FUNGSI TRANSFER
Peramalan (forecasting) merupakan sasaran dari analisis data dalam kawasan waktu,
yang diperlukan untuk perancangan (planing) dan proses kontrol. Peramalan data deret waktu
banyak dilakukan pada masalah-masalah manajemen, sistem inventory, pengontrolan kualitas,
dan analisis investasi. Banyak prosedur peramalan data deret waktu yang bisa dilakukan, dan
secara umum dapat diklasifikasikan atas tiga macam, yaitu peramalan secara
1. Subjektif.
Peramalan secara subjektif dilakukan hanya dengan mengandalkan daya intuisi dan
kemampuan daya nalar, sehingga pengalaman dan keahlian dalam menangani persoalan data
deret waktu sangat menentukan akurasi hasil. Peramalan subjektif bukan sebuah metode
statistis atau matematis yang bisa dipelajari secara keilmuan, sehingga metode ini tidak
dijadikan objek dalam analisis data deret waktu.
2. Univariat
Peramalan univariat adalah peramalan yang didasarkan pada sampel data deret waktu
univariat, dengan memperhatikan model hubungan antar pengamatan dan proses ekstrapolasi
atau transformasi data. Proses peramalan ini banyak digunakan dalam persoalan bidang
ekonomi, dan perdagangan. Peramalan mengenai hasil penjualan suatu produk biasa
dinamakan naive atau projeksi. Peramalan univariat merupakan metode peramalan principal
dalam analisis data deret waktu.
3. Multivariat
Seperti sudah dikemukakan, analisis data deret waktu merupakan analisis univariat,
sehingga jika dimiliki data deret waktu multivariat, maka proses yang dilakukan adalah
mentransformasikan pengamatan multivariat menjadi sebuah model univariat, atau
mengadaptasi peramalan univariat dalam sistem multivariat, sehingga analisis dilakukan
dalam bentuk persamaan (model) matriks atau vektor. Peramalan multivariat pada prinsipnya
adalah pengembangan dari peramalan univariat. Walaupun prosedur peramalan
diklasifikasikan dalam tiga macam, tetapi dalam prakteknya analisis peramalan merupakan
kombinasi dari minimal dua prosedur. Misalnya, peramalan univariat sering dilakukan untuk
mengembangkan atau memperbaiki hasil dari peramalan subjektif, dan peramalan multivariat
dilakukan sebagai pengembangan dari peramalan univariat. Sebagai contoh, peramalan dalam
bidang pemasaran, model peramalan mengenai volume penjualan merupakan gabungan dari
peramalan mengenai frekuensi iklan, pangsa pasar, harga, bentuk, kualitas, dan variabel-
variabel lain yang berhubungan dengan volume penjualan.
Proses peramalan akan berhubungan dengan apa yang dinamakan waktu mendatang
(lead time) dan konsepsi peramalan jangka pendek (short term), yaitu peramalan dengan lead
time yang cukup kecil jika dibandingkan dengan panjang waktu pengamatan. Misal dalam
persoalan persediaan barang (stock control), peramalan jangka pendek adalah peramalan
ketersediaan barang dengan lead time antara waktu pemesanan sampai pengantaran, yang
biasanya memerlukan waktu beberapa minggu atau bulan. Sebelum memilih prosedur
peramalan yang akan dilakukan, perlu untuk memperhatikan maksud dan tujuan peramalan,
waktu, biaya, dan banyaknya data yang tersedia untuk menentukan lead time yang layak
diambil, sehingga proses peramalan menjadi efektif dan efisien.
