Download - Ltm Gabungan

Transcript
Page 1: Ltm Gabungan

Distribusi Frekuensi

memiliki

Bentuk

berupa

Distribusi Tak Simetri

karakteristik

Pola frekuensi kiri dan kanan titik pusat beda

Distribusi Simetri

Pola frekuensi kiri dan kanan titik pusat sama

Distribusi Seragam

Pola dari data menunjukkan

karakteristik

berupa

Distribusi Normal

Distribusi Bimodal Simetri

Distribusi Miring

Distribusi Bimodal Tak Simetri

merupakan merupakan

Distribusi dengan frekuensi yang samaDistribusi dengan nilai mean, modus, median yang sama Gabungan 2 distribusi normal (nilai kedua puncak tidak harus sama)Gabungan 2 distribusi tak simetri (nilai kedua puncak tidak sama)Distribusi dengan frekuensi yang menun-jukkan kecenderunganDistribusi dengan frekuensi yang semakin besar atau semakin kecil

LTM KELOMPOK 5

I. STATISTIK DESKRIPTIF DAN MANAJEMEN DATAII. DISTRIBUSI FREKUENSI

Page 2: Ltm Gabungan

1. Distribusi frekuensi dapat digunakan untuk mempelajari pola suatu data untuk menentukan analisa terhadap data tersebut. Pola suatu data dilihat dari kesimetrian distribusi frekuensinya.

2. Secara umum bentuk distribusi frekuensi terdiri dari distribusi simetri dan distribusi tidak simetri. Perbedaan keduanya adalah dengan melihat kesimetrian pola frekuensi di sebelah kanan dan kiri titik pusat pada grafik distribusi frekuensi.

3. Distribusi simetri memiliki distribusi frekuensi data yang sama di sebelah kiri dan kanan titik pusat. Sedangkan distribusi tidak simetri memiliki distribusi frekuensi data yang berbeda di sebelah kiri dan kanan titik pusat.

Distribusi Simetri Distribusi Tak Simetri

4. Distribusi simetri terdiri dari tiga bentuk yaitu distribusi seragam, distribusi normal, dan distribusi bimodal simetri.

5. Distribusi seragam disebut juga distribusi rektangular di mana semua nilai memiliki frekuensi yang sama; menandakan besar probabilitas yang sama. Contoh: pada pelemparan dadu, frekuensi munculnya angka 1-6 memiliki frekuensi yang sama.

6. Distribusi normal disebut juga distribusi Gaussian, berbentuk seperti lonceng. Distribusi ini memiliki nilai mean, modus, dan median yang sama di tengah distribusi data. Pola ini digunakan dalam berbagai aspek kehidupan untuk memprediksi sifat suatu populasi, seperti waktu hidup baterai, panjang dan berat bayi baru lahir.

7. Distribusi bimodal simetri merupakan gabungan dari dua distribusi normal dengan tinggi kedua puncak frekuensi yang tidak harus sama. Contoh : berat pria dan wanita; waktu hidup lampu pijar cacat dan baik.

8. Distribusi tidak simetri terdiri dari tiga bentuk pula yaitu distribusi bentuk J, distribusi miring, dan distribusi bimodal tidak simetri.

Page 3: Ltm Gabungan

9. Distribusi bentuk J merupakan distribusi yang memberikan nilai frekuensi semakin membesar atau mengecil.

10. Distribusi miring memberikan letak frekuensi puncak yang tidak di tengah distribusi datanya; menunjukkan kecenderungan miring ke kanan atau ke kiri.

11. Distribusi bimodal tak simetri merupakan gabungan dari dua distribusi tidak simetri dengan dua puncak frekuensi yang tidak sama.

12. Dengan demikian salah satu kegunaan dari distribusi frekuensi adalah pengaplikasiannya untuk analisa pola data dengan melihat kesimetrian distribusi frekuensi data tersebut.

