Download - Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong

7/17/2019 Makalah Kesebangunan Himpunan Kosong

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-kesebangunan-himpunan-kosong 1/37

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diajarkan pada setiap

jenjang pendidikan, mulai dari tingkat Sekolah Dasar, Sekolah Menengah sampai

pada tingkat perguruan tinggi. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya ilmu

matematika. Pada setiap jenjang pendidikan terdapat beberapa materi yang susah

untuk dipahami siswa, hal ini dapat diketahui berdasarkan hasil wawancara yang

dilakukan ke pihak guru yang mengajar Matematika di beberapa sekolah.

Sebagaimana yang telah disebutkan di atas, berdasarkan hasil wawancara

yang telah dilakukan pada guru matematika kelas IX di beberapa Sekolah Menengah

Pertama di kota engkulu, dapat disimpulkan bahwa materi yang susah untuk

dipahami siswa kelas IX adalah materi tentang !"esebangunan dan Himpunan

"osong#. erdasarkan pada hal tersebut, penulis beserta kelompok menuliskan

makalah ini yang berisikan materi$materi tentang "esebangunan dan Himpunan

"osong dengan pemaparan yang mudah untuk dipahami oleh siswa.

1.2. Rumusan Masalah

%. &pakah pengertian dari kesebangunan '(. agaimana menyelesaikan soal cerita pada materi kesebangunan '

). &pakah pengertian dari himpunan '

*. &pakah pengertian himpunan kosong '+. agaimana menngetahui himpunan kosong '

1.3. Tujuan

%. Mempelajari materi kesebangunan dengan mudah.

(. Mempelajari materi himpunan dengan mudah.

BAB II

TINAUAN PU!TA"A



2.1. HIMPUNAN

2.1.1. Pengert#an H#m$unan

Dalam kehidupan sehari$hari, kita sering mendengar atau menggunakan

istilah$istilah kelompok, kumpulan, kelas, atau gugus untuk mengungkapkan suatu

kumpulan objek atau benda tertentu. Istilah kelompok, kumpulan, kelas, atau gugus

dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. "onsep tentang himpunan

pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan erman, yaitu

-eorg antor yang hidup antara tahun %/*+$%0%/.

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi

batasan ) dengan jelas.

Dalam hal ini yang di maksud dide1inisikan dngan jelas adlah dapat

ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang tidak termasuk

dalam suatu himunanyang diketahui. enda$benda yang termasuk dalam suatu

himpunan disebut elemen,anggota,atau unsur dari suatu himpunan. 2ntuk selanjutnya

dipergunakan istilah anggota atau elemen.

erdasarkan de1inisi di atas,maka suatu himpunan atau kelompok benda

belum tentu merupakan suatu himpunan.

ontoh 3

"umpulan hewan berkaki empat. 4ang merupakan anggota, misalnya3 kerbau, sapi,

kuda. 4ang bukan anggota, misalnya3 ayam, itik. adi, kumpulan tersebut adalah

himpunan, karena jelas batasannya.

2.1.2. Lam%ang &an "eangg'taan !uatu H#m$unan

a. Pengert#an Angg'ta H#m$unan

Dalam bahasan pengertian himpunan, telah dibicarakan tetang

keanggotaan suatu himpunan. Setiap benda yang masuk dalam suatu himpunan

disebut anggota, elemen, atau unsur.



Misalkan, diatas piring terdapat buah$buahan yaitu + buah pisang, / buah

apel, ) buah belimbing, dan ( buah mangga. Dengan demikian dapat dikatakan

bahwa3

•

Pisang termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.• &pel termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.

• Mangga termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.

• elimbing termasuk dalam kelompok buah$buahan dalam piring.

Meskipun diatas piring terdapat + buah pisang, / buah apel, ) buah

belimbing, dan ( buah mangga, tapi pada penulisan keanggotaan himpunan, untuk

tiap$tiap kelompok buah itu hanya di tulis satu anggota saja. adi, anggota yang sama

hanya ditulis satu kali.

Himpunan dapat dinyatakan dengan menggunan tanda kurung kurawal,dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huru1 kapital, misalkan &, , , D,

dan seterusnya sampai 5.

