Download - kinematika dan dinamika

SUB BAGIAN 1: PENDAHULUAN

©2014 Amri Ristadi 2

mengandung satu atau lebih mekanisme yang menghasilkan gaya cukup besar dan transmisi daya yang

signifikan. Secara sederhana dapat dikatakan mekanisme umumnya digerakkan secara manual

sedangkan mesin memerlukan penggerak mula untuk meneruskan daya.

Salah satu cara terbaik untuk mempelajari prinsip‐prinsip Dinamika adalah dengan banyak berlatih

mengerjakan soal‐soal baik itu teori maupun terapan terkait permasalahan Dinamika. Berikut ini

merupakan pedoman langkah‐langkah yang perlu dilakukan supaya didapatkan hasil yang logis dengan

urutan yang benar.

Langkah‐langkahPemecahanMasalah

1. Mencoba untuk memahami permasalahan yang ada secara fisik dan mencari hubungan antara

permasalahan dengan dasar teori yang sudah dipelajari.

2. Membuat sketsa atau diagram dari permasalahan dan mencantumkan semua data yang

diketahui, baik itu dari soal ataupun data yang merupakan pengetahuan fisika secara umum.

3. Menentukan sistem koordinat dan mengaplikasikan prinsip‐prinsip matematis yang terkait.

4. Menyelesaikan persamaan/rumus secara praktis, menggunakan satuan yang konsisten kemudian

menyampaikan hasil perhitungan secara numerik.

5. Memeriksa hasil perhitungan dengan pemikiran teknis dan nalar. Pada langkah ini dapat

diketahui apakah hasilnya masuk akal (atau tidak).

6. Memeriksa kembali jawaban akhir yang didapatkan. Apakah ada kemungkinan untuk dapat

mengerjakan permasalahan tersebut dengan cara lain?

PenggunaanKalulatorIlmiah(ScientificCalculator)

Seperti umumnya materi pada bidang Teknik, permasalahan pada Dinamika memerlukan alat bantu

untuk mengerjakan perhitungan. Kalkulator Ilmiah sangat berguna untuk melakukan perhitungan

trigonometri yang mendasari analisis vektor dan juga sebagai alat bantu dalam melakukan sintesis

mekanisme.

KonversiSatuan

Beberapa literatur dan katalog elemen mesin menggunakan sistem satuan yang berbeda‐beda, sehingga

penting untuk diperhatikan karena akan mempengaruhi hasil akhir dari proses rekayasa. Untuk itu perlu

diketahui konversi dari satuan yang umum digunakan. Sesuai dengan standar yang diadopsi di Indonesia,

sistem satuan yang kita gunakan adalah SI. Berikut ini ditunjukkan beberapa satuan dalam sistem British

dan konversinya ke dalam sistem satuan Internasional.

1 Cubic inch (in3) = 16,387 Cubic centimeters (cc)

1 Foot (ft) = 0,3048 Meters (m)

1 Horsepower (hp) = 745,699 Watts (W)

1 Inch (in) = 0,0254 Meters (m)

1 Mile = 1609,344 Meters (m)

1 Pound force (lb) = 4,4482 Newton (N)

1 Pound mass (lbm) = 0,4536 Kilograms (kg)

1 Pound foot (lb‐ft) = 1,3558 Newton‐meters (N‐m)

SUB BAGIAN 1: PENDAHULUAN


= 1,3558 Joules (J)

1 Pound‐foot/second (lb‐ft/s) = 1,3558 Watts (W)

1 Pound‐inch (lb‐in) = 0,1128 Newton‐meters (N‐m)

= 0,1128 Joules (J)

1 Pound‐inch/second (lb‐in/s) = 0,1128 Watts (W)

1 Revolution/minute (rpm) = 0,1047 radians/second (rad/sec)

Materi dalam diktat ini akan dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama membahas Kinematika dan

bagian kedua akan membahas Kinetika (Dinamika).