Contoh Data 1 :

Survey dilakukankepada 20 orang siswakelas V Auntukmengetahuijumlahadik yang merekamiliki. Hasil survey adalahsebagaiberikut:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4

Untukmemudahkanmelihathasil survey, makadibuatlah table distribusifrekuensi, sebagaiberikut:

Jumlahadik

(hasil survey)

Item Data Jumlahanak

(Frekuensi)

FrekuensiRelatif

0 0, 0, 0 3 3/20x100% = 15%

1 1, 1, 1, 1, 1 5 5/20x100% = 25%

2 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 7 7/20x100% = 35%

3 3, 3, 3, 3 4 4/20x100% = 20%

4 4 1 1/20x100 % = 5%

Jumlahanakataufrekuensi total

: 20

PadaTabeldiatasterdapatbeberapa term atauistilah yang harusdiketahui, seperti:

Frekuensi total : Jumlah item data. Dalamhalinijumlah item data sesuaidenganjumlahanak yang disurveyyaitu 20

Page 4: Ltm Gabungan

FrekuensiRelatif :Nilaifrekuensidibagidenganfrekuensi total laludikali 100%

DistribusiFrekuensiKelompok

DistribusiFrekuensikelompokdigunakanbila data terlalubanyakdanberbeda-bedasehinggauntukmemudahkanpengorganisasiannyadibuatlahkelasataukelompok data.

Padadistribusifrekuensikelompok, terdapatistilah-istilah yang harusdiketahui, diantaranya:

Batas Kelas:

Terdapatduabataskelas: batasbawahkelasadalahnilaiterkecilpadakelas intervalementarabataskelasatasadalahnilaiterbesarpadakelas interval

Limit kelas

Limit/tepikelasbawah (Tb) diperolehdenganmengurangisetengahsatuandaribataskelasbawah.Limit/tepikelasatas (Ta) diperolehdenganmengurangisetengahsatuandaribataskelasatas.

Panjangkelas / LebarKelas

Panjangkelasmerupakan limit kelasatasdikurangidengan limit kelasbawah. Misalkan, c merupakanpanjangkelas, maka

c = Ta – Tb

FrekuensiRelatif

Frekuensirelatifadalahnilaifrekuensidibaginilaifrekuensitotal( f/n ) dikali 100%

Untukmembuat table distribusifrekuensikelompok, makaadabeberapapanduan yang bisadigunakan.Beberapapanduantersebutadalahsebagaiberikut:

1. Urutkan data dariangkaterkecilhinggaangkaterbesar

2. Kelompokkan data menjadi 5 sampai 12 kelassaja

3. Buattiapkelasmemilikilebarkelas yang sama

4. Batas-batastiapkelastidakbolehtumpangtindih

5. Tiap item data hanyabolehmasukpadasatukelassaja

Untukmemudahkandalammemahamidistribusifrekuensikelompok, makaakandiberikancontohsebagaiberikut.

Page 5: Ltm Gabungan

Contoh Data 2: DistribusiFrekuensiKelompok

Berikutadalah data nilaiujianmatematikapada 40 anak:

66 75 74 72 79 78 75 75 79 7175 76 74 73 71 72 74 74 71 7074 77 73 73 70 74 72 72 80 7073 67 72 72 75 74 74 68 69 80

Panduan no. 1 Urutkan data dari yang terkecilhingga yang terbesar

66 67 68 69 70 70 70 71 71 71 72 72 72 72 72 72 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 74 75 75 75 75 75 76 77 78 79 79 80 80

Dari data diatasbisakitalihatbahwajangkauan data adalahnilai data terbesardikurangidengannilai data terkecil = 80-66 = 14

Panduan no. 2 dan 3 Mengelompokkan data menjadi 5-12 kelas

Karenaterdapat 40 item data, makauntukmemudahkan, dibentuk 5 kelas, denganlebartiapkelas 3.

Batas Kelas Data di Kelas Frekuensi

(f)

FrekuensiRelatif (fr) = (f/n) x 100%

66-68 66 67 68 3 (3/40) x 100% = 7.5%

69-71 69 70 70 70 71 71 71 7 (7/40)x100% = 17.5%

72-74 72 72 72 72 72 72 73 73 73 73 74 74 74 74 74 74 74 74

18 (18/40)x100% = 45%

75-77 75 75 75 75 75 76 77 7 (7/40)x100% = 17.5%

78-80 78 79 79 80 80 5 (5/40)x100% = 12.5%

Total: n = 40

III. UKURAN PEMUSATAN DATA1. Mean

Page 6: Ltm Gabungan

Mean sebagai rataan hitungan dari data diberi simbol x̅� atau x bar. Mean dapat dibagi menjadi tiga, yaitu rataan dari data tunggal, rataan dari data distribusi frekuensi dan rataan dari data bergolong. Konsep yang dipakai sebenarnya sama yaitu mencari rataan hitungan dari data, namun yang berbeda-beda adalah jenis data yang diberikan.

Rataan data tunggal adalah rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data. Formula dari rataan data tunggal adalah:

2.

3. Keterangan: = jumlah data4.

Contohnya: Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut. Mean:

Rataan data distribusi frekuensi adalah rataan hitung dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi. Formula dari rataan data distribusi frekuensi adalah:

Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.

