Download - Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

Transcript
Page 1: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

69

BAB III

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut.

x f(x) x f(x)

1,9

1,99

1,999

1,9999

5,9

5,99

5,999

5,9999

2,1

2,01

2,001

2,0001

6,1

6,01

6,001

6,0001

Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang

6,0001

5,9999

6

0,0001

0,0001

2 1,9999 0,0001

0,0001 0,0001 0

x

y

Gambar 3.1

Page 2: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

70

mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu

f(x) = 3x

3xx3x 23

++++

Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat : f(x) = 3x

)3x)(1x( 2

+++ atau

f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3. Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3 (Gambar 3.2).

x f(x) x f(x)

-3,1

-3,01

-3,001

-3,0001

10,61

10,0601

10,006001

10,00060001

-2,9

-2,99

-2,999

-2,9999

9,41

9,9401

9,994001

9,99940001

Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa : 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c

tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan

o

-3

-3,0001

-2,9999

0,0001 0,0001

9,99940001

10,00060001

0

y

x

Gambar 3.2

Page 3: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

71

2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis :

L)x(flimcx

( 3.1 )

dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c”

3.2 Definisi limit

Perhatikan Gambar 3.3 berikut !

Untuk x < c , maka : 0 < c – x < d atau 0 > x – c > -d Untuk x > c , maka : 0 < c – x < d Dari kedua persamaan diatas didapat : d<-< cx0 ( 3.2 )

Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < e atau f(x) – L > -e Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < e. Sehingga didapat : <- L )x(f e ( 3.3 )

Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut :

c - d x c x c + d

L + e

f(x) L f(x)

L - e

e

e

f(x) - L

f(x) - L

0

y

x

Gambar 3.3

c-x x-c

d d

Page 4: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

72

3.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema

1. cx limcx

( 3.5 )

Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d maka terdapat cx - < e. Jadi untuk e = d didapat :

cx - < d (terbukti)

Contoh 3.1 a) 5x lim

5x=

®

b) 7x lim7x

-=-®

2. kk lim

cx=

® ( 3.6 )

Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d maka terdapat k -k < e. Karena k -k = 0 dan 0 < e, maka

definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a) 44 lim

3x=

b) 99lim2x

3. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim

cxcxcx ®®®+=+ ( 3.7 )

Bukti : Misal 1

cxL)x(flim =

® dan 2

cxL)x(glim =

®

Dari definisi, untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0< cx - < d maka )L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e

atau ))L)x(g()L-(f(x) 21 -+ < e

Dari ketaksamaan segitiga didapat : ))L)x(g()L-(f(x) 21 -+ £ 21 L)x(gL)x(f -+- atau

Pernyataan : L)x(flimcx

, berarti untuk setiap e > 0 terdapat d > 0

sedemikian rupa sehingga jika 0< < c-x d maka L - f(x) <e ( 3.4 )

Page 5: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

73

)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ £ 21 L)x(gL)x(f -+-

Karena 1cx

L)x(flim =®

, maka :

Untuk setiap e21 > 0 terdapat d1 > 0 sedemikian rupa sehingga :

jika 0 < cx - < d1 maka L-f(x) 1 < e21 ( * )

Selanjutnya karena 2

cxL)x(glim =

®, maka :

untuk setiap e21 > 0 terdapat d2 > 0 sedemikian rupa sehingga :

jika 0 < cx - < d2 maka L-f(x) 2 < e21 ( ** )

Dari ketaksamaan segitiga didapat :

)L)x(g()L-(f(x) 21 -+ £ 21 L)x(gL)x(f -+- atau

)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ £ 21 L)x(gL)x(f -+-

Dari (*), (**) dan (***) didapat :

)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e+e21

21 atau )L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e ( terbutki )

Contoh 3.3

=+®

)6x( lim5x

x lim5x

6 lim5x

5 + 6 = 11

4. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[limcxcxcx ®®®

-=- ( 3.8 )

