Download - Fungsi phi dan teorema euler

Transcript
Page 1: Fungsi phi dan teorema euler

DEFINISI 1 (SISTEM RESIDU)

Sistem residu sederhana modulo m adalah himpunan semua bilangan bulat positif ri yang memenuhi (ri,m)=1 dengan ri ≠ rj(mod m) untuk i≠ j.

Contoh:{0,1,2,3,4,5,6,7,8} adalah himpunan semua residu terkecil modulo 9. Jika dipilih elemen yang saling prima dengan 9 maka diperoleh {1,2,4,5,7,8}, maka himpunan terakhir ini disebut sebagai sistem residu sederhana modulo 9

Page 2: Fungsi phi dan teorema euler

DEFINISI 2 (FUNGSI EULER)⌽

Misalkan m suatu bilangan bulat positif, maka (m) menyatakan banyaknya ⌽elemen dari himpunan residu sederhana modulo m.

Contoh:Himpunan residu sederhana modulo 30 adalah {1,7,11,13,17,19,23,29}. Banyaknya elemen dari himpunan ini adalah 8, maka dikatakan bahwa (30)=8.⌽

Page 3: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 1

Bukti:

Pecah bilangan-bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk, maka bilangan-bilangan tersebut adalah kelipatan-kelipatan dari p

{p, 2p, 3p, 4p, … , pk-1 p} = pk

Dari himpunan di atas diperoleh bahwa banyaknya bilangan bulat positif yang tidak lebih besar dan tidak saling prima terhadap pk adalah sebanyak pk-1 buah.

Berdasarkan pernyataan di atas diperoleh bahwa

⌽(pk)= pk – pk-1

= pk-1 . p – pk-1

= pk-1 (p-1)

Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (p⌽ k)=pk-1(p-1)

Page 4: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:Kita akan menentukan banyaknya elemen residu sederhana dari 32.32= 25 Maka (2⌽ 5)= 25-1 (2-1) =16Sistem residu sederhana dari 16 adalah {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31), ada sebanyak 16 elemen.

Page 5: Fungsi phi dan teorema euler

DEFINISI 3 (FUNGSI GANDA)

Suatu fungsi f didefinisikan pada himpunan semua bilangan bulat positif disebut fungsi ganda apabila untuk setiap bilangan-bilangan bulat positif m dan n (mn) = 1 maka f(m,n) = f(m) f(n)

Contoh:Misalkan f(n)= n2, untuk setiap bilangan asli n. Untuk sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1, maka f(mn)= (mn)2 = f(m) f(n). Sehingga fungsi f tersebut adalah fungsi ganda.

Page 6: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 2Fungsi-fungsi τ dan σ keduanya adalah fungsi ganda.

Bukti:

Ambil sembarang bilangan asli m dan n dengan (m,n)=1.

Misalkan bentuk-bentuk kanonik

Karena (m,n)=1, maka factor-faktor prima pi dan qi tidak ada yang sama,

sehingga bentuk kanonik dari hasil kali

dengan demikian

Jadi, τ(mn) adalah fungsi ganda

Page 7: Fungsi phi dan teorema euler

Selanjutnya,

=σ(m) σ(n)

Jadi, σ adalah fungsi ganda.

Dari kedua penjelasan di atas jelas bahwa τ dan σ adalah fungsi ganda.

Page 8: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:Misal m=6 dan n =5Apakah τ(mn) fungsi ganda?Apakah σ(mn) fungsi ganda?

Penyelesaian:τ(6)=4, yaitu 1,2,3,6τ(5)=2, yaitu 1,5τ(6.5)=4.2τ(30)=8

Faktor-faktor bulat positif dari 30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30. Faktor dari 30 tersebut ada sebanyak 8.Selanjutnya σ(6)= 1+2+3+6=12 dan σ(5)=1+5=6σ(6.5)=12.6σ(30)=72σ(30)=1+2+3+5+6+10+15+10=72

Page 9: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 3

Bukti:Misal residu dari r1, r2, r3, … , rm adalah A={0,1,2,3,…,m}. Berdasarkan definisi 1, sistem residu sederhana dari r1, r2, r3, … , rm adalah ∀a∊A, (a,m)=1.Selanjutnya, dari definisi 2 banyaknya elemen residu sederhana mod m dinyatakan dengan (m). ⏀Dari pernyataan tersebut jelas bahwa jumlah suku yang saling prima dengan m ada sebanyak (m) buah.⏀

Apabila p suatu bilangan prima da k suatu bilangan bulat positif, maka (p⌽ k)=pk-1(p-1)

Page 10: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:Residu terkecil modulo 11 adalah {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Sistem residu sederhana dari 11 adalah {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, maka jumlah elemen residu sederhana tersebut adalah 10 dan dinyatakan dengan (11)=10⏀

Page 11: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 4Fungsi adalah fungsi ganda⏀