Peramalan data deret waktu pada dasarnya adalah univariat, sedangkan dalam
kenyataannya sebagian besar pengamatan merupakan data multivariate. Misal dalam bidang
pemasaran, volume penjualan bergantung pada cara pemasaran, bentuk promosi dan daerah
pemasaran yang masing-masing faktor tersebut lebih dari satu macam, sehingga jika analisis
peramalan hanya didasarkan pada volume penjualan saja tanpa memperhatikan faktor-faktor
yang mempengaruhinya maka informasi untuk pembuatan ukuran keberhasilan pemasaran
apalagi untuk keperluan proses control dan perencanaan menjadi tidak lengkap sehingga
tujuan peramalan tidak tercapai secara utuh. Salah satu upaya menganalisis data deret waktu
multivariat agar diperoleh hasil yang dapat memberikan informasi yang lengkap dan simultan
adalah dengan mentransformasikan menjadi model univariat melalui proses model fungsi
transfer yang konsepsinya didasarkan pada data bivariat. Jika sampel data deret waktu adalah
multivariat maka
1. Mentransformasikan data multivariat menjadi data univariat melalui model fungsi
transfer, jika data berautokorelasi
2. Metode analisis regresi multiple jika tidak berautokorelasi
3. Mengadopsi analisis peramalan univariat dan analisis matriks (vektor) sehingga proses
pemodelan untuk membangun sebuah ramalan dilakukan berdasarkan analisis regresi
deret waktu vektor
Misalkan V t=( X t ,Y t )' adalah data deret waktu bivariat dengan X t dan Y t masing-masing
stasioner atau hasil proses stasioner yang membangun sebuah hubungan sistem filter linier
Y t=v ( B ) X t+η t(¿)
Persamaan di atas disebut model fungsi transfer atau model ARMAX dengan
X t ,t=1,2 , … : deret variabel masukan (input variable)
Y t , t=1,2 , … : deret variabel keluaran (output variable)
B : operator backshift
v ( B )= ∑i=−∞
∞
v i Bi : fungsi transfer filter dimana |v i|≤ 1 , i=1,2, … yang merupakan pembobot
respon implus dan fungsi v i atas i merupakan fungsi respon implus.
ηt : kekeliruan (noise) yang merupakan variabel acak tidak terukur berdistribusi identik saling
bebas dengan rata-rata 0, variansi konstan σ 2 dan saling bebas dengan X t
Model fungsi transfer disebut stabil jika |v i| merupakan deret konvergen, ∑i|v i|<∞.
Persamaan (*) disebut sistem stabil jika ∑t|X t|<∞ sehingga ∑
t|Y t|<∞ dan persamaan (*)
disebut sistem kasual jika v i=0 untuk i<0. Suatu model dikatakan kasual jika keberadaan Y t
disebabkan pengaruh X t dari awal sampai akhir sepanjang sistem digunakan tetapi tidak
sebaliknya. Karena model – model kasual banyak ditemukan dalam persoalan dunia nyata
maka model kasual biasa disebut model realistis. Dalam prakteknya, sistem merupakan model
stabil atau kasual seperti dalam persamaan berikut
Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt=v (B ) X t +ηt ¿
dimana X t dan ηt saling bebas dan v ( B )=v0+v1 B+v2 B2+…,|v0|+|v1|+…<∞
jika digambarkan sistem fungsi transfer sebagai berikut
Analisis fungsi transfer bertujuan untuk menaksirkan parameter dan mengidentifikasi model
dari fungsi transfer v (B) dan ηt berdasarkan sampel data bivariat ( x t , y t ) ' . Dalam prosesnya
muncul kesulitan karena ( x t , y t ) ' deret terbatas sedangakan v (B) deret tidak terbatas sehingga
untuk mengatasinya adalah menyajikan v (B) dalam bentuk pecahan
v ( B )=ωs (B ) Bb
ωr ( B )(∆)
dengan
ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s
ωr (B )=1−ω1 B−…−ωr B r
ωidan ω j : parameter, b parameter kelambatan (delay) yang menyajikan lag waktu aktual
(actual time lag) yang lewat, sebelum impuls dari variabel masukan memberikan pengaruh
(effect) pada variabel keluaran. Penaksir untuk ω j jika sistem stabil adalah akar persamaan
ωr (B )=0 yang merupakan titik-titik di luar lingkaran satuan ¿). Jika ωs (B ) , ωr (B ) dan b sudah
diperoleh maka pembobt respon impuls v i ditaksir berdasarkan persamaan
ωr (B ) v ( B )=ωs ( B ) Bb
↔ (1−ω1 B−…−ωr Br ) (v0+v1 B+v2 B2+…)=(ω0−ω1 B−…−ωs B s )Bb
