TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH

Lingkaran dan Perasamaan Garis Singgung Lingkaran

Nama kelompok:

1. Nining Eka Saputri (11-550-0043)2. Orta Rosinda Putra (11-550-0092)3. Irma Budi Wardani (11-550-0073)

Dosen Pengampu:Drs. Hari Pribawanto, M.Pd.

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANPROGAM STUDI MATEMATIKA/2011

UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA SURABAYA2012

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan limpahan rahmat-Nyalah maka kami dapat memyelesaikan makalah telaah kurikulum matematika sekolah menengah dengan tepat waktu.

Dalam makalah ini penulis mengangkat sebuah materi yang berjudul “Lingkaran dan Persamaan Garis Lingkaran.”

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan harap maklum bilamana isi makalah ini ada kekurangan. Semoga makalah ini mampu memberikan banyak manfaat bagi para pembaca.

Pada setiap bab makalah ini, disajikan dalam tiga kelompok yaitu:

I. Contoh soalContoh soal yang disajikan dimakalah ini, disusun secara rinci seperti dalam penyajian materi dalam buku. Soal-soalnya diatur dari tingkat paling mudah sampai paling sukar. Dibawah contoh soal langsung diberikan penyelesaian untuk dapat dipelajari.

II. Ringkasan materiPenyajian ringkasan materi ini dimaksudkan agar siswa dapat mengetahui pokok-pokok apa saja yang perlu diingat. Ringkasan materi ini juga memungkinkan siswa dapat mengetahui dengan mudah materi secara menyeluruh.

III. Soal latihan dan penyelesaianSoal-soal latihan ini dimaksudkan untuk memancing kembali pengertian siswa terhadap materi sekaligus memberi kesempatan bagi siswa untuk berlatih dan mengembangkan daya nalar dan analisanya

Surabaya, Desember 2012

Penulis

DAFTAR ISIKATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

I. PETA KONSEPII. RINGKASAN MATERI

A. PERSAMAAN LINGKARAN1. Pengertian Lingkaran2. Persamaan Lingkaran Berpuat di O(0, 0) dan (a, b)3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui suatu Titik pada Lingkaran2. Persamaan Gari Singgung yang Gradirnnya Diketahui

III. SOAL LATIHANIV. KUNCI JAWABAN

DAFTAR PUSTAKA

PETA KONSEP

RINGKASAN MATERI

LINGKARAN

PERSAMAAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Persamaan lingkaran berpusat di (0,0) dan (a,b)

Kedudukan titikdan garis terhadap

lingkaran

Menentuksn pusat dan jari-jari

lingkaran yang persamaannya

diketahui

Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

titik pada lingkaran

Merumuskan persamaan gatis singgung yang

gradiennya diketahui

D

A. PERSAMAAN LINGKARAN

1. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-

titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik

tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yng tetap

tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Dari gambar di samping, titk O adalah pusat lingkaran. Titil

A,B,C,D terletak pada lingkaran maka OA = OB = OC = OD

adalah jari-jari lingkaran = r

2. Persamaan Lingkaran Berpusat di (0,0) dan (a,b)

a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0,0)

Jika titik A(xA,yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di

O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan

menggunakan rumus jarak titik O(0,0) ke titik A(xA,yA)

diperoleh:

OA=r=√¿¿¿

r2 = ¿¿

r2 = xA2 + yA

2

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari

r adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusat O(0,0) dan berjari-jari 12!

Jawab:

Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r = 12, maka persamaannya:

x2 + y2 = r2

⇔ x2 + y2 =122

⇔ x2 + y2 =144

A

BC

           r

r           Or

r

           

Y

XO x

ry

A(x,y)

X2 + y2 = r2

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di O(0,0) dan r = 12 adalah x2 + y2 =144

b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a,b)

Jika titik A(a,b) adalah pusat lingkarandan titik B(x,y) terletak pada lingkaran,

maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.

r = jarak A ke B

r = (AB)2

= (xB – xA)2 + (yB – yA)2

= (x – a)2 + (y – b)2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di(a,b)

dan berjari-jari di r adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusatnya (-2,3) dan berjari-jari 5!

