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Jofre A. Robles P.| Fsica Aplicada

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERA, CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICA

INGENIERA INFORMTICA

FSICA APLICADA

CAPTULO 1

ELECTROSTTICA

INTRODUCCIN HISTRICA

Tales de Mileto, sabio griego que vivi seiscientos

aos Antes de Cristo, descubri que frotando un trozo de

mbar la misma que es una resina de origen natural, atraa

a pequea esferas o pajitas. Como al mbar los griegos lo

llamaban electrn, aquel extrao fenmeno lo llam

elctrico.

Aproximadamente en el mismo tiempo, en la

regin de Magnesia, ubicada al norte de Grecia se conoci

la propiedad de una roca que es qumicamente oxido de

hierro, por atraer objetos de hierro que le denominaron

como magnetita por el lugar donde fue extrado.

Ambos fenmenos no se relacionaron entre s hasta

miles de aos despus. En el ao 1 600, William Gilbert

descubri que hay muchos materiales que se comportan

como el mbar; en realidad todos los dielctricos. En 1 736 Charles Agustn Coulomb

recrea experimentalmente las observaciones de la electrizacin por frotamiento,

cuantificando las fuerzas entre cargas elctricas y enuncia la ley que lleva su nombre.

Loa fsicos italianos Luigi Galvani y Alessandro Volta llevaron a cabo los primeros

experimentos importantes con corriente elctrica. Galvani produjo contracciones

musculares en las patas de una rana aplicndoles una corriente elctrica. En 1 800, Volta

present la primera fuente electroqumica artificial de diferencia de potencial, un tipo de

pila elctrica o batera.

George Simon Ohm, en 1 827 public en su folleto el resultado de su trabajo ms

importante sobre el circuito galvnico examinado matemticamente, donde expona la ley

sobre la resistencia de los conductores.

En 1 820, 2 500 aos despus de haberse descrito los primeros fenmenos

elctricos y magnticos, Hans Christian Oersted descubre de forma casual durante una

experiencia de ctedra, que una brjula de aguja, es decir, un imn que est influenciado

por una corriente elctrica dndose por primera vez una relacin entre electricidad y

magnetismo. A partir de entonces, realizan trabajos y experimentos que llegaran a unificar

ambos fenmenos. As en 1 831 Michael Faraday y Joseph Henri producen y describen las

corrientes inducidas. Alrededor de 1 840, James Prescott Joule y el cientfico alemn

Hermann Von Helmholtz demostraron que los circuitos elctricos cumplen la ley de

conservacin de la energa.

El fsico matemtico britnico James Clerk Maxwell realiz una contribucin

importante al estudio de la electricidad en el siglo XIX; el mismo que investigo las

propiedades de las ondas electromagnticas y la luz, abriendo camino al fsico alemn

Heinrich Hertz que produjo y detect ondas elctricas en la atmsfera por el ao de 1 886,

y al ingeniero italiano Guglielmo Marconi, en 1 896 empleo esas ondas para producir el

primer sistema prctico de seales de radio.

La teora de los electrones que forma la base de la teora elctrica moderna, fue

presentada por el fsico holands Hendrik Antoon Lorentz en 1 892. El primero en medir


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con precisin la carga del electrn fue el fsico estadounidense Robert Andrews Millikan,

en 1 909. El uso generalizado de la electricidad como fuente de energa se debe en gran

medida a ingenieros e inventores pioneros de Estados Unidos, como Thomas Alva Edison,

Nikola Tesla o Charles Proteus Steinmetz.

Por lo tanto podemos decir que la electrosttica estudia los fenmenos producidos

por las cargas elctricas, cuya posicin relativa permanece constante a lo largo del tiempo.

CAMPO DE ESTUDIO DE ELECTROSTTICA

La electrosttica es una de las partes de fsica que se ocupa de los campos

elctricos y en general de los fenmenos elctricos sin movimiento de cargas. Adems

estudia las acciones entre cargas elctricas fijas en puntos determinados del espacio y las

que ejercen stas en el espacio circundante.

La electrizacin, su transmisin de un cuerpo a otro, y las propiedades generales de

los cuerpos electrizados en equilibrio es el objeto de estudio de la electrosttica.

CARGAS ELCTRICAS

Es originada por la existencia de cargas elctricas y por la interaccin de las

mismas. Cuando una partcula se encuentra estacionaria o esttica, produce fuerzas

elctricas sobre las otras cargas situadas en su misma regin del espacio; Cuando las

partculas estn en movimiento, producen adems efectos magnticos. Los efectos

elctricos y magnticos dependen de la posicin y movimiento relativo de las partculas

cargadas (Este tema no ser considerado para realizar esta investigacin).

En lo que se refiere a los efectos elctricos, estas partculas pueden ser neutras,

positivas o negativas. La electricidad se ocupa de las partculas cargadas positivamente,

como los protones, que se repelen mutuamente, y de las partculas cargadas negativamente,

como los electrones, que tambin se repelen mutuamente. En cambio las partculas

negativas y positivas se atraen entre si. Este comportamiento puede resumirse diciendo

que: Las cargas del mismo signo, sean estas positiva o negativa se repelen y las cargas de

distinto signo que pueden ser positiva y negativa, negativa y positiva se atraen.

PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELCTRICAS

a) La carga est cuantizada: la carga de un cuerpo cargado siempre es un mltiplo

entero de una carga elemental que corresponde a la carga del electrn. Los electrones

pueden desplazarse a travs de ciertos cuerpos que reciben el nombre de conductores.


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b) La carga se conserva: Al electrizar un cuerpo no est creando carga, solo se

transmite carga (electrones) de un cuerpo a otro. La carga total siempre permanece

constante.

PROPIEDADES ELCTRICAS DE LOS MATERIALES

El primer fenmeno elctrico artificial que se observ fue la propiedad que

presentan algunas sustancias resinosas como el mbar, que adquiere una carga negativa al

ser frotada con una piel o un trapo de lana, tras lo cual atraen objetos pequeos. Gilbert

enunci a la atraccin y repulsin de los materiales de la siguiente manera: Un cuerpo

cargado negativamente, es aquel que tiene un exceso de electrones; un cuerpo cargado

positivamente, es aquel que tienen un defecto de electrones.

ELECTRIZACIN

1. Electrizacin por frotamiento.

Fue descubierta por el griego Thales de Mileto 600 aos antes de Cristo, observ

que despus de frotar un trozo de mbar, que es un a resina fsil este era capaz de atraer

cuerpos muy ligeros. Posteriormente se comprob que otros materiales se comportaban de

la misma manera. En el siglo XVII de nuestra era el francs Du Fay descubri que se

generaban dos clase antagnicas de electricidad cuando se frotaba vidrio o mbar.

Podemos demostrar este hecho con un experimento sencillo. Si frotamos una barra de

vidrio con un trozo de piel con pelo y la acercamos a una bolita muy ligera de plstico o

corcho suspendida en un hilo la bolita es atrada por el vidrio.

Lo mismo ocurre si usamos una barra de mbar. No obstante, si despus de

frotadas acercamos ambas barras a la bolita esta no se mueve. La nica explicacin posible

a este hecho es que el vidrio y el mbar han adquirido dos clases opuestas de electricidad

que podemos denominar positiva y negativa.

La cantidad de carga depende de la naturaleza de los materiales y del rea de la

superficie que entra en contacto. Otro de los factores que intervienen es el estado de las

superficies, si son lisas o rugosas; la humedad o impurezas que contengan dichas

superficies proporcionan un camino para que se recombinen las cargas. La presencia de

impurezas en el aire tiene el mismo efecto que la humedad.

Un ejemplo de materiales ordenados de ms positivo a ms negativo es el

siguiente: piel de conejo, vidrio, pelo humano, nylon, lana, seda, papel, algodn, madera,

mbar, polister, poliuretano, vinilo (PVC), tefln.

VIDRIO

GRFICO

MBAR

VIDRIO

MBAR


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2. Electrizacin por induccin

Cuando aproximamos un cuerpo electrizado a otro cuerpo neutro, el primero

provoca (induce) en el segundo una separacin de electricidad positiva y negativa. El

resultado final es que el cuerpo electrizado atrae al otro.