yang penyelesaiannya adalah
v j=0 jika j<b
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r+ω0 jika j=b
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r−ω j−b jika j=b+1 , b+2 , …, b+s
v j=ω1 v j−1+ω2 v j−2+…−ωr v j−r jika j=¿b+s
Hal ini berarti r buah pembobot respon implus, vb+s , vb+s−1 ,…,vb+s−r+1, merupakan jawaban
awal untuk persamaan diferensi ωr (B ) v j=0 , j>b+s(∎). Pembobot respon impuls untuk
persamaan (∆) yaitu:
1. b buah pertama bernilai 0, v0=v1=…=vb−1=0
2. s−r+1 buah berikutnya, vb , vb+1 , …, vb+ s−r ,tidak mengikuti pola yang tetap
3. r buah selanjutnya, vb+s−r+1 , vb+s−r+2 , …, vb+s adalah pembobot respon impuls sebagai
jawab awal persamaan (∎ )
4. v j , j>b+s jawab persamaan (∎ )
sehingga kesimpulannya,
1. b dicari berdasarkan fakta bahwa v j=0 , j<b danvb ≠ 0
2. r dicari berdasarkan pola dari pembobot respon impuls yang identik dengan mencari
orde k pada identifikasi model ARIMA (k,q,p) univariat melalui fungsi autokorelasi
3. untuk nilai b yang ditetapkan, jika r=0 maka nilai s dengan mudah dapat dicari
berdasarkan fakta, v j=0 , j>b+s sedangkan jika r ≠ 0 maka s dicari berdasarkan
telaahan pola kelambatan pembobot respon impuls dan nilai s adalah perkiraan
dimulainya kelambatan.
Berikut ini model-model fungsi transfer
(b , r , s ) Model Fungsi TransferPola Pembobot
ImpulsKesimpulan
(2,0,0) v ( B ) X t=ω0 X t−2
Fungsi transfer hanya memiliki
pembobot respon impuls yang
berhingga dimulai vb=ω0 dan
diakhiri vb+s=−ωs
(2,0,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B ) X t−2
(2,0,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k , q , p)u B−ω21 0−, 0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantungpada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 ) X t−2
(2,1,0) v ( B ) X t=ω0
(1−ω1 B )X t−2
Pembobot respon impuls
membangun pola penurunan
eksponensial dimulai dari vb jika
s=0 , vb+1 jika s=1 dan vb+2 jika
s=2
(2,1,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k , q , p )u B )
(1−ω1 B )X t−2
(2,1,2) v ( B ) X t=(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA(k , q , p)u B2 )
(1−ω1 B )X t−2
(2,2,0) v ( B ) X t=ω0
(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2
Pembobot respon impuls
membangun pola eksponensial
damped atau gelombang sinus
damped yang bergantung pada
sifat dasar dari akar persamaan
polinom
ω2 ( B )=1−ω1 B−ω2 B2=0
Pola eksponensial damped
diperoleh jika akar-akarnya riil
atau jika
(2,2,1) v ( B ) X t=(ω0−ω10−,0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B )
(1−ω1 B−ω21 0−,0 akar persamaan polinom eksponensialatau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2)X t−2
(2,2,2)v ( B ) X t=
(ω0−ω10−, 0akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B−ω2 1 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u B2 )(1−ω1 B−ω2 1 0−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang bergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u B2 )
X t−2
ω11 0−, 0 akar persamaan polinom eksponensial ataugelombang sinus yangbergantung pada nyakelambatan .fikasi model ARIMA (k ,q , p )u2+4 ω2 10−,0 akar persamaan polinomeksponensial atau gelombang sinus yang b ergantung padanyakelambatan . fikasi model ARIMA (k ,q , p)u ≥ 0
dan gelombang sinus damped
jika akar-akarnya bilangan
kompleks atau jika X t dan Y t , t=0 , ± 1, ± 2 ,… dikatakan stasioner gabungan jikaX t dan Y t adalah proses
stasioner dan kovarians silang X t dengan Y t hanya merupakan fungsi atas selisih waktu (t−s)
. Kovarians silang X t dengan Y t didefinisikan oleh γ YX(k )=E ( X t−μx ) ( Y t+k−μy ) dimana μx dan
μy masing-masing rata-rata hitung X t dan Y t , k=0 , ±1 , ± 2,…. Karena γ YX(k ) merupakan
fungsi atas k, maka γ YX(k )=γ YX (k ) dan disebut sebagai fungsi kovarian silang. Jika variansX t
dan Y t masing-masing σ x2 dan σ y
2 maka ρYX (k )=γYX (k )σ x σ y
disebut fungsi korelasi silang yang
merupakan bentuk standarisasi dari fungsi kovarians silang.
