Download - FUNGSI TRANSFER

Transcript
Page 1: FUNGSI TRANSFER

FUNGSI TRANSFER

Peramalan (forecasting) merupakan sasaran dari analisis data dalam kawasan waktu,

yang diperlukan untuk perancangan (planing) dan proses kontrol. Peramalan data deret waktu

banyak dilakukan pada masalah-masalah manajemen, sistem inventory, pengontrolan kualitas,

dan analisis investasi. Banyak prosedur peramalan data deret waktu yang bisa dilakukan, dan

secara umum dapat diklasifikasikan atas tiga macam, yaitu peramalan secara

1. Subjektif.

Peramalan secara subjektif dilakukan hanya dengan mengandalkan daya intuisi dan

kemampuan daya nalar, sehingga pengalaman dan keahlian dalam menangani persoalan data

deret waktu sangat menentukan akurasi hasil. Peramalan subjektif bukan sebuah metode

statistis atau matematis yang bisa dipelajari secara keilmuan, sehingga metode ini tidak

dijadikan objek dalam analisis data deret waktu.

2. Univariat

Peramalan univariat adalah peramalan yang didasarkan pada sampel data deret waktu

univariat, dengan memperhatikan model hubungan antar pengamatan dan proses ekstrapolasi

atau transformasi data. Proses peramalan ini banyak digunakan dalam persoalan bidang

ekonomi, dan perdagangan. Peramalan mengenai hasil penjualan suatu produk biasa

dinamakan naive atau projeksi. Peramalan univariat merupakan metode peramalan principal

dalam analisis data deret waktu.

3. Multivariat

Seperti sudah dikemukakan, analisis data deret waktu merupakan analisis univariat,

sehingga jika dimiliki data deret waktu multivariat, maka proses yang dilakukan adalah

mentransformasikan pengamatan multivariat menjadi sebuah model univariat, atau

mengadaptasi peramalan univariat dalam sistem multivariat, sehingga analisis dilakukan

dalam bentuk persamaan (model) matriks atau vektor. Peramalan multivariat pada prinsipnya

adalah pengembangan dari peramalan univariat. Walaupun prosedur peramalan

diklasifikasikan dalam tiga macam, tetapi dalam prakteknya analisis peramalan merupakan

kombinasi dari minimal dua prosedur. Misalnya, peramalan univariat sering dilakukan untuk

mengembangkan atau memperbaiki hasil dari peramalan subjektif, dan peramalan multivariat

dilakukan sebagai pengembangan dari peramalan univariat. Sebagai contoh, peramalan dalam

bidang pemasaran, model peramalan mengenai volume penjualan merupakan gabungan dari

peramalan mengenai frekuensi iklan, pangsa pasar, harga, bentuk, kualitas, dan variabel-

variabel lain yang berhubungan dengan volume penjualan.

Page 2: FUNGSI TRANSFER

Proses peramalan akan berhubungan dengan apa yang dinamakan waktu mendatang

(lead time) dan konsepsi peramalan jangka pendek (short term), yaitu peramalan dengan lead

time yang cukup kecil jika dibandingkan dengan panjang waktu pengamatan. Misal dalam

persoalan persediaan barang (stock control), peramalan jangka pendek adalah peramalan

ketersediaan barang dengan lead time antara waktu pemesanan sampai pengantaran, yang

biasanya memerlukan waktu beberapa minggu atau bulan. Sebelum memilih prosedur

peramalan yang akan dilakukan, perlu untuk memperhatikan maksud dan tujuan peramalan,

waktu, biaya, dan banyaknya data yang tersedia untuk menentukan lead time yang layak

diambil, sehingga proses peramalan menjadi efektif dan efisien.