Bukti : ikuti pembuktian teorema 3

Contoh 3.4 =

®)x-(7 lim

5x-7 lim

5x®=

®x lim

5x7 - 5 = 2

5. =®

)]x(g).x(f[limcx

).x(flimcx®

)x(glimcx®

( 3.9 )

Bukti : Misal 1

cxL)x(flim =

® dan 2

cxL)x(glim =

®

Dari ketaksamaan segitiga didapat :

21LL)x(g).x(f - = 2122 LL)x(fL)x(fL)x(g).x(f -+-

£ 122 L)x(fL L)x(g)x(f -+-

£ 122 L)x(f)L 1(L)x(g)x(f -++- ( i )

Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d1, maka <- L)x(f 1 e1 ( ii )

Dari ketaksamaan segitiga didapat : 11 L)x(f L)x(f -³- ( iii )

Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat 11L )x(f e<- atau 11L )x(f e+< ( iv )

Page 6: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

74

Dengan mengambil e1 = 1, maka 1L )x(f 1 +< ( v )

Untuk setiap e2>0 terdapat d2>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d2, maka <- L)x(g 2 e2 ( vi )

Dengan mengambil e2 = 1L1 2/1

+e , maka dari (vi) didapat :

<- L)x(g 21L1 2/1

+e ( vii )

Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d3, maka didapat didapat 31L )x(f e<- ( viii )

Dengan mengambil e3 = 2L 1

2/1+

e , maka dari (viii) didapat :

<- 1L )x(f 2L 1

2/1+

e , maka dari ( viii ) didapat : <- 1L )x(f 2L 1

2/1+

e ( ix )

Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat :

e=+

e++

+e

+<L 1 2/1

)L 1(L 1 2/1

)L 1(LL-f(x) 21

121

Dengan memilih d = min (d1, d2, d3 ) akan didapat pernyataan : Jika 0 < cx - < d, maka e<- 1L )x(f ( terbukti )

Contoh 3.5

=+®

)}1x)(x-{(7 lim5x

x)-(7 lim5x®

. =+®

1)(x lim5x

(2)(6)=12

6. )x(glim

)x(flim

)x(g)x(f

lim

cx

cxcx

®

®®

=úû

ùêë

é ( 3.10 )

Bukti :

)x(g1

lim).x(flim)x(g

1).x(f lim

)x(g)x(f

limcxcxcxcx ®®®®

=úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é

Misal 1cx

Llim =®

dan 2cx L1

)x(g1

lim =®

2

2

2 L )x(g

L-g(x)

L1

)x(g1

=- , g(x) ¹0 ( i )

Untuk e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d1, maka 12L- )x(g e< ( ii )

Dari ketaksamaan segitiga : )x(gL)x(gLL)x(g 222 -³-=- ( iii )

Jadi )x(gL2 - <e1 ® 12L)x(g e-> ( iv )

Dengan mengambil e1 = 2

L2 , maka 2

L

2

LL)x(g 222 =->

Sehingga 2L2

)x(g1

< ( v )

Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat : 2222

L)x(gL

2L1

)x(g1

-£- ( vi )

Untuk e2>0 terdapat d2 sedemikian rupa sehingga :

Page 7: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

75

jika 2cx0 d<-< , maka 22L)x(g e<- ( vii )

Dengan mengambil e2 = 2

L 22e

, maka persamaan (vii) menjadi :

2

LL)x(g

22

2e

<- ( viii )

Dari pers. (i), (v) dan (viii) didapat : 12

L.

