SUB BAGIAN 1: PENDAHULUAN
©2014 Amri Ristadi 2
mengandung satu atau lebih mekanisme yang menghasilkan gaya cukup besar dan transmisi daya yang
signifikan. Secara sederhana dapat dikatakan mekanisme umumnya digerakkan secara manual
sedangkan mesin memerlukan penggerak mula untuk meneruskan daya.
Salah satu cara terbaik untuk mempelajari prinsip‐prinsip Dinamika adalah dengan banyak berlatih
mengerjakan soal‐soal baik itu teori maupun terapan terkait permasalahan Dinamika. Berikut ini
merupakan pedoman langkah‐langkah yang perlu dilakukan supaya didapatkan hasil yang logis dengan
urutan yang benar.
Langkah‐langkahPemecahanMasalah
1. Mencoba untuk memahami permasalahan yang ada secara fisik dan mencari hubungan antara
permasalahan dengan dasar teori yang sudah dipelajari.
2. Membuat sketsa atau diagram dari permasalahan dan mencantumkan semua data yang
diketahui, baik itu dari soal ataupun data yang merupakan pengetahuan fisika secara umum.
3. Menentukan sistem koordinat dan mengaplikasikan prinsip‐prinsip matematis yang terkait.
4. Menyelesaikan persamaan/rumus secara praktis, menggunakan satuan yang konsisten kemudian
menyampaikan hasil perhitungan secara numerik.
5. Memeriksa hasil perhitungan dengan pemikiran teknis dan nalar. Pada langkah ini dapat
diketahui apakah hasilnya masuk akal (atau tidak).
6. Memeriksa kembali jawaban akhir yang didapatkan. Apakah ada kemungkinan untuk dapat
mengerjakan permasalahan tersebut dengan cara lain?
PenggunaanKalulatorIlmiah(ScientificCalculator)
Seperti umumnya materi pada bidang Teknik, permasalahan pada Dinamika memerlukan alat bantu
untuk mengerjakan perhitungan. Kalkulator Ilmiah sangat berguna untuk melakukan perhitungan
trigonometri yang mendasari analisis vektor dan juga sebagai alat bantu dalam melakukan sintesis
mekanisme.
KonversiSatuan
Beberapa literatur dan katalog elemen mesin menggunakan sistem satuan yang berbeda‐beda, sehingga
penting untuk diperhatikan karena akan mempengaruhi hasil akhir dari proses rekayasa. Untuk itu perlu
diketahui konversi dari satuan yang umum digunakan. Sesuai dengan standar yang diadopsi di Indonesia,
sistem satuan yang kita gunakan adalah SI. Berikut ini ditunjukkan beberapa satuan dalam sistem British
dan konversinya ke dalam sistem satuan Internasional.
1 Cubic inch (in3) = 16,387 Cubic centimeters (cc)
1 Foot (ft) = 0,3048 Meters (m)
1 Horsepower (hp) = 745,699 Watts (W)
1 Inch (in) = 0,0254 Meters (m)
1 Mile = 1609,344 Meters (m)
1 Pound force (lb) = 4,4482 Newton (N)
1 Pound mass (lbm) = 0,4536 Kilograms (kg)
1 Pound foot (lb‐ft) = 1,3558 Newton‐meters (N‐m)
SUB BAGIAN 1: PENDAHULUAN
©2014 Amri Ristadi 3
= 1,3558 Joules (J)
1 Pound‐foot/second (lb‐ft/s) = 1,3558 Watts (W)
1 Pound‐inch (lb‐in) = 0,1128 Newton‐meters (N‐m)
= 0,1128 Joules (J)
1 Pound‐inch/second (lb‐in/s) = 0,1128 Watts (W)
1 Revolution/minute (rpm) = 0,1047 radians/second (rad/sec)
Materi dalam diktat ini akan dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama membahas Kinematika dan
bagian kedua akan membahas Kinetika (Dinamika).
