Download - Matriks Invers Ordo 3x3

Transcript
  • Matriks Invers Ordo 3 3

    Oleh : Kelompok IV (Kelas A)

    STMIK DIPANEGARA MAKASSAR

    2013

    Aljabar Linear

  • Bentuk Umum

    Matriks yang terdiri dari 3baris dan 3 kolom merupakan

    bentuk umum dari matriks

    ordo 3 x 3.

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A =

  • Rumus Matriks Invers

    1 =1

    ||.

    Keterangan :

    A1= Invers dari matriks A

    adj A= matriks Adjoin dari A

    |A|= determinan dari matriks A

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    Determinan dari sebuah

    matriks dapat diperoleh

    melalui minor dan kofaktor

    matriks tersebut.

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A =

    Pada matriks berorde 3 3, maka

    minor elemen aij dinotasikan

    dengan Mij, didefinisikan sebagai

    determinan dari sub matriks A

    berorde 2 x 2 setelah baris ke-i

    dan kolom ke-j dihilangkan.

    Sedangkan koofaktor diperoleh

    dari perkalian Mij dengan (-1)i+j

    dan ditulis dengan Cij.

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    Maka minor dari elemen a11 adalah

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A =

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    sehingga M11 =3332

    2322

    aa

    aa

    Sedangkan kofaktor elemen

    aij = Cij = (-1)i + j Mij

    Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah

    C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)

    222 2332 33

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    Minor dari elemen a32 adalah

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A =

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    sehingga M32 =2321

    1311

    aa

    aa

    Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah

    C32 = (-1)3 +2 M32 = (-1)

    511 1321 23

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris ke-i :

    1. det A = | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13(baris ke-1)

    2. det A = | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23(baris ke-2)

    3. det A = | A | = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33(baris ke-3)

    Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom ke-j :

    1. det A = | A | = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31(kolom ke-1)

    2. det A = | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32(kolom ke-2)

    3. det A = | A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33(kolom ke-3)

    Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan

    menggunakan ekspansi determinan :

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    Tentukan nilai determinan dari matriks A dengan cara koofaktor

    A = 1 2 13 1 21 4 2

    Contoh Soal :

  • Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

    a21

    21 =2 14 2

    = 12+1 2 1

    4 2

    = (-1)(-4 (-4)) = 0

    Penyelesaian : a22

    22 =1 11 2

    = 12+2 1 1

    1 2

    = (1)(-2 1) = -3

    a23

    23 =1 21 4

    = 12+3 1 2

    1 4

    = (-1)(4 (-2)) = -6

    Nilai Determinan

    | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

    = (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6)

    = -15

    A = 1 2 13 1 21 4 2

  • Determinan Matriks (Cara Sarrus)

    3231

    2221

    1211

    333231

    232221

    131211

    aa

    aa

    aa

    aaa

    aaa

    aaa

    det A =

    322113312312332211 aaaaaaaaa 122133112332132231 aaaaaaaaa

    Du Ds = |A|

    |A| = ( ) + ( )

  • Determinan Matriks (Cara Sarrus)

    Tentukan nilai determinan dari matriks A =1 2 13 1 21 4 2

    Contoh Soal :

  • Determinan Matriks (Cara Sarrus)

    A =1 2 13 1 21 4 2

    1 23 11 4

    = {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)}

    = {(-2) + (-4) + (-12)} { 1 + 8 + (-12)}

    = (-18) + (-3)

    |A| = -15

    Penyelesaian:

  • Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

    Jika matriks A =

    11 12 1321 22 2331 32 33

    dan matriks kofaktornya adalah

    11 12 1321 22 2331 32 33

    maka

    adjoin matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:

    Adj A =

    11 21 3112 22 3213 23 33

    C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)

    222 2332 33

  • Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

    Tentukan adjoin dari matriks

    A =1 2 13 1 21 4 2

    dengan matriks kofaktor (C) 10 4 130 3 65 5 5

    Contoh Soal :

  • Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

    Adj A = Ct = 10 0 54 3 513 6 5

    matriks kofaktor (C) 10 4 130 3 65 5 5

    Penyelesaian:

  • Adjoin Matriks (Gabungan)

    Adj A =

    +22 2332 33

    12 1332 33

    +12 1322 23

    21 2331 33

    +11 1331 33

    11 1321 23

    +21 2231 32

    11 1231 32

    +11 1221 22

    Adjoin dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

  • Adjoin Matriks (Gabungan)

    Tentukan adjoin dari matriks

    A =1 2 13 1 21 4 2

    Contoh Soal :

  • Adjoin Matriks (Gabungan)

    Penyelesaian:

    Adj A =

    1 24 2

    (1)2 14 2

    2 11 2

    (1)3 21 2

    1 11 2

    (1)1 13 2

    3 11 4

    (1)1 21 4

    1 23 1

    =10 0 54 3 513 6 5

  • Contoh Soal

    Matriks A =1 2 13 1 21 4 2

    dengan det A = -15, dan adj A = 10 0 54 3 513 6 5

    Tentukan invers dari matriks A!

  • Contoh Soal

    Matriks A =1 2 13 1 21 4 2

    dengan det A = -15, dan adj A = 10 0 54 3 513 6 5

    Tentukan invers dari matriks A!

  • Contoh Soal

    =1

    |A|. adj A A

    -1 =1

    15.10 0 54 3 513 6 5

    =

    2

    30

    1

    3

    4

    15

    1

    5

    1

    3

    13

    15

    2

    5

    1

    3

    Penyelesaian:

    det A =|A| = -15

    adj A = 10 0 54 3 513 6 5

  • SEKIANTerima Kasih

    KELOMPOK IV (KELAS A)

    1. (122020) FITRI RAHAYU PASASIH

    2. (122017) PUTRI CAMANI

    3. (122026) ELMIRA SABBAN

    4. (122018) YULI ANTI

    5. (122330) KEZIA IMANUELA

    6. (122348) NOVITA SAPAN

    7. (122350) SITI MUNAWAROH AZIS