Misalkan himpunan buah$buahan diatas piring tadi diberi nama , maka 3

B ( )$#sang* a$el* mangga* %el#m%#ng+

Dengan demikian, dapat dinyatakan sebagai berikut3

%. "arena pisang trmasuk dalam himpunan , maka pisang anggota himpunan .

(. "arena &pel termasuk dalam himpunan , maka apel anggota himpunan .). "arena mangga trmasuk dalam himpunan , maka mangga anggota himpunan

*. "arena belimbing trmasuk dalam himpunan , maka belimbing anggota

himpunan .

Dalam suatu himpunan, masing$masing anggota berbeda dengan anggota lainnya.

2ntuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu himpunan

digunakan bilangan ϵ dan untuk menyatakan benda yang bukan anggota suatu

himpunan digunakan lambang∉

.

%. Men,atakan Ban,ak Angg'ta !uatu H#m$unan



anyak anggota himpunan & dapat dinyatakan dengan notasi n6&7. adi,

notasi n67 artinya banyak anggota pada himpunan , dan n67 artinya banyak

anggota pada himpunan .

ontoh3

Diketahui M 8 9m, a, t, h:.

anyak anggota himpunan M adalah * buah.

Ditulis 3 n6M7 8 *.

-. Mengenal Be%era$a H#m$unan B#langan

;erdapat beberapa macam himpunan bilangan yang sering digunakan,diantaranya himpunan$himpunan berikut 3

1. Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama .

8 9...,$),$(,$%,<,%,(,),*,..:

2. Himpunan bilangan asli, biasanya diberi nama &.

& 8 9%,(,),*,+,..:

3. Himpunan bilangan cacah , biasanya diberi nama . 8 9<,%,(,),*,..:

. Himpunan bilangan cacah ganjil, yaitu 9%,),+,=,0,..:

/. Himpunan bilangan cacah genap, yaitu 9(,*,>,/,..:

0. Himpunan bilangan prima, yaitu 9(,),+,=,%%,..:

ilangan prima adalah bilangan yang memepunyai tepat dua 1aktor yang berbeda,

atau bilangan yang hanya habis dibagi oleh % dan bilangan itu sendiri 6kecuali %7.

. Himpunan bilangan cacah kuadrat, yaitu 9<,%,*,0,%>,..:

. Himpunan bilangan komposit, yaitu 9*,>,/,0,%<,..:

ilangan komposit 6tersusun7 adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari (

1aktor.

2.1.3. Men,atakan !uatu H#m$unan

a. Men,atakan H#m$unan &engan "ata"ata atau !#4at "eangg'taan

Menyatakan himpunan dengan kata$kata atau si1at keanggotaan himpunan

sangat berman1aat untuk himpunan yang memilki anggota sangat banyak dan tak

beraturan, karena kita akan mengalami kesulitan ketika harus menuliskan semua

anggota$anggotanya satu demi satu.



2ntuk menyatakan himpunan dengan kata$kata, perhatikan kesamaan si1at yang

dimiliki angota$anggota himpunan tersebut.

ontoh 3

& 8 9senin, selasa, sabtu:

Penulisan dengan kata$kata atau si1at keanggotaan himpuna adalah 3

& 8 9nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huru1 S:

%. Men,atakan H#m$unan &engan N'tas# Pem%entuk H#m$unan

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah

menyatakan suatu himpunan dengan syarat keanggotaan himpunan, yang dalam penilisannya menggunakan bentuk !9? @ ? ...:.#

ontoh3

Ayatakan himpunan 8 9a, b, c, d: dengan notasi pembentuk himpunanB

awab3

8 9 p @ p empat huru1 pertama dalam abjad :

-. Men,atakan H#m$unan &engan Men&a4tar Angg'taAngg'tan,a

Dengan cara ini, anggota$anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal, dan

dipisahkan dengan tanda koma 6 , 7. Pada penulisan himpunan dengan cara menda1tar

anggota$anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh

diabaikan.

ontoh 3

P 8 9nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huru1 :.Penulisan dengan menda1tar anggota$anggotanya adalah sebagai berikut.

