GEOMETRI HIPERBOLIKMUHAIMINA SA’ADAH HELVY EFFENDI | DEBY RAHAYU UTAMI| KASMAH |
HUMAIRAH | SANIA LETEK OLA | LOITA WAJITLA SITUMORANG
SEJARAH
Kontroversi
terhadap postulat
kesejajaran Euclid.
Mengganti postulat kesejajaran
Euclid dengan negasinya
Terjadi perbedaan
sifat antara Euclid
dan Hiperblik
Menggunakan empat postulat geometri
Euclid
Menggunakan empat postulat geometri
Euclid
Geometri
Hiperbolik
Postulat Kesejajaran
“Paling tidak ada dua garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar garis tersebut”
l
Amn
Teorema Non-metrical
l
P
m
n
A'
B' A
B
Teorema 7.1
Sebarang garis lurus seluruhnya berada dalam sudut tertentu.
Bukti:
Misalkan diketahui garis l.
Tentukan titik P di luar l.
Buat garis m dan n yang melalui P dan sejajar l (Postulat
kesejajaran Lobachevsky).
Pada garis m Titik P terletak diantara A dan A' dan pada
garis n titik P diantara B dan B'
l
P
mB'
A'
A
B
nQ
Garis m dan n, membagi bidang menjadi 4
daerah, yang masing-masing merupakan bagian
dalam suatu sudut, yaitu: APB, APB’ , A’PB’
, A’PB.
Misalkan Q adalah titik pada garis l.
Karena l tidak memotong m dan n maka Q tidak
terletak pada m dan n.
Karena Q tidak terletak pada m dan n, maka Q
berada pada salah satu dari 4 bagian dalam sudut di
atas, misalnya pada A'PB.
Dimana letak garis l ?
l
P
mB'
A'
A
B
n
Q
Titik Q terletak pada garis l dan Q berada pada bagian
dalam A'PB, dan l tidak memotong sisi-sisi sudutnya yaitu,
PA' dan PB.
Jadi, l berada di dalam A’PB, yang berarti garis l
seluruhnya termuat di dalam A’PB
TEOREMA AKIBAT
“Ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang melalui suatu titik di luar
garis itu”
Bukti:
B
lQ
P
mB'
A'
A
n
R
Misalkan diketahui garis l dan titik P
Gunakan Teorema 7.1
Misalkan R sebarang titik di dalam daerah APB
Buat garis yang melalui titik P dan R
PR kecuali titik P seluruhnya termuat dalam daerah APB
dan A’PB’.
PR tidak memotong garis l yang termuat dalam A’PB.
Jadi, PR // ln
lQ
P
mB'
A'
A
B
R
Karena terdapat tak berhingga garis yang seperti PR,
sehingga teorema akibat terbukti.
Jadi, ada tak berhingga garis yang sejajar dengan suatu garis yang
melalui suatu titik di luar garis itu.
h
l
P
JUMLAH SUD UT SEGITIGA DALAM GEOMETRI HIPERBOLIK (
lobachevsky)
LEMMA 7.1
“Jumlah besar dua sudut dalam segitiga adalah kurang dari atau sama dengan besar sudut luar
yang tidak bersisian dengan sudut tersebut”
Bukti:
A B
C • Perhatikan segitiga ABC
• Menurut teorema Saccheri –Lagendre :
A + B + C 180
• Kedua ruas dikurangi C, diperoleh :
A + B 180 - C,
• Lemma tersebut berlaku karena sudut luar C sama dengan 180 - C,
LEMMA 7. 2
“Misalkan diketahui garis l, Titik P di luar l, dan titik Q pada l”
misalkan diberikan sisi PQ, maka ada titik R pada l yang
terletak satu pihak dengan PQ sedemikian hingga PRQ
adalah sekecil yang diinginkan.
l
P
Q R
Bukti:
Misalkan a adalah suatu sudut yang terkecil.
ada titik R pada l yang terletak di sebelah kanan PQ sedemikian hingga PRQ < a.