L

2L1

)x(g1

22

222

=£- ( ix )

Dengan mengambil d = min ( d1,d2 ) akan didapat pernyataan :

jika d<-< cx0 maka e<-2L1

)x(g1 . Hal ini membuktikan bahwa :

)x(glim1

L1

)x(g1lim

cx2

cx®

==®

Jadi : =úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é

®® )x(g1

).x(f lim)x(g)x(f

limcxcx 2

1LL

)x(glim

)x(flim

cx

cx

®

®= ( terbukti )

Contoh 3.6

74

74

x3lim

xlim

x3x

lim

4x

4x4x

-=-

=-

=-

-®-®

7. )x(flim af(x)] [a limcxcx ®®

= ( 3.11 )

Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7 a) e9xlim 99x lim

exex==

®®

b) )4(3)x4(lim 3x)-3(4 limxx

p-=-=p®p®

8. )x(flim f(x)] [ limn

cxn

cxúû

ùêë

é=®®

( 3.12 )

Bukti : [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … .[f(x)] dengan jumlah faktor f(x) adalah n. Jadi .f(x)] ... ).x(f).x(f[limf(x)] [ lim

cxn

cx ®®=

Dari persamaan (3.9) didapat :

).x(flimf(x)] [ limcx

ncx ®®

= ).x(flimcx®

… . )x(flimcx®

= n f(x)] [ limcx®

( terbukti )

Contoh 3.8

1)1()3x(lim 3)-(x lim 77

2x7

2x-=-=úû

ùêë

é -=®®

Page 8: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

76

9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) £ h(x) £ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika ==

®Lf(x) lim

cxg(x) lim

cx®, maka : Lh(x) lim

cx=

® ( 3.13 )

Bukti : Untuk setiap e > 0 terdapat d1>0 dan d2>0 sedemikian rupa sehingga :

ïî

ïíì

e<d<<

e<d<<

L-g(x) maka c-x 0 : jika

L-f(x) maka c-x0 : jika

2

1 ( * )

Untuk d = min(d1,d2) dan 0< cx - <d, maka ketaksamaan (*) menjadi :

-e < f(x)–L < e dan -e < g(x)–L < e Sehingga : 0< cx - <d maka L-e < f(x) dan g(x) < L+e

Karena f(x) £ h(x) £ g(x), sehingga jika 0< cx - <d, maka :

L-e < h(x) < L+e atau L)x(h - <e (terbukti)

Contoh 3.9

Selesaikan x1

cosx lim 20x®

Penyelesaian :

1x1

cos1 ££- , x ¹ 0

222 xx1

cosxx ££- (kalikan semua suku dengan x2)

0x- lim 20x

0x lim 20x

Karena : =®

20x

x- lim 0x lim 20x

, maka x1

cosx lim 20x®

= 0

10. Limit sepihak Lf(x)] [ lim

cxÛ=

® f(x)] [ lim

cx=

-® Lf(x)] [ lim

cx=

+® ( 3.14 )

x ® c- artinya x mendekati c dari arah kiri x ® c+ artinya x mendekati c dari arah kanan Contoh 3.10

Jika f(x) = îíì

>+<-

-2x jika 7x-2x jika x21

Tentukan ada. jika f(x), lim2x -®

Penyelesaian :

52x)-(1lim2x

=--®

(limit kiri)

57)(xlim2x

=++-®

(limit kanan)

Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka 5f(x) lim2x

=-®

Page 9: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

77

Soal-soal

1. 7lim2x®

6. )6x5x)(1x(lim 21x

++-®

2. 5lim3x®

7. 2-x

x lim

4x®

3. x3lim5x -®

8. 3x

)9x5(lim -p®

4. )x53(limex

9. 2

20x x

1sinx lim

®

5. )12x4x(lim 25x

--®

10. Tentukan )x(flim4x®

jika f(x) = îíì

>£-

4x jika x-74x jika 5x2

3.4 Limit fungsi trigonometri

1. 1x

x sin lim

0x=

® ( 3.15 )

Bukti : Perhatikan Gambar 3.4 berikut !

Luas DOPQ < Sektor OPQ < DOPT (*)

Luas DOPQ = q=q sinr21

sin r21

.r 2 (**)

Luas sektor OPQ = 2r21

q (***)

Luas DOPT = r. q tan r21 = q tanr

21 2 (****)

Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat :

q<q<q tanr21

r21

sinr21 222 ( # )

q 0

r

T Q

P x

y

Gambar 3.4

0 < q < 2p

Page 10: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

78

Jika pers. (#) dibagi q sinr21 2 didapat :

q<

qq

< cos

1 sin

1 atau q>q

q> cos

sin1

Gunakan teorema apit !

