Download - Fisica Cbc

Transcript
  • 104

    INDICE

    Pgina 4 ........... Resumen de todo el libro. 9 CINEMATICA. Posicin, velocidad y aceleracin.

    10 ........... SISTEMA DE REFERENCIA. Trayectoria. 14 MRU. Movimiento Rectilneo y Uniforme 16 ........... Ecuaciones horarias en el MRU. 17 Tg de un ngulo y pendiente de una recta. 19 ........... Grficos en el MRU. 20 Velocidad media. 27 ........... Encuentro. 27 Problemas de encuentro. 32 ........... Mvil que sale antes que el otro. 33 MRUV, concepto. 34 ........... Aceleracin. 36 Signo de la aceleracin. 38 ........... Ecuaciones y grficos en el MRUV 43 Ecuacin complementaria. 45 ........... Velocidad instantnea. 46 Anlisis de los grficos del MRUV. 49 ........... Encuentro en MRUV. 53 Como resolver problemas de MRUV. 54 ............Cada libre y tiro vertical. 56 Como resolver problemas de C. libre y T. vertical. 61 ........... Tiro oblicuo 61 Trigonometra. 66 ...........Principio de independencia de los movimientos. 70 Ecuaciones en el Tiro Oblicuo. 70............ Como resolver problemas de Tiro Oblicuo. 77 DINMICA . Fuerza, masa y aceleracin. 80 ............Leyes de newton. 86 Diagramas de cuerpo libre. 94 ............Plano inclinado.

  • INDICE

    DINAMICA 5 ..........Rozamiento 18 Dinmica del movimiento circular 29.......... Fuerzas elsticas. 36 Gravitacin

    TRABAJO Y ENERGIA 42 ..........Trabajo de una fuerza. 48 Energa cintica 52 ..........Potencia 57 Energa potencial 58...........Energa elstica 62 Energa mecnica 64...........Fuerzas conservativas. 66 Fuerzas NO conservativas 68...........Teorema del trabajo y la Energ. Mecnica. 69 Conservacin y no conservacin de la energa. CHOQUE 77 ..........Impulso ( J ) 78 Cantidad de movimiento ( P ) 80 ..........Relacin entre J y P 85 Conservacin de la cantidad de movimiento. 87 ..........Choque plstico 95 Choque elstico 103.........Choque en 2 dimensiones

  • 4

    CINEMATICA POSICIN ( x ): Lugar del eje equis donde se encuentra el objeto. VELOCIDAD ( v ): Rapidez con la que se mueve el objeto. Es Cte en el MRU.

    MRU. el en Velocidad

    empleado. Tiempo

    recorrido. Espacio

    =

    =

    0f

    0f

    ttxxv

    txv

    ACELERACIN ( a ): Rapidez con la que cambia ( vara ) la velocidad del objeto. La aceleracin siempre vale cero en el MRU .

    MRU - Movimiento Rectilneo y Uniforme.

    El tipo se mueve en lnea recta todo el tiempo a la misma velocidad. Recorre espacios iguales en tiempos iguales.

    ECUACIONES HORARIAS (ojo)

    GRFICOS PARA EL MRU (ojo)

    RESUMEN Resumo todo el libro en estas primeras pginas. Es todo lo que est dentro de los recuadros. Lo hago por si necesits buscar rpido una frmula o quers darle una mirada general a todo el libro.

    0

    )( 00

    ====

    ====

    ++++====

    a

    ctev

    ttvxx

  • 5

    ENCUENTRO - MRUV ( Mov. Rect. Unif. Variado ). ENCUENTRO: Dos cosas se encuentran si pasan al mismo tiempo por el mismo lugar. Para resolver los problemas conviene seguir estos pasos:

    1) - Hago un dibujo de lo que pasa. Elijo un sistema de referencia y marco las posiciones iniciales y las velocidades con su signo ( ojo ).

    2) - Planteo las ecuaciones horarias para los mviles A y B. 3) - Escribo la condicin de encuentro: xA = xB , si t = te 4) - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden. 5) -Hago el grfico de posicin en funcin del tiempo. ( Conviene ). MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMENTE VARIADO ( MRUV ) La velocidad aumenta ( o diminuye) lo mismo por cada segundo que pasa. ECUACIONES HORARIAS Dan la posicin, velocidad Y aceleracin del objeto . ECUACIN COMPLEMENTARIA: Vf2 Vo2 = 2 . a . ( Xf Xo ) GRAFICOS DEL MRUV

    0

    21

    00

    cteatavv

    tatvxx

    f

    =

    +=

    ++= 2

  • 6

    MRUV - continuacin VELOCIDAD INSTANTNEA: Es la que tiene la cosa justo en un momento determinado. Es la que va marcando el velocmetro del auto. PENDIENTES Y REAS: La pendiente del grfico posicin en funcin del tiempo X (t) me da la velocidad instantnea. ( Importante ). La pendiente del grfico velocidad en funcin del tiempo me da la aceleracin. El rea bajo el grfico de velocidad me da el espacio recorrido.

    CADA LIBRE-TIRO VERTICAL

    Cada libre y tiro vertical son casos de MRUV. Para resolver los problemas hay que aplicar todo lo mismo que en MRUV. Esto lo hago para un eje vertical que llamo y. Para resolver los problemas conviene hacer esto : 1- Tomo un sistema de referencia. Marco Y0, V0 y g con su signo .( ojo ! ). El eje y puede ir para arriba o p/abajo. Si va para arriba, g es negativa. 2 Planteo las ecuaciones horarias: Y = Yo + Vo t + g t 2

    Vf = Vo + g t a = Cte ( = g ) 3 - Reemplazo en las ecuaciones los valores de y0, v0 y g con sus signos y de ah despejo lo que me piden.

    Sistema de referencia

  • 7

    TIRO OBLICUO

    Cuando uno tira una cosa en forma inclinada tiene un tiro oblicuo. Ahora el vector velocidad forma un ngulo alfa con el eje x. ( Angulo de lanzamiento ).

    Para resolver los problemas uso el principio de superposicin de movimientos, que dice esto: La sombra de la piedra en el eje x hace un MRU. La sombra de la piedra en el eje y hace un tiro vertical. C/u de estos movimientos es independiente del otro. Lo que pasa en x no influye sobre y ( y viceversa ).

    Tomo un sistema de referencia. Sobre l marco V0x, V0y y g. C/u con su signo. Calculo las velocidades iniciales en equis y en Y multiplicando por seno o por coseno. Planteo las ecuaciones horarias para las proyecciones ( = las sombras ) en cada uno de los ejes. En equis voy a tener un MRU y en Y un tiro vertical. Despejando de estas ecuaciones calculo lo que me piden. Ojo. De las 6 ecuaciones solo se usan 3, la de X, la de Y y la de Vfy.. Todo problema de tiro oblicuo tiene que poder resolverse usando solamente esas 3 ecuaciones. ( Atencin ).

    0 (MRUV) (MRU)

    yEje x Eje 2

    yx

    y0fyx0x

    21

    y00x00

    gcteaatgvvctevv

    tgtvyytvxx

    ===

    +===

    ++=+=

  • 8

    DINAMICA LEYES de NEWTON 1 LEY: Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza entonces o est quieto, o se mueve con velocidad constante.

    Si F = 0 a = 0 ( V = cte )

    2 LEY: Si sobre un cuerpo acta una fuerza F, ste se mover con acele- racin. Esta aceleracin ser proporcional a F, de la misma direc- cin y sentido, e inversamente proporcional a la masa.

    3 LEY: Si empujo una cosa con una fuerza F voy a sentir que la cosa tambin me empuja a m con una fuerza igual y contraria. Para resolver los problemas de dinmica es fundamental primero hacer un dibujito donde uno pone todas las fuerzas que actan. Esto se llama hacer el diagrama de cuerpo libre. ( Ojo ). PLANO INCLINADO Se descompone la fuerza peso en las direcciones X e Y. El valor de las fuerzas Px y Py se calcula con:

    m sobre

    cuerpo el sobre

    Reaccin Accin

    cuerpo DelMa FF =

    amF !!

    =

    Px = P . sen Py = P . cos

  • 9

    CINEMTICA

    POSICIN, VELOCIDAD Y ACELERACIN ( Conceptos )

    En cinemtica lo que hacemos es ver cmo se mueve un cuerpo. Ese cuerpo puede ser un coche, un pjaro, una nube, una galaxia, lo que sea. Ver cmo se mueve un objeto significa para la fsica saber dnde est, qu velocidad tiene, y si esta velocidad cambia o es todo el tiempo la misma. Posicin, velocidad y aceleracin son tres conceptos que tens que conocer bien porque se usan todo el tiempo y son la base de un montn de otras cosas que vienen despus. Fijate bien:

    El lugar en donde est la cosa que se est moviendo se llama Posicin. La rapidez que tiene lo que se est moviendo se llama velocidad. Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye, se dice que tiene aceleracin.

    Ejemplo:

    x Xauto= 10 m Se usa la letra x para indicar la posicin porque casi siempre las posiciones se marcan sobre un eje x. Si el objeto est a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y ( y la altura se indica con la letra y ). EJEMPLO: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posicin tomo un eje vertical Y. Con respecto a este eje digo:

    LA POSICION DEL PATO ES Y = 5 metros .

    POSICION Y VELOCIDAD

  • 10

    X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa ( por ejemplo de un avin ) es una manera de decir dnde est el objeto en ese momento. SISTEMA DE REFERENCIA

    Cuando digo que la posicin de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desde dnde. Vos pods estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo, de manera que la frase: estoy a 10 m no indica nada. Hay que aclarar desde dnde. Entonces en fsica, lo que ellos hacen es decir: Por ejemplo el Km cero est en la plaza congreso. Todas las distancias de las rutas se miden desde ah. En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman el sistema de referencia. Todas las distancias que se miden estn referidas a l. Ejemplo :

    Para resolver los problemas hay que elegir siempre el par de ejes x-y. Puede ser que algn problema se pueda resolver sin tomar sistema de referencia, pero el que ellos te van a tomar en el parcial NO. Poner el par de ejes x-y nunca est de ms. Y si el dibujo es comprensible, y el sistema de referencia est bien tomado, eso puede ser la diferencia entre un 2 y un 4.

