Matematika II:Matriks, Inverse, dan Determinan
2016
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 1 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 2 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 3 / 33
Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.
Berikut ini adalah contoh Matriks 1 23 0−1 4
,(2 1 0 −3
),
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 4 / 33
Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2
3 0−1 4
,(2 1 0 −3
),
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 4 / 33
Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2
3 0−1 4
,(2 1 0 −3
),
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.
Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 4 / 33
Definisi Matriks
Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2
3 0−1 4
,(2 1 0 −3
),
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, (4).
Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 4 / 33
Definisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
A =
Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudianbagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 5 / 33
Definisi Matriks
Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
...am1 am2 . . . amn
A =
Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudianbagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 5 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 6 / 33
Penjumlahan dan Pengurangan
DefinisiJika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahanA+B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entrimatriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Penguranganmatriks A−B adalah matriks yang didapat dari mengurangkanentri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriksyang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Tentukan A+B dan A−B dari
A =
2 1 0 3−1 0 2 44 −2 7 0
B =
−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 7 / 33
Perkalian Skalar
DefinisiMisalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarangskalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikansetiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalardari matriks A.
Jika c = −1 dan A =
2 1 0−1 0 24 −2 7
tentukan cA
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 8 / 33
Perkalian Matriks
DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× r dan B adalah matriksberukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuranm× n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikanentri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolomke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.
Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyakkolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya barispada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 9 / 33
Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
(1 2 42 6 0
), B =
4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.Misalkan
AB =
(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Tentukan semua entri matriks AB?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 10 / 33
Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
(1 2 42 6 0
), B =
4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.
Misalkan
AB =
(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Tentukan semua entri matriks AB?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 10 / 33
Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
(1 2 42 6 0
), B =
4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.Misalkan
AB =
(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.
Tentukan semua entri matriks AB?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 10 / 33
Perkalian Matriks
Perhatikan matriks berikut
A =
(1 2 42 6 0
), B =
4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2
Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.Misalkan
AB =
(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Tentukan semua entri matriks AB?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 10 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 11 / 33
Transpos Matriks
DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n×m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.
Jika A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
maka At =
a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut
A =
1 23 0−1 4
, B =(2 1 0 −3
), C =
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 12 / 33
Transpos Matriks
DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n×m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.
Jika A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
maka At =
a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut
A =
1 23 0−1 4
, B =(2 1 0 −3
), C =
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 12 / 33
Transpos Matriks
DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n×m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.
Jika A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
maka At =
a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut
A =
1 23 0−1 4
, B =(2 1 0 −3
), C =
e π −√2
0 12 1
0 0 0
, .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 12 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 13 / 33
Pengertian Inverse Matriks
DefinisiMisalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. JikaAB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan Badalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi makaA dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.
Inverse dari matriks A ditulis A−1.I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulissebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitas
I2 =
(1 00 1
), I3 =
1 0 00 1 00 0 1
, In
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 1
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 14 / 33
Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1 =1
det (A)(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
(a bc d
)maka A−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
).
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 52x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 15 / 33
Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1 =1
det (A)(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
(a bc d
)maka A−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
).
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 52x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 15 / 33
Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1 =1
det (A)(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
(a bc d
)maka A−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
).
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.
Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 52x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 15 / 33
Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1 =1
det (A)(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
(a bc d
)maka A−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
).
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 52x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 15 / 33
Penggunaan Inverse Dalam SPL
Jika A adalah matriks invertibel maka
A−1 =1
det (A)(Adj(A))
Contoh: Misalkan A =
(a bc d
)maka A−1 = 1
ad−bc
(d −b−c a
).
Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.
Bandingkan solusi dari SPL
x + 2y = 52x + y = 1
dengan metode substitusi dan inverse.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 15 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 16 / 33
Pengertian Determinan
DefinitionMisalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudianA ∈M . Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakanAn×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegitidak didefinisikan.
Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.
Determinan dari matriks A =
(a bc d
)
det (A) = det
(a bc d
)= ad− bc.