Page 7: Ltm Gabungan

Rataan data bergolong adalah rataan hitung untuk data dalam tabel bergolong yang sebenarnya sama dengan menghitung rataan data pada distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai xi. Contoh kasusnya seperti:

2. Median

Ukuran pemusatan data adalah ukuran statistik yang dapat menjadi pusat dari rangkaian data dan memberi gambaran singkat tentang data yang mana salah satunya adalah median. Median adalah nilai tengah atau mean aritmetik dari dua nilai tengah dari suatu deretan bilangan yang disusun berdasarkan urutan besarnya (array). Median dikatakan mean aritmetik dari dua nilai tengah apabila jumlah data pengamatan adalah genap. Karena median adalah nilai tengah, maka berarti 50% data terletak di bawah median dan 50% terletak di atas median. Secara geometri, median adalah nilai X (absis) yang berkorespondensi dengan garis vertikal yang membagi sebuah histogram menjadi dua bagian yang memiliki luas area yang sama. Median adalah nilai tengah yang tidak dipengaruhi oleh nilai yang ekstrim.

Dalam menentukan median dengan data tunggal, maka digunakan rumus:

Page 8: Ltm Gabungan

Contoh soal:

Carilah median dari data 4, 29, 4, 3, 4, 11, 16, 14, 17, 3.

Susunan : 3, 3, 4, 4, 4, 11, 14, 16, 17, 29. Jumlah data adalah 10, sehingga angka tengah adalah 4 dan 11, yang merupakan urutan 5 dan 6 dalam susunan. Median adalah rata-rata dari dua angka, yaitu: (4 + 11) / 2 = 15/2 = 7,5

Dalam menentukan median dengan data berkelompok, maka digunakan rumus:

Keterangan : TB = batas nyata bawah kelas median

Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas median

F Me = frekuensi kelas median

i = panjang/interval kelas

Contoh soal:

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antara suku ke 29 dan suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34.

Median=29,5+[(30-37)/15]5=27,16Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16

Page 9: Ltm Gabungan

3. Modus ( Mode )

Sekelompok nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi atau nilai yang paling sering

muncul/banyak terjadi disebut Modus=Mod. Distribusi unimodal adalah distribusi yang punya 1

modus. Distribusi bimodal adalah distribusi yang mempunyai 2 modus, dan distribusi

multimodal adalah distribusi yang mempunyai lebih dari 2 modus.

Contoh :

1. Data terdapat angka 5, 4, 4, 4, 6, 5, 5, 5, 7.

Frekuensi terbanyak adalah angka 5 yang muncul 4 kali, sehingga modus nya adalah 5

2. Data suatu perusahaan,

1

2

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

9

9

10

10

10

10

10

11

11

12

Berdasarkan data di atas, nilai 6 memiliki frekuensi sebanyak 9 sedangkan nilai lain

memiliki frekuensi dibawah 9, sehingga Modusnya= 6.

Jika pada data perusahan terdapat nilai 6 sebanyak 7 dan nilai 8 sebanyak tujuh, maka terdapat 2 modus dari data tersebut, mod1= 6 dan mod2=8.

Pada data yang dikelompokkan, untuk mencari modus menggunakan rumus berikut:

Mo= Lo +( f 1f 1+ f 2 ) x c

Keterangan :

Mo = Modus

Lo = Nilai batas bawah kelas interval yang berisi modus

Fmo = frekuensi kelas yang memuat modus

Page 10: Ltm Gabungan

F1 = fmo – f (mo-1) = selisih frekuensi kelas yang ada modusnya dengan kelas sebelumnya

F2 = fmo + f (mo-2) = selisih frekuensi kelas yang ada modusnya dengan kelas sesudahnya

C = besar kelas yang ada modusnya

Contoh :

Data perusahaan Industri :

Tentukan modus dari data perusahan pada tabel tersebut

!

