Download - Fisika Kelas Xi Kinematika Dengan Analisis Vektor

8/11/2019 Fisika Kelas Xi Kinematika Dengan Analisis Vektor

1/45

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd.

FISIKA KELAS XI


BAB 1KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

MOBIL BERGERAK DI JALAN RAYA MEMILIKI KECEPATAN YANGBESARNYA DAPAT DITENTUKAN SEBAGAI KELAJUAN SEDANGKAN

ARAHNYA SELALU BERUBAH-UBAH. SELANG BEBERAPA WAKTULAMANYA MOBIL SUDAH BERUBAH POSISINYA. TERKADANGMOBIL SELAMA PERJALANANNYA HARUS MENAMBAH ATAUMENGURANGI KECEPATANNYA . PERUBAHAN KECEPATAN TIAP

SATUAN WAKTU DINAMAKAN PERCEPATAN. DALAM KINEMATIKAMEMBAHAS POSISI, KECEPATAN, MAUPUN PERCEPATAN SUATUBENDA TANPA MEMPERHATIKAN GAYA-GAYA YANG BEKERJA PADABENDA.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1


2/45


BAB 1

KINEMATIKA

DENGAN ANALISIS VEKTOR


Kompetensi Dasar

Dapat menganalisis gerak lurus, gerakmelingkar dan gerak parabola denganmenggunakan vektor

Pesawat tempur bergerak di angkasa dengan kecepatan 100 km/jam.Ketika pesawat meluncurkan rudal dengan kecepatan 120 km/jam.Semua kecepatan diukur terhadap tanah. Berarti kecepatan rudal 20km/jam terhadap pesawat. Baik rudal maupun pesawat dikatakanbergerak karena posisinya selalu berubah. amun tidak demikiandengan kendaraan Buldoser yang tengah meratakan tanah namunrodanya tidak pernah bergeser. Buldoser tidak dapat disebut

bergerak pada saat itu karena posisinyaselalu tetap. Buldoserdikatakan bergerak jika sudah bergeser meninggalkan tempat itu.!pakah kamu yang sedang duduk sambil menulis dikatakanbergerak" #arilah kita memperdalam pemahaman tentang gerakatau dalam cabang $isika yang disebut dengan kinematika.


3/45

Menganalisis geraklurusmenurutbesaran-besarankinematisnyamenggunakan notasivektor.Menganali

sis gerakparabolamenurutbesaran-besarankinematisnyamenggunakan notasivektor.Menganalisis gerakmelingkarmenurutbesaran-besarankinematisnyamenggunakan notasivektor.


A. Posisi Ke!epatan dan Per!epatan Partike" pada Gerak L#r#s

Amatilah gerakan mobil balap yang sedangberjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan bergerak

Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat semula

Bagaimana kedudukan mobil terhadap sopirnya

Bagaimana kedudukan sebuah mobil terhadap mobil lain

yang berada di sekitarnya emua permasalahan tersebut

menuntut adanya penjelasan tentang gerak mobil.

"inematika, sebagai #abang dari $isika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa

memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang

dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. %ada kajian ini hanya

dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap suatu titik

a#uan, yang sering disebut dengan perpindahan. &uga pada kajian ini dibahas segala

permasalahan gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.

1. Posisi Partike" pada S#at# Bidan$%ada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, ke#epatan dan

per#epatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel yang

bergerak dua dimensi pada suatu bidang. 'leh karena gerak benda dipandang dalam dua

dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu )* dan vektor

satuan j (sumbu y*. +ntuk memahami berbagai hal seperti tersebut di atas, dapat

diilustrasikan seperti berikut ini. uatu ketika ada seorang pelaut sedang berlayar di

tengah laut yang luas. &ika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka langkah

pertama yang dia lakukan adalah menganalisis kedudukan aal dan kedudukan akhirnya.

ebih jelasnya adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu berada di kota B. +ntuk

men#apai kota A, ia harus berlayar / km ke utara, dan dilanjutkan 0/ km ke timur, maka

posisi atau kedudukan dari kota A, telah terde$inisikan dengan jelas terhadap kota B


Mobil balap $ormula 1


4/45


sebagai titik a#uan. anpa kerangka a#uan, atau penentuan posisi aal yang dijadikan

a#uan, maka pengertian perpindahan akan sulit dipahami.

aat pilot pesaat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia

akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara. %ilot akan mengin$ormasikan

kedudukan pesaat tersebut terhadap bandara dan ke#epatan pesaat serta berbagai hal

yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya in$ormasi dari pilot

tersebut, petugas menara akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesaat.

Dengan demikian, in$ormasi tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti pada

keadaan ilustrasi tersebut, sangat diperlukan.

%ada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah

koordinat. ebuah koordinat memiliki suatu titik a#uan, atau suatu kerangka a#uan.

Berdasarkan kerangka a#uan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik

dalam koordinat tersebut. Data baha pesaat berada pada jarak 2/ km akan tidak

bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik a#uannya. amun angka 2/ km akan

menjadi in$ormasi penting jika dikatakan, baha pesaat berada 2/ km sebelah timur

dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya

menempatkan koordinat (/,/* sebagai pusat a#uannya. Misalkan dalam koordinat

kartesius titik A berada pada koordinat (2,*, dan titik B pada koordinat (-2,0*.

&ika digambarkan titik (/,/* yang dijadikan sebagai titik a#uan, maka titik A dan B

dapat digambarkan sebagai berikut 3

elain menggunakan gra$ik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan

dengan menggunakan gra$ik koordinat polar (r , 4*. Di mana r adalah jarak suatu titik ke

pusat koordinat, dan 4 adalah sudut dari sumbu ) positi$ dalam koordinat kartesius

menuju titik materi dengan arah berlaanan arah jarum jam. 5ubungan antara koordinat

kartesius dan koordinat polar adalah 3


6ambar 236ra$ik kartesius yang menggambarkankoordinat A (2,* dan B (-2,0*

6ambar 13%esaat yang akan mendarat selalu melaporkan

posisinya kepada petugas menaraAgar dapat dipandu pendaratannya.%osisi pesaat dikontrol pilot melalui sistem navigasidalam pesaat


5/45


) 7 r . #os 4 y 7 r . sin 4

r7 22 yx + tan 4 7x

y

Misalnya, suatu titik berjarak 1/ #m dari titik pusat koordinat dan membentuksudut 089 terhadap sumbu ) positi$, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat

polar adalah seperti berikut ini.

"edudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar

nilai ) dan y adalah 3

) 7 r . #os 4 y 7 r . sin 4

) 7 1/ . #os 089 y 7 1/ . sin 089

) 7 1/ . /,: y 7 1/ . /,;

) 7 : satuan y 7 ; satuan

"edudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapunpersamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah 3

r 7 ) i< yj di mana besar vektor satuan i7 1

dan besar vektor satuan j7 1

%enulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam %#r#& mirin$.Misalnya vektor

satuan yang searah sumbu ) dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diakili dengan

%#r#& te'a", seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensiadalah r. %rinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun la=im digunakan

se#ara umum. &ika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati,

maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda

panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang

vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.

(onto% )

1. "edudukan suatu t itik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (0,;*. yatakan

koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

&aab 3

r7 22 ;0 + 7 0 > dan tan 4 70

; maka 4 7 ;0,9

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. >

6ambar 036ra$ik polar yang menunjukkan kedudukan(1/, 089*


6/45


&adi koordinat polarnya (0 > ? ;0,9*

2. "edudukan titik *ditunjukkan oleh koordinat polar (, >9*. yatakan koordinat

tersebut dalam koordinat kartesius !

&aab 3

) 7 r . #os 4 y 7 r . sin 4

) 7 . #os >9 y 7 . sin >9

) 7 . 22

1y 7 . 2

2

1

) 7 2 2 y 7 2 2

0. uatu titik Amempunyai kedudukan yang ditunjukkan koordinat kartesius (2,*.

entukan vektor posisi titik tersebut !

&aab 3rA7 2 i< j

. itik +mempunyai kedudukan (, 0/9*. entukan vektor posisi titik tersebut !

&aab 3

) 7 . #os 4 y 7 r . sin 4

) 7 . #os 0/9 y 7 . sin 0/9

) 7 . 02

1y 7 .