Referensi
Selain menggunakan Diktat ini, mahasiswa disarankan untuk memperdalam materi dan berlatih soal‐soal
menggunakan beberapa buku referensi berikut:
1. Beer, Ferdinand. P., Vector Mechanics for Engineers, McGraw‐Hill
2. Norton, Robert L., Design of Machinery, McGraw‐Hill
3. Hibbeler, R.C, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall4. Martin, G.H., Kinematics and Dynamics of Machines, McGraw‐Hill
5. Myszka, D.H., Machines and Mechanisms, Prentice Hall
BAGIAN1
KINEMATIKA
MekanikaVektoruntukDinamika
KinematikaPartikel
Mekanismedanlinkages
AnalisisKinematika
SintesaMekanisme
KinematikaElemen‐elemenMesin
MekanikaVektoruntukDinamika
DasarMatematika
Pendekatan penyelesaian masalah dalam diktat ini lebih banyak menggunakan metode analitis (dibanding
grafis) dan analisis vektor, sehingga perlu untuk ditinjau kembali aturan‐aturan Matematis yang
mendasarinya.
TurunandanIntegral
d dv duuv u v
dx dx dx
2
du dvv ud u dx dxdx v v
sin cosd du
u udx dx
cos sind du
u udx dx
2tan secd du
u udx dx
1
, 11
nn x
x dx C nn
1ln
dxa bx C
a bx b
sin cosxdx x C
cos sinxdx x C
Trigonometri
sinAC
; cscCA
cosBC
; secCB
tanAB
; cotBA
sin
tancos
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 6
Aturan Sinus
sin sin sinA B Ca b c
Aturan Cosinus
2 2 2 cosC A B AB c
Apabila terdapat dua garis sejajar dan satu garis melintang yang membentuk sudut seperti terlihat pada
gambar berikut, maka akan terdapat bagian‐bagian dengan sudut yang sama sebesar , sedangkan sudut
komplementernya adalah 180°
Sedangkan untuk garis normal pada salah satu garis sisi , maka besar sudut yang dibentuk dengan garis
referensi yang tegak lurus garis sisi yang lain adalah sama besar (sebesar ). Hal ini ditunjukkan pada gambar
berikut.
OperasiVektor
Semua besaran dalam mekanika diukur menggunakan besaran skalar atau vektor. Skalar adalah besaran
positif maupun negatif yang dapat ditentukan hanya menggunakan besarnya saja. Sebagai contohnya adalah
panjang, massa dan waktu. Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan besar (magnitude) dan arah
(direction) untuk dapat diidentifikasi dengan sempurna. Contoh besaran vektor adalah posisi, gaya dan
momen. Contoh lain, laju kendaraan adalah besaran skalar, sedangkan kecepatan adalah besaran vektor.
Secara grafis vektor ditunjukkan dengan anak panah (lihat gambar). Ekor atau pangkal menunjukkan titik
awal dari vektor. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor. Sudut yang dibentuk antara anak panah
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 7
vektor dengan garis referensi menunjukkan arah vektor. Ujung anak panah menunjukkan nilai dari arah
vektor, apakah bernilai positif atau negatif.
Untuk mengenali vektor dalam tulisan, umumnya nama vektor ditunjukkan dengan cetak tebal, contoh
seperti di atas adalah vektor P, atau menggunakan simbol panah diatas vektor, .
Dua buah vektor dikatakan sama hanya apabila besar dan arah‐nya sama. Sedangkan lawan atau negatif dari
suatu vektor adalah sebuah vektor yang sama besar namun arah‐nya berlawanan.
R P
0P P
PerkaliandanPembagianVektordenganSkalar
Jika suatu vektor dikalikan dengan skalar yang positif, maka besar vektor akan berlipat sebesar nilai skalar
tersebut. Jika vektor dikalikan dengan skalar negatif, maka nilai dari arah vektor akan berubah sesuai
skalarnya. Contoh pada gambar, vektor A dikalikan dengan skalar, masing‐masing 1,5 ; ‐1; dan ‐0,5.
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 8
PenjumlahanVektor
AturanJajaranGenjang(ParallelogramLaw)
Semua vektor dapat dijumlahkan dengan menggunakan aturan jajaran genjang. Langkah‐langkah
penjumlahan secara grafis adalah sebagai berikut:
Pangkal kedua vektor disatukan sehingga berimpit di satu titik
Dimulai dari masing‐masing ujung vektor, ditarik garis sejajar dengan vektor yang lain
Kedua garis tersebut bertemu di satu titik. Hasil penjumlahan vektor ditarik garis dimulai dari pangkal
menuju ke titik pertemuan tersebut.
AturanSegitiga
Aturan segitiga menyederhanakan proses pada aturan Jajaran Genjang. Vektor kedua ditambahkan dengan
menempatkan pangkalnya ke ujung vektor pertama. Selanjutnya hasil penjumlahan vektor adalah dengan
menarik garis dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua. Di sini berlaku hukum komutatif dimana
urutan penjumlahan tidak penting.
