Bahasa
Halaman
Hukum
1
Makalah Kimia Fisika Materi Teori Kuantum
Kelompok 2
1. Annisa Larasati 1306405723
2. Aulia Rahmi H. 1306370631
3. Mutiara Primaster 1306405723
4. Putri Rokhmayati 1306370543
5. Raudina 1306370594
Departemen Teknik Kimia
Fakultas Teknik
Universitas Indonesia
2014
2
BAB I
ISI
1. Persamaan Schrdinger
Persamaan Schdinger merupakan suatu bentuk fungsi gelombang yang
digunakan untuk mengetahui perilaku gelombang dari suatu partikel.
Persamaan Schrdinger memiliki dua bentuk yaitu persamaan yang melibatkan
waktu sebagai variabel dan persamaan yang tidak melibatkan waktu sebagai
variabel. Pada subbab ini, akan dibahas mengenai persamaan Schrdinger yang
tidak melibatkan waktu sebagai variabel (keadaan tetap).
Persamaan Schrdinger dikatakan sebagai postulat. Untuk kasus satu-
dimensi, bentuk persamaannya adalah:
2
82
2
2+ () =
Dimana m adalah massa dari suatu partikel, U(x) adalah energi potensial
saat posisi (x) tertentu dan adalah fungsi gelombang.
Fungsi gelombang dapat digunakan untuk mendapatkan berbagai properti.
Sebagai contoh, densitas probabilitas saat berbagai nilai x. Densitas probabilitas
ini didapatkan melalui nilai kuadrat fungsi solusi, , saat posisi x. Untuk
menentukan kemungkinan kedua, tidak dapat ditulis 2 namun dimana
adalah konjugat dari .
1.1. Contoh Partikel pada Sebuah Garis
Diibaratkan terdapat sebuah partikel dengan massa m bergerak pada
sebuah garis dengan panjang a. Dianggap energi potensial pada titik
tersebut adalah nol, dengan energi potensial diluar titik tersebut sangat
tinggi.
Saat 0 < x < a, dimana U(x) = 0, persamaan Schrdinger menjadi:
2
82
2
2 = 0 < <
Energi potensial pada x < 0 dan x > a sangat tinggi, dan probabilitas
partikel pada wilayah ini adalah 0. Sehingga diluar garis, nilai 2, dan juga
nilai adalah nol. Untuk menghindari diskontinuiti pada x = 0 dan x = a,
fungsi di sepanjang garis harus bernilai 0 saat x = 0 dan x = a.
3
Dengan kondisi batas yang ada, nilai :
= sin
= 1, 2, 3,
Dimana n = 1, 2, 3, dst dan A adalah konstan. Jika dihubungkan dengan
persamaan Schrdinger, didapatkan persamaan pada sisi kiri dan sisi kanan
berupa:
= 2
82(
22
2)
=
22
82
=
Sisi kiri dan sisi kanan bernilai sama, dan persamaan
=
merupakan solusi jika
= 22
82 = 1, 2, 3,
Selanjutnya, dijelaskan bentuk fungsi gelombang () beserta densitas
probabilitas (2) untuk setiap n dan energi () yang bersesuaian pada
gambar
Gambar 1. fungsi gelombang () beserta densitas probabilitas (2) untuk
setiap n dan energi () yang bersesuaian.
4
1.2. Bentuk Eksponensial
Untuk beberapa fungsi gelombang trigonometri maupun fungsi
gelombang itu sendiri, dapat digunakan persamaan bentuk eksponensial
yang digambarkan berupa:
= cos + sin = cos sin
dan dapat disederhanakan menjadi:
sin =
2 cos =
+
2
1.3. Normalisasi
Untuk sistem satu-dimensi, didapatkan:
2 = 1
0
Untuk partikel pada sebuah garis dengan panjang a,
2 = 1
0
Jika solusi dari persamaan Schrdinger memenuhi persamaan di
atas, fungsi solusi dianggap telah dinormalisasi. Normalisasi menentukan
nilai yang harus dimasukkan ke dalam variabel A pada persamaan:
=
dan didapatkan:
2 2
= 1
0
Dengan menganggap = / maka:
2 2
=
0
2 2
0
Sehingga:
2 = (
2)
2
= 1
4(2 2 + 2)
= 1
2
2 2
2
= 1
2
1
2cos 2
Dapat ditulis integral berupa:
5
2
0
= (1
2
1
2cos 2)
0
= (
2
sin 2
4) 0
=
2
Menjadi:
2 2
=
0
2
2= 2
2= 1
Persamaan di atas membuktikan bahwa nilai A haruslah (2/)1/2
dan fungsi gelombang yang telah dinormalisasi adalah:
= (2
)
1/2
Kurva fungsi yang telah dinormalisasi terhadap fungsi 2 yang
berkaitan dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. Ilustrasi saat = 2/ sin(/) dinormalisasi, area
dibawah kurva 2 = (2/)2(/) antara x = 0 dan x = a adalah 1.
