MA3231 Pengantar Analisis Real
Semester II, Tahun 2016-2017
Hendra Gunawan, Ph.D.
Bab 5 Deret
2
5.1 Definisi Deret
Diberikan sejumlah terhingga bilangan π1, β¦ , ππ, kita dapat menghitung jumlah π1 +β―+ ππ. Namun, diberikan tak terhingga banyaknyabilangan π1, π2, π3, β¦, bagaimana kita menghitungatau memaknai π1 + π2 + π3 +β―?
Menjawab pertanyaan tersebut, misalkan ππadalah sebuah barisan bilangan real. Definisikanbarisan β¨π πβ© denganπ π: = βπ=1
π ππ: = π1 +β―+ ππ , π β β.
3
Definisi Deret (lanjutan)
Untuk tiap π β β, π π dikenal sebagai jumlahparsial dari deret
βπ=1β ππ βΆ= π1 + π2 + π3 +β― .
Dalam hal ini deret βπ=1β ππ dianggap identik
dengan barisan jumlah parsial β¨π πβ©.
Jika π π β π untukπ β β, maka deret βπ=1β ππ
dikatakan konvergen ke s, dan s disebut sebagaijumlah deret tersebut:
π=1
β
ππ = π1 + π2 + π3 +β― = π .
2/8/2017 4(c) Hendra Gunawan
Definisi Deret (lanjutan)
Jadi
π=1
β
ππ = limπββ
π=1
π
ππ = limπββπ π = π .
Catatan. Jika π π divergen, maka deret divergen.
CONTOH 1: Deret geometri1 + π + π2 + π3 +β―
konvergen ke1
1βπuntuk β1 < π < 1.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 5
CONTOH 2
Deret βπ=1β 1
π π+1mempunyai jumlah parsial
π π =1
1β 2+1
2β 3+β―+
1
πβ π+1
=1
1β1
2+1
2β1
3+β―+
1
πβ1
π+1[*]
= 1 β1
π+1.
Di sini π π β 1 untuk π β β. Jadi βπ=1β 1
π π+1= 1.
___________
[*] Deret yg suku-sukunya saling menghapuskan dikenal sebagaideret teleskopis.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 6
SOAL
Buktikan bahwa βπ=1β 4
4π2β1= 2.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 7
5.2 Deret dengan Suku-Suku Positif
Deret yang suku-sukunya bernilai positif (atau tak
negatif) termasuk deret yang mudah dipelajari,
karena jumlah parsialnya membentuk barisan naik.
Jadi, jika kita ingin menunjukkan bahwa deret
tersebut konvergen, kita hanya perlu menunjukkan
bahwa barisan jumlah parsialnya terbatas di atas.
Jika barisan jumlah parsialnya tak terbatas di atas,
maka deret tersebut divergen ke +β.
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 8
CONTOH
1. Jumlah parsial dari deret βπ=1β 1
π2membentuk
barisan naik dan terbatas di atas. Karena ituderet ini konvergen (ke suatu bilangan di antara1 dan 2).
2. Jumlah parsial dari deret βπ=1β 1
πmembentuk
barisan naik tetapi tidak terbatas di atas. Karenaitu deret ini divergen ke +β.
3. Bagaimana dengan deret βπ=1β 1
π!?
2/8/2017 (c) Hendra Gunawan 9
5.3 Sifat-Sifat Deret
Teorema. Jika βπ=1β ππ konvergen ke a dan
βπ=1β ππ konvergen ke b, dan πΌ dan π½ bilangan
real, maka βπ=1β (πΌππ + π½ππ) konvergen ke
πΌπ + π½π.
Teorema. Jika βπ=1β ππ konvergen, maka
limπββππ = 0.
10
SOAL
Apakah βπ=1β π
106π+1konvergen? Jelaskan.
11
5.4 Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan DeretTeorema (Deret Berganti Tanda). Misalkan ππ
turun, ππ > 0 untuk tiap π β β, dan ππ β 0 untuk
π β β. Maka deret
π=1
β
β1 πβ1ππ = π1 β π2 + π3 β π4 +β―
konvergen.
Petunjuk. Bila kita dapat menunjukkan bahwa β¨π πβ©
merupakan barisan Cauchy, maka teorema terbukti.12
CONTOH
Deret 1 β1
2+1
3β1
4+β― merupakan deret
yang konvergen (ke suatu bilangan di antara 0 dan 1).
13
Teorema (Uji Banding). Misalkan |ππ| β€ ππuntuk tiap π β β dan βπ=1
β ππ konvergen, maka
βπ=1β ππ konvergen.
Bukti. Ambil π > 0 sembarang, pilih π β β
sedemikian shg βπ=πΎβ ππ < π untuk K β₯ N.
Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa π π β π π< π untuk m, n β₯ K, dengan π π menyatakan
jumlah parsial dari deret βπ=1β ππ. Dengan
demikian π π konvergen.
14
Teorema (Uji Rasio). Misalkan ππ β 0 untuktiap π β β dan
ππππββ
ππ+1ππ= πΏ.
Jika πΏ < 1, maka βπ=1β ππ konvergen; jika
πΏ > 1, maka βπ=1β ππ divergen.
Catatan. Selain Uji Rasio, ada Uji Akar (yang melibatkan limsup; sila pelajari sendiri).
15
5.5 Kokonvergenan Mutlak danKekonvergenan Bersyarat
Sebagian deret dapat diperiksa kekonvergenannyamelalui deret nilai mutlaknya. Deret βπ=1
β ππ dikata-kan konvergen mutlak apabila deret βπ=1
β |ππ|konvergen.
Sebagai contoh, βπ=1β β1 πβ1
π2konvergen mutlak.
Catat bahwa deret yang konvergen berdasarkan UjiRasio secara otomatis merupakan deret konvergenmutlak.
16
Teorema. Deret yang konvergen mutlakmerupakan deret yang konvergen.
Catatan. Kebalikan teorema di atas tidakberlaku. Deret yang konvergen belum tentukonvergen mutlak. (Apakah anda tahucontohnya?)
Deret yang konvergen tetapi tidak konvergenmutlak disebut konvergen bersyarat.
Contohnya adalah deret 1 β1
2+1
3β1
4+β― .
17
SOAL
Buktikan jika βπ=1β ππ
2 dan βπ=1β ππ
2 konvergen, maka βπ=1
β ππππ konvergen mutlak (dankarenanya konvergen).
18
Top Related