Peramalan data deret waktu pada dasarnya adalah univariat, sedangkan dalam

kenyataannya sebagian besar pengamatan merupakan data multivariate. Misal dalam bidang

pemasaran, volume penjualan bergantung pada cara pemasaran, bentuk promosi dan daerah

pemasaran yang masing-masing faktor tersebut lebih dari satu macam, sehingga jika analisis

peramalan hanya didasarkan pada volume penjualan saja tanpa memperhatikan faktor-faktor

yang mempengaruhinya maka informasi untuk pembuatan ukuran keberhasilan pemasaran

apalagi untuk keperluan proses control dan perencanaan menjadi tidak lengkap sehingga

tujuan peramalan tidak tercapai secara utuh. Salah satu upaya menganalisis data deret waktu

multivariat agar diperoleh hasil yang dapat memberikan informasi yang lengkap dan simultan

adalah dengan mentransformasikan menjadi model univariat melalui proses model fungsi

transfer yang konsepsinya didasarkan pada data bivariat. Jika sampel data deret waktu adalah

multivariat maka

1. Mentransformasikan data multivariat menjadi data univariat melalui model fungsi

transfer, jika data berautokorelasi

2. Metode analisis regresi multiple jika tidak berautokorelasi

3. Mengadopsi analisis peramalan univariat dan analisis matriks (vektor) sehingga proses

pemodelan untuk membangun sebuah ramalan dilakukan berdasarkan analisis regresi

deret waktu vektor

Misalkan V t=( X t ,Y t )' adalah data deret waktu bivariat dengan X t dan Y t masing-masing

stasioner atau hasil proses stasioner yang membangun sebuah hubungan sistem filter linier

Y t=v ( B ) X t+η t(¿)

Persamaan di atas disebut model fungsi transfer atau model ARMAX dengan

X t ,t=1,2 , … : deret variabel masukan (input variable)

Y t , t=1,2 , … : deret variabel keluaran (output variable)

Page 3: FUNGSI TRANSFER

B : operator backshift

v ( B )= ∑i=−∞

v i Bi : fungsi transfer filter dimana |v i|≤ 1 , i=1,2, … yang merupakan pembobot

respon implus dan fungsi v i atas i merupakan fungsi respon implus.

ηt : kekeliruan (noise) yang merupakan variabel acak tidak terukur berdistribusi identik saling

bebas dengan rata-rata 0, variansi konstan σ 2 dan saling bebas dengan X t

Model fungsi transfer disebut stabil jika |v i| merupakan deret konvergen, ∑i|v i|<∞.

Persamaan (*) disebut sistem stabil jika ∑t|X t|<∞ sehingga ∑

t|Y t|<∞ dan persamaan (*)

disebut sistem kasual jika v i=0 untuk i<0. Suatu model dikatakan kasual jika keberadaan Y t

disebabkan pengaruh X t dari awal sampai akhir sepanjang sistem digunakan tetapi tidak

sebaliknya. Karena model – model kasual banyak ditemukan dalam persoalan dunia nyata

maka model kasual biasa disebut model realistis. Dalam prakteknya, sistem merupakan model

stabil atau kasual seperti dalam persamaan berikut

Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt=v (B ) X t +ηt ¿

dimana X t dan ηt saling bebas dan v ( B )=v0+v1 B+v2 B2+…,|v0|+|v1|+…<∞

jika digambarkan sistem fungsi transfer sebagai berikut

Analisis fungsi transfer bertujuan untuk menaksirkan parameter dan mengidentifikasi model

dari fungsi transfer v (B) dan ηt berdasarkan sampel data bivariat ( x t , y t ) ' . Dalam prosesnya

muncul kesulitan karena ( x t , y t ) ' deret terbatas sedangakan v (B) deret tidak terbatas sehingga

untuk mengatasinya adalah menyajikan v (B) dalam bentuk pecahan

Page 4: FUNGSI TRANSFER

v ( B )=ωs (B ) Bb

ωr ( B )(∆)

dengan

ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s

ωr (B )=1−ω1 B−…−ωr B r

ωidan ω j : parameter, b parameter kelambatan (delay) yang menyajikan lag waktu aktual

(actual time lag) yang lewat, sebelum impuls dari variabel masukan memberikan pengaruh