Komutatif: P Q Q P
Vektoryangsegaris
Kasus khusus apabila vektor‐vektor yang dijumlahkan memiliki arah aksi yang sama atau segaris, maka
penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan menjumlahkan skalar‐nya saja.
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 9
PenjumlahanbeberapaVektoryangsebidang
Apabila terdapat lebih dari dua vektor yang dijumlahkan dalam satu bidang, maka metode Segitiga lebih
praktis jika dibandingkan dengan metode Jajaran genjang. Selain berlaku hukum komutatif, berlaku pula
hukum asosiatif.
Asosiatif : A B C A B C A B C
PenguranganVektor
Pengurangan vektor P oleh vektor Q
dapat dituliskan secara matematis sebagai:
S P Q P Q
sehingga dapat dikatakan pengurangan suatu vektor adalah kasus khusus dari penjumlahan vektor, di mana
vektor pertama ditambahkan lawan dari vektor kedua. Karena sejatinya operasi ini adalah penjumlahan,
maka dapat digunakan baik metode Jajaran genjang maupun Segitiga. Secara grafis proses pengurangan
vektor ditunjukkan pada gambar berikut:
PenguraianVektor
Suatu vektor dapat diuraikan menjadi beberapa vektor komponennya. Proses penguraian ini dapat dilihat
sebagai kebalikan dari proses penjumlahan vektor. Jika tidak ada aturan yang mengikat, maka suatu vektor
dapat diuraikan menjadi komponen‐komponennya secara sembarang. Contoh pada gambar berikut ini,
vektor diuraikan menjadi vektor komponennya masing‐masing: dan ; dan ; serta dan .
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 10
Umumnya terdapat 2 kasus penguraian vektor, yaitu:
1. Salah satu vektor komponen telah diketahui (besar dan arah‐nya). Untuk mendapatkan vektor
komponen yang lain, prosesnya adalah kebalikan dari metode Segitiga. Jika diketahui adalah salah satu
vektor komponen dari , maka komponen vektor yang lain, taruhlah , dapat ditentukan dengan
menyatukan pangkal vektor dan sehingga berimpit, kemudian menarik garis vektor dari ujung
vektor ke ujung vektor .
P
Q
R
P
R
RP
2. Garis aksi masing‐masing vektor komponen telah ditentukan atau diketahui. Apabila akan diuraikan
menjadi komponen dan sedangkan arah dari masing‐masing vektor ini (garis aksi) diketahui, maka
prosesnya adalah menggeser dan melewatkan salah satu garis aksi tersebut pada pangkal vektor dan
menggeser garis aksi yang lain sehingga melewati ujung vektor . Perhatikan pada gambar berikut bahwa
garis aksi ini dapat diperpanjang supaya saling memotong di satu titik. Titik perpotongan ini sekaligus
menunjukkan tempat penjumlahan dari kedua vektor komponennya. Dengan mengikuti urutan
penjumlahan vektor menurut metode segitiga, diperoleh masing‐masing vektor dan .
U
garisaksiS
garisaksiT U
garisaksiS
garisaksiT
S
UT
EG
F
GC
D
GA
B
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 11
ContohSoal1
Sebuah sekrup menahan dua buah gaya dan dengan besar dan arah
masing‐masing ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukan besar dan
arah resultan gaya !
Metode Jajaran genjang
Garis sejajar ditarik dari ujung , begitu juga sebaliknya garis
sejajar ditarik dari ujung . Pada gambar di samping, sudut‐sudut
jajaran genjang dapat ditentukan dengan
90 15 10 65
Mengingat jumlah semua sudut pada jajaran genjang adalah 360°, maka dapat ditentukan
360 2 65115
2
Dengan menggunakan aturan Cosinus, maka panjang dapat dicari
2 21 2 1 2
2 cosR F F F F
2 2100 150 2 100 150 cos 115R
210000 22500 30000 0,42 212,6NR
Arah vektor ditentukan oleh sudutnya. Sudut dapat dicari dengan aturan Sinus
150 212,6sin sin 115
150
sin sin 115 0,451212,6
arcsin 0,451 39,8
Arah vektor resultan jika diukur dari horisontal adalah 15 54,8
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 12
Komponen‐komponenpersegipanjangdarisuatuVektor
Dalam prakteknya, pengguraian vektor akan lebih mudah apabila vektor tersebut diuraikan menjadi
komponen‐komponen yang saling tegak lurus. Pada gambar di bawah ini, vektor diuraikan menjadi
komponen sepanjang sumbu dan komponen sepanjang sumbu . Hukum Parallelogram menghasilkan
sebuah persegi panjang.
