KINEMATIKA MEKANISMEKINEMATIKA MEKANISME

VEKTORVEKTOR

Di susun oleh :Di susun oleh :

Tri Laksana SuhardimanTri Laksana Suhardiman

(2106100517)(2106100517)

VEKTORVEKTOR

1.1 Pengertian1.1 Pengertian Besaran yang memiliki harga dan arah.Besaran yang memiliki harga dan arah. Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya, Misalnya : kecepatan, percepatan, gaya,

momentum, impuls.momentum, impuls. Digambarkan dengan garis lurus beranak Digambarkan dengan garis lurus beranak

panah ; panjang garis menyatakan besar panah ; panjang garis menyatakan besar vektor dan arah panah menyatakan arah vektor dan arah panah menyatakan arah vektor.vektor.

Vektor dari titik A ke titik B diberi simbol Vektor dari titik A ke titik B diberi simbol ABAB

ABAB

A

B

A

ā

O D

dO

1.2 Penjumlahan vektor1.2 Penjumlahan vektor

Suatu partikel bergerak dengan lintasan Suatu partikel bergerak dengan lintasan lengkung dari titik A ke B, kemudian lengkung dari titik A ke B, kemudian bergerak dengan lintasan lengkung dari B ke bergerak dengan lintasan lengkung dari B ke C ; hasilnya partikel berpindah dari A ke C.C ; hasilnya partikel berpindah dari A ke C.

Perpindahan dari A ke C merupakan resultan Perpindahan dari A ke C merupakan resultan perpindahan dari A ke B dan perpindahan perpindahan dari A ke B dan perpindahan dari B ke C. Perpindahan semacam ini tidak dari B ke C. Perpindahan semacam ini tidak dapat dijumlahkan secara aljabar biasa dapat dijumlahkan secara aljabar biasa melainkan dengan dijumlahkan secara melainkan dengan dijumlahkan secara vektor. vektor.

Jika dua vektor akan dijumlahkan, Jika dua vektor akan dijumlahkan, misalnya vektor misalnya vektor āā dan vektor b dan vektor b, maka , maka penjumlahan vektor tersebut dapat penjumlahan vektor tersebut dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :dilakukan dengan cara sebagai berikut : Vektor bVektor b di geser sejajar dengan dirinya di geser sejajar dengan dirinya

hingga pangkal vektor bhingga pangkal vektor b berimpit dengan berimpit dengan ujung vektor ujung vektor āā, vektor , vektor āā + b + b adalah vektor adalah vektor dari pangkal dari pangkal āā ke ujung b ke ujung b pindahan atau pindahan atau

Vektor ā digeser sejajar dengan dirinya Vektor ā digeser sejajar dengan dirinya hingga pangkal vektor hingga pangkal vektor āā berimpit dengan berimpit dengan ujung vektor bujung vektor b, vektor b, vektor b + + āā adalah adalah vektor dari pangkal bvektor dari pangkal b ke ujung ke ujung āā pindahan. pindahan.

āā

bb

b + ā

ā + b

ā

b

ā

b

Jika tiga vektor yang akan dijumlahkan, Jika tiga vektor yang akan dijumlahkan, misalkan a,b,c maka penjumlahan dapat misalkan a,b,c maka penjumlahan dapat dilakukan dengan cara :dilakukan dengan cara : Menggeser vektor bMenggeser vektor b ke ujung ke ujung āā menghasilkan menghasilkan

vektor vektor āā + b + b yaitu vektor dari pangkal a ke yaitu vektor dari pangkal a ke ujung vektor b, menggeser vektor cujung vektor b, menggeser vektor c ke ujung ke ujung vektor vektor āā + b + b menghasilkan vektor ( menghasilkan vektor (āā + b + b) + ) + cc yaitu vektor dari pangkal yaitu vektor dari pangkal āā + b + b ke ujung ke ujung vektor cvektor c..

