BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut. x 1,9 1,99 1,999 1,9999 f(x) 5,9 5,99 5,999 5,9999 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 f(x) 6,1 6,01 6,001 6,0001

y

0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001

0 0,0001 1,9999 Gambar 3.1 2 0,0001 0,0001

x

Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang

69

mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu f(x) =x3 + 3x2 + x + 3 x+3 (x2 + 1)(x + 3) atau x+3

Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat : f(x) =

f(x) = x2 + 1 untuk x -3. Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x -3 (Gambar 3.2). x -3,1 -3,01 -3,001 -3,0001 f(x) 10,61 10,0601 10,006001 10,00060001 x -2,9 -2,99 -2,999 -2,9999 f(x) 9,41 9,9401 9,994001 9,99940001

y

10,00060001

o

9,99940001

0,0001

-3

0,0001

0

x

-3,0001 -2,9999 Gambar 3.2

Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa : 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 70

2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis : ( 3.1 ) lim f(x) = Lx c

dibaca limit f(x) adalah L bila x mendekati c atau f(x) mendekati L bila x mendekati c 3.2 Definisi limit Perhatikan Gambar 3.3 berikut ! y

L+e

e

e

f(x) f(x) - L L f(x) - L f(x) L-e

0

c-d

x c-x d

c x-c

x d

c+d

x

Gambar 3.3

Untuk x < c , maka : 0 < c x < d atau 0 > x c > -d Untuk x > c , maka : 0 < c x < d Dari kedua persamaan diatas didapat : 0 < x - c < d Untuk f(x) < L, maka L f(x) < e atau f(x) L > -e Untuk f(x) > L, maka f(x) L < e. Sehingga didapat :f(x) - L < e

( 3.2 )

( 3.3 )

Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut :

71

Pernyataan : lim f(x) = L , berarti untuk setiap e > 0 terdapat d > 0x c

sedemikian rupa sehingga jika 0< x - c < d maka f(x) - L 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat x - c < e. Jadi untuk e = d didapat :x - c < d (terbukti)

Contoh 3.1 a) lim x = 5x 5

b)

x -7

lim x = -7

2. lim k = kx c

( 3.6 )

Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat k - k < e. Karena k - k = 0 dan 0 < e, maka definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a) lim 4 = 4x -3

b)

x 2

lim 9 = 9

3. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)x c x c x c

( 3.7 )

Bukti : Misal lim f(x) = L1 dan lim g(x) = L2x c x c

Dari definisi, untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0< x - c < d maka (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) < e atau (f(x) - L1) + (g(x) - L2 )) < e Dari ketaksamaan segitiga didapat : (f(x) - L1) + (g(x) - L2 )) f(x) - L1 + g(x) - L2 atau 72

(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) f(x) - L1 + g(x) - L2

Karena lim f(x) = L1 , maka :x c

1 e > 0 terdapat d1 > 0 sedemikian rupa sehingga : 2 1 jika 0 < x - c < d1 maka f(x) - L1 < e 2

Untuk setiap

(*)

Selanjutnya karena lim g(x) = L2 , maka :x c

1 untuk setiap e > 0 terdapat d2 > 0 sedemikian rupa sehingga : 2 1 jika 0 < x - c < d2 maka f(x) - L2 < e 2

( ** )

Dari ketaksamaan segitiga didapat :(f(x) - L1) + (g(x) - L2 ) f(x) - L1 + g(x) - L2 atau (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) f(x) - L1 + g(x) - L2

Dari (*), (**) dan (***) didapat :(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) 0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka f(x) - L1 < e1 Dari ketaksamaan segitiga didapat : f(x) - L1 f(x) - L1 Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat f(x) - L1 < e1 atau f(x) < L1 + e1 (i) ( ii ) ( iii ) ( iv )

73

Dengan mengambil e1 = 1, maka

f(x) < L1 + 1

(v)

Untuk setiap e2>0 terdapat d2>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d2, maka g(x) - L2 < e2 ( vi ) Dengan mengambil e2 =g(x) - L2 0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d3, maka didapat didapat f(x) - L1 < e3 Dengan mengambil e3 =f (x) - L1 L 2 L2 2 = L2 2