De esta manera explicamos la atraccin elctrica entre los cuerpos: Las

electricidades de signos opuestos se atraen y las del mismo signo se repelen.

Podemos observar que una estudiante esta electrizando al electroscopio con un cuerpo

electrizado (vidrio) por induccin; dicho aparato tambin se puede electrizar por contacto.

En el grfico que se indica a continuacin el no conductor C, los electrones no

pueden moverse libremente, pero los tomos y molculas del mismo se reorientan de

forma que sus electrones constituyentes estn lo ms lejos posible de A; el no conductor

tambin es atrado por A, pero en menor medida que el conductor.

El movimiento de los electrones en el conductor B y la reorientacin de los tomos

del no conductor C proporciona a esos cuerpos cargas positivas en los lados ms prximos


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a A y negativas en los lados ms distantes de A. Las cargas generadas de esta forma se

denominan cargas inducidas.

3. La electrizacin por contacto

Se puede cargar un cuerpo con solo tocarlo con otro previamente cargado. En este

caso, ambos quedan con el mismo tipo de carga, si toco un cuerpo neutro con otro con

carga positiva, el primero tambin queda con carga positiva.

EL ELECTROSCOPIO

Es un instrumento cualitativo empleado para demostrar la presencia de cargas

elctricas. El electroscopio est compuesto por dos lminas de metal muy finas, colgadas

de un soporte metlico en el interior de un recipiente de vidrio u otro material no

conductor. Una esfera recoge las cargas elctricas del cuerpo cargado que se quiere

observar; las cargas, positivas o negativas, pasan a travs del soporte metlico y llegan

ambas lminas. al ser iguales, las cargas se repelen y las lminas se separan la distancia

entre estas depende de la cantidad de carga. Los electroscopios han cado en desuso debido

al desarrollo de instrumentos electrnicos mucho ms precisos, pero todava se utilizan

para realizar demostraciones.

La fuerza de repulsin electrosttica se equilibra con el peso de las hojas. Un

modelo simplificado de electroscopio consiste en dos pequeas esferas de masa m

cargadas con dos cargas iguales q y del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud

d. A partir de la medida del ngulo que forma una bolita con la vertical, se puede calcular su carga q.

+ + + + + + +++

+++

vidrio


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y

d

T T T y

F T x F

x

r

W = m g W = m g

Para realizar esta demostracin, como podemos observar en el grfico tenemos que

realizar el diagrama de cuerpo libre (carga elctrica de la derecha); se puede hacer en el

mismo grfico, pero se recomienda que lo hagan aparte.

Tambin se puede decir que la demostracin se ha realizado, utilizando todos los

pasos necesarios para que sea comprensible, aplicando las leyes fsicas y argumentos

matemticos para llegar a la respuesta correcta.

Demostracin

F x = 0 F y = 0 F T x = 0 T y W = 0 F = T x W = T y F = T sen ; F = (k q q) / r2 W = T cos ; W = m g [(k q q) / r

2] = T sen ; q q = q2 T cos = W

[(k q2) / r

2] = T sen A T = W / cos

Reemplazo la ecuacin B en ecuacin A T = m g / cos B (k q

2) / r

2 = (m g / cos ) sen

q2 = r

2 m g tan / k

k

mgrq

tan2

CARGA Y MASA DE PARTCULAS ELEMENTALES

PARTCULA

CARGA

MASA

C (Coulomb) kg (kilogramo)

Electrn 1,602 x 10 -19

9,109 x 10 -31

Protn 1,602 x 10 -19

1,676 x 10 -27

Neutrn 1,675 x 10 -27


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CONDUCTOR ELCTRICO

Cualquier material que ofrezca poca resistencia al flujo de electricidad se denomina

conductor elctrico. La diferencia entre un conductor y un aislante, que es un mal

conductor de electricidad o de calor, es de grado ms que de tipo, ya que todas las

sustancias conducen electricidad en mayor o en menor medida. Un buen conductor de

electricidad, como la plata o el cobre, puede tener una conductividad mil millones de veces

superior a la de un buen aislante, como el vidrio o la mica. En los conductores slidos la

corriente elctrica es transportada por el movimiento de los electrones; y en disoluciones y

gases, lo hace por los iones.

Los materiales en los que los electrones estn fuertemente ligados a los tomos se

conocen como aislantes, no conductores o dielctricos. Algunos ejemplos son el vidrio, la

goma o la madera seca.

Si un material fuera un conductor perfecto, las cargas circularan por l sin ninguna

resistencia; por su parte, un aislante perfecto no permitira que se movieran las cargas por

l. No se conoce ninguna sustancia que presente alguno de estos comportamientos

extremos a temperatura ambiente. A esta temperatura, los mejores conductores ofrecen una

resistencia muy baja (pero no nula) al paso de la corriente y los mejores aislantes ofrecen

una resistencia alta (pero no infinita).

AISLANTES Y CONDUCTORES

Si frotamos con un pao una barrita de acero y la acercamos a un pndulo

electrosttico, no ocurre nada, lo que nos indica que el cuerpo no se ha electrizado. No

obstante, si colocamos un mango de madera a la barrita de acero como un destornillador

con mango aislante- y la frotamos, s atrae al pndulo.

Por qu se electriza una barra de vidrio si la frotamos? Porque el vidrio es un

aislante, y la electricidad que generamos en l al frotarlo permanece localizada en el sitio

donde hemos frotado. En el acero, la electricidad no queda en reposo porque, como es

conductor, la electricidad se transmite a lo largo de l y se escapa a travs de nuestras

manos. Si ponemos un mango aislante, la electricidad no puede escaparse.

LA LEY DE COULOMB


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CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB

El fsico francs Charles de Coulomb se destac por sus trabajos realizados en el

campo de la electricidad. En 1 785 confirm experimentalmente la ley que lleva su nombre

y que permite calcular la fuerza entre las cargas elctricas.

BALANZA DE TORSIN

Coulomb emple una balanza de torsin para estudiar las fuerzas electrostticas.

Para ello carg una esfera fija con una carga q1 y otra esfera, situada en el extremo de una

varilla colgada, con una carga q2. La fuerza ejercida por q1 sobre q2 tuerce la varilla y la

fibra de la que cuelga. Girando el cabezal de suspensin en sentido contrario se mantienen

las esferas a la distancia original. La fuerza se mide por el ngulo que hay que girar el

cabezal. Coulomb hall que la fuerza ejercida por una carga sobre otra es directamente

proporcional al producto de ambas cargas (q, q). Tambin observ que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre las esferas cargadas. Esta

relacin se conoce como ley de Coulomb.

LA INTERPRETACIN DE LA LEY DE COULOMB

La expresin matemtica de la ley de Coulomb es:

Fe = ( k q q / r 2 ) r En donde q y q' corresponden a los valores de las cargas puntuales que

interaccionan, siendo estas positivas o negativas, r representa la distancia que las separa

supuestas concentradas cada una de ellas en un punto y k es la constante de

proporcionalidad correspondiente, que depende del medio en que se hallen dichas cargas

elctricas puntuales y r es el vector unitario de la posicin en la que se encuentre las cargas.

El hecho de que las cargas aparezcan con su signo propio en la ecuacin anterior

da lugar a la existencia de dos posibles signos para la fuerza Fe, lo cual puede ser

interpretado como el reflejo de los dos tipos de fuerzas, atractivas y repulsivas,

caractersticas de la interaccin electrosttica. As, cargas con signos iguales darn lugar a

fuerzas (repulsivas) de signo positivo, en tanto que cargas con signos diferentes

experimentarn fuerzas (atractivas) de signo negativo. Consiguientemente el signo de la

fuerza en la ecuacin expresa su sentido atractivo o repulsivo.

La constante de proporcionalidad k toma en el vaco un valor igual a


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k = 8,987 4 109 N m

2 / C

2, esta elevada cifra indica la considerable intensidad de las

fuerzas electrostticas. Pero adems se ha comprobado experimentalmente que si las

cargas q y q' se sitan en un medio distinto del aire, la magnitud de las fuerzas de

interaccin se ve afectada. As, por ejemplo, en el agua pura la intensidad de la fuerza

electrosttica entre las mismas cargas, situadas a igual distancia, se reduce en un factor de

1 / 81 con respecto de la que experimentara en el vaco. La constante k traslada, por tanto,

la influencia del medio.