2

1

) 7 2 0 y 7 2

jadi vektor posisinya adalah r+7 2 0 i< 2j

T#$as Indi,id#a"

Buatlah gra$ik perpindahan yang kamu lakukan saat kamu berangkat dari rumah menuju

sekolah! 6unakan skesta dan a#uan arah mata angin. &ika perlu, gunakan kertas milimeter

blok, agar lebih teliti!

-. Perpinda%an

%engertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. ebagai sebuah ilustrasi,

seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh1/ m, kemudian kembali ke

arah barat m, maka dikatakan baha perpindahan anak tersebut adalah ; m, namun

jarak yang ditempuhnya sebesar 1 m. Dengan demikian, #oba simpulkan perbedaan

perpindahan dan jarak itu!Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap

pengertian akan ke#epatan (velocity* dan kelajuan (speed*. %erpindahan yang ditempuh

oleh suatu benda tiap satuan aktu akan menunjukkan ke#epatan, dan besarnya jarak

yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan aktu disebut dengan kelajuan.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. ;


7/45


uatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut

mengalami perubahan terhadap titik a#uan. eorang kondektur bus - saat meminta kar#is

penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan

perpindahan. amun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, baha perpindahan tidak

sama dengan jarak yang ditempuh. &ika perpindahan sebagai suatu besaran vektor

memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa

memperhatikan arah gerakan benda.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t 7 /

berada di titik (1,1* m, kemudian saat t 7 s berada pada titik (,>* m, maka besaran-

besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah 3

@ektor posisi aal titik 3r17 1 i< 1j

r27 i< >j

@ektor perpindahan titik 3

r7 r2 r1

r7 ( i< >j* (1 i< 1j*

r7 0 i< j

"omponen vektor perpindahan titik pada sumbu ) adalah 0

"omponen vektor perpindahan titik pada sumbu y adalah

Besar vektor perpindahan titik adalah 3

r= 22 .0 + 7 > m

Arah perpindahan titik adalah 3

tan 4 7x

y

tan 4 70

.

maka 4 7 >0,19 terhadap sumbu ) positi$ dengan arah berlaanan arah jarum jam.

uatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang

mengandung unsur t, seperti vektor posisi T 7 >t i < 2 t2j . ehingga misalkan

ditanyakan vektor posisi titik saat t 7 0 s adalah T7 > (0* i< 2 (0*2j 7 1> i< 1:j.

(onto% )



8/45


1. itik Rpada saat t 7 1 s berada pada posisi (2,1* m, dan pada t 7 s pada posisi

(;,* m. entukan 3

a. vektor perpindahannya

b. komponen vektor perpindahan pada sumbu )

#. komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d. besar perpindahannya

e. arah perpindahannya

&aab 3

a. rC7 (; i< j* (2 i< 1/* 7 i< 0/

b. rC)7 m

#. rCy7 0 m

d. r722 0. + 7 > m

e. tan 4 7C)

Cy

r

r7.

0 maka 4 7 089

2. itik Imempunyai vektor posisi r7 t 2i< 2 tj. entukan 3

a. @ektor posisi aal (saat t 7 / s*

b. @ektor posisi saat t 7 2 s

#. @ektor posisi saat t 7 s

d. @ektor perpindahan dari t 7 2 s hingga t 7 se. Besar vektor perpindahannya

&aab 3

a. r(t 7 /s*7 / i< /j

b. r(t 72s*7 22i< 2.2j7 i< j

#. r(t7s*7 2i< 2.j7 1; i< :j

d. r7 (1; i< :j* ( i< j* 7 12 i< j

e. r7 22 .12 + 7 1/ m

T#$as Ke"ompok

Buatlah kelompok minimal terdiri atas 0 orang, maksimal > orang. kemudian diskusikan

tentang berbagai perpindahan yang telah kamu lakukan pada hari ini! Apakah dapat

dikatakan baha kamu telah melakukan perpindahan, jika kamu dari kelas pergi ke

belakang, dan kemudian kembali lagi ke kelas

0/i Kompetensi

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. :


9/45


Ker/akan soa"soa" 'erik#t ini den$an 'enar2

1. 6ambarkan posisi atau kedudukan dari titik-titik berikut ini3

a. 5 (1,* #. (>,>9*

b. A (-0,* d. D (0, ;/9*

2. +bahlah koordinat polar berikut menjadi koordinat kartesius3

a. E (2, 089* #. (0, 0/9*

b. A (;, >09* d. F (, >9*

0. +bahlah koordinat kartesius berikut menjadi koordinat polar3

a. " (0,* d. (1,2*

b. G (-;,-:* e. F (>,->*

#. (:,1/* $. " (-,>*

. itik F melakukan perpindahan dari koordinat (1,* menuju (1,:*. entukan vektorperpindahannya!

>. itik berpindah dari (-1,1* ke (2,>*. entukan3

a. vektor perpindahannya

b. komponen vektor perpindahan pada sumbu )

#. komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d. besar vektor perpindahannya

e. arah perpindahannya

;. @ektor posisi dari titik D dinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

aktu, yaitu3 r7 2t i < t2j. entukan3

a. vektor posisi aal

b. vektor posisi saat t 7 1 s

#. vektor posisi saat t 7 2 s

d. vektor perpindahan dari t 7 1 s hingga t 7 2 s

e. komponen vektor perpindahan pada sumbu )

$. vektor perpindahan pada sumbu y

g. besar vektor perpindahan

8. @ektor posisi A dinyatakan dalam r7 (2 < 0t* i < 2t j. entukan besar vektor

perpindahannya dari t 7 2 s hingga t 7 8 s!

:. @ektor posisi 5 dinyatakan dalam r7 t2i 0 j. entukan vektor perpindahan dan

arah perpindahannya dari t 7 1 s hingga t 7 > s!

3. Ke!epatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang aktu

tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang aktu tesebut disebut kecepatan.

ebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh : m dalam sekon, maka

dikatakan ke#epatan anak tersebut 2 mHs. 5al ini akan memiliki makna yang berbeda, jika

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. I


10/45


dalam sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat : m, maka kedudukan

anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak

melakukan perpindahan, sehingga ke#epatannya nol.

a. "e#epatan rata-rata

kecepatan rata-ratadinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang

aktu dari perpindahan itu dan dirumuskan3

v 7At

Ar7

12

12

tt

rr

Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik,

maka vektor ke#epatan rata-rata dapat ditentukan.

Jontoh3itik materi Dpada detik t 7 1 s berada pada posisi (2,/* m dan pada t 7 s berada pada

posisi (:,:* m. entukan 3

a. vektor ke#epatan rata-ratanya

b. komponen vektor ke#epatan rata-rata pada sumbu )

#. komponen vektor ke#epatan rata-rata pada sumbu y

d. besar vektor ke#epatan rata-rata

e. arah ke#epatan rata-ratanya

&aab 3

a. rD17 2 i< //

rD-7 : i< :/

r7 rD- rD17 ; i< :/ dan t 7 t2 t17 s 1 s 7 0 s

v 7At

Ar70

:; ji +7 ( 2 i< H0/ * mHs

b. )v 7 2 mHs

#. yv 7 H0 mHs

d. v 72

2

0

.2

+ 7 2, mHs

e. tan 4 7)

y

v

v7

( )2

0H.7 /,;;; maka 4 7 00,89

b. "e#epatan esaat

Kecepatan sesaatdide$inisikan sebagai ke#epatan rata-rata untuk selang aktu tyang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan 3

,7 v/t

lim

7

t

)

/t

lim

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1/


11/45


&ika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu ), dan aktu dalam

sumbu y, maka ke#epatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan

garis singgung pada titik tersebut. %erhatikan gambar berikut!

Dengan gra$ik berikut, tentukan ke#epatan saat t 7 2 s !

+ntuk menentukan ke#epatan sesaat dari suatu gra$ik ) t, yang menunjukkan hubunganantara perpindahan ) terhadap aktu t, maka ke#epatan sesaat ditunjukkan dari

kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. %ada #ontoh soal di atas,

kemiringan garis singgung pada t 7 2 s digambarkan oleh gra$ik sebagai berikut 3

v 7 tan 4 70

07 1 mHs

&ika dalam suatu penentuan ke#epatan sesaat dari suatu gra$ik bernilai negati$,

berarti arah ke#epatan tersebut berlaanan dengan arah gerakan benda atau arah

perpindahan benda. &uga jika ke#epatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak

berpindah.elain ke#epatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik,

ke#epatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.