Menggeser vektor cMenggeser vektor c ke ujung b ke ujung b menghasilkan menghasilkan vektor bvektor b + c + c yaitu vektor dari pangkal b ke yaitu vektor dari pangkal b ke ujung c ; menggeser vektor ujung c ; menggeser vektor bb + + cc ke ujung a ke ujung a menghasilkan vektor menghasilkan vektor āā + (b + (b + c + c) yaitu ) yaitu vektor dari pangkal vektor dari pangkal āā ke ujung vektor (b ke ujung vektor (b + c + c))

Dari gambar terlihat bahwa :Dari gambar terlihat bahwa :((āā + b + b) + c) + c = = āā + (b + (b + c + c) )

(asosiatif)(asosiatif)

ā + (b +ā + (b + c)c)

ā + (b + c)ā + (b + c)

ā + (b + ā + (b + c)c)

1.3 Pengurangan Vektor1.3 Pengurangan Vektor

Dua buah vektor Dua buah vektor ā ā dan bdan b besarnya besarnya sama dan arahnya berlawanan maka sama dan arahnya berlawanan maka vektor bvektor b dinamakan vektor negatif dinamakan vektor negatif dari vektor dari vektor āā atau sebaliknya. atau sebaliknya.

Pada prinsipnya pengurangan vektor Pada prinsipnya pengurangan vektor adalah penjumlahan vektor dengan adalah penjumlahan vektor dengan vektor negatifnya.vektor negatifnya.

b = - ā

d

c - d d

d - c

-d

1.4 Perkalian vektor1.4 Perkalian vektor

Perkalian vektor dengan skalarPerkalian vektor dengan skalar Suatu vektor dikalikan dengan skalar Suatu vektor dikalikan dengan skalar

adalah vektor. Misalnya vektor adalah vektor. Misalnya vektor āā dikalikan dikalikan dengan n (n = skalar) adalah vektor yang dengan n (n = skalar) adalah vektor yang besarnya sama dengan n besarnya sama dengan n āā, sedangkan , sedangkan arahnya sama dengan bila n positif atau arahnya sama dengan bila n positif atau arahnya berlawanan dengan arah vektor arahnya berlawanan dengan arah vektor āā bila n negatif. Perkalian skalar dengan bila n negatif. Perkalian skalar dengan vektor ini bersifat komutatifvektor ini bersifat komutatif

n ā = ā n

Perkalian skalar dari dua vektorPerkalian skalar dari dua vektor Dikenal dengan nama perkalian titik dari dua vektor. Dikenal dengan nama perkalian titik dari dua vektor.

Perkalian skalar dari dua vektor Perkalian skalar dari dua vektor āā dan b dan b ,ditulis ,ditulis āā.b.b hasilnya adalah skalar, didefinisikan : a.b = a b cos hasilnya adalah skalar, didefinisikan : a.b = a b cos θθ

āā.b.b = a b cos = a b cos θθ (dengan (dengan θθ= sudut antara vektor = sudut antara vektor āā dan vektor bdan vektor b))

āā.b.b dapat ditulis = (a)(bcos dapat ditulis = (a)(bcos θθ), yaitu besarnya ), yaitu besarnya vektor vektor āā dikalikan proyeksi vektor b pada arah dikalikan proyeksi vektor b pada arah vektor vektor āā atau juga dapat ditulis atau juga dapat ditulis āā.b.b = (a cos = (a cos θθ)b, )b, yaitu proyeksi vektor yaitu proyeksi vektor āā ke arah vektor b ke arah vektor b dikalikan dikalikan besarnya vektor bbesarnya vektor b. Perkalian skalar dari dua vektor . Perkalian skalar dari dua vektor bersifat komutatif : bersifat komutatif :

āā.b.b = b = b..āā

ab cos ab cos θθ= ba cos= ba cosθθ

Perkalian vektor dari dua vektorPerkalian vektor dari dua vektor Perkalian vektor antara dua vektor dikenal Perkalian vektor antara dua vektor dikenal

dengan perkalian silang dari dua vektor, dengan perkalian silang dari dua vektor, didefinisikan :didefinisikan :

āā x b x b = adalah vektor yang besarnya ab sin = adalah vektor yang besarnya ab sin θθ arahnya adalah arah maju skrup kanan arahnya adalah arah maju skrup kanan bila diputar dari arah vektor bila diputar dari arah vektor āā ke arah ke arah vektor bvektor b melalui sudut terkecil. melalui sudut terkecil.