Fungsi korelasi silang merupakan formulasi umum dari fungsi autokorelasi karena
γ YX(k )=γ YX (k ). Akan tetapi, fungsi autokorelasi merupakan bentuk simetris, ρX
(k)=ρX(−k ),
sedangkan fungsi korelasi silang tidak simetris, ρXX(k)≠ ρXX(−k). Jika nilai fungsi autokorelasi
sebagai ukuran kekuatan hubungan antar pengamatan maka nilai CCF selain sebagai ukuran
kekuatan hubungan antar variabel maka nilai fungsi korelasi silang sebagai ukuran kekuatan
hubungan antar variabel dan ukuran arah hubungan. Contohnya:
Perhatikan model AR(1) berikut
(1−ϕB ) X t=Z t
|ϕ|<1, Z t : kekeliruan dengan rata-rata 0 dan varians konstan σ 2serta saling bebas, B: operator
backshift
Karena (1−ϕB ) ≠ 0 maka X t=Zt
1−ϕB=Zt +φ Z t−1+φ2 Z t−2+…
Untuk t=t+k maka X t+ k=Z t+k
1−ϕB=Z t+k+φ Z t+k−1+φ2 Z t+k−2+… sehingga kovarians silang Z t
dan X t sama dengan
γ ZX (k )=E (Z t−μZ) ( X t+k−μX )=E ( Z t−E Z t ) ( X t+k−E X t+ k )=E ( Z t X t+k )=E (Z t1
1−ϕBZ t+k )= 1
1−φ2 E (Z t Z t+ k )={( 1−φ2) φk σZ2
1−φ2=φk σZ
2 jika k ≥ 0
0 jika k<0
Karena var (X ¿¿ t )=σ X2=
σZ2
1−φ2 ¿, maka korelasi silang Z t dan X t sama dengan
ρZX ( k )=γ ZX (k )σZ σ K
=√1−φ2
σ Z2 γ ZX (k )={φk √1−φ2 jika k ≥0
0 jika k<0
Dari cara di atas, dapat pula ditunjukkan bahwa korelasi silang Z t dan X t untuk model ARMA
(k,p) univariat merupakan bentuk khusus model fungsi transfer tanpa kekeliruan (noise)
karena Z t dan X t masing-masing deret masukan dan deret keluaran. Model ARMA (k,p)
univariat sebagai berikut X t=ψ p (B )ϕk ( B )
Z t
dimanaψ p (B )=1−ψB−…−ψ p BP ϕk (B )=1−ϕB−…−ϕk Bk
Perhatikan persamaan (**) berikut
Y t=v 0 X t +v1 X t−1+v2 X t−2+…+ηt
untuk t=t+k
Y t+k=v0 X t+k+v1 X t+k −1+v2 X t+ k−2+…+ηt+k
dikalikan X t dengan asumsi μX=μY=0
X t Y t+ k=v 0 X t X t+k+v1 X t X t+ k−1+v2 X t X t+k−2+…+ X t ηt+k
diekspetasikan
E ( X t Y t+k )=v0 E ( X t X t+k )+v1 E ( X t X t+k−1 )+v2 E ( X t X t+k−2 )+…+ E ( X t ηt+ k)
sehingga diperoleh kovarian silang X t dan Y t
γ XY (k )=v0 γ XX (k )+v1 γ XX (k−1 )+v2 γ XX (k−2 )+…
karena var (X )=σ X2 dan var (Y )=σ Y
2 maka korelasi silangnya
ρXY (k )=σ X
σ Y(v0 ρX (k )+v1 ρX (k−1 )+v2 ρX ( k−2 )+… )(ℶ )
Dari persamaan (ℶ)terlihat bahwa ρXY (k )dan v i (nilai fungsi respon impuls) terkotaminasi oleh
struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t ) sehingga jika fungsi transfer v ( B )=ωs (B ) Bb