Jontoh3

1. itik *melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan 3 r7 ( 2 t 2i< > tj* m.

entukan 3

a. vektor ke#epatan sesaat

b. komponen sumbu ) vektor ke#epatan

#. komponen sumbu y vektor ke#epatan

d. vektor ke#epatan saat t 7 2 s

e. besar ke#epatan saat t 7 2 s


6ambar 36ra$ik ) t yang menjelaskan hubungan antaraperpindahan terhadap aktu, yang digunakan untukmenentukan ke#epatan sesaat

6ambar >3Menganalisis ke#epatan sesaat darikemiringan suatu gra$ik ) - t


12/45


&aab 3

a. , 7dt

dr

,7 ( t i< >j* mHs

b. ,47 t mHs#. ,57 > m

d. aat t 7 2 s , maka vektor ke#epatan sesaat adalah 3 ,7 ( (2* i< >j* mHs

,7 ( : i< >j* mHs

e. ,7 22 >: + 7 :I mHs

&ika vektor ke#epatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan

dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. &adi denganmelakukan integral dari suatu vektor ke#epatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi

dari suatu titik.

2. itik Amempunyai ke#epatan yang dinyatakan dalam vektor 3

,A7 ( : t i - 2 t2/* mHs

&ika posisi aal benda (2i< 0/* mHs, maka tentukan vektor posisi saat t 7 2 s !

&aab 3

r7 ro< av dt

r7 (2i< 0j* < *2t(:t2ji dt

r7 (2i< 0j* < ( t2i-0

2t0j*

aat t 7 2 s maka r7 (2i< 0j* < ( (2*2i-0

2(2*0j*

r7 ( 1: i-0

8j* mHs

%erbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah

gra$ik ke#epatan ,terhadap aktu t, ditunjukkan dari luas daerah di baah kurva. &ika

kurva berada di atas sumbu ) atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positi$, namun

jika di baah sumbu ) atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai negati$.

0. Fndah melempar benda dengan persamaan ke#epatan v 7 (0t2 12* mHs.entukan

perpindahan dan jarak antara t 7 / hingga t 7 0 s!

&aab 3

angkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v 7 (0t2 12* mHs dalam

sebuah gra$ik.



13/45


%erpindahan 7 luas baah < luas atas

%erpindahan 7 0

/

2 120t dt

%erpindahan 7 [ ]0/

0 12tt

%erpindahan 7 K00 12.0L K/0 12./L

%erpindahan 7 - I m (tanda (-* berarti arah perpindahan berlaanan

dengan arah ke#epatan

&arak 7 - luas baah < luas atas

&arak 7 - 2

/

2 120t dt < 0

2

2 120t dt

&arak 7 - [ ] 2/0 12tt < [ ]0

2

0 12tt

&arak 7 - K20 12.2L K/0 12./LN < K00 12.0L K20 12.2LN

&arak 7 - K: 2L K/ /LN < K28 0;L K: 2LN

&arak 7 - - 1; N < 8 N

&arak 7 20 m

Jontoh : 3

Oitri mengendarai sepeda dengan ke#epatan seperti gra$ik berikut 3

entukan 3


6ambar 3Menginterpretasikan sebuah persamaanke#epatan dalam sebuah gra$ik, dapat dilakukandengan membuat tabel antara t dan v, kemudianmenyusunnya dalam sebuah gambar gra$ik.

6ambar ;36ra$ik hubungan v dan t yangmenggambarkan gerakan sepeda

yang dilakukan Oitri.


14/45


a. &arak yang ditempuh setelah sepeda Oitri bergerak 2 s.

b. &arak total yang ditempuh Oitri selama : s.

&aab 3

a. &arak 7 uas segitiga 7 F

&arak 7 P . alas . tinggi

&arak 7 P . 2 . 7 m

b. &arak 7 F < FF < FFF

&arak 7 ( P . 2 . * < ( . * < ( P . 2 . *

&arak 7 < 1; < 7 2 m

ugas "elompok

6ambarlah ruang kelasmu dalam sebuah kertas milimeter blok dan tunjukkan posisi mejamasing-masing temanmu! elanjutnya, tentukanlah jarak dan perpindahan meja teman-

temanmu dalam satu kelas terhadap meja guru! "umpulkan denah ruang kelasmu pada

guru untuk dinilai. Denah yang terbaik, layak untuk dipasang di dinding.


Peker/aan R#ma%

Amatilah gerakan gereta api pada lintasan rel keretaapi. Apakah gerakannya beraturan atau berubah

beraturan Apakah posisi yang ditempuh memilikivektor satuanjdan k1.Buatlah persamaan posisi sebagai $ungsi aktudari gerak kereta tersebut!2.Buatlah persamaan ke#epatan $ungsi aktu darikereta tersebut!0. Buatlah persamaan per#epatan $ungsi aktu darikereta tersebut.

6ambar 83 "ereta api yang bergerak

1


15/45


0/i Kompetensi

&aablah soal-soal berikut bersama dengan benar!

1. itik Npada t 7 / berada pada posisi (2,>* m, kemudian pada t 7 2 s berada pada

posisi (2,:* m. entukan besar vektor ke#epatan rata-ratanya!

2. itik Aberada dititik (/,/* saat t 7 / s. &ika pada t 7 s, berada di (0,* maka

tentukan vektor ke#epatan rata-ratanya!

0. itik Rmelakukan gerak dan digambarkan dalam gra$ik hubungan antara

perpindahan ()* dengan aktu (t*. entukan besar ke#epatan saat t 7 > s !

. %artikel 6melakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan3

r7 ( 0 t2i< tj* m. entukan3

a. @ektor ke#epatan sebagai $ungsi aktu,

b. Besar vektor ke#epatan saat t 7 2 s.

>. itik Amelakukan gerakan pada arah mendatar dengan vektor ke#epatan

,7 ( t i < 2j* mHs. &ika posisi aal titik berada di posisi 0 m, tentukan

vektor posisi titik saat t 7 2 s!

;. &ika benda Tbergerak pada suatu arah tertentu dengan persamaan ke#epatan

,7 (t2- 2 * mHs. entukan perpindahan dan jarak dari t 7 / s hingga t 7 s !

8. itik materi Pmelakukan gerak sesuai gra$ik berikut.

entukan 3

a. &arak yang ditempuh setelah t 7 2 sb. &arak yang ditempuh setelah t 7 s

#. &arak yang ditempuh setelah t 7 > s

d. &arak yang ditempuh setelah t 7 ; s

e. &arak yang ditempuh setelah t 7 8 s

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1>

6ambar :36ra$ik hubungan perpindahan terhadap aktu.

6ambar I36ra$ik v t dari gerak titikmateri %


16/45


7. Per!epatan

%erubahan ke#epatan tiap satuan aktu disebut dengan per#epatan. ebagai

#ontoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu

tidak berjalan pada ke#epatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak

dengan ke#epatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang

lampu pengatur lalu lintas.

a. %er#epatan rata-rata

Adapun pengertian per#epatan rata-rata adalah perubahan ke#epatan dalam selang

aktu tertentu. emakin besar perubahan ke#epatan yang dilakukan, maka tentuper#epatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang aktu yang digunakan

untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar per#epatan yang dilakukan

semakin besar. Adapun besar dari per#epatan rata-rata dirumuskan 3

a 7At

Av7

12

12

tt

vv

%enguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan per#epatan rata-rata

diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh ke#epatan rata-rata seperti

diuraikan pada bagian sebelumnya.

Jontoh 3

1. 5a$id= menaiki motor dengan persamaan ke#epatan ,7 ( 2t2i< : tj* mHs.

entukan3

a. vektor per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

b. komponen sumbu ) per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

#. komponen sumbu y per#epatan rata-rata t 7 1 s hingga t 7 0 s

d. besar per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

e. arah per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

&aab3

a. a 7At

Av7

12

12

tt

vv

a 7*10(

*L1.:1.2(*0.:0.2K( 22

++ jiji 7 ( : i< :j* mHs2

b. )a 7 : mHs2

#. ya 7 : mHs2

d. a 7 22 :: + 7 : 2 mHs2

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1;


17/45


e. tan 4 7:

:maka 4 7 >9

b. %er#epatan sesaat

%er#epatan sebagai perubahan ke#epatan terhadap aktu dapat ditentukan dengananalogi seperti ke#epatan sesaat, maka per#epatan sesaat dapat ditentukan dengan

menentukan kemiringangaris singgung pada kurva v - t.

elain dengan menentukan kemiringan suatu gra$ik v - t, vektor per#epatan dapat

juga ditentukan dengan menurunkan$ungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua

#ara yang dapat digunakan dalam menentukan per#epatan sesaat, yaitu melalui

kemiringan gra$ik, atau dengan #ara menurunkan $ungsi dari ke#epatan sesaat.