Pertama, bentuk barisan sudut-sudut, dengan besar setiap sudut tidak lebih besar dari sudut
sebelumnya,, 21 QPRQPR
Misalkan pada titik l dan berada di sebelah
kanan sisi PQ sedemikian hingga PQQR 1
1R
lQ
P
R1
P
lQ R1
b
1
b
1
Tarik PR1 sehingga terbentuk PQR1 sama kaki dan
QPR1=QR1P = b1.
Misalkan sudut luar PQR1 di Q adalah b, maka
menurut Lemma 1, diperoleh:
b1+b1= 2b1 b
Dengan langkah yang sama, kita buat segitiga baru.
Perpanjang QR1 melalui R1 dan R2 sedemikian hingga
R1R2=PR1
Tarik PR2 maka PQR2 sama kaki dan
R1PR2=PR2R1 = PR2Q = b2
berdasarkan Lemma 1, diperoleh:
b2+b2= 2b2 b1
)1..(..........2
11 bb
Lanjutan:
)2..(..........2
112 bb
Dari (1) dan (2) diperoleh: bb22
2
1
lR1
Q
P
b1
b1
R2
b2
b2
Ulangi langkah sebelumnya sebanyak n kali sehingga diperoleh titik Rn pada l dan di sebelah kanan
sisi PQ sedemikian hingga:bQPRb
nnn2
1
abn
2
1dengan memilih n yang cukup besar, maka diperoleh sehingga PRnQ < a
Jadi untuk R =Rn , PRQ adalah sudut terkecil seperti yang diinginkan. (terbukti)
TEOREMA 7. 2
“Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180”
Menurut Postulat kesejajaran Lobachevsky ada garis
lain yaitu garis n yang melalui P dan sejajar l, dan salah
satu sudut yang dibentuk n dengan PQ adalah lancip.
P
l
Q
n
m
Misalkan l suatu garis dan titik P di luar l.
Buat garis m // l melalui titik P dengan cara biasa
seperti berikut: PQ l di Q, dan m PQ di P.
Misalkan :
X titik pada n sedemikian hingga QPX lancip.
Y titik pada m dan di sebelah kanan sisi PQ seperti X, XPY
= a
Maka QPX = 90 - a.
P
l
m
Q
nX
Y
a
R
Kemudian gunakan Lemma 2
Misal R pada l dan berada di sebelah kanan sisi PQ,
sedemikian hingga PRQ < a.
P
l
m
Q
nX
Y
a
R
PQR = 90
QRP < a
RPQ < XPQ = 90 - a (keseluruhan lebih besar dari
sebagian)
Jika dijumlahkan maka diperoleh:
PQR + QRP + RPQ < 90 + a + 90 - a = 180
Jadi, PQR mempunyai jumlah besar sudut kurang dari 180
(terbukti)
Perhatikan PQR
TEOREMA 7.3
“Jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180”
Bukti:
Menurut Akibat 2 Teorema F.7 (Geometri absolut)
“ Jika segitiga mempunyai jumlah besar sudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah
besar sudutnya juga kurang dari 180 ”
Menurut Teorema 7.2 (Geometri Hiperbolik)
“ Ada sebuah segitiga dengan jumlah besar sudut kurang dari 180 ”
Berdasarkan Akibat 2 Teorema 6 (Geometri absolut) dan Teorema 7. 2 (Geometri
Hiperbolik) maka jumlah besar sudut setiap segitiga kurang dari 180.
AKIBAT 1 TEOREMA 7. 3
“Jumlah besar sudut-sudut dalam segiempat kurang dari 360”
Misalkan ada segiempat ABCD.
Tarik diagonal AC sehingga terbentuk ABC dan
ACD.