P 8 9anuari, uni, uli: atau P 8 9uni, anuari, uli:



ika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan memiliki pola

tertentu, maka penulisannya dapat dilakukuan dengan menggunakan tiga buah titik,

dibaca !dan seterusnya#.

ontoh 3

& 8 9bilangan asli: dapat kita tuliskan sebagai3

& 8 9%,(,),*,...:

2.1.. H#m$unan "'s'ng

Himpuna kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. 2ntuk

memahami pengertian himpunan kosong, ikuti uraian berikut 3

Misal, didalam keranjang terdapat isolati1, stapler, tip$e?, dan stabilo sehingga

terbentuk 9 isolati1, stapler, tip$e?, stabilo:. "emudian, pertama tip$e? yang ada di

dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi 9isolati1, stapler, stabilo, ke$(

stabilo yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi 9solati1,

stapler, ke$) solati1 yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi

9stapler, ke$* stapler yang ada di dalam keranjang kita ambil, himpunannya menjadi

himpunan yang tidak mempunyai anggota yang disebut himpunan kosong, ditulis

dengan notasi 9 : atau∅

.

ontoh 3

Di kelas & terdapat %< orang siswa yang sedang belajar, mereka adalah Aurul, Ciky,

Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani, Cahma, Sinta dan Eajar. Sehingga terbentuk

sebuah himpuan & dengan anggota Aurul, Ciky, Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani,

Cahma, Sinta dan Eajar. & 8 9Aurul, Ciky, Satrio, &rmita, Aadya, Indry, Dhani,

Cahma, Sinta dan Eajar:. Dan pada hari Minggu mereka semua tidak berada di kelasdikarenakan libur. adi kelas itu kosong pada hari Minggu. "elas yang kosong

tersebut disebut himpunan kosong, karena tidak ada anggota di dalamnya.

Himpunannya menjadi & 8 9 ∅ :.



2.2. "ese%angunan

"esebangunan adalah sesuatu benda F bangun datar yang memiliki bentuk yang

sama tetapi memiliki ukuran yang berbeda. 4ang mana berguna juga untuk

menghitung tinggi suatu benda yang sulit diukur secara langsung.

2.2.1. !,arat "ese%angunan Dua Bangun Datar

a. !,arat Dua Bangun ,ang !ama &an !e%angun 5 "'ngruen6

Dua buah bangun datar yang tepat saling menutupi atau tepat saling berimpit disebut

dua bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.

%. !,arat Dua Bangun ,ang !e%angun

Dua buah bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama, tetapi ukuran atau

besarnya berlainan disebut bangun$bangun yang sebangun.



adi, Perbandingan bagian$bagian yang bersesuain adalah sama, yaitu

GE 3 & 8 GH 3 &D 8 ) 3 %.

2kuran sudut$sudut yang bersesuain juga sama, yaitu3

∠ A 8 ∠ E=90 °

∠B=∠ F =90°

∠C =∠G=90 °

∠ D=∠ H =90 °

adi, persegi panjang &D dan GE-H !e%angun dan keduanya memiliki si1at$si1at

berikut3

1. Pasangan sisi yang bersesuain sebanding dan

2. Sudut-sudut yang bersesuain sama besar.

-. Menentukan Panjang !#s#

-.1. Menentukan Panjang !#s# $a&a Dua Bangun ,ang !ama &an !e%angun

2ntuk menentukan panjang sisi pada dua bangunan yang sama dan sebangun ,

gunakan ketentuan yang sudah dibahas. 4aitu3

ika dua bangun sama dan sebangun maka 31. Pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang dan

2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

ontoh3



Pada gambar diatas,∆ ABC dan ∆≝¿

sama dan sebangun. ika diketahui panjang

& 8 / cm, & 8 > cm, dan DE 8 = cm. ;entukan panjang DG, GE, dan B

awab3

"arena,

∆ ABC dan ∆≝¿ sama dan sebangun. Maka 3

& 8 DG, jadi DG 8 / cm

& 8 G, jadi GE 8 > cm

8 D, jadi 8 = cm

-.2. Menentukan Panjang !#s# $a&a Dua Bangun ,ang !e%angun

2ntuk menentukan panjang sisi pada dua bangun yang sebangun , gunakan

ketentuan yang telah dibahas.

ika dua bangun sebangun maka 31. Sisi yang bersesuain sebanding.

2. Sudut-sudut yang bersesuain sama besar.

ontoh3

-ambar dibawah ini menunjukkan dua bangun yang sebangun. Hitunglah 3

a. Panjang & b. Panjang C



awab3

leh karena bangun &D dan PCS sebangun, maka sisi yang bersesuain

sebanding.

a.