  • 11

    ( No s si fui claro ). Las ecuaciones que uno plantea despus para resolver el problema, van a estar referidas al par de ejes x-y que uno eligi. Por eso es tan importante este asunto. Cuando empieces a resolver los problemas lo vas a entender mejor. TRAYECTORIA ( Fcil )

    La palabra trayectoria para la fsica significa lo mismo que en la vida diaria. La trayectoria es el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve . Puede haber muchos tipos de trayectorias. Fijate:

    Distintos tipos de trayectorias.

    Una trayectoria no tiene por qu ser algn tipo de curva especial. Puede tener cualquier forma. Puede ser cualquier cosa

    POSICINES NEGATIVAS ( leer ! )

    Una cosa puede tener una posicin negativa ( como x = -3 m, x = -200 Km ). Eso pasa cuando la cosa est del lado negativo del eje de las equis. Esto es importante, porque a veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ah vos sols decir: Huy !. Me dio X = - 20 m. Pero la posicin no puede

  • 12

    dar negativa. Ahora que hago !?. Encima el tipo est pidiendo que entreguen las hojas. Son !. Rta: No son nada. La posicin puede dar perfectamente negativa. Incluso la velocidad y la aceleracin tambin pueden dar negativas. ( Despus lo aclaro ). Fijate ahora en este dibujito como se representa una posicin negativa :

    VELOCIDAD NEGATIVA ( leer! ) Si la cosa que se mueve va en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es ( +). Si va al revs, es ( - ). Atento con esto que no es del todo fcil de entender. A ver: Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice: estoy a 3 m de la puerta. Dice: estoy 3 m detrs de la puerta. Tampoco se usa decir: ese coche va a 20 Km/h . Uno dice: ese coche va a 20 Km por hora al revs de cmo voy yo. Sin embargo, ac en cinemtica, la cuestin de posiciones negativas y velocidades negativas se usa todo el tiempo y hay que saberlo bien. LA LETRA GRIEGA DELTA ( ) ) ) )

    Vas a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un triangulito as: . . . .

  • 13

    En fsica se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo, x querr decir equis final menos equis inicial . t querr decir t final menos t inicial , y as siguiendo. En matemtica a este asunto de hacer la resta de 2 cosas se lo llama hallar la variacin o hallar la diferencia. Acostumbrate a estas palabras porque se usa mucho. Por ejemplo, una de las frases que vas a escuchar mucho va a ser del tipo: Bueno, fijens que ac para calcular el espacio recorrido voy a tener que hacer la diferencia ( = la resta ) entre equis final y equis inicial . ESPACIO RECORRIDO ( X )

    El lugar donde el tipo est se llama posicin. La distancia que el tipo recorre al ir de una posicin a otra se llama espacio recorrido. Fijate que posicin y espacio recorrido NO son la misma cosa. Pongmonos de acuerdo. Vamos a llamar: x0 = posicin inicial ( lugar de donde el tipo sali ). xf = posicin final ( lugar a donde el tipo lleg ). x = espacio recorrido. ( = Xf Xo ). Si el mvil sali de una posicin inicial ( por ejemplo X0 = 4 m ) y lleg a una posicin final ( por ejemplo Xf = 10 m ) , el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta:

    x = xf - x0

    Es decir, en este caso me queda: X = 10 m 4 m ==> X = 6 m .

    TIEMPO TRANSCURRIDO o INTERVALO DE TIEMPO ( t )

    El intervalo de tiempo t es el tiempo que el tipo estuvo movindose. Delta t puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto sali en un determinado instante inicial t0 ( por ej. a las 16 hs ), y lleg en un determinado instante final ( por ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo delta te se calcula

    ESPACIO RECORRIDO

  • 14

    haciendo t = tf t0 , ( Es decir 18 hs 16 hs = 2 hs ).

    MOVIMIENTO RECTILNEO y UNIFORME ( MRU )

    Una cosa se mueve con movimiento rectilneo y uniforme si se mueve en lnea recta y recorre espacios iguales en tiempos iguales. Esto lo dijo Galileo ( dolo! ). Dicho de otra manera:

    En el MRU la velocidad no cambia, se mantiene constante. Al ser la velocidad todo el tiempo la misma, digo que lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en el movimiento rectilneo y uniforme la aceleracin es cero (a = 0 ). EJEMPLO DE CMO SE CONSTRUYEN GRFICOS EN EL MRU ( leer bien esto ! )

    Supon que una cosa se viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo. Despus de una hora habr recorrido 100 Km. Despus de 2 hs habr recorrido

  • 15

    200 Km y as siguiendo... Esto se puede escribir en una tablita:

    POSICIN TIEMPO 0 Km 0 hs 100 Km 1 h 200 Km 2 hs

    Ahora puedo hacer un grfico poniendo para cada tiempo la posicin correspondiente ( a 0 le corresponde 0; a 1 le corresponde 100; etc ). Uniendo todos los puntos tengo el grfico de la posicin en funcin del tiempo:

    A este grfico se lo suele llamar abreviadamente X (t) , X = f (t) , o X = X (t). Todas estas denominaciones quieren decir lo mismo: Representacin de la posicin X en funcin del tiempo. Puedo dibujar tambin los grficos de velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. ( Importantes ). Si lo penss un poco vas a ver que quedan as:

  • 16

    En estos 3 grficos se ven perfectamente las caractersticas del MRU. O sea : El grfico de V en funcin de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El grfico de a en funcin de t muestra que la aceleracin es todo el tiempo cero. El grfico de x en funcin del tiempo muestra que la posicin aumenta linealmente con el tiempo.

    CLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRU

    Para calcular la velocidad se hace la cuenta espacio recorrido sobre tiempo empleado. Esta misma cuenta es la que vos uss en la vida diaria.

    Supongamos que el tipo sali de la posicin x0 y lleg a la posicin xf . La velocidad ser:

    ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU (Importante). La definicin de velocidad era: . Si ahora despejo X X o me queda :

    V . ( t to ) = X X o X = Xo + V . ( t to ) 1ra ECUACION HORARIA Esta ecuacin me va dando la posicin del tipo en funcin del tiempo. ( Atento ). Se la llama horaria porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ). Como ( t - t0 ) es t, a veces se la suele escribir como X = X0 + V x t . Y tambin si t cero vale cero, se la pone como X = X0 + Vxt . ( Importante )

    0

    0

    ttxxv

    =

    MRU. el en Velocidad

    empleado. Tiempo

    recorrido. Espacio

    =

    =

    0f

    0f

    ttxxv

    txv

  • 17

    Suponete que lo que se est moviendo sali en t0 = 0 de la posicin X0 = 200 Km. Si el objeto sali con una velocidad de 100 Km/h, su ecuacin horaria ser:

    X = 200 Km + 100 hKm . ( t 0 )

    X = 200 Km + 100 hKm t

    Si en la ecuacin voy dndole valores a t ( 1 h, 2 hs, 3 hs, etc) voy a tener la posicin donde se encontraba el tipo en ese momento. Las otras dos ecuaciones horarias para el caso del MRU son:

    En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son: X = Xo + V . ( t to ) V = Cte a = 0 De las tres ecuaciones slo se usa la primera para resolver los problemas.Las otras 2, digamos que no se usan. Son slo conceptuales. ( pero hay que saberlas ).

    TANGENTE DE UN NGULO

    Calcular la tangente (tg) de un ngulo significa hacer la divisin entre lo que mide el cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Por ejemplo, dibujo un ngulo cualquiera. Un tringulo de ngulo alfa En este tringulo la tangente de alfa va a ser:

    Tg = adyacenteopuesto Tangente de un ngulo.

    0 a ycte ==v

    ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

  • 18

    437,0 8,4 1,2

    ==

    cmcmtg

    Midiendo con una regla directamente sobre la hoja obtengo: opuesto: 2,1 cm adyacente: 4,8 cm Entonces: Fijate que el resultado no dio en cm. La tangente de un ngulo es siempre un nmero. ( No tiene unidades).

    PENDIENTE DE UNA RECTA

    La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tg de un ngulo, slo que tiene unidades. Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la divisin entre la cantidad que est representando el cateto opuesto y la cantidad que est representando el cateto adyacente. Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representacin de la posicin en funcin del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU:

    Para el ngulo alfa que yo dibuj, el cateto opuesto MIDE unos 1,8 cm si lo mido con una regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el cateto adyacente MIDE unos 3,8 cm; pero REPRESENTA 8 seg. De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser:

    En este caso:

    sm20pendiente

    s8m160pendiente ==

    Cat.Ady. el representa que ValorOp. Cat. el representa que Valor Pendiente =

    Pendiente de una recta

  • 19

    0xtvx

    bxmy

    +=

    +=!!!!

    Repito . Fijate que la pendiente no es slo un nmero, sino que tiene unidades. En este caso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte en otras unidades tambin. Eso depende de qu ests graficando en funcin de qu.

    LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL GRFICO X=f(t) ES LA VELOCIDAD

    No es casualidad que la pendiente del grfico anterior haya dado justo en unidades de velocidad. La pendiente de la recta en el grfico posicin en funcin del tiempo SIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento. Por qu ?. Rta: Porque al hacer la cuenta opuesto sobre adyacente siempre ests haciendo x/t, y esto es justamente la velocidad (Atenti).