Pandang ABC, menurut Teorema 3 maka:
180 ACBABCCAB
Pandang ACD, menurut Teorema 3 maka:
180 DCAADCDAC
Bukti:
A B
CD
A B
CD Jumlah sudut dalam segiempat ABCD
= A + B + C + D
= DAC + CAB + B + BCA + ACD + D
= (CAB + B + BCA) + (ACD + D + DAC)
< 180 < 180
Jadi, jumlah sudut dalam segiempat ABCD adalah kurang dari 360. (terbukti)
Lanjutan: AKIBAT 2 TEOREMA
7.3
“Tidak ada persegipanjang”
Bukti:
Andaikan ada persegipanjang ABCD.
Berdasarkan Definisi F.3 (Geometri Absolut): “Suatu
segiempat disebut persegipanjang jika semua sudutnya
adalah siku-siku” maka:
A = B = C = D = 90
• Jumlah besar sudut dalam persegipanjang ABCD:
A + B + C + D = 90 + 90 + 90 + 90 = 360
Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 7.3
Jadi, tidak ada persegipanjang (terbukti)
A B
CD
Adakah Segitiga-segitiga yang Sebangun dalam Geometri Hiperbolik ?
TEOREMA
7.4“Dua segitiga dikatakan kongruen jika sudut-sudut
yang bersesuaian sama”
Misal diketahui
ABC dan A’B ’C ’
A = A’, B = B’, C = C ’
Akan dibuktikan ABC A’B ’C ’
Bukti:
Andaikan ABC ≇ A’B ’C ’
Karena ABC ≇ A’B ’C ’maka A’B’ ≠ AB atau A’C ’ ≠ AC atau B’C ’ ≠ BC.
Terdapat 2 kasus: (1) Hanya ada satu sisi yang tidak sama panjang, misal sisi A’B’≠AB.
A B
C
A’ B’
C’
(a) (b) A’ B’
C’,C
A B(c)
Berdasarkan Gambar (c), kasus ini tidak mungkin terjadi
Ada 2 sisi yang tidak sama panjang, yaitu A’C’≠AC dan
B’C’≠BC.
Misalkan A’C ’< AC dan B’C ’< BC
Tentukan titik A” pada AC A” C = A’C ’
Tentukan titik B” pada BC B” C = B’C ’
Hubungkan titik A” dan B” sehingga terbentuk
A”B”C
A B
C
A’ B’
C
’ A
”B
”
1 122
A’ B’
C
’
A B
C
A
”B
”
1 122
Pandang A’B’C ’ dan A”B”C
A’C ’ = A” C ….. dibuat
C ’ = C ….. refleksif
B’C ’ = B” C ….. dibuat
Berdasarkan s-sd-s maka A’B’C ’ A”B”C
Akibatnya, A ’ = A1” dan B ’ = B1”
C
1 1
A B
A
”
B
”22
A’ B’
C ’Pandang segiempat ABB”A”
Jumlah besar sudut dalam segiempat ABB”A”
= A + B + B2” + A2”
= A1” + B1” + B2” + A2”
= A1” + A2” + B1” + B2”
= 180 + 180 ..…. Sudut berpelurus
= 360
Kontradiksi dengan Akibat 1 Teorema 3, pengandaian salah
yang benar ABC A’B ’C ’ (terbukti)
Lanjutan:
Teori Luas Lobachevsky
Ukuran luas
Geometri
Euclid
Geometri Hiperbolik≠
Menggunakan
satuan luas persegi
Menggunakan metode
perhitungan integral dan
pendekatan tertentu
Luas segitiga
Sifat-sifat Luas
1. Kepositifan setiap segitiga ditentukan secara tunggal oleh bilangan positif yang dinamakan luasnya.
2. Invariansi terhadap kongruensi segitiga-segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama.
Misal: ABC PQR maka L. ABC = L. PQR
3. Sifat additive (penambahan) jika segitiga T dibelah menjadi segitiga T1 dan T2 maka luas T adalah
jumlah T1 dan T2.
Konsep Pengukuran Luas
Fungsi Luas ∆
Memenuhi 3 sifat
(kepositifan, invariansi
terhadap kongruensi, dan
sifat additive)
DEFINISI 7.1
Suatu fungsi yang memasangkan setiap segitiga dengan bilangan real
tertentu sedemikian hingga sifat 1, 2, dan 3 terpenuhi disebut fungsi
luas atau ukuran luas (untuk segitiga).