11 lim0

=®q

dan 1 cos lim0

=q®q

, maka : 1 sin

lim0

=q

q®q

atau 1x

x sin lim

0x=

®

2. 1x cos lim

0x=

® ( 3.16 )

3. 0x sin lim

0x=

® ( 3.17 )

4. 0x tan lim

0x=

® ( 3.18 )

Bukti : =®

x tan lim0x

=® x cos

x sin lim

0xx sin lim

0x®. =

® x cos1

lim0x

x sin lim0x®

. =

®

®x cos lim

1lim

0x

0x (0) 011

=þýü

îíì (terbukti)

5. 1x

x tan lim

0x=

® ( 3.19 )

Bukti :

=® x

x tan lim

0x=

® x cos1

. x x sin

lim0x x

x sin lim

0x®. =

® x cos1

lim0x

1 . 1 = 1 (terbukti)

6. 1x tan

x lim

0x=

® ( 3.20 )

Bukti :

=® x tan

x lim

0x=

® x cos1

.

x x sin

1 lim

0x1 . 1 = 1 (terbukti)

7. 0x

1 - x cos lim

0x=

® ( 3.21 )

Bukti :

=® x

1 -x cos lim

0x=

® x

1 - x21

sin - x21

cos lim

22

0x

0)1(0x

21

x21

sin x

21

sinlim)x

21

2(

x21

sin . x21

sin2lim

x

x21

sin2lim

0x0x

2

0x==

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-=-

=-

®®®(terbukti)

3.5 Limit fungs trigonometri invers

1. 1x

x arcsin lim

0x=

® ( 3.22 )

Bukti : y = y sinx x arcsin =Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2

Page 11: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

79

Jadi : =® x

x arcsin lim

0x=

® y sin y

lim0y

1

yy sin

1 lim

0y=

® ( terbukti )

2. 1x

x arctan lim

0x=

® ( 3.23 )

Bukti : y = y tanx x arctan =Û untuk setiap nilai x dan -p/2 < y < p/2

Jadi : =® x

x arctan lim

0x=

® y tan y

lim0y

yy sin

y cos lim

0y 1

yysin

lim

y cos lim

0y

0y =

®

®

3. 0x arcsin lim

0x=

® ( 3.24 )

Bukti : y = y sinx x arcsin =Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi =

®x arcsin lim

0x0y lim

0y=

® (terbukti)

4. 2

x arccos lim0x

p=

® ( 3.25 )

Bukti : y = y cosx x arccos =Û untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p

Jadi =®

x arccos lim0x 2

y lim

2y

p=

(terbukti)

5. 0x arctan lim

0x=

® ( 3.26 )

Bukti : y = y tanx x arctan =Û untuk setiap x dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi =

®x arctan lim

0x0y lim

0y=

® (terbukti)

6. 0x arccot lim

0x=

® ( 3.27 )

Bukti : y = y cotx x cotarc =Û untuk setiap x dan 0 < y < p

Jadi =®

x arccot lim0x 2

y lim

2y

p=

(terbukti)

Soal-soal Hitung limit berikut, jika ada !

1. x

xx 5

2sinlim0®

6. x5

x2cos1lim

0x

2. x3sin

x2lim

0x® 7.

4xtan3x

lim4x®

3. x3sinx4sin

lim0x®

8. )-sin(2x

cos2x-1 lim

0x p®

4. 2

3

0x x

xsinlim®

9. x7

x3arcsinlim

0x®

5. x7sin

xlim

2

2

0x® 10.

x71x arctan

lim0x -®

Page 12: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

80

3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap )x(flim

cx -® dan +®cx

lim f(x) mungkin akan

didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut.

x f(x) x f(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000

1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999

-10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ¥). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju -¥). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau ¥=

+®)x(flim

2x, sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah

kiri adalah -¥ atau -¥=-®

)x(flim2x

. Karena limit kiri ¹ limit kanan maka 2x

1 lim

2x -®

tidak ada (lihat persamaan 3.14). Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut !

Misal f(x) = 01

1n-1n

nn

011m

-1mm

m

b xb ... xb xb

a xa ... xa xa

++++

++++-

-

Jika m < n, maka :

f(x) = 2x

1-

y

0 x

Gambar 3.5

Page 13: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

81

0b xb ... xb xb

a xa ... xa xa lim

011n

-1nn

n

011m

-1mm

mx

=++++

++++-

-

¥® ( 3.28 )

Jika m = n, maka :

n

m

011n

-1nn

n

011m

-1mm

mx b

a

b xb ... xb xb

a xa ... xa xa lim =

++++

++++-

-

¥® ( 3.29 )

Jika m > n, maka :

¥=++++

++++-

-

¥® 011n

-1nn

n

011m

-1mm

mx b xb ... xb xb

a xa ... xa xa lim ( 3.30 )

Bukti :

f(x) = 01

1n-1n

nn

011m

-1mm

m

b xb ... xb xb

a xa ... xa xa

++++

++++-

-

Jika semua suku dibagi dengan xm maka :

f(x) = m

0m1

1m1n

-1nmn

n

m0

m11

1-1mm

xb xb ... xb xb

xa xa ... xa a-----

---

++++

++++

Jadi limx ¥® m

0m1

1m1n

-1nmn

n

m0

m11

1-1mm

xb xb ... xb xb

xa xa ... xa a-----

---

++++

++++

Jika m < n, maka :

limx ¥® m

0m1

1m1n

-1nmn

n

m0

m11

1-1mm

xb xb ... xb xb

xa xa ... xa a-----

---

++++

++++ =

limx ¥®

0 am =

¥ (terbukti)

Jika m = n, maka :

limx ¥®

=++++

++++-----

---

m0

m11

m1n-1n

mnn

m0

m11

1-1mm

xb xb ... xb xb

xa xa ... xa a

limx ¥® 0 b

0 a

n

m++ =

n

mb

a (terbukti)

Jika m > n, maka :

limx ¥®

=++++

++++-----

---

m0

m11

m1n-1n

mnn

m0

m11

1-1mm

xb xb ... xb xb

xa xa ... xa a

limx ¥®

¥=+

00 am (terbukti)

Contoh 3.11

Tentukan ¥®x

lim4 - x x5

7x x3 x24

34

+

-++

Penyelesaian :

Page 14: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

82

am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4

Karena m = n , maka ¥®x

lim4 - x x5

7x x3 x24

34

+

-++ =n

mb

a=

52

3.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 3.7.1 Asimtot tegak

Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut.

Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika ¥-¥=

-® atau )x(flim

axdan jika ¥-¥=

+® atau )x(flim

ax atau jika

¥-¥=®

atau )x(flimax

maka garis x = a adalah asimtot tegak kurva f(x)

3.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.

y

0 x

Gambar 3.6

Page 15: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

83

Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika b)x(flim

x=

¥® atau jika b)x(flim

x=

-¥®maka garis y = b adalah asimtot datar

kurva f(x).

3.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut.

Jika ax

)x(flimx

=¥®

dan b]ax)x(f[limx

=-¥®

maka garis y = ax + b adalah asimtot

miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring.

y

x 0

Gambar 3.8

y

x 0

Gambar 3.7

Page 16: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

84

Contoh 3.12

Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) = 4x

3+

Penyelesaian :

¥=+-® 4x3

lim4x

, maka garis x = -4 adalah asimtot tegak.

04x

3lim

x=

+¥®, maka garis y = 0 adalah asimtot datar.

0)4x(x

3lim

x)x(f

limxx

=+

=¥®¥®

. Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai

asimtot miring.

