Download - Fungsi Gamma

Transcript
Page 1: Fungsi Gamma

Fungsi Gamma

Pengantar Matematika

Teknik Kimia

Muthia Elma

Page 2: Fungsi Gamma

Fungsi Gamma

DefenisiDefenisi• Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya

disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut

• Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untukmembantu menyelesaikan integral-integral khusus yang sulit dalam pemecahannya dan banyak digunakan dalammenyelesaikan permasalahan di bidang fisika maupunteknik.

• Pada dasarnya dapat didefinisikan pada bidang real dan

kompleks dengan beberapa syarat tertentu.

Page 3: Fungsi Gamma

Tujuan

• Untuk mengklarifikasi sifat-sifat

dasar fungsi Gamma tersebut agar

mudah difahami dan mudah

diaplikasikan di bidang matematika

atau lainnya.

Page 4: Fungsi Gamma

• Fungsi gamma dinyatakan oleh Γ (x)

yang didefenisikan sebagai

• ……..(1)

• x & r adalah bilangan real

• Rumus ini merupakan integral yang

konvergen untuk x>0

Page 5: Fungsi Gamma

• Rumus rekursif dari fungsi gamma

• ……(2)

• Persamaan (2) harga Γ(x) bisa

ditentukan untuk semua x>0 bila

nilai-nilai untuk 1 x 2

Page 6: Fungsi Gamma

• Jika x adalah bilangan bulat maka;

Γ(x+1) = x!

Page 7: Fungsi Gamma
Page 8: Fungsi Gamma

• Jika dikombinasikan persamaan (1)

& (2), untuk x<0 diperoleh bentuk

• ……(3)

Page 9: Fungsi Gamma

Sifat dasar Fungsi Gamma Real

• Γ(x) tidak terdefenisi untuk setiap

x=0 atau bilangan bulat negatif

Bukti

Dari pers (1) dengan x=0, diperoleh;

Page 10: Fungsi Gamma

• Bukti tersebut merupakan integral

divergen sehingga Γ(0) tidak

terdefenisi

Page 11: Fungsi Gamma

• Untuk x=n bilangan bulat negatifdan dengan mensubtitusikan x kedalam persamaan (3), diperoleh:

• Karena Γ(0) tidak terdefenisi, makaΓ(n) tidak terdefenisi pula untuk n bilangan bulat negatif

Page 12: Fungsi Gamma

Grafik fungsi gamma

Page 13: Fungsi Gamma

Bentuk nyata Γ(z) Bentuk imaginer Γ(z)

Page 14: Fungsi Gamma

• Jika n besar dan berupa bilangan

bulat maka ditulis:

• Bentuk ini dinamakan aproksimasi

faktorial Stirling

Page 15: Fungsi Gamma

Fungsi gamma bilangan kompleks

Notasi yang digunakan:• G(z) = log Γ(z)

• z=x+iy dengan x, y bil real dan I imaginer

• O(y-n) menyatakan suku sisa pada deret Taylor

atau galat pemotongan yang mempunyai orde n

• Re(z) = Re(x+iy) = x

• Ωa adalah setengah bidang kompleks dengan

Re z > a

• F(z) = u (x,y) + iv (x,y) dengan u dan v masing-

masing bagian real dan kompleks dari f

Page 16: Fungsi Gamma

• Sifat 1

Page 17: Fungsi Gamma

Diketahui dua rumus Stirling berikut (Ahern, 1996)

…………………(4)

dengan z 0 dan bukan bilangan real negatif. Kedua berbentuk

integral parsial

…………………(5)

Page 18: Fungsi Gamma

Menurut Ahern (1996)

• Jika y maka integral terakhir inimenurut Chapra dan Canale (1988) dapat dinyatakan dengan O( y-3), yaitu suatu sisa pembulatan dankarena semakin mengecil, makadapat diabaikan.

• Jika 2x -1 0 , untuk x tertentu dany besar,

Page 19: Fungsi Gamma

Maka…..

dan bernilai negatif bilamana x < 1/ 2 .