Jika µ adalah fungsi semacam itu dan ABC adalah
segitiga, maka µ(ABC) menyatakan suatu nilai yang
dipasangkan oleh µ dengan segitiga ABC, dan disebut
luas atau ukuran segitiga ABC yang ditetapkan oleh µ.Juga berlaku untuk sebarang Geometri Absolut.
Geometri
EuclidMenghasilkan sebuah fungsi luas yang memenuhi
sifat 1 dan 2
tinggi alas 2
1 L
TEOREMA 7.5 (Penjumlahan
Berhingga)Misalkan sebuah segitiga dipecah menjadi suatu himpunan segitiga-segitiga
yang tidak saling menutupi 1, 2, … , n maka fungsi luas µ nya adalah:
µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)
Bukti:
Buat ABC
Buat segitiga di dalam ABC
sebanyak n buah.
Beri nama segitiga-segitiga tsb
dengan 1, 2, … , n
A B
C
A B
C
1
2
n
A B
C
A B
C1
2
n
Menurut Definisi 3, ABC mempunyai fungsi luas
µ()
Menurut Definisi 3, 1, 2, … , n mempunyai
fungsi luas µ(1), µ(2), … , µ(n).
Karena ABC = 1+ 2 + … + n
maka:
µ() = µ(1+ 2 + … + n)
µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) .. Sifat distributif
Jadi, fungsi luas segitiga µ()
yang dipecah menjadi himpunan
berhingga segitiga-segitiga
yang tidak saling menutupi
adalah
µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)
DEFINISI 7.2
Defect ABC = 180 – (A + B + C)
A, B, dan C diambil dari besar derajat dari sudut-sudut yang dimaksud.
Jadi, defect suatu segitiga adalah bilangan real bukan bilangan derajat.
Defect suatu segitiga berlaku seperti pengukuran luas
TEOREMA 7.6
Diberikan sebarang ABC dan titik D diantara titik A dan B maka
defect (ABC) = defect (ACD) + defect (BCD)
TEOREMA 7.7
“defect adalah fungsi luas pada segitiga”Bukti:
Berdasarkan Teorema 7, maka:
Defect ( ABC) = defect ( ADC) + defect ( BDC)
= 180 – (A+ADC+ACD) + 180 – (B+BCD+BDC)
= 180 + 180 – (A +B +ACD +BCD +ADC +BDC)
= 180 – (A + B + ACD + BCD)
Defect ( ABC) = 180 – (A + B + C) … (ii)
Dari (i) dan (ii) maka µ(ABC) = 180 – (A + B + C)
Misalkan diketahui ABC, berdasarkan Teorema 7 dan Definisi 3
ABC memiliki sifat 1 dan 2 sehingga … (i)
Untuk menyelidiki sifat 3, maka kita tentukan titik D pada AB
sedemikian hingga CD memecah ABC menjadi ACD dan BCD.
A
C
D
TEOREMA 7.8
“Perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas”
Bukti:
Diketahui fungsi luas µ().
Misalkan ada n sedemikian hingga n adalah bilangan sebarang bilangan positif.
n × µ() …perkalian fungsi luas dengan bilangan sebarang n.
n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) … definisi perkalian.
Berdasarkan Teorema 9, yaitu: µ(*) = µ(1) + µ(2) + … + µ(n) sehingga diperoleh:
n × µ() = µ(1) + µ(2) + … + µ(n)
n × µ() = µ(*)
Jadi, perkalian fungsi luas dengan bilangan positif juga menghasilkan fungsi luas.