Contoh 3.13

Tentukan asimtot dari grafik fungsi 6xx

2xx)x(f

2

2

-+

--=

Penyelesaian :

2x , 3x1x

)3x)(2x()1x)(2x(

6xx

2xx)x(f

2

++

=+-+-

=-+

--=

¥=++

-® 3x1x

lim3x

, maka garis x = -3 adalah asimtot tegak.

13x1x

limx

=++

¥®, maka garis y = 1 adalah asimtot datar.

0)3x(x

1xlim

x)x(f

limxx

=+

+=

¥®¥®. Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai

asimtot miring.

0 x

y

Gambar 3.9

Page 17: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

85

Contoh 3.14

Tentukan asimtot dari grafik fungsi x

1x2x)x(f

2 -+=

Penyelesaian :

-¥=-+

® x1x2x

lim2

0x, maka garis x = 0 adalah asimtot tegak.

¥=-+

¥® x1x2x

lim2

x, maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar.

Asimtot miring : y = ax + b

a = 1x

1x2xlim

x)x(f

lim2

2

xx=

-+=

¥®¥®.

b = =--+

=-¥®¥®

xx

1x2xlimax)x(flim

2

xx2

x1x2

limx

=-

¥®.

Jadi asimtot miring f(x) adalah y = x + 2 Soal-soal Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada !

1. 1x

1)x(f

+= 3.

5x6x

3x2x)x(f

2

2

++

--= 5.

1x5xx3

)x(f2

-+-

=

2. 1x1x

)x(f-+

= 4. 3x64)x(f -= 6. 1x

ex)x(f

x2

+=

-

3.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) )x(flim

ax® ada

ii) f(a) terdefinisi iii) )x(flim

ax® = f(a)

Contoh 3.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a

1. f(x) = 2x

3+

a = -2

2. f(x) = ïî

ïí

ì

=

¹--

3 x jika 6

3x jika 3x9x2

a = 3

Penyelesaian :

1. ¥=+-® 2x3

lim2x

. Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2

2. 63x9x

lim2

3x=

--

®dan f(3) = 6. Karena )3(f)x(flim

3x=

® maka f(x) kontinu di titik a=3.

Page 18: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

86

Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a

1. f(x) =

ïïî

ïïí

ì

>+=<-

3 x jika 5x3 x jika 83 x jika 1x2

a = 3 3. f(x) = ïî

ïíì

³<0 x jika 2x cos0 x jika 1-x2

a = 0

2. f(x) =

ïïî

ïïí

ì

>=<

1 x jika x-21 x jika 31 x jika x2

a = 1 4. f(x) =

ïïï

î

ïïï

í

ì

>+

-=

-<

2- x jika 3x

2 x jika 1

2 x jika x

42

a = -2

3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi )x(flim

ax® ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a

dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = )x(flimax®

maka f(x) menjadi

kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan )x(flimax®

tidak ada maka

ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 3.16

Diketahui f(x) = 2x4x2

+- . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.

Penyelesaian :

=+-

-® 2x4x

lim2

2x4)2x(lim

2x-=-

-® f(-2) tak terdefinisi

Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena )x(flim

2x -® ada.

Selanjutnya lakukan definisi ulang 4)2(f)2x(lim2x

-=-=--®

. Sehingga f(x) dapat ditulis

menjadi :

f(x) = ïî

ïí

ì

=

¹+-

2- x jika 4-

-2x jika 2x4x2

Contoh 3.17

Diketahui f(x) = 9x

1-

. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.

Penyelesaian :

=-® 91lim

9 xx¥, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak

dapat dihapuskan.

Page 19: Kalkulus BAB III - Limit Fungsi

87

Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.

1. f(x) = 9x3x

-- ; a = 9 4. f(x) =

4x6xx2

+-+ ; a = 4 dan a = -4

2. f(x) = 4x

1-

; a = 4 dan a = -4 5. f(x) = 4x 5-x

)12xx)(1x(2

2

+

--+ ; a = -1

3. f(x) = 81x

9x4

2

-

- ; a = 3 6. f(x) = 12xx

3x2 --

+ ; a = -3