Jawab:

Pusat (-2,3), r = 5

Persamaan lingkaran: ¿

¿

x2+4 x+4+ y2−6 y+9=25

x2+ y2+4 x−6 y+13=25

x2+ y2+4 x−6 y−12=0

3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r adalah:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 − 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2= 0

Jika −2a = 2A, −2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:

Y

XO

b

a

A (a,b)

B (x,y)

= ((x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (−A, −B) dan jari-jari lingkaran (r) = √a2+b2−C2 atau r=√ A2+B2−C

Contoh:

Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan

lingkaran sebagai berikut: x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

Jawab:

x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Maka diperoleh:

2A = −2

A = −1

2B = −6

B = −3

C = −15

r=√ A2+B2−C

¿√(−1)2+(−3)2−(−15)

¿√1+9+15=√25=5

Jadi pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5.

4. Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

a. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2

1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 < r2

2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 = r2

3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y1

2 > r2

Contoh:

Tentukan posisi titik A(3, 1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 25!

Jawab:

A(3, 1) → x2+ y2=32+12=9+1

¿10<25

Jadi A(3, 1) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 = 25

b. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x1 − a)2+(y1 – b)2< r2

2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x1 − a)2+ (y1 – b)2 = r2

3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x1 − a)2+ (y1 – b)2 > r2

Contoh:

Tentukan posisi titik C(3, −2) terhadap lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y = 0!

Jawab:

C(3, −2) → x2+ y2−6x+8 y=32+(−2)2−6 ∙ 3+8(−2)

= 9 + 4 – 18 – 16 = −21 < 0

Jadi C(3, −2) terletak di dalam lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y = 0

c. Posisi Titik y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis y = mx + n disubtitusikan ke persamaan lingkaran x2 +y2 +

2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan:

x2 + (mx + n)2 + 2Ax + 2B (mx + n) + C = 0

x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + 2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

¿ 0

D = ¿0

Maka ada tiga persamaan posisi terhadap suatu lingkaran yaitu:

1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 +y2

+ 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat

lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x2 +y2

+ 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran di satu titik atau jarak

pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x2

+y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran di dua titik atau

jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

Jika persamaan kuadrat a x2+bx+C=0 ,

D = diskriminan = b2 – 4ac

Jarak pusat lingkaran P(x1, y1) ke garis ax + bx +c = 0 adalah k =|ax1+by1+c

√a2+b2 |

INGAT!!!

Perhatikan gambar berikut,

Contoh:

Tentukan posisi titik A(6, −8) terhadap lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0!

Jawab:

A(6, −8) disubtitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0

diperoleh 62+(−8)2−6 ∙6+8 (−8 )+25=36+64−36−64+25

¿25>0

Jadi A(6, −8) terletak di luar lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y + 25 = 0.

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

a. Persamaan Garis Singgung di Titik P(x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2

Garis singgung l menyinggung x2 + y2 = r2 di titik P(x1, y1) ]karema OP⊥ garis l.

mOP ∙m1=−1

y1

x1

∙m1=−1

m1=−1y1

x1

m1=y1

x1

Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.

y− y1=m1( x−x1)

y− y1=−x1

y1

(x−x1)

y1 ( y− y1 )=−x1(x−x1)

y1 y− y12=−x1 x+x1

2

x1 x+ y1 y=x12+ y1

2

(a,b)r

y = mx + n

(a,b)

y = mx + n

Ak (a,b)

y = mx + n

kB

D < 0 D = 0 D > 0

Y

OX

P(x1, y1)

Gradien garis OP di titik

P(x1, y1) adalah mOP=y1

x1

Dua garis tegak lurus jika perkalian gradiennya = −1

INGATT

x1 x+ y1 y=r2

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r 2 di (x1, y1) ialah:

Contoh:

Tunjukkan bahwa titik (6, −8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, kemudian

tunjukkan pula persamaan garis singgungnya!

