7/25/2019 Geoestadistica i Uap Ing. Minas Semana 3b
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FACULTAD DE INGENIERAY ARQUITECTURA
ESCUELA ING. DE MINASCURSO: GEO ESTADSTICA I
ING. KROVER W. LAZARTE PONCE
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS
7/25/2019 Geoestadistica i Uap Ing. Minas Semana 3b
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Capitulo II: Anlisis Estructural
2.1 Composicin de la Variables
Regionalizadas.
2.2 Anlisis Estructural medianteVariogramas
2.3 Construccin de variogramas
experimentales en los diversos tipos deyacimientos: Yacimientos Filoneanos,
desimanados de Oro, prfido de cobre,
morrenas glaciares, skarn de hierro, etc
SEMANA 4:
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CALCULO DE UN VARIOGRAMA 2D
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DIRECCION E-W : (2-2)2+ (2-4)2+ (4-5)2
(1-4)2+ (4-1)2+ (1-6)2+ (6-5)2
(2-2)2+ (2-1)2+ (1-3)2+ (3-6)2
(3-1)2+ (1-2)2+ (2-3)2+ (3-4)2
(4-7)
2
+ (7-3)
2
+ (3-2)
2
+ (2-5)
2
(5-2)2+ (2-3)2+ (3-4)2
(2-4)2+ (2-5)2
(1-1)2+ (4-6)2+ (1-5)2
(2-1)2+ (2-3)2+ (1-6)2
(3-2)2+ (1-3)2+ (2-4)2
(4-3)2+ (7-2)2+ (3-5)2
(5-3)2+ (2-4)2
( ) .200112
2 16
3 73
xZ x hZ
297
100 97
442 20( ) .(2-5)2
(1-6)2+ (4-5)2
(2-3)2
+ (2-6)2
(3-3)2+ (1-4)2
(4-2)2+ (7-5)2
(5-4)2
83.3102
69)300(
( ) .400
2 4
4 2534
(1-5)2
(2-6)2
(3-4)2
(4-5)2
DIRECCION N - S :
2 2 4 5
1 4 1 6 5
2 2 1 3 6
3 1 2 3 4
4 7 3 2 5
5 2 3 4
( ) . ( ) .
( ) . ( ) .
( ) .
100 822 22
1 86 400 492 7
3 50
200 782 17
2 29 500 172 3
2 83
300 71
2 12 2 29
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0.3 0.3
0.30.3
0.3
0.4
0.53.00.6
0.2
0.4
0.1
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.5 1.5
0.2
2.2
0.2
0.5 2.11.1
0.8 1.1
3.0 2.2 0.1
0.22.1 2.8 4.5 3.1
3.0 0.8 5.5
5.03.11.9 1.8
2.1 4.1 1.1
(0.4-0.1)2+(0.3-0.6)2+(0.6-0.5)2+.+(0.4-0.2)2= 55.17
(0.3-0.3)2+(0.6-0.2)2+(2.2-0.2)2+.+(0.1-0.4)2= 83.86
(0.3-0.5)2+(0.6-0.3)2+(0.6-1.5)2+.+(0.1-0.3)2= 86.36
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3.1 + 4.5 + 5.5 + 5.0 + 1.8 = 3.98
Media aritmtica
simple
Inverso del
cuadrado
de la distancia
a=100 4.3
a=150 4.7
0.3 0.3
0.30.3
0.3
0.4
0.53.00.6
0.2
0.4
0.1
0.4
0.4
0.4
0.4
0.6
0.6
0.5 1.5
0.2
2.2
0.2
0.5 2.11.1
0.8 1.1
3.0 2.2 0.1
0.22.1 2.8 4.5 3.1
3.0 0.8 5.5
5.03.11.9 1.8
2.1 4.1 1.1
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Variograma terico
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Variograma terico (1)
El variograma experimental requiere ser modelado:
es imperfecto(los puntos obtenidos son experimentales,
luego estn sujetos a imprecisiones)
es incompleto (se calcul de manera discreta a lo largo
de algunas direcciones del espacio)
Se ajusta un modelo de variograma, definido en todas las
direcciones del espacio y para todas las distancias, en torno al
variograma experimental obtenido. Se usar este modelo como
si fuera el verdadero variograma del proceso aleatorio que
genera la variable en estudio.
