Download - kerja kurusus matematik

Transcript

1.0 Pengenalan

Pengetahuan matematik algoritma,konsep,hubungan

boleh dikategorikan dalam lima jenis Iaitu fakta, antara konsep dan penyelesaian masalah.

Penyelesaiain masalah merupakan satu aspek yang sangat penting dan merupakan objektif utama dalam pembelajaran matematik. Ia juga merupakan pembelajaran bentuk pembelajaran pada tahap yang tinggi (Gagne, 1995 ). Pelajar diharapkam dapat membina pengatahuan dan kemahiran baru melalui proses penyelesaian masalah, menyelesaikan masalah yang dihadapi dalam kurikulum matematik serta mengaplikasikan pelbagai strategi penyelasaian masalah dalam konteks yang berbeza.

Dalam kurikulum matematik KBSR, penyelasaian masalah merupakan salah satu daripada lima tunjang ( five pillars) utama dalam pengajaran dan pembelajaran matematik di sekolah. Penyelesaian masalah merupakan kemahiran matematik utama yang harus diperkembangkan di kalangan pelajar. Pengetahuan dan kemahiran pengajaran penyelesaian masalah matematik diharapkan dapat diaplikasikan dengan berkesan dalam pengajaran dan pembelajaran di sekolah.

1

1.1 Definisi Masalah.

Menurut Krulik dan Rudnick (1989), masalah ialah satu situasi, kuantitatif atau sebaliknya, yang dihadapi oleh seorang individu atau kumpulan individu yang memerlukan penyelesaian dan individu itu tidak mempunyai penyelesaiannya. Selain daripada itu. Sesuatu masalah seharus juga memenuhi tiga kriteria yang berikut:

1. Penerimaan individu

sesorang individu

menerima masalah itu. Penglibatan

mungkin disebabkan oleh motivasi atau mempunyai keinginan

untuk mengalami keseronokan menyelesaikan masalah tersebut; 2. Halangan Percubaan awal individu adalah tidak berjaya: dan 3. Penerokaan Penglibatan individu dalan (1) memaksa dia mencari cara penyelesaian yang baru.

Charles dan Lester (1992 ) pula mendefinisikan masalah sebagai satu tugasan dimana ; 1. Individu yang menghadapnya memerlukan satu penyelesaian; 2. Individu itu tidak mempunyai prosuder yang sedia ada untuk mendapatkan penyelesaian masalahnya; dan 3. Individu itu seharusnya memerlukan percubaan untuk mendapatkan penyelesaiannya.,

2

Definisi-definisi di atas mempunyai kesamaanya. Aspek yang pertama ialah memahami masalah itu. Sesuatu masalah perlu difahami oleh individu yang menghadapinya. Jika individu tidak memahami masalah yang diberi, dia tidak dapat membentuk perwakilan untuk masalah tersebut (Davidson, Deuser, & Stermbergh, 1996; Hayers, 19898). Sesorang individu berupaya menentukan penyelesaian sesuatu masalah jika masalah itu adalah bermakna kepadanya (Cronbach,1955). Oleh itu, masalah yang dibentuk seharusnya bermakna kepada pelajar. Aspek yang kedua ialah prosedur penyelesaian masalah.

Sesorang individu perlu menentukan apakah maklumat yang diberi serta objektif yang hendak dicapainya. Aspek yang ketiga ialah penerimaan cabaran oleh seseorang individu.

1.2 Penyelesaian Masalah Matematik Menurut Krulik dan Rudnick (1989) Penyelasaian masalah merupakan satu proses yang kompleks dan sukar dipelajarinya. Ia mengendungi satu siri tugasan dan proses pemikiran yang dihubungkait rapat untuk membantu pembentukan satu set heurstik atau corak herustik. Ia merupakan satu set cadangan dan soalan yang harus dilalui oleh pelajar untuk membantunya dalam penyelesaian masalah. Herustik adalah kaedah umum yang dapat diaplikasikan kepada semua kelas masalah. Terdapat pelbagai Model penyelesaian masalah yang sering digunakan dalam pendidikan matematik seperti Model Lester 91975) ,Model Mayer (1983) , Model Folya (1993) dan Model schoenfeld (1995). Model Polya digunakan di sekolah dalam kurikulum matematik bagi KBSM dan KB3

