1
Teori Statistika I (STK501) – S2 STK
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2017/2018
Karakteristik Contoh AcakProperties of a Random Sample
(Bagian II)
2
Sebaran t-Student
3
Sebaran t-Student
4
Sebaran t-Student
Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan
fkp sebagai berikut: X N(0, 1) dan Y 2(r). Jika kemudian
didefinisikan p.a. lainnya T = rYX // maka p.a. T memiliki
sebaran t-Student dengan derajat bebas r.
Contoh Kasus (1):
5
Karena X N(0, 1) dan Y 2(r) maka dapat dinyatakan
sebagai berikut:
xexf x
X - ,2
1)(
2)2/1(
yeyr
yf yr
rY 0 ,2)2/(
1)( 2/1)2/(
)2/1(
kemudian didefinisikan p.a. lainnya T = rYX //
6
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi
terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.
Misalkan U = Y, sehingga diperoleh sepasang transformasi
yaitu t = ryx // dan u = y. Trasformasi ini bersifat satu-
satu untuk seluruh daerah fungsi.
t = ryx // dan u = y
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan
di atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x = r
ut dan y = u
7
x = r
ut dan y = u
x/t = r
u; x/u =
rut
2
1;
y/t= 0; y/u = 1;
r
uru
t
r
u
J
10
2
8
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi t dan u yaitu :
karena - < x < , 0 < y < , dan 0 < r < maka dapat
dinyatakan bahwa 0 < ry / < , sehingga
- < (t = ryx // ) < - < t <
0 < (u = y) < 0 < u <
9
Berdasarkan hasil di atas, maka fungsi kepekatan peluang
bersama bagi p.a. T dan U adalah
r
tuu
rr
r
ueu
re
r
uuf
r
utf
JyfxfJyxfutf
r
r
ur
r
rut
YX
YXYXUT
21)1)(2/1(
2/
2/1)2/(
2/
2/
,,
12
exp2)2/(2
1
2)2/(
1
2
1
).().(
).().().,( ),(
2
dimana
- < t < dan 0 < u <
10
Sebaran marginal bagi p.a. T adalah
dur
tuu
rrtf r
rT
0
21)1)(2/1(
2/1
2exp
2)2/(2
1 )(
misalkan
zr
tu
2
12
sehingga
dzrt
durt
z
r
tzu
)/(1
2 ,
)/(1
212
22
12
11
dzrt
durt
z
r
tzu
)/(1
2 ,
)/(1
212
22
12
dur
tuu
rrtf r
rT
0
21)1)(2/1(
2/1
2exp
2)2/(2
1 )(
dzrt
ert
z
rrtf z
r
rT
0
2
1)1)(2/1(
22/ )/(1
2
)/(1
2
2)2/(2
1)(
dzezrtrr
zr
r
r
r
0
1)1)(2/1(
)1)(2/1(2
)1)(2/1(
2/ )]/(1[
2
2)2/(2
1
12
dzezrtrr
zr
r
r
r
0
1)1)(2/1(
)1)(2/1(2
)1)(2/1(
2/ )]/(1[
2
2)2/(2
1
Karena zr ezr
1)1)(2/1(
]2/)1[(
1untuk z > 0 merupakan fkp
Gamma dengan = (r +1)/2 dan = 1, maka persamaan di
atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
trtrr
r
rrtrr
tf
r
rT
- ,)]/(1[
1
)2/(
]2/)1[(
]2/)1[()]/(1[
1
)2/(
1)(
)1)(2/1(2
)1)(2/1(2
13
trtrr
r
rrtrr
tf
r
rT
- ,)]/(1[
1
)2/(
]2/)1[(
]2/)1[()]/(1[
1
)2/(
1)(
)1)(2/1(2
)1)(2/1(2
)(tfT tersebut dikenal sebagai fungsi kepekatan peluang
t-Student dengan derajat bebas r.
14
Karakteristik Sebaran t-Student
15
Sebaran F
16
Contoh Kasus (2):
Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan
fkp sebagai berikut: X 2
)( 1r dan Y 2
)( 2r . Jika kemudian
didefinisikan p.a. lainnya F = 2
1
/
/
rY
rX maka p.a. F memiliki
sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:
f
rrfrr
f
rr
rrrrff
rr
F
0 dimana
,))(2/1]()/(1[)2/()2/(
)/](2/)[()(
2121
1)2/(
21
2/
212111
17
Sebaran F untuk Perbandingan Ragam
18
Karakteristik Sebaran F
19
20
Materi Responsi
21
Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan
fkp sebagai berikut: X 2
)( 1r dan Y 2
)( 2r . Jika kemudian
didefinisikan p.a. lainnya F = 2
1
/
/
rY
rX , buktikan bahwa p.a. F
memiliki sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:
f
rrfrr
f
rr
rrrrff
rr
F
0 dimana
,))(2/1]()/(1[)2/()2/(
)/](2/)[()(
2121
1)2/(
21
2/
212111
Materi Responsi (1)
22
Jika diketahui bahwa peubah acak X memiliki sebaran
t-Student dengan derajat bebas r, buktikan bahwa:
𝐸 𝑋 = 0, 𝑟 > 1; dan 𝑉 𝑋 =𝑟
𝑟 − 2, 𝑟 > 2
Materi Responsi (2)
23
Jika diketahui bahwa peubah acak Y memiliki sebaran F dengan
derajat bebas r1 dan r2, buktikan bahwa:
𝐸 𝑌 =𝑟2
𝑟2 − 2, 𝑟2 > 2;
𝑉 𝑌 = 2 𝑟2
𝑟2 − 2
2 (𝑟1 + 𝑟2 − 2)
𝑟1(𝑟2 − 4), 𝑟2 > 4
Materi Responsi (3)
24
Materi Responsi (4)
25
Materi Responsi (5)
26
Pustaka
1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,
2nd Edition. Duxbury.
2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to
Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.
3. Pustaka lain yang relevan.
27
Catatan Kuliah
Bisa di-download di
kusmansadik.wordpress.com
28
Terima Kasih
Top Related