Download - Elktrodinamika Persentasi

Transcript
Page 1: Elktrodinamika Persentasi
Page 2: Elktrodinamika Persentasi
Page 3: Elktrodinamika Persentasi

5.1. Interaksi magnetik dari arus

Gbr. 5.1 Interaksi magnetik dari dua arus

Menurut hukum Coulomb, seharusnya tidak ada gaya di antara mereka. Namun eksperimen (terutama, oleh Hans Christian Oersted, Jean-Baptiste Biot dan Savart Félix, dan André-Marie Ampere di 1819-1823) telah membuktikan bahwa seperti gaya-gaya non-Coulomb memang ada dan merupakan manifestasi dari interaksi magnetik antara arus. Dalam gambar, hasilnya dapat diringkas dengan rumus, dalam satuan SI di tunjukan sebagai: (5.1)

Page 4: Elktrodinamika Persentasi

Dalam beberapa kasus sederhana seperti konduktor panjang (kawat tpis) integrasi ganda di dalamnya dapat dilakukan secara analitis. dalam hal ini kita dapat mengintegrasikan bagian dan dan karenanya pers.1 dapat ditulis ulang sebagai:

(5.4)

Sebagai Contoh kawat sejajar (Gbr.2) dipisahkan oleh jaraj dengan panjang , karena simetri maka vektor gaya interakasi magnetik harus terletak pada bidang yang sama dimana vektor komponen dan tegak lurus terhadap kawat. Menggunkan bahwa dalam kasus ini kita dapatkan

(5.5)

Page 5: Elktrodinamika Persentasi

Untuk mempersingkat kita anggap , maka(5.6)

Inetgral atas menghasilkan gaya interakasi per satuan panjang dari kawat konstan:(5.7)

Gambar. 5.2. Gaya magnet antara dua kawat sejajar.Pendekatan dari pers. (1) menjadi produk dari dua faktor melalui pengenalan medan.

Dekomposisi tersebut dapat dilakukan sebagai berikut:

(5.8)

di mana vektor disebut medan magnet dalam kasus ini diciptkan oleh arus :

Page 6: Elktrodinamika Persentasi

(5.9)

persamaan terakhir ini disebut sebagai persamaan Biot-Savart. Kedua persamaan diatas harus setara dengan pers. (1). Karena kedua vektor sejajar (Gbr.3) komponen tidak membarikan gaya pada pasangannya.

(5.10)

dengan menggunkan identittas aljabar vektor berikut

(5.11)Menerapkan relasi ini pada pers. 10 kita mendapatkan

(5.12)

Sebagai hasilnya, arus dalam masing-masing tabung sangat kecil sama sepanjang garis tersebut dan seperti dalam kawat tipis dapat digantikan dengan . Karena itu kontribusi masing-masing tabung untuk integral internal dalam istilah pertama dalam pers. 12 dapat disajikan sebagai

Gambar. 5.3. Pelanggaran nyata dari ke-3 Hukum Newton di magnetostatistika.Memasukan pers. (9) ke pers. (8) kita mendapatkan

Page 7: Elktrodinamika Persentasi

(5.13)

Dari fakta eksperimental komponen dasar dari arus juga berkontribusi terhadap medan magnet pers. 9. Oleh karena kaitan itu menulis ulang pers. 9 dan pers. 8:

(5.14)

(5.15)

ekspansi ini sangat mirip dengan pers. (1.8) tetapi masih berbeda dengan hubungan yang sesuai dengan elektrostatistika

(5.16)

dan versi distribusi dari pers. (1.6):

(5.17)

Untuk kasus bidang kawat tipis panjang . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai:

(5.18)

Page 8: Elktrodinamika Persentasi

Kontribusi medan magnet pada setiap fragmen kawat kecil panjang yang diarahkan sepanjang garis yang sama besarnya adalah:

(5.19)

menyimpulkan semua kontribusi tersebut kita mendapatkan

(5.20)

Ini hanya berlaku untuk kawat lurus yang sangat panjang .Sekarang kita dapat menggunkan pers. 15, atau lebih tepatnya versi kawat tipis

(5.21)

Gambar. 5.4. Medan magnet dari (a) lurus, kawat panjang, dan (b) loop arus tunggal.

Page 9: Elktrodinamika Persentasi

Aplikasi pada gambar 4.b merupakan medan magnet pada sumbu dari loop arus melingkar dan merupakan aplikasi yang sangat penting dari hukum Biot-Savart. Karena simetri medan harus diarahkan sepanjang sumbu, tetapi masing-masing komponennya dimiringkan oleh sudut , sehingga komponen aksial

(5.22)

Karena penyebut dari ungkapan ini tetap sama untuk semua komponen kawat akhirnya memberikan (5.23

)Perhatikan bahwa medan magnet di tengah lingkaran yaitu untuk yaitu:

(5.24)Fakta penting lainnya adalah pada jarak yang cukup jauh , maka medan magnet

sebanding dengan .