2.0 MODEL PENYELESAIAN MASALAH MATEMATIK ( MODEL POLYA )

Pakar matematik Hungari, George Polya 1887-1985

Pada tahun 1945. George Polya telah menerbitkan buku How To Solve it dalam buku tesebut George Polya telah memperkenalkan satu mode penyelesaian masalah yang memberi tumpuan teknik penyelesaian masalah yang menarik dan juga prinsip pembelajaran matematik dapat dipindahkan sebaik mungkin. Model ini membabitkan empat langkah utama iaitu:

i.

Memahami dan mentafsir sesuatu masalah

ii.

Merancang strategi / membentuk rancangan penyelesaian

iii. Melaksanakna penyelesaian

iv. Menyemak semula

4

2.1 Memahami dan Mentafsir Sesuatu Masalah

Pada peringkat ini, murid akan dibimbing untuk mengenal pasti kata-kata kunci dan menerangkan masalah. Murid juga hendaklah mengaitkan dengan masalah lain yang serupa denghan melukis gambarajah dan bertanyakan beberapa soalan. Dalam Sinopsis: Bagaimana

Memperoleh Kecemerlangan Dalam matematik? (2007), di peringkat ini murid dibimbing untuk memahami item-item yang terlibat dalam masalah sesuatu soalan, perkaitan di antara item-item yang dikenalpasti dan item yang hendak dicari atau dijawab.,Dalam memahami dan mentafsir masalah yang dikemukakan Polya, beliau mengatakan langkah awal dalam penyelesaian masalah murid ialah murid perlu memahami dahulu masalah yang diberikan. Murid perlu mengenal pasti;

a)

Apa yang diberikkan, apa yang diinti-inti, nombor-nombor, bentuk-

bentuk perkaitan dan nilai-nilai yang terlibat.

b)

Apa yang perlu dicari ?

Disini guru telah membantu murid

memahami masalah dengan menyoal beberapa yang telah disediakan. Berikut adalah beberapa perkara yang boleh dijadikan panduan kepada pelajar untuk memahami masalah yang komplek iaitu:

Tanya Soalan Terangkan masalah dengan perkataan sendiri5

Kaitkan dengan masalah lain yang ham1er sama Fokus pada bahagian yang penting Buat model Lukis rajah

2.2 Merancang strategi penyelesaian

Selepas murid memahami soalan tersebut, guru membimbing murid Untuk merancang strategi yang sesuai dengan permasalahaan yang sesuai dengan permasalahaan yang diberikan. Terdapat beberapa jenis strategi penyelesaian masalah mengikut Polya.

Antaranya ialah membuat simulasi, melukis gambarajah, membuat carta, mengenal pasti pola, cuba jaya, menggunakan analogi dan sebagainya. Dalam langkah ini , pelajar perlu mengenal pasti:

a) b)

Apakah operasi yang terlibat Apakah heuristic/ algoritma yang diperlukan

Berikut adalah beberapa heuristic / strategi yang perlu dikembangkan kepada pelajar semasa pengajaran dan pembelajaran penyelesaian masalah matematik iaitu:

6

Teka dan uji / cuba jaya Membina model Menggunakan gambarajah Memudahkan masalah Mencari pola / corak Membina jadual Uji kaji dan simulasi Kerja secara songsang / bekerja ke belakang Menyesat semula kemungkinan Mengenal pasti Membuat analogi Menyusun data / maklumat

Pemberian pelbagai bentuk masalah kepada pelajar akan membentuk keyakinan mereka dalam pengendalian masalah-masalah tersebut. Dalam merancang strategi kita perlu juga:

a) b)

Pertimbangkan beberapa herustik / strategi /. Algoritma Bandingkan dengan masalah yang hampir sama.