Referensi

Selain menggunakan Diktat ini, mahasiswa disarankan untuk memperdalam materi dan berlatih soal‐soal

menggunakan beberapa buku referensi berikut:

1. Beer, Ferdinand. P., Vector Mechanics for Engineers, McGraw‐Hill

2. Norton, Robert L., Design of Machinery, McGraw‐Hill

3. Hibbeler, R.C, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall4. Martin, G.H., Kinematics and Dynamics of Machines, McGraw‐Hill

5. Myszka, D.H., Machines and Mechanisms, Prentice Hall

BAGIAN1

KINEMATIKA

MekanikaVektoruntukDinamika

KinematikaPartikel

Mekanismedanlinkages

AnalisisKinematika

SintesaMekanisme

KinematikaElemen‐elemenMesin

MekanikaVektoruntukDinamika

DasarMatematika

Pendekatan penyelesaian masalah dalam diktat ini lebih banyak menggunakan metode analitis (dibanding

grafis) dan analisis vektor, sehingga perlu untuk ditinjau kembali aturan‐aturan Matematis yang

mendasarinya.

TurunandanIntegral

d dv duuv u v

dx dx dx

2

du dvv ud u dx dxdx v v

sin cosd du

u udx dx

cos sind du

u udx dx

2tan secd du

u udx dx

1

, 11

nn x

x dx C nn

1ln

dxa bx C

a bx b

sin cosxdx x C

cos sinxdx x C

Trigonometri

sinAC

; cscCA

cosBC

; secCB

tanAB

; cotBA

sin

tancos

SUB BAGIAN 2: MEKANIKA VEKTOR UNTUK DINAMIKA


Aturan Sinus

sin sin sinA B Ca b c

Aturan Cosinus

2 2 2 cosC A B AB c

Apabila terdapat dua garis sejajar dan satu garis melintang yang membentuk sudut seperti terlihat pada

gambar berikut, maka akan terdapat bagian‐bagian dengan sudut yang sama sebesar , sedangkan sudut

komplementernya adalah 180°

Sedangkan untuk garis normal pada salah satu garis sisi , maka besar sudut yang dibentuk dengan garis

referensi yang tegak lurus garis sisi yang lain adalah sama besar (sebesar ). Hal ini ditunjukkan pada gambar

berikut.

OperasiVektor

Semua besaran dalam mekanika diukur menggunakan besaran skalar atau vektor. Skalar adalah besaran

positif maupun negatif yang dapat ditentukan hanya menggunakan besarnya saja. Sebagai contohnya adalah

panjang, massa dan waktu. Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan besar (magnitude) dan arah

(direction) untuk dapat diidentifikasi dengan sempurna. Contoh besaran vektor adalah posisi, gaya dan

momen. Contoh lain, laju kendaraan adalah besaran skalar, sedangkan kecepatan adalah besaran vektor.

Secara grafis vektor ditunjukkan dengan anak panah (lihat gambar). Ekor atau pangkal menunjukkan titik

awal dari vektor. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor. Sudut yang dibentuk antara anak panah



vektor dengan garis referensi menunjukkan arah vektor. Ujung anak panah menunjukkan nilai dari arah

vektor, apakah bernilai positif atau negatif.

Untuk mengenali vektor dalam tulisan, umumnya nama vektor ditunjukkan dengan cetak tebal, contoh

seperti di atas adalah vektor P, atau menggunakan simbol panah diatas vektor, .

Dua buah vektor dikatakan sama hanya apabila besar dan arah‐nya sama. Sedangkan lawan atau negatif dari

suatu vektor adalah sebuah vektor yang sama besar namun arah‐nya berlawanan.

R P

0P P

PerkaliandanPembagianVektordenganSkalar

Jika suatu vektor dikalikan dengan skalar yang positif, maka besar vektor akan berlipat sebesar nilai skalar

tersebut. Jika vektor dikalikan dengan skalar negatif, maka nilai dari arah vektor akan berubah sesuai

skalarnya. Contoh pada gambar, vektor A dikalikan dengan skalar, masing‐masing 1,5 ; ‐1; dan ‐0,5.



PenjumlahanVektor

AturanJajaranGenjang(ParallelogramLaw)

Semua vektor dapat dijumlahkan dengan menggunakan aturan jajaran genjang. Langkah‐langkah

penjumlahan secara grafis adalah sebagai berikut:

Pangkal kedua vektor disatukan sehingga berimpit di satu titik

Dimulai dari masing‐masing ujung vektor, ditarik garis sejajar dengan vektor yang lain

Kedua garis tersebut bertemu di satu titik. Hasil penjumlahan vektor ditarik garis dimulai dari pangkal

menuju ke titik pertemuan tersebut.

AturanSegitiga

Aturan segitiga menyederhanakan proses pada aturan Jajaran Genjang. Vektor kedua ditambahkan dengan

menempatkan pangkalnya ke ujung vektor pertama. Selanjutnya hasil penjumlahan vektor adalah dengan

menarik garis dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua. Di sini berlaku hukum komutatif dimana

urutan penjumlahan tidak penting.

