cotes

Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan

)(d)(d)()( fIxxfxxffI n

b

a

n

b

a

Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n,maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes

Dibagi atas i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke

dalam perhitunganii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk

Metode Numerik 48

Kaidah Segiempat

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi konstan sepotong-potong)

)]()()([)()( 1100 nxfxfxfhfIfI

)]()()([)()( 210 nxfxfxfhfIfI

Metode Numerik 49

Kaidah Trapesium (i)

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong

y=f(x)

a) Satu pias2

)()()()()( 10

011

xfxfxxfIfI

Kesalahan:3

01 )()(12

1xxfEt

Metode Numerik 50

Kaidah Trapesium (ii)

b

y=f(x)

…

b) Banyak pias

1

10

01 )(2)()(

2

)()()(

n

iin

nm xfxfxf

n

xxfIfI

Kesalahan:

n

int fxxf

nE

1

302 )( dimana,)(

12

1

Metode Numerik 51

Kaidah Simpson 1/3 (i)

Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong

a) Satu pias6

)()(4)()()()( 20

02

xfxfxfxxfIfI i

n

Kesalahan:

)(2880

)( )4(5

0 fxx

E nt

Metode Numerik 52

Kaidah Simpson 1/3 (ii)

A1 A3 A5 An-1

b) Banyak Pias:

1

5,3,1

2

6,4,20

02 )(2)(4)()(

3

)()()(

n

i

n

iiin

nm xfxfxfxf

n

xxpIfI

Kesalahan:

)4(4

50

180

)(f

n

xxE n

t