Jontoh3

1. entukan per#epatan saat t 7 2 s, berdasar gra$ik v - t berikut ini3

&aab3

&ika dianalisis, saat t 7 2 s maka kemiringan garis singgungnya adalah3

a7 tan 4

a71/

I7 /,I mHs2


6ambar 1/36ra$ik v - t untuk menentukanper#epatan rata-rata.

6ambar 113Menganalisis gra$ik v-t untukmenentukan per#epatan rata-rata

melalui kemiringan gra$ik pada suatutitik.


18/45


2. "e#epatan mobil Eatik digambarkan oleh gra$ik berikut3

entukan per#epatan mobil saat3

a. t 7 1 s

b. t 7 > s

#. t 7 8 s&aab3

a. a 7 tan 4 72

.7 2 mHs2 (t 7 1 s bagian kemiringan garis t 7 / sampai t 7

2 s*

b. a 7 tan 4 7.

/7 / mHs2

#. a 7 tan 4 72

.7 - 2 mHs2

0. uQman menaiki motor dengan ke#epatan ,7 (0 t2 ->* mHs

entukan per#epatan motor uQman saat t 7 0 s!

8a9a')

a 7dt

dv

a 7 ; t mHs2

saat t 7 0 s, maka a 7 ; .0 7 1: mHs2

. %er#epatan motor yang dinaiki oval adalah a7 2t i: 0 t2

j&ika ke#epatan aal motor oval adalah nol, tentukan ke#epatan motor oval

saat

t 7 2 s!

8a9a' )

,7 ,o< (2t i: 0 t2j* dt

,7 / < t2i: t0j

aat t 7 2 s maka ,7 22i< 20j7 i< :j

0. uatu titik =at bergerak dengan per#epatan $ungsi dari aktu yaitu a 7 t 2, dan

dengan ke#epatan aal vo7 1/ mHs. ernyata pada suatu saat ke#epatannya ialah v 7

>/ mHs. Berapa lama titik =at bergerak

to7 / R @o7 1/ mHs

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1:

6ambar 1236ra$ik hubungan v - t untuk

menetukan per#epatan sesaat.


19/45


t 7 S R @ 7 >/ mHs

a 7 t 2

dv 7 a dt

]//22/

221/>/

*2(

2

2

/

=

=

=

=

tt

tt

dttVV

dtdv

t

o

t

to

t

to

v

Vo

. uatu titik =at bergerak pada sumbu ) se#ara 6BB dengan per#epatan >mHs2. %ada

saat bergerak 2 sekon ke#epatannya 2/ mHs. Mulai berangkat kedudukannya di ) 7

-1>m. entukan persamaan posisi titik =at tersebut.

1/>tv

1/#

#>.22/

mHs2/v2t

#>tv

>tv

adtdv

adtdv

+=

=

+=

==

+=

=

=

=

1/>tv

1/#

#>.22/

mHs2/v2t

/1t2

>)

*1/(>t)

dtvd)

dtvd)

2

+=

=

+=

==

+=

+=

=

=

dt

%ersamaan posisi 3

>. ebuah partikel bergerak lurus dengan per#epatan a 7 12-0s dengan a dalam mHs2dan

s dalam m.

Jari hubungan antara ke#epatan dan perpindahan jika s 7 2 m, v 7 mHs

2/0s2sv

2/0s2sv

1/s2

012sv2

1

1/#

#;2:

#22

012.2.

2

1

v2s

s2

012sv

2

1

0s*ds(12sv2

1

adsvdv

2

2

22

22

22

2

=

=

=

=

+=

+=

==

=

=

=

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 1I

(M*(M*

.dett>det,t

/.t@/>t

/.*(t>*(t/2/tt

/./2t2t

2

2

==

=+=

=+=

=

1>*i1/tt2

>(r 2 ++=


20/45


&ika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan ke#epatan dari gra$ik a t atau

penentuan ke#epatan dari $ungsi per#epatan, maka ke#epatan suatu titik, dapat ditentukan

dari integral $ungsi dari per#epatan tersebut. e#ara matematis, $ungsi integral tersebut

senilai dengan luas daerah di baah gra$ik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas

daerah dibaah gra$ik per#epatan terhadap aktu maka nilai ke#epatan sesaat dapat

ditentukan.

%ersamaan vektor ke#epatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor

per#epatan, sehingga persamaan vektor ke#epatan

v 7 vT i < v j R vT 7 ,/T< aT dt v 7 ,/< a dt

(onto%)

1. ebuah mobil bergerak dengan ke#epatan v 7 ( t2

->t* mHs entukan per#epatan mobil saat t 7 s !

8a9a' )

a 7dt

dv

a 7 2t - > mHs2 7 2. > 7 0 mHs2

jadi a 7 0 mHs2

2. %er#epatan yang dimiliki mobil eko dalah a7 t 0i : 0 t2/

&ika ke#epatan aal adalah 2i, tentukan vektor ke#epatan mobil tersebut dan

besarnya ke#epatan ketika t 7 s !

8a9a' )

,7 ,o< ( t 0i : 0 t2/ * dt

,7 2 i . Buat perbandingan kesimpulan dari kedua aktu tibanya kedua bola di tanah!

;. Analisislah gerakan kedua bola tersebut!

Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak paraboladalam kajian ini adalah baha hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi

dalam perhitungan, dan nilai pe#epatan gravitasi bumi dianggap 1/ mHs2, ke#uali terdapat

penjelasan dalam soal.



26/45


6ambar 1;3 6ra$ik lintasan parabola.

Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah 3umbu T 3

vo) 7 vo. #os 4

v) 7 vo. #os 4

) 7 v). t 7 vo. #os 4 . t

umbu 3

voy 7 vo. sin 4

vy 7 vo. sin 4 g . t

y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2

%ersamaan ke#epatan dan arah gerakan partikel 3

v 7 02 yx vv +

tan X 7x

y

v

v

"eterangan 3

1. vo 7 ke#epatan aal (mHs*

2. vo) 7 ke#epatan aal pada sumbu ) (mHs*

0. voy 7 ke#epatan aal pada sumbu y (mHs*

. v) 7 ke#epatan pada sumbu ) (mHs*

>. vy 7 ke#epatan pada sumbu y (mHs*

;. v 7 ke#epatan pada suatu saat (mHs*

8. ) 7 kedudukan atau posisi pada sumbu ) (m*

:. y 7 kedudukan atau posisi pada sumbu y (m*I. X 7 arah gerakan partikel (9*

1/. 4 7 sudut elevasi (9*

11. g 7 per#epatan gravitasi bumi (mHs2*


6ambar 183 berbagai posisi pada lintasan gerak parabola

=

5


27/45


Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola31. %ersamaan yang tersebut pada bagian aal didasarkan pada gerakan benda yang

mengarah ke atas, sedang arah per#epatan gravitasi bumi ke baah, sehingga

persamaan di atas menggunakan tanda negati$ (-* untuk nilai g. amun jika

gerakan diaali dengan gerak ke baah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari

pesaat, maka arah gerak benda searah dengan per#epatan gravitasi, sehingga

persamaan yang mengandung unsur g yang semula negati$, berubah menjadi positi$,

karena arah gerak benda searah dengan arah per#epatan benda.

2. %ada titik tertinggi nilai vy7 / mHs, sehingga nilai v 7 vo)7 v)

0. %ada titik terjauh nilai y 7 /. &ika saat men#ari t dari y 7 /, diperoleh dua nilai t, di

mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang

besar.