(effect) pada variabel keluaran. Penaksir untuk ω j jika sistem stabil adalah akar persamaan

ωr (B )=0 yang merupakan titik-titik di luar lingkaran satuan ¿). Jika ωs (B ) , ωr (B ) dan b sudah

diperoleh maka pembobt respon impuls v i ditaksir berdasarkan persamaan

ωr (B ) v ( B )=ωs ( B ) Bb

↔ (1−ω1 B−…−ωr Br ) (v0+v1 B+v2 B2+…)=(ω0−ω1 B−…−ωs B s )Bb

yang penyelesaiannya adalah

v j=0 jika j<b

v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r+ω0 jika j=b

v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r−ω j−b jika j=b+1 , b+2 , …, b+s

v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r jika j=¿b+s

Hal ini berarti r buah pembobot respon implus, vb+s , vb+s−1 ,…,vb+s−r+1, merupakan jawaban

awal untuk persamaan diferensi ωr (B ) v j=0 , j>b+s(∎). Pembobot respon impuls untuk

persamaan (∆) yaitu:

1. b buah pertama bernilai 0, v0=v1=…=vb−1=0

2. s−r+1 buah berikutnya, vb , vb+1 , …, vb+ s−r ,tidak mengikuti pola yang tetap

3. r buah selanjutnya, vb+s−r+1 , vb+s−r+2 , …, vb+s adalah pembobot respon impuls sebagai

jawab awal persamaan (∎ )

4. v j , j>b+s jawab persamaan (∎ )

sehingga kesimpulannya,

1. b dicari berdasarkan fakta bahwa v j=0 , j<b danvb ≠ 0

2. r dicari berdasarkan pola dari pembobot respon impuls yang identik dengan mencari

orde k pada identifikasi model ARIMA (k,q,p) univariat melalui fungsi autokorelasi

3. untuk nilai b yang ditetapkan, jika r=0 maka nilai s dengan mudah dapat dicari

berdasarkan fakta, v j=0 , j>b+s sedangkan jika r ≠ 0 maka s dicari berdasarkan

Page 5: FUNGSI TRANSFER

telaahan pola kelambatan pembobot respon impuls dan nilai s adalah perkiraan

dimulainya kelambatan.

Berikut ini model-model fungsi transfer

(b , r , s ) Model Fungsi TransferPola Pembobot

ImpulsKesimpulan

(2,0,0) v ( B ) X t=ω0 X t−2

Fungsi transfer hanya memiliki

pembobot respon impuls yang

berhingga dimulai vb=ω0 dan

diakhiri vb+s=−ωs

(2,0,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B ) X t−2

(2,0,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k , q , p)u B−ω21 0−, 0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantungpada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 ) X t−2

(2,1,0) v ( B ) X t=ω0

(1−ω1 B )X t−2

Pembobot respon impuls

membangun pola penurunan

eksponensial dimulai dari vb jika

s=0 , vb+1 jika s=1 dan vb+2 jika

s=2

(2,1,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k , q , p )u B )

(1−ω1 B )X t−2

(2,1,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA(k , q , p)u B2 )

(1−ω1 B )X t−2

(2,2,0) v ( B ) X t=ω0

(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2

Pembobot respon impuls

membangun pola eksponensial

damped atau gelombang sinus

damped yang bergantung pada

sifat dasar dari akar persamaan

polinom

ω2 ( B )=1−ω1 B−ω2 B2=0

Pola eksponensial damped

diperoleh jika akar-akarnya riil

atau jika

(2,2,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B )

(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2

(2,2,2)v ( B ) X t=

(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u B2 )(1−ω1 B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 )

X t−2

Page 6: FUNGSI TRANSFER

ω11 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u2+4 ω2 10−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang b ergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u ≥ 0

dan gelombang sinus damped

jika akar-akarnya bilangan

kompleks atau jika X t dan Y t , t=0 , ± 1, ± 2 ,… dikatakan stasioner gabungan jikaX t dan Y t adalah proses

stasioner dan kovarians silang X t dengan Y t hanya merupakan fungsi atas selisih waktu (t−s)