ωr ( B )
dengan r=0 dan hanya memiliki pembobot respon implus yang banyak berhingga maka
penaksir v iberdasarkan formula persamaan (ℶ) menjadi sulit karena varians-kovarians sampel
untuk menaksir ρXY (k ) juga terkontaminasi oleh struktur autokorelasi dari deret masukan ( X t )
sehingga pengujian keberartian ρXY (k ) dan vk juga menjadi sulit. Jika deret masukan ( X t )
adalah kekeliruan (noise) berarti ρX ( k )=0 untuk k ≠ 0 maka persamaan (ℶ) dapat direduksi
menjadi vk=σY
σ X
ρXY (k ) sehingga pembobot respon impuls, vk , merupakan proporsi langsung
dari korelasi silang ρXY (k ).
Jika sampel data deret waktu bivariat ( x t , y t ) , t=1,2 , …, n maka untuk membangun
model fungsi transfer sampel sebagai berikut:
1. Hitung rata-rata masing-masing variat x=1n∑t=1
n
x t , y=1n∑t=1
n
y t
2. Hitung kovarians silang sampel γ xy (k )={ 1n∑t=1
n−k
( x t−x ) ( y t+ k− y ) , k ≥ 0
1n∑
t=1−k
n
( x t−x ) ( y t+k− y ) , k<0
3. Hitung korelasi sampel ρ xy (k )=γ xy ( k )
√ γ xx (0 ) γ xx (0 )
4. Uji signifikansi korelasi silang berdasarkan rumusan hipotesis H 0 : ρ xy ( k )=0vs
H 1: ρxy (k )≠ 0, yang membandingkan ρ xy (k ) dengan sρxy(k ) (kekeliruan baku). Dengan
asumsi distribusi normal diperoleh
kov ( ρ xy (k ) , ρxy (k+ j ) )≅ 1n−k
∑i=−∞
∞
[ ρxy ( i ) ρ yy (i+ j ) ρ xy ( i+k+ j ) ρ xy ( k−i )
+ρ xy (k ) ρ xy (k+ j ) {ρ xy2 (i )+ 1
2ρ xx
2 (i )+ 12
ρ yy2 (i )}
−ρ xy (k ) {ρ xx ( i ) ρxy ( i+k+ j )+ ρxy (−i ) ρ yy (i+k+ j ) }−ρ xy (k+ j ) {ρ xx (i) ρ xy (i+k )+ ρxy (−i ) ρ yy (i+k ) }]
var ( ρxy (k ) )≅ 1n−k
∑i=−∞
∞
[ ρxx (i ) ρ yy ( i )+ ρxy ( i+k ) ρ xy ( k−i )
+ρ xy2 (k ) {ρ xy
2 (i )+ 12
ρ xx2 ( i )+ 1
2ρ yy
2 (i )}−2 ρ xy (k ) {ρxx ( i ) ρ xy (i+k )+ρ xy (−i ) ρ yy ( i+k ) } ]
Sehingga di bawah H 0 : ρ xy ( k )=0
kov ( ρ xy (k ) , ρxy (k+ j ) )≅ρ yy
n−kdan var ( ρ xy (k ) )≅ 1
n−k
Akibatnya kekeliruan baku ρ xy (k ) , sρxy( k )≅ 1
√n−k. Jika ρ xy (k )<sρxy
(k ) maka ρ xy (k )
tidak signifikan atau ρ xy (k )=0 berarti X t dan Y t tidak berkorelasi. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa proses pemodelan fungsi transfer tidak perlu dilanjutkan dan
analisi dilakukan untuk masing-masing variat menggunakan analisis regresi deret
waktu univariat. Jika ρ xy (k )signifikan maka proses dilanjutkan dengan membangun
model ARMA (k,p) untuk X t , ϕk ( B ) X t=ψ p(B)ε t dan lakukan penaksiran parameter