1.4. Sifat Tegak Lurus
Fungsi dan dikatakan tegak lurus jika = 0. Diketahui
melalui Gambar 1, nilai intergral saat n = 1 dan n = 2 bernilai nol. Sehingga
nilai dikatakan valid jika .
0
= 2
sin
0
2
2
2
0
= 1
2 [(
(+)
+ (+)
) (()
+ ()
)]
0
= 1
2 [2 cos( + )
2 cos( )
]
0
Selain = , integral bernilai 0.
6
2. Partikel Di Dalam Kotak
Dalam sistem tiga-dimensi, terdapat tiga koordinat yang harus diperhatikan
yaitu x, y, dan z. Energi potensial di dalam kotak uniform sehingga dapat
dianggap 0, namun energi potensial di luar kotak bernilai tinggi. Dimana:
(, , ) = () + () + ()
Persamaan Schrdinger untuk partikel di dalam kotak:
2
82(
2
2+
2
2+
2
2) + [() + () + ()] =
Dalam sistem dengan banyak variabel, dapat digunakan prosedur pemisahan
variabel.
(, , ) = ()()()
Sehingga:
2
82[()()
2()
2+ ()()
2()
2+ ()()
2()
2]
+ [() + () + ()]()()()
= [()()()]
Dengan membagi ()()() didapatkan:
2
82[
1
()
2()
2+
1
()
2()
2+
1
()
2()
2]
+ [() + () + ()] =
Selain bentuk di atas, terdapat dua jenis lain persamaan Schrdinger yaitu:
2
82
1
()
2()
2+ () =
atau
2
82
2()
2+ ()() = ()
Jika dihubungkan dengan bentuk persamaan sistem satu-dimensi, solusi sistem
persamaan tiga-dimensi dapat berupa:
() =
=
22
82 = 1, 2, 3,
() =
=
22
82 = 1, 2, 3,
7
() =
=
22
82 = 1, 2, 3,
2.1. Fungsi Probabilitas
Densitas probabilitas, 2 adalah fungsi tiga-dimensi yang sulit dinyatakan.
Salah satu prosedurnya adalah dengan mengulang kurva satu dimensional
gambar 1 untuk melihat faktor terpisah antara arah x, y, dan z. Dapat
digambarkan nilai 2 melalui gambar 3.
Gambar 3. Densitas probabilitas 2 saat energi terendah = =
= 1, untuk partikel dalam kotak. Densitas dari titik proporsional
terhadap nilai fungsi 2.
2.2. Energi
Energi yang diperbolehkan bagi partikel dalam sistem tiga-dimensi
adalah:
= + + = (2
+ 2
+ 2
)2
82
= 1, 2, 3,
= 1, 2, 3,
= 1, 2, 3,
8
3. Quantum Mechanical Operators
3.1. Persamaan Schroedinger Bebas Waktu (PSBW)
Persamaan Schroedinger untuk partikel bermassa m dalam daerah
tiga dimensi dan energi potensial U(x,y,z) adalah :
2
82 [
2
2+
2
2+
2
2 ] + (, , ) = (1)
Nilai yang memenuhi persamaan ini pada umumnya hanya ada
untuk nilai-nilai tertentu, dan nilai-nilai ini adalah energi dari keadaan
sistem. Persamaan (1) dapat ditulis menjadi
[
(
+
+
) + (, , )] = (2)
Nilai pada kurung siku dinamakan sebagai operator persamaan yaitu
hamiltonian operator tiga dimensi. Operator tersebut dilambangkan dengan
, sehingga persamaan (2) menjadi
= (3)
Fungsi yang memenuhi persamaan (3) dinamakan persamaan harga
eigen, dan harga tetap E yang merupakan solusi yang dikenal sebagai nama
persamaan karakteristik, suatu topik penting dalam pembelajaran tentang
persamaan diferensial.
3.2. Operator dan Postulat dari Mekanika Kuantum
Tiga postulat dasar dalam menyelesaikan mekanika kuantum adalah
sebagai berikut :
a. Nilai setiap sifat fisika dari mekanika kuantum dapat dideduksi
dengan mengoperasikan fungsi eigen dengan operator yang sesuai.
Pada umumnya, operasi tersebut antara fungsi eigen dengan
Hamiltonian operator. Contohnya adalah persamaan Schroedinger.
b. Dua operator dasar untuk sifat fisika yaitu operator untuk posisi dan
operator untuk momentum.
Operator posisi dalam sistem berdimensi satu adalah
= (4)
Dimana adalah simbol dari operator dan x adalah operatornya.