Untuk e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka g(x) - L2 < e1 Dari ketaksamaan segitiga : g(x) - L2 = L2 - g(x) L2 - g(x) Jadi L2 - g(x) L2 - e1 Dengan mengambil e1 = Sehingga1 2 < g(x) L2 L2 2

, maka

(v)1 1 2 g(x) - L 2 ( vi ) 2 g(x) L 2 L2

Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat :

Untuk e2>0 terdapat d2 sedemikian rupa sehingga : 74

jika 0 < x - c < d2 , maka g(x) - L2 < e2 Dengan mengambil e2 =g(x) - L2 < e L2 2L2 1 1 2 . 2 g(x) L2 2 L22

( vii )

e L2 2

2

, maka persamaan (vii) menjadi : ( viii )= 1 ( ix )

2

Dari pers. (i), (v) dan (viii) didapat :

Dengan mengambil d = min ( d1,d2 ) akan didapat pernyataan : jika 0 < x - c < d makax clim 1 1 1 = = g(x) L2 lim g(x)x c

1 1 < e . Hal ini membuktikan bahwa : g(x) L2

1 = x c Jadi : lim = lim f(x). = lim g(x) g(x) L 2 x c g(x) x c

f(x)

1

L

lim f(x)

( terbukti )

x c

Contoh 3.6x = x -4 3 - x lim lim 3 - xx -4

lim x =

x -4

-4 4 =7 7

7. lim [a f(x)] = a lim f(x)x c x c

( 3.11 )

Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7 a) lim 9x = 9 lim x = 9ex exp

x e

b)

lim 3(4 - x) = 3 lim (4 - x) = 3(4 - p)xp

8. lim [ f(x)]n = lim f(x) x c x c

n

( 3.12 )

Bukti : [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. .[f(x)] dengan jumlah faktor f(x) adalah n. Jadi lim [ f(x)]n = lim [f(x).f(x). ... .f(x)]x c x c

Dari persamaan (3.9) didapat :x c

lim [ f(x)]n = lim f(x). lim f(x). . lim f(x) = n lim [ f(x)] ( terbukti )x cx c x c x c

Contoh 3.8 lim (x - 3)7 = lim (x - 3) x 2 x 27

= (-1)7 = -1

75

9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) h(x) g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika lim f(x) = L = lim g(x) , maka : lim h(x) = L ( 3.13 )x c x c x c

Bukti : Untuk setiap e > 0 terdapat d1>0 dan d2>0 sedemikian rupa sehingga : jika : 0 < x - c < d1 maka f(x) - L < e jika : 0 < x - c < d2 maka g(x) - L < e

(*)

Untuk d = min(d1,d2) dan 0< x - c n, maka :amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 = x bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0 lim

( 3.30 )

Bukti : f(x) =amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0

Jika semua suku dibagi dengan xm maka : f(x) =am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m

Jadi lim

am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m x bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m

Jika m < n, maka :x bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m x

lim

am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m

=

lim

am = 0 (terbukti)

Jika m = n, maka :am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m = x bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m

lim lim

am + 0 am = bn x bn + 0

(terbukti)

Jika m > n, maka :am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m = n-m x bnx + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m

lim lim

x

am + 0 = (terbukti) 0

Contoh 3.11 Tentukan lim2x 4 + 3x3 + x - 7 5x 4 + x - 4x

Penyelesaian :

81

am = 2

;

bn = 5

;

m=44

;3 4

n=4 =am bn

Karena m = n , maka lim

2x + 3x + x - 7 5x + x - 4

x

=

2 5

3.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 3.7.1 Asimtot tegak Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut. y

0

x

Gambar 3.6

Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f(x) = atau - dan jika lim f(x) = atau - atau jikax ax a+

x a

lim f(x) = atau - maka garis x = a adalah asimtot tegak kurva f(x)

3.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.