Disk#si Ke"ompok

Buatlah kelompok maksimum > orang untuk berdiskusi se#ara matematis dan

membuktikan persamaan matematis berikut ini 3

a. "oordinat titik pun#ak ()MAT, y MAT*

dimana )MAT7g

v

2

2sin2

/ , y MAT7g

v

2

sin22

/ , X 7 sudut elevasi

g 7 per#epatan gravitasi bumi (mHs2*

vo7 ke#epatan aal (mHs*

b. Eaktu untuk men#apai titik tertinggi atau tinggi maksimum t%7g

v sin/

Eaktu untuk men#apai jarak mendatar terjauh atau jatuh kembali ke tanah t&7 2. t%

#. &arak mendatar terjauh ) &auh7 2 )MAT



28/45


&arak mendatar men#apai maksimum ketika sudut elevasi X 7 >/

d. %asangan sudut elevasi (X1dan X2 * akan men#apai jarak mendatar terjauh yang

sama jika

X1< X2 7 I//

(onto% )

1. ebuah panah dilepaskan dari busur dengan ke#epatan aal 1// mHs dan sudut

elevasi 089 entukan 3

a. vektor posisi panah saat t 7 1 s

b. vektor posisi ketika panah men#apai titik tertinggi.

#. vektor posisi di titik mendatar terjauh

d. vektor ke#epatan dan besarnya saat t 7 1 s

e. arah ke#epatan saat t 7 1 s

8a9a' )

a. ) 7 vo. #os 4 . t 7 1// . #os 089 . 1 7 1// . /,: 7 :/ m

y 7 vo. sin 4 . t P g t 2 7 1// . sin 089 . 1 P .1/.127 (1// ./,; >* 7 >> m

&adi vektor posisi panah setelah 1 s adalah r 7 (:/ i < >> j* mb. %ada titik tertinggi vy7 / sehingga 3

vy 7 vo sin 4 g . t

/ 7 1// . sin 089 1/ . t maka diperoleh nilai t

t 7 ; s

ilai t tersebut kemudian dimasukkan pada

) 7 vo. #os 4 . t 7 1// . #os 089 .; 7 1// . /,: . ; 7 :/ m

y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2 7 1// . sin 089 ; P .1/. (;*27 0;/ 1:/ 71:/ m

&adi vektor posisi panah pada titik tertinggi adalah r 7 (:/ i < 1:/ j* m

#. %ada titik mendatar terjauh y 7 /, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke )

y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2

/ 7 1// . sin 089 . t P .1/. t2 R / 7 ;/ t > t2

- ;/ t 7 - > t2 R t 7 12 sekon

maka ) 7 vo. #os 4 . t 7 1// . #os 089 .12 7 82/ m

&adi vektor posisi panah di titik mendatar terjauh adalah r 7 (82/ i < / j* m

d. v) 7 vo. #os 4 7 1// . #os 089 7 1// . /,: 7 :/ mHs

vy 7 vo. sin 4 g . t 7 1// sin 089 1/ . 1 7 (;/ - 1/* 7 >/ mHs

jadi vektor ke#epatan panah v 7 vT i < v j 7 :/ i < >/ j

Besarnya v 7 02 yx vv + 7 ( ) ( )22 >/:/ + 7 2>//;// + 7 I,00 mHs



29/45


e. tan 4 7x

y

v

v 7

:/

>/7 /,;2> maka 4 7 029

2. "etika terjadi ben#ana sunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan

makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. +ntuk

mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari

pesaat militer. &ika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian >// dari pesaat

pengangkut yang bergerak mendatar dengan ke#epatan >/ mHs, maka hitunglah

jarak mendatar dari pesaat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada

sasaran

&aab 3

) 7 .... y/ 7 >// m y 7 / 4 7 / /

y 7 y/ < vo. sin 4 . t < P . g . t 2

/ 7 >// < / - P . 1/ . t 2 maka t 7 1/ s

) 7 vo). t 7 vo. #os 4 . 1/ . 7 >/ . 1 .1/ 7 >// m

0. ebuah bola ditendang dengan sudut elevasi >9 dan ke#epatan aal 2/ mHs.

entukan3

a. posisi saat t 7 1 s

b. koordinat titik tertinggi

#. koordinat titik terjauh

d. ke#epatan saat t 7 1 s

e. arah ke#epatan saat t 7 1 s

8a9a' )

a. ) 7 vo. #os 4 . t 7 2/ . #os >9 . 1 7 1/ 2 mHs

y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2 7 2/ . sin >9 . 1 P .1/.127 (1/ 2 >* mHs

&adi posisi bola setelah 1 s adalah (1/ 2 ? 1/ 2 >* mHs

b. %ada titik tertinggi vy7 / sehingga 3

vy 7 vo. sin 4 g . t

/ 7 2/ . sin >9 1/ . t maka diperoleh nilai t

t 7 2 s

ilai t tersebut kemudian dimasukkan pada3

) 7 vo. #os 4 . t 7 2/ . #os >9 . 2 7 2/ mHs

y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2 7 2/.sin >9 . 2 P .1/. ( 2 *2 7 1/ mHs

&adi posisi bola pada titik tertinggi adalah (2/, 1/* mHs.

#. %ada titik terjauh y 7 /, kemudian nilai t tersebut dimasukkan ke )y 7 vo. sin 4 . t P . g . t 2

/ 7 2/ . sin >9 . t P .1/. t2

maka diperoleh nilai t 7 / atau t 7 2 2 s. 6unakan t 7 2 2 s maka

) 7 vo. #os 4 . t 7 2/ . #os >9 . 2. 2 7 / m



30/45


&adi posisi bola di titik terjauh adalah (/ , /* m

d. v) 7 vo. #os 4 7 2/ . #os >9 7 1/ 2 mHs

vy 7 vo. sin 4 g . t 7 2/ . sin >9 1/ . 1 7 (1/ 2 - 1/* mHs

v 7 02 yx vv + 7 ( ) ( )22

1/21/21/ + 7 1/ 22> mHs

e. tan X 7x

y

v

v 7

21/

*1/21/( 7 /,2I0 maka X 7 1;,09

. Dari pun#ak gedung setinggi 12> m, Arsa melempar bola mendatar dengan

ke#epatan 1/ mHs. entukan 3

a. aktu yang diperlukan bola untuk men#apai tanah

b. jarak mendatar yang ditempuh bola

8a9a' )

a. vo) 7 1/ mHs dan voy 7 / mHs

y 7 vo. sin 4 . t < P . g . t 2

12> 7 / < P . 1/ . t 2 maka t 7 > s

b. ) 7 vo). t 7 1/ . > 7 >/ m

0/i Kompetensi

1. ebuah anak panah dilepaskan dari busur dengan ke#epatan aal >/ mHs dan sudut

elevasi ;/9. entukan vektor posisi ketika anak panah menyentuh tanah.2. &ika sebuah rudal kendali dijatuhkan dari pesaat pada ketinggian 1/// m di atas

permukaan tanah, dengan ke#epatan mendatar 1// mHs, maka tentukan jarak

mendatar yang ditempuh rudal kendali.

0. ebuah bola ditendang dengan ke#epatan aal >/ mHs dengan sudut elevasi >09

membentuk lintasan gerak parabola dengan per#epatan gravitasi bumi g 71/ mHs.

entukan 3

a. vektor posisi bola ketika t 7 2 sekon.

b. vektor posisi dan ke#epatan bola ketika men#apai titik tertinggi.

#. vektor ke#epatan dan besar ke#epatan bola saat t 7 sekon.

d. arah ke#epatan bola ketika t 7 sekon.e. vektor posisi bola ketika men#apai tanah.$. aktu untuk men#apai tanah.

. Anggun melemparkan bola basket dengan vektor posisi r 7 2 t i < ( t2 -2*/.

entukan vektor posisi dan vektor ke#epatan ketika bola men#apai tertinggi.

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 0/


31/45


>. %erhatikan gambar di baah. ebuah anak panah dilepaskan dengan vektor

ke#epatan vektor v 7 2 i < :t j maka tentukan vektor posisi sebagai $ungsi aktu

dan vektor ke#epatan panah ketika tiba ditanah.

Ke$iatan Ke"ompok

Bentuklah sebuah kelompok yang beranggotakan 0 > orang!

Diskusikan dalam kelompokmu tentang beberapa jenis gerak yang ada di sekitar kita

yang termasuk gerak parabola! Apakah gerakan pesaat terbang saat naik termasukgerak parabola Apakah gerak bom atom saat dijatuhkan dari pesaat pengebom di

5irosima termasuk gerak parabola Apakah gerakan roket Gksoset saat diarahkan ke

pesaat tempur merupakan gerak parabola Apakah gerak peluru yang ditembakkan

ke atas merupakan gerak parabola

Peker/aan R#ma%

1. anti memukul shuttle cockdengan ke#epatan aal 2/ mHs dan sudut elevasi ;/9.

entukan jarak terjauh yang ditempuh shuttle #o#k tersebut !