Jawab:

Ditunjukkan bahwa titik (6, −8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100, yaitu

dengan mensubtitusikan (6, −8) pada lingkaran x2 + y2 = 100

62 + (−8)2 = 100

36 + 64 = 100

Terbukti bahwa titik (6, −8) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 100

Persamaan garis singgung di titik (6, −8) pada lingkaran x2 + y2 = 100 adalah:

x1 x+ y1 y=r2

6x − 8y = 100

3x – 4y = 100

b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran (x − a)2 + (y

− b)2 = r2

Perhatikan gambar berikut.

y1

Gradien garis PQ adalah: mPQ=OPPR

=y1−b

x1−a

Gradien garis singgung l yang tegak ]lurus garis PQ adalah:

m1∙ mPQ=−1

x1 x+ y1 y=r2

Y

b

O a x1X

(a,b)P R

Q(x1, y1)

l

m1∙y1−b

x1−a=−1

m1=−1

y1−bx1−a

=−(x¿¿1−a)( y¿¿1−b)¿

¿

Jadi persamaan garis l dengan gradien m1=−(x1−a)

( y¿¿1−b)¿ dan melalui titik Q(x1,

y1) adalah:

y− y1=ml(x−x1)

y− y1=−( x1−a )

( y1−b )(x−x1)

( y− y1 ) ( y1−b )=−(x1−a)(x−x1)

yy1−by− y12+b y1=−(x1 x−x1

2−ax+ax1)

yy1−by− y12+b y1=−x1 x+x1

2+ax−ax1

yy1−by+b y1+x1 x−ax+a x1=x12+ y1

2..................................... (1)

Untuk Q(x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2

x12−2 a x1+a2+ y1

2−2b y1+b2=r2

x12+ y1

2=r2+2a x1+2 b y1−a2−b2...................... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

yy1−by+b y1+x1 x−ax+a x1=x12+ y1

2

yy1−by+b y1+x1 x−ax+a x1=r2+2a x1+2b y1−a2−b2

yy1−by+b y1+x1 x−ax+a x1−2 a x1−2b y1+a2+b2=r 2

y y1−by−b y1+x1 x−ax−a x1+a2+b2=r2

y y1−by−b y1+b2+x1 x−ax−a x1+a2=r2

( y−b ) ( y1−b )+ ( x−a ) ( x1−a )=r 2

( x−a ) ( x1−a )+( y−b ) ( y1−b )=r 2

( x1−a )(x−a)+( y1−b )( y−b)=r2

Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran ¿ pada titik A(2, 3)!

Jawab:

¿

(x¿¿1+3)( x+3 )+( y1−5 ) ( y−5 )=36¿

Pada titik A(2, 3)

(2+3 ) ( x+3 )+(3−5 ) ( y−5 )=36

5 ( x+3 )+(−2 ) ( y−5 )=36

5 x+15−2 y+10=36

5 x−2 y+25=0

Jadi, persamaan garis singgung: 5 x−2 y+25=0

c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q((x1, y1) pada Lingkaran x2 +y2 +

2Ax + 2By + C = 0

Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x1, y1) pada lingkaran ¿ adalah:

(x¿¿1−a)(x−a)+( y1−b)( y−b)=r2¿

x1 x−a x1−ax+a2+ y1 y−b y1−by+b2=r2

x1 x−a(x¿¿1+x)+a2+ y1 y−b( y¿¿1+ y )+b2=r2¿¿

x1 x+ y1 y−a (x¿¿1+x )−b ( y¿¿1+ y)+a2+b2−r2=0¿¿

Misalnya A = −a, B = −b, dan C = a2+b2−r2, persamaannya menjadi:

x1 x+ y1 y−a (x¿¿1+x )−b ( y¿¿1+ y)+a2+b2−r2=0¿¿

x1 x+ y1 y+ A (x¿¿1+ x)+B( y¿¿1+ y )+C=0¿¿

Maka persamaan garis singgung melalui Q((x1, y1) pada Lingkaran x2 +y2 + 2Ax +

2By + C = 0 adalah

Contoh:

( x1−a )(x−a)+( y1−b )( y−b)=r2

x1 x+ y1 y+ A (x¿¿1+ x)+B( y¿¿1+ y )+C=0¿¿

Tentukan persamaan garus singgung yang melalui titik A(2, 1) pada lingkaran

x2+ y2−2 x+4 y−5=0!