Komutatif: P Q Q P

Vektoryangsegaris

Kasus khusus apabila vektor‐vektor yang dijumlahkan memiliki arah aksi yang sama atau segaris, maka

penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan menjumlahkan skalar‐nya saja.



PenjumlahanbeberapaVektoryangsebidang

Apabila terdapat lebih dari dua vektor yang dijumlahkan dalam satu bidang, maka metode Segitiga lebih

praktis jika dibandingkan dengan metode Jajaran genjang. Selain berlaku hukum komutatif, berlaku pula

hukum asosiatif.

Asosiatif : A B C A B C A B C

PenguranganVektor

Pengurangan vektor P oleh vektor Q

dapat dituliskan secara matematis sebagai:

S P Q P Q

sehingga dapat dikatakan pengurangan suatu vektor adalah kasus khusus dari penjumlahan vektor, di mana

vektor pertama ditambahkan lawan dari vektor kedua. Karena sejatinya operasi ini adalah penjumlahan,

maka dapat digunakan baik metode Jajaran genjang maupun Segitiga. Secara grafis proses pengurangan

vektor ditunjukkan pada gambar berikut:

PenguraianVektor

Suatu vektor dapat diuraikan menjadi beberapa vektor komponennya. Proses penguraian ini dapat dilihat

sebagai kebalikan dari proses penjumlahan vektor. Jika tidak ada aturan yang mengikat, maka suatu vektor

dapat diuraikan menjadi komponen‐komponennya secara sembarang. Contoh pada gambar berikut ini,

vektor diuraikan menjadi vektor komponennya masing‐masing: dan ; dan ; serta dan .



Umumnya terdapat 2 kasus penguraian vektor, yaitu:

1. Salah satu vektor komponen telah diketahui (besar dan arah‐nya). Untuk mendapatkan vektor

komponen yang lain, prosesnya adalah kebalikan dari metode Segitiga. Jika diketahui adalah salah satu

vektor komponen dari , maka komponen vektor yang lain, taruhlah , dapat ditentukan dengan

menyatukan pangkal vektor dan sehingga berimpit, kemudian menarik garis vektor dari ujung

vektor ke ujung vektor .

P

Q

R

P

R

RP

2. Garis aksi masing‐masing vektor komponen telah ditentukan atau diketahui. Apabila akan diuraikan

menjadi komponen dan sedangkan arah dari masing‐masing vektor ini (garis aksi) diketahui, maka

prosesnya adalah menggeser dan melewatkan salah satu garis aksi tersebut pada pangkal vektor dan

menggeser garis aksi yang lain sehingga melewati ujung vektor . Perhatikan pada gambar berikut bahwa

garis aksi ini dapat diperpanjang supaya saling memotong di satu titik. Titik perpotongan ini sekaligus

menunjukkan tempat penjumlahan dari kedua vektor komponennya. Dengan mengikuti urutan

penjumlahan vektor menurut metode segitiga, diperoleh masing‐masing vektor dan .

U

garisaksiS

garisaksiT U

garisaksiS

garisaksiT

S

UT

EG

F

GC

D

GA

B



ContohSoal1

Sebuah sekrup menahan dua buah gaya dan dengan besar dan arah

masing‐masing ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukan besar dan

arah resultan gaya !

Metode Jajaran genjang

Garis sejajar ditarik dari ujung , begitu juga sebaliknya garis

sejajar ditarik dari ujung . Pada gambar di samping, sudut‐sudut

jajaran genjang dapat ditentukan dengan

90 15 10 65

Mengingat jumlah semua sudut pada jajaran genjang adalah 360°, maka dapat ditentukan

360 2 65115

2

Dengan menggunakan aturan Cosinus, maka panjang dapat dicari

2 21 2 1 2

2 cosR F F F F

2 2100 150 2 100 150 cos 115R

210000 22500 30000 0,42 212,6NR

Arah vektor ditentukan oleh sudutnya. Sudut dapat dicari dengan aturan Sinus

150 212,6sin sin 115

150

sin sin 115 0,451212,6

arcsin 0,451 39,8

Arah vektor resultan jika diukur dari horisontal adalah 15 54,8



Komponen‐komponenpersegipanjangdarisuatuVektor

Dalam prakteknya, pengguraian vektor akan lebih mudah apabila vektor tersebut diuraikan menjadi

komponen‐komponen yang saling tegak lurus. Pada gambar di bawah ini, vektor diuraikan menjadi

komponen sepanjang sumbu dan komponen sepanjang sumbu . Hukum Parallelogram menghasilkan

sebuah persegi panjang.