    REPRESENTACIN GRFICA DE LAS ECUACIONES HORARIAS ( ver )

    En cinemtica se usan todo el tiempo 3 grficos muy importantes que son los de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Cada grfico es la representacin de una de las ecuaciones horarias. Quiero que te acuerdes primero cmo se representaba una recta en matemtica. La ecuacin de la recta tena la forma y = m.x + b. be era el lugar donde la recta cortaba al eje y ( ordenada al origen ) y eme era la pendiente. Por ejemplo la ecuacin de una recta podra ser y = 3 x + 4.

    Ahora, si tomo la 1ra ecuacin horaria con t0 = 0 ( que es lo que en general suele hacerse ), me queda x = x0 + v . t . Ahora fijate esta comparacin:

    Veo que la ecuacin de X en funcin del tiempo en el MRU tambin es una recta en donde la velocidad es la pendiente y X0 es el lugar donde la recta corta el

  • 20

    eje vertical. Para cada ecuacin horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 lindos grficos, uno para cada ecuacin. Entonces los tres grficos caractersticos del MRU quedan as:

    VELOCIDAD MEDIA

    Si un tipo va de un lugar a otro y sin ir todo el tiempo a la misma velocidad, su velocidad media se calcula as:

    Por ejemplo: Supongamos que un auto va a Mardel por la ruta 2 ( unos 400 Km ). Si tarda 6 hs en llegar. Su velocidad media va a ser: hKm

    txv m

    5,626hs

    375Kmv

    recta) lnea (en

    m ==

    =

    Los 3 grficos representativos del

    movimiento rectilneo y uniforme

    (Muy importantes)

    (1) Posicin en funcin del tiempo ( Muestra que x aumenta linealmente con t )

    (2) Velocidad en funcin

    del tiempo ( Muestra que v se mantiene constante).

    (3) Aceleracin en funcin del tiempo ( Muestra que la a es todo el tiempo cero ).

    media Velocidad distancia esa recorrer en empleado Tiempo

    llegada de punto el ypartida de punto el entre hay que recta lnea en Distancia

    vm =

  • 21

    EJEMPLOS DE MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORME

    Un tipo sale de la posicin x0

    =

    400 Km a las 8 hs y llega a la posicin xf

    =

    700 Km a las 11 hs. (fue en lnea recta y con v = constante). Se pide:

    a)-Tomar un sistema de referencia y representar lo descripto en el problema. b)-Calcular con qu velocidad se movi (en Km/h y en m/s) c)-Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas. d)-Calcular la posicin a las 9 hs y a las 10 hs. e)-Dibujar los grficos de x

    =

    f(t), v

    =

    v(t) y a

    =

    a(t). a) - El sistema de referencia que elijo es el siguiente:

    b) - Calculo con qu velocidad se movi. V era

    x

    /

    t , entonces:

    Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: ( recordalo por favor ). A la palabra Km la reemplazo por 1000 m y a la palabra hora la reemplazo por 3600 seg. Entonces :

    tipo del Velocidad /100

    3300

    811400700

    0

    0

    hKmv

    hsKmv

    hshsKmKmv

    ttxx

    vf

    f

    =

    =

    =

    =

    segm

    hKm

    segm

    hKm

    6,3100 100

    36001000.100 100

    =

    =

  • 22

    Fijate en este tres coma seis. De ac saco una regla que voy a usar mucho :

    Si no te acords de esta regla, no es terrible. Lo deducs usando el mismo truco que us yo y listo. ( 1 Km son mil metros, 1 h son 3600 segundos, etc ). C ) - Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas. Bueno, en el movimiento rectilneo y uniforme las ecuaciones horarias eran:

    En este caso reemplazo por los datos y me queda:

    Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que estn bien planteadas. Bueno, con la 2da y la 3 ra (V = 100 Km / h, y a = 0 ) no tengo problema. S que el movimiento es rectilneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que dar constante, y la aceleracin cero . ( ==> estn bien ). Vamos a la verificacin de la 1ra ecuacin. Si esta ecuacin estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0 ), la posicin me tendra que dar 400 Km ( = x0 ). Veamos si da:

    == > X = 400 Km ( Di bien ). Vamos ahora a la posicin final. Para t = 11 hs la posicin me tiene que dar x = 700

    0

    ( 0

    =

    =

    + =

    a

    cte V

    t t 0 ) v x x

    0aconstantehKm100v

    )hs8t(h

    Km100Km400x

    =

    ==

    +=

    Para pasar de Km/h a m / s hay que dividir por 3,6.Para pasar de m /s a Km / h hay que multiplicar por 3,6.

    Regla para pasar de Km /h a m /s y viceversa.

    0)88(100400

    )8(100400

    +=

    +=

    hshshKmKmx

    hsthKmKmx

    ""#""$%

  • 23

    Km. Otra vez reemplazo t cero por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da.

    == > X = 700 Km ( Di bien ).

    d)- Calcular la posicin a las 9 hs y a las 10 hs. Hago lo mismo que lo que hice recin, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs:

    Para t = 10 hs : e) - Dibujar los grficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t) . El ms complicado de hacer es el de posicin en funcin del tiempo. De lo que calcul antes puedo armar una tabla como esta:

    x t 400 Km 8 hs 500 Km 9 hs 600 Km 10 hs 700 Km 11 hs

    Ahora represento estos puntos en el grfico x-t :

    ) 8 11 ( 100 400

    ) 8 ( 100 400

    3

    +=

    +=

    hshshKmKmx

    hsthKmKmx

    hs""#""$%

    hs. 9 las a Posicin 500

    ) 8 9 ( 100 400

    )9(

    1

    =

    +=

    Kmx

    hshsh

    KmKmx

    hs

    h"#"$%

    hs 10 las a Posicin 600

    ) 8 10 ( 100 400

    )10(

    2)10(

    =

    +=

    Kmx

    hshsh

    KmKmx

    hs

    hshs ""#""$%

  • 24

    En realidad no hacia falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente ( porque es una recta ). Finalmente el grfico posicin en funcin del tiempo X (t) queda as :

    Los otros dos grficos quedaran de esta forma :

    Por ltimo me gustara verificar que la pendiente del grfico de posicin en funcin del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica : Fijate bien cmo consider los catetos opuesto y adyacente. Siempre el cateto opuesto tiene que ser el espacio recorrido ( x ) y el adyacente, el tiempo empleado ( t ). Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba :

  • 25

    adyacente opuesto

    pendiente =

    bien. Dio 100.

    8hs-11hs400Km- 700Km.

    =

    =

    hKmpend

    pend

    Este sera el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. Para la verificacin de la pendiente hago esto:

    OTRO EJEMPLO (velocidad media)

    Un tipo tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Despus recorre 30 Km 30 Km por hora. Y, por ltimo, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h. a)-Qu tiempo tard en recorrer los 100 Km? b)-A qu velocidad constante tendra que haber ido pa- ra recorrer los 100 Km en el mismo tiempo? c)Dibujar los grficos: x(t), v(t) y a(t).

    Hago un esquema de lo que plantea el problema:

    El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir:

    :cuentas las Haciendo

    :ser t delta el Como tramo. cada recorrer en tard tiempo qu fijo Me

    ==

    ==

    ==

    =

    =

    h1hKm60

    Km60t

    h1hKm30

    Km30t

    h1hKm10

    Km10t

    .vxt

    ,txv

    3

    2

    1

  • 26

    t total = t1 + t2 + t3 t total = 3 hs. Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km. b) La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media. Entonces:

    c) Veamos cmo dan los grficos:

    Lo que quiero que veas principalmente es cmo en el primer grfico las rectas se van inclinando ms y ms hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Ms aumenta la velocidad, ms aumenta la pendiente. Y es que la pendiente de la recta en el grfico X (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinacin. Eso es todo lo que tens que saber.

    Fin teora Movimiento Rectilneo y Uniforme. Prximo tema : Encuentro MRUV.

    media Velocidad Km 3,33

    3hs100Km

    =

    =

    =

    hv

    vtxv

    m

    mm

    &

  • 27

    ENCUENTRO ( Importante )

    Encuentro es un tema que les gusta bastante. Suelen tomarlo en los exmenes y hay que saberlo bien. No es muy difcil. Lee con atencin lo que sigue. CUNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN ? Dos cosas se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo tiempo. Fijate que esto ltimo lo subray. Es que para que 2 cosas se encuentren no alcanza con que pasen por el mismo lugar. Tienen que pasar por el mismo lugar al mismo tiempo. El otro dia vos fuiste a lo de tu primo. Vos sabs que justamente yo tambin fui a lo de tu primo ?. Pero no te vi. Cmo puede ser que no te haya visto si estuvimos en el mismo lugar ?. Bueno, seguramente habremos estado a diferentes horas, o diferentes das. Es decir, los 2 estuvimos en el mismo lugar pero NO al mismo tiempo. No te compliques. Esto que parece fcil, ES fcil. Una situacin de encuentro podra ser la siguiente: Esto muestra una ruta vista de arriba. ( Tpico problema de encuentro ). SISTEMA DE REFERENCIA

    En algn momento los dos autos se van a encontrar en alguna parte de la ruta. Lo que va a pasar ah es esto:

  • 28

    Este asunto del encuentro lo pongo en forma fsica as:

    Esta condicin se cumple en todos los casos y en todos los problemas de encuentro. Es decir, puede ser que los coches estn viajando en el mismo sentido o en sentido contrario. Puede ser que uno vaya frenando y el otro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. Lo que sea. La historia es siempre la misma y la condicin ser xA = xB para t = te.

    COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO:

    Los problemas de encuentro son problemas en los que una cosa sale del lugar A y otra sale del lugar B. Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en el mismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no. Lo que siempre te van a preguntar es: dnde se encuentran los tipos y despus de cunto tiempo. Para resolver esto conviene seguir estos pasos. Prest atencin:

    1- Hago un dibujo de lo que plantea el problema. En ese dibujo elijo un sistema de referencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales de los mviles y la velocidad de c/u de ellos con su signo. Si la velocidad va en el mismo sentido del eje x es (+). Si va al revs, es (-) . ( ojo ! ). 2- Escribo las ecuaciones horarias para c/u de los mviles.( xA = ..., xB = ...) 3- Planteo la condicin de encuentro que dice que la posicin de A debe ser igual a la de B para t = te. 4- Igualo las ecuaciones y despejo te . Reemplazando te en la ecuacin de xA o de xB calculo la posicin de encuentro.