Pembahasan :

Berdasarkan data,

Lo = 4,5; kelas modusnya adalah (5-6)

Fmo =12

C = 2

F1 = fmo – f (mo-1) = 12 – 7 = 5

F2 = fmo + f (mo-2) = 12 – 9 = 3

4. Hubungan antara Mean, Median, dan Modus

1. Mean, median, dan modus berada pada satu titik pada distribusi simetris.2. Dengan adanya nilai ekstrim pada suatu data maka akan menyebabkan kecondongan data

tersebut. Nilai ekstrim rendah menyebabkan kecondongan ke kiri, dan nilai ekstrim tinggi menyebabkan kecondongan ke kanan. Pada kurva negatif (condong ke kiri) posisi mean, median, dan modus terletak berturut-turut dari kiri ke kanan. Sedangkan pada kurva

Sehingga,

Mo = 4,5 +( 55+3 ) x 2

= 4,5 + 1,25

= 5,75

Data Frekuensi

1-2

3-4

5-6

7-8

9-10

11-12

2

7

12

9

7

3

jumlah 40

Page 11: Ltm Gabungan

positif (condong ke kanan) posisi mean, median, modus terletak berturut-turut dari kanan ke kiri.

3. Secara empiris dapat dikatakan bahwa jarak antara modus dan median merupakan 2/3 jarak antara modus dan median.

4. Nilai yang mengalami pergeseran terbesar adalah modus, kemudian dilanjutkan dengan mean dan median. Jadi median adalah nilai paling sedikit bergeser/ relatif stabil dibandingkan dengan modus dan mean. Namun, apabila dihitung rata-rata dari sampel ke sampel maka mean mempunyai fluktuasi terkecil.

IV. UKURAN VARIASI DATA

Ukuran variasi menunjukkan derajat pengelompokkan angka-angka individual di dekat

ukuran kecenderungan berpusat, atau derajat penyimpangan angka-angka individual dari ukuran

kecenderungan berpusat. Ukuran variasi digunakan bersama-sama dengan ukuran kecenderungan

berpusat agar dapat mewakili data secara lebih akurat.

Macam-macam Ukuran Variasi

1. Rentang/Range

2. Varians

3. Simpangan rata-rata/Average deviation

4. Simpangan baku/Average standard

5. Koefisien variasi/Coefficient of variation

6. Skewness dan Kurtosis

1. Range

Page 12: Ltm Gabungan

Range adalah perbedaan angka terbesar dan terkecil dalam suatu kumpulan data. Range

dari data tunggal dirumuskan dengan Range = Xmaks - Xmin dengan Xmaks = nilai data

terbesar sedangkan Xmin = nilai data terkecil. Untuk menentukan range dari data tunggal lebih

mudah dan sederhana. Ukuran penyebaran yang paling sederhana, terkadang di beberapa literatur

diterjemahkan dengan istilah wilayah.

Range hanya memperhitungkan dua nilai, yaitu nilai maksimum dan nilai minimum dan

tidak memperhitungkan semua nilai, sehingga sangat tidak stabil atau tidak dapat

diandalkan sebagai indikator dari ukuran penyebaran. Hal ini terjadi karena range sangat

dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim.

• Contoh:

Berikut ini adalah nilai Quiz ke-1 dan ke-2 Matakuliah Statistik. Tentukan Range

untuk masing-masing Quiz.

 

Jawab:

Quiz 1: range = 20-1 = 19

Quiz 2: range = 19-2 = 17

Quiz ke-1 lebih bervariasi di banding Quiz 2 karena nilai range Quiz 1 > Quiz 2.

Kelemahan lain dari Range adalah tidak menggambarkan sebaran data terhadap

nilai pusatnya. Perhatikan contoh dan gambar berikut.

Contoh:

Tentukan Mean dan Range dari kedua Varietas berikut. Kesimpulan apa yang bisa

Anda tarik berdasarkan nilai mean (rata-rata) dan range-nya?

• Jawab:

Varietas I: Mean = 42; range = 5

Varietas II: Mean = 42; range = 5

Page 13: Ltm Gabungan

Kesimpulan:

Kedua Varietas, I dan II mempunyai nilai mean dan range yang sama, yaitu mean

= 42 dan range = 5.

2. Varians

Varians didefinisikan sebagai kuadrat dari deviasi standar. Varians dinyatakan dengan s2

dan ơ2 (sigma). Varians merupakan jumlah kuadrat semua deviasi nilai-nilai individual thd rata-

rata kelompok.Varian merupakan ukuran variabilitas data, yang berarti semakin besar nilai

varian berarti semakin tinggi fluktuasi data antara satu data dengan data yang lain.

3. Simpangan Rata-rata/ Average Deviation

Merupakan jumlah keseluruhan nilai mutlak penyimpangan nilai data terhadap nilai rata-

rata dibagi dengan jumlah nilai frekuensi atau pengamatan. Nilai deviasi rata-rata lebih mampu

menggambarkan seluruh variasi yang terjadi pada nilai data asli. Nilai ini juga tidak terpengaruh

pada nilai ekstrem serta nilai ini tidak memandangapakah selisih antara nilai data terhadap nilai

rata-rata negatif atau positif.