AB

PQ

= DC

SR

AB

12=6

9

0& 8 %( ? >

0& 8 =(

& 8 =(F0& 8 /

adi panjang & 8 / cm.

b.

AD

QR = DC

SR

4

QR=6

9

>C 8 * ? 0

>C 8 )>C 8 )>F>

C 8 > cm

adi panjang C8 > cm

2.2.2. !eg#t#ga!eg#t#ga !ama Dan !e%angun

a. !,arat Dua !eg#t#ga !ama Dan !e%angun



Pada cermin datar, bangun asli dengan bayangannya merupakan bangun$

bangun yang sama dan sebangun, demikian juga segitiga dan bayangannya adalah

bangun$bangun yang sama dan sebangub atau kongruen.

Perhatikan gambar 3

ika∆ ABC

dire1leksikan 6dicerminkan7 terhadap garis X4, maka bayangannya

adalah ∆ A ' B ' c . adi, J& dan J&KKK sama dan sebangun.

Selanjutnya J&KKK ditranslasikan 6digeser7 kekanan, maka akan berimpit atau tepat

menutupi JDGE. maka J&KKK dan JDGE sama dan sebangun.

"arena ∆ ABC sama dan sebangun dengan J&KKK, dan sama dan sebangun

dengan JDGE, maka ∆ ABC sama dan sebangun dengan JDGE.

"arena∆ ABC

dan JDGE sama dan sebangun, maka

∠ A 8 ∠ E

∠B

8

∠ D

∠C 8 ∠ F

& 8 GD

8 DE

& 8 GE

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa 3

Jika dua buah segitiga sama dan sebangun, maka

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar



%. !#4at!#4at Dua !eg#t#ga !ama &an !e%angun

Dua buah bangun yang sama bentuk maupun ukurannya dikatakan dua bagun

yang sama dan sebangun. adi, jika dua byah bangun yang sama dan sebangun

diimpitkan maka kedua bangun tersebut akan tepat saling menutupi atau bagian$

bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengann tepat.

Demikian halnya dengan segitiga, dua buah segitiga dikatakan sama dan

sebangun apabila ketiga segitiga itu diimpitkan maka keduanya akan tepat saling

menutupi atau bagian$bagian yang bersesuaian saling menempati dengan tepat.

Perhatikan gambar berikut 3

ika J& diimpitkan pada JDGE, maka

∠ A ↔∠ D sebab ∠ A=∠ D

∠B ↔∠ E sebab

∠B=∠ E

∠C ↔∠ F sebab ∠C =∠ F

&↔

DG sebab & 8 DG



&↔

DE sebab & 8 DE

↔ DE sebab 8 DE

adi J&↔

JDGE, berarti J& dan JDGE sama dan sebangun 6kongruen7.

2ntuk menentukan dua segitiga yang sama dan sebangun, dapat dilakukan

berdasarkan unsure$unsur pada segitiga, yaitu panjang sisi dan besar sudut. Dengan

demikian, berdasarkan pada panjang sisi dan besar sudutlah kita dapat menyelidiki

apakah dua segitiga sama dan sebangun atau tidak seperti berikut 3

%.1. "et#ga !#s# ,ang Bersesua#an !ama Panjang 5s#s#* s#s#* s#s#6.

Dari gambar, jika J& diimpitkan pada JPC maka

& ↔ P sebab & 8 P

&↔

PC sebab & 8 PC

↔ C sebab 8 C

adi, J& dan JPC saling menempati denagn tepat, sehingga J& dan

JPC sama dan sebangun.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut 3

ontoh3

Jika dua buah segitiga memiliki sisi bersesuaian yang sama panjangmaka kedua segitiga itu sama dan sebangun



Perhatikan gambar berikutB

a7 uktikan bahwa J& dan J"LM sama dan sebangunB

b7 Sebutkan pasangan sudut yang sama besarB

awab 3

a7 Perhatikan J& dan J"LM

& 8 L"

& 8 LM

8 "M

"arena ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang, maka J& dan J"LM sama

dan sebangun 6sisi, sisi, sisi7.

b7

Pasangan sudut yang sama besar adalah

∠ A=∠ L ∠B=∠ K ∠C =∠ M

Sudut$sudut yang sama besar dapat juga ditentukan dengan cara berikutAC = LM

∠B menghadap

AC

∠ K menghadap

A = L!