    5- Conviene hacer un grfico Posicin en funcin del tiempo para los 2 m- viles en donde se vea la posicin de encuentro y el tiempo de encuentro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo: Problema de encuentro en MRU

    Un auto y un colectivo estn ubicados como muestra el dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/h respectivamente.

    encuentro. de Condicin !IMPORTANTE == eBA t para t xx!

  • 29

    0hKm60

    thKm600

    =

    =

    +=

    A

    A

    A

    a auto v el

    x Para

    a)-Calcular cunto tiempo tardan en encontrarse. b)-Hallar el lugar donde se encuentran. c)-Hacer el grfico de x(t) para los 2 mviles y verificar los puntos a) y b).

    Bueno, empiezo haciendo un dibujito que explique un poco el enunciado.

    Para calcular lo que me piden sigo los pasos que puse antes: 1 - Hago un esquema. Elijo un sistema de referencia. Marco las posiciones y las velocidades iniciales:

    Puse el sistema de referencia en el lugar donde estaba el auto al principio. Las dos velocidades son ( +) porque van en el mismo sentido del eje x. 2 - Planteo las ecuaciones horarias. ( Ojo. Esto hay que revisarlo bien, porque si estn mal planteadas todo lo que sigue va a estar mal... ).

    3 - Planteo la condicin de encuentro que dice que la posicin de los 2 tipos debe coincidir en el momento del encuentro:

    0hKm20

    th

    Km20Km1,0

    =

    =

    +=

    A

    B

    B

    a v

    x Para el bondi

  • 30

    xA = xB para t = te

    Las ecuaciones de la posicin para A y B eran:

    4 - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden: Reemplazando este te en cualquiera de las ecuaciones horarias tengo la posicin de encuentro. Por ejemplo, si reemplazo en la de xA : Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuacin y ver si da lo mismo. A mi me gusta verificar, porque si me da bien ya me quedo tranquilo. A ver :

    ) m 150 ( 15,0

    600

    ENCUENTRO DE POSICION

    hs 0,0025 e

    ==

    +=

    Kmx

    th

    Kmx

    e

    e

    th

    KmKm

    th

    Km

    +=

    +=

    20 1,0x

    600x

    B

    A

    ENCUENTRO DE TIEMPO

    60

    9t

    :3600 por ndomultiplica entonces, segundos, 3600 son hora Una

    0025,0 40 1,0

    1,0 40

    1,0 20 60

    20 1,0

    =

    ==

    =

    =

    +=

    seg

    hshKm

    Kmt

    Kmth

    Km

    Kmth

    Kmth

    Km

    th

    KmKmth

    Km

    e

    e

    e

    ee

    ee

    di.Bien, m) 150( 15,0

    201,0 hs 0,0025

    ==

    +=

    Kmx

    th

    Kmx

    e

    ee

  • 31

    Es decir que la respuesta al problema es que el coche alcanza al colectivo en 9 seg, despus de recorrer 150 m. De la misma manera podra haber dicho que el encuentro se produce a los 9 segundos y despus que el colectivo recorri 50 m. Esto es importante. Cuando uno dice que el encuentro se produce a los 150 metros tiene que aclarar desde dnde estn medidos esos 150 metros. La situacin final vendra a ser esta: AUTO ENCUENTRO c) Otra manera de verificar que lo que uno hizo est bien es hacer el grfico x(t) representando c/u de las ecuaciones horarias. Lo que hago es ir dndole valores a t y calcular los de equis. Fijate. Es slo cuestin de hacer algunas cuentas: Auto xA t | xB t Colectivo xA = 60.t 0 0 | 100m 0 xB = 0,1 + 20.t 50m 3 seg | 116m 3 seg 100m 6 seg | 133m 6 seg 150m 9 seg | 150m 9 seg La representacin de las 2 rectas queda as:

    POSICION DE ENCUENTRO TIEMPO DE ENCUENTRO El lugar donde se cortan las rectas indica el tiempo de encuentro sobre el eje horizontal y la posicin de encuentro sobre el eje vertical.

  • 32

    Siguiendo estos pasos se pueden resolver todos los ejercicios de encuentro. Hay tambin otros mtodos para resolver estos problemas, sin embargo vos tens que aprender ste, porque es el que ellos te van a pedir que uses ( y que est perfecto porque de todos los mtodos, ste es el mejor ). IMPORTANTE: PROBLEMAS EN DONDE UNO DE LOS MOVILES SALE ANTES O DESPUES QUE EL OTRO. ( LEER ).

    Puede pasar que en un problema uno de los tipos salga antes que el otro. Supon por ejemplo que el auto hubiera salido 3 seg antes que el colectivo. En ese caso lo que hago es calcular qu distancia recorri el auto en esos 3 seg y plantear un nuevo problema de encuentro. Es decir, hago esto:

    Este mtodo de resolver problemas de encuentro para mviles que no salen en el mismo momento sirve para todos los casos de encuentro. Se puede aplicar siempre. Repito: siempre. Los objetos pueden estar movindose en el mismo sentido, en sentido contrario, con MRU, con MRUV, cada libre, tiro vertical. Lo que sea. Ahora bien ( y a esto apuntaba yo ). Hay OTRO mtodo para resolver este tipo de problemas. Este mtodo es el que generalmente usan ellos y por eso te lo explico. Sin embargo, este mtodo es ms difcil de usar y tiene sus complicaciones. La cosa es as: En realidad las ecuaciones horarias estn escritas en funcin de t menos t cero. ( t t0 ). De manera que si uno de los mviles sali 3 seg antes que el otro, lo nico que uno tiene que hacer es reemplazar te cero por 3 segundos y listo. Hasta ac todo muy lindo. Pero lindo, nada. Porque el asunto es el siguiente: 1 - Las DOS ecuaciones horarias tienen el trmino ( t t0 )...

  • 33

    En cul de las 2 tengo que reemplazar ?. ( O reemplazo en las 2 ? ). 2 Si el mvil sali 3 segundos ANTES... Te cero vale 3 seg o -3 seg ? ( Y si sali 3 seg despus ? ) 3 Si uno de los objetos va con MRUV ( acelera ), entonces el parntesis ( t t0 ) tiene que ir al 2. Eso super-complica las cosas porque te va a quedar el cuadrado de un binomio.... Y ahora ?. Quin resuelve las infernales cuentas que quedan ?. Resumiendo: El mtodo de reemplazar t0 = 3 seg en ( t t0 ) sirve perfectamente. Yo no digo que no. Como usar, se puede. El problema es que la posibilidad de equivocarse es muy grande por todo eso que te dije. Por ese motivo yo te recomiendo que no uses ese mtodo. Usa el que te expliqu yo que es ms fcil y ms entendible. Creo que fui claro. Despus no me vengas con que nadie te lo dijo, nadie te lo explic, etc, etc. Fin Teora de Encuentro. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    MRUV - MOVIMIENTO RECTLNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

    Supon un coche que est quieto y arranca. Cada vez se mueve ms rpido. Primero se mueve a 10 por hora, despus a 20 por hora, despus a 30 por hora y as siguiendo. Su velocidad va cambiando (vara). Esto vendra a ser un movimiento variado. Entonces, cundo uno tiene un movimiento variado ?. Rta: cuando la velocidad cambia. ( vara ). Ahora, ellos dicen que un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Mir el dibujito :

    En el ejemplo ste, cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Despus de

  • 34

    naceleraci de Definicin

    :decir Es

    =

    tva

    1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y despus de 2 segundos es de 20 Km/h. Es decir, su velocidad est aumentando, de manera uniforme, a razn de 10 Km/h por cada segundo que pasa. Atencin: Ac en fsica, la palabra uniforme significa Siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera . Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando v = 10 Km/h en cada t = 1 seg. ACELERACIN ( Atento )

    El concepto de aceleracin es muy importante. Es la base para poder entender bien-bien MRUV y tambin otras cosas como cada libre y tiro vertical. Pero no es difcil. Ya tens una idea del asunto porque la palabra aceleracin tambin se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atencin lo que sigue y lo vas a entender mejor. En el ejemplo, el tipo pasa de 0 10 Km/h en 1 seg. Pero podra haber pasado de 0 10 Km/h en un ao. En ese caso estara acelerando ms despacio. Digo entonces que la aceleracin es la rapidez con la que est cambiando la velocidad. Ms rpido aumenta ( o disminuye ) la velocidad, mayor es la aceleracin. Digamos que la aceleracin vendra a ser una medida de la brusquedad del cambio de la velocidad. Para tener entonces algo que me indique qu tan rpido est cambiando la velocidad, divido ese cambio de velocidad V por el tiempo t que tard en producirse.

    Supon un auto que tiene una velocidad V0 en t0 y otra velocidad V al tiempo t:

  • 35

    naceleraci la calcula se As

    =

    0

    0

    ttvva

    En ese caso la aceleracin del tipo va a ser: Una cosa. Fijate por favor que cuando en fsica se habla de aceleracin, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE. ( Vari ). Para la fsica, un auto que est frenando tiene aceleracin. Atencin porque en la vida diaria no se usa as la palabra aceleracin. Por eso algunos chicos se confunden y dicen: Par, par, hermano. cmo puede estar acelerando un auto que va cada vez ms despacio ?! Vamos a un ejemplo. EJEMPLO DE MRUV

    Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos despus, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleracin.