2.3

Melaksanakan strategi penyelesaian

Sebaik saja penyelesaian masalah telah dirancang.murid boleh melaksanakan strateginya untuk menyelesaikan masalah. Dalam hal7

ini,

murid-murid

hendaklah

menghuraikan

langkah-langkah

penyelesaiannya secara bersistematik untuk mendapat jawapan yang betul. Untuk melaksanakan / strategi penyelesaian perlu dibuat

berdasarkan kepada perancangan yang telah dirancang pada awalnya, iaitu;

Terjamahkan maklumat yang diberi itu kepadsa bentuk matematik

Laksanakan herustic atau strategi di langkah perancangan dan jalankan semua proses dan pengiraan yang terlibat

Semak setiap langkah heuristic / strategi yang digunakan

2.4 Menyemak semula penyelesaian

Akhirnya, murid boleh menyemak semula penyelesaian tersebut untuk menentukan sama ada jawabannya munasabah atau tidak. Di samping itu, murid boleh menyemak jawapan dengan mencari cara yang lain untuk

menyelesaiakan masalah matematik yang sama atau menggunakan cara songsang seperti jawapan yang diperoleh daripada operasi bahagi boleh disemak dengan operasi darab. Semasa menyemak semula, beberapa perkara perlu diberi perhatian supaya cara penyelesaian masalah yang dilaksanakan oleh pelajar adalah logik walaupun strategi yang diguinakan8

berbeza-beza. Berikut adalah perkara-perkara yang perlu diberi perhatian semasa penyemakan itu: i. Semak semua maklumat penting yang telah

ii.

Semak pengiraan

iii.

Pertimbangkan penyelesaian yang logic

iv.

Lihat penyelesaian yang lain

v.

Baca semula soalan dan Tanya diri sendiri sama ada kita benar-benar telah menjawab soalan

9

3.0 BENTUK-BENTUK SOALAN PENYELESAIAN NMASALAH DAN APLIKASI PENYELESAIAN MASALAH MENGIKUT MODEL POLYA

SOALAN 1 Soalan Bentuk dan Ruang. Rajah 1 menunjukkan sebuah segi empat tepat.

2cm 2cm Cari luas, dalam cm, segi empat tepat itu. Penyelesaian menggunakan Model Polya Langkah 1 Memahami masalah soalan. mencari luas dalam cm panjang lebar : 12 Cm ( 6 x 2 cm ) : 8 cm ( 4 X 2 CM )

10

Langkah 2 Merancang strategi - menggunakan operasi darab ( panjang x lebar )

Langkah 3 - Melaksanakan stretigi - Luas = panjang x lebar = 12 cm X 8 cm = 96 cm

Langkah 4 Menyemak jawapan - Menggunakan operasi bahagi - Luas 1 unit segi empat tepat 2 cm X 2cm = 4 cm - Luas 24 unit segi empat tepat 24 cm X 4 cm = 96 cm Jawapan Luas segi empat tepat ialah 96 cm

SOALAN 2

Sebuah padang yang berbentuk segi empat tepat mempunyai panjag 8 m dan lebar 24 m. Berapakah perimeter, dalam m, padang itu ?

11

SOALAN 3

Sebuah kotak plastik berbentuk kubus mempunyai panjang sisi 12 cm. Berapakah isi padunya , dalam cm ?

Rajah 3 menunjukkan sebuah segi empat sama.

9 cm

Rajah 3

Cari perimeter dalam cm, segi empat sama.

SOALAN 4

Panjang seutas reben ialah 7.44 m. Perapakah panjan, dalam cm, setiap bahagian reben itu ?

SOALAN 5

Premeter sebuah segi empat sama ialah 32 cm. Berapakah luasnya, dalam cm. ?

12

4.0

HERUSTIK DALAM PENYELESAIAN MASALAH

Heuristik merupakan konsep yang lebih umum dan boleh digunakan untuk menyelesaikan sebarang jenis masalah. Berikut adalah beberapa jenis heuristik yang boleh digunakan dalam penyelesaian masalah.