. Kovarians silang X t dengan Y t didefinisikan oleh γ YX(k )=E ( X t−μx ) ( Y t+k−μy ) dimana μx dan

μy masing-masing rata-rata hitung X t dan Y t , k=0 , ±1 , ± 2,…. Karena γ YX(k ) merupakan

fungsi atas k, maka γ YX(k )=γ YX (k ) dan disebut sebagai fungsi kovarian silang. Jika variansX t

dan Y t masing-masing σ x2 dan σ y

2 maka ρYX (k )=γYX (k )σ x σ y

disebut fungsi korelasi silang yang

merupakan bentuk standarisasi dari fungsi kovarians silang.

Fungsi korelasi silang merupakan formulasi umum dari fungsi autokorelasi karena

γ YX(k )=γ YX (k ). Akan tetapi, fungsi autokorelasi merupakan bentuk simetris, ρX

(k)=ρX(−k ),

sedangkan fungsi korelasi silang tidak simetris, ρXX(k)≠ ρXX(−k). Jika nilai fungsi autokorelasi

sebagai ukuran kekuatan hubungan antar pengamatan maka nilai CCF selain sebagai ukuran

kekuatan hubungan antar variabel maka nilai fungsi korelasi silang sebagai ukuran kekuatan

hubungan antar variabel dan ukuran arah hubungan. Contohnya:

Perhatikan model AR(1) berikut

(1−ϕB ) X t=Z t

|ϕ|<1, Z t : kekeliruan dengan rata-rata 0 dan varians konstan σ 2serta saling bebas, B: operator

backshift

Karena (1−ϕB ) ≠ 0 maka X t=Zt

1−ϕB=Zt +φ Z t−1+φ2 Z t−2+…

Untuk t=t+k maka X t+ k=Z t+k

1−ϕB=Z t+k+φ Z t+k−1+φ2 Z t+k−2+… sehingga kovarians silang Z t

dan X t sama dengan

γ ZX (k )=E (Z t−μZ) ( X t+k−μX )=E ( Z t−E Z t ) ( X t+k−E X t+ k )=E ( Z t X t+k )=E (Z t1

1−ϕBZ t+k )= 1

1−φ2 E (Z t Z t+ k )={( 1−φ2) φk σZ2

1−φ2=φk σZ

2 jika k ≥ 0

0 jika k<0

Page 7: FUNGSI TRANSFER

Karena var (X ¿¿ t )=σ X2=

σZ2

1−φ2 ¿, maka korelasi silang Z t dan X t sama dengan

ρZX ( k )=γ ZX (k )σZ σ K

=√1−φ2

σ Z2 γ ZX (k )={φk √1−φ2 jika k ≥0

0 jika k<0

Dari cara di atas, dapat pula ditunjukkan bahwa korelasi silang Z t dan X t untuk model ARMA

(k,p) univariat merupakan bentuk khusus model fungsi transfer tanpa kekeliruan (noise)

karena Z t dan X t masing-masing deret masukan dan deret keluaran. Model ARMA (k,p)

univariat sebagai berikut X t=ψ p (B )ϕk ( B )

Z t

dimanaψ p (B )=1−ψB−…−ψ p BP ϕk (B )=1−ϕB−…−ϕk Bk

Perhatikan persamaan (**) berikut

Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt

untuk t=t+k

Y t+k=v0 X t+k+v1 X t+k −1+v2 X t+ k−2+…+ηt+k

dikalikan X t dengan asumsi μX=μY=0

X t Y t+ k=v 0 X t X t+k+v1 X t X t+ k−1+v2 X t X t+k−2+…+ X t ηt+k

diekspetasikan

E ( X t Y t+k )=v0 E ( X t X t+k )+v1 E ( X t X t+k−1 )+v2 E ( X t X t+k−2 )+…+ E ( X t ηt+ k)

sehingga diperoleh kovarian silang X t dan Y t

γ XY (k )=v0 γ XX (k )+v1 γ XX (k−1 )+v2 γ XX (k−2 )+…

karena var (X )=σ X2 dan var (Y )=σ Y

2 maka korelasi silangnya

ρXY (k )=σ X

σ Y(v0 ρX (k )+v1 ρX (k−1 )+v2 ρX ( k−2 )+… )(ℶ )