Operator momentum pada arah x adalah
9
=
2
(5)
c. Dua situasi berbeda ketika nilai semua properti dari sistem mekanika
kuantum terdiri dari fungsi eigen dengan operator yang sesuai dengan
properti fisiknya tersebut.
Kuantisasi, nilai-nilai yang diperoleh. Jika untuk properti fisik
tertentu, operator A adalah sedemikian rupa sehingga
= (6)
Ketika a adalah sebuah angka atau kumpulan angka, maka nilai
dari properti fisik adalah nilai dari a.
Rata-rata, nilai-nilai yang dihitung. Jika untuk fisik properti yang
lainnya, operator B sedemikian hingga menjadi
(7)
Nilai rata-rata ditentukan dengan cara :
< > =
2 (8)
3.3. Turunan Operator untuk Energi Kinetik
Operator untuk properti fisi dapat ditentukan dari operator posisi dan
operator momentum. Salah satunya adalah operator energi kinetik. Energi
kinetik adalah mv2 atau dapat ditulis juga dengan (mv)2/2m. Dimana
(mv) merupakan momentum operator, dengan mensubstitusikan nilai dari
operator momentum ke persamaan energi kinetik, maka operator energi
kinetik adalah :
=1
2 (
2
) (
2
) (9)
= 2
82
2
2 (10)
,
= 2
82 (
2
2+
2
2+
2
2) (11)
10
3.4. Partikel Bebas dalam Satu Dimensi
Sebelumnya, telah dijelaskan siftdari partikel dalam satu garis,
sekarang akan dibahas mengenai partikel yang bergerak bebas dalam arah
tertentu. Pertama, kembali ke persamaan Schroedinger pada satu dimensi
dan energi potensial = 0, yaitu persamaan
2
82 [
2
2] = (12)
Dengan melakukan diferensiasi sebanyak dua kali kemudian
mensubstitusikannye kembali ke persamaan awal, didapatkan persamaan
umum berupa persamaan sinus dan cosinus yaitu :
= sin + cos (13)
Dimana k adalah bilangan positif maupun negatif.
Energi dari partikel ini dapat ditentukan dengan mensubstitusikan
persamaan 13 kedalam persamaan Schroedinger menggunakan operator
energi kinetik. Hasilnya adalah :
=22
82 (14)
Energi bergantung pada nilaik k, sehingga k harus dirumuskan
dalam fungsi gelombang sehingga
=2
2 (15)
Hasil yang sama akan didapatkan dengan menuliskan fungsi
gelombang sebagai fungsi eksponensial
= + (16)
Energi pada partikel yang bergerak bebas ini adalah energi kinetik,
sehingga KE = mv2 = (mv)2/2m atau (mv)2 = 2mKE. Dengan
mensubstitusikan persamaan energi kinetik (14), didapatkan
11
2 = 2 22
82=
22
42
=
2 (17)
Dengan membandingkan dengan persamaan de Broglie yaitu =
nilai k dapat dirumuskan menjadi =
2
. kembali ke persamaan
gelombang (13) dan (16), dengan memasukkan nilai k didapat :
= sin2
+ cos
2
(18)
Dan = 2/ + 2/ (19)
4. Metode Variasi
Metode ini digunakan ketika persamaan Shroedinger tidak dapat
menentukan hasil dari persamaannya.
4.1. Penyusunan Persamaan Schroedinger
Energi dari sebuah sistem mekanika kuantum diperoleh jika fungsi
solusi dapat ditemukan untuk operator Hamiltonian.
= (3)
Dengan mengalikan kedua sisi dengan didapatkan =
dimana adalah angka bukan operator persamaan menjadi
=
persamaan integralnya menjadi
=
(20)
4.2. Aproksimasi untuk Solusi Persamaan
Jika dengan persamaan (20) tidak ditemukan juga solusinya, maka
gunakanlah fungsi yang merupakan aproksimasi terhadap solusi dari
persamaan (20) tersebut. Untuk menentukan aproksimasi suatu fungsi,
12
dilakukan dengan prinsip-prinsip dasar. Prinsip dasar tersebut ialah prinsip
variasi.
Prinsip variasi
Sebuah nilai ekspektasi percobaan dengan sebuah fungsi sembarang
diperkenalkan oleh
=
(20)
Nilai yang bergantung pada pilihan dari tidak lah lebih kecil dari nilai
eingen terendah E0 untuk persamaan eigen = E .
0 (21)
Kesamaan dari rumus ini hanya berlaku untuk sebuah kasus khusus di
mana adalah sebuah fungsi eigen yang berkaitan dengan E0. Rumus ini
yaitu persamaan (21) disebut sebagai prinsip variasi.
5. Rotation In A Plane
Momentum sudut merupakan suatu komponen fisika yang penting dari atom
dan molekul. Nilai momentum sudut digunakan untuk mengelompokkan tingal
elektronik dari atom dan beberapa molekul, serta untuk molekul gas pada posisi
rotasional.
