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INDICE

Contenido1.-Factores de escala.................................................................................................................2

2.-Breve introducción al sistema de coordenadas..........................................................3

2.1.-Coordenadas Rectangulares..........................................................................................3

2.2.-Coordenadas cilíndricas.................................................................................................4

2.3.-Coordenadas esféricas....................................................................................................4

2.4.-tranformacion de coordenadas cartesianas a cilíndricas.......................................5

2.5.-tranformacion de coordenadas cartesianas a esféricas.........................................6

3.-Operadores diferenciales.......................................................................................................8

3.1.-Operador nabla..................................................................................................................8

3.2.-Gradiente...........................................................................................................................10

3.3.- Divergencia......................................................................................................................12

3.4.-Rotacional.........................................................................................................................14

3.5.-Laplaciano........................................................................................................................16

3.6.-D'Alembertiano................................................................................................................17

3.7.-Wronskiano......................................................................................................................17

3.8.-Jacobiano.........................................................................................................................18

3.9.-Tensores…………………………………………………………………………………………………….…….…224.-Conclusiones…………………………………………………………………………………………………………………………….355.-Bibliografia………………………………………………………………………………………………………………………………..36

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GENERALIDADES

OBJETIVO GENERAL

Conocer la importancia de los operadores diferenciales y poder darle uso en los diferentes problemas que se sucita a lo largo de la carrera, para poder minimizar el trabajo y tener un entendimiento claro de ello

OBJETIVOS ESPECIFICOSEspecificar para que sirve cada uno de ellos, sus utilidades y su forma de aplicar sin cometer errores al resolver los problemas

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MARCO TEORIO

1.-Factores de escalaLas líneas coordenadas de un sistema de coordenadas en el espacio euclídeo tridimensional son aquellas que se obtienen partiendo de un punto dado, de coordenadas (q1, q2, q3), variando una de ellas y manteniendo fijas las otras dos. Un sistema de coordenadas se dice ortogonal si las líneas coordenadas son ortogonales en cada punto. Las coordenadas cartesianas, las cilíndricas y las esféricas, son ejemplos de coordenadas ortogonales.

Dado un conjunto de coordenadas sobre el espacio euclídeo cuyas líneas coordenadas se cortan en ángulo recto, puede construirse una base vectorial ortonormal en cada punto, a partir de los vectores tangentes a cada línea coordenada. En la obtención de estos vectores se definen unas cantidades, denominadas factores de escala, que aparecen frecuentemente en las fórmulas del cálculo vectorial. Tomando los vectores tangentes a cada línea en un punto, obtenemos tres vectores ortogonales entre sí, pero no necesariamente unitarios:

Para obtener un sistema ortonormal, dividimos cada vector por su módulo

Las cantidades hi, son los denominados factores de escala. Su nombre proviene de que dan la proporción entre lo que varía una coordenada y el desplazamiento que produce esta variación. De hecho el tensor métrico del espacio euclídeo expresado en este sistema de coordenadas:

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Debe recordarse que el espacio euclídeo, en el que existe una función para medir distancias y longitudes de curvas, tiene la estructura de variedad de Riemann gracias a la existencia de dicho tensor métrico. Gracias a esa relación entre los factores de escala y el tensor métrico, estas magnitudes aparecen en multitud de expresiones de cálculo vectorial. Así, un "desplazamiento infinitesimal" se escribe:

Aplicando el cálculo de los factores de escala a las coordenadas cartesianas se obtiene:

En coordenadas cilíndricas:

y en coordenadas esféricas:

2.-Breve introducción al sistema de coordenadasSe conoce como sistema de coordenadas al conjunto de los valores que permiten identificar de manera inequívoca la posición de un punto en un espacio euclídeo (un tipo de espacio geométrico). Los sistemas de coordenadas más simples se definen sobre espacios planos.

2.1.-Coordenadas RectangularesEn el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tres números independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.

En la Figura1, se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.

Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.

2.2.-Coordenadas cilíndricasEl sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas.

En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el

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Figura(1)

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plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.

En la Figura 2 pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

2.3.-Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas se utilizan también tres coordenadas para notar la posición de un punto o un vector en un espacio tridimensional, dos de estas coordenadas son angulares y una de ellas es métrica.