Dari persamaan (ℶ)terlihat bahwa ρXY (k )dan v i (nilai fungsi respon impuls) terkotaminasi oleh

struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t ) sehingga jika fungsi transfer v ( B )=ωs (B ) Bb

ωr ( B )

dengan r=0 dan hanya memiliki pembobot respon implus yang banyak berhingga maka

penaksir v iberdasarkan formula persamaan (ℶ) menjadi sulit karena varians-kovarians sampel

untuk menaksir ρXY (k ) juga terkontaminasi oleh struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t )

sehingga pengujian keberartian ρXY (k ) dan vk juga menjadi sulit. Jika deret masukan ( X t )

adalah kekeliruan (noise) berarti ρX ( k )=0 untuk k ≠ 0 maka persamaan (ℶ) dapat direduksi

Page 8: FUNGSI TRANSFER

menjadi vk=σY

σ X

ρXY (k ) sehingga pembobot respon impuls, vk , merupakan proporsi langsung

dari korelasi silang ρXY (k ).

Jika sampel data deret waktu bivariat ( x t , y t ) , t=1,2 , …, n maka untuk membangun

model fungsi transfer sampel sebagai berikut:

1. Hitung rata-rata masing-masing variat x=1n∑t=1

n

x t , y=1n∑t=1

n

y t

2. Hitung kovarians silang sampel γ xy (k )={ 1n∑t=1

n−k

( x t−x ) ( y t+ k− y ) , k ≥ 0

1n∑

t=1−k

n

( x t−x ) ( y t+k− y ) , k<0

3. Hitung korelasi sampel ρ xy (k )=γ xy ( k )

√ γ xx (0 ) γ xx (0 )

4. Uji signifikansi korelasi silang berdasarkan rumusan hipotesis H 0 : ρ xy ( k )=0vs

H 1: ρxy (k )≠ 0, yang membandingkan ρ xy (k ) dengan sρxy(k ) (kekeliruan baku). Dengan

asumsi distribusi normal diperoleh

kov ( ρ xy (k ) , ρxy (k+ j ) )≅ 1n−k

∑i=−∞

[ ρxy ( i ) ρ yy (i+ j ) ρ xy ( i+k+ j ) ρ xy ( k−i )

+ρ xy (k ) ρ xy (k+ j ) {ρ xy2 (i )+ 1

2ρ xx

2 (i )+ 12

ρ yy2 (i )}

−ρ xy (k ) {ρ xx ( i ) ρxy ( i+k+ j )+ ρxy (−i ) ρ yy (i+k+ j ) }−ρ xy (k+ j ) {ρ xx (i) ρ xy (i+k )+ ρxy (−i ) ρ yy (i+k ) }]

var ( ρxy (k ) )≅ 1n−k

∑i=−∞

[ ρxx (i ) ρ yy ( i )+ ρxy ( i+k ) ρ xy ( k−i )

+ρ xy2 (k ) {ρ xy

2 (i )+ 12

ρ xx2 ( i )+ 1

2ρ yy

2 (i )}−2 ρ xy (k ) {ρxx ( i ) ρ xy (i+k )+ρ xy (−i ) ρ yy ( i+k ) } ]

Sehingga di bawah H 0 : ρ xy ( k )=0

kov ( ρ xy (k ) , ρxy (k+ j ) )≅ρ yy

n−kdan var ( ρ xy (k ) )≅ 1

n−k

Akibatnya kekeliruan baku ρ xy (k ) , sρxy( k )≅ 1

√n−k. Jika ρ xy (k )<sρxy

(k ) maka ρ xy (k )

tidak signifikan atau ρ xy (k )=0 berarti X t dan Y t tidak berkorelasi. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa proses pemodelan fungsi transfer tidak perlu dilanjutkan dan