∠C menghadap

A

∠ M menghadap

C = !M

∠ A menghadap

C

∠ L menghadap



%.2. "et#ga !u&ut ,ang Bersesua#an !ama Besar 5s&* s&* s&6

Pada gambar,∠ K =∠ R

sehingga kaki∠ K

dan kaki∠ R

dapat berimpit,

tetapi belum tentu tepat saling menutupi, sebab tidak diketahui apakah "L 8 CS atau

"M 8 C;.

Demikian juga untuk ∠ L=∠S dan ∠ M =∠T , belum tentu LM 8 S;. oleh

karena J"LM dan JCS; belum tentu tepat saling menutupi, maka J"LM dan JCS;

belum tentu sam dan sebangun.

%.3. Dua !#s# !ama Panjang &an !u&ut ,ang D#a$#t !ama Besar 5s#s#* su&ut* s#s#6

Catatan" sudut-sudut yang sama besar menghadap pada sisi-sisi

Jika dua buah segitiga memiliki sudut-sudut yangbersesuaian sama besar maka kedua segitiga itu belum



ontoh3

Perhatikan gambar

%7 uktikan bahwa JPC dan J4X5 sama dan sebangunB

(7 Sebutkan pasangan sudut yang sama besarB

awab 3

%7 Perhatikan JPC dan J4X5P 8 4X∠ P=∠Y

PC 8 45

JPC dan J4X5 mempunyai dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan

satu sudut apit yang sama besar.

adi, JPC dan J4X5 sama dan sebangun 6sisi, sudut, sisi7.

(7 Pasangan sudut yang sama besar adalah 3∠ P

=∠Y

,∠Q

=∠ X

, dan∠ R

=∠Z

%.. !atu !#s# &an Dua !u&ut 5s&* s&* s#s#6* 5s&* s#s#* s&6* atau 5s#s#* s&* s&6

ontoh 3

Perhatikan gambarB



%7 uktikan bahwa JPC dan J;S2 sama dan sebangunB(7 Sebutkan pasangan sisi yang sama panjangB

awab3

%7 Perhatikan JPC dan J;S2

P 8 ;S 8 +cm∠Q=∠S=40°

∠ R=∠U =85°

adi, JPC dan J;S2 sama dan sebangun 6sisi, sudut, sisi7

(7 Pasangan sisi yang sama panjang adalahP 8 ;S PC 8 ;2 C 8 S2

-. Menentukan Panjang !#s# &an Besar !u&ut $a&a !eg#t#ga ,ang !ama &an!e%angun

2ntuk menentukan panjang sisi atau besar sudut dari segitiga$segitiga yang sam

dan sebangun, terlebih dahulu tentukan sudut$sudut yang sama besar atau sisi$sisi

yang sama panjang. ika segitiga$segitiganya belum diketahui sama dan sebangun,

terlebih dahulu harus diperiksa apakah segitiga$segitiga tersebut sama dan sebangun

atau tidak.

ontoh3

Pada gambar berikut diketahui J& dan JPC sama dan sebangun. ;entukan besar

∠ R B



awab3

& dan JPC sama dan sebangun, maka

∠B=∠Q=50 °

∠ R ( %/< ° 60< N ∠Q 7

8 %/< °

60< °

N +< °

7

8 %/< ° %*< °

8 *< °

2.2.3. !eg#t#gaseg#t#ga ,ang !e%angun

a. !,arat &ua seg#t#ga ,ang se%angun

a.1. !eg#t#ga se%angun %er&asarkan su&utsu&ut %ersesua#an

Perhatikan segitiga & dan Segitiga DGE pada gambar di atasB

∠ A=∠ D(karena e!ada")

∠B=∠ E (karena e!ada")



∠C =∠ F (karena ked#a #d#$ %an&a(n a)a)

adi, * ABC dan *≝¿ sama sudut 6 sudut$sudut bersesuaian sama besar7.

"ita periksa perbandingan sisi yang bersesuaian.