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Variograma terico (2)
(h) = E{ [Z(x+ h) Z(x)]2} / 2
El variograma terico se define al considerar los valores como aleatorios
(denotados con mayscula) y al utilizar una esperanza matemtica en lugar
de un promedio:
)(N2
)](z)(z[|)N(|2
1
)(
h
xx
h
h
El variograma experimentalfue definido como:
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Variograma terico (3)
Propiedades del variograma terico
funcin positiva: (h) 0
funcin par: (h) (h)
nulidad en el origen: (0) 0
funcin de tipo negativo condicional
0)(,,...,0,...k
1i
k
1j
jijik1
k
1i
ik1
xxxxR/
para distancias muy grandes, crece menos rpidamente que
una parbola
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Variograma terico (4)
Caractersticas esenciales del variograma
Comportamiento para distancias muy pequeas
Mientras ms regular el variograma en el origen, ms regular la variable
regionalizada en el espacio. Se distingue tres tipos de comportamientopara el variograma:
derivable: variable regionalizada muy suave
lineal: variable regionalizada continuadiscontinuo(efectopepita): variable regionalizada errtica
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Variograma terico (5)
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Variograma terico (6)
Comportamiento para distancias muy grandes
Frecuentemente, el variograma se estabiliza en torno a una meseta
cuando la distancia crece infinitamente.
meseta
= varianza
alcance
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Variograma terico (7)
A veces, el variograma sigue creciendo infinitamente.
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Variograma terico (8)
Comportamiento direccional
El estudio de los variogramas direccionales permite identificar las
anisotropas de la variable regionalizada.
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Variograma terico (9)
Otras caractersticas
Periodicidades: frecuente con fenmenos temporales, menos con
fenmenos espaciales
Efecto de hoyo: el variograma no es montono
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Variograma terico (10)
El variograma slo proporciona una caracterizacin parcial de la variable
regionalizada. Varios rasgos de la distribucin espacial de los valores no estn
descritos por esta herramienta, como por ejemplo la conectividad o
agrupacin espacial de las leyes.
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Variograma terico (11)
El variograma (h), el correlograma r(h) y la covarianza C(h) estn relacionados
entre s:
r(h) C(h) / C(0)
C(h) () (h)
(h) C(0) C(h)
Cuando la distancia de separacin h se vuelve infinita, la covarianza y el
correlograma tienden a 0, y el variograma es igual a la varianza:
Relaciones con otras herramientas variogrficas
() = s2
C(0)
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Modelos elementales (1)
Efecto pepita:
contrariocasoenCsi0)( 0hh
Este modelo se traduce en una ausencia total de correlacin en el espacio:
dos datos distintos tienen valores independientes.
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Modelos elementales (2)
Modelo esfrico:
contrariocasoenC
||si||
21||
23C
)(
3
a
aa
h
hh
h
alcancea, meseta C
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Modelos elementales (3)
Modelo exponencial:
El parmetro aes el alcance prctico: corresponde a la distancia para la cual
el variograma llega al 95% de su meseta C.
a
||3exp1C)( hh
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Modelos elementales (4)
Modelo Gaussiano:
2
2||3exp1C)(a
hh
alcance prctico a, meseta C
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Modelos elementales (5)
Modelo potencia:
El exponente qpuede variar entre 0 (variograma peptico) y 2 (variograma
parablico).
q ||)( hhEste variograma no posee alcance ni meseta
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Modelos elementales (6)
Modelo seno cardinal:
a
a ||sen||
1C)( hh
h
alcance prctico 20.4 a, semi-perodo 4.5 a, meseta C
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Modelamiento
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Modelos anidados (2)
El concepto de variogramas anidados permite explicar una de las causasdel efecto pepita: se trata de un modelo anidado de alcance muy corto
con respecto a la escala de observacin (micro-estructura).
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Modelos anidados (3)
Otras causas que generan un efecto pepita en el variogramaexperimental:
errores de medicin
errores en la ubicacinde los datos
muestreo preferencialen zonas de mayor variabilidad
soporte de la medicindemasiado pequeo:
la amplitud del efecto pepita es inversamente proporcional al volumende la muestra
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Anisotropas (1)
Definicin
Un variograma es istroposi es idntico en todas las direcciones del espacio.
En caso contrario, existe anisotropa, la cual indica que la variable
regionalizada posee direcciones preferenciales en cuanto a su continuidad.
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Anisotropas (2)
Identificacin
Una herramienta para detectar las anisotropas consiste en graficar el mapa
variogrfico, o sea el mapa de isovalores del variograma experimental en
funcin de la separacin (distancia y orientacin).