sehingga diperoleh model taksiran ϕk (B ) X t=ψ p (B)εt
5. Membangun deret pemutih ε t=ϕk ( B )ψ p (B )
X t dan δ t=ϕk ( B )ψ p (B )
Y t
6. Menghitung varians dan korelasi silang deret pemutih : σ ε2 , σδ
2 , ρεδ (k )
7. Menghitung pembobot respon impuls vk=σδ
σ ε
ρεδ (k )
8. Menguji signifikansi vk, jika vk<sρ xy(k ) maka vktidak signifikan atau dianggap vk=0
9. Mengidentifikasi parameter kelambatan dan model polinom
ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s , ωr (B )=1−ω1 B−…−ωr Br
Pola vk atas k unutk menentukan nilai b, r dan s
10. Setelah r dan s ditentukan, lakukan penaksiran parameter ω dan ϖsehingga diperoleh
model polinom sampel
ωs (B )=ω0−ω1 B−…−ωs B s , ϖ r (B )=1−ϖ 1 B−…−ϖr Br
11. Bangun model fungsi transfer sampel v ( B )=ωs ( B )ϖr ( B )
Bb
Setelah model fungsi transfer diperoleh, lakukan identifikasi model kekeliruan ηt berdasarkan
nilai residual ηt= y t−v ( B ) x t= y t−ωs (B )ϖr (B )
Bb x t (¿)
yang telaahnya dapat dilakukan berdasarkan pola ACF dan PACF-nya atau metode lain untuk
mengidntifikasi model regresi deret waktu univarita berdasarkan model ARMA (k,p)
univariat dengan persamaan dengan Z t sebagai noise ϕk (B ) ηt=ψ p ( B ) Z t ¿
Jika persamaan (&) dan (&&) dikombinasikan maka diperoleh model fungsi transfer dengan
persamaan lain Y t=ωs ( B )ωr ( B )
X t−b+ψ p ( B )ϕk (B )
Z t atau
ωr (B )ϕk ( B )Y t=ϕk ( B ) ωs ( B ) X t−b+ωr ( B ) ψ p ( B ) Z t
Jika
Ω ( B )=ωr (B ) ϕk ( B )=(1−ω1 B−…−ωr B r ) (1−ϕ1 B−…−ϕk Bk )=1−Ω1 B−…−Ωr+k Br+k
Φ ( B )=ϕk ( B ) ωs ( B )=(1−ϕ1 B−…−ϕk Bk )(ω0−ω1 B−…−ωs B s )=Φ0−Φ1 B−…−Φk +s Bk+s
Ψ ( B )=ωr (B )ψ p (B )=(1−ω1 B−…−ωr Br ) (1−ψ1 B−…−ψ p Bp )=1−Ψ 1 B−…−ψr+p Br+p
maka secara simultan
Ω ( B )Y t=Φ (B ) X t−b+Ψ (B ) Z t
↔ (1−Ω1 B−…−Ωr+k B r+ k )Y t=(Φ0−Φ1 B−…−Φk+s Bk+ s ) X t−b
+(1−Ψ 1 B−…−ψr+p Br+p )Z t ($ )
yang merupakan persamaan regresi multivariat Y t atas X t−b dan Z t
Z t=(1−Ω1 B−…−Ωr+k Br+k )Y t−(Φ0−Φ1 B−…−Φk +s Bk+s ) X t−b
−(−Ψ 1 B−…−ψr+p B r+p ) Z t
¿Y t−Ω1 Y t−1−Ωr+ k Y t−r−k−Φ0 X t−b−Φ1 X t−b−1−Φk+s X t−b−k−s+Ψ 1 Z t−1
+ψr+p Z t−r−p
Karena Z tkekeliruan yang diasumsikan berdistribusi identik idependen N (0 , σ Z2 ), penaksiran
parameter Ωi , Φ j , Ψ l dilakukan metode kemungkinan maksimum yang prosesnya sebagai
berikut
1. Bangun fungsi distribusi dari Z t : f (Z t , σZ2 )= 1
