TEKNIK INFORMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUKABUMI

2009

Satuan Acara Perkuliahan Mata Kuliah Kalkulus 2 Integrasi (Pengertian Integral, rumus – rumus dasar integral, integral tak

tentu, integral tertentu)Metode Integrasi (Integral dengan substitusi, Integral Parsial, Integral

fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, substitusi khusus, rumus – rumus reduksi)

Fungsi Transenden (Logaritma dan Eksponen, Invers fungsi trigonometri)

Luas dan integral tertentu (luas, integral tertentu, sifat – sifat integral tertentu)

Volume benda putar Luas permukaan benda putar Integral tak wajar dan integral lipat duaDifferensial parsial orde tinggiKalkulus dan geometri

Untuk sumber materi silakan

gunakan buku2 kalkulus yang

mendukung/ dari internet

Kesepatakan Perkuliahan

Prosentase NilaiAbsensi = 20%Tugas = 20 %Quiz = 20 %UTS = 20 %UAS = 20 %

Nilai MutuNilai Mutu Range Nilai

A

B

C

D

E

Silakan disepakati…80-100 -> A…. oK?!

Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:

Rumus – rumus dasar integrasi

( ) ( )f x dx F x C= +∫

1

, 11

nn ax

ax dx C nn

+

= + ≠ −+∫

Nah…. ini contoh2 nya bu…. pa…..

1.

2.

3.

4.

5.

1 1 226 6

6 31 1 2

x xxdx x

+

= = =+∫

3 1 43 412 12

12 33 1 4

x xx dx x

+

= = =+∫

1 311 32 2

2 26 6

6 6 41 31

2 2

x xxdx x dx x

+

= = = =+

∫ ∫

1 1 0 122 3

(2 3) 31 1 0 1

x xx dx x x

+ +

+ = + = ++ +∫

1 5 17 12 2 12 2 2 2 2

2 2( ) ( 2 ) 2 4

7x x dx x x x dx x x dx x x

x

−−− = − = − = −∫ ∫ ∫

Silakan dicoba Tugas 1 nya,,, saya yakin ibu-ibu dan bapa-bapa pasti bisa…..

Tentukanlah nilai integral dari:1. dx2. dx 3.4.5.

29x∫2(3 4 )x x+∫1 12 2(3 2 )x x dx

−−∫1 22 ( 3)x x dx

− +∫2( 3)x

dxx

+∫

6.

7.

2(1 2 )xdx

x

−∫

21( 1)x dxx

−∫

Dikumpulkan hari Selasa tanggal 12 Mei 2009 ya……… ^^

Integral Tertentu

Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

Sifat – sifat integral tertentu1.

2.

[ ]( ) ( )b b

aa

f x dx Fb FaF x= = −∫

( ) ( )b b

a a

kf x dx k f x dx=∫ ∫

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

Sifat – sifat integral tertentu (Lanjutan…)

3.

4.

5.

6.

( ) ( ) ( ) ,b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx a b c+ = < <∫ ∫ ∫

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

( ) 0a

a

f x dx =∫

( ) ( )b b

a a

f x dx f t dt=∫ ∫

Kira – kira perlu

contoh2nya ga????

Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu xDengan batas x1=a dan x2=b

( )b

a

L f x dx= ∫

( )b

a

L f x dx= −∫

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

[ ]( ) ( )b

a

L f x g x dx= −∫

Metode IntegrasiIntegral dengan Substitusi

contoh:

Diusahakan menjadi bentukSubstitusi u=2x-3Cari turunan dari u =Cari nilai dx:

2 3 ?x dx− =∫nu du∫

2du

dx=

2

dudx =

Maka:

Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:

12 3 .

2x dx u du− =∫ ∫

312 2

1 1 2.

2 2 3u du u C= = +∫

32

12 3 (2 3)

3x dx x C− = − +∫

32

1

3u C= +

Integral Parsial

Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial.Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:

udv uv vdu= −∫ ∫Keterangan:

u = f(x) - du = turunan dari uv = g(x) - dv = turunan v

Contoh:

Jawab:Jadikan bentukPemisalan:u = dv =Cari du dan vdu = 2x dx v =

v =

Masukan ke bentuk

2 3x x dx−∫udv∫

2x 3x dx−

3x dx−∫31

2 22

( 3) ( 3)3

x x− = −∫

udv uv vdu= −∫ ∫

3 32 2 2 22 2

3 . ( 3) ( 3) .23 3

x x dx x x x xdx− = − − −∫ ∫

udv uv vdu= −∫ ∫

3 32 2 22 4

( 3) ( 3)3 3x x x x dx= − − −∫

Integral Parsial Tahap 2:

32( 3)x x −∫

VOLUME BENDA PUTARBenda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah

tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi.

Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Lanjutan……Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena

suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Metode CakramMisal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Lanjutan………

Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

Oleh karena itu, volume benda putar :

Dapat juga ditulis

f(x) = y

2b

a

V y dxπ= ∫

Lanjutan……..

Sedangkan bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x=0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

Dapat juga ditulis:

w(y) = x

2d

c

V x dyπ= ∫

VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA

Jika suatu daerah dibatasi oleh kurva y=f(x), y = g(x), x=a dan x=b diputar sekeliling sumbu X sejauh 360 derajat, maka isi benda putar yang terjadi adalah:

2 2[( ( )) ( ( )) ]b

a

V f x g x dxπ= −∫ Dimana f(x)> g(x)

Contoh Soal:

1. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika suatu daerah tersebut dibatasi oleh kurva , sumbu y, y=0 dan y=2!

2. Daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x, diputar sekeliling sumbu x sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

3. Daerah yang dibatasi oleh kurva y=x+3, y=3 dan y=7 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360 derajat. Tentukan isi benda putar yang terjadi!

4. Buktikan bahwa isi kerucut: 5. Buktikan bahwa isi bola:

2 1y x= −

2 2y x x= −

21

3V r tπ=

34

3V rπ=

INTEGRAL TAK WAJARBentuk integral disebut Integral Tak Wajar ,

jika:a. Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga, ataub. Integran f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [ a , b ]

• Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga

( )b

a

f x dx∫

Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut Konvergen ke nilai limit tersebut. Sedang bila limit tidak ada atau nilainya menuju tak hingga maka disebut Divergen

Integran mempunyai t it ik diskontinu pada [ a ,b ]