Jawab:

A (2 ,1 )→ x1=2

y1=1

x2+ y2−2 x+4 y−5=0

A=−1 , B=2, dan C=−5

Persamaan garis singgung melalui titik A(2, 1):

x1 x+ y1 y+ A x1+ Ax+B y1+By+C=0

2 x+1 ∙ y+(−1 ) ∙2+(−1 ) x+2∙ 1+2∙ y−5=0

2 x+ y−2−x+2+2 y−5=0

x+3 y−5=0

d. Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)

Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada

lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis

BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1)

disebut titik kutub.

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat

ditentukan dengan langkah-langkah:

1. Membuat persamaan garis kutub dari

titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.

2. Melalui titik potong antara garis

kutub lingkaran.

3. Membuat persamaan garis singgung

melalui titik potong garis kutub dan

lingkaran.

Contoh:

Tentukan persamaan garis sinngung melalui titik (5, 1) di luar lingkaran

x2 + y2 =13!

Jawab:

A(x1, y1)

C(x3, y3)

B(x2, y2)

Persamaan garis kutub di (5, 1) adalah sebagai berikut:

x1 x+ y1 y=r2

5 x+ y=13

y=13−5 x

Persamaan garis y = 13 – 5x disubtitusikan dengan lingkaran x2 + y2 =13

diperoleh: x2+ y2=13

x2+¿

x2+169−130 x+25 x2=13

26 x2−130 x+156=0

x2−5 x+6=0

( x−2 ) ( x−3 )=0

x=2 ,atau x=3

Untuk x = 2, maka y = 13 – 5x

¿13−5∙ 2

¿13−10=3

Diperoleh titik sinngung (2, 3).

Jadi, persamaan garis singgung malalui (2, 3) adalah 2 x+3 y=13

Untuk x=3, maka y = 13 – 5x

¿13−5∙ 3

¿13−15=−2

Diperoleh titik sinngung (3, −2).

Jadi, persamaan garis singgung malalui (3, −2) adalah 3 x−2 y=13

2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Dietahui

a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran

x2+ y2=r2

Untuk persamaan garis singgung y = mx + n

y=mx+nx2+ y2=r2}⟹ x2+(mx+n)2=r2

⟺ x2+m2 x2+2mnx+n2−r 2=0

⟺¿

Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga

(2 mn)2−4 (1+m¿¿2)(n¿¿2−r 2)=0¿¿

4 m2 n2−4 (n2+m2 n2−r2−m2r2 )=0

m2n2−n2−m2 n2+r2+m2r2=0: 4

⟺n2=r2+m2r2

⟺n2=r2(1+m2)

⟺n=± r√1+m2

Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran x2+ y2=r adalah:

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 2√2 pada lingkaran

x2+ y2=16 !

Jawab:

Persamaan garis singgung dengan gradien 2√2 pada lingkaran x2+ y2=16adalah:

m=2√2

r2=16⟹ r=4

y=mx ±r √1+m2

¿2√2 x ± 4√1+42

¿2√2 x ± 4√1+16

¿2√2 x ± 4√17

Jadi persamaan garis singgungnya: y=2√2 x+4√17/ y=2√2 x−4 √17

b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran

(x−a)2+( y−b)2=r2

Y

XO (0, 0)

g

y=mx ±r √1+m2

Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m pada

ligkaran x2+ y2=r2 adalah:

y=mx ±r √1+m2

Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran ¿ adalah:

c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran

x2+ y2+2 Ax+2 By+C=0

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran

x2+ y2+2 Ax+2 By+C=0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke

bentuk ¿ sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:

Contoh:

Diketahui lingkaran x2+ y2+4 x−2 y+1=0. Tentukan persamaan garis singgung

yang tegak lurus garis g:−3 x+4 y−1=0, terhadap lingkaran!