Se utiliza la longitud de un vector (R) que une el origen de coordenadas con punto dado, el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo y el ángulo que su proyección sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se muestra en la Figura 8 .

Los ángulos y toman los nombres de án gulo polar y ángulo azimutal respectivamente.

2.4.-tranformacion de coordenadas cartesianas a cilíndricas

2.4.1.-Base coordenadaA partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base

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Figura 2

Figura 3

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puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

2.4.2.-Diferenciales de línea, superficie y volumenUn desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie: La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

2.5.-tranformacion de coordenadas cartesianas a esféricas

Convenciones utilizadasLa mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos escriben:

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φ la colatitud, de 0° a 360°

θ el azimutal, de 0° a 180°

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje z, donde

, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto

tal que x = 0:

La función inversa entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

Relación con las coordenadas cilíndricas

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

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e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparece términos en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector .

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

el resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

Diferencial de volumen

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El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas esféricas da

3.-Operadores diferenciales3.1.-Operador nablaEn geometría diferencial, nabla (también llamado del) es un operador diferencial vectorial representado por el símbolo: (nabla).

En coordenadas cartesianas tridimensionales, nabla se puede escribir como:

Puede darse una definición del operador nabla que no depende del sistema de coordenadas que se emplee. Esta definición es una generalización de la que se emplea para definir la divergencia:

En la expresión anterior * representa un producto arbitrario (escalar, vectorial, tensorial o por un escalar) y A es un campo escalar, vectorial o tensorial. es un volumen diferencial que en el límite se reduce a un punto. De esta forma pueden definirse de forma intrínseca el gradiente, la divergencia, el rotacional y otros operadores sin nombre propio.

Simbología

El nombre del símbolo ∇ proviene de la palabra griega equivalente a la palabra hebrea arpa, instrumento que tiene una forma similar. Hay palabras relacionadas en los lenguajes arameo y hebreo. El símbolo fue usado por primera vez por William Rowan Hamilton, pero de forma lateral: ⊲. Otro nombre menos conocido del símbolo es atled (delta deletreado al revés), porque nabla es una letra griega delta (Δ) invertida: en el griego actual se la llama ανάδελτα (anádelta), que significa "delta invertida".

Aplicaciones del operador nabla

• Gradiente:

• Divergencia:

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• Rotacional:

• Laplaciano:

ALGEBRA DEL OPERADOR NABLA

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3.2.-GradienteEl vector gradiente lo que indica hacia donde una función crece mas rápidamente, y el vector opuesto hacia donde decrece

Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla

PROPIEDADES

El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima. Su norma es igual a esta derivada direccional máxima. Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

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A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas resulta

y para coordenadas esféricas ,

APLICACIONES en la física

La interpretación física del gradiente es la siguiente: mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico:

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como:

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas

siendo k la conductividad térmica.

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3.3.- DivergenciaLa divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir de la

divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia

Coordenadas cartesianas

Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

El resultado es sencillo:

Para coordenadas cilíndricas resulta:

Para coordenadas esféricas resulta:

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APLICACIÓN

Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de Gauss, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una superficie. Ese resultado lo hace interesante tanto en aplicaciones relacionadas con la electrostática como en la mecánica de fluidos.

El teorema se enuncia así: Sea una función vectorial diferenciable definida sobre un conjunto y sea un conjunto cerrado limitado por una frontera o superficie de contorno (que sea una variedad diferenciable) y sea el vector normal en cada punto de la superficie, entonces se cumple que:

3.4.-RotacionalEn el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:

La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

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Al campo vectorial, , que se obtiene calculando el rotacional de un campo en cada punto,

Se conoce como las fuentes vectoriales de (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

En coordenadas cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

Que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

Otros sistemas de coordenadas

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(donde, en cartesianas, y reobtenemos la expresión anterior. En

coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas

.

Propiedades

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

3.5.-LaplacianoEn cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div (grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado para representarlo. Si son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja. Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de la teoría de Hodge y los resultados de la cohomología de De Rham.

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionales, el laplaciano de una función f es:

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Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

En coordenadas ortogonales generales

3.6.-D'AlembertianoEl operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como , o simplemente como . Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de , el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda electromagnética.