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VARIOGRAMAS EN VARIAS DIRECCIONES
TUFO SUPERIOR
TUFO MINERALIZADO
TUFO INFERIOR
ARENISCA, CONGLOM.
W E
)(h
h
E - W
N - S
VERTICAL
DISTRIBUCION
ANISOTROPA
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El mapa variogrfico dibuja elipses (2D) o elipsoides (3D). Slo se requiere
especificar las direcciones principales (ortogonales) y los alcances
correspondientes.
Anisotropas (3)
Modelamiento: anisotropa geomtrica
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Anisotropas (4)
Modelamiento: anisotropa zonal
El mapa variogrfico dibuja bandas; se trata de un caso lmite de
anisotropa geomtrica, donde el alcance en una direccin
se vuelve muy grande. A la escala de trabajo, la meseta cambia segn la
direccin.
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Anisotropas (5)
Modelamiento: anisotropas complejas
Se obtiene formas ms complejas de anisotropa al superponer
anisotropas geomtricas y/o zonales de orientacin y razn diferentes.
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Reglas de ajuste (1)
Ejercicio
Proponer un modelo para
el siguiente variograma,
suponiendo que las
direcciones principales
corresponden a los ejes de
coordenada
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Reglas de ajuste (2)
Regla:
1) Determinar el efecto pepita
2) Determinar los alcances y
mesetas en cada direccin
3) Determinar la cantidad y los
tipos de modelos que se
anidarn para el ajuste
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Reglas de ajuste (3)
Empezamos con un efecto pepita
de amplitud (meseta) 0.1
Luego se agrega una estructura(exponencial) que llega a la
primera meseta, con alcancespropios a cada direccin
Luego se agrega una segunda
estructura para llegar a la
segunda meseta, dejando infinito
el alcance en la direccin 1
Finalmente se agrega una tercera
estructura para llegar a la meseta
total, dejando infinitos los
alcances en las direcciones 1 y 2
(h) = 0.1 pepa
+ 0.9 exp(200m,120m,50m)
+ 0.3 exp(,120m,50m)
+ 0.2 exp(,,50m)
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Reglas de ajuste (4)
Verificacin
(h) = 0.1 pepa + 0.9 exp(200m,120m,50m) + 0.3 exp(,120m,50m)
+ 0.2 exp(,,50m)
La suma de las mesetas de los modelos
anidados vale:
0.1 + 0.9 + 0.3 + 0.2 = 1.5= meseta total
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Consideraciones prcticas (1)
Generalmente, se busca modelar anisotropas sencillas, con 2
3 direcciones principales ortogonales entre s
buscar la elipse o el elipsoide que mejor se acerca al mapa
variogrfico.
El variograma experimental es poco confiable para distancias
grandes (superiores a la mitad del dimetro del campo).
La meseta del variograma (varianza terica) puede diferir de la
varianza del histograma (varianza emprica).
Las distancias pequeas son las ms importantes.
describen la continuidad a pequea escalason cruciales para estimar leyes a partir de los datos cercanos
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Consideraciones prcticas (2)
Desconfiar de los procedimientos de ajuste automticos
el anlisis variogrfico debe ser un trabajo interactivo,
donde el usuario tiene la palabra final.
Se debe prestar atencin a la representatividad de los puntos
experimentales, a la informacin disponible sobre la variable
regionalizada y a la escala de trabajo.
No existe un modelo nico.
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Aplicacin a los datos mineros (1)
Estudio de anisotropa (mapa variogrfico)
Se destaca la direccin vertical, en oposicin con las direcciones
horizontales.
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Aplicacin a los datos mineros (2)
Variograma experimental
Calculado cada 20m en el plano horizontal y 12m en la vertical (con
tolerancia angular de 15 )
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Aplicacin a los datos mineros (3)
Variograma modelado
Superposicin de tres modelos: pepita + 2 esfricos
(h) = 0.05 pep + 0.13 esf (15m,180m) + 0.28 esf(100m,180m)
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SEMANA 5:
Capitulo II: Anlisis Estructural
2.3 Construccin de variogramas experimentales
en los diversos tipos de yacimientos: Yacimientos
Filoneanos, desimanados de Oro, prfido decobre, morrenas glaciares, skarn de hierro, etc
Capitulo III: Anlisis de Datos y Variografia
3.1 Anlisis de Datos mediante histogramas,
construccin de histogramas experimentales.
3.2 Modelado de Histogramas: Distribucin
Normal, Distribucin Log normal, Distribucin