Finalmente, la variacin con el inverso del cuadrado de la distancia indica que

pequeos aumentos en la distancia entre las cargas reducen considerablemente la

intensidad de la fuerza o en otros trminos, que las fuerzas electrostticas son muy

sensibles a los cambios en la distancia r.

LA LEY DE NEWTON Y LA LEY DE COULOMB

La comparacin entre la ley de Newton de la gravitacin universal y la ley de

Coulomb de la electrosttica muestra la existencia entre ellas de una cierta analoga o

paralelismo.

Fg = G m m / r2 Fe = k q q / r2

Esta analoga no supone una identidad entre la naturaleza de ambos tipos de

fuerzas, slo indica que los fenmenos de interaccin entre cargas y los de interaccin

entre masas podrn ser estudiados y tratados de un modo similar. A pesar de esta analoga

formal, existen algunas diferencias que cabe destacar. La primera se refiere al valor de las

constantes G y k El valor de G resulta ser mucho menor que k:

G = 6,67 10-11

N m2 /kg

2 unidades SI.

k = 8,99 109

N m2 / C

2 unidades SI (en el vaco).

Por tal motivo, las fuerzas entre cargas sern mucho ms intensas que las fuerzas

entre masas para cantidades comparables de una y otra magnitud. Adems, las fuerzas

gravitatorias son siempre atractivas, mientras que las fuerzas elctricas pueden ser

atractivas o repulsivas en funcin de los signos de las cargas puntuales que interactan.

LEY DE COULOMB

Enunciado: La fuerza F existente entre dos cargas puntuales elctricas q y q es directamente proporcional al producto de sus valores absolutos e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia r que las separa

F q q ; F 1 / r2

Las experiencias entre dos cargas puntuales permitieron a Coulomb establecer la

expresin de la fuerza que acta entre ellas (mtodo inductivo). Si tenemos 2 partculas

cargadas q y q en el vaco, separadas por una distancia r, se verifica que:


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F = (k q q / r2) u r

SIMBOLOGA:

F = Fuerza elctrica

k = Constante electrosttica

q y q = Cargas elctricas puntuales r = Distancia de separacin entre las cargas

u r = Vector unitario de la posicin.

GRFICO

+q + q F q/q

r

UNIDADES Y DIMENSIN FSICA

La Fuerza electrosttica esta definida en forma matemtica por la relacin F= (k q

q) / r2; por lo tanto la unidad de esta cantidad vectorial es N (Newton); la deduccin de su unidad ser:

F = (k q q ) / r2 ; k = ( N m2 C-2 ); q = (C); q = (C); r = ( m ) F = (N m

2 C

-2 C C / m

2 ); F = (N).

Fuerza electrosttica = (newton).

Para determinar la dimensin fsica de esta magnitud tenemos que considerar la

relacin anterior F= (k q q) / r2 , en donde k tiene como unidades (N m 2 C 2 ) y las cargas q y q la unidad C y la distancia r como unidad el metro (m).

Entonces: [ F ] = [ N m 2

C 2

] [ C C ] / [ m2 ]

[ F ] = [N m 2

C 2

C C ] / [ m2 ]

[ F ] = [ N m 2

C 2

C C / m2 ]

[ F ] = [ N ]

[ F ] = [ L M T-2

]

F e M L T-2

En el S.I. la constante k se expresa como 1 / 4 0

A partir de la ecuacin F = ( q2

r -2

) / 4 0 , podemos escribir la ecuacin de

dimensiones de 0 y deducir las unidades para esta constante que se denomina constante dielctrica: 0 = ( q

2 r

-2) / F; La dimensin fsica de 0 es: L

- 3 M

- 1 T

4 I

2 .

La constante 0 (constante dielctrica del vaco) vale 0 = 8,85 x 10-12 C2m-2N-1 y la constante k valdr 9,0 x 10

9 N m

2 C

-2.


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Si las cargas q y q estuvieran inmersas en un medio material homogneo en lugar de en el vaco, la expresin de la fuerza de interaccin entre ellas sera idntica a la

ecuacin F = ( q2

r -2 ) / 4 0, salvo que la constante dielctrica 0 debera ser

sustituida por otra constante , (constante dielctrica del medio), numricamente distinta de 0 y esta expresada as: = K 0; donde K es la constante dielctrica relativa y representa la capacidad inductiva especfica del medio, entonces la ecuacin para

determinar la fuerza elctrica ser:

F = ( q q r -2 ) / 4 k = 1/ 4 .

Es decir que la fuerza coulombiana en un medio material es ms dbil que en el

vaco por que es inversamente proporcional a la constante dielctrica del medio en el que

se encuentran las cargas elctricas puntuales.

CONSTANTE DIELCTRICA

MATERIAL

CONSTANTE DIELCTRICA

MEDIA

Vaco 1

Aire, seco a 1 atm 1,000 59

Baquelita 7,0

Vidrio 7,5

Mica 5,0

Plsticos de nitrocelulosa 9,0

Papel parafinado 2,0

Caucho 3,0

Tefln 2,0

Aceite de transformador 4,0

Agua 81,07

Aceite 4,6

Glicerina (25) 42,5

EL COULOMB COMO UNIDAD DE CARGA

La ley de Coulomb proporciona una idea de la magnitud del Coulomb como

cantidad de electricidad.

As, haciendo en la F = k q q / r2

q = q' = 1 C y r = 1 m, resulta que la Fe = 9 109 N; es decir, dos cargas de un Coulomb

situadas a una distancia de un metro, experimentaran una fuerza electrosttica de nueve

mil millones de newtones. La magnitud de esta fuerza descomunal indica que el Coulomb

es una cantidad de carga muy grande, de ah que se empleen sus submltiplos para

describir las situaciones que se plantean en el estudio de los fenmenos electrostticos.


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Los submltiplos del Coulomb ms empleados son:

UNIDAD SMBOLO EQUIVALENCIA

milicoulombio m C 10 -3

microcoulombio C 10 -6

nanocoulombio n C 10 -9

picocoulombio p C 10 -12

femtocoulombio f C 10 -15

attocoulombio a C 10 -18

zeptocoulombio z C 10 -21

yoctocoulombio y C 10 -24

FUERZA ELECTROSTTICA DEBIDA A DISTRIBUCIN DE CARGAS

La fuerza elctrica neta o total ejercida por varias cargas puntuales sobre una carga

determinada es igual a la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las cargas

restantes de una distribucin determinada, cumplindose as el principio de superposicin,

ya que la presencia de otras cargas no influye con la interaccin entre cualesquiera de los

pares. Por lo tanto, la interaccin electrosttica total entre cualquier par se puede expresar

como una superposicin vectorial de interacciones apareadas, digamos que la fuerza total

sobre la carga puntual 1, esta dada por el vector suma:

F 1T = F 2/1 + F 3/1 + F 4/1 +. . . + F n/1,

Donde, por ejemplo, F 3/1 es la fuerza que acta sobre la carga puntual 1 debido a la

presencia de la carga 3.

En el siguiente grfico podemos observar la fuerza total sobre la carga 4.

1

2

4

3 q 2

F2/4

F3/4 F1/4

q 4

q 1

q 3

GRFICO


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APLICACIN DE LA LEY DE COULOMB

La ley de Coulomb relaciona la magnitud de las fuerzas electrostticas con las

caractersticas del medio, reflejadas en su constante k, con el valor de las cargas

interactuantes y con la distancia comprendida entre sus centros. Por tal motivo es posible

averiguar uno de estos elementos si se conoce el resto.

EJERCICIOS DE APLICACIN

Ejemplo 01:

Determinar la fuerza electrosttica entre dos cargas q1 y q2 separadas una distancia

x1; si la distancia se reduce a la tercera parte Cul es la fuerza ahora?