Page 9: FUNGSI TRANSFER

analisi dilakukan untuk masing-masing variat menggunakan analisis regresi deret

waktu univariat. Jika ρ xy (k )signifikan maka proses dilanjutkan dengan membangun

model ARMA (k,p) untuk X t , ϕk ( B ) X t=ψ p(B)ε t dan lakukan penaksiran parameter

sehingga diperoleh model taksiran ϕk (B ) X t=ψ p (B)εt

5. Membangun deret pemutih ε t=ϕk ( B )ψ p (B )

X t dan δ t=ϕk ( B )ψ p (B )

Y t

6. Menghitung varians dan korelasi silang deret pemutih : σ ε2 , σδ

2 , ρεδ (k )

7. Menghitung pembobot respon impuls vk=σδ

σ ε

ρεδ (k )

8. Menguji signifikansi vk, jika vk<sρ xy(k ) maka vktidak signifikan atau dianggap vk=0

9. Mengidentifikasi parameter kelambatan dan model polinom

ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s , ωr (B )=1−ω1 B−…−ωr Br

Pola vk atas k unutk menentukan nilai b, r dan s

10. Setelah r dan s ditentukan, lakukan penaksiran parameter ω dan ϖsehingga diperoleh

model polinom sampel

ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s , ϖ r (B )=1−ϖ 1 B−…−ϖr Br

11. Bangun model fungsi transfer sampel v ( B )=ωs ( B )ϖr ( B )

Bb

Setelah model fungsi transfer diperoleh, lakukan identifikasi model kekeliruan ηt berdasarkan

nilai residual ηt= y t−v ( B ) x t= y t−ωs (B )ϖr (B )

Bb x t (¿)

yang telaahnya dapat dilakukan berdasarkan pola ACF dan PACF-nya atau metode lain untuk

mengidntifikasi model regresi deret waktu univarita berdasarkan model ARMA (k,p)

univariat dengan persamaan dengan Z t sebagai noise ϕk (B ) ηt=ψ p ( B ) Z t ¿

Jika persamaan (&) dan (&&) dikombinasikan maka diperoleh model fungsi transfer dengan

persamaan lain Y t=ωs ( B )ωr ( B )

X t−b+ψ p ( B )ϕk (B )

Z t atau

ωr (B )ϕk ( B )Y t=ϕk ( B ) ωs ( B ) X t−b+ωr ( B ) ψ p ( B ) Z t

Jika

Ω ( B )=ωr (B ) ϕk ( B )=(1−ω1 B−…−ωr B r ) (1−ϕ1 B−…−ϕk Bk )=1−Ω1 B−…−Ωr+k Br+k

Φ ( B )=ϕk ( B ) ωs ( B )=(1−ϕ1 B−…−ϕk Bk )(ω0−ω1 B−…−ωs B s )=Φ0−Φ1 B−…−Φk +s Bk+s

Ψ ( B )=ωr (B )ψ p (B )=(1−ω1 B−…−ωr Br ) (1−ψ1 B−…−ψ p Bp )=1−Ψ 1 B−…−ψr+p Br+p

Page 10: FUNGSI TRANSFER

maka secara simultan

Ω ( B )Y t=Φ (B ) X t−b+Ψ (B ) Z t

↔ (1−Ω1 B−…−Ωr+k B r+ k )Y t=(Φ0−Φ1 B−…−Φk+s Bk+ s ) X t−b

+(1−Ψ 1 B−…−ψr+p Br+p )Z t ($ )