    Para calcular lo que me piden aplico la definicin anterior :

    Fijate que el resultado dio en m/s 2. stas son las unidades en las que se mide la aceleracin. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h 2 ). Qu significa esto de 1 m/s 2 ?. Bueno, 1 m/s 2 lo puedo escribir como:

    Esto ltimo se lee as: La aceleracin de este coche es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa ( Atencin ! ). Un esquema de la situacin sera ste:

    tipo. del

    Aceleracin 1 m s 2

    10 10

    10 30 40

    =

    =

    =

    a

    seg s m a

    seg s m s m a

    }}s1sm1 Variacin de velocidad.

    Intervalo de tiempo.

    =

    0

    0

    ttvv

    af

    f

  • 36

    De ac quiero que veas algo importante: Al tener ya una idea de lo que es la aceleracin puedo decir que la caracterstica del movimiento uniformemente variado es, justamente, que tiene aceleracin constante. Otra manera de decir lo mismo ( y esto se ve en el dibujito ) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo ( o disminuye todo el tiempo ) y ese aumento ( o disminucin ) es LINEAL CON EL TIEMPO. Fin del ejemplo

    SIGNO DE LA ACELERACIN:

    La aceleracin que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-). Esto depende de 2 cosas: 1 De si el tipo se est moviendo cada vez ms rpido o cada vez ms despacio. 2 De si se est moviendo en el mismo sentido del eje x o al revs. ( " ! ). Esto quiero que lo veas con un ejemplo numrico. Voy a suponer que en todos los

    casos el t es de 1 segundo y saco el signo de la aceleracin de :

    =

    0

    0

    ttvv

    af

    f

  • 37

    =

    0

    0

    ttvva

    Estos son los 4 casos posibles. Ms no hay. La conclusin que saco de ac es que hay que tener cuidado con el signo de la aceleracin al hacer los problemas. La cosa es que los chicos suelen decir: Bueno, no es tan difcil. Si el tipo va cada vez ms rpido, su aceleracin va a ser positiva y si va cada vez ms despacio, su aceleracin va a ser negativa. Hummmmm.... Cuidado !. Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. ( casos 1 y 2 ). Pero si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revs.( casos 3 y 4 ). No lo tomes a mal. Esto no lo invent yo ni lo inventaron ellos, esto simplemente

    sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuacin:

    ECUACIN DE UNA PARBOLA

    En matemtica, una parbola se representaba por la siguiente ecuacin:

    Dndole valores a X voy obteniendo los valores de Y. As puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parbola. Eso puede dar una cosa as:

    La parbola puede dar ms arriba:

    ms abajo:

    ) 253 :ser podra parbola una ejemplo Por

    PARABOLA. UNA DE ECUACION ..

    2

    2

    +=

    ++=

    xxY

    cxbxay

  • 38

    ms a la derecha: ms a la izquierda:

    ms abierta: ms cerrada: puede incluso dar para a bajo: Puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c, pero siempre tendr forma de parbola. Atento con esto !. Las parbolas siempre aparecen en los problemas de MRUV.

    ECUACIONES HORARIAS Y GRFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE ) Las ecuaciones horarias son siempre las de posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Quiero que veas cmo da cada una en el MRUV. Voy a empezar de atrs para adelante porque as es ms fcil de entender. 3 Ecuacin horaria ( a = f(t) ) La caracterstica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleracin es constante. No cambia. Siempre es igual. Siempre vale lo mismo. Esto puesto en forma matemtica sera: El grfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo as: 2 Ecuacin horaria ( V = f(t) ) Otra manera de decir que la aceleracin es constante es decir que la velocidad aumenta ( o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definicin de

    horaria Ecuacin 3 ra = cte a

  • 39

    aceleracin, que era: a = Tonces, si despejo : Vf - V0 = a ( t t 0 )

    == > Vf = V0 + a ( t t 0 ) Casi siempre te cero vale cero. Entonces la ecuacin de la velocidad queda as: Vf = V0 + a . t 2da

    ECUACION HORARIA

    Esto es la ecuacin de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be.( Y = m X + b). La representacin es as:

    Por ejemplo, una 2 ecuacin horaria tpica podra ser: Vf = 10 sm + 2 2s

    m t

    El tipo que se moviera siguiendo esta expresin habra salido con una velocidad inicial de 10 m/s y tendra una aceleracin de 2 m /s 2. Esto lo vas a entender mejor cuando veas algn ejemplo hecho con nmeros o cuando empieces a resolver problemas. Ahora segu. 1ra Ecuacin horaria ( x = f(t) ) Esta es la ecuacin importante y es la que hay que saber bien. La ecuacin de la posicin en funcin del tiempo para el movimiento uniformemente variado es sta:

    X = X0 + V0 t + a t 2 1ra ECUACION HORARIA. Prefiero no explicarte la deduccin de esta ecuacin porque es un poco largo. ( En los libros est ). Lo que s quiero que veas es que es la ecuacin de una parbola. Fijate:

    0

    0

    ttvvf

  • 40

    202

    1000 )()( ttattvxx ++=

    VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO

    Cada trmino de la ecuacin X = X0 + V0 t + a t 2 tiene su equivalente en la expresin Y = a X2 + b X + C . La expresin completa-completa de la 1 ecuacin horaria vendra a ser en realidad el siguiente choclazo: Pero as escrita con (t-t0 ) se usa poco en los problemas. Esto es porque casi siempre en los problemas t0 vale cero. Yo siempre voy a usar la ecuacin con t, salvo que en algn ejercicio tenga que usar obligatoriamente (t-t0 ). La representacin de la posicin en funcin del tiempo es esta:

    Este dibujito lindo quiere decir muchas cosas. Ellos suelen decirlo as :

    Seor, ste no es un dibujito lindo !. Es un grfico muy importante que representa la variacin de la posicin en funcin del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Este grfico nos da nada ms ni nada menos que la posicin del mvil para cualquier instante t.

    De esta manera tenemos el movimiento completamente descripto desde el punto de vista cinemtico. Este dibujito lindo como usted lo llama ( Qu falta de respeto ) es la representacin grfica de la funcin X = X0 + V0 t + a t 2 . Esta funcin no es cualquier cosa. No seor. Es una ecuacin cuadr-tica. ( t est al cuadrado ). Esto es importante porque me da una caracterstica fundamental del movimiento uniformemente variado. Supongo que no la debe saber, as

    2 . y

    . . 200 21

    xaxbc

    tatvxx

    ++=

    ++=

    !!!!!!

  • 41

    La parbola negativa

    est triste.

    22 .2. 1 4 ts

    mtsmmX ++=

    TABLA CON LOS VALORES DE LAS POSICIONES Y LOS

    que se la digo a ver si aprende algo til: EN EL MRUV LA POSICIN VARA CON EL CUADRADO DEL

    TIEMPO. X = f ( t 2 ) . EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO. Lo ve ?. Lo entendi ? Qu lo va a entender, si hoy en da el alumno en vez de estudiar se la pasa haciendo cualquier otra cosa. Escuchan esa msica loca. Salen a la calle vestidos que es una vergenza. Yo no se a dnde vamos a ir a parar...

    ( Aplausos. Fin de la obra. ). Sigo, che. Te deca entonces que la representacin grfica de X = X0 + V0 t + a t 2 da una parbola. Esta parbola puede dar para derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta. Eso va a depender de los valores de equis cero, de Ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parbola vaya para arriba o para abajo depende NICAMENTE del signo de la aceleracin. Si a es ( + ) , ir para arriba ( ). Si a es ( - ) , ir para abajo ( ). Esto pods acordrtelo de la siguiente manera: a = + a = - Conclusin: Hay que ser positivo en la vida !. No. Conclusin: mir el siguiente ejemplo a ver si lo entends mejor: Ejemplo. Supongamos que tengo esta ecuacin horaria para algo que se mueve con MRUV : Este sera el caso de algo que sali de la posicin inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleracin de 4 m/ s2. Para saber cmo es el grfico le voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita.

    x [m] t [seg] 4 0 7 1 14 2

    La parbola positiva

    est contenta.

  • 42

    Ahora represento esto y me da una cosa as: Este grfico es la representacin de la 1 ecuacin horaria. Me gustara que notaras dos cosas:

    1) -La parbola va para arriba ( ) porque a es positiva.

    2) -Aunque uno vea slo un arco as esto es una parbola. La parte que falta estara a la izquierda y no la dibuj. La podra representar si le diera valores negativos a t ( como 1 seg, -2 seg, etc ). En ese caso el asunto dara as:

    Fin Explicacin Ec. Horarias. UN EJEMPLO DE MRUV

    Una hormiga picadorus sale de la posicin X0 = 0 y comienza a moverse con aceleracin a = 2 m/s2 .( V0 = 0 ).

    a)- Escribir las ecuaciones horarias. b)- Hacer los grficos x(t), v(t) y a(t).

    Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia: Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilneo uniformemente variado son: ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL.

    0

    221

    00

    cteatavv

    tatvxxf=

    +=++=

  • 43

    ( ) aria.complement Ecuacin 2f = 0f20 xxa2vv

    x0 y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda as:

    Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v. Con estos valores hago estas tablas:

    X t V t a t 0 0 0 0 2m/s2 0

    1 m 1 s 2 m/s 1 s 2m/s2 1 s 4 m 2 s 4 m/s 2 s 2m/s2 2 s

    Teniendo las tablas puedo representar las ecuaciones horarias.

    Fin del Ejemplo.

    LA ECUACIN COMPLEMENTARIA ( leer ) Hay una frmula ms que se usa a veces para resolver los problemas. La suelen llamar ecuacin complementaria. La frmula es sta: Esta ecuacin vendra a ser una mezcla entre la 1ra y la 2da ecuacin horaria. La deduccin de esta ecuacin es un poco larga. Pero te puedo explicar de dnde sale. Fijate:

    sm2

    hormiga la para sm20

    horarias Ecuaciones

    sm2 00

    2

    2

    222

    1

    ctea

    tv

    ttx

    f

    ==

    +=

    ++=

  • 44

    t ta

    00

    221

    00

    avv

    vv

    tatvxx

    ff

    =+=

    ++=

    Escribo las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la 2 y lo reemplazo en la 1.