√2 π σZ2
exp ( −12 σZ
2 Z t2)
2. Bangun fungsi kemungkinan dari Z tuntuk t=1,2 , …, n
f (Ω ,Φ ,Ψ ,σ Z2 )=∏
t=1
n
f (Z t ,σ Z2 )= 1
√ (2 π σZ2 )n
exp( −12 σZ
2 ∑t=1
n
Z t2)
dengan Ω=(Ω0 , Ω1, .. . ,Ωr+ k ) ,Φ=(Φ0 ,Φ1 , .. . ,Φk+ s ) ,Ψ =(Ψ 1 , Ψ 2 ,.. . ,Ψ r+ p )
3. Logaritmakan fungsi kemungkinan
L=ln (Ω , Φ, Ψ , σZ2 )=−1
2n ln (2π )−1
2n ln (¿¿σZ
2)− 12 σZ
2 ∑t=1
n
Z t2 ¿¿
4. Lakukan perhitungan differensial pada L
∂ L∂ Ωi
=0 ,i=1,2, …, r+k∂ L
∂ Φ j
=0 , j=1,2 , …, k+s
∂ L∂ Ψ l
=0 , i=1,2, …, r+ p∂ L
∂ σZ2=0
Yang menghasilkan sistem persamaan tidak linier atas
(r+k )+(k+s)+(r+ p )+1=2 r+2 k+s+ p+1 buah persamaan sehingga penyelesaiaanya
harus menggunakan metode itersi dengan jawaban awal x0 , y0 , z0yang memenuhi
persamaan ($). Proses penyelesaian sisteem persamaan ini hamper sama dengan cara
penaksiran parameter pada model ARIMA (k+s ,r+k ,r+ p) di bawah asumsi noise
berdistribusi N (0 , σ Z2 ) .
Setelah penaksiran parameter model fungsi transfer dilakukan selanjutnya adalah
menelaah kecocokan model fungsi transfer berdasarkan sampel data deret waktu bivariat
( x t , y t ) yang telah digunakan untuk membangun fungsi transfer tersebut. Hal ini diperlukan
untuk mendapatkan nilai ramalan data deret waktu yang akan datang dengan varians yang
kecil. Telaahannya dapat dilakukan berdasarkan rata-rata hitung kuadrat kekeliruan ramalan
(MSE). Model ramalan dipilih jika MSE-nya paling kecil.
Perhatikan sampel data deret waktu stasioner ( x t , y t ) , t=1,2 , …, n yang memiliki model
fungsi transfer stabil dengan persamaan
y t=ωs ( B )ωr ( B )
Bb xt +ψ p ( B )ϕk (B )
zt(¿)
z t: noise dengan rata-rata hitung 0 dan varians konstan σ Z2
x t : mengikuti model ϕk (B ) x t=ψ p (B ) ε t
ε t: noise dengan rata-rata hitung 0, varians konstan σ ε2dan saling bebas dengan z t
ωs (B ) , ωr (B ) ,ψ p (B ) , ϕk (B )masing-masing fungsi polinom berhingga atas operator backshift B
dengan akar-akar persamaan ωs (B )=ωr (B )=ψ p ( B )=ϕk ( B )=0 masing-masing merupakan
titik-titik di luar lingkaran satuan ωi , ϖ j ,ψ l , ϕh≥ 1. Jika
U ( B )=ωs ( B ) ψ p ( B )ωr (B ) ϕk ( B )
Bb=U 0+U 1 B+U 2 B2+… dan V (B )=ψ p ( B )ϕk (B )
=1+V 1 B+V 2 B2+… maka
persamaan (#) berubah menjadi y t=U (B ) εt+V (B ) zt=∑i=0
∞
U i εt−i+¿∑i=0
∞
V i zt−i ,V 0=1¿
sehingga y t+h=∑i=0
∞
U i εt+h−i+¿∑i=0
∞
V i z t+h−i ,V 0=1¿.