5.1. Operator Momentum Sudut
Arah dan magnitude dari momentum sudut dapat dijabarkan dengan
menggunakan vector yang tegak lurus terhadap bidang yang memiliki
vector radius dan vector momentum linear. Jika kita magnitude ini ditulis
dengan x dan y pada koordinat Cartesian, dan nilai momentum sudut
sebagai px dan py, maka :
= =
Persamaan di atas dapat digunakan untuk membuat operator mekanika
quantum. Untuk mendapatkan operator ini, maka kita menggunakan posisi
13
operator x dan ya sebagai = dan = dan operator momentum linear
= (
2)(
) dan = (
2)(
). Maka,
=
2(
)
Untuk partikel pada cincin dan beberapa jenis masalah lain dimana
kita harus menghitung momentum sudut, koordinat polar lebih mudah
digunakan dibandingkan dengan koordinat Cartesian. Persamaan yang
menghubungkan titik-titik koordinat Cartesian dan koordinat polar adalah
= cos dan
= sin =
dan,
= sin dan
= cos =
Dengan menggunakan aturan rantai untuk menghidung
pada x dan y,
maka didapatkan persamaan :
=
+
=
() +
() =
=
Maka, menurut persamaan maka
=
2
5.2. Operator Energi Kinetik Operator
Untuk gerak linear, kita dapat mengatur operator untuk energi
kinetic rotasional dengan menggunakan persamaan energi kinetic biasa.
Dengan menghitung mv2 dalam bentuk kecepatan sudut = 2 =
2 /(2) = / dan momen inersia = 2, maka didapatkan
persamaan energi kinetic :
=1
22 =
1
2(2) (
)
2
=1
22 =
()2
2
14
Dengan menggunakan persamaan (yg Lz Lz terakhir), maka didapatkan
=
2
1
2
(
2
) =
2
82
2
2
5.3. Persamaan Schrdinger untuk Partikel pada Cincin
Pada partikel pada cincin, energi potensial adalah 0 dan partikel pada
jarak r dari pusar adalah tak terhingga pada posisi lain. Fungsi eigen akan
menjadi fungsi variable sudut .
2
82
2
=
Kita menginginkan untuk menjadi sebuah fungsi yang ketika
didiferensialkan dua kali akan menghasilkan konstanta dikali dengan
fungsi awal. Contoh lain :
=
Eksponen ditulis sebagai bilangan imajiner sehingga kita dapat
menentukan kondisi batas. Kita menginginkan fungsi untuk memiliki
nilai yang sama dengan sudut dengan berapapun perubahan total yang
terjadi.
= = (+2) = 2()
Pada kondisi batas, 2() harus sama dengan i. Karena = 1,
maka bentuk 2() = ()2
= (1)2 dapat dibuat menjadi sama
dengan 1 jika kita membatasi m dengan nilai
= 0, 1, 2, 3,
Dengan batasan pada nilai m, kita dapat menggunakan fungsi eigen
untuk mendapatkan niai eigen yang merupakan energi dari posisi rotasional
yang ada. Sehingga bentuk yang dita dapatkan adalah,
= menjadi
= menjadi
2
2= 2 = 2
15
Persamaan ini berlaku jika
2
82() =
atau
=2
822 = 0, 1, 2, 3,
Kita dapat menyelesaikan persamaan fungsi eigen dengan mengevaluasi A.
Pertama, kita melakukan perhitungan integrasi
2
0
= )()2
0
= 2 2
0
= 22
Sehingga, dengan menjadikan =1
2,
=1
2 = 0, 1, 2, 3,
5.4. Nilai Momentum Sudut
=
2
=
2()
2=
2
Sehingga,
=
2
Fungsi eigen yang berkorensponden dengan level energi
menghasilkan nilai momentum sudut sepanjang arah z yang juga dihitung.
Komponen momentum sudut dihitung pada unit /(2). Momentum sudut
sepanjang suatu arah harus memiliki satu dari beberapa nilai yang diberikan
oleh /(2) dengan = 0, 1, 2, 3,
Dua posisi pada tiap energi memiliki momentum sudut yang
berkorespon dengan partikel yang bergerak searah jarum jam atau
berlawanan arah dengan jarum jam, tergantung dengan tanda m.
16
=1
2
5.5. Prinsip Keraguan Heisenberg dan Partikel pada Cincin
Bentuk simple dari prinsip ini dapat dituliskan dengan persamaan
()()
Ketidakpastian pada momentum dikali dengan ketidakpastian pada
suatu posisi sama dengan atau lebih besar dari h. Ketidakpastian yang
berhubungan dengan persamaan ini dapat didapatkan dari perhitungan
mekanika quantum atau studi percobaan.