(5.26)

Page 10: Elktrodinamika Persentasi

5.2. Vektor Potensial dan Hukum Ampere

Dengan menggunkan hukum Gauss hubungan yang rumit dalam maagnetostatistika karena karekter pusaran medan magnet dapat disederhanakan. Dalam analogi kasus pers. 14 dengan produk skalar vektor terpisah dapat diubah sebagai:

(5.26)

dimana operator bertindak di dalam ruang . Memasukan pers. (26) ke pers. (14) dan opertor bergerak atas dapat dilihat bahwa medan magnet dapat disajikan sebagi crul dari medan vektor lain, (5.27

)di mana vektor potensial

(5.28)

Vektor aljabar mengatakan bahwa perbedaan curl apapun bernilai nol. Dalam aplikasi untuk pers. (27) ini berarti bahwa

(5.28)

Page 11: Elktrodinamika Persentasi

Vektor medan magnet yaitu curl dan menggunkan pers. (28) kita mendapatkan

(5.30)

Ungkapan ini dapat disederhanakan dengan menggunkan identitas umum berikut:

(5.31)Menerapkan identitas ini untuk pers. (30) kita mendapatkan

(5.32)

Seperti yang telah kita ketahui dalam elektrostatistika (5.33

)Sehingga akhir pers. (32) hanya

(5.34)

Karena istilah kedua sama dengan nol sehingga persamaannya menjadi persamaan diverensial yang sangat sederhana

(5.35)

Page 12: Elktrodinamika Persentasi

ini adalah 4 persamaan Maxwell yang di magnetostatistika memaikan peran mirip dengan persamaan Poisson dalam elketrostatika.

(5.36)

Mengintegrasikan pers. (35) atas permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup dengan teorema Stokes dihasilkan

(5.37)

dimana adalah totoal persimpangan arus permukaan , disebut hukum Ampere.Sebagai contoh dalam kawat lurus berjari-jari dengan distribusi (Gbr.5)

Gambar. 5.5. Aplikasi sederhana dari hukum Ampere arus DC dalam kawat lurus.

Page 13: Elktrodinamika Persentasi

Kontur dalam bentuk cincin dengan radius pada bidang tegak lurus terhadap sumbu z kawat oleh karena itu , dengan adalah sudut azimut sehingga hukum Ampere pers. (37) menjadi

(5.38)

dalam kasus ketika kawat konduktivitas adalah konstan dan merata sepanjang penampangnya konstan maka pers. (38) menghasilakan untuk .

Contoh lain adalah selenoid panjang (Gbr.6) dengan repatan , dimana adalah jumlah kawat persatuan panjang dan adalah luas pnampang selonoid itu. Dari gambar 6a, komponen bergantung pada posisi horizontal Kontur dengan panjang diluar selonoid kita mendapatkan , ini hanya mungkin jika medan sama dengan nol pada setiap yang panjang tak terhingga. Kontur untuk bidang interen kita mendapatkan

(5.39)di mana adalah jumlah kawat yang melewati kontur panjang . Ini berarti dari posisi

internal hasilnya adalah(5.40

)

Page 14: Elktrodinamika Persentasi

Gambar. 5.6. Medan magnet (a) lurus dan (b) solenoida toroidal.

Dengan menerapkan hukum ampere ke solenoid toroidal (gambar 6b) kontur dengan radius kita mendapatkan

(5.41)

Memasukan pers. (27) ke pers. (35) kita mendapatkan (5.42

)dengan memberlakukan indentitas pada pers. (31) pada pers. (42) hasilnya adalah(5.43

)Dalam elektrostatistika kita bisa menabah dan fungsi watu tanpa merubah medan listrik (5.44

)

Page 15: Elktrodinamika Persentasi

Demikian pula dengan menggunkan fakta bahwa curl dan gradien dari fungsi scalar sama dengan nol, kita dapat menambahkan dan gardien dari fungsi :

(5.45)penambahan tersebut menjaga medan tetap utuh dan disebut transformasi gauge.

Sekarang mari kita lihat transformasi seperti yang dilakukan untuk

(5.46)Karena kita dapat memilih fungsi sedemikian rupa sehingga akan lenyap sehingga

vektor potensial memenuhi persamaan vektor Poisson(5.47

)Bersama-sama dengan persamaan Coulomb gauge(5.48

)Untuk simetri opertor Laplace dalam koordinat selinder hanya memiliki satu komponen sehingga pers. (47) mengambil bentuk

(5.49)

Mengintegrasikan persamaan diatas kita mendapatkan

(5.50)

Page 16: Elktrodinamika Persentasi

Karena dalam koordinat selinder untuk simetri maka pers. (50) tidak lai adalah persamaan medan magnet pada pers. (38). Mengintegrasikan sekali lagi kita mendapatkan (5.51

)Ketika konstan dan terbatas kita mendapatkan

(5.52)

Page 17: Elktrodinamika Persentasi

5.3. Fluks magnetik, energi, dan induktansi

Untuk menghitung , mari kita liat sebuah kawat lingkaran tipis C dengan arus I dalam medan magnet (Gambar. 7). Menurut persamaan (21), gaya magnet yang diberikan oleh kawasan pada sebuah bagian kecil dari kawat adalah

(5.53)Kawat tersebut dipindahkan sedikit oleh dengan jarak yang kecil (Gbr.7), sehingga

oleh gaya eksternal mengakibatkan perubahan energi medan magnet yaitu (5.54

)

Gambar. 5.7. Sebuah kawat tipis dengan arus dalam medan magnet, dan deformasi kecil.

Page 18: Elktrodinamika Persentasi

aturan rotasi dalam aljabar vektor memberikan

(5.55)sehingga vektor B dapat di keluarkan dari produk vektor:

(5.56)

Besarnya produk vektor tidak lebih dari daerah , sedangkan arah vektornya tegak lurus sepanjang daerah