Jawab:

g: −3 x+4 y−1=0

4 y=3 x+1

y=34

x+ 14⟹mg=

34

Syarat tegak lurus: m1∙ mg=−1

m1∙34=−1

m1=−34

x2+ y2+4 x−2 y+1=0

Pusat (−2, 1)

r=√22+¿¿

¿√4=2

Persamaan lingkaran: ¿

Persamaan garis singgung:

y−b=m(x−a)± r √1+m2

y−b=m(x−a)± r √1+m2

y−b=m(x−a)± r √1+m2

y−1=−43

(x+2)± 2√1+(−43 )

2

y−1=−43

(x+2)± 2√1+( 169 )

y−1=−43

(x+2)± 2√ 259

y−1=−43

x−83

± 2∙53

y−1=−43

x−83

±103

3 ( y−1 )=−4 x−8±10

3 y−3=−4 x−8±10

3 y−3=−4 x−8+10 atau 3 y−3=−4 x−8−10

3 y=−4 x+5 atau 3 y=−4 x−15

y=−43

x+ 53

atau y=−43

x−5

LATIHAN SOAL

1. Tentukan pusat jari-jari lingkaran dengan persamaan x2+ y2+10 x−8 y−8=0 dan

sertakan gambarnya!

2. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(3, 0), B(6, 6), C(0, 4) !

3. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik M(3, 2) menyinggung garis

g ≡2 x− y+1=0!

4. Diketahui koordinat titik A(3, −1) dan B(6, 2) jika didefinisikan kedudukan titik P(x, y)

sedemikian sehingga |PB|=2|PB|. Tentukan tempat kedudukan titik P!

5. Ruas garis yang dihubungkan oleh titik A(0,0) dan titik B¿, titik P terletak pada AB,

sehingga AP : AB = 1:3 jika θ berubah dari 0 sampai 2 π .

Carilah tempat kedudukan titik P!

6. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB, untuk A(2, 1) dan titik

B(4, −3)!

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2=10 yang sejajar dengan garis

l=3 x− y−5=0 !

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2=13 yang melalui titik P(5, 1) di

luar lingkaran!

9. Tentukan posisi garis 2 x− y+1=0 terhadap lingkaran x2+ y2−4 x−2 y+2=0. Jika

berpotongan, tentukan titik potongnya!

10. Tentukan jarak dari titik A(4, 2) ke gari g=2x+ y=4. Kemudian tentukan persamaan

lingkaran dengan pusat A(4, 2) dan menyinggung garis g. Tentukan pula koordinat titik

singgung!

KUNCI JAWABAN

1. x2+ y2+10 x−8 y−8=0

⇔ x2+ y2+2 Ax−2 By−C=0

2 A=10⟺ A=5

2 B=−8⟺ B=−4 dan C=−8

∴ Pusat (−A, −B) ⟺(−5 , 4)

Jari-jari r=√ A2+B2−C

⟺ r=√52+(−4 )2−(−8)

⟺ r=√25+16+8=√49

⟺ r=7

∴ Jari-jari r=7

2. Misal lingkaran tersbut adalah L: x2+ y2+ Ax+By+C=0

A pada L (3, 0): X A2+Y A

2+ A x A+ByA+C=0

⇔ 32+02+A ∙3+B ∙0+C=0

⟺9+3 A+C=0

⟺3 A+C=0............................... (1)

B pada L (6, 6): X B2+Y B

2+ A xB+ByB+C=0

⟺62+62+6 A+6 B+C=0

⟺36+36+6 A+6 B+C=0

⟺72+6 A+6 B+C=0

⟺6 A+6 B+C=−72............................. (2)

C pada L (0, 4): XC2+Y C

2+ A xC+ByC+C=0

⟺02+42+ A ∙ 0+B ∙ 4+C=0

⟺16+4 B+C=0

⟺4 B+C=−16...................... (3)

Dari persamaan 1 dan 2:

3 A+C=−96 A+6 B+C=−72|× 2

× 1| 6 A+2C=−186 A+6 B+C=−72

−6 B+C=54.......................................... (4)