2. ebuah bom dijatuhkan dari pesaat di ketinggian 2./// m di atas permukaan

tanah, dengan ke#epatan mendatar 2// mHs. entukan jarak mendatar yang

ditempuh bom!

0. ebuah bola ditendang dengan ke#epatan aal 1/ mHs sehingga mengenai dinding

setinggi 2/ m dan jarak mendatar / m. entukan sudut elevasinya !. "opral &ono menembakkan peluru dengan sudut elevasi >9 dan ke#epatan aal

1// mHs. entukan koordinat titik tertingginya!

>. Dimas melempar bola dengan vektor posisi r7 > t i< (2 t2-1*j, tentukan vektor

posisi titik tertinggi yang di#apai bola.


6ambar 1:3 Anak panah dilepaskan membentuk lintasan parabola.

1,> m


32/45


;. ouval melempar batu dengan vektor posisi r7 2 t2i< ( t2- :t*j. entukan vektor

posisi pada jarak terjauhnya!

(. Posisi S#d#t Ke!epatan S#d#t dan Per!epatan S#d#t pada Gerak Me"in$kar

1. Posisi S#d#t

%osisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak

melingkar beraturan. entu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai

pusat titik a#uan. eperti telah disampaikan terdahulu, baha semua gerak tetap

memerlukan suatu titik a#uan.

Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan aktu disebut

dengan ke#epatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari ke#epatan sudut dapat dinyatakandalam radHs atau putaran per menit (rpm*. %erubahan kedua satuan tersebut didasarkan

baha satu putaran senilai dengan 2 Y radian.

edangkan per#epatan sudut adalah laju perubahan ke#epatan sudut yang terjadi

tiap satuan aktu. emakin besar perubahan ke#epatan sudut yang terjadi, maka akan

semakin besar pula ke#epatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut.

Demikian juga jika semakin besar pengurangan ke#epatan sudut yang dilakukan gerak

melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu.

-. Ke!epatan S#d#t

&ika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang li#in saat ia

melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar

beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin #epat

saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya.

a. Ke!epatan s#d#t ratarata

"e#epatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang

aktu yang ditempuh dapat dirumuskan3

7t

'. Ke!epatan s#d#t sesaat

edang ke#epatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat

pula ditentukan dari kemiringan garis singgung gra$ik posisi sudut terhadap aktu.

"e#epatan sudut sesaat dirumuskan3

dt

d=

3. Per!epatan S#d#t



33/45


a. Per!epatan s#d#t ratarata

%er#epatan sudut rata-rata adalah hasil bagi ke#epatan sudut dengan selang aktu

yang ditempuh. %er#epatan sudut rata-rata dirumuskan3

7t

'. Per!epatan s#d#t sesaat

%er#epatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari ke#epatan sudut, atau dapat

pula ditentukan dari kemiringan garis singgung gra$ik ke#epatan sudut terhadap aktu.

%er#epatan sudut sesaat dirumuskan3

dt

d=

Joba kamu amati gerak roda motor dalam perjalanan menuju ke sekolah! elama

perjalanan roda tersebut tidak mungkin memiliki ke#epatan sudut yang tetap. Coda itu

kadang berputar pelan, karena harus menghindari rintangan, atau kadang harus berputar

lebih #epat karena meleati jalan lurus dan sepi tanpa hambatan. Bahkan roda itu kadang

harus berhenti karena lampu merah pengatur jalan raya menyala. Adanya perubahan

ke#epatan sudut dari roda tersebut akan menunjukkan besar dari per#epatan sudut yang

terjadi pada roda.

(onto% )

1. %osisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan 3

4 7 (0 t2< 2* rad, maka tentukan 3

a. posisi sudut saat t 7 / s

b. posisi sudut saat t 7 2 s

#. ke#epatan sudut rata-rata dari t 7 / s hingga t 7 2 s

d. ke#epatan sudut saat t 7 0 s

8a9a' )

a. 4 7 (0 (/*2< 2* 7 2 rad

b. 4 7 (0 (2*2< 2* 7 1 rad

#. 7t

7

*/2(

*21(

7 ; radHs

d. Z 7dt

d7 (; t * 7 ( ; . 2 * 7 12 radHs

2. %osisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan3

4 7 (2 t2< >* rad, maka tentukan 3


b. posisi sudut saat t 7 0 s

#. ke#epatan sudut rata-rata dari t 7 / s hingga t 7 0 s



34/45



8a9a' )

a. 4 7 (2 (/*2< >* 7 > rad

b. 4 7 (2 (0*2< >* 7 20 rad

#. 7t

7

*/0(

*>20(

7 ; radHs

d. Z 7dt

d7 ( t * 7 ( . 0 * 7 12 radHs

0. %osisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada tepi sebuah roda adalah3

4 7 ( t0< > t2< 2 t < ; * rad

entukan 3

a. "e#epatan sudut rata-rata dari t 7 / hingga t 7 s

b. %er#epatan sudut rata-rata dari t 7 / hingga t 7 s

#. "e#epatan sudut saat t 7 2 s

d. %er#epatan sudut saat t 7 2 s

&aab 3

4 7 ( t0< > t2< 2 t < ; * rad

Z 7 (12 t2< 1/ t < 2 * radHs

X 7 (2 t < 1/ * radHs2

a. 4 7 ( t0< > t2< 2 t < ; * rad

41 7 ( ./0< > ./2< 2 ./ < ; * rad 7 ; rad

42 7 (. 0< > .2< 2 . < ; * rad 7 0>/ rad

7t

7

*/(

*;0>/(

7 :; radHs

b. Z 7 (12 t2< 1/ t < 2 * radHs

Z1 7 (12./2< 1/./ < 2 * radHs 7 2 radHs

Z2 7 (12.2< 1/. < 2 * radHs 7 20 radHs

7t

7

*/(

*220(

7 >: radHs2

#. Z 7 (12 .22< 1/ . 2 < 2 * 7 8/ radHs

d. X 7 (2. 2 < 1/ * 7 >: radHs2

0/i Kompetensi

1. %osisi sudut sebuah titik yang berada pada ujung roda sepeda ditentukan olehpersamaan 3

4 7 (2 t0< 2t* rad, maka tentukan 3

a. posisi sudut saat t 7 0 s

b. posisi sudut saat t 7 s



35/45


#. ke#epatan sudut rata-rata dari t 7 0 s hingga t 7 s


e. persamaan per#epatan sudut sebagai $ungsi aktu

2. %osisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar pada terpi sebuah roda adalah3

4 7 ( t0< t2< t < 1 * rad

entukan 3

a. "e#epatan sudut rata-rata dari t 7 1 hingga t 7 2 s

b. %er#epatan sudut rata-rata dari t 7 1 hingga t 7 2 s



0. ebuah roda mobil mula-mula diam, kemudian dalam 0 sekon diper#epat sehingga

menempuh sudut 2 putaran. entukan besar ke#epatan sudut setelah 0 sekon danke#epatan sudut rata-ratanya

. ebuah roda sepeda mula-mula diam, kemudian dalam 2 sekon diper#epat sehingga

menempuh sudut putaran. entukan besar ke#epatan sudut rata-ratanya!

>. &ika posisi sudut dari suatu gerak melingkar beraturan dirumuskan dalam

persamaan 4 7 (;

> t0< > t2< * rad, maka tentukan ke#epatan sudut saat t 7

sekon!

Peker/aan R#ma%

akukan pengamatan terhadap beberapa gerak melingkar sebagai berikut bersama

kelompokmu !

1. 6erakan roda sepeda yang berjalan mengelilingi lapangan sekolah.

2. 6erakan kipas angin.

0. Amati juga tiga gerak melingkar lainnya di sekitarmu. Buatlah analisis dari gerakan-gerakan tersebut dan buatlah kesimpulannya!

Apakah gerakan-gerakan tersebut memiliki karakteristik gerakan yang sama

Pen$inte$ra"an >#n$si pada Gerak Me"in$kar

%osisi sudut 4 suatu $ungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan

ke#epatan sudut dengan rumus 3

4 7 4/< t dt

%ersamaan ke#epatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan per#epatan

sudut.