Nilai deviasi rata-rata bisa didapatkan dari data non kelompok maupun data kelompok.standar

deviasi atau simpangan baku.

Deviasi rata-rata non kelompok

Page 14: Ltm Gabungan

Pengolahan datanya diolah lebih lanjut sebagai:

Maka deviasi rata-rata tamu yang hadir di Red Shapire Resort selama tahun 1995 adalah:

Deviasi Rata-rata Kelompok

Page 15: Ltm Gabungan

Sesuai rumus maka diperoleh deviasi mean kelompok untuk kasus ini adalah:

4. Simpangan Baku (Standard Deviation)

Merupakan akar dari varians. Simpangan baku sering digunakan dalam analisa. Nilai

standar deviasi pada dasarnya menggambarkan besaran sebaran suatu kelompok data terhadap

rata-ratanya atau bisa juga gambaran keheterogenan suatu kelompok data.

Rumus Simpangan Baku:

Contoh soal :

Hitung nilai deviasi standard jumlah tamu Red Shapire Resort selama satu tahun

terhitung bulan Januari hingga akhir Desember 1995.

Jumlah frekuensiNilai data

Nilai deviasi bakuNilai rata-rata

Page 16: Ltm Gabungan

Maka nilai deviasi standar adalah :

5. Koefisien Variasi:

Merupakan ukuran variasi relaitif, satuannya adalah presentase. Menunjukkan nilai relatif

terhadap mean. Digunakan untuk membandingkan dua atau lebih kumpulan data yang diukur

dengan satuan yang berbeda.

Page 17: Ltm Gabungan

6. Skewness dan Kurtosis

Skewness atau disebut juga ukuran kemiringan yaitu suatu bilangan yang dapat

menunjukan miring atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi.

Grafik skewness

Kurtosis adalah ukuran keruncingan atau yang disebut juga kurtosis adalah suatu

bilangan yang dapat menunjukan runcing tidaknya bentuk kurva distribusi frekuensi.

Grafik Kurtosis

Referensi:

Page 18: Ltm Gabungan

1. Chandra, Budiman.1995. Pengantar Statistik Kesehatan. Jakarta: EGC.2. Spiegel, Murray R. 2007. Statistik edisi 3.Jakarta : Erlangga.3. Amalliah, Iwany, dkk. 2001. Biostatistik Bahan Kuliah.Jakarta: Universitas Indonesia. • Gerstman, B. Burt. 2008. Basic Biostatistics.United States of America: Jones and Bartlett

Publishers,Inc.

• Rasyad, Rasdihan (1998) , Metode Statistik Deskriptif, Grasindo : Jakarta

• Notoadmojo, Soekidjo (2007), Kesehatan Masyarakat : Ilmu dan Seni, Rineka Cipta :

Jakarta.

• Imawan C. MPKT B: Distribusi dan Ukuran Penyebaran Data. Universitas Indonesia

• Angel, R.A, Abbott, D.C, Runde, C.D. 2009, A Survey of Mathematics with Application, Ed. Ke-

8, Boston, Pearson Addison Wesley.

• Blitzer, R. 2008, Thinking Mathematically, Ed. Ke-4, New Jersey, Pearson Addison Wesley.

• Miller, D.C, Heeren, E.V, Hornsby, J, Morrow, L.M, Newenhizen, V.J, 2008, Mathematical

Ideas, Ed. Ke-11, Boston, Pearson Addison Wesley.

• Pirnot, L.T, 2007, Mathematics All Around, Ed.Ke-3, Boston, Pearson Addison Wesley.

• Santosa, Purbayu Budi. Statiska Deskriptif dalam Bidang Ekonomi dan Niaga, edisi 10.

Erlangga. Jakarta. 2007. (Google book)

• http://www.ilerning.com/index.php?

option=com_content&view=article&id=198:skewness-dan-kurtosis&catid=36:statistika-

deskriptif&Itemid=70 diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.30

• http://www.investopedia.com/terms/s/skewness.asp diakses Sabtu, 7 September 2013

pukul 22.30

• http://www.southalabama.edu/coe/bset/johnson/lectures/lec15_files/image014.jpg diakses

Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.30

• http://www.ilerning.com/index.php?

option=com_content&view=article&id=198:skewness-dan-kurtosis&catid=36:statistika-

deskriptif&Itemid=70 diakses Sabtu, 7 September 2013 pukul 22.30

Page 19: Ltm Gabungan