Pada materi ini, merupakan momentum sudur dan merupakan
sudut. Pada keadaan energi paling rendah, = 0 dan momentum sudut
=
2= 0. Karena kita mengetahui secara pasti nilai dari momentum
sudut, maka keraguan pada momentum sudut sama dengan nol. Jika prinsip
keraguan dilakukan, maka keraguan pada posisi ini harus tidak terhingga,
dimana kita tidak memiliki informasi apapun mengani posisi sudut.
5.6. Fungsi Eigen Lokalisasi
Pemecahan terhadap contoh partikel pada cincin dihitung secara
berpasangan, kecuali keadaan energi paling rendah. Untuk menghitung dua
keadaan pada tiap energi maka || merupakan nilai pasti dari nomor
quantum m. Kemudian fungsi eigen selain m=0, dapat ditulis sebagai
+ =1
2|| dan =
1
2||
Kita dapat juga menghitung persamaan Schrodinger dengan fungsi
yang merupakan suatu kombinasi linear dari fungsi eigen dengan nilai ||.
Maka,
= ()(|| + ||)
= ()(|| ||)
17
Persamaan ini dapat dikonversi ke fungsi baru dan ,
=1
cos (||) dan =
1
sin (||)
Distribusi partikel sekitar cincin didapatkan dari nilai dan
, dan didapatkan fungsi :
=1
cos2(||) dan =
1
sin2(||)
Ketika ada dua atau lebih kondisi pada energi berapapun, kita dapat
selalu menuliskan kombinasi linear dari fungsi-fungsi eigen yang
menjabarkan kondisi-kondisi degenerasi. Dengan menggunakan prinsip
ini, kita dapat mencari fungsi eigen yang sesuai dengan momentum sudut
yang dicari.
6. Rotasi Dalam Tiga Dimensi
Misalkan sebuah titik bermassa yang bebas bergerak pada permukaan bola
yang jari-jarinya r (seperti Gbr 1). Syarat yang mengharuskan kecocokan fungsi
gelombang mengantarkan pada syarat batas lingkar kedua dan bilangan
kuantum kedua. Selanjutnya, kita akan membahas keadaan electron didalam
atom dan molekul yang berotasi. Penerapan ini berasal dari kenyataan bahwa
rotasi benda padat dengan massa m dapat digambarkan dengan titik tunggal
bermassa m yang berotasi dengan jari-jari Rg (radius putaran benda) yang
terdefinisi sedemikian sehingga I = m Rg2
Gbr 1
Persamaan Schrodinger:
18
dengan
dan
Ketiganya dapat disederhanakan karena partikel bergerak pada permukaan
bola, jari-jari r bukanlah variable, sehingga turunan terhadap r dapat diabaikan,
dan V merupakan konstanta dan dapat dibuat sama dengan nol. Sehingga ke 3
persamaan tersebut menjadi
Yang dapat dirangkum menjadi
Namun diakhir bahasan, persamaan ini terpisah menjadi dua persamaan
yaitu, satu untuk dan satu lagi untuk . Setelah kedua persamaan diselesaikan
secara terpisah, maka fungsi gelombang dapat dituliskan
Dengan merupakan fungsi dan merupakan fungsi
6.1. Sifat Penyelesaian
Seperti yang dibahas sebelumnya bahwa fungsi gelombang dapat
ditentukan oleh dua bilangan kuantum l dan m1 (terdapat dua syarat lingkar
yang harus dipenuhi yaitu dari sudut dan dari sudut
= 0, 1, 2 . ..
m1 = 0, 1, 2, ,
19
Setara dengan itu,
m1 = , (-1), (-2), , (-)
bernilai positif, selanjutnyaa, untuk nilai tertentu, terdapat 2+1
nilai m yang diperbolehkan. Fungsi gelombang yang dinormalisasikan
biasanya dinyatakan dengan Y, m1 dan disebut harmonis bola. Beberapa
harmonis bola dimuat pada Gbr 1.2
Gbr 1.2
Energi partikel E terbatas pada nilai-nilai
Kita lihat bahwa energi itu terkuantitasi dan tidak bergantung pada
m. Karena terdapat 2+1 fungsi gelombang yang berbeda yang
bersesuaian dengang energy yang sama (satu untuk setiap nilai m ) maka
tingkat dengan bilangan kuantum l merupakan degenerasi dengan lipatan
(2+1)
20
6.2. Momentum Sudut
Energi partikel yang berotasi terhubungkan dengan momentum
sudutnya secara klasik dengan =
. Jadi, dengan membandingkan
persamaan ini dengan persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa besaran
momentum sudut itu terkuantitasi, dan terbatas pada nilai-nilai:
Momentum sudut disekitar sumbu-z terkuantitasi nilainya:
Maka tinggi nilai , makin besar jumlah garis simpul (posisi dengan
=0) pada fungsi gelombang. Ini menunjukkan kenyataan bahywa semakin
tinggi momentum sudut, makin tinggi energy kinetiknya, sehingga fungsi
gelombangnya makin melengkung tajam. Dan dalam keadaan yang sesuai
dengan momentum sudut yang tinggi disekitar sumbu z merupakan
keadaan dengan kebanyakan simpul memotong ekuator. Ini menunjukkan
energy kinetic yang tinggi adalah yang berasal dari gerakan sejajar dengan
ekuator, karena pada arah itu, lengkungannya terbesar.