    REEMPLAZO Si vos te toms el trabajex de reemplazar el choclazo y de hacer todos los pasos que siguen, termina quedndote la famosa ecuacin complementaria. Sobre esta ecuacin me gustara que veas algunas cositas. Fijate:

    Primero: La ecuacin complementaria NO es una ecuacin horaria. En ella no aparece el tiempo. Segundo: Esta frmula no es una ecuacin nueva. Es mezcla de las otras dos ( de la 1 y la 2 ). Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuacin complementaria para resolver un problema. Todo problema de MRUV puede resolverse usando solamente la 1 y la 2 ecuacin horaria.

    Lo que tiene de bueno la expresin Vf 2 V0 2 = 2 a ( Xf X0 ) es que facilita las cuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato. Eso es todo.

    Ejemplo: En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga picadorus despus de recorrer 1 m.

    Usando la ecuacin complementaria:

    Lo hago ahora sin usar la ecuacin complementaria: Escribo las ec. horarias.

    ( )

    ( )

    smV

    msmv

    xxavv

    f

    f

    2

    0 1 .2 . 20

    . 2

    22f

    020

    2f

    =

    =

    =

    "

    222

    1221

    00

    f

    0

    00f

    2001

    :era horaria . ec 1 Lam 1 recorrer en picadorus

    la tard que Tiempo m2v

    :horaria ecuacin 2 la De

    tsmtmtatvxx

    st

    avv

    ttavv f

    ++=++=

    =

    =+=

    VELOCIDAD FINAL

  • 45

    (verifica) 2 4s

    m1m

    2v

    21 : 2

    v por doReemplazan

    2

    2

    4

    2

    2

    2f

    22f

    21

    smvv

    ms

    smsmm

    smt

    ff

    ==

    =

    __________________________________________________________________________________________________________________________________

  • 45

    VELOCIDAD INSTANTNEA EN EL MRUV ( leer ). En el movimiento uniformemente variado la velocidad va cambiando todo el tiempo. La velocidad instantnea es la que tiene el tipo justo en un momento determinado. El velocmetro de los autos va marcando todo el tiempo la velocidad instantnea.

    Ahora quiero que le prestes atencin a una cuestin importante. Supon que agarro el grfico de posicin en funcin del tiempo y trazo la tangente a la parbola en algn lugar. La pendiente de esta recta tangente me va a dar la velocidad instantnea en ese momento. Fijate: Es decir, yo tengo la parbola. Ahora lo que hago es agarrar una regla y trazar la tangente en algn punto determinado ( por ejemplo en t1 = 3 seg ). Esa recta va a formar un ngulo alfa y va a tener una determinada inclinacin, o sea, una determinada pendiente. ( pendiente = inclinacin ). Midiendo esa pendiente yo tengo la velocidad instantnea en ese momento ( a los 3 segundos ). Es un poco largo de explicar porqu esto es as, pero es as. Lo vas a ver ms adelante en anlisis. ( Derivada y todo eso. Es fcil ). De ac puedo sacar como conclusin que cuanto mayor sea la inclinacin de la recta tangente, mayor ser la velocidad del tipo en ese momento. Quiero decir esto:

    VELOCIDAD INSTANTANEA

    velocmvelocmvelocmvelocmeeeetrotrotrotro

  • 46

    En este grfico la pendiente de la recta para t = 2 seg es mayor que la pendiente de la recta para t = 1 seg. Esto me dice la que la velocidad a los 2 seg es mayor que la velocidad en 1 seg . Esto es razonable. Este grfico representa a un tipo que tiene aceleracin positiva y que se mueve cada vez ms rpido. Pregunta... Cul ser la velocidad del tipo para t = 0 ? ( ojo ). Rta: Bueno, la velocidad tendr que ser cero porque la recta tangente ah es horizontal ( ).

    ANLISIS DE LA PENDIENTE y DEL REA DEL GRFICO v = v(t)

    Supongamos que tengo un grfico cualquiera de velocidad en funcin del tiempo. Por ejemplo ste:

    Este grfico indica que lo que se est moviendo sali con una velocidad inicial de 4 m/s y est aumentando su velocidad en 2 m/s, por cada segundo que pasa. Pregunta: Qu obtengo si calculo la pendiente de la recta del grfico ? Rta: Obtengo la aceleracin. Esta aceleracin sale de mirar el siguiente dibujito:

  • 47

    4 A A

    recorrido Espacio

    = + =

    12 A

    s m m ( seg 2 m seg A

    En este caso el opuesto es v ( la variacin de velocidad ), y el adyacente es t ( el intervalo de tiempo ). De manera que, hacer la cuenta opuesto sobre adyacente es hacer la cuenta delta V sobre delta t ( v / t ). Y eso es justamente la aceleracin ! En este caso en especial dara as:

    Y si calculo el rea que est bajo la recta que obtengo ? Veamos:

    A ver si me segus: El rea del coso as va a ser la de este + la de este .

    Ahora en el ejemplo que puse antes, el rea va a ser:

    nAceleraci 20248

    2 =

    =

    ==

    sm

    sssmsm

    tv

    adyoppend

    !

    Recordar recorrido Espacio

    es Esto

    22

    02

    21

    0

    0

    tav

    =

    =

    +=

    +=

    +=+=

    =

    A

    xA

    x-xtatvA

    vttvhbhbAAA

    =

    +

    m

    2 ) 4 s 8

    s 2

  • 48

    =+=

    =

    086 ecuacin 4 la de races las Son 2

    22

    1

    x -xxx

    " " "

    aparecer. a va momento algn En saberlo. que tens tema Este

    22

    26 ; 42

    26

    12814)6()6(

    24

    :Entonces ojo!

    0861

    21

    22

    2,1

    2

    =

    ==+

    =

    =

    =

    =+

    xx

    acabbx

    xxcba

    MATEMTICA: Solucin de una ecuacin cuadrtica Si este tema no aparece en el parcial aparecer ms adelante, pero en algn momento te vas a topar con l y por eso tens que saberlo. Una ecuacin cuadrtica es una ecuacin del tipo:

    a X2 + b X + C = 0 ECUACION CUADRATICA

    Por ejemplo : X2 - 6 X + 8 = 0. Lo que uno siempre busca son los valores de equis tales que reemplazados en X2 - 6 X + 8 hagan que todo el choclo d 0 ( Cero ). Esos valores se llaman soluciones de la ecuacin o races de la ecuacin. En este caso, esos valores son 2 y 4.

    Una ecuacin cuadrtica puede tener 2 soluciones ( como en este caso ); una sola solucin ( las dos races son iguales ), o ninguna solucin ( races imaginarias ). Para calcular las races de la ecuacin cuadrtica se usa la siguiente frmula:

    Para el ejemplo que puse que era X2 - 6 X + 8 = 0 tengo: No es difcil. Solo hay que remplazar los valores de a, b y c en la frmula choclaza. Incluso hay algunas calculadoras tienen ya la frmula metida adentro.

    0 ec la de y

    24

    soluciones las obtengo esto Con 2

    21

    2

    2,1 =++

    = c bxaxxx

    acabbx

  • 49

    .-2a 0a

    20v (MRUV) 10 (MRU) Bicho Caracol

    20100x 100

    2BC

    2

    222

    1

    ctesm

    tsmcte

    smv

    tsmtmt

    sm x

    BC

    BC

    ===

    +===

    ++=+=

    ENCUENTRO EN EL MRUV ( Lo toman ) Los problemas de encuentro en donde uno de los mviles ( o los 2 ) se mueven con aceleracin, se resuelven haciendo lo mismo que puse antes en la parte de MRU. Te lo muestro con un ejemplo:

    Dado el dibujo de la figura calcular: qu tiempo tardan en encontrarse los 2 mviles, y el lugar donde se encuentran.

    Este es un caso de encuentro entre un mvil que se mueve con velocidad constante (el caracol) y otro que se mueve con aceleracin constante (el bicho). Para resolver esto hago: 1 - Esquema de lo que pasa. Elijo sistema de referencia. Marco posiciones iniciales y velocidades iniciales. 2 - Planteo las ecuaciones horarias para cada mvil.

    3 - Escribo la famosa condicin de encuentro:

    xC = xB para t = te.

  • 50

    ( )

    . encuentro de Tiempo 1816186

    22

    50010

    12

    100141010

    24

    21

    2

    2

    2,1

    2

    2

    2

    2,1

    2

    2,1

    ==

    =

    =

    =

    seg,- t seg ; , t

    s

    msm

    sm

    t

    sm

    msm

    sm

    sm

    t

    acabbt

    encuentro. de Posicin 8,61

    10 10 seg. 6,18

    =

    ==

    mx

    tsmxt

    smx

    C

    eeC

    4 - Igualo las ecuaciones y despejo el tiempo de encuentro te : Esto es una ecuacin cuadrtica que se resuelve usando la frmula que puse antes:

    Es decir que el encuentro se produce a los 6,18 segundos. La solucin negativa no va. Lo que me est diciendo el ( - ) es que los tipos se hubieran encontrado 16,18 segundos antes de salir. Como esta solucin no tiene sentido fsico, la descarto.( Significa: no la tomo en cuenta ). Para calcular la posicin de encuentro reemplazo 6,18 seg en la 1 ec. horaria.

    Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuacin horaria y ver si da lo mismo. Tena:

    La solucin del problema es: El encuentro entre el caracol y el bicho se produce a los 6,18 seg y a 61,8 m del caracol.

    0 100 10 1 1 10010 2 22

    2 =+= mtsmt

    smt

    smmt

    sm

    eeee

    ( )

    ) verifica ( 8,61

    s 18,6 1 100

    1 100

    2

    2

    mx

    smmx

    tsmmx

    e

    e

    ee

    =

    =

    =

  • 51

    LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIN COMO VECTORES La velocidad y la aceleracin son vectores. Qu quiere decir esto ?. Quiere decir que puedo representar la velocidad y la aceleracin por una flecha. Si por ejemplo, la velocidad va as , la flecha se pone apuntando as .