4.1 Herustik secara teka dan uji / cuba jaya Strategi ini adalah cara termudah tetapi ia memerlukan tekaan yang bijak dan penyemakan yang tersusun boleh membawa kepada jawapan atau penyelesaian. Teka dan uji mmemerlukan kita ,membuat tekenan tentang penyelesaian terlebih dahulu dan kemudian menguji untuk melihat sama ada betul atau tidak. Proses ini diulang sehingga jawapan yang betul ditemui. Segala tekaan dan uji / cuba jaya tidak dibuat secara rambang atau rawak sahaja. Terdapat tiga cara melaksanakan teka dan uji / cuba jaya iaitu:

Teka dan uji / cuba jaya secara rawak , Teka dan uji / cuba jaya secara sistematik Teka dan uji / cuba jaya secara inferens

13

Contoh: Heuristik secara teka dan uji / cuba jaya tidak releven dengan Huraian Sukatan pelajaran Matematik Kurikulum Sekolah Rendah (KBSR).

4.2 Heuristik menggunakan gambarajah Heurustik melekar gambarajah boleh membantu pelajar memahami sesuatu masalah dengan lebih jelas. Selepas melukis gambarajah

secara kasar tetapi jelas, pelajar boleh menandakan maklumat yang diberikan dalam masalah pada gambarajah itu.

Contoh: Tajuk: Pecahan Setara ( Matematik Tahun 4 ) Dengan menggunakan gambarajah, pelajar dapat menentukan sama ada dua pecahan yang diberi adalah setara. Soalan;

2 614

3.3 Heuristik mencari pola

Heuristik

mencari pola, pelajar perlu diberikan beberapa contoh spesifik

tentang masalah, kemudian melihat sama ada munculnya sesuatu pola yang mencadangkan penyelesaian pada suatu masalah. Murid dapat membuat generalisasi untuk mendapatkan penyelesaian.

Contoh ; Tajuk : Nombor Bulat ( Matematik : Tahun 3) Pendaraban nombor bulat dari 1 hingga 9 Soalan sifir 3 : 3x1=3 3x2=6 3x3=9 Pendaraban sifir 3 adalah merupakan hasil penambahan nombor tiga mengikut pola dan tertibnya.

3.4 Huraian bekerja ke belakang secara songsang

Heuristik bekerja kebelakang

secara songsang ini boleh digunakan untuk

menyelesaiakan masalah mencari dan masalah membuktikan. Terdapat beberapa masalah yang memberikan syarat-syarat akhir sesuatu tindakan dan

15

kita diminta menentukan apa yang

berlaku sebelumnya.

Dalam masalah-

masalah sedemikian kita boleh menentukan syarat-syarat akhir terlebih dahulu dan kemudian menggunakan heuristik bekerja ke belakang / secara songsang untuk mencara penyelesaian kepada masalah itu.

Contoh :

Tajuk : Bentuk Dan Ruang ( Matematik Tahun 6 ) - Mencari panjang sisi dari maklumat yang diberi.

Soalan :

Diberi luas satu segi empat tepat ialah 375cm2 dan lebar 15cm. Berapakah panjang segi empat tepat tersebut?

3.5 Heuristik memudahkan masalah

Sesuatu masalah yang rumit atau kompleks dan yang melibatkan nombornombor bernilai besar, pelajar enggan menyelesaikannya kerana takut akan nilai-nilai besar . Masalah- masalah yang komplek itu dipecahkan kepada

16

beberapa bahagian yang mudah. Penyelesaian bagi masalah- maslah yang mudah ini, kemudian digunakan untuk menyelesaikan masalah asal.

Contoh ;

Matematik Tahun 5 Pecahan

Beberapa pelajar tahun 6 membuat jualan kek untuk kutipan tabung perpustakaan sekolah. Mereka menyediakan 10 kek untuk dijual. Mereka telah menjual 2 kek semasa waktu rehat dan 5 semasa makan tengah hari. Berapakah baki kek yang tinggal?

Jawapan ; Kek yang dijual = 10 Jumlah kek yang telah dijual = 2 + 5

= 19 + 47 8 = 66 8 Baki kek yang tinggal = 10 - 66 1 8 8

= 80 - 66 8

17

= 14 8 3.6 Hueristik analogi

6 8

Apabila sesuatu masalah A adalah serupa, setara dengan masalah B yang prosedur penyelesaiannya sukar diketahui, maka heuristic analogi boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah A.