& 3 DG 8 ) 3 *

& 3 DE 8 ) 3 *

3 GE 8 ) 3 *

adi, sisi$ sisi yang bersesuaian pada

* ABC

dan

*≝¿sebanding

Selanjutnya perhatikan, * ABC dan * PQR B

∠ A=∠ P(karena e!ada")

∠B=∠Q(karena e!ada")

∠C =∠ R(karena ked#a #d#$ %an&a(n a)a)

adi, * ABC dan * PQR sama sudut 6 sudut$sudut bersesuaian sama besar7.

"ita periksa perbandingan sisi yang bersesuaian.

& 3 P 8 ) 3 > 8 % 3 (

& 3 PC 8 ) 3 > 8 % 3 (

3 C 8 ) 3 > 8 % 3 (

adi, sisi$ sisi yang bersesuaian pada * ABC

dan * PQR

sebanding.



Dari hasil$hasil di atas dapat disimpulkan sebagai berikut 3

ontoh 3

%. Dalam * ABC dan * PQR diketahui besar ∠BAC =60° +∠ ABC =40 ° +

∠QRP=60 °+dan∠ PRQ=80 ° .

elaskan mengapa kedua segitiga itu sebangun' "emudian sebutkan pasangan sisi

bersesuaian yang sebandingB

awab 7

Pada * ABC

3 Pada * PQR

3

Jika sudut-sudut yng bersesuaian pada dua buah segitiga sama

besar maka sisi-sisi yang bersesuaian adalah sebanding.

Jadi, jika sudut-sudut yang bersesuaian pada dua buah segitiga

sama besar maka kedua segitiga itu pasti sebangun



∠BAC =60° ∠QPR=60°

∠ ABC =40 ° ∠ PRQ=80 °

∠ ACB=180°−(60°+40°) ∠ PQR=180°−(60°+80°)

¿180°−100°

¿180°−140°

¿80 °

¿40 °

∠BAC =∠QPR=60°

∠ ABC =¿ ∠ PQR=40 °

∠ ACB=∠ PRQ=80°

adi, * ABC

dan * PQR

sebangun karena sudut$sudut yang bersesuaian sama

besar.

Pasangan sisi bersesuaian yang sebanding adalah 3

AB

PQ=

AC

PR =

BC

QR

!#s# ,ang %ersesua#an &a$at &#tentukan &engan -ara %er#kut #n#

∠ ABC =∠ PQR

∠ ACB=¿

∠ PRQ

∠BAC =∠QPR

∠ ACB=¿

∠ PRQ

∠BAC =∠QPR

∠ ABC =¿

∠ PQR



a.(. !eg#t#ga !e%angun Ber&asarkan !#s#!#s# ,ang Bersesua#an

Perhatikan gambar berikutB

Pada gambar di atas, * ABC

dan *≝¿ memiliki sudut$sudut

bersesuaian yang sama besar yaitu ∠ A=∠ D +∠B=∠ E + dan∠C =∠ F . Panjang sisi$

sisi pada *≝¿

adalah ( kali panjang sisi$sisi pada * ABC

yang bersesuaian,

maka 3

& 3 DG 8 % 3 (

& 3 DE 8 % 3 ( 3 C 8 % 3 (

adi, * ABC dan *≝¿ memiliki sisi$sisi bersesuaian yang sebanding.

Hal ini berarti bahwa, * ABC

dan *≝¿

sebangun.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut 3

ontoh 3

Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua buah segitiga

sebanding atau memiliki perbandingan yang sama maka

sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Jadi, jika sisi-sisi yang bersesuaian pda dua buah segitiga

sebanding maka kedua segitiga itu sebangun.



%. Dalam * ABC

dan * PQR diketahui panjang sisi &8 / cm, 8 > cm,

& 8 %< cm, P 8 %( cm, C 8 0 cm, dan PC 8 %+ cm. elaskan mengapa kedua

segitiga itu sebangun' "emudian sebutkan pasangan sudut$sudut yang sama

besarB

awab 3

Pada * ABC 3 Pada * PQR 3

& 8 / cm P 8 %( cm

8 > cm C 8 0 cm

& 8 %< cm PC 8 %+ cm

& 3 P 8 / cm 3 %( cm & 3 PC 8 %< cm 3 %+ cm

8 ( 3 )

3 C 8 > cm 3 0 cm

8 ( 3 )

adi, * ABC

dan * PQR

sebangun, karena sisi$sisi yang bersesuaian

sebanding.