Penguraian vektor menjadi komponen persegi panjang juga dapat dilakukan dengan arah yang tidak sejajar
bidang kertas (lihat gambar). Yang menjadi fokus penguraian di sini adalah kedua komponen penyusun
vektornya saling tegak lurus.
x yF F
Vektor Satuan
Vektor dan vektor adalah dua buah vektor satuan (besarnya = 1) yang masing‐masing berimpit dan searah
sumbu x positif dan sumbu y positif.
x
y
Besar 1j
ix
y
j
i
θ
F
Fx Fxi
Fy Fyj
Pada bagian di atas telah disinggung mengenai perkalian vektor dengan skalar, maka dapat dikatakan
komponen persegi panjang dari vektor , yaitu dan , merupakan perkalian vektor dan dengan
besaran skalar tertentu. Jika ditulis secara matematis
xFxF i
dan
yFyF j
sehingga
x yF FF i j
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 13
Komponen skalar bernilai positif jika searah dengan vektor satuan (dengan kata lain, searah sumbu x
positif) dan bernilai negatif jika berlawanan arah vektor satuan . Hal yang sama berlaku untuk komponen
skalar .
Apabila adalah besar (=panjang) dari vektor dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dengan
sumbu dan diukur berlawanan arah jarum jam, maka komponen skalar dari vektor adalah
F Fcosx dan F Fsiny
Arah vektor ditunjukkan oleh sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu x positif dan dapat
diperoleh dengan
F
arctanFy
x
Besaran skalar F dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras (karena siku‐siku)
2 2F F Fx y
PenjumlahanVektordenganmenjumlahkanmasing‐masingkomponenXdanY
Jika vektor yang akan dijumlahkan lebih dari 3, tidak ada cara praktisnya secara trigonometrik, sehingga
diperlukan solusi analitis dengan menguraikan masing‐masing vektor menjadi komponen‐komponen persegi
panjangnya. Misalnya terdapat tiga vektor , dan yang jika dijumlahkan menghasilkan vektor (lihat
gambar), maka secara matematis dapat ditulis
D A B C
Apabila vektor‐vektor ini diuraikan menjadi komponen‐komponen persegi panjang, seperti gambar sebelah
kanan, maka
x y x y x y x y
x x x y y y
D i D j A i A j B i B j C i C j
A B C i A B C j
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 14
Sehingga apabila dikelompokkan menjadi komponen persegi panjang menjadi
x x x xD A B C dan y y y yD A B C , atau
x xD F dan y yD F
Dari sini terlihat bahwa komponen skalar dan merupakan penjumlahan langsung dari komponen‐
komponen skalar vektor‐vektor penjumlahannya. Hasil penjumlahan dari dari komponen persegi panjang ini
dapat ditentukan dengan aturan jajaran genjang.
Penjumlahan vektor dengan metode ini akan lebih praktis jika dibuat dalam bentuk tabel.
ContohSoal2
Tiga buah gaya bekerja pada bantalan dengan sudut‐sudut tertentu, seperti
terlihat pada gambar. Tentukan berapa besarnya resultan gayanya
menggunakan cara analitis!
Penyelesaiansecaraanalitis
Uraikan masing‐masing vektor menjadi komponen‐komponen skalar‐nya sehingga dapat dijumlahkan
Gaya Besar Gaya (N) θ Komponen x (N) Komponen y (N)
F1 80 40 61,3 51,4
F2 120 70 41,0 112,8
F3 150 145 ‐122,9 86,0
Σ Rx = ‐20,6 Ry = 250,2
Besarnya vektor dapat ditentukan dengan
x yR RR i j
20,6 250,2R i j
SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA
©2014 Amri Ristadi 15
Sehingga besarnya resultan gaya adalah
2 2 2 2R R R 20,6 250,2x y
251,0NR
Arah dari vektor resultan dinyatakan dengan sudut θ yang besarnya
F 250,2arctan arctan arctan 12,1
F 20,6y
x
85,3
Perhatikan pembilang dan penyebut dari fungsi arctan. Harga Sinus positif dan Cosinus
negatif menunjukkan kuadaran II. Sehingga sudut θyangsesuaiadalah
85,3 180 94,7
Top Related