Akibatnya Re(G''(x + iy))< 0 untuk x < 1/ 2

Jadi pernyataan (ii) terbukti.

Page 20: Fungsi Gamma

Untuk membuktikan pernyataan (i), kita gunakan log agar

dapat mengidentifikasi terlebih dahulu bentuk

• Atau

……..(6)

Page 21: Fungsi Gamma

• Dari persamaan (5) menunjukkan bahwa

G’’ terbatas dalam Ωδ untuk setiap δ > 0

• Harga fungsi harmonik bentuk

persamaan (6) terbatas pada domain

setengah bidang, oleh sebab itu untuk

setiap harga x > 1/2 dan y real berlaku

Re(G''(1/ 2 + iy))> 0.

• Jadi pernyataan (i) terbukti.

Page 22: Fungsi Gamma

Sifat 2

Bukti (i):

• Diberikan u dan v masing-masing adalahbagian real dan imaginer dari G = logΓ,

maka v = arg(G) .

• Syarat perlu agar f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analitikdalam suatu daerah di bidang komplek adalahharus memenuhi persamaan Cauchy-Riemann(Sardi, 1989), yaitu x y u = v .

Page 23: Fungsi Gamma

Oleh sebab itu berlaku vxy = uxx > 0 dalam Ω1/ 2

(menurut sifat 1)

• Berarti

Page 24: Fungsi Gamma

Bukti ii

• Jika 1- a > 1/ 2 dan (i) diberlakukan

pada persamaan (7), maka

diperoleh arctan[cot(πa) tanh(πy)],

yang merupakan sebuah fungsi y

yang monoton naik jika 0 < a < 1/ 2

……….(7)

Page 25: Fungsi Gamma

Sifat 3

Page 26: Fungsi Gamma

Bukti (i)

Page 27: Fungsi Gamma

Bukti (ii)

Page 28: Fungsi Gamma

Pada ruas kanan persamaan (9) adalah fungsi naik pada

y 2, jika x > 0. Untuk harga x tertentu akan mencapai

minimum, bila y = 0. Jika kita turunkan persamaan (10),

maka diperoleh :

Page 29: Fungsi Gamma

Kesimpulan

• Fungsi Gamma Γ(x) dari bilangan real x

adalah konvergen untuk x > 0 dan

divergen untuk harga-harga x nol atau

bilangan bulat negatif.

• Fungsi Gamma dalam bidang kompleks

Γ(z)menyatakan bahwa perbandingan

antara turunan pertama fungsi Gamma

dan fungsi tersebut adalah univalen

dalam setengah bidang sisi kanan serta

modulusnya tidak lebih dari π / 2 .

Page 30: Fungsi Gamma

Fungsi Beta

Sehingga :

B (x,y) = B(y,x)

0,0;)1(),(1

1

0

1 >>−= −−

∫ yxdtttyxByx

)(

)()(),(

yx

yxyxB

ΓΓ=

Page 31: Fungsi Gamma

• Jika x dan y di pandang sebagai

koordinat di dalam sistem koordinat

cartesius serta mentransformasikan

ke dalam sistem koordinat polar

dengan :

θ

θ

θ

drmenjadidxdy

ry

rx

2

2

1

sin

cos

=

=

Page 32: Fungsi Gamma

Persamaan sebelumnya menjadi:

)1,1B(m)!1(!!

sincos2)!1(!!

sincos22lim!!

2

1

0

1212

2

1

0

1212

0

322

0

2

++++=

++=

=

∫∫

++

++++−

∞→

nnmnm

dnmnm

ddrrenm

nm

nm

a

nmr

π

π

θθθ

θθθ

betafungsinm

nmnmB

dnmB

dengan

nm

)!1(

!!)1,1(

sincos2)1,1(

2

0

1212

→++

=++

=++ ∫++

π

θθθ

Page 33: Fungsi Gamma

Jadi…..

)(

)()(),(

)1,1()1,1(

nm

nmnmB

nmBmnB

ΓΓ=

++=++