Penguraian vektor menjadi komponen persegi panjang juga dapat dilakukan dengan arah yang tidak sejajar

bidang kertas (lihat gambar). Yang menjadi fokus penguraian di sini adalah kedua komponen penyusun

vektornya saling tegak lurus.

x yF F

Vektor Satuan

Vektor dan vektor adalah dua buah vektor satuan (besarnya = 1) yang masing‐masing berimpit dan searah

sumbu x positif dan sumbu y positif.

x

y

Besar 1j

ix

y

j

i

θ

F

Fx Fxi

Fy Fyj

Pada bagian di atas telah disinggung mengenai perkalian vektor dengan skalar, maka dapat dikatakan

komponen persegi panjang dari vektor , yaitu dan , merupakan perkalian vektor dan dengan

besaran skalar tertentu. Jika ditulis secara matematis

xFxF i

dan

yFyF j

sehingga

x yF FF i j



Komponen skalar bernilai positif jika searah dengan vektor satuan (dengan kata lain, searah sumbu x

positif) dan bernilai negatif jika berlawanan arah vektor satuan . Hal yang sama berlaku untuk komponen

skalar .

Apabila adalah besar (=panjang) dari vektor dan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dengan

sumbu dan diukur berlawanan arah jarum jam, maka komponen skalar dari vektor adalah

F Fcosx dan F Fsiny

Arah vektor ditunjukkan oleh sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu x positif dan dapat

diperoleh dengan

F

arctanFy

x

Besaran skalar F dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras (karena siku‐siku)

2 2F F Fx y

PenjumlahanVektordenganmenjumlahkanmasing‐masingkomponenXdanY

Jika vektor yang akan dijumlahkan lebih dari 3, tidak ada cara praktisnya secara trigonometrik, sehingga

diperlukan solusi analitis dengan menguraikan masing‐masing vektor menjadi komponen‐komponen persegi

panjangnya. Misalnya terdapat tiga vektor , dan yang jika dijumlahkan menghasilkan vektor (lihat

gambar), maka secara matematis dapat ditulis

D A B C

Apabila vektor‐vektor ini diuraikan menjadi komponen‐komponen persegi panjang, seperti gambar sebelah

kanan, maka

x y x y x y x y

x x x y y y

D i D j A i A j B i B j C i C j

A B C i A B C j



Sehingga apabila dikelompokkan menjadi komponen persegi panjang menjadi

x x x xD A B C dan y y y yD A B C , atau

x xD F dan y yD F

Dari sini terlihat bahwa komponen skalar dan merupakan penjumlahan langsung dari komponen‐

komponen skalar vektor‐vektor penjumlahannya. Hasil penjumlahan dari dari komponen persegi panjang ini

dapat ditentukan dengan aturan jajaran genjang.

Penjumlahan vektor dengan metode ini akan lebih praktis jika dibuat dalam bentuk tabel.

ContohSoal2

Tiga buah gaya bekerja pada bantalan dengan sudut‐sudut tertentu, seperti

terlihat pada gambar. Tentukan berapa besarnya resultan gayanya

menggunakan cara analitis!

Penyelesaiansecaraanalitis

Uraikan masing‐masing vektor menjadi komponen‐komponen skalar‐nya sehingga dapat dijumlahkan

Gaya Besar Gaya (N) θ Komponen x (N) Komponen y (N)

F1 80 40 61,3 51,4

F2 120 70 41,0 112,8

F3 150 145 ‐122,9 86,0

Σ Rx = ‐20,6 Ry = 250,2

Besarnya vektor dapat ditentukan dengan

x yR RR i j

20,6 250,2R i j



Sehingga besarnya resultan gaya adalah

2 2 2 2R R R 20,6 250,2x y

251,0NR

Arah dari vektor resultan dinyatakan dengan sudut θ yang besarnya

F 250,2arctan arctan arctan 12,1

F 20,6y

x

85,3

Perhatikan pembilang dan penyebut dari fungsi arctan. Harga Sinus positif dan Cosinus

negatif menunjukkan kuadaran II. Sehingga sudut θyangsesuaiadalah

85,3 180 94,7