Dari persamaan 3 dan 4:

-5 0

4

1

r=7

(−5 , 4 )

Y

X

−¿

4 B+C=−16−6 B+C=54

10 B=−70B=−7

−¿

Disubtitusikan ke persamaan 3:

4 B+C=−16

4 (−7 )+C=−16

−28+C=−16

C=−16+28

C=12

Disubtitusikan ke persamaan 1:

3 A+C=−9

3 A+12=−9

3 A=−9−12

A=−213

A=−7

Jadi, persamaan lingkaran:

L : x2+ y2+ Ax+By+C=0

⟺ L: x2+ y2−7 x−7 y+12=0

3.

R = jarak P ke g

g : 2 x− y+1=0

Misal lingkaran L berpusat di titik M(3, 2) dan jari-jari R maka:

Jarak M ke g = R

R=| xM− yM+1

±√(2)2+(−1)2|¿|2 (3 )−2+1

±√5 |=| 5±√5|

¿ 5√5

× √5√5

=√5

L :(x−x M)2+( y− y M)2=R2

⟺(x−3)2+( y−2)2=(√5 )2

⟺ x2−6 x+9+ y2−4 y+4=5

⟹

P RM(3, 2)

L

g

⟺ x2+ y2−6 x−4 y+13−5=0

⟺ x2−6 x+9+ y2−4 y+8=0

Jadi persamaan lingkaran tersebut L : x2−6 x+9+ y2−4 y+8=0

4. P ( x , y ) , A (3 ,−1 ) dan(6,2)

|PA|=√ ( x−3 )2+( y+1 )2

|PB|=√ (x−6 )2+( y−2 )2 dan {P(x , y)||PA|=2|PB|} |PA|=2|PB|

⟺√(x−3)2+( y+1)2=2√(x−6)2+( y−2)2

⟺ ( x−3 )2+( y+1 )2=4 (( x−6 )2+( y−2 )2)

⟺ x2+ y2−6 x+2 y+10=4 x2+4 y2−48 x−16 y+160

⟺3 x2+3 y2−42 x−18 y+150=0

⟺ x2+ y2−14 x−6 y+50=0

Pusat(−A ,−B)

2 A=−14⟺ A=−7

2 B=−6⟺ B=−3dan C=50

∴Pusat(−A ,−B)⟺(7 ,3)

Jari-jari r=√ A2+B2−C

⟺√(7)2+(3)2−50

⟺√49+9−50

⟺√8⟺2√2

∴ Jari− jari=2√2

Jadi, tempat kedudukan titik P(x, y) adalah lingkaran dengan persamaan

x2+ y2−14 x−6 y+50=0 yang berpusat di (7, 3) dan berjari-jari 2√2.

5. PA2=(x−0)2+( y−0)2

¿ x2+ y2

PB2=(x−8cosθ)2+( y−8 sinθ)2

¿ x2−16 x cosθ+64 cos2 θ+ y2−16 y sinθ+64 sin2 θ

¿ x2+ y2−16 xcosθ−16 x cosθ−16 y sinθ+64 cos2 θ+64 sin2θ

¿ x2+ y2−16 xcosθ−16 y sinθ+64

Maka: 9 PA2=PB2

9 x2+9 y2=x2+ y2−16 xcosθ−16 y sinθ+64

9 x2+9 y2=−16 x cosθ−16 y sinθ+64

x2+ y2=−2 xcosθ−2 y sinθ+8

x2+ y2+2 x cosθ+2 y sinθ−8=0

(x+1 cosθ)2+( y+1 sinθ)2−8=0+cos2 θ+sin2 θ

(x+1 cosθ)2+( y+1 sinθ)2=8+1

(x+1 cosθ)2+( y+1 sinθ)2=9

Jadi pusat: ¿

6. A (2,1 ) dan B (4 ,−3)

( x2+x2

2 ) ,( y2+ y1

2 )⟺( 4+2

2 ) ,(−3+42 )

⟺(3 ,−1)