SOLUCIN

Para hallar la solucin de este problema tenemos que plantear las ecuaciones para

los dos casos, es decir, para una distancia x1: F1 = k q1 q2 / x12

, ecuacin A; para una

distancia x2: F2 = k q1 q2 / x22, ecuacin B. Entonces como x2 = x1 / 3, ecuacin C,

tenemos:

Remplazando la ecuacin C en la ecuacin B:

F2 = k q1 q2 / x22

; x2 = x1 / 3

F2 = k q1 q2 / ( x1 / 3 )2

F2 = k q1 q2 / ( x12 / 9 )

F2 = 9 ( k q1 q2 / x12 ); F1 = k q1 q2 / x1

2

F2 = 9 F1

Analizando la respuesta podemos decir que, como la fuerza es inversamente

proporcional a la distancia de separacin entre las cargas, si se reduce la misma, la fuerza

ser mayor que la anterior, en este caso F2 es nueve veces mayor que F1.

Ejemplo 02:

Dos cargas puntuales, q1 y q2 , se atraen en el aire con cierta fuerza F, suponga que

el valor de q1 se duplica y el de q2 se vuelve 8 veces mayor. Para que el valor de la fuerza

permanezca invariable, Cul deber ser la distancia r 2 entre q1 y q2 ?

SOLUCIN

Tomando en consideracin que q1=2 q1 y q2 = 8 q2 ecuaciones A y que F1 = F2,

despejando de F1 = k q1 q2 / r1 2, F2 = k 2 (q1) 8 (q2) / r2

2 nos queda: F2 = k 16 (q1)

(q2) / r2 2 . Entonces:

F1 = F2 k (q1) (q2) / r1

2 = k 16 (q1) (q2) / r2

2

r2 2 (q1) (q2) = r1

2 16 (q1) (q2)

r2 2 =16 r1

2

r2 = 16 r1 2 r2 = 4 r1; Por lo tanto la distancia actual entre las dos cargas q1 y q2 ser ahora cuatro

veces mayor que la anterior.


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Ejemplo 03:

Dos esferas de igual peso W y de cargas elctricas de igual magnitud q=3.10-6

C,

pero de signos opuestos, se cuelgan de hilos como lo muestra la figura. Deducir el peso de

una de las esferas.

GRFICO

37o

+

q q

r = 0,3 m

SOLUCIN

Diagrama de Cuerpo Libre

Datos: y

q = 3 x 10 - 6

C

k = 9.109 N m

2 / C

2

W = ? 37

T Ty

53

T x F

x

W

Graficado el diagrama de cuerpo libre procedemos a plantear la condicin de equilibrio F = 0

Condiciones de equilibrio en x, y:

F x = 0 F y = 0


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F T x = 0 T y W = 0 F = T x W = T y F = T cos 53 ; F = (k q q) / r2 W = T sen 53; T = 1,5 N [(k q q) / r2] = T cos 53 W = (1,5) sen 53 T cos 53 = [(k q q) / r2] W = (1,5) ( 0,8) N T = (k q q) / r2 cos 53 W = 1,2 N T = [(9.10

9 3.10

-6 3.10

-6) / (0,3)

2 (0,6)] N

T = (8,1.10-2

/ 5,4.10-2

)N

T = 1,5 N

Como se puede observar en la resolucin de este problema, se procedi a

determinar el valor del peso de las cargas elctricas, porque las dos tienen el mismo peso

como lo enuncia el problema; utilizando un proceso de resolucin matemtico con criterio

adecuado y secuencial.

Ejemplo 04:

A lo largo de una recta se localizan tres cargas, como se ilustra en la figura. Cul

es la fuerza electrosttica neta sobre la carga de 3 C?

GRFICO

Y

+ 3 C + 5 C 2 C F 5 FR F 2

x

x = 0 m x = 0,3 m x = 0,8 m

SOLUCIN

La fuerza F5 es la que genera la carga de + 5 C y la fuerza F2 es la que genera la carga elctrica de 2 C, luego se procede a plantear la ecuacin de la ley de Coulomb y a remplazar los valores numricos, no sin antes observar que los datos en cuanto a

unidades estn en un mismo sistema.

F 5 = k q5 q3 / r2; r = 0,3 m = 3.10

-1 m F 2 = k q2 q3 / r

2; r = 0,8 m = 8.10

-1 m

F5 = 9.109 5.10

-6 3.10

-6 / (3.10

-1)2 F2 = 9.10

9 2.10

-6 3.10

-6 / (8.10

-1)2

F5 = 9. 5. 3.10-3

/ (3.10-1

)2 F2 = 9. 2. 3.10

-3 / (8.10

-1)2

F5 = 9. 5. 3.10-3

/ 9.10-2

F2 = 9. 2. 3.10-3

/ 64.10-2

F5 = 135.10-3

/ 9.10-2

F2 = 54.10-3

/ 64.10-2

F5 = 15.10-3

. 102 F2 = 0,844 . 10

-3 .10

2

F5 = 15 10-1

N F2 = 0,844 . 10-1

N

FR = F 2 F 5 FR = (

0,844 . 10

-1 -

15 10

-1 ) N

FR = - 14,156. 10-1

N

FR = - 1,42 N


- 16 -

El signo negativo significa que la fuerza resultante se dirige hacia la izquierda y si

le consideramos a la respuesta com un vector sera: FR =(- 1,42 i )N

Ejemplo 05:

En la siguiente figura, q1 = - 1 C, q2 = 2 C, q3 = 4 C. Encontrar la fuerza electrosttica sobre la carga 2.

SOLUCIN

Tenemos en primer lugar que determinar el ngulo utilizando ecuaciones trigonomtricas, para luego determinar las fuerzas elctricas parciales en q2.

x 2 = (20 cm)

2 + (10 cm)

2 tan = (20 cm / 10 cm)

x 2 = 400 cm

2 + 100 cm

2 tan = 2

x 2 = 500 cm

2 = tan-1 2

x = 22,4 cm = 63,43

x = 2,24.10-1

m

F 1/2 = (k q1 q2 ) / r2 F 3/2 = (k q3 q2 ) / r

2

F1/2 = (9.10 9

.1.10-6

.2.10-6

) / (1.10-1

)2 F3/2 =(9.10

9.4.10

-6.2.10

-6)/(2,24.10

-1)2

F1/2 = 18.10-3

/ 1.10-2

F3/2 = 72.10-3

/ 5.10-2

F1/2 = 18.10-3

.102

N F3/2 = 14,4.10-3

.102 N

F1/2 = 18.10-1

N F3/2 =14,4.10-1

N

F1/2 = 1,8 N F3/2 = 1,44 N

Para determinar la magnitud de la fuerza resultante en la carga 2 debido a las

cargas 1 y 3, aplicaremos la ley de los cosenos.

q 3

F T

F 3/2

F1/2

q 1

q 2

20 cm

10 cm

x

GRFICO


- 17 -

FT 2

= ( F 1/2 ) 2 + ( F 3/2 )

2 2 . F 1/2 . F 3/2 . cos

FT 2

= (1,8)2 + (1,44)

2 2.(1,8)(1,44).cos 63,43

FT 2

= 3,24 + 2,07 (5,184)(0,447) FT

2 = 5,31 2,32 = 2,99

FT = 1,73 N

Para expresar la respuesta como vector tendremos que encontrar el valor del ngulo

con respecto al eje x positivo hasta la fuerza elctrica total, tomando como origen de

coordenadas la carga 2.


- 18 -

CAPTULO 2

CAMPO ELCTRICO

Se denomina Campo Elctrico ( E ), a la regin del espacio donde se pone de

manifiesto los fenmenos elctricos, dicha regin situada en las proximidades de un

cuerpo cargado posee unas propiedades especiales. Si se coloca en cualquier punto de

dicha regin una carga elctrica de prueba, se observa que se encuentra sometida a la

accin de una fuerza. Este hecho se expresa diciendo que el cuerpo cargado ha creado un

campo elctrico y no depende de la presencia de la carga de prueba en dicho punto,

siempre considerada como positiva, por lo tanto podemos decir que en un punto del

espacio existe un campo elctrico cuando sobre una carga q colocada en dicho punto, se ejerce una fuerza de origen elctrico.

MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO ELCTRICO

El campo elctrico creado por una carga positiva q en un punto P1 donde se supone

que se coloca una carga positiva q, tiende a desplazarse en el sentido de este campo ya que tender el sentido de la fuerza y si el campo elctrico es creado por una carga

negativa q en el mismo sitio, tiende a desplazarse en sentido contrario.