Terdapat dua kes bagi penggunaan heuristic analogi. Jika masalah A itu setara dengan masalah, maka prosedur penyelesaian B boleh digunakan terus untuk menyelesaikan masalah A. sebaliknya, jika masalah A hanya serupa atau hampir setara dengan masalah B dalam beberapa bahagian sahaja, maka prosedur penyelesaian masalah B perlu dIubahsuaikan.

Contoh; Tajuk : Nombor Bulat ( Matematik : Tahun 5) Konsep Pembundaran Soalan : Bundarkan nombor 55 570 kepada ribu terdekat.

40

50

60

70

18

Kemana harus saya lompat ? Mengapa?

3.7 Herustik membuat jadual / carta/ graf

Herustik membuat jadual /carta / graf membabitkan pelajar menyeneraikan secara teratur semua kes yang mungkin dalam jadual / carta / graf sehingga jawapan yang dikehendaki itu diperoleh. Heuristik ini dapat digunalkan dalam merumuskan data atau membantu pelajar melihat corak / pola maklumat. Membuat jadual / carta / graf adalah berguna apabila kita tidak dapat menterjamakan sesuatu masalah ke dalam bentuk ayat matematik.

Contoh; Tajuk: Wang Hingga RM 10 000 (Matematik Tahun 4) Penentuan Nilai Wang Hingga RM 10 000 Pelajar dapat menghubungkaitkan kesamaan nilai wang hingga RM10 000 Soalan:

Nilai sekeping RM 10 sama dengan

RM 1

10 keping

19

RM 5

2 keping

3.8 Heuristik ujikaji (eksperiment) dan simulasi

Terdapat masalah boleh diselesaikan jika pelajar melaksanakan kerja praktik iaitu melaksanakan ujian / eksperimen bagi mendapat maklumat untuk membantu menyelesaiakan masalah. mesti Eksperimen / ujikaji yang dijalankan

dirancang dengan baik dan menyediakan bahan-bahan berkaitan,

menyimpan rekod dan hasil yang diperoleh. Apabila situasi masalah terlalu sukar, bahaya atau melibatkan perbelanjaan yang tinggi dan mengambil masa yang terlalu panjang / lama untuk diselesaikan melalui uji kaji, pengunaan simulasi boleh dijalankan.

Tajuk : Wang ( UPSR 2005, kertas 2) Ramli ada sejumlah wang. Dia menggunakan wang itu untuk membeli 2 kotak serbukpencuci dan bakinya ialah RM6.20. Berapakah jumlah wang yang dia ada sebelummembeli serbuk pencuci itu?

Jawapan; 1. Guru menunjukkan gambar serbuk pencuci dengan harga sekotak RM11.90.20

2. Guru menunjukkan 2 kotak serbuk pencuci dengan harga yang sama.

3. Guru menyuruh murid menambah kedua-dua harga serbuk pencuci tersebut.

4. Guru memberitahu baki dari pembelian tersebut adalah RM6.20

5. Guru menyuruh murid-murid mencari wang asal yang ada pada Ramli sebelum dia membeli serbuk pencuci.

Baki = RM6.20

Oleh sebab itu,

Jumlah wang yang ada sebelum membeli RM23.80 = RM6.20

Jumlah wang yang ada sebelum membeli = RM6.20 + RM23.80

Jumlah wang yang ada sebelum membeli = RM30.00

3.9 Hueuristik menyusun data / maklumat

Kadang kala terdapat masalah matematik dapat diselesaikan dengan cara yang cepat jika sesorang dapat mengenali dan sedar tentang maklumat-maklumat atau data yang terdapat soalan, boleh disusun supaya lebih teratur.

21

Tajuk : Menyusun Data /Data Handling ( Matematik Tahun 6 ) - Mengeluarkan maklumat dari carta yang diberi.

Soalan :

Markah Ujian Bulanan Matematik

5

50

40

20

50

5

70

35

50

75

0

80

50

95

40

Daripada skor markah yang di atas, Berapakah mod markah pelajar ?