82

y

0

x

Gambar 3.7 Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f(x) = b atau jika lim f(x) = b maka garis y = b adalah asimtot datarx x -

kurva f(x). 3.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut. y

0

x

Gambar 3.8

Jika lim

x

f(x) = a dan x

x

lim [f(x) - ax] = b maka garis y = ax + b adalah asimtot

miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring. 83

Contoh 3.12 Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) = Penyelesaian :x -4 x + 4x x + 4

3 x+4

lim

33

= , maka garis x = -4 adalah asimtot tegak.= 0 , maka garis y = 0 adalah asimtot datar.

lim lim

f(x) 3 = lim = 0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai x x(x + 4) x x

asimtot miring. y

0

x

Gambar 3.9

Contoh 3.13 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f(x) = Penyelesaian :f(x) = x2 - x - 22

x2 - x - 2 x2 + x - 6

x +x-6 x +1 = , maka garis x = -3 adalah asimtot tegak. lim x -3 x + 3

=

(x - 2)(x + 1) x +1 = , x 2 (x - 2)(x + 3) x+3

x +1 = 1 , maka garis y = 1 adalah asimtot datar. x+3 x f(x) x +1 lim = lim = 0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai x x x x(x + 3) lim

asimtot miring. 84

Contoh 3.14 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f(x) = Penyelesaian :x2 + 2x - 1 = - , maka garis x = 0 adalah asimtot tegak. x x 0 lim

x2 + 2x - 1 x

x2 + 2x - 1 = , maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar. x x lim

Asimtot miring : y = ax + b a = lim b=f(x) x2 + 2x - 1 = lim =1. x x x x2x

lim f(x) - ax = lim

2x - 1 x2 + 2x - 1 = 2. - x = lim x x x x

Jadi asimtot miring f(x) adalah y = x + 2 Soal-soal Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada ! 1. f(x) = 2. f(x) =1 x +1 x +1 x -1

3. f(x) =

x2 - 2x - 3 x2 + 6 x + 5

5. f(x) = 6. f(x) =

3x2 - x + 5 x -1

4. f(x) = 64 - x3

x2e-x x +1

3.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) lim f(x) adax a

ii) f(a) terdefinisi iii) lim f(x) = f(a)x a

Contoh 3.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) =3 x+2

a = -2jika x 3 jika x = 3

2. f(x) = x - 36

x2 - 9

a=3

Penyelesaian : 1. lim 2. lim3 = . Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2 x -2 x + 2x2 - 9 = 6 dan f(3) = 6. Karena lim f(x) = f(3) maka f(x) kontinu di titik a=3. x 3 x 3 x - 3

85

Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik ax2 - 1 jika x < 3 1. f(x) = 8 jika x = 3 x + 5 jika x > 3

a=3

2 3. f(x) = x - 1

cos 2x

jika x < 0 jika x 0

a=0

x2 jika x < 1 2. f(x) = 3 jika x = 1 2 - x jika x > 1

a=1

4 2 x 4. f(x) = 1 x + 3

jika x < -2 jika x = -2 jika x > - 2

a = -2

3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi lim f(x) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik ax a

dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) =

x a

lim f(x) maka f(x) menjadix a

kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan lim f(x) tidak ada maka ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 3.16 Diketahui f(x) = Penyelesaian :x2 - 4 = lim (x - 2) = -4 x -2 x -2 x + 2 lim

x2 - 4 . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. x+2

f(-2) tak terdefinisi

Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena lim f(x) ada.x -2

Selanjutnya lakukan definisi ulang menjadi : x2 - 4 f(x) = x + 2 - 4 jika x -2 jika x = - 2

x -2

lim (x - 2) = f(-2) = -4 . Sehingga f(x) dapat ditulis

Contoh 3.17 Diketahui f(x) = Penyelesaian :1 . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. x-9

limx 9

dapat dihapuskan.

1 = , maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak x -9

86

Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 1. f(x) = 2. f(x) = 3. f(x) =x -3 ;a=9 x-9

4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) =

x2 + x - 6 ; a = 4 dan a = -4 x+4(x + 1)(x2 - x - 12) x2 - 5 x + 4

1 ; a = 4 dan a = -4 x-4x2 - 9 x4 - 81

; a = -1

;a=3

x+3 x2 - x - 12

; a = -3

87