Jika diketahui ∆ABC dan ∆PQR di dalam ∆ABC, buktikan bahwa defect ∆ABC > defect ∆PQR
Contoh 7.1
Bukti :
Q
P
R
A B
C
Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR
Buat Segitiga ABC dann PQR di dalam segitiga ABC
Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik P pada ∆PQR
Hubungkan titik A pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR
Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik Q pada ∆PQR
Hubungkan titik B pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR
Hubungkan titik C pada ∆ABC dengan titik R pada ∆PQR
Berdasarkan Teorema 7.3
∆ABC : A3 + B1 + Q2 < 180
∆BQR : B2 + Q3 + R1 < 180
∆BCR : B3 + R2 + C1 < 180
∆CPR : C2 + P4 + R3 < 180
∆CPA : C3 + A1 + P1 < 180
∆APQ : A2 + P2 + Q1 < 180
Q
P
R
A B
C
Lanjutan:
A123 + B123 + C123 + Q123 + R123+ P124 < 6.180
A + B + C + P124+ Q123 + R123 < 6.180
A + B + C < 6.180 – ( P124+ Q123 + R123) A + B +
C < 3.360 – [(360- P3)+(360- Q4) +(360- R4)] A + B + C <
3.360 –3.360+ P3 + Q4 + R4 + A + B + C < P3 + Q4
+ - ( A + B + C) > 180 - ( P3 + Q4 + R4)
Defect ∆ ABC > defect ∆ PQR ………. Terbukti
TEOREMA 15
“Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid, maka ada sebuah persegipanjang”
AKIBAT TEOREMA15
“Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclides maka setiap segitiga jumlah sudutnya adalah 180°”
TEOREMA 14
“Tidak ada garis sejajar yang jaraknya sama dimana-mana”
TEOREMA 16
Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka ada segitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 180°
AKIBAT TEOREMA 16
Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°
Berdasarkan Teorema 16, “Dalam geometri netral, jika ada sebuah garis dansebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, maka adasegitiga yang jumlah sudutnya kurang dari 1800. (Logika: p q)
Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, “Jika ada sebuah segitiga yang jumlahsudutnya kurang dari 180 maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurangdari180. (Logika: q r)
Dengan menggunakan prinsip silogisme, maka p r.
Bukti:
Jadi, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifatkesejajaran Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurangdari 180°.
TEOREMA 17
“Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran
Euclid maka setiap garis dan setiap titik luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Euclid yang berarti
geometrinya adalah Geometri Euclid”
Bukti:
Andaikan Teorema 17 salah, berarti hanya ada satu garis dan satu titik yang memenuhi sifat
kesejajaran Lobachevsky.
Menurut Akibat Teorema 16, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi kesejajaran
Lobachevsky maka setiap segitiga jumlah sudutnya kurang dari 180°.”
Tetapi menurut Akibat Teorema 15, “Jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Euclid maka setiap segitiga jumlah sudutnya 180°.”
Terjadi kontradiksi antara akibat teorema 15 dengan akibat teorema 16, sehingga pengandaian salah. Hal ini berarti Teorema 17 terbukti benar.
“Dalam geometri absolut, jika ada sebuah garis dan sebuah titik yang memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky maka setiap garis dan setiap titik di luarnya tentu memenuhi sifat kesejajaran Lobachevsky, yang berarti geometrinya adalah Geometri Lobachevsky”
AKIBAT 1 TEOREMA 17
AKIBAT 2 TEOREMA 17“Setiap geometri absolut tentu merupakan geometri Euclid atau Geometri Lobachevsky”
Model Geometri Hiperbolik
Model Klein
Model Disc Poincare
Model bidang setengah Poincare
Model Lorentz
MODEL KLEIN
• Jika O adalah pusat lingkaran dan OR adalah jari-jarinya.
Berdasarkan definisi, bagian dalam lingkaran terdiri dari titik-titik X
sedemikian hingga OX < OR.
• Tali busur . ruas garis ab disebut tali busur terbuka yang
menghubungkan titik a dan titik b di , dinotasikan dengan a)(b.
Titik A dan B terletak pada lingkaran oleh karena itu titik A dan B
tidak merepresentasikan titik dalam bidang hiperbolik tetapi
dikatakan titik ideal dan disebut ujung dari garis hiperbolik A)(B.