Penulisan persamaan dalam , sehingga persamaan differensial yang
dipenuhi oleh harmonis bola:
6.3. Kuantitasi Ruang
Hasil mekanika kuantum yang menyatakan benda yang berotasi
tidak dapat memiliki sembarang orientasi terhadap beberapa sumbu
tertentu (misalnya sumbu yang ditentukan oleh arah medan listrik atau
medan magnet dari luar) disebut kuantitasi ruang. Hal ini dibuktikan
dengan eksperimen yang mula-mula dilakukan oleh Otto Sterm dan Walter
Gerlach pada tahun 1921. Mereka menembakkan seberkas atom perak
melalui medan magnet yang tidak homogeny. Gagasannya, benda
21
bermuatan yang berotasi berperilaku seperti magnet dan berinteraksi
dengan medan yang ada.
Menurut mekanika klasik, orientasi momentum sudut dapat
mempunyai nilai berapapun, sehingga magnet yang berhubungan dapat
mempunyai orientasi apapun. Arah magnet yang ditimbulkan oleh medan
tak homogen bergantung pada orientasi. Dengan demikian, diharapkan
timbulnya pita atom yang lebar dari daerah tempat ,medan magnet itu
berperan. Sedangkan menurut mekanika kuantum, karena momentum
sudut tersebut terkuantitasi, magnet yang bersangkutan terletak pada
sejumlah orientasi diskret, dan kemudian diharapkan ada beberapa pita
atom yang tajam
Dalam eksperimen pertama, tampaknya Stern dan Gerlach
membuktikan kebenaran ramalan klasik. Eksperimen ini sukar karena
atom-atom didalam berkas itu saling bertubrukan sehingga mengaburkan
pitanya. Ketika eksperimen diulang dengan berkasi yang intensitasnya
rendah (sehingga frekuensi bertubrukan berkurang), mereka mengamati
pita-pita yang diskret. Jadi ramalan kuantum terbukti.
6.4. Model vector
Pada seluruh pembahasan, momentum sudut hanya pada
komponen-z, tidak pada komponen-x, dan y. Sebab asas ketidakpastian
tidak memungkinkan adanya kesimultanan penentuan lebih dari satu
komponen. Oleh karena itu, jika z diketahui, tidak mungkin ada nilai pada
dua komponen lainnya.
Model vector dari momentum sudut adalah seperti Gbr 1.3. Kerucut
digambar dengan sisi {(+1)}1/2 satuan, dan menunjukkan besar
momentum sudut. Setiap kerucut mempunyai proyeksi tertentu (m satuan)
pada sumbu-z menunjukkan nilai z yang tepat dari sistem itu. Walaupun
demikian, proyeksi x dan y tidak terbatas. Vektor yang menggambarkan
keadaan momentum sudut dapat dianggap ujungnya terletak pada
sembarang titik pada mulut kerucut.
22
Gbr 1.3
Model vector momentum sudut walaupun hanya merupakan
gambaran aspek mekanika kuantum, ternyata sangat berguna untuk
membahas struktur dan spectra atom.
Gbr 1.4
7. Elektron Spin dan Fungsi Elektron Spin
System yang mengandung beberapa electron dibedakan oleh fungsi
gelombang dan fungsi spin. Menurut hukum kuantum hanya ada dua elektron
yang dapat menempati orbital yang sama. Aturan ini berkaitan dengan
momentum sudut khusus yang disebut sebagai spin elektron.
7.1. Electron yang Tidak Dapat Dibedakan
adalah yang menyatakan fungsi gelombang untuk suatu atom atau
molekul yang mengandung dua electron atau lebih. Dari fungsi gelombang
ini kita dapat menghitung beberapa kuantitas fisika, dengan membentuk
23
integral . Pertukaran peran electron dalam fungsi gelombang tidak
menyebabkan fungsinya berubah, atau hanya tandanya yang berubah.