GRFICO

E 2 P 2

P 2 E 2

E 3 P 3 P 1 E 1 P 3 E 3 E 1 P 1

q q

P 4 E 4

E 4 P 4

CAMPO ELCTRICO ORIGINADO POR CARGAS PUNTUALES

Campo Elctrico de una carga puntiforme o puntual.

La intensidad de campo elctrico en un punto se define como la fuerza que acta

sobre la unidad de carga situada en l. En forma matemtica est expresada de la siguiente

manera:

E = F / q ; en donde se considera que el campo elctrico es de naturaleza vectorial,

por lo tanto su direccin y sentido viene dada por la direccin y sentido de la fuerza que

acta sobre una carga positiva colocada en el punto P.

+ -


- 19 -

+

GRFICO

q

P q F

r

Si el campo elctrico en el punto P est dada por la relacin F / q, podemos deducir su ecuacin matemtica en funcin de la carga elctrica ( q ) que produce dicho campo , as:

E = F / q A ; F = [(k q q) / r2] B

Remplazando la ecuacin B en la ecuacin A.

E = [(k q q) / r2] / q E = (k q ) / r

2; Forma escalar

E = [(k q ) / r2] ur ; Forma vectorial; k = 1 / 4 0

E = [( q r

-2 ) / 4 0] ur ; Forma vectorial


La intensidad de campo elctrico esta definida en forma matemtica por la relacin

F / q; por lo tanto la unidad de esta cantidad vectorial es N / C; y si tomamos en cuenta la ecuacin E = (k q ) / r

2, la deduccin de su unidad ser:

E = ( k q ) / r2 ; k = ( N m

2 C

-2 ); q = ( C ); r = ( m )

E = ( N m2 C

-2 C / m

2 )

E = ( N / C )

Intensidad de Campo Elctrico = newton por coulombio.

Para determinar la dimensin fsica de esta magnitud tenemos que considerar la

relacin anterior; E = F / q, en donde la fuerza F tiene como unidades kg m / s2 y la carga q la unidad C = A s.

Entonces: [ E ] = [ N ] / [ C ]

[ E ] = [ kg m / s2 ] / [ As ]

[ E ] = [ kg m / s2 A s ]

[ E ] = M L T-3

I-1

E e LM T-3

I-1

+

E = F / q


- 20 -

Campo Elctrico creado por varias cargas puntuales.

El campo elctrico originado por varias cargas puntuales, se obtiene mediante una

suma vectorial de cada uno de los campos parciales E 1, E 2, E 3 , ... E n, producidos en

forma individual por las cargas q1, q2, q3,... q n, entonces:

E T = E 1 + E 2 + E 3 + ... + E n

Para calcular el valor de cada campo elctrico originado por las diferentes cargas

puntuales, lo realizaremos mediante la expresin:

E = ( k q ) / r 2; Forma escalar.

CAMPO ELCTRICO DE UNA CARGA ESFRICA

Para calcular el campo elctrico en un punto P exterior a la esfera, se puede

considerar que toda la carga se encuentra concentrada en su centro como si se tratase de

una carga puntual, su magnitud estar dada por: E = ( k q ) / r 2 y si se trata de un punto

colocado muy cerca de la superficie de la esfera , su distancia al centro de est es igual a R

que corresponde al radio de la esfera, entonces el campo elctrico en este punto estara

expresado as: E = ( k q ) / R 2.

+

-

+

q 3

P

E 3

E 2

E 1 y

x

q 2 q 1

GRFICO

r 3

r2 r1


- 21 -

LINEAS DE FUERZA

Las lneas de fuerza elctricas indican la direccin y el sentido en que se movera

una carga de prueba positiva si se situara en un campo elctrico.

GRFICO

En este diagrama se pueden observar las lneas de fuerza de un campo elctrico

creado por dos cargas de signo opuesto. Una carga de prueba positiva sera atrada por la

carga negativa y repelida por la positiva. Por eso, se puede decir que las lneas de campo

elctrico salen de las cargas positivas (ya que stas repelen la carga de prueba positiva) y

llegan a las cargas negativas (porque stas atraen a la carga de prueba positiva).

+ +

+ +

+ +

+ R +

q

r P

E

E = ( k q ) / r2 E = ( k q ) / R

2

GRFICO


- 22 -

CAMPO ELCTRICO UNIFORME

Si se considera dos placas planas y paralelas que se encuentran separadas una

distancia pequea en comparacin a sus dimensiones, las mismas que se encuentran

uniformemente electrizadas con cargas de la misma magnitud pero de signos contrarios,

sus lneas de fuerza sern paralelas entre s y perpendiculares a las placas por razones de

simetra; como la distancia de separacin entre las lminas es constante, el campo elctrico

es tambin constante y no vara cuando pasamos de un punto a otro, estando orientado

siempre de la placa con carga positiva a la placa con carga negativa.

LEY DE GAUSS

Gauss Karl Friedrich, fue un notable personaje cuyo talento excepcional se hizo

notar desde temprana edad y antes de los 20 aos haba hecho varias contribuciones

importantes que lo llevaron a la altura intelectual de cientficos como Arqumedes,

Newton y Euler, ya que enfoc sus esfuerzos a una considerable variedad de problemas,

desde la teora de los nmeros, pasando por la geometra abstracta y la teora de la

probabilidad hasta los clculos astronmicos y el magnetismo terrestre.

La ley de Gauss no solo simplifica la solucin de muchos problemas

electrostticos, sino que tambin es vlida para las cargas en movimiento, mientras que la

ley de Coulomb se restringe al caso esttico.

Enunciado: La componente perpendicular del campo elctrico sumada en

cualquier superficie cerrada es igual a 4 k veces la carga neta encerrada en esa superficie.

= E A ; A = 4 r 2 = [ ( k q ) / r 2 ] . ( 4 r 2 ) = 4 k q = Flujo de campo elctrico E = Campo elctrico

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

P E

+

-

r

q F

F q

GRFICO


- 23 -

A = Superficie de Gauss

La ley de Gauss relaciona el flujo neto de un campo elctrico que pasa por una

superficie cerrada (superficie de Gauss) con la carga neta q que es encerrada por esa

superficie.

Expresada en smbolos, la ley de Gauss es ( E A ) = q / 0

= E A

= E A ; E = (k q ) / r2

= ( k q ) / r 2 . A ; k = 1 / 4 0

= q / 4 0 r 2 . A ; A = 4 r 2

= ( q / 4 0 r 2 ) ( 4 r 2 )

= ( q / 0 ); Su unidad [ N m 2

C -1

]

Densidad de carga.- Puesto que la mayora de los conductores cargados tienen

grandes cantidades de carga sobre ellos, no es prctico tratar individualmente cada una de

dichas cargas puntuales, por lo tanto se habla de la densidad de carga ( ), la misma que es

definida como la carga por unidad de rea de superficie, su ecuacin es: = q / A; y su

unidad coulombio por metro cuadrado [ C / m 2

].

E

GRFICO

E = q / 4 0 r 2

ESFERA

r

q

Superficie esfrica de Gauss centrada en una carga puntual q.


- 24 -


Ejemplo 01:

Cul es el campo elctrico originado por una carga q en un punto P situado a una

distancia x1, si esta se duplica?

SOLUCIN

SI x2 es ahora 2 ( x1 ), ecuacin A; E 1 = ( k q ) / ( x1 )2 , ecuacin B y E2= ( k q )

/ ( x2 )2 , ecuacin C. Entonces:

E2= ( k q ) / (x2)2 ; x2 = 2 (x1)

E2= ( k q ) / (2 x1)2

E2= ( k q ) / 4 (x1)2

E2= (1 / 4 ) ( k q / ( x1 )2 ); E 1 = ( k q ) / ( x1 )

2

E2= (1 / 4 ) E1

ANLISIS DE LA RESPUESTA

Analizando la respuesta, se afirma que el campo elctrico 2 es igual a la cuarta

parte del campo 1, porque el el campo elctrico es inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia de separacin, por lo tanto si se duplica el campo se reduce a la cuarta parte,

si se triplica la distancia el campo se reduce a la novena parte, etc.