Jika ui , v j; i= j=1,2 , … masing-masing penaksir untuk U i , V j ; i= j=1,2, … maka nilai
ramalan dari y t+hadalah y t (h )=∑i=0
∞
uh+i εt−i+¿∑i=0
∞
vh+i zt−i ,¿ dan nilai residunya
rt (h)= y t+h− y t (h )=∑i=0
∞
U i εt+h−i+¿∑i=0
∞
V i zt+h−i−¿∑i=0
∞
uh+i εt−i−¿∑i=0
∞
vh+i zt−i ¿¿¿
¿∑i=0
h−1
U i εt+h−i+¿∑i=0
h−1
V i zt+h−i−¿∑i=0
∞
(uh+i−U h+i ) εt−i−¿∑i=0
∞
(v h+i−V h+i ) zt−i¿¿¿
Sehingga MSE-nya sama dengan
E {rt (h)}2=E ¿¿
¿σ ε2∑
i=0
h−1
U i2+σ z
2∑i=0
h−1
V i2+σ ε
2∑i=0
∞
(uh+i−U h+i )2+¿σ z
2∑i=0
∞
( vh+i−V h+i )2 ¿
dan akan bernilai minimum jika σ ε2∑
i=0
∞
(uh+ i−U h+ i )2=¿σ z
2∑i=0
∞
(vh+i−V h+i )2=0¿ atau
uh+i=Uh+i dan vh+i=V h+i. Jadi, MSE y t (h )adalah ramalan y t+h dengan waktu awal t yang
merupakan ekspetasi bersyarat dari y t+h pada t=T . Karena E { y t+h− y t (h ) }=0 maka y t (h )
ramalan takbias untuk y t+h dan merupakan ramalan terbaik jika variansnya sam dengan
σ ε2∑
i=0
h−1
U i2+σ z
2∑i=0
h−1
V i2. Jika deret masukkan dan keluaran merupakan data stasioner maka
ramalan fungsi transfer memiliki ciri takbias dan bervarians minimum. Pada dasarnya jika
tidak stasioner pada salah satu atau kedua deretnya sama dengan analisis regresi deret waktu
univariat yaitu melakukan transformasi stasioneritas melalui proses ARIMA (k,d,p).
Misalkan ( x t , y t ) sampel data deret waktu tidak stasioner yang dapat distasionerkan
melalui transformasi X t=(1−B)d xt dan Y t=(1−B)d y t dengan model fungsi transfernya
Y t=ω (B )δ ( B )
Bb X t+θ ( B )ϕ (B )
Z t
dengan X t mengikuti model ϕ (B )ω (B )=θ (B )e t, serta ω ( B ) , δ ( B ) ,θ ( B ) , ϕ ( B )fungsi-fungsi
polinom Z t dan e tnoise. Karena formulasi ini merupakan fungsi transfer dari deret masukan
dan keluaran yang stasioner maka ramalan untuk Y t+h adalah
Y t (h )=∑i=0
∞
uh+i et−i+¿∑i=0
∞
vh+i Zt−i¿
dengan ui , v j; i= j=1,2 , … masing-masing penaksir untuk U i , V j ; i= j=1,2, … yaitu koefisien
dari fungsi polinom ω ( B )θ ( B )δ ( B ) ϕ ( B )
Bb=U 0+U 1 B+U 2 B2+… dan
V (B )=θ ( B )ϕ ( B )
=1+V 1 B+V 2 B2+…
DAFTAR PUSTAKA
Mulyana. 2004. Buku Ajar Analisis Deret Waktu. (Online), (http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CDQQFjAA&url=http%3A%2F%2Fresources.unpad.ac.id%2Funpad-content%2Fuploads%2Fpublikasi_dosen%2FANALISIS%2520DATA%2520DERET%2520WAKTU.PDF&ei=51aHUePsFsPtrQfJg4GYDg&usg=AFQjCNG33tOv_4rfIIqIjl2fHqp1tS0DUw&sig2=oiQnWjLG0dU4m5SYXJo1eQ&bvm=bv.45960087,d.bmk diakses 7 Mei 2013)
Top Related