Setiap electron akan dideskripsikan oleh fungsi gelombang yang
disebut juga orbital. Berdasarkan larangan Pauli, orbital dapat ditempati
oleh dua electron dengan spin yang berbeda. Deskripsi orbital untuk system
yang terdiri dari dua electron
= 1(1)1(2)
Kedua electron tersebut dapat diidentifikasi, tetapi karena keduanya
mempunyai peran yang sama kita tidak menganggap bahwa kedua electron
tersebut dapat dibedakan. Untuk menyimpulkan bahwa beberapa electron
tidak dapat dibedakan dan tidak harus mempunyai peran yang berbeda, kita
dapat menulis fungsi orbital
= 1(1)2(2) + 2(1)1(2)
Dan
= 1(1)2(2) 2(1)1(2)
Perhatikan bahwa ketika peran kedua orbital ditukar, maka pada
fungsi pertama tidak terjadi perubahan dan pada fungsi kedua hanya terjadi
perubahan tanda.
7.2. Electron Spin
Momentum angular orbital dapat diperoleh dari aplikasi persamaan
Schrodinger. Momentum angular spin tidak dapat diperoleh dari
persamaan Schrodinger. Keberadaan spin elektron dibuktikan melalui
beberapa eksperimen antara lain melalui Eksperimen berkas atom oleh
Stern dan Gerlach. Eksperimen ini memberikan gambaran bahwa sebuah
elektron memiliki sebuah momen magnetik, yang merupakan sifat
magnetik yang berkaitan dengan arus listrik melingkar.
7.3. Fungsi Elektron Spin
Fungsi electron spin dan fungsi orbital secara bersama membentuk
fungsi gelombang. menyatakan vector spin yang mengarah ke atas dan
menyatakan vector spin yang mengarah ke bawah. Untuk dua spin yang
mengarah ke atas dapat ditulis (1)(2), sedangkan untuk kedua spin
24
mengarah ke bawah dapat ditulis (1)(2). Ada juga kombinasi dari
keduanya
= (1)(2) + (1)(2)
7.4. Fungsi Gelombang untuk Sistem dengan Dua Elektron
Kombinasi fungsi orbital dan fungsi spin menghasilkan fungsi
gelombang
=
Misalkan untuk atom helium yang terdiri dari dua electron dan
kedua electron menempati orbital 1s, karena kedua electron mempunyai
spin yang sama maka tidak boleh menempati orbital yang sama dan akan
mempunyai tanda yang berbeda sehingga
= 1(1)1(2)[(1)(2) (1)(2)]
Dari ilustrasi dapat disimpulkan bahwa ketika peran dari dua
electron berubah maka fungsi gelombang akan mengalami perubahan
tanda. Untuk dua electron yang menempati orbital yang sama, hanya fungsi
gelombang mngalami perubahan tanda ketika terjadi pertukaran peran.
= 1(1)1(2)[(1)(2) (1)(2)]
Sedangkan untuk system dengan dua electron yang menempat
orbital yang berbeda, terdapat dua fungsi gelombang
= [1(1)2(2) + 2(1)1(2)[(1)(2) (1)(2)]
8. Nuclear Spin dan Fungsi Nuclear Spin
Fungsi nuclear spin menetukan bentuk dari fungsi gelombang untuk
suatu system homonuclear diatomic molekul.
8.1. Nuclear Spin
Momentum sudut nuklir dapat dinyatakan sebagai ( + 1)/2,
dimana I adalah bilangan kuantum spin. Fungsi nuclear spin sama seperti
fungsi electron spin dapat digunakan untuk membentuk fungsi gelombang.
Berdasarkan bilangan spinnya partikel dibagi menjadi dua bagian
yaitu fermion dan boson, dimana partikel fermion yang memiliki spin
setengah bilangan bulat yang menggunakan statistik Fermi-Dirac, dan
Boson adalah partikel yang memiliki spin bilangan bulat yang mengikuti
25
statistic Bose-Einstein. Dan jika menggunakan momentum sudut spin
tersebut berarti partikel diklasifikasikan dengan meninjau teorema statistic
spin.
Dari statistik yang digunakan oleh partikel dapat menentukan
kesimetrisan antara dua buah partikel. Suatu partikel dikatakan boson
identitas ialah jika ia memiliki bilangan spin bilangan bulat dan fungsi-
fungsi gelombang dari kedua partikel tidak berubah ketika saling
bertukaran, seperti berikut:
Begitu juga suatu partikel dikatakan sebagai fermion identitas jika
ia memiliki bilangan spin setengah bulat ganjil dan fungsi-fungsi
gelombang dari kedua partikel berubah ketika saling bertukaran, seperti
berikut :
8.2. Fungsi Nuclear Spin
Fungsi spin dapat dibentuk dari sepasang fundamental partikel.
Untuk fungsi yang tidak berubah disebut simetris dan untuk fungsi yang
berubah disebut asimetris.
Secara umum kita harus mengkombinasikan nilai I dari kedua
nucleus molekul untuk mendapatkan nilai spin total T. Karena I adalah
integral atau integral setengah maka T selalu merupakan integral. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa total spin dinyatakan mengenai medan magnet.
Komponen ini disebut TM.