O
XR
P
m
n
l
MODEL KLEIN
Dua garis m dan n melalui titik P keduanya
sejajar dengan tali busur terbuka l (definisi
sejajar menyatakan bahwa dua garis dikatakan
sejajar jika mereka tidak memiliki titik
persekutuan). Dalam model klein, definisi ini
akan berubah menjadi : dua tali busur terbuka
dikatakan sejajar jika mereka tidak memiliki titik
persekutuan
Aksioma Klein
Diberikan sebarang dua titik berbeda A dan B di bagian dalam lingkaran . maka terdapat
satu tali busur terbuka l dari sedemikian hingga A dan B terletak pada l.
Bukti.
Diberikan titik a dan b di bagian dalam lingkaran . misalkan
adalah garis euclid melalui titik a dan b. Garis ini akan memotong
lingkaran di dua titik berbeda C dan D. Sehingga titik A dan B
terletak pada tali busur terbuka C)(D. Dengan menggunakan
aksioma pertama euclid (melalui sebarang dua titik dapat ditarik
tepat garis lurus), garis ini merupakan satu-satunya tali busur
terbuka dimana titik A dan B terletak.
A
B
C
D
• Garis tegak lurus dalam model klein
Misalkan l dan m adalah tali busur terbuka dari . terdapat dua kasus
untuk menjelaskan kapan dalam model klein, yaitu :
kasus 1: salah satu tali busur terbuka l dan m adalah diameter
lingkaran . maka dalam pengertian klein jika dan hanya jika
dalam pengertian euclid
Ol
m
y
Kasus 2: baik l maupun m bukan diameter
lingkaran . pada kasus ini kita hubungkan ke l
sebuah titik tertentu p(l) diluar lingkaran yang
disebut kutub dari l. Misalkan t1 dan t2 adalah garis
singgung lingkaran pada ujung-ujung l. Maka p(l)
adalah titik perekutuan t1 dant2
• Garis l tegak lurus ke m dalam pengertian model klein jika dan hanya jika apabila
garis euclid m diperpanjang maka ia melalui kutub l.
P(l) l
mt1
t2
Y • Titik biasa (ordinary point) yaitu titik yang terletak di dalam
lingkaran yang merepresentasikan semua titik dalam
bidang hiperbolik. Umumnya titik biasa ini disebut titik
saja.
• Titik ideal (ideal point) yaitu titik-titik yang terletak pada
lingkaran .
• titik ultra ideal(ultra-ideal point) yaitu titik-titik yang
terletak di luar lingkaran .
Ordinary
Ideal
Ultra-ideal
Ultra-idealUltra-ideal
Ideal
●
●
●
●●
●
MODEL POINCARE
Sering disebut
Disk Poincare
Disk Konformal
Garis direpresentasikan oleh :
1. Semua tali busur terbuka yg melalui pusat lingk
2. Busur terbuka lingk ortogonal
Om
l
y
s
Bidang-Setengah Poincare
A B
PQ
●A’
P’
Q’
●
●●
●
●
Model Bidang-Setengah Poincare
QPR =
Q’PR’
P
Q
R
Q’
R’
Model Lorentz atau yang biasa disebut model hiperbolida. Model ini menggunakanhiperboloida dimensi dua yang berasal dari ruang tiga dimensi sebagai bidanghiperboliknya. Diantara keempat model bidang hiperbolik, model lorentz merupakan modelyang memiliki tingkat kekomplekan yang sangat tinggi.
Model ini memiliki aplikasi langsung ke relativitas khusus, ruang tiga dimensiMinkowski adalah model ruang waktu, menekan satu dimensi ruang. Satu dapat mengambilhiperboloid untuk mewakili peristiwa yang bergerak, memancar keluar pada bidang spasialdari satu titik akan mencapai pada suatu waktu yang tepat. Jarak hiperbolik antara dua titikpada hiperboloid akan dapat diidentifikasi dengan kecepatan relatif antara dua pengamat.
Model Lorentz