Bagaimana dengan determinan dari matriks 3× 3 ?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 17 / 33
Skema Sarus
Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3× 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Misalkan A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 18 / 33
Skema Sarus
Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3× 3 yang dinamakan skema Sarrus.
Misalkan A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 18 / 33
Skema Sarus
Perhatikan matriks dibawah
+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
det (A) =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
Tentukan determinan dari A =
2 1 0−1 0 24 −2 7
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 19 / 33
Skema Sarus
Perhatikan matriks dibawah
+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
det (A) =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
Tentukan determinan dari A =
2 1 0−1 0 24 −2 7
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 19 / 33
Skema Sarus
Perhatikan matriks dibawah
+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
det (A) =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
Tentukan determinan dari A =
2 1 0−1 0 24 −2 7
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 19 / 33
Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?
Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?
DefinisiMisalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan denganMij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yangdinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 20 / 33
Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?
DefinisiMisalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan denganMij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yangdinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 20 / 33
Determinan Matriks
Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?
DefinisiMisalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan denganMij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yangdinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij .
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 20 / 33
Contoh
Misalkan
A =
3 1 42 5 61 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =
5 6
4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.
Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1M11 = 16
Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 21 / 33
Contoh
Misalkan
A =
3 1 42 5 61 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =
5 6
4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1M11 = 16
Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 21 / 33
Contoh
Misalkan
A =
3 1 42 5 61 4 8
Minor entri a11 adalah
3 1 4
2 5 6
1 4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =
5 6
4 8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16
keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalah
C11 = (−1)1+1M11 = 16
Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 21 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 22 / 33
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
yang
berukuran 3× 3 yaitu
det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 23 / 33
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
yang
berukuran 3× 3 yaitu
det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.
Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 23 / 33
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
yang
berukuran 3× 3 yaitu
det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .
Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 23 / 33
Ekspansi Kofaktor
Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat
menuliskan determinan dari matriks A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
yang
berukuran 3× 3 yaitu
det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13
Coba bandingkan dengan skema Sarus.Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah
det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n
Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 23 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 24 / 33
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran n× n dan Cij adalah kofaktordari aij . Matriks
C11 C12 . . . C1n
C21 C22 . . . C2n...
.... . .
...Cn1 Cn2 . . . Cnn
disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebutadjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 25 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 26 / 33
Aturan Cramer
TeoremaMisalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaandan n variabel sedemikian sehingga det (A) 6= 0. Sistem Ax = bmempunyai solusi tunggal yaitu
x1 =det (A1)det (A) , x2 =
det (A2)det (A) , . . . , xn = det (An)
det (A)
dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entripada kolom ke j pada matriks A dengan matriks
b =
b1b2...bn
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 27 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 28 / 33
1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut(a− b b+ c3d+ c 2a− 4d
)=
(8 17 6
)2 Misalkan
A =
3 −2 76 5 40 4 9
dan B =
6 −2 40 1 37 7 5
Tentukan
a. Baris pertama dari AB.b. Kolom ketiga dari AB.c. Baris ketiga dari AA.d. Kolom ketiga dari AA.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 29 / 33
3. Misalkan A adalah matriks berukuran m× n dan 0 adalah matriksbarukuran m× n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0maka k = 0 atau A = 0.
4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehinggaperkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu barisyang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.
5. Misalkan
A =
1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2
Tentukan A−1.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 30 / 33
6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut
a. 7x1 − 2x2 = 33x1 + x2 = 5.
b.x1 − 3x2 + x3 = 42x1 − x2 = −24x1 −x3 = 0.
c.
−x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −322x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14−x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11x1 − x2 + x3 − 4x4 = −4.
7. Buktikan aturan Cramer.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 31 / 33
Outline
1 Matriks
2 Operasi Matriks
3 Transpos Matriks
4 Inverse Matriks
5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin
6 Aturan Cramer
7 Soal-soal Latihan
8 Referensi
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 32 / 33
Referensi
H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York2000.
Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 33 / 33
Top Related