Untuk partikel dengan =1
2, maka = 1 dan = 0. Kita dapat
menampilkan nilai dan tipe dari bilangan spin yang dinyatakan dalam nilai
TM yang mungkin
=1
2,
1
2 = 1 = 1,0,1 simetris
= 0 = 0 antisimetris
Untuk menunjukkan bagaimana perubahan fungsi nuclear spin
menjadi fungsi gelombang, kita mempertimbangkan gungsi gelombang
untuk gas diatomic. Fungsi gelombang untuk system ini
=
26
System tersebut harus mempunyai fungsi gelombang yang tidak
berubah, ketika terjadi perubahan peran nucleus baik untuk vibrasi,
translasii, dan rotasi dari fungsi gelombang untuk molekul diatomic. Gerak
translasi molekul dapat dinyatakan dalam koordinat dari pusat massa
molekul. Gersk vibrasi molekul diperlakukan sebagai panjang dari molekul
banding panjang setimbang. Gerak translasi dan vibrasi tidek dipengaruhi
oleh perubahan atom, tetapi gerak rotasi dipengaruhi oleh perubahan atom.
8.3. Fungsi Nuklear Spin dan Fungsi Gelombang untuk molekul
Diatomik Homonuclear
Untuk fungsi gelombang dari gas diatomic, setiap bagian rotasi
harus dideskripsikan sebagai kombinasi dari fungsi gelombang rotasi dan
fungsi nuclear spin. Jika nucleus adalah fermion maka fungsi gelombang
berah dengan adanya pertukaran peran nucleus. Jika nucleus merupakan
bosons, maka fungsi gelombang tidak berubah.
8.4. Ortohidrogen dan Parahidrogen
Semua molekul diatomic dapat tersusun dari campuran molekul dengan
simetris nukleaer spin dan antisimetri nuclear spin. Molekul yang dapat
mempunyai komposi seperti ini adalah hydrogen. Hydrogen dengan
simetris nuclear spin disebut orto sedangakan molekul dengan antisimetri
nuclear spin disebut para.
27
BAB II
PENUTUP
1. Kesimpulan
Persamaan Schrdinger digunakan untuk mengetahui perilaku
gelombang dari suatu partikel
Persamaan Schrdinger dapat digunakan pada berbagai bentuk
dimensi
Metode variasi digunakan ketika persamaan Shroedinger tidak dapat
menentukan hasil dari persamaannya.
Arah dan magnitude dari momentum sudut dapat dijabarkan dengan
menggunakan vector yang tegak lurus terhadap bidang yang
memiliki vector radius dan vector momentum linear
Untuk partikel pada cincin dan beberapa jenis masalah lain dimana
kita harus menghitung momentum sudut, koordinat polar lebih
mudah digunakan dibandingkan dengan koordinat Cartesian.
Untuk gerak linear, kita dapat mengatur operator untuk energi
kinetic rotasional dengan menggunakan persamaan energi kinetic
biasa.
Fungsi eigen yang berkorensponden dengan level energi
menghasilkan nilai momentum sudut sepanjang arah z yang juga
dihitung. Komponen momentum sudut dihitung pada unit /(2).
Momentum sudut sepanjang suatu arah harus memiliki satu dari
beberapa nilai yang diberikan oleh /(2) dengan =
0, 1, 2, 3,
Ketidakpastian pada momentum dikali dengan ketidakpastian pada
suatu posisi sama dengan atau lebih besar dari h.
Pemecahan terhadap contoh partikel pada cincin dihitung secara
berpasangan, kecuali keadaan energi paling rendah.
Menurut mekanika klasik, orientasi momentum sudut dapat
mempunyai nilai berapapun, sehingga magnet yang berhubungan
dapat mempunyai orientasi apapun. Arah magnet yang ditimbulkan
oleh medan tak homogen bergantung pada orientasi. Sedangkan
28
menurut mekanika kuantum, karena momentum sudut tersebut
terkuantitasi, magnet yang bersangkutan terletak pada sejumlah
orientasi diskret, dan kemudian diharapkan ada beberapa pita atom
yang tajam
Hydrogen dengan simetris nuclear spin disebut orto sedangakan
molekul dengan antisimetri nuclear spin disebut para.
Gerak translasi molekul dapat dinyatakan dalam koordinat dari pusat
massa molekul.
Gerak vibrasi molekul diperlakukan sebagai panjang dari molekul
banding panjang setimbang.
Gerak translasi dan vibrasi tidek dipengaruhi oleh perubahan atom,
tetapi gerak rotasi dipengaruhi oleh perubahan atom.
29
DAFTAR PUSTAKA
Atkins, P.W. 1996. Kimia Fisika Jilid 1. Jakarta:Erlangga
Borrow, Gordon M. 1996. Physical Chemistry. USA: McGraw-Hill Companies
Copyright © 2022 FDOKUMEN