Ejemplo 02: Una carga de 4 C se coloca en x = 0, y = 20 cm, y una carga de - 2 C en x = 20 cm, y = 0. Calcule el campo elctrico en el origen.

SOLUCIN

E 1 = (k q1 ) / r2 E2 = (k q2 ) / r

2

+

-

( 0 , 20 ) cm

E1

ET

(0,0)

q2

GRFICO y

E2

x ( 20 , 0 ) cm

q1


- 25 -

E = ( 9.10 9

4.10-6

) / ( 2.10-1

)2 E = ( 9.10

9 2.10

-6 ) / ( 2.10

-1 )

2

E = 36.103

/ 4.10-2

E = 18.103

/ 4.10-2

E = 9.103.10

2 N/C E = 4,5.10

3.10

2 N/C

E = 9.105

N/C E = 4,5.105

N/C

ET = E 1 + E 2

(ET) 2 = (E 1)

2 + (E 2)

2

2525 )10.5,4()10.9( ET

1010 10.25,2010.81 ET

1010.25,101ET

CNET

CNET

/10.01,1

/10.06,10

6

5

Ejemplo 03:

Un electrn es acelerado, a partir del reposo, por un campo elctrico uniforme E =

5.105 N / C; la carga del electrn es 1,602.10

-19 C y su masa 9,109.10

-31 kg, determine:

a) La aceleracin adquirida por esta partcula.

b) El tiempo que tarda el electrn en alcanzar una velocidad igual al 10 %

de la velocidad de la luz.

SOLUCIN

Para determinar la solucin de este problema, en primer lugar analizaremos los

datos que estn en un mismo sistema de unidades y luego recurriremos a los prerrequisitos,

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

E

--

F a

q

GRFICO


- 26 -

siendo las expresiones matemticas de dinmica, M. R. U. A. y los temas estudiados en

este captulo.

Planteamos la ecuacin de campo elctrico. Planteamos la ecuacin de la velocidad.

a) E = F / q b) v = vo + a . t ; vo = 0

F = E . q v = a.t

F = 5.105 . 1,602.10

-19 t = v / a ; v = 3 . 10

8 m / s

F = 8 . 10 -14

N t = ( 0,1 ) 3 . 10 8

/ 8,78 . 10 16

Planteamos la ecuacin de la fuerza. t = 0,3 . 10 8

/ 8,78 . 10 16

F = m . a t = 0,034 . 10 8

. 10 - 16

a = F / m t = 0,034 . 10 8

s

a = 8 . 10 -14

/ 9,109.10 -31

t = 3,4 . 10 10

s

a = 0,878 . 10 -14

. 10 31

a = 0,878 . 10 17

m / s2

a = 8,78 . 10 16

m / s2

Ejemplo 04:

Dos cargas de + 16C y + 8 C estn separadas 200 mm en aire. En qu punto entre las cargas la intensidad de campo elctrico es cero?

SOLUCIN

El campo elctrico producido por la carga 1 es E1 y el campo elctrico producido

por la carga 2 es E2; entonces para determinar en qu lugar sobre la recta el campo total es

nulo, tenemos que analizar de la siguiente manera: si ubicamos el punto P a la izquierda

de la q1 el campo total es la suma de - E1 y - E2, tendr direccin hacia la izquierda y si

+ +

200 mm

GRFICO

200 - x

x

E 2 E 1 q 2 = +8.10

-6 C q 1 = +16.10

-6 C

P


- 27 -

008,08,0

008,08,02

28,008,0

4,004,02

84,004,016

4,004,0

816

)4,004,0(

10.8.10.910.16.10.9

)2,0(

21

2

22

22

22

22

22

2

69

2

69

22

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

x

kq

x

kq

mx

mx

x

x

x

x

a

acbbx

1172,02

2344,0

2

5656,08,02

6828,02

3656,1

2

5656,08,01

2

5656,08,0

2

32,08,0

2

32,064,08,0

1.2

)08,0(1.48,08,0

2

4

2

2

ubicamos el punto P a la derecha, tambin el campo total ser igual a la suma de los

campos E1 y E2 cuyo sentido ser hacia la derecha. Entonces si P lo ubicamos entre las

cargas, se tendr la posibilidad que en algn sitio E1 = E2 por lo tanto el campo total ser

nulo o igual a cero.

ET = E 1 - E 2

E 1 = E 2 : ET = 0 en el punto P.

ANALISIS DE LAS RESPUESTAS

La raz x 1 = 0,682 8 m = 682,8 mm no se considera como respuesta porque la

distancia est fuera de las cargas puntuales donde el campo elctrico total no es nulo,

entonces la respuesta es la que corresponde a la raz x 2 = 1,172 m = 117,2 mm; es decir el

campo elctrico total es nulo, cuando esta ubicado a esta distancia a partir de la carga q1

como se indica en el grfico.


- 28 -

Ejercicio 05:

Una esfera conductora uniformemente cargada, de 0,4 m de dimetro, tiene una

densidad superficial de carga de 8C / m 2. Cul es el nmero total de lneas de fuerza

que parten de la superficie de esta esfera?

SOLUCIN

= q / A ( q / A ) = q = A; A = 4 R 2, R = D / 2 q = . 4 ( D / 2 ) 2 q = 8 . 10

-6 . 4 ( 3, 141 6 ) [ ( 4 . 10

-1 ) / 2 ]

2

q = 8 . 10 -6

. 4 ( 3, 141 6 ) ( 4 . 10 -2

)

q = ( 4, 021 ) 10 -6

C

E

GRFICO

= (q / A) = 0 E

ESFERA

D

q


- 29 -

CAPTULO 3

POTENCIAL ELCTRICO

En el captulo de mecnica se simplificaron notablemente los problemas estudiados

al introducir el concepto de energa potencial gravitacional. En electricidad, pueden

resolverse muchos problemas si se consideran los cambios de energa que experimenta

una carga en movimiento.

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELCTRICO

La diferencia de potencial tambin es conocida como tensin o voltaje cuyo

smbolo es V. Se define como potencial elctrico en un punto al trabajo realizado sobre

la unidad de carga al desplazarla desde el infinito hasta dicho punto. En otras palabras es

el trabajo que representa una cantidad de energa de la fuerza elctrica, que imparte a la

carga en su desplazamiento desde A hasta B.

La diferencia de potencial elctrico entre los puntos A y B est dada por la

expresin VA VB = TAB / q .

Cuando un campo elctrico realiza un trabajo TAB sobre una carga de prueba

positiva, la cual se desplaza desde un punto A hasta un punto B, la diferencia de potencial

elctrico (VAB) entre esos puntos, se obtiene mediante la relacin del trabajo realizado

(TAB) y el valor de la carga q que se desplaz, la cual esta expresada en forma matemtica de la siguiente manera. VAB = TAB / q.

Podemos destacar en el grfico anterior que una carga positiva que se suelta en un

campo elctrico, tiende a desplazarse de los puntos donde el potencial elctrico es mayor

(A) hacia los puntos donde el potencial elctrico es menor (B), y una carga negativa

tender a moverse en sentido contrario, es decir, de los puntos donde el potencial elctrico

es menor (B) hacia aquellos puntos donde el potencial es mayor (A).


En cuanto a las unidades del potencial elctrico, el trabajo esta expresado en julios

(J) y la carga q en coulombios (C), por lo tanto la unidad de potencial es el voltio (V). VAB = TAB / q. VAB = ( J ) / ( C )

VAB = ( V )

+ + +

+ + +

+ + +

A B

+

F

q

GRFICO

q


- 30 -

Siendo su dimensin fsica:

[ VAB ] = [ V ]

[ VAB ] = [ J ] / [ C ]

[ VAB ] = [ N m ] / [ A s ]

[ VAB ] = [ kg m s-2

m ] / [ A s ]

[ VAB ] = [ kg m s-2

m A-1

s-1

]

[ VAB ] = [ kg m2 s

-3 A

-1 ]

[ VAB ] = [ M L2 T

-3 I-1

]

VAB e M L2 T

-3 I

-1

POTENCIAL ELCTRICO EN UN PUNTO

Para determinar el potencial en un punto tenemos que considerar la diferencia de

potencial entre un punto A y otro que se toma de referencia, entonces para calcular el

potencial en dicho punto, cogemos arbitrariamente un punto P, donde se le atribuye un

potencial nulo es decir VP = 0, por lo tanto la diferencia de potencial elctrico entre los

puntos A y P ser: VAP = VA - Vp; Vp=0. El potencial en A en relacin a P es:

VAP = VA; se puede notar que el potencial en un punto no tiene un valor nico ya que

depende del nivel de referencia que se escoja. Si VA = 0, entonces VAP = - VP.