yang merupakan persamaan regresi multivariat Y t atas X t−b dan Z t

Z t=(1−Ω1 B−…−Ωr+k Br+k )Y t−(Φ0−Φ1 B−…−Φk +s Bk+s ) X t−b

−(−Ψ 1 B−…−ψr+p B r+p ) Z t

¿Y t−Ω1 Y t−1−Ωr+ k Y t−r−k−Φ0 X t−b−Φ1 X t−b−1−Φk+s X t−b−k−s+Ψ 1 Z t−1

+ψr+p Z t−r−p

Karena Z tkekeliruan yang diasumsikan berdistribusi identik idependen N (0 , σ Z2 ), penaksiran

parameter Ωi , Φ j , Ψ l dilakukan metode kemungkinan maksimum yang prosesnya sebagai

berikut

1. Bangun fungsi distribusi dari Z t : f (Z t , σZ2 )= 1

√2 π σZ2

exp ( −12 σZ

2 Z t2)

2. Bangun fungsi kemungkinan dari Z tuntuk t=1,2 , …, n

f (Ω ,Φ ,Ψ ,σ Z2 )=∏

t=1

n

f (Z t ,σ Z2 )= 1

√ (2 π σZ2 )n

exp( −12 σZ

2 ∑t=1

n

Z t2)

dengan Ω=(Ω0 , Ω1, .. . ,Ωr+ k ) ,Φ=(Φ0 ,Φ1 , .. . ,Φk+ s ) ,Ψ =(Ψ 1 , Ψ 2 ,.. . ,Ψ r+ p )

3. Logaritmakan fungsi kemungkinan

L=ln (Ω , Φ, Ψ , σZ2 )=−1

2n ln (2π )−1

2n ln (¿¿σZ

2)− 12 σZ

2 ∑t=1

n

Z t2 ¿¿

4. Lakukan perhitungan differensial pada L

∂ L∂ Ωi

=0 ,i=1,2, …, r+k∂ L

∂ Φ j

=0 , j=1,2 , …, k+s

∂ L∂ Ψ l

=0 , i=1,2, …, r+ p∂ L

∂ σZ2=0

Yang menghasilkan sistem persamaan tidak linier atas

(r+k )+(k+s)+(r+ p )+1=2 r+2 k+s+ p+1 buah persamaan sehingga penyelesaiaanya

harus menggunakan metode itersi dengan jawaban awal x0 , y0 , z0yang memenuhi

persamaan ($). Proses penyelesaian sisteem persamaan ini hamper sama dengan cara

penaksiran parameter pada model ARIMA (k+s ,r+k ,r+ p) di bawah asumsi noise

berdistribusi N (0 , σ Z2 ) .

Page 11: FUNGSI TRANSFER

Setelah penaksiran parameter model fungsi transfer dilakukan selanjutnya adalah

menelaah kecocokan model fungsi transfer berdasarkan sampel data deret waktu bivariat

( x t , y t ) yang telah digunakan untuk membangun fungsi transfer tersebut. Hal ini diperlukan

untuk mendapatkan nilai ramalan data deret waktu yang akan datang dengan varians yang

kecil. Telaahannya dapat dilakukan berdasarkan rata-rata hitung kuadrat kekeliruan ramalan

(MSE). Model ramalan dipilih jika MSE-nya paling kecil.

Perhatikan sampel data deret waktu stasioner ( x t , y t ) , t=1,2 , …, n yang memiliki model

fungsi transfer stabil dengan persamaan

y t=ωs ( B )ωr ( B )

Bb xt +ψ p ( B )ϕk (B )

zt(¿)

z t: noise dengan rata-rata hitung 0 dan varians konstan σ Z2

x t : mengikuti model ϕk (B ) x t=ψ p (B ) ε t

ε t: noise dengan rata-rata hitung 0, varians konstan σ ε2dan saling bebas dengan z t

ωs (B ) , ωr (B ) ,ψ p (B ) , ϕk (B )masing-masing fungsi polinom berhingga atas operator backshift B

dengan akar-akar persamaan ωs (B )=ωr (B )=ψ p ( B )=ϕk ( B )=0 masing-masing merupakan

titik-titik di luar lingkaran satuan ωi , ϖ j ,ψ l , ϕh≥ 1. Jika

U ( B )=ωs ( B ) ψ p ( B )ωr (B ) ϕk ( B )

Bb=U 0+U 1 B+U 2 B2+… dan V (B )=ψ p ( B )ϕk (B )

=1+V 1 B+V 2 B2+… maka

persamaan (#) berubah menjadi y t=U (B ) εt+V (B ) zt=∑i=0

U i εt−i+¿∑i=0

V i zt−i ,V 0=1¿

sehingga y t+h=∑i=0

U i εt+h−i+¿∑i=0

V i z t+h−i ,V 0=1¿.

