Matematika Lanjut 1
Onggo Wiryawan
Setiap matriks persegi atau bujur sangkar
memiliki nilai determinan
Nilai determinan skalar
Matriks Singular= Matriks yang determinannya
bernilai 0
Determinan & Invers - Onggo Wr 2
Misalkan A suatu matriks bujursangkar
Determinan dari A dinotasikan
det(A)
|A|
Untuk matriks ordo 2Γ2
Misal π΄ =π11 π12π21 π22
Maka
det A = π΄ =π11 π12π21 π22
= π11π22 β π21π12
Determinan & Invers - Onggo Wr 3
Contoh
Misal π΄ =2 β5β3 9
Maka
det A = π΄ =2 β5β3 8
= 2 β 8 β β3 β β5 = 1
Determinan & Invers - Onggo Wr 4
Untuk matriks ordo 3Γ3 (Metode Sarrus)
Determinan & Invers - Onggo Wr 5
122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Contoh
det(A) = |A| =
= [(-2Β·1 Β·-1) + (2 Β·3 Β·2) + (-3 Β·-1 Β·0)] β (-3
Β·1 Β·2) β(-2 Β·3 Β·0)-(2 Β·-1 Β·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18
Determinan & Invers - Onggo Wr 6
102
311
322
A
Definisi 1: Minor
Misal AnΓn MINOR unsur aij adalah determinan
yang berasal dari determinan orde ke-n tadi
dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.
Dinotasikan dengan Mij
Contoh Minor dari elemen a11
Determinan & Invers - Onggo Wr 7
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3332
2322
11aa
aaM
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
Minor-minor dari Matrik A3Γ3
Determinan & Invers - Onggo Wr 8
Definisi 2: Kofaktor
Misal AnΓn KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-
j dituliskan dengan
Dinotasikan dengan cij
Contoh
Kofaktor dari elemen a23
Determinan & Invers - Onggo Wr 9
2323
32
23 )1( MMc
Determinan dari suatu matriks sama dengan
jumlah perkalian elemen-elemen dari
sembarang baris atau kolom dengan
kofaktor-kofaktornya
Determinan & Invers - Onggo Wr 10
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi kofaktor baris pertama
|A|
Determinan & Invers - Onggo Wr 11
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi kofaktor baris kedua
|A|
Determinan & Invers - Onggo Wr 12
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
232322222121
232322222121
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Contoh:
Determinan Matriks A dengan metode
ekspansi kofaktor kolom pertama
|A|
Determinan & Invers - Onggo Wr 13
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
MaMaMa
cacaca
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika A memiliki satu baris nol atau kolom nol,maka
det(A) = 0
det(A) = det (AT)
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga nn (segitiga atas,
segitiga bawah atau diagonal), maka det(A) adalah
perkalian entri-entri pada diagonal utamanya
det(A) = a11a22...ann
Determinan & Invers - Onggo Wr 14
Teorema
Misalkan A adalah matriks bujursangkar
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian suatu
baris atau kolom dengan skalar k β 0 maka
det(B) = k det(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua
baris atau kolom dari A maka
det(B) = βdet(A)
Jika B adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris
ditambahkan dengan kelipatan baris lain atau suatu kolom
ditambahkan dengan kelipatan kolom lain dari A, maka
det(B) = det(A)
Determinan & Invers - Onggo Wr 15
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr 16
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
ka ka ka a a a
a a a k a a a
a a a a a a
11 12 13 11 12 13
31 32 33 21 22 23
21 22 23 31 32 33
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
11 31 12 32 13 33 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a ka a ka a ka a a a
a a a a a a
a a a a a a
Teorema
Misal E adalah matriks elementer ordo n n,
Jika E dihasilkan dari suatu baris In dikali k,
maka det(E) = k
Jika E dihasilkan dari pertukaran dua baris
pada In, maka det(E) = 1
Jika E dihasilkan dari suatu baris ditambah
kelipatan baris lain di In, maka det(E) = 1
Determinan & Invers - Onggo Wr 17
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr 18
1 0 0
0 1 0 2
0 0 2
1 0 0
0 0 1 1
0 1 0
1 2 0
0 1 0 1
0 0 1
Teorema
Jika A adalah matriks bujursangkar
dimana terdapat dua baris atau dua
kolom yang saling berkelipatan, maka
det(A) = 0
Determinan & Invers - Onggo Wr 19
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr 20
1 3 0
2 4 1
5 2 2
A
1 3 0
2 4 1
5 2 2
2 12B B
1 3 0
0 2 1
5 2 2
3 15B B
1 3 0
0 2 1
0 13 2
12
1 3 0
2 0 1
0 13 2
3 2
13B B
17( 2)(1)(1) 17
2
= 12
172
1 3 0
2 0 1
0 0
Contoh
Determinan & Invers - Onggo Wr 21
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
A
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
4 13C C
1 0 0 0
2 7 0 0(1)(7)(3)( 26) 546
0 6 3 0
7 3 1 26
Teorema
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar dengan ukuran sama, maka
det(AB) = det(A).det(B)
Teorema
Jika A invertible, maka
Determinan & Invers - Onggo Wr 22
1 1det( )
det( )A
A
Definisi
Jika Ann, Cij kofaktor dari aij, maka
disebut matriks kofaktor dari A.
Transposenya disebut matriks Adjoin dari A,
ditulis Adj(A).
Determinan & Invers - Onggo Wr 23
11 12 1
21 22
1 2
n
n n nn
C C C
C C
C C C
Contoh
Kofaktor dari A
C11 = 12, C21= 4, C31 = 12,
C12 = 6, C22 = 2, C32 = 10,
C13 = 16, C23 = 16, C33 = 16
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Determinan & Invers - Onggo Wr 24
3 2 1
1 6 3
2 4 0
A
12 6 16
4 2 16
12 10 16
12 4 12
Adj( ) 6 2 -10
-16 16 16
A
Teorema
Jika A adalah matriks invertible, maka
Teorema (Aturan Cramer)
Jika Ax = b adalah spl dengan n peubah, det(A) β
0 maka spl mempunyai solusi tunggal
dimana Ai adalah matriks A dengan kolom ke-i
diganti dengan b
Determinan & Invers - Onggo Wr 25
1 1Adj( )
det( )A A
A
det( )
det( )
ii
Ax
A
Contoh
Tentukan solusi dari spl
2π₯1 β 3π₯2 = 6
4π₯1 + π₯2 = 25
Jawab
π΄π = π
2 β34 1
π₯1π₯2
=625
Determinan & Invers - Onggo Wr 26
Matriks Kofaktor dari A adalah = 1 β43 2
Adjoin A adalah KofaktorT = 1 3β4 2
Determinan A = π΄ =2 β34 1
= 2 β
β12 = 14
Determinan & Invers - Onggo Wr 27
Definisi
Misal AnΓn, maka A-1 disebut invers matriks
dari A jika
π΄ β π΄β1 = π΄β1π΄ = πΌ
untuk I = matriks identitas ordo nΓn.
Teorema
Misal matriks A dan B invertibel (punya
invers).
π΄π΅ β1 = π΅β1π΄β1
Determinan & Invers - Onggo Wr 28
Teorema
Misal matriks A invertibel
πππ‘ π΄β1 =1
πππ‘(π΄)
Determinan & Invers - Onggo Wr 29
Determinan & Invers - Onggo Wr 30
Rahmi Rusin, Determinan.
UB Informatika, Matriks.
Determinan & Invers - Onggo Wr 31
Top Related