Bukti:Diambil sembarang bilangan-bilangan bulat positif m dan n dengan (m,n) = 1Kita susun semua bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan mn menjadi m baris dan n kolom sebagai berikut:1 m + 1 2m +1 … (n-1)m + 12 m + 2 2m + 2 … (n-1)m + 23 m +3 2m + 3 … (n-1)m + 3. . . . .. . . . .. . . . .r m + r 2m + r … (n-1)m +r. . . . .. . . . .. . . . .m 2m 3m … mn

Page 12: Fungsi phi dan teorema euler

Perhatikan kolom pertama, yaitu 1, 2 ,3, … , m. dalam barisan ini ada (m) bilangan ⏀yang saling prima dengan m. Setiap bilangan pada baris ke-r memenuhi km + r ≡ r(mod m). Jika (m,r)=d, maka (km + r, m) = 1 pula. Jadi jika m dan r saling prima, maka setiap bilangan pada baris ke-r semuanya saling prima dengan m. karena pada kolom pertama ada (m) bilangan yang saling prima dengan m, maka ada (m) baris ⏀ ⏀yang setiap elemennya saling prima dengan m. Nah, sekarang bilangan-bilangan pada

(m) baris tersebut, berapakah yang saling prima dengan m.⏀Misalkan (r,m) =1 dan perhatikan bilangan-bilangan pada baris ke-r, yaitu r, m + r, 2m + r, 3m + r, …, (n-1)m +r. Jelas bahwa pada baris ini tidak ada dua bilangan yang kongruen modulo n, sebab jika ada dua bilangan yang kongruen mod n, misalnya, sm + r ≡ t m + r (mod n) dengan 0≤s, t<nsm ≡ t m (mod n)s ≡ t (mod n), sebab (m,n)=1Karena 0≤s, t<n dan 0≤t<1 serta s ≡ t (mod n), maka s=t. Berarti dua bilangan tersebut sama. Jadi pada baris ke-r tidak ada bilangan-bilangan yang kongruen mod n. Sehingga residu-residu terkecil mod n dari bilangan-bilangan pada baris ke-r adalah suatu permutasi dari 0, 1, 2 ,3, …, n-1. Bilangan-bilangan ini mempunyai f(n) bilangan yang saling prima dengan n, maka ada f(m) (n) bilangan yang saling prima dengan m ⏀maupun dengan n. Mengingat suatu bilangan yang saling prima dengan m maupun n, maka bilangan itu saling prima dengan mn pula. Sehingga disimpulkan bahwa

(mn)= (m) (n)⏀ ⏀ ⏀

Page 13: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:⏀(6)=2 dan (5)=4, maka (30)= (6) ⏀ ⏀ ⏀

(5)=2.4=8⏀Sedangkan himpunan residu sederhana modulo 30 adalah {1,7,11,17,19,23,29}, maka banyaknya elemen dari himpunan ini adalah 8, yaitu

(30)=8.⏀

Page 14: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 5Jika n suatu billangan bulat psitif yang mempunyai bentuk kanonik , maka

⏀(n) = atau (n) ⏀=

Bukti:

n = dengan pi adalah bilangan-bilangan

prima yang berbeda untuk i=1, 2, …, k.

⏀(n) = ( )⏀=

=

Selanjutnya, akan mudah dibuktikan bahwa:

Page 15: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:360= 23. 22.5 , maka (360)= (2⏀ ⏀ 3. 22.5)= (2⏀ 3)

(2⏀ 2) (5)= 2⏀ 2(2-1)3(3-1)(5-1)=96

Page 16: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 6. Untuk setiap bilangan bulat positif n>2, maka (n) suatu ⏀bilangan genap. 

Bukti:

Misalkan n= 2k dengan k>2, maka (n) = (2⏀ ⏀ k) = 2k-1(2-1) = 2k-1

Nampak di sini bahwa (2⏀ k)suatu bilangan genap.

Sekarang ambil sembarang bilangan bulat positif n>2. Apbila n suatu bilangan prima, maka n prima ganjil sehingga (n)= n-1.⏀Jadi (n) bilangan genap. Dan apabila n suatuu bilangan komposit, ⏀maka n mempunyai factor prima ganjil p, misalnya n = pkm dengan (pk,m)=1 sehingga (n)= (p⏀ ⏀ km)= (p⏀ k) (m)= p⏀ k-1(p-1) (m)⏀Karena p bilangan prima ganjil, maka p-1 suatu bilangan genap, sehingga

pk-1(p-1) (m) suatu bilangan prima pula.⏀Jadi (n) suatu bilanngan genap.⏀

Page 17: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:Semua faktor bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan 12. tiap faktor ini dicari nilai nya, yaitu ⏀

(1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (6)=2 dan ⏀ ⏀ ⏀ ⏀ ⏀(12)=4.⏀

Terlihat jelas bahwa faktor yang lebih besar dari 2 nya adalah bilangan genap.⏀

Page 18: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 7Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka

Bukti:

Perhatikan bilangan-bilangan bulat positif: 1, 2, 3 ,4, …, n.

Kita akan meletakkan bilangan-bilangan ini dalam himpunan-himpunan

dengan t|n, yaitu bilangan-bilangan itu yang dengan n, factor persekutuan

terbesarnya sama dengan t.