Jika ui , v j; i= j=1,2 , … masing-masing penaksir untuk U i , V j ; i= j=1,2, … maka nilai

ramalan dari y t+hadalah y t (h )=∑i=0

uh+i εt−i+¿∑i=0

vh+i zt−i ,¿ dan nilai residunya

rt (h)= y t+h− y t (h )=∑i=0

U i εt+h−i+¿∑i=0

V i zt+h−i−¿∑i=0

uh+i εt−i−¿∑i=0

vh+i zt−i ¿¿¿

¿∑i=0

h−1

U i εt+h−i+¿∑i=0

h−1

V i zt+h−i−¿∑i=0

(uh+i−U h+i ) εt−i−¿∑i=0

(v h+i−V h+i ) zt−i¿¿¿

Sehingga MSE-nya sama dengan

E {rt (h)}2=E ¿¿

¿σ ε2∑

i=0

h−1

U i2+σ z

2∑i=0

h−1

V i2+σ ε

2∑i=0

(uh+i−U h+i )2+¿σ z

2∑i=0

( vh+i−V h+i )2 ¿

Page 12: FUNGSI TRANSFER

dan akan bernilai minimum jika σ ε2∑

i=0

(uh+ i−U h+ i )2=¿σ z

2∑i=0

(vh+i−V h+i )2=0¿ atau

uh+i=Uh+i dan vh+i=V h+i. Jadi, MSE y t (h )adalah ramalan y t+h dengan waktu awal t yang

merupakan ekspetasi bersyarat dari y t+h pada t=T . Karena E { y t+h− y t (h ) }=0 maka y t (h )

ramalan takbias untuk y t+h dan merupakan ramalan terbaik jika variansnya sam dengan

σ ε2∑

i=0

h−1

U i2+σ z

2∑i=0

h−1

V i2. Jika deret masukkan dan keluaran merupakan data stasioner maka

ramalan fungsi transfer memiliki ciri takbias dan bervarians minimum. Pada dasarnya jika

tidak stasioner pada salah satu atau kedua deretnya sama dengan analisis regresi deret waktu

univariat yaitu melakukan transformasi stasioneritas melalui proses ARIMA (k,d,p).

Misalkan ( x t , y t ) sampel data deret waktu tidak stasioner yang dapat distasionerkan

melalui transformasi X t=(1−B)d xt dan Y t=(1−B)d y t dengan model fungsi transfernya

Y t=ω (B )δ ( B )

Bb X t+θ ( B )ϕ (B )

Z t

dengan X t mengikuti model ϕ (B )ω (B )=θ (B )e t, serta ω ( B ) , δ ( B ) ,θ ( B ) , ϕ ( B )fungsi-fungsi

polinom Z t dan e tnoise. Karena formulasi ini merupakan fungsi transfer dari deret masukan

dan keluaran yang stasioner maka ramalan untuk Y t+h adalah

Y t (h )=∑i=0

uh+i et−i+¿∑i=0

vh+i Zt−i¿

dengan ui , v j; i= j=1,2 , … masing-masing penaksir untuk U i , V j ; i= j=1,2, … yaitu koefisien

dari fungsi polinom ω ( B )θ ( B )δ ( B ) ϕ ( B )

Bb=U 0+U 1 B+U 2 B2+… dan

V (B )=θ ( B )ϕ ( B )

=1+V 1 B+V 2 B2+…

DAFTAR PUSTAKA