Escrito en la notación de derivadas parciales, d'Alembert en un espacio-tiempo plano está definido por

Donde c es la velocidad de la luz.

El operador suele llamar el d'Alembert es también el Laplaciano en un colector plano de la firma de Lorentz.

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Aplicaciones

La ecuación de Klein-Gordon (Ecuación de Klein-Gordon).

La ecuación de onda (ecuación de onda) para el campo electromagnético en el vacío.

La ecuación de onda (ecuación de onda) para pequeñas vibraciones.

3.7.-WronskianoEn matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 18121 por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński (1776-1853) y nombrado en 18822 por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:

El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:

si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el wronskiano. Notése que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes.

si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero.

Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si W = 0 en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto. Sin embargo si f_1,..., f_n son funciones analíticas y W = 0 en todas partes, entonces f_1,..., f_n son linealmente dependientes.

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Hay un sentido en el que el wronskiano de una ecuación diferencial lineal de orden n-ésimo es el producto exterior n-ésimo. Para implementar esa idea se debe trabajar con algunas formulaciones en las que las ecuaciones diferenciales son suficientemente parecidas a vectores en el espacio: por ejemplo en el lenguaje del fibrado vectorial llevando una conexión.

El teorema es significativamente fácil de probar por medio de su segunda declaración mencionada anteriormente, siendo: Si las funciones son linealmente dependientes sobre el intervalo, entonces lo son también las columnas de la matriz wronskiana asociada (la diferenciación es una operación lineal); consecuentemente, el determinante wronskiano es cero en todos los puntos del intervalo.

3.8.-JacobianoEn cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Coordenadas cilíndricas

Vimos que en la geometría plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripción más conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones más apropiadas de algunas superficies y sólidos que suelen presentarse.

Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo veremos más adelante), y el otro es el sistema de coordenadas cilíndricas, en donde un punto P del espacio tridimensional se representa mediante una tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a P como se muestra en la figura.

Entonces podemos afirmar que x = r cos t, y = r sen t, y z = z.

upongamos ahora una integral triple de una función F(x, y, z) definida en un dominio Dx y z, podemos sustituir las variables x, y, z por funciones H (u, v, w), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamante, entonces la integral triple nos queda igual a

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siendo J el Jacobiano que resulta

Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones anteriores obtenemos

Entonces el cambio de variables en coordenadas cilíndricas será

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (r, j, t) se muestran en la figura, donde r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto P, j es el ángulo entre el eje positivo z y el segmento de recta OP, y t es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas.

La relación entre las coordenadas esféricas y las rectangulares pueden observarse en la misma figura. De los triángulos OPZ y OPP’ obtenemos

De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el Jacobiano para realizar el cambio de variables.

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Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esféricas en integrales triples resultará.

3.9.-Tensores

Campo de tensores :

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3.9.1.-Campo escalar:

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3.9.2.-Gradiente:

Gradiente de un escalar

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3.9.3.-Divergencia:

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3.9.4.-Rotacional:

Rotacional de un vector

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3.9.5.-Campo Conservativo:

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CONCLUSIONES

Todos los operadores tienen vital importancia en el ámbito de la física y el, sus aplicaciones son tan importantes para poder hallar soluciones sin mucho procedimiento, minimizan el trabajo así como la deducción de fórmulas tanto en electrostática, electrodinámica o en magnetismo.

Cada uno de estos operadores tienen su propia formula de uso por lo que el concepto de cada uno de ellos no varía, es aplicable para el resto de la carrera en general.

BIBLIOGRAFIA

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http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricasv

http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala_(coordenadas_ortogonales)

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http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanica-y-mecanismos/Contenidos/Teoria/Anejo2.Operadores-diferenciales.pdf

http://es.knowledger.de/2189081/OperadorDeDAlembert

http://tex.stackexchange.com/questions/20510/what-is-the-best-symbol-to-use-for-the-dalembertian

http://finslab.com/enciclopedia/letra-d/dalembert-operador.php

http://scientiapotentiaest.ambages.es/?tag=dalembert

http://www.aias.us/documents/spanish/Capitulo_7.pdf

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http://es.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_d'Alembert

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