Pasangan sudut yang sama besar adalah 3



∠ A=∠ P

∠B=∠Q

∠C =∠ R

a.3. !eg#t#ga !e%angun Ber&asarkan !atu !u&ut &an Dua !#s# ,ang Menga$#t

!u&ut

ontoh 3

Pada gambar di atas, diketahui besar∠ A=40°

, panjang & 8 ) cm, & 8 (,+ cm ,

DG 8 > cm, dan DE 8 + cm

Maka 3

∠ A=∠ D=40°

& 3 DG 8 ) 3 > 8 % 3 (

& 3 DE 8 (,+ 3 + 8 % 3 (

adi, pada * ABC

dan *≝¿ tersebut diketahui sebuah sudut sama besar dan

dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding.

&pakah * ABC sebangun dengan *≝¿ ' 2ntuk membuktikannya, lakukan

langkah O langkah berikut iniB



%. ;entukan ∠B +∠C +∠ E +∠ F dengan menggunakan busur derajat secara teliti

(. Dengan menggunakan penggaris, tentukan panjang dan GE, kemudian buatlah

perbandingannya dalam bentuk sederhana

). Pasangkanlah sudut$sudut bersesuaian yang sama besar dan sisi O sisi bersesuaianyang sebanding.

Dari hasil jawaban di atas dapat disimpulkan, jika dua segitiga memiliki satu sudut

sama besar dan dua sisi bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding maka dua

segitiga itu sebangun

2.2.. !eg#t#ga!eg#t#ga $a&a !eg#t#ga !#ku!#ku &an !eg#t#ga &engan 8ar#s

!ejajar

a. !eg#t#ga !#ku!#ku !e%angun $a&a !eg#t#ga !#ku!#ku &engan 8ar#s T#ngg#

ke !#s# M#r#ng

Perhatikan gambar B

Segitiga & pada gambar siku$siku di & dan &D adlah garis tinggi ke sisi

miring . Dengan memperhatikan sudut$sudutnya, maka terdapat tiga segitiga

sebangun, yaitu J&D, J&D, dan J&.

erdasarkan pasangan segitiga yang sebangun, maka dapat ditentukan rumus$

rumus berikut ini.

%. Perhatikan gambar



J&D dan J&D sebangun, maka 3

AD

CD 8BD

AD

&D ? &D 8 D ? D

&D( 8 D ? D

(. Perhatikan gambarB

J&D dan J& sebangun, maka

ABBC 8

BD

AB

& ? & 8 D ? &( 8 D ?

). Perhatikan gambar



JD& dan J& sebangun maka

AC

CB 8CD

AC

& ? & 8 D ? &( 8 D ?

2ntuk lebih mengingat rumus tersebut, perhatikan arah garis berpanah pada

masing$masing gambar berikut ini.

ontoh3

Segitiga & disamping siku$siku di &. Panjang 8 (< cm dan D 8 / cm.

;entukan panjang &DB



awab3

8 (< cm

D 8 / cm

D 8 (< O /

8 %( cm

&D( 8 D X D

&D( 8 / X%(

&D( 8 0>

&D 8 √ 96

atau

&D 8 √ 16 , 6

8 * √ 6

adi panjang &D 8 √ 96 atau * √ 6 cm

%. !eg#t#ga !e%angun $a&a !eg#t#ga &engan 8ar#s8ar#s !ejajar

Dalam J&, DG FF &.

Perhatikan JDG dan J&B



∠CDE 8 ∠CAB 6sehadapan7

∠CED 8 ∠CBA 6sehadapan7

∠ DCE 8 ∠ ACB 6sehadapan7

adi, JDG dan J& sebangun karena sudut yang bersesuaian sama bessar, seingga

diperoleh rumus berikut ini.

2ntuk gambar di atas, berlaku rumus berikut3

CDCA 8 CECB 8 DE AB

&tau

a

a+- 8c

c+d 8e

.

2ntuk selanjutnya, perbandingan garis di atas dapat digunakan dalam prhitungan

tanpa membuktikan segitiga$segitiga sebangun.

ontoh3



Dalam J&, DG FF &. Panjang DG 8 / cm, & 8 %( cm, &D 8 * cm, dan G 8 %<

cm.

