Download - Fungsi Trigonometri

Grafik Fungsi Trigonometri

Trigonometri by Ketut Darma Teknik Mesin

Politeknik Negeri Bali1

Grafik-Grafik dari fungsi y = sin A, y = cos A, dan y = tan A dapat

digambar dengan membuat nilai fungsi dari 00 sampai dengan

3600. Dapat diambil nilai fungsi untuk sudut-sudut istimewa

sebagai berikut.

Pertemuan ke 15



A 00 300 600 900 1200 1500 1800

Sin A 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0

A 2100 2400 2700 3000 3300 3600

Sin A -0,5 -0,866 -1 -0,866 -0,5 0

Fungsi y = cos A



A 00 300 600 900 1200 1500 1800

Cos A 1 0,866 0,5 0 - 0,5 -0,866 -1

A 2100 2400 2700 3000 3300 3600

Cos A -0,866 -0,5 0 0,5 0,866 1

Grafik y = cos A



Fungsi y = tan A



A 00 300 600 900 1200 1500 1800

tan A 0 0,577 1,732 -1,732 -0,577 0

A 2100 2400 2700 3000 3300 3600

Tan A 0,577 1,732 -1,732 -0,577 0

Grafik y = tan A



Grafik Gabungan





Dari grafik gabungan dapat dilihat bahwa:

Grafik sinus dan cosinus berosilasi di antara nilai puncak 1. Mempunyai nilai maksimum 1 dan minimum -1

Kurva cosinus mempunyai bentuk yang sama dengan

kurva sinus tetapi bergeser 900

Kurva sinus dan cosinus kontinu dan berulang setiap

melewati sudut 3600, sedangkan kurva tangen tidak

kontinu namun berulang setiap melewati sudut 1800

Penggambaran Gelombang Sinus dan

Cosinus



Pada gambar 18.11 OR adalah vector 1 satuan panjang dan bebas berputar berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik O. Dalam satu putaran penuh, subuah lingkaran terbentak dan nampak terbagi dalam bagian-bagian 150. Setiap jari-jari memiliki komponen pertikal dan horizontal. Misalnya pada sudut 300 komponen vertikalnya adalah TS dan komponen horizontalnya OS.



Dari perbandingan trigonometri didapatkan

TS = sin 300

Dan

OS = cos 300

1

TS

TO

TSsin300

1

OS

TO

OS30cos 0

Jika komponen vertika TS diproyeksikan pada

grafik, maka diperoleh gelombang sinus



Jika seluruh komponen horizontal OS dicerminkan pada

sumbu y pada grafik y, maka terbentuk gelombang

cosinus



Grafik-grafik gelombang Sinus dan Cosinus



1. Grafik y = sin A ditunjukkan dengan garis putus-putus didapat

dengan membuat table nilai sinus. Sebuah table yang sama

dibuat untuk y = sin 2A

Grafik y = sin A ditampilkan pada gambar 18.14 dengan

menggunakan table berikut.



Grafik y = cos A ditampilkan sebagai garis putus-putus, sedang

grafik y = cos 2A ditampilkan segai garis utuh pada

gambar 18.15



Grafik y = cos A ditampilkan sebagai garis putus-putus, sedang

grafik y = cos A ditampilkan segai garis utuh pada

gambar 18.16





Periode dan waktu periodic

Setiap grafik pada gambar 18.13 sampai gambar 18.16 akan berukang sejalan dengan pertambahan besarnya sudat A, maka disebut fungsi-fungsi periodic

Fungsi y = sin A dan y = cos A berulang setiap melewati sudut 3600, maka 3600 atau 2 radian disebut periode dari grafik tersebut. Sedang perode dari grafik y = sin 2 A dan y = cos 2A adalah 1800 atau radian

Secara umum jika y = sin pA dan y = cos pA dimana p adalah konstanta maka periode gelambang yaitu 3600/p atau 2 /p radian



Amplitudo

Amplitudo adalah istilah lain dari nilai maksimum atau puncak

dari suatu gelombang sinus. Setiap grafik sinus mempunyai

maksimum 1. Tetapi jika y = 4 sin A, maka setiap nilai dalam

table dikalikan 4. Sehingga niali maksimum atau amplitodonya 4



Sudut-Sudut yang mengikuti dan mendahului.