    La situacin del dibujito es el caso de un tipo que se mueve con velocidad constante. Fijate ahora estas otras 2 posibilidades:

    Lo que quiero que veas es que si el auto va para la derecha, la velocidad siempre para la derecha, pero la aceleracin NO. ( Es decir, puede que s, puede que no, pero no es seguro). Esta cuestin es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene una cosa va en el mismo sentido que el eje x, esa velocidad ser ( + ) . Si va al revs ser ( - ) . Lo mismo pasa con la aceleracin ( y ac viene el asunto ). Fijate :

  • 52

    Ejemplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 Km/h (15 m/s) frena durante 3 seg con una aceleracin de 2m/s 2 . Qu distancia recorri en ese intervalo ?.

    Hago un esquema de lo que pasa. El auto viene a 54 por hora y empieza a frenar:

    Ahora tomo un sistema de referencia y planteo las ecuaciones horarias:

    En la 1 ec. horaria reemplazo t por 3 seg y calculo la posicin final:

    Conclusin: En los tres segundos el tipo recorre 36 metros. Si yo me hubiera equivocado en el signo de la aceleracin y la hubiera puesto positiva , la cosa habra quedado as:

    ( )

    final Posicin 36

    3 1 3 15

    2

    ver

    =

    =

    mx

    segsmseg

    smx

    f

    f

    .2 -a

    horarias. Ecuaciones t 215v

    2 150x

    2B

    2

    222

    1

    ctesm

    sm

    sm

    tsmt

    sm

    B

    B

    ==

    +=

    ++=

    ( )

    ver...) que Nada ( 54X

    3 1 3 15 2

    m

    segsmseg

    smx

    f

    f

    =

    +=

  • 53

    ! HORROR 21

    32 15 2

    =

    +=

    smv

    segsm

    smv

    f

    f

    Lo mismo hubiera pasado si hubiera calculado la velocidad final despus de los 3 seg: Esto no puede ser. La velocidad final tiene que dar menor que la inicial !. ( el tipo est frenando ). Por eso: ojo con el signo de la aceleracin. Si lo pons mal, todo el problema da mal.

    CMO RESOLVER PROBLEMAS DE MRUV

    Generalmente hay dos tipos de problemas de MRUV que suelen tomar:

    1 - Ejercicios de MRUV donde hay que usar frmulas y ecuaciones. 2 - Ejercicios de MRUV donde hay que usar grficos. Los problemas de grficos no tienen una manera especial de resolverse. Cada uno es diferente. Hay que mirar bien el grfico y pensar. Suelen darte la representacin de la posicin en funcin del tiempo o de la velocidad en funcin del tiempo. Por ejemplo, pueden ser cosas as :

    Dado el grfico pueden pedirte que calcules cualquier cosa. Puede ser la velocidad en un punto, la aceleracin en un intervalo, el espacio recorrido. No s, cualquier cosa. Para resolver esto hay que ir analizando pendientes, reas y pensar un poco... Si el problema es de MRUV propiamente dicho, lo que hay que hacer es un esquema de lo que el problema plantea, tomar un sistema de referencia y escribir las ecuaciones horarias. Y por favor acordate de una cosa :

    Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando la 1ra y la 2da ecuacin horaria NADA MAS. Puede ser que haya que usar primero una ecuacin y despus la otra. Puede ser que haya que combinar las ecuaciones. Puede ser cualquier cosa, pero todo problema tiene que salir de ah.

  • 54

    Aclaro esto porque a veces vos vens con miles de ecuaciones planteadas. Est MAL. Te ests complicando. Son slo DOS las ecuaciones que permiten resolver el problema. Si el tiempo no es dato, tal vez pueda convenir usar la ecuacin complementaria, pero eso se hace para ahorrarse de hacer cuentas, nada ms. Usando solamente la 1 y la 2 ecuacin horaria el problema TIENE QUE SALIR. Repito: Tal vez haya que hacer ms cuentas, pero usando solo 2 ecuaciones el problema tiene que salir.

    Fin Teora de MRUV.

    CADA LIBRE y TIRO VERTICAL

    Supon que un tipo va a la ventana y deja caer una cosa. Una moneda, por ejemplo.

    Claro, el tipo tiene razn. Cuando uno deja caer una cosa, lo que cae, cae con MRUV. Toda cosa que uno suelte va a caer con una aceleracin de 9,8 m/s2. Puede ser una moneda, una pluma o un elefante. Si suponemos que no hay resistencia del aire, todas las cosas caen con la misma aceleracin.

    Quin descubri esto ? Obvio. Galileo . ( IDOLO ! ). Este hecho es medio raro pero es as. En la realidad real, una pluma cae ms despacio que una moneda por la resistencia que opone el aire. Pero si vos sacs el aire, la pluma y la moneda van a ir cayendo todo el tiempo juntas. ( Este es un experimento que se puede hacer). Esta aceleracin con la que caen las cosas hacia la Tierra se llama aceleracin de la gravedad. Se la denomina con la letra g y siempre apunta hacia abajo.

  • 55

    En el caso de la moneda que cae yo puedo acostar al problema y lo que tendra sera un objeto que acelera con aceleracin 9,8 m / s 2 . Vendra a ser algo as : Es decir que un problema de cada libre no se diferencia para nada de un problema de MRUV. Es ms, la cada libre es simplemente un ejemplo de un MRUV. Para resolver estos problemas puedo aplicar los mismos razonamientos, las mismas ecuaciones, todo lo mismo. La nica diferencia es que antes todo pasaba en un eje horizontal. Ahora todo pasa en un eje vertical. Lo dems es todo igual. Pregunta: Y qu pasa con el tiro vertical ?. Rta: Y bueno, con el tiro vertical es la misma historia. Tiro vertical significa tirar una cosa para arriba. Si yo acuesto una situacin de tiro vertical, lo que voy a obtener va a ser esto: Es decir, tengo la situacin de una cosa que sale con una determinada velocidad inicial y se va frenando debido a una aceleracin negativa.

    0

    0

    m 9,8a

    :esto tendra abajo para inicial velocidad con tirado hubiera lo si Y

    m 9,8a

    2

    0

    2

    xs

    xs

    v

    =

    =

    0

    2m 9,8 )( a)(

    0

    xs

    v

    =+

  • 56

    Y esto qu es ? Y bueno, es un movimiento rectilneo uniformemente variado. Si hiciera un esquema tomando un eje vertical y, tendra algo as:

    Conclusin: Tanto la cada libre como el tiro vertical son casos de movimiento rectilneo uniformemente variado. Los problemas se piensan de la misma manera y se resuelven de la misma manera. Las ecuaciones son las mismas. Los grficos son los mismos. Cada libre y tiro vertical no son un tema nuevo, son slo la aplicacin del tema anterior. Quien sabe MRUV, sabe cada libre y tiro vertical. ( Slo que no sabe que lo sabe ). CMO RESOLVER PROBLEMAS DE CADA LIBRE y TIRO VERTICAL 1 - Hago un esquema de lo que pasa. Sobre ese esquema tomo un eje vertical y. Este eje lo puedo poner apuntando para arriba o para abajo ( como ms me convenga ) Puede ser algo as: SIGNOS EN UN TIRO VERTICAL. Sobre este esquema marco los sentidos de v0 y de g. Si V0 y g apuntan en el mismo sentido del eje y, sern (+) .Si alguna va al revs del eje y ser (-) .( como en el dibujo). El eje horizontal x puedo ponerlo o no. No se usa en estos problemas pero se puede poner. 2 - La aceleracin del movimiento es dato y vale g . Generalmente se la toma como 10 m/s2. Escribo las ecuaciones del movimiento. Incluso puedo poner la ecuacin complementaria que me puede llegar a servir si no me dan el tiempo.

  • 57

    Si, por ejemplo en el dibujo V0 fuera 10 m/s, la aceleracin de la gravedad fuera 9,8 m/s 2 y la altura del edificio fuera de 20 m, las ecuaciones horarias quedaran: 3 - Usando las primeras 2 ecuaciones horarias despejo lo que me piden. En este tipo de problemas suelen pedirte siempre las mismas cosas. Puede ser el tiempo que tarda en llegar a la altura mxima. Puede ser la velocidad inicial con la que fue lanzado. Puede ser cunto tarda en caer. Siempre son cosas por el estilo. Pueden tomarte un problema de encuentro tambin. En ese caso hay que plantear las ecuaciones horarias para cada uno de los cuerpos y despus seguir los pasos de siempre para resolver problemas de encuentro.

    Ejemplo ( CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL )

    Un tipo est parado a 20 m de altura. Calcular qu tiempo tarda y con qu velocidad toca el suelo una piedra si el tipo: a)- La deja caer. b)- La tira para abajo con V0 = 10 m/s. c)- La tira para arriba con V0 = 10 m/s.

    Un esquema de lo que pasa es el siguiente:

    ( ) ariaComplement Ec. 2

    Horarias Ecuaciones

    02

    02

    0

    221

    00

    =

    ==

    += ++=

    yygvv

    gcteatgvv

    tgtvyy

    ff

    f

    ctesm 9,8 -a

    Datos los por t

    sm9,8-

    sm10V

    Reemplac t

    sm9,8- 2

    1tsm 10m 20Y

    2

    2f

    22

    ==

    +=

    ++=

  • 58

    Voy al caso a) donde el tipo deja caer la piedra. Elijo mi sistema de referencia y marco v0 y g con su signo. En este caso Vo vale cero porque la piedra se deja caer.