Dengan kata lain, m ∊ Ct jika dan hanya jika (m,n)=t.

Sedangkan (m,n)=t jika dan hanya jika

Menurut definisi fungsi Euler, banyaknya elemen dari C⏀ t adalah . ⏀

Maka banyaknya elemen dari semua gabungan himpunan Ct adalah .

Mengingat setiap bilangan 1, 2, 3, …, n hanya terdapat dalam tepat satu

himpunan dari Ct, maka

Page 19: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:

1,2,4,5,7,8 masing-masing adalah residu yang saling prima dengan 9. Apabila setiap bilangan tersebbut dikalikan 10 didapat 10,20,40,50,70,80.Selanjutnya, jika dari bilangan-bilangan tersebut dicari residu terkecil modulo 9 maka diperoleh:10≡1(mod9)20 ≡2(mod9)40≡4(mod9)50≡5(mod9)70≡7(mod9)80≡8(mod9)Jika ruas-ruas dari kekongruenan ini dikalikan, kita akan memperoleh 10.2040.50.70.80 ≡1.2.4.5.7.8(mod9)106 (1.2.4.5.7.8) ≡1.2.4.5.7.8(mod9)106 ≡1(mod9)

Page 20: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 8Jika (a,m)=1 dan r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah bilangan-bilangan bulat positif

yang kurang dari m dan masing-masing saling prima denngan m, maka

residu-residu terkecil mod m dari bilangan-bilangan ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀

adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, …, ar (m).⏀

Bukti:

⏀(m) adalah banyaknya elemen dari himpunan {ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀ }.

Untuk membuktikan bahwa residu-residu terkcil dari {ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀ }

………..(1) adalah suatu permutasi dari r1, r2, r3, …, r (m)⏀ , kita harus

menunjukkan bahwa ari≢arj (mod m) untuk 1≤I,j≤ (m) dengan i≠j serta ⏀masing-masing harus ditunjukkan saling prima dengan m.

Misalkan ari≢arj (mod m) untuk 1≤I,j≤ (m) dengan i≠j. Karena (a,m)=1, ⏀maka kita dapat melenyapkan a dari kekongruenan itu, sehingga diperoleh

ri≢rj(mod m). Dan karena ri dan rj masing-masing residu-residu terkecil mod

m, maka ri≠ rj.

Jadi jika ari≢arj (mod m), maka ri ≠ rj. sehingga kontraposisinya benar pula

bahwa jika ri = rj maka ari ≡ arj (mod m) hal ini berarti bahwa bilangan-

bilangan pada (1) tidak ada yang kongruen mod m.

Page 21: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:

1,3,5,7 masing-masing saling prima dengan 8 dan (8)=4, ⏀maka 9.1, 9.3, 9.5, 9.7 masing-masing mempunyai residu terkecil modulo 8 dengan tepat satu dari 1,3,5,7, karena (8,9)=1. hal ini diperiksa sebagai berikut:9.1≡1(mod 8), 9.3≡3(mod 8), 9.5≡5(mod 8), 9.7≡7(mod 8)

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ar1, ar2, ar3, …, ar (m)⏀

masing-masing prima dengan m. Andaikan ada suatu bilangan

prima p yang merupakan factor persekutuan dari arid an m maka

p|arid an p|m. P|arid an p suatu bilangan prima, maka p|a atau p|ri.

Jadi p merupakan factor prsekutuan dari a, ri, dan m. hal ini

tidak mungkin, karena (a,m) + (m, ri) =1. Jadi (ari, m) =1 untuk

1≤I,j≤ (m). ⏀

Page 22: Fungsi phi dan teorema euler

TEOREMA 9

Jika m suatu bilangan bulat positif dan (a,m) =1, maka a (m)⏀ ≡ 1(mod m)

 Bukti:

Misalkan r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah bilangan-bilangan bulat positif yang kurang dari m dan masing-masing prima dengan m. menurut teorema 8, karena (a,m)=1, maka residu-residu terkeci modulo m dari r1, r2, r3, …, r (m)⏀ adalah suatu permutasi r1, r2, r3, …, r (m)⏀ . Sehingga diperoleh (ar1) (r2) (r3) … (r (m)⏀ )≡ r1r2r3 …r (m)⏀

ar (m)⏀ = [(ar1) (r2) (r3) … (r (m)⏀ )]≡ r1, r2, r3, …, r (m)⏀

Karena r1, r2, r3, …, r (m)⏀ masing-masing saling prima dengan m, maka hasil kali bilangan-bilangan itu saling prima dengan m. Sehingga kita dapat menyelenggarakan r1r2r3 …r (m)⏀ dari kekongruenan terakhir dan diperoleh a (m)⏀ ≡ 1(mod m)

Page 23: Fungsi phi dan teorema euler

Contoh:⏀(8)=4, 3 (8)⏀ = 34 =81≡1(mod 8), sebab (3,8)=1. Tetapi 2 (8)⏀ = 24 =16≢1(mod 8), sebab (2,8)≠1.

Page 24: Fungsi phi dan teorema euler

TERIMA KASIH ATAS PERHATIANNYA