Kurva sinus dan cosinus mungkin tidak selalu dimulai dari 00. Untuk menunjukkan ini ditampilkan sebuah fungsi periodek yang dinyatakan dengan y = sin (A ) atau y = cos (A ) dimana adalah pergeseran fase dibandingkan dengan y = sin A atau y = cos A.

Misalnya diambil 600. Dengan membuat table niali y = sin (A-600). Jika y diasumsikan dimulai dari 00 maka y = sin (A-600) dimulai dari 600 . Jadi y = sin (A-600) dikatan mengikuti y = sin A sebesar 600.

Dengan membuat table niali y = cos (A + 450). Jika y

diasumsikan dimulai dari 00 maka y = cos (A + 450)

dimulai dari 450 sebelumnya . Jadi y = cos (A + 450)

dikatakan mendahului y = cos A sebesar 450.





Secara umum, grafik y = sin (A - ) mengikuti y = sin A sebesar

sudut , sedangkan grafik y = sin (A + ) dikatakan mendahului

y = sin A sebesar



Bentuk sinusoidal A sin ( t )

Pada gambar 18.26, misalkan OR adalah sebuah vector yang berotasi bebas berlawanan denagn arah jarum jam mengelilingi O dengan kecepatan t rad/detik.

Vektor yang berputar disebut phasor. Setelah t detik, OR akan berputar sebesar sudut t radian. Jika ST ditarik tegak lurus terhadap OR, maka sin t = ST/OT, atau ST = sin sin t



Jika semua komponen vertical diproyeksikan pada grafik y

terhadap t, kurva gelombang sinus dengan amplitude OR akan terbentuk

Jika phasor OR membuat 1 putaran penuh yaitu 2 radian

dalam T detik, maka kecepatan sudut = 2 radian/detik.

T = 2 / detik

T dikenal sebagai waktu periodic

Jumlah putaran penuh yang dapat dilakukan per detik disebut

frekuensi f

Jadi

Jadi:



HzT

frekuensi2

1

detik

penuhputaran jumlah

Hzf2

Kecepatan sudutnya:

= 2 f rad/detik



Grafik fungsi y = sin ( t ) atau fungsi y = cos ( t ) dimana

adalah pergeseran fase dari y = sin A atau y = cos A. Jadi grafik

y = sin ( t - ) mengikuti y = sin t sebesar sudut , dan

grafik y = sin ( t + ) mendahului y = sin t sebesar sudut .

Sudut t diukur dalam radian

Hubungan radian dengan derajat

3600 = 2 radian atau radian = 1800



Secara umum

Untuk fungsi sinusoidal y = A sin ( t )

1.A = amplitude

1. = kecepatan sudut = 2 f rad/detik

T periodik.;waktu 2

.3

hertz dalam f frekuensi;2

.4

5. = sudut yang mendahului atau mengikuti terhadap y = sin t



1.Suatu arus listrik bolak-balik diberikan oleh persamaan i = 30 sin ( 100 t + 0,27) ampere. Tentukanlah amplitude, waktu periodic, frekuensi, dan sudut fase (dalam radian dan menit)

2. Suatu mekanisme getaran memiliki perpindahan maksimum 2,5 m dan frekuensi 60 Hz. Pada waktu t = 0 perpindahannya menjadi 90 cm. Nyatakanlah perpindahan tersebut dalam bentuk umum A sin ( t )



3 Besarnya tegangan listrik sesaat dalam sebuah rangkaian AC pada waktu t detik dinyatakan dalam persamaan v = 340 sin (120 t 0,541) vot. Tentukanlah:a. Amplitudo, waktu periodic, frekuensi dan sudut fase (dalam derajat)

b. Besarnya tegangan listrik pada saat t = 0

c. Besarnya tegangan listrik pada t = 10 milidetik

d. Waktu pada saat tegangan listrik pertama kali mencapai 200 V

e. Waktu pada saat tegangan listrik mencapai maksimum

f. Buatlah sketsa satu putaran penuh dari gelombang.