POTENCIAL ELCTRICO E INTENSIDAD DE CAMPO

Si tenemos dos placas paralelas separadas una distancia r y estn electrizadas con

cargas iguales y de signo contrario, entonces existir un campo elctrico uniforme E,

dirigido de la placa cargada positivamente hacia la placa con carga negativa.

Para calcular el potencial elctrico entre dos placas, soltamos una carga puntual de

prueba positiva q junto a la placa A y determinaremos el trabajo que el campo realiza

sobre dicha carga, cuando se desplaza hasta la placa B, debemos considerar que el

desplazamiento de la carga entre las dos placas debe tomarse en direccin paralela al

vector E.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

E

+

r

q F

A GRFICO

B


- 31 -

El campo elctrico es uniforme, por lo tanto el trabajo que realiza la carga al

desplazarse de A hasta B, (TAB) es igual a F . r; pero conocemos tambin que la fuerza

elctrica F que acta sobre q permanece constante mientras se desplaza la carga, entonces

F = E . q . Como la fuerza elctrica tiene la misma direccin y sentido que el

desplazamiento tenemos:

TAB = F . r ; Ecuacin 1 F = E . q; Ecuacin 2

Remplazamos la ecuacin 2 en la ecuacin 1:

TAB = E q . r ; TAB / q = E . r ; V AB = T AB / q

V AB = E . r ; su unidad es el voltio ( V ).

En el estudio de Campo Elctrico, su unidad estaba determinada por newton por

coulombio ( N / C ); pero por la ecuacin antes encontrada VAB = E.r , si despejamos el

campo elctrico E tenemos: E = V / r denominado Gradiente de Potencial, su unidad es

voltio por metro (V / m ).

Podemos demostrar entonces que las unidades [ N / C] = [ V / m ];

F / q = V / r ( N / C) = ( V / m ); ( V ) =( J / C )

( N / C) = ( ( J / C ) / m ); ( J ) = ( N m )

( N / C) = ( ( N m / C ) / m )

( N / C) = ( N m / m C )

( N / C) = ( N / C )

POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UNA CARGA ELCTRICA PUNTUAL

El potencial elctrico V en un punto a una distancia r de una carga q es igual al

trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas elctricas al traer una carga

positiva desde el infinito a dicho punto. En otras palabras, el potencial elctrico en algn

punto P, es igual a la energa potencial por unidad de carga, lo cual debemos considerar

para la deduccin de la ecuacin V = k q / r.

Debe tenerse en cuenta que:

El origen de potenciales ( potencial nulo ) se considera situado en el infinito. El potencial elctrico, a diferencia de la fuerza y el campo elctrico, es una

magnitud escalar.

El potencial creado por un carga puntual positiva es positivo. El potencial creado por un carga puntual negativa es negativo.

+

VP = k q / r

GRFICO

r

E P

q


- 32 -

;1

n

i

TP ViV

;1

n

i i

iTP

r

kqV

DEDUCCIN DE LA ECUACIN DEL POTENCIAL

VP = T / q; Ecuacin 1. T = F . r ; Ecuacin 2. F = E . q; Ecuacin 3 VP = F r / q ; Remplazo ecuacin 2 en la ecuacin 1 y luego ecuacin 3. VP = E q r / q ; Remplazo E = (k q ) / r

2 en la ecuacin.

VP = [ ( k q ) q r / r2 q) ]

VP = [ ( k q ) / r ]

VP = ( k q ) / r ; k = 1 / 4 0 VP = q / 4 0 r

POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UN SISTEMA DE CARGAS

El potencial elctrico originado en un punto por varias cargas puntuales elctricas,

se determina utilizando la ecuacin anteriormente demostrada, ya que el potencial es un

escalar y obedece al principio de superposicin, entonces el potencial elctrico total en

dicho punto P, es igual a la suma algebrica de sus potenciales parciales originados por las

diferentes cargas:

V T P = V 1 + V 2 + V 3 + . . . + V n

VT P = [( k q 1) / r1] + [ ( k q2) / r2] + [ ( k q3) / r3] + ... + [ ( k q n) / r n]

De acuerdo al grfico anterior, podemos determinar el potencial elctrico total en el

punto P originado por tres cargas puntuales:

VT P = [ k ( - q 1) / r1 ] + [ ( k q2 ) / r2 ] + [ k ( - q3) / r3 ].

La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito se mide con un

voltmetro, instrumento que se coloca siempre en derivacin entre los puntos del circuito

cuya diferencia de potencial se quiere medir.

-

+ -

-q1 r1

r2 r3

GRFICO

-q3

P VTP

+q2


- 33 -

ENERGA DE POTENCIAL ELCTRICO

La conservacin de la energa mecnica permiti definir ciertas cosas en relacin

con los estados inicial y final de los sistemas sin necesidad de analizar el movimiento entre

estados. La existencia de una energa potencial nica es consecuencia del hecho de que la

fuerza gravitacional es conservativa, en forma anloga podemos decir que la fuerza

electrosttica es conservativa, por lo tanto podemos asociar una energa potencial a todo

sistema en el que una partcula cargada este situada en un campo elctrico y reciba la

accin de una fuerza electrosttica.

Definicin: La diferencia de energa potencial electrosttica ( EP) de una carga q entre dos puntos en el espacio es el trabajo negativo realizado por la fuerza electrosttica al

transportar dicha carga puntual desde la posicin A hasta la posicin B. Ep = - TAB Tomando en consideracin la ecuacin VAB = TAB / q, podemos determinar que: TAB = VAB q TAB = ( VB - VA ) q TAB =[[ k ( q ) / rB ] - [ k ( q ) / rA ] ] q TAB = k q q [ (1 / rB) ( 1 / rA) ] Ep = k q q [ (1 / rB) ( 1 / rA) ]

Podemos sealar que:

El trabajo realizado por fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria. El trabajo realizado por fuerzas conservativas slo depende de las coordenadas de

las posiciones inicial y final.

Las fuerzas electrostticas son conservativas.

EL ELECTRN VOLT

Definicin.- Un electrn volt ( eV ) es el aumento de energa potencial de una carga elemental e, tal como el electrn o del protn al ser elevada a travs de una

diferencia de potencial elctrica de un volt.

T = q . E . r ; V = E . r T = q e . V; q e = 1,602 . 10

-19 C

T = ( 1,602 . 10-19

C ) . ( 1 V )

T = ( 1,602 . 10-19

C V )

T = 1,602 . 10-19

J; entonces un electrn volt es equivalente a una energa de 1,602 . 10

-19 J.

El potencial elctrico ( V ) y la energa de potencial elctrico ( EP ) son cantidades

muy diferentes, as lo muestran las unidades respectivas y no deben confundirse, ya que el

potencial elctrico es una propiedad de un campo elctrico, sin considerar si un objeto

cargado se ha situado en dicho campo, por otro lado la energa potencial elctrica es la

energa de una carga puntual colocada en un campo elctrico externo.

EL POTENCIAL DEBIDO A UN DIPOLO ELCTRICO

El dipolo elctrico es un tipo de distribucin de carga que se presenta

frecuentemente en los dielctricos, el mismo que est formado por una carga positiva + q y

otra negativa q del mismo valor que se encuentran separadas una distancia x.


- 34 -

Dipolo elctrico.- El potencial en el punto P, cuya distancia a la carga q es r 1 y a la carga + q es r 2 esta expresado de la siguiente manera:

VP = k q [ (1 / r 2 ) ( 1 / r 1 ) ] ; k = 1 / 4 0 VP = [ q / 4 0 ] [ (1 / r 2 ) ( 1 / r 1 ) ]

VP = [ 2 q x / 4 0 r 2 ] ( cos )

Es importante destacar, que el potencial debido a un dipolo elctrico disminuye con

el inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye

con el inverso de r.