36/45


7 /< t dt

(onto%)

1. &ika ke#epatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan 3

Z 7 (0 t2< t * radHs, tentukan3

a. ke#epatan sudut saat t 7 1 s

b. ke#epatan sudut saat t 7 s

#. per#epatan sudut rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 s

d. per#epatan sudut saat t 7 > s

e. posisi sudut saat t 7 2 s, jika posisi sudut aal 2 rad

8a9a' )

a. Z 7 (0 (1*2< 1 * 7 radHs

b. Z 7 (0 (*2< * 7 >2 radHs

#. 7t

7

*1(

*>2(

7 1; radHs

d.dt

d= 7 (; t < 1* maka saat t 7 > s besar

e. 4 7 4o< + dttt *0(2

4 7 2 < t0< P t2, saat t 7 2 s, maka diperoleh

4 7 12 rad

2. "e#epatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan 3

Z 7 ( t0< 2t * radHs, maka tentukan 3

a. ke#epatan sudut saat t 7 1 s

b. ke#epatan sudut saat t 7 2 s

#. per#epatan sudut rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 2 s

d. per#epatan sudut saat t 7 2 s

e. posisi sudut saat t 7 2 s, jika posisi sudut aal > rad

8a9a' )

a. Z 7 ( (1*0< 2.1 * 7 ; radHs

b. Z 7 ( (2*0< 2.2 * 7 0; radHs

#. 7t

7

*12(

*;0;(

7 0/ radHs2

d.dt

d= 7 (12 t 2< 2* maka saat t 7 2 s besar

7 (12 2 2< 2* 7 >/ radHs2

e. 4 7 4o< + dttt *2.(0

4 7 > < t< t2, saat t 7 2 s, maka diperoleh



37/45


4 7 2> rad

0/i Kompetensi

1. "e#epatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan 3

Z 7 ( t0 < 2t


38/45


a. @ektor posisi aal (saat t 7 / s*

b. @ektor perpindahan dari t 7 2 s hingga t 7 s

#. Besar vektor perpindahannya

8. @ektor posisi dari titik Rdinyatakan dalam vektor posisi yang mengandung unsur

aktu, yaitu3 r 7 2t i < t2j. entukan3

a. vektor perpindahan dari t 7 1 s hingga t 7 2 s

b. besar vektor perpindahan

:. @ektor posisi 6dinyatakan dalam r 7 (2 < 0t* i < 2t2j. entukan besar vektor

perpindahannya dari t 7 / s hingga t 7 8 s !

I. @ektor posisi Adinyatakan dalam r 7 t2i 0 j. entukan vektor perpindahan dan

arah perpindahannya dari t 7 1 s hingga t 7 > s !

1/. itik materi Tpada detik t 7 1 s berada pada posisi (2,/* m dan pada t 7 s beradapada posisi (:,:* m. entukan3

a. vektor ke#epatan rata-ratanya

b. besar vektor ke#epatan rata-rata

11. itik Imelakukan perpindahan dengan vektor perpindahan3

r7 ( 2 t 2i< > t/* m.

entukan 3

a. vektor ke#epatan saat t 7 2 s

b. besar ke#epatan saat t 7 2 s

12. Fndah melempar benda dengan persamaan ke#epatan v 7 (2t2 12* mHs.entukan

perpindahan dan jarak antara t 7 / hingga t 7 s !

10. Oitri mengendarai sepeda dengan ke#epatan seperti gra$ik berikut 3

entukan 3

a. &arak yang ditempuh setelah sepeda Oitri bergerak 8 s

b. &arak total yang ditempuh Oitri selama : s1. %artikel Dmelakukan perpindahan sesuai vektor perpindahan 3

r7 ( 2 t2i< t/* m. entukan 3

a. @ektor ke#epatan sebagai $ungsi aktu

b. Besar vektor ke#epatan saat t 7 2 s


6ra$ik hubungan v dan t yangmenggambarkan gerakan sepedayang dilakukan Oitri


39/45


1>. itik materi Imelakukan gerak sesuai gra$ik berikut.

entukan 3

a. &arak yang ditempuh setelah t 7 1 sb. &arak yang ditempuh setelah t 7 0 s

#. &arak yang ditempuh setelah t 7 >,> s

1;. %ak "arta menaiki motor dengan persamaan ke#epatan

,7 ( 2t2i< : t/ * mHs entukan3

a. vektor per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

b. besar per#epatan rata-rata dari t 7 1 s hingga t 7 0 s

18. %er#epatan yang dimiliki motor Dydy adalah a7 t2i : 0 t2/

&ika ke#epatan aal motor Dydy adalah nol, tentukan ke#epatan motor Dydy saat

t 7 2 s !

1:. uatu benda dari keadaan diam dan mengalami per#epatan seperti gra$ik berikut ini.

entukan ke#epatan saat > s !

1I. ebuah titik D melakukan perpindahan yang ditunjukkan dengan vektor

perpindahan sebagai berikut3

r7 (2 t2< 0 t* i< (1 < 2 t0*/ m

entukan3

a. vektor ke#epatan saat t 7 s

b. vektor per#epatan saat t 7 2 s

2/. ebuah bola ditendang Akmal dengan sudut elevasi >9 dan ke#epatan aal

/ mHs. entukan3


6ra$ik v - t

6ra$ik a t untuk menentukanke#epatan sesaat


40/45


a. koordinat titik tertinggi

b. koordinat titik terjauh

21. &ika bola ditendang dengan ke#epatan aal 2/ mHs sehingga mengenai dinding

setinggi / m dan jarak mendatar / m, maka tentukan sudut elevasinya!

22. &ika ambuhan menembakkan peluru dengan sudut elevasi >9 dan ke#epatan aal

2// mHs, maka tentukan koordinat titik terjauhnya!

20. &ika 5a$id= melempar bola dengan vektor posisi r7 : t i< (2 t2 -2*/, maka

tentukan vektor posisi titik tertinggi yang di#apai bola.

2. %osisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan3

4 7 ( t2< >* rad, maka tentukan 3


b. posisi sudut saat t 7 0 s#. ke#epatan sudut rata-rata dari t 7 / s hingga t 7 0 s


2>. %osisi sudut sebuah titik yang bergerak melingkar dinyatakan3

4 7 (2 t0< 0 t2< 2 t < 2 * rad

entukan 3

a. "e#epatan sudut rata-rata dari t 7 / hingga t 7 s

b. %er#epatan sudut rata-rata dari t 7 / hingga t 7 s



Soa" Pi"i%an Ganda

Pi"i%"a% /a9a'an 5an$ 'enar2

1. eorang anak mengendarai sepeda sejauh 0 km dengan arah 0/9 timur laut. &ika

arah timur dijadikan sumbu ) positi$ maka notasi vektor perpindahannya adalah....

a. r7 (1,> 0 i< 1,>/* d. r7 (0 0 i< 1,> 0 /*

b. r7 (2,> 0 i< 1,>/* e. r7 (0 0 i< 0/*

#. r7 (0 0 i< 1,>/*

2. %osisi dari suatu partikel memenuhi persamaan r7 2t < t2dengan r dalam meter dan

t dalam sekon. "e#epatan partikel saat t 7 > sekon adalah ....

a. 0 mHs d. 12 mHs

b. > mHs e. 1> mHs

#. : mHs0. ebuah sepeda bergerak dengan ke#epatan 2/ mHs dalam arah 21/9 berlaanan

dengan arah jarum jam terhadap sumbu ) positi$. "omponen vektor ke#epatan

terhadap sumbu ) dan sumbu y adalah ....

a. vx7 -1/ mHs vy7 - > mHs d. vx7 -1/ 0 mHs vy7 - : mHs

Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. /


41/45


b. vx7 -1/ 0 mHs vy7 - > mHs e. vx7 -1/ 0 mHs vy7 - 1/ mHs

#. vx7 -12 0 mHs vy7 - ; mHs

. ebuah sepeda motor bergerak dalam sebuah ke#epatan yang dilukiskan dengan

gra$ik ke#epatan terhadap aktu berikut ini3

Besar perpindahan sepeda motor selama 1> sekon adalah ....

a. / m d. // m

b. 1// m e. >// m#. 1>/ m

>. %osisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan 3 y 7 2/ t >t2,

dengan y dalam meter dan t dalam sekon. "e#epatan aal balon adalah ....

a. 2 mHs d. 2/ mHs

b. > mHs e. >/ mHs

#. 1/ mHs

;. ebuah mobil mainan bergerak dengan persamaan ke#epatan v 7 0t

2

;t I,dimana v dalam mHs dan t dalam sekon. &arak yang ditempuh mobil mainan antara t

7 1 s hingga t 7 sekon adalah ....

a. 1/ m d. > m

b. 2/ m e. 8,> m

#. 20 m

8. ebuah sepeda motor bergerak dengan

ke#epatan yang digambarkan seperti

gra$ik di samping.

