Download - kalkulus bab3

Transcript
Page 1: kalkulus bab3

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah lanjutan dari

Kalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di

kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang

malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki

keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan

demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari

bahan materi yang akan di pelajari.

Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan

diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa lebih

menjadi maksimal. Insya Allah...

B. Rumusan Masalah

Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara implisit ?

C. Tujuan

Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;

D. Manfaat

Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel

atau lebih;

Page 2: kalkulus bab3

2

BAB II

PEMBAHASAN

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Penurunan Secara Implisit

Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalam

kalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunan

fungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikan

secara implisit, dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari,

maka dengan aturan rantai dihasilkan,

+

= 0

Karena, dx⁄dx = 1, maka dihasilkan rumus :

= -

Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit,

dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus :

Contoh 1

Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3, hitunglah

dy⁄(dx.)

Penyelesaian :

Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsial

terhadap x dan y dihasilkan :

= 3y2 – 3x2 = 3(y2 – x2) = 3(y + x)(y – x)

= 6xy + 6y2 = 6y(x + y)

Jadi,

= -

= -

=

= -

Page 3: kalkulus bab3

3

Contoh 2

Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (x⁄y) = ln (x2 + y2),

hitunglah dx⁄dy.

Penyelesaian :

Andaikan, F(x,y) = arc tan (x⁄y) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secara

parsial terhadap x dan y dihasilkan :

=

=

Jadi,

Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untuk

menentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsi

dari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) =

0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan dengan

aturan rantai dihasilkan :

+

+

= 0

Karena y konstan, maka ∂y/∂x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkan

rumus,

Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkan

secara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantai

dihasilkan:

+

+

= 0

Page 4: kalkulus bab3

4

Karena x konstan, maka ∂x/∂y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkan

rumus,

Contoh 3

Tentukanlah,

dan

dari, x2 y + y3 z = 2xz4

Penyelesaian :

Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x,

y dan z

dihasilkan:

= 2xy – 2z4

= x2 + 3y2z

= y3 – 8xz3

Jadi,

= -

– =

= -

– =

.

Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu :

1. Turunan fungsi implisit dua variabel

Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0,

dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari

atau

asalkan

y

Fx

F

dx

dy

Page 5: kalkulus bab3

5

Contoh:

Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan

..!

Jawab:

x3 + y2 x- 3)=

3x2 + 2xy

+ y2 = 0

2xy

= - 3x2 - y2

(- 3x2 - y2) / 2xy

- (3x2+ y2)/2xy

2. Turunan fungsi implisit tiga variabel

Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel

sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka

Contoh:

Tentukan

dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0

Jawab:

a.

(xy – z2 + 2xyz) =

c.

(xy – z2 + 2xyz) =

= 2xy – 2z

y+ 2yz

b.

(xy – z2 + 2xyz) =

= x + 2xz

Jadi

),,(

),,(

zyxF

zyxF

x

z

z

x

),,(

),,(

zyxF

zyxF

y

z

z

y

Page 6: kalkulus bab3

6

Contoh:

Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan

Jawab:

(x3 ey+z – ysin (x-z))=

= 3x2 ey+z – ycos (x-z)

(x3 ey+z – ysin (x-z))=

= x3 ey+z + ycos (x-z)

Jadi

(3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)

3. Turunan fungsi implisit empat variabel

Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel

sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi,

maka

Contoh:

Tentukan

dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0

Jawab:

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

=

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2) =

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

x

w

w

x

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

y

w

w

y

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

z

w

w

z

Page 7: kalkulus bab3

7

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

= 3y2 + wyx

(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)=

= 2x2 + zyx +2w

Jadi:

= / 2x2 + zyx +2w

= / 2x2 + zyx +2w

= - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w

Pendiferensialan Implisit

Jika kita dihadapkan dengan fungsi

y3 + 5y = x3.

Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi ketika kita ingin

mencari gradien/kemiringan garis singgungdi suatu titik pada kurva, kita akan

kebingungan. Masalahnya, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut.

Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan

yang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin

untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini?

Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan

y3 + 5y = 3

terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap

bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi

x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi,

setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh :

Page 8: kalkulus bab3

8

Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :

Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk suatu kenyataan

yang sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin mencari kemiringan

pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui tidaklah sulit. Di (1,2)

=

.

Jadi, kemiringannya adalah 3/17.

Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari tanpa terlebih

dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk secara gamblang

dalam bentuk disebut Pendiferensialan Implisit. Tetapi apakah metode

tersebut dapat memberikan jawaban yang benar?

Contoh.

Carilah jika – 3 !

Penyelesaian :

Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang

untuk sebagai berikut.

Jadi,

Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit).

Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari :

– 3

Page 9: kalkulus bab3

9

Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan

Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperoleh

terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan

dalam

ungkapan untuk dy/dx yang baru saja diperoleh.

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan

fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan

menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua hal

besar dalam pernyataan ini.

Pertama perhatikan persamaan

Ia tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan suatu fungsi.

Sebaliknya,

menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = , dan fungsi y = g(x) =

- . Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar berikut:

Page 10: kalkulus bab3

10

Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikan

f, ia memenuhi :

x2 + [f (x)]2 = 25

Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f `(x), kita

peroleh:

2x + 2f(x) f’(x) = 0

f’(x) =

perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan :

g’(x) =

Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak

dengan pendiferensialan secara implisit dari Ini memberikan

2x + 2y

= 0

Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y agar dapat

menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis

singgung pada lingkaran bilamana x = 3. Nilai-nilai y yang

berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4). Masing-

masing diperoleh dari pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4.

Kemudian kita tunjukkan bahwa:

Menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang didefenisikan oleh:

Page 11: kalkulus bab3

11

-5

h(x) =

Ia juga memenuhi , karena .Tetapi ia bahkan

tidak kontinu di , sehingga tidak saja mempunyai turunan di sana (lihat

gambar disamping).

Sementara subyek fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang sukar

(ditangani dalam kalkulus lanjut), masalah-masalah yang kita pelajari

mempunyai penyelesaian lansung.

Dalam contoh-contoh berikut,kita anggap bahwa persamaan yang diberikan

menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferengsialkan yang turunan-

turunannya dapat dicari dengan menerapkan pendiferensialan implisit.

Contoh

Carilah jika !

Page 12: kalkulus bab3

12

Penyelesaian :

Contoh

Carilah jika

Penyelesaian :

=

Contoh

Cari persamaan garis singgung pada kurva

dititik (0,1).

Penyelesaian :

Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan ’ untuk

.Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya,kita

peroleh :

Page 13: kalkulus bab3

13

Di (0,1), .Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah:

Kita telah mempelajari bahwa di mana adalah sembarang

bilangan bulat.Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalah

bilangan rasional sembarang.

TEOREMA M :

Aturan Pangkat

Andaikan adalah bilangan rasional sembarang,maka:

Page 14: kalkulus bab3

14

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan fungsi implisit dua variable

Turunan fungsi implisit tiga variable

Turunan fungsi implisit empat variable

B. Saran

Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan atau

menjelaskan kembali dasar – dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena

masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar – dasar yang mestinya

diketahui sebelum mempelajari makalah ini, termasuk kami juga. Sehingga sulit

buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini.

Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak

belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak

akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses

perkuliahan berlangsung kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh

–sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal.

),,(

),,(

zyxF

zyxF

x

z

z

x

),,(

),,(

zyxF

zyxF

y

z

z

y

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

x

w

w

x

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

y

w

w

y

),,,(

),,,(

wzyxF

wzyxF

z

w

w

z

y

Fx

F

dx

dy

Page 15: kalkulus bab3

15

DAFTAR PUSTAKA

Prayudi.Kalkulus Lanjut, Edisi Pertama.Penerbit Graha Ilmu.Yogyakarta.2009

Purwanto, Heri.Kalkulus 1. Ercontara Rajawali.Jakarta.2005

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html

http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materi-

matematika.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html

http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq

http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y