POTENCIAL ELCTRICO DE UN ANILLO UNIFORMEMENTE CARGADO EN

UN PUNTO SOBRE SU EJE

Tomando en consideracin que el potencial originado por una carga puntual en

determinado punto es:

VP = ( k q ) / r ; k = 1 / 4 0 VP = q / 4 0 r, en un anillo debemos considerar que la distancia r est en funcin de x y R, donde x es la distancia perpendicular del centro del anillo al punto P y R

el radio de dicho anillo; por lo tanto tendremos la ecuacin siguiente:

r 2

= x 2 + R

2 ; r = ( x

2 + R

2 )

1/2

VP = ( k q ) / r ; VP = ( k q ) / ( x 2

+ R 2 )

1/2 ; k = 1 / 4 0

VP = ( q / 4 0 ) / ( x 2 + R 2 ) 1/2

r1 r r2

+q

y

x

GRFICO

x x

-q

P


- 35 -


Ejercicio 01:

Dos cargas, q = + 5 C y q = - 5 C, estn separadas 10 centmetros, como se muestra en la figura. Determinar el potencial elctrico a) en el punto A, b) en el punto B.

SOLUCIN

a) Para determinar el potencial en el punto A utilizaremos las ecuaciones:

V1 = ( k q1 ) / r 1 V2 = ( k q2 ) / r2

V1 = ( 9.109 . 5.10

-6 ) / ( 4.10

-2 ) V2 = 9.10

9 ( - 5.10

-6 ) / ( 6.10

-2 )

V1 = ( 45.103 ) / ( 4.10

-2 ) V2 = (- 45.10

3 ) / ( 6.10

-2 )

V1 = ( 11,25 ) . 103.10

2 V V2 = ( - 7,5 ).10

3.10

2 V

V1 = ( 11,25 ). 105

V V2 = ( - 7,5 ).105

V

VA = V 1 + V 2 VA = ( 11,25 ). 10

5 V - ( 7,5 ).10

5 V

VA = ( 3,75 ) . 10 5

V

q1 = +5C

4 cm

r1

GRFICO

q 2= - 5C

6 cm

r2

4 cm

r3

A B

r4= 10cm

r

r R

y

x

GRFICO

x

+q

P


- 36 -

b) Para determinar el potencial en el punto B utilizaremos las ecuaciones:

V1 = ( k q 1 ) / ( r 3 + r 4 ) V2 = ( k q 2 ) / r 3

V1 = ( 9.109 . 5.10

-6 ) / ( 4.10

-2 + 10.10

-2) V2 = ( - 45.10

3 ) / (4.10

-2)

V1 = ( 45.103 ) / ( 14.10

-2) V2 = -11,25.10

3.10

2

V1 = ( 3,21 ).103 .10

2 V V2 = (-11,25 ).10

5 V

V1 = ( 3,21 ).10 5 V

Como el potencial elctrico es una magnitud escalar, procedemos a sumar sus mdulos de

la siguiente manera.

VB = V 1 + V 2 VB = (3,21). 10

5 V + ( - 11,25).10

5 V

VB = ( - 8, 04 ) . 10 5

V

Ejercicio 02:

Los puntos A, B y C estn en las esquinas de un tringulo equiltero de 100 mm de

lado. Dos cargas de + 8 C y - 8 C se localizan en A y B respectivamente. a) Cul es el potencial en C? b) Cul es el potencial de un punto D que est a 20 mm de la carga de - 8 C, en una

lnea que une A y B?

c) Cunto trabajo es realizado por el campo elctrico al mover una carga de + 2 C desde el punto C al punto D?

SOLUCIN

a) Potencial en el punto C. VC = V A + V B VC = [( k q A ) / r ] + [( k q B ) / r ]

VC = [( 9.109 . 8.10

-6 ) / ( 10.10

-2 ) ] + [( 9.10

9 . (-8.10

-6 ) / ( 10.10

-2 )]

VC = [( 72.103 ) / ( 10.10

-2 ) ] + [( -72.10

3 ) / ( 10.10

-2 )]

VC = [( 7,2.103 .10

2 ) ] + [( -7,2.10

3 .10

2 )]

VC = [ ( 7,2 ).105 + ( -7,2 ).10

5 ] V

VC = 0 V

GRFICO

r = 100 mm

r2=20 mm r1=80 mm

A D

VC C

B

+ -

r = 100 mm


- 37 -

;4

1

i

TP ViV

;1

n

i

TP ViV

b) Potencial en el punto D. VD = V A + V B VD = [( k q A ) / r 1 ] + [( k q B ) / r 2 ]

VD = [( 9.109 . 8.10

-6 ) / ( 8.10

-2 ) ] + [( 9.10

9 . ( - 8.10

-6 ) / ( 2.10

-2 )]

VD = [( 9.103.10

2 ) + ( -36.10

3 .10

2 )] V

VD = [( 9.105 ) + ( -36.10

5 )] V

VD = - 27 . 10 5 V

VD = - 2,7 M V

c) El trabajo realizado es: TCD = ( V C - V D ) q CD TCD = [ 0 ( - 2,7 . 10

6 ) ] ( + 2 . 10

-6 ) V. C

TCD = ( 2,7 . 10 6

) ( + 2 . 10-6

) V. C

TCD = ( 5,4 . 10 6

. 10-6

) J

TCD = ( 5,4 ) J

Ejercicio 03:

Cul es el potencial elctrico en el punto P, ubicado en el centro del cuadrado de

cargas puntuales ilustrado en el grfico? La distancia x es de 1,3 m, y las cargas son q1 =

+ 12 nC, q2 = - 24 nC, q3 = + 31 nC, q4 = + 17 nC.

SOLUCIN

VT P = [( k q1) / r] + [ ( k q2) / r] + [ ( k q3) / r] + [ ( k q 4) / r ]

VT P = k [( q 1) / r] + [ ( q2) / r] + [ ( q3) / r] + [ ( q 4) / r ]

VT P = k [ ( q 1+ q2 + q3 + q 4) / r ]

VT P = 9.109 ( Nm

2C

-2) [ ( 12 nC 24 nC + 31 nC + 17 nC ) / ( 0,919 m ) ]

VT P = 9.109 ( Nm

2C

-2) [ ( 36 nC ) / ( 0,919 m ) ]

VT P = 9.109 ( Nm

2C

-2) [ ( 36.10

-9 C ) / ( 0,919 m ) ]

VT P = [ ( 324 ) / ( 0,919 ) ] V

VT P = ( 352,56 ) V

x = 1,3 m r

P

q4

GRFICO

q1

q2

q3

r1

r2

mr

r

r

r

rrr

919,0

2)65,0(

)65,0(2

)65,0()65,0(

)()(

2

22

2

2

2

1

r 1 = r2


- 38 -

Ejercicio 04:

En x = 4 m, y = 0 m se localiza una carga de 8 C. Dnde se deber colocar una carga de 16 C para que V = 0 en el origen?

SOLUCIN

Para determinar la distancia a la cual se debe colocar la carga puntual negativa para

que el potencial sea nulo en el origen, lo ubicaremos a la izquierda del origen de

coordenadas, por lo tanto tendremos:

VT = V1 + V2 ; VT = 0; 0 = V1 + V2 ; V1 = - V2 en el origen

V1 = ( k q1 ) / x 1 V2 = ( k q2 ) / x2

( k q1 / x 1 ) = - ( k q2 / - x 2 )

x 2 es negativo (ubicada a la izquierda del origen de coordenadas)

q1 / x 1 = - q2 / - x 2

8 . 10 -6

/ 4 = - ( - 16 . 10 -6

) / - x 2

8 . 10 -6

. x 2 = - 4.( 16 . 10 -6

)

x 2 = - [ 4.( 16 . 10 -6

) ] / 8 . 10 -6

x 2 = - [ 4.( 16 ) ] / 8

x 2 = - 8 m

Si a la carga puntual negativa q2 lo ubicamos a la derecha del origen de

coordenadas, entonces la distancia ser: x2 = 8 m.

(0, 0)

q2 = - 16 C

GRFICO

x

(4, 0)m

y

x1 x2

q1 = 8 C

(-x2, 0)m


- 39 -

BIBLIOGRAFA

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