Besar per#epatan saat t 7 12 sekon

adalah ....

a. - 2 mHs2

b. - > mHs2

#. - : mHs2

d. -1/ mHs2

e. -12 mHs2

:. eekor burung terbang dengan persamaan lintasan y 7 28 t t0, di mana y dalam

meter dan t dalam sekon. inggi maksimum burung adalah ....

a. 1/: m d. 28 m

b. :1 m e. 0 m



42/45


#. > m

I. ebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagai

berikut 3 r7 0/ t i< (0/ 0 t > t2*/, dengan rdalam meter, t dalam sekon, tinggi

maksimum yang di#apai peluru adalah ....

a. 10> m d. 1:/ 0 m

b. 10> 0 m e. 28/ m

#. 1:/ m

1/. ebuah benda bergerak dengan persamaan ke#epatan v =2t < > , di mana v dalam

mHs dan t dalam sekon. Bila saat t 7 / benda berada pada ) 7 m, maka posisi

benda saat t 7 s adalah ....

a. 2/ m d. 0> m

b. 2> m e. / m#. 0/ m

11. Coda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut 4 7 0 t < 2 t2,

di mana 4 dalam radian, dan t dalam sekon. %osisi sudut saat t 7 2 sekon adalah ....

a. 0 rad d. 1 rad

b. > rad e. 1: rad

#. 12 rad

12. &ika roda mobil berputar dengan persamaan posisi sudut 4 7 2 t < 2 t2

, di mana 4dalam radian, dan t dalam sekon, maka ke#epatan sudut roda mobil saat t 7 2 sekon

adalah ...

a. radHs d. 12 radHs

b. 8 radHs e. 1> radHs

#. 1/ radHs

10. &ika persamaan ke#epatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam Z 7 0

t2< 2 t < 2, di mana Z dalam radHs dan t dalam sekon, jika posisi sudut aal gerak

melingkar 2 rad, maka posisi sudut gerak melingkar saat t 7 1 s adalah ....

a. ; rad d. 0 rad

b. > rad e. 2 rad

#. rad

1. ebuah peluru yang ditembakkan dengan ke#epatan aal vo dan sudut elevasi X

pada saat men#apai tinggi maksimum ...

a. tenaga kinetiknya maksimum

b. tenaga potensialnya maksimum#. tenaga potensialnya minimum

d. tenaga totalnya maksimum

e. ke#epatannya maksimum



43/45


1>. erhadap koordinat ) horisontal dan y vertikal, sebuah benda yang bergerak

mengikuti gerak peluru mempunyai komponen-komponen ke#epatan yang ....

a. besarnya tetap pada arah ) dan berubah-ubah pada sumbu y

b. besarnya tetap pada arah y dan berubah-ubah pada arah )

#. besarnya tetap, baik pada arah ) maupun pada arah y

d. besarnya berubah-ubah, baik pada arah ) maupun pada arah y

e. besar dan arah terus-menerus berubah terhadap aktu

1;. ebuah kapal laut sejauh 1/ km dengan arah >09 timur laut. &ika arah timur

dijadikan sumbu ) positi$, maka vektor perpindahannya adalah....

a. r 7 (/,; i < /,: j* d. r 7 (;/ i < :/ j*

b. r 7 (/,: i < /,; j* e. r 7 (:/ i < ;/ j*

#. r 7 (; i < : j *18. %osisi suatu partikel memenuhi persamaan r7 0t < 2t2dengan r dalam meter dan t

dalam sekon."e#epatan partikel saat t 7 > sekon adalah ....

a. 2: mHs d. 1> mHs

b. 2> mHs e. 12 mHs

#. 20 mHs

1:. %osisi ketinggian sebuah balon udara dinyatakan dalam persamaan 3 y 7 >/ t >t2,

dengan y dalam meter dan t dalam sekon. "e#epatan aal balon adalah ....

a. 2 mHs d. 2/ mHs

b. > mHs e. >/ mHs

#. 1/ mHs

1I. ebuah anak panah melun#ur dengan persamaan ke#epatan v 7 0t2 ;t I, dimana

v dalam mHs dan t dalam s. &arak yang ditempuh mobil mainan antara t 7 1 s hingga

t 7 sekon adalah ....

a. 1/ m d. > m

b. 2/ m e. 8,> m

#. 20 m

2/. eekor burung terbang dengan persamaan lintasan y 7 2/ t t2, dimana y dalam

meter dan t dalam sekon. inggi maksimum burung adalah ....

a. 1// m d. 1; m

b. 2/ m e. 0 m

#. 1I m

21. ebuah peluru ditembakkan sehingga mempunyai persamaan perpindahan sebagaiberikut 3 r7 0/ t i< (2/ t > t2* /, dengan rdalam meter, t dalam sekon, tinggi

maksimum yang di#apai peluru adalah ....

a. 10 m d. :/ m

b. 2/ m e. 2// m



44/45


#. ;/ m

22. ebuah benda bergerak dengan persamaan ke#epatan v =2t < 1/ , dimana v dalam

mHs dan t dalam sekon. Bila saat t 7 / benda berada pada ) 7 ; m, maka posisi

benda saat t 7 2 s adalah ....

a. 2/ m d. 0> m

b. 2> m e. / m

#. 0/ m

20. Coda sepeda berputar pada porosnya dengan persamaan posisi sudut 4 7 t < 2 t 2,

dimana 4 dalam radian, dan t dalam sekon. %osisi sudut ketika ke#epatan sudut

men#apai maksimum adalah adalah ....

a. 0 rad d. 1 rad

b. ; rad e. 1: rad#. 12 rad

2 . &ika persamaan ke#epatan sudut suatu gerak melingkar dinyatakan dalam Z 7 0 t2 rad e. 2 rad

#. rad

2>. 6erak sebuah benda memiliki persamaan posisi r 7 (:t * i < (-0t2< ; t *. emua

besaranmenggunakan satuan dasar F. Dari pernyataan berikut 3

1. benda bergerak lurus berubah beraturan

2. memiliki koordinat aal ( -, /*m

0. setelah 1 s perpindahannya > m

. setelah 1 s ke#epatannya menjadi : mHs.

%ernyataan yang benar adalah 3

a. 1, 2 dan 0 #. 1 dan

b. 1 dan 0 d. 2 ,0 dan

e. 2 dan

2;. %osisi sudut sebuah partikel pada tepi sebuah roda yang sedang berputar dinyatakan

oleh 4 7 t 0 t2< t0 , dengan 4 dalam radian dan t dalam sekon. "e#epatan

sudut ratarata antara t 7 / sampai t 7 2 sekon adalah ...radHs

a. 1 b. 2 #.0 d. e. >

28. ebuah peluru ditembakan dengan sudut elevasi 08/

dan ke#epatan aal >/ mHs.Maka perbandingan tinggi peluru ketika t7 1s dan t 7 2s adalah .....

a. 1H> b. [ #. 0H d. 0H> e. >H:



45/45


2:. ebuah 2 bola kasti menggelinding masing-masing ke#epatan v1dan v2dengan arah

mendatar jatuh dari lantai satu h17 2h dan lantai dua h270h. Membentuk lintasan

parabola. Maka perbandingan v1Hv2 adalah ......

a. 2H0 . b. 0H2 . #. 0 H2 d.2 0 H0 e. 1

2I. uatu benda dikatakan bergerak melingkar beraturan bila ....

1. perpindahannya konstan

2. ke#epatan sudutnya konstan

0. momentum liniernya konstan

.per#epatan sudutnya konsta

%ernyataan yang benar adalah ...

a. 1, 2 dan 0 b. 1 dan0 #. 2 dan d. e. 1, 2 , 0 dan

0/. ebuah peluru ditembakkan dengan arah horisontal dan dengan ke#epatan aal vdari ketinggian aal h dari permukaan tanah. &arak horisontal yang ditempuh

peluru tergantung pada ....

1. ke#epatan aal v

2. ketinggian h

0. per#epatan gravitasi

. massa peluru

%ernyataan yang benar adalah 3a. 1, 2 dan 0 b. 1 dan0 #. 2 dan d. e. 1, 2 , 0 dan