Besarnya vektor Besarnya vektor āā x b x b = ab sin = ab sin θθ (dengan (dengan θθ = sudut antara vektor = sudut antara vektor āā dan vektor b dan vektor b))

Dengan memperhatikan definisi Dengan memperhatikan definisi āā x b x b, , maka bmaka b x x āā = -( = -(āā x b x b) (anti komutatif)) (anti komutatif)

ā

b

ā x b

b x ā

ab sin θ

ba sin θ

θ

1.5. Komponen Vektor dan Satuan1.5. Komponen Vektor dan Satuan

Untuk memudahkan operasi besaran Untuk memudahkan operasi besaran vektor, setiap vektor dapat diuraikan vektor, setiap vektor dapat diuraikan menjadi komponen- komponen ke menjadi komponen- komponen ke arah sumbu-sumbu koordinat. Dalam arah sumbu-sumbu koordinat. Dalam bidang datar, vektor bidang datar, vektor ā dapat ā dapat diuraikan menjadi komponen adiuraikan menjadi komponen axx dan dan aayy

y

a

a

xax

ay

θ

Komponen vektor dalam bidang datarKomponen vektor dalam bidang datar

Besar vektor Besar vektor ā = |ā| = aā = |ā| = a

a = a = 22yx aa

arah vektor a mengapit sudut arah vektor a mengapit sudut θθ dengan sumbu dengan sumbu x, dengan :x, dengan : tan tan θθ = =

x

y

a

a

γ

β

aā

az

ay

ax

α

Dalam ruang vektor Dalam ruang vektor ā dapat diuraikan ā dapat diuraikan menjadi komponen-komponen amenjadi komponen-komponen axx,a,ay, y, dan adan azz

Besar vektor Besar vektor ā = |ā| = aā = |ā| = a

a = a =

Arah vektor a mengapit sudut Arah vektor a mengapit sudut αα, , ββ, , γγ berturut-turut dengan sumbu x,y,z berturut-turut dengan sumbu x,y,z dengan :dengan :

cos cos αα = =

cos cos ββ = =

cos cos γγ = =

222zyx aaa

222zyx

x

aaa

a

222zyx

y

aaa

a

222zyx

z

aaa

a

Setiap vektor dapat ditulis dengan Setiap vektor dapat ditulis dengan besaran vektor dikalikan vektor besaran vektor dikalikan vektor satuannya, misalnya :satuannya, misalnya :

ā = a â ā = a â

a = besar vektor āa = besar vektor ā

â = vektor yang panjangnya satu satuan, â = vektor yang panjangnya satu satuan, arahnya searah dengan vektor aarahnya searah dengan vektor a

a = 4

a = a â = 4 â

Dalam koordinat cartesian, vektor satuan ke Dalam koordinat cartesian, vektor satuan ke arah sumbu x,y, dan z berturut-turut : arah sumbu x,y, dan z berturut-turut : î, ĵ, î, ĵ, dan dan ЌЌ

ĵ y

x

z

Ќ

î

Dengan menggunakan vektor satuan Dengan menggunakan vektor satuan î, ĵ, î, ĵ, ЌЌ vektor ā vektor ā yang dilukiskan dalam komponen vektor dalam yang dilukiskan dalam komponen vektor dalam ruang dapat ditulis : ruang dapat ditulis :

ā = āā = āxxî + āî + āyyĵ + āĵ + āzzЌЌ

Penjumlahan dua vektor :Penjumlahan dua vektor :

ā + b = (aā + b = (axx + b + bxx)î + (a)î + (ay y + b+ byy)ĵ + (a)ĵ + (az z + + bbzz))ЌЌ

Pengurangan dua vektorPengurangan dua vektor

ā - b = (aā - b = (axx - b - bxx)î + (a)î + (ay y - b- byy)ĵ + (a)ĵ + (az z - b- bzz))ЌЌ

Perkalian titik dua vektor :Perkalian titik dua vektor :

î . ĵ = ĵ . î = 0î . ĵ = ĵ . î = 0 î . î . ЌЌ = = ЌЌ . î = 0 . î = 0 ĵ . ĵ . ЌЌ = = ЌЌ . ĵ = 0 . ĵ = 0

Jadi ā . b = aJadi ā . b = axxbbxx + a + ayybbyy + a + azzbbzz

Perkalian cross dari dua vektor :Perkalian cross dari dua vektor : î x î = ĵ x ĵ = î x î = ĵ x ĵ = ЌЌ x x ЌЌ = 0 = 0 î x ĵ = î x ĵ = ЌЌ ĵ x î = - ĵ x î = -ЌЌ ĵ x ĵ x ЌЌ = î = î ЌЌ x ĵ = -î x ĵ = -î ЌЌ x î = ĵ î x x î = ĵ î x ЌЌ = -ĵ = -ĵ

Î ĵ Î ĵ ЌЌ

ā x b = aā x b = axx a ayy a azz

bbx x bbyy b bzz

SELESAISELESAI

TERIMA KASIHTERIMA KASIH