3.10 Kesimpulan

Dalam menggunakan herustik dalam penyelesaian masalah, para pelajar harus sadar bahawa sesetengah masalah mungkin boleh diselesaikan dengans atu daripada beberapa herustik altenatif. Sesetengah masalah yang lain pula mnemerlukan lebih daripafa satru herustik. Guru matematik perlu berperanan bukan sahaja mendedahkan beberapa herustik penyelesaian masalah kepada22

pelajar tetapi yang lebih penting ialah pengajaran guru harus memberi tumpuan kepada proses pemikiran yang terbentuk semasa pelajar mengkaji, memahami dan menyelesaikan sesuatu masalah. Di samping itu,penggunaan herustik-

herustik merupakan satu kemahiran yang agak sukar untuk dikuasai dengan baik. Oleh itu, guru matematik perlu memperuntukkan masa yang mencukupi untuk menerangkan kepada pelajar bagaimana dan bila sesuatu herustik itu sesuai digunakan. Pendekatan yang diambil oleh guru harus membabitkan aspek diskriptif dan priskriptif.

23

4.0 STRATEGI MENGAJAR PENYELESAIAN MASALAH.

4.1 Strategi mengajar penyelesaian masalah bagi sesuatu masalah

Strategi ini merupakan strategi yang palaing banyak digunakan oleh guru dalam pengajaran penyelesaian masalah matematik. Guru merupakan agen

penyelesaian dengan menulis penyelesaian di papan tulis dan mengajar murid langkah demi langkah penyelesaian masalah tersebut. Strategi ini kurang berkesan kerana murid hanya menerima apa yang diberikan oleh guru tanpa berfikir proses mendapatkan jawapapanya.

4.2 Strategi perbincangan

Strategi ini melibatkan perbincangan antara guru dengan murid hingga ke peringkat merancang penyelesaian. Guru berbincang dengan murid untuk memahami soalan dengan berasaskan panduan yang diberikan dalam Model Polya iaitu memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan menyemak semua. Dalam perbincangan ini guru boleh menggunaka salah satu daripada herustik penyelesaian masalah ialah; Teka dan uji / cub ajaya Menggunaka gambarajah Menggunakan jadual / carta / graf24

Memudahkan masalah Mencari pola Berkerja ke belakang / secara songsa\mg Membuat analogi Membuat eksperiment dan simulasi Menyusun data / maklumat

4. 3 Strategi soalan berstruktur

Steratigi ini digunakan oleh guru untuk membantu murid menyelasaikan masalah yang rumit. Guru perlu menyediakan solan-soalan kecil bagi setiap langkah perlaksanaan strategi. Soalan-soalan yang dikemukakan harus menjurus kepada murid mendapat jawapan dan memberi peluang murid berfikir.

4.4

strategi Pembelajaraj koperatif

Guru boleh mengajar penyelesaian masalah secara pembelajaran koperatif peringkat tinggi iaitu dengan menggunakan kaedah STAD, TGT, JIGSAW dan TASI. Dalam strategi ini guru menunjukkan penyelesaian masalah dalam kumpulan masing-masing dan guru memastikan setiap murid dapat meguasai cara penyelesaian masalah tertsebut.

25

4.5 Steratigi murid membina soalan Dalam strategi ini guru memberi maklumat atau menunjukkan cara penyelesaian masalah dan murid membina masalah yang berkaitan.

26

6.0 KESIMPULAN Dalam kehidupan seharian kita tidak dapat lari daripada pelbagai masalah dan ianya memerlukan penyelesaian yang berkesan. Seharusnya dalam pendidikan matematik, Penyelesaian masalah perlu diberi penekanan yang lebih supaya pelajar akan lebik memahami kepentingan dan keindahan pendidikan matematik, Hal ini sesuai dengan petikan dibawah yang diperoleh daripada penyelesaian Masalah (2007)

:The ability ti solv problems is at the nheart of matematiks. (Cockcroft Report (England), Para 24: 1982

Selain daripada itu pelajar akan mempunyai daya pemikiran yang kritis dan kreatif dalam menyelasaikan masalah matematik. Sekali gus menghasilkan masyarakat yang unggul yang dapat menganangi sebarang masalah dengan menggunakan cara terbaik dan berkesan.

27

28