    Reemplazo por los valores y las ecuaciones del movimiento quedan as :

    El tiempo que la piedra tarda en caer lo despejo de la 1 ecuacin. Cuando la piedra toca el suelo su posicin es y = 0. Entonces en la primera ecuacin reemplazo y por cero. Me queda :

    Reemplazando este tiempo en la segunda ecuacin tengo la velocidad con que toca el piso :

    ctea

    tV

    tmY

    f

    ==

    +=

    +=

    2

    2

    22

    sm9,8 -

    horarias

    sm9,8- 0

    Ecuaciones sm9,8- 20 2

    1

    seg ,t

    sm,mtmt

    sm,

    t

    sm,m

    tarda que Tiempo 022

    94 20 2094

    8921 200

    22 2

    2

    22

    =

    ==

    =

    8,19

    02,28,9 2

    =

    =

    smV

    ssmV

    f

    f

    Velocidad de la piedra al tocar el suelo.

  • 59

    El signo negativo de Vf me indica que la velocidad va en sentido contrario al eje y Siempre conviene aclarar esto. b) - La tira para abajo con V0 = 10 m/s. Tomo el mismo sistema de referencia que tom antes. Eje Y positivo vertical hacia arriba. Ahora la velocidad inicial es (-) porque va al revs del eje Y. ( Atento ).

    Igual que antes, cuando la piedra toca el suelo, y = 0. Entonces:

    Esto es una ecuacin cuadrtica. Fijate que te marqu los valores de a, b y c. Entonces reemplazo los valores de a, b y c en la frmula de la ecuacin cuadrtica.

    ( Tach la 1 solucin porque tiempos negativos no tienen sentido fsico ) . Ahora voy a reemplazar este tiempo de 1,24 segundos en la 2 ecuacin:

    ( )

    caida. de Tiempo 24,1 283

    89

    182210

    :cuentas las Haciendo 9,42

    20 9,4410 10

    24

    21

    221

    2

    2

    2

    2,1

    22,1

    ==

    =

    =

    =

    seg tseg ; , t

    sm,

    sm,

    sm

    t

    sm

    msm

    sm

    sm

    t

    acabbt

    ,

    ( )

    0 20 10 94

    9,410 200 0

    22

    22

    =+

    ==

    #$#%&$%$#%& c

    ba

    mtsmt

    sm,

    tsmt

    smm y

  • 60

    piso. el tocar al Velocidad 18,22

    24,1 8,9 10 2

    =

    =

    smV

    ssm

    smV

    f

    f

    Reemplazando t= 1,24 seg en Vf = Vo + g t calculo la velocidad final. ( = al tocar el piso ). Me queda :

    c) - Para el caso cuando el tipo la tira para arriba con V0 = 10 m/s, el signo de Vo cambia. Ahora V0 es positiva. Pero... Ojaldre !. El signo de g NO cambia ! . La gravedad sigue apuntando para abajo ( como siempre ). Entonces al ir al revs del eje Y su signo es negativo. Las ecuaciones horarias quedan:

    Haciendo lo mismo que en los 2 casos anteriores me queda:

    Fijate que en los casos b) y c) el tiempo de cada no dio lo mismo. Eso es lgico. En un caso estoy tirando la piedra para arriba y en el otro para abajo Pero en los casos b) y c) la velocidad de la piedra al tocar el piso... SI dio lo mismo !. Hummmmm.... Estar bien ? Esto me estara diciendo que al tirar una piedra con una velocidad inicial ve cero para arriba o para abajo, sta toca el piso con la misma velocidad. ( Raro ). Podr ser eso ?... Rta: S. No es que puede ser que sea as . Tiene que ser as. ( Pensalo ). Fin Teora de Cada Libre y Tiro Vertical. Prximo tema: Tiro oblicuo !

  • 61

    TIRO OBLICUO Advertencia. Tiro oblicuo no es un tema fcil. Los conceptos no son fciles de entender. Las ecuaciones no son simples. Los problemas tienen sus vueltas. Encima para poder entender tiro oblicuo y para poder resolver los problemas hay que saber bien - bien tiro vertical, caida libre, MRUV y tambin MRU. Esto no es mala onda. Esto es as. Sugerencia ?. Resolv miles de problemas. ( Oh !. miles ?! ). Esa es toda la cuestin. Haciendo muchos problemas uno termina agarrndole la mano perfectamente y el tema pasa a ser una pavada. Pero hay que hamacarse. ( Y eso lleva tiempo, que es lo que vos no tens ). Por ese motivo yo te voy a explicar tiro oblicuo ahora en un minuto y lo vas a entender perfectamente. Pero por favor, repito, ( Y esto constituye un gran error por parte de los chicos ): no te pongas a hacer problemas de tiro oblicuo hasta que no hayas entendido perfectamente MRU, MRUV, Caida libre y tiro vertical. Fui claro ?. Por este motivo es tambin que a los profesores les encanta tomar tiro oblicuo en parciales y finales. Tiro oblicuo, dicen ellos, es un tema que combina los 3 temas anteriores. De manera que si el alumno te resuelve bien el problema de tiro oblicuo, se puede considerar que el tipo conoce bien MRU, MRUV, cada libre y tiro vertical... ( A grandes rasgos esta afirmacin es cierta ). Tiro oblicuo no es imposible. Lee con atencin lo que sigue. QU ES UN TIRO OBLICUO ?

    Rta.: Un tiro oblicuo es esto: V0

    Es decir, en vez de tirar la cosa para arriba como en tiro vertical, ahora la tiro en forma inclinada, oblicua.

    TRAYECTORIA

  • 62

    ; cos ; adyoptg

    hipady

    hipopsen ===

    Hipotenusa Opuesto

    90 Adyacente

    Antes, el vector velocidad inicial iba as . Ahora va inclinado as .

    Antes de seguir con esto necesito que veas 2 temas que son de matemtica. Estos temas son trigonometra y proyeccin de un vector sobre un eje. Los pongo ac porque probablemente no te los hayan explicado bien en el colegio. Muchos profesores saltean estos 2 temas cuando explican tiro oblicuo. Los dan por sabidos . Esto confunde a la gente. Por eso te recomiendo que leas lo que sigue con atencin.

    TRIGONOMETRA FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un NGULO La palabra trigonometra significa medicin de tringulos. A grandes rasgos la idea es poder calcular cunto vale el lado de un tringulo sin tener que ir a medirlo con una regla. Para hacer esto, los tipos inventaron las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente de un ngulo. Estas funciones se usan cuando uno tiene un tringulo que tiene un ngulo de 90 (rectngulo). Si uno tiene un tringulo de este tipo, se definen las funciones seno, coseno y tg as:

    Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonomtricas para un tringulo rectngulo de lados 3, 4 y 5.

    5 cm 3 cm

    90 4 cm

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

  • 63

    Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de alfa, hago las cuentas. Las funciones trigonomtricas para el ngulo alfa valen:

    Para cada ngulo alfa estas funciones toman distintos valores. Conviene recordar los valores que ms se usan :

    0 30 45 60 90 Sen 0 0,5 0,707 0,866 1 Cos 1 0,866 0,707 0,5 0 Tg 0 0,577 1 1,732

    Es un poco largo de explicar cules son todos los usos de las funciones trigonomtricas pero puedo darte un ejemplo: Supon que vos quers saber la altura de un rbol pero no tens ganas de subirte hasta la punta para averiguarlo. Lo que se podra hacer entonces es esto: 1ro te pars en un lugar y meds la distancia al rbol. Supon que te da 8 m. Despus con un buen transportador meds al ngulo

    hasta la punta del rbol. Supon que te da 30. Esquemticamente sera algo as:

    75,043

    8,054 cos

    6,053

    ===

    ===

    ===

    cmcm

    hipoptg

    cmcm

    hipop

    cmcm

    hipopsen

    mAlturatg

    tg

    8rbol del 30

    :Entonces .adyop : ngulo un de tangente de frmula la usando Ahora,

    =

    =

  • 64

    De esta manera se pueden calcular distancias ( = lados de un tringulo ) en forma terica. Es decir, sin tener que dibujar el tringulo y medirlo. ( Que se puede hacer, pero es mucho lo y no da exacto). Es ms hay veces que hay distancias difciles de medir. Por ms que uno quiera, no puede ir hasta ah y medirla. En esos casos, la nica manera de calcularla es usar trigonometra. Por ejemplo ac te pongo un caso difcil: la distancia a una estrella. Cmo haras para medirla ?. Pensalo. A ver si este dibujito te ayuda un poco.

    PROYECCIN DE UN VECTOR

    Supon que me dan un vector como ste:

    Hallar la proyeccin del vector sobre el eje x significa ver cunto mide la sombra de ese vector sobre ese eje. Es decir, lo que quiero saber es esto:

    Hallar la proyeccin sobre el eje y es la misma historia:

    rbol. del Altura 61,4

    30 8 5770

    =

    =

    mAltura

    tgm Altura , !"#

  • 65

    Para saber cunto mide la proyeccin de un vector sobre un eje, en vez de andar midiendo sombras se usa la trigonometra:

    Es decir, si tengo un vector v, las proyecciones vx y vy van a ser:

    Ejemplo: Hallar las proyecciones de un vector que mide 10 cm y forma un ngulo de 30 grados con el eje X. Tengo un vector de 10 cm con alfa = 30 . Es decir, algo as :

    Entonces la proyeccin sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyeccin sobre el eje Y mide 5 cm . Aprendete este procedimiento. Lo vas a usar todo el tiempo para calcular las velocidades iniciales en el eje x y en el eje y. Es ms, conviene memorizar las formulitas que puse recin. ( Vx = ... , Vy =.... ). Es fcil : La Vy es V por seno y la Vx es V por coseno. Eso es todo.

    cos cos

    = =

    ==

    hipadyhipady

    senhipophipopsen

    == cos senvvvv yx

    v = 10cm cmsencmVy 530 10

    5,0

    ==

    $!$"#

    cmcmvx 66,830 cos 10866,0

    == $%$&'

  • 66

    hip 6

    8

    PITGORAS

    El teor