Hitunglah3

a. Panjang D, b. panjang G

awab3

a.CD

CA 8 DE

AB

CD

CD+4 88

12

%( D 8 /6DN*7%(D 8 /D N )(

%(D O /D 8 )(

*D 8 )(

D 832

4

D 8 /

adi, D 8 / cm

b.CE

CB 8 DE

AB

10

CB 88

12

/ 8 %< ? %(

/ 8 %(<

8120

8

8 %+

adi, G 8 O G

8 6%+ O %<7 cm

8 + cm

Selanjutnya, perhatikan gambar untuk uraian berikut.



a

a+- 8c

c+d

a6c N d7 8 c 6a N b7 6perkalian silang7

ac N ad 8 ac N bc

ac N ad O ac 8 bc

ad 8 bca

- 8c

d

a

c 8-

d

erdasarkan penjelasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut 3

ontoh3

Dari JPC disamping, P FF S;, CS 8 > cm, CP 8 / cm, dan C; 8 0cm.

erapakah panjang ;'

awab3

erlaku rumus

a

- =c

d ataua

c



RS

SR 8 RT

TQ

6

2 89

TQ atau

>; 8 ( ? 0

>; 8 %/

; 8 %/F>

; 8 )

adi, panjang ; 8 ) cm

RS

RT 8SP

TQ

6

9 82

TQ

>; 8 ( ? 0

>; 8 %/

; 8 %/F>

; 8 )

2.2./. Penera$an "ese%angunan $a&a !'al 9er#ta

2ntuk menyelesaikan soal cerita, dapat di bantu dengan membuat sketsa atau gambar.

Dari gambar itu, kita dapat menyelesaikan soal cerita berdasarkan kesebangunan.

ontoh3

Pada gambar dibawah ini, tongkat bdan pohon berturut$turut mempunyai panjang

bayangan + m dan (< m. jika tinggi tongkat adalah *m, hitunglah tinggi pohon 6t7B



awab3

4

$ 85

20

+ ? t 8 * ? (<

+t 8 /<

t 8 /< F +

t 8 %>

adi, tinggi pohon 8 %> meter.

BAB III

PEMBAHA!AN

3.1. !'al &an Pem%ahasan

3.1.1. H#m$unan "'s'ng

%. uatlah soal tentang himpunan kosongB

3.1.2. "ese%angunan

%. Menghitung salah satu sisi yang belum diketahui.

Perhatikan gambarB



ika diketahui & 8 > cm

& 8 0 cm

D 8 ) cm

Maka panjang DG 8 'Perbandingannya adalah

AB

DE 8 AC

DC

6 DE 8

93

0DG 8 > / )

DG 8 ( cm

(. Hitung tinggi tiang bendera dengan memperbandingkan tinggi anak terhadap

tinggi tiang bendera dan panjang bayangan anak terhadap panjang bayangan tiang

bendera. Sketsanya seperti di bawah ini.

Penyelesaian

AB

DE 8BC

DC

AB

165 82000

350

& 82000 , 165

330



& 8 %<<< cm 8 %< m

adi, tinggi tiang bendera adalah %< m.

). Perhatikan gambar trapesium di bawahB

ika &G 81

3 AD

Hitung panjang GE

Penyelesaian3

AE=1

3 AD

AE=1danDE=2

EF = AB/ DE / AE / DC

AE+ ED

EF =4c)/2+1/10c)

1+2

EF =6,33c)

BAB I:

PENUTUP

.1. "es#m$ulan

Dua buah bangun datar yang btepat saling menutupi atau saling berimpit disebut dua

bangun yang sama dan sebangun. Sedangkan dua buah bangun datar yang

mempunyai bentuk sama tetapi ukuran atau besarnya berlainan disebut bangun yang

sebangun. Dan benda O benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota,

elemen atau unsur dari suatu himpunan.



.2. !aran

Diharapkan dengan mempelajari materi kesebangunan dan himpunan kosong siswa

tidak hanya mampu secara teori melainkan mampu mengaplikasikannya dalam

kehidupan.

DA;TAR PU!TA"A

holik, M &dinawan.Matematika untuk SMPFM;s "elas QII Semester

%.akarta3Grlangga.(<%).