M (a ,b )=(3 ,−1)

r=√ (x−a )2+( y−b )2

r=√ (2−3 )2+(1−(−1))2

r=√1+4

r2=5

∴5=(x−3)2+( y+1)2

7. Garis singgung yang sejajar garis l adalah garis g1 dan g2.

l ≡3 x− y−5=0⟺ y=3 x−5

mg=ml=3

L ≡ x2+ y2=10 sehingga diperoleh r=√10

Rumus : y=mx ± r √m2+1

⟺ y=3 x ±√10 ∙√9+1

⟺ y=3 x ±10

Jadi, peramaan garis inggung adalah:

: 8

gl ≡ y=3 x+10 dan g2≡ y=3 x−10

8. L ≡ x2+ y2=13.................................................(1)

Subtitusikan P(5, 1) ke persamaan garis polar AB berikut:

Persamaan gari polar AB=x1 x+ y1 y=r2

⟺5 x+ y=13

⟺ y=13−5 x...........................................(2)

Dari (1) dan (2):

x2+ (13−5 x )2=13

⟺26 x2−13 x+156=0

⟺ x2−5 x+6=0

⟺ ( x−2 ) ( x−3 )=0

⟺ x=2atau x=3

Untuk x=2 ;diperoleh y=13−5 x=3makakoordinat A (2 ,3 ) .

Untuk x=3 ;diperoleh y=13−5 x=−2maka koordinat B (3 ,−2 ) .

Titik-titik A dan B masing-masing adalah titik singgung lingkaran, maka peramaan gari

singgung melalui:

(i) P (5,1 ) dan A (2,3 )adalah 2x+3 y=13

(ii) P (5,1 ) dan B (3 ,−2 ) adalah3 x−2 y=13

9. 2 x− y+1=0⇒ y=2 x+1..............................(1)

x2+ y2−4 x−2 y+2=0...................................(2)

Dari persamaan (1) diubtituikan ke peramaan (2):

x2+ y2−4 x−2 y+2=0

x2+(2 x+1)2−4 x−2(2 x+1)+2=0

x2+4 x2+4 x+1−4 x−4 x−2+2=0

x2−4 x+1=0

D=b2−4ac

¿(−4)2−4 ∙ 5∙ 1

¿16−20

¿−4<0

Ternyata D < 0, dengan demikian garis 2 x− y+1 tidak memotong lingkaran

x2+ y2−4 x−2 y+2=0.

10. Menghitug jarak AP

Garis g ≡2 x+ y=4

⟺2 x+ y−4=0

Misal d = jarak A(4, 2) ke garis 2 x+ y−4=0 maka

d=|2 (4 )+1 (2 )−4

√22+12 |= 6

√5

Jarak AP= 6

√5 ialah jari-jari lingkaran yang berpuat di A(4, 2), maka peramaan

lingkaran yang ditanyakan ialah:

( x−a )2+ ( y−b )2=r2

⟺ ( x−4 )2+( y−2 )2=( 6√5 )

2

⟺5(x¿¿2−8x+16)+5( y¿¿2−4 y+4)=36¿¿

⟺5 x2+5 y2−40 x−20 y+64=0

Misalkan lingkaran dan garis bersinggungan di titik P.

Garis g ≡2 x+ y=4 ⇔ y=−2 x+4.

Gradien garis g :m1=−2

Misalkan gradien garis AP=m2 maka,

m2=−1m1

=−1−2

=12

Persamaan garis AP : y− y A=m2(x−xA) di mana A(4, 2)

y−2=12(x−4)

2 y−4= x−4

2 y=x...........................(1)

2 x+ y=4...........................(2)

Dari (1) dan (2):

5 y=4⟶ y=45

x=85

∴Koordinat titik P( 85

,45 )

DAFTAR PUSTAKA

Soedyarto Nugroho dan Maryanto.2008.BSE Matematika 2 untuk SMA/MA Kelas XI

Program IPA.Jakarta:Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional.

Noormandiri B.K.2007.Matematika Jilid 2A untuk SMA Kelas XI IPA.Jakarta:Erlangga.