*MATEMATIKA II*MATRIKS DAN OPERASINYA
MATEMATIKA II
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang Vektor*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
REFERENSI :BAHAN KULIAH (PPT) , ALJABAR LINEAR, IT TELKOM, 2008Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra : Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New York
Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB, Bandung
Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd edition, John Willey and Sons, Singapore
Kreyszig E., , 1993, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th edition, John Willey & Sons, Toronto
Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta *MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Matriks dan Operasinya
Sub Pokok BahasanMatriks dan JenisnyaOperasi MatriksOperasi Baris ElementerMatriks Invers (Balikan)
*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo) mxn*MATEMATIKA II*
Baris pertama
Kolom kedua
Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)
MATEMATIKA II
KESAMAAN DUA MATRIKSMisalkan A dan B adalah matriks berukuran sama. A dan B dikatakan sama (notasi A = B) jika aij = bij untuk setiap i dan j
JENIS JENIS MATRIKSMatriks Persegi (bujur sangkar)
Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah sama (n x n)Contoh :
*MATEMATIKA II*
Unsur diagonal
MATEMATIKA II
MATRIKS SEGI TIGAAda dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan bawah.
Matriks segi tiga atas
Matriks yang semua unsur di bawah unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
*MATEMATIKA II*
Matriks segi tiga bawah
Matriks yang semua unsur di atas unsur diagonal pada kolom yang bersesuaian adalah nol.
MATEMATIKA II
Matriks diagonal
Matriks persegi di mana setiap unsur yang bukan merupakan unsur diagonal adalah nol.
*MATEMATIKA II*
Matriks satuan (Identitas)
Matriks diagonal dimana setiap unsur diagonalnya adalah satu.
MATEMATIKA II
Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukar baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya. Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan matriks Simetri.Contoh : *MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :Penjumlahan MatriksPerkalian MatriksPerkalian skalar dengan matriksPerkalian matriks dengan matriksOperasi Baris Elementer (OBE)*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriksberordo sama dapat dijumlahkanContoha. +
b. + *MATEMATIKA II*
106812
MATEMATIKA II
Perkalian Matriks Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m hasil perkalian AB berordo pxn B X A haruslah n = p hasil perkalian BA berordo mxqContoh :Diketahui
dan *MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Maka hasil kali A dan B adalah :
Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran sama dan , merupakan unsur bilangan Riil, Maka operasi matriks memenuhi sifat berikut :A + B = B + AA + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A + B ) = A + B( + ) ( A ) = A + A*MATEMATIKA II*
ap+bq+crdp+eq+fras+bt+cuds+et+fu2x2
MATEMATIKA II
*MATEMATIKA II*
Contoh :Diketahui matriks :TentukanA At At A
MATEMATIKA II
Jawab :*MATEMATIKA II*
maka sedangkan
5-2-213-2-31-34-4-4514
MATEMATIKA II
Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1*MATEMATIKA II*
Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2)
MATEMATIKA II
OBE ke-2 b1 ~
OBE ke-3 *MATEMATIKA II*
Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan
Perkalian (2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3)0115
MATEMATIKA II
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama.Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.
*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Sifat matriks hasil OBE :Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama).Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.
Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat*MATEMATIKA II*(Proses Eliminasi Gauss)(Proses Eliminasi Gauss-Jordan)
MATEMATIKA II
Contoh :Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
Jawab :
*MATEMATIKA II*
0 1 1 50 1 1 5 0 2 1 7
MATEMATIKA II
*MATEMATIKA II*
0 0 -1 -3 0 0 1 3 0 2 0 1 1 0 1 0
MATEMATIKA II
Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama)*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Invers MatriksMisalkan A adalah matriks bujur sangkar.B dinamakan invers dari A jika dipenuhi A B = I dan B A = ISebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.Notasi A = B-1Cara menentukan invers suatu matriks A adalah *MATEMATIKA II*
OBE ~Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan matriks identitas maka A dikatakan tidak punya invers
MATEMATIKA II
Contoh : Tentukan matriks invers ( jika ada ) dari :
Jawab :
b1b2 ~*MATEMATIKA II*
-3b1+b22b1+b30-110021100-1-3
MATEMATIKA II
-b2
-b3+ b2
-b2+ b1
Jadi Invers Matriks A adalah
*MATEMATIKA II*
1 1-1 3 0 0 1 0 01-1-1 1 1 1 0 0 0
MATEMATIKA II
Perhatikan bahwa :
dan
maka*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
*MATEMATIKA II*Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers : (A-1)-1 = A Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1iii. Misal k Riil maka (kA)-1 = iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n
MATEMATIKA II
Latihan
Diketahui , dan
Tentukan (untuk no 1 5) matriks hasil operasi berikut ini :1. AB 2. 3CA3. (AB)C (4B)C + 2C
*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
Untuk Soal no. 5 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A, B, C, D, dan E 7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)*MATEMATIKA II*
MATEMATIKA II
*MATEMATIKA II*022 700 398 [email protected]
MATEMATIKA II
*MATEMATIKA II*Tugas/kuis 30%Uts 30%Uas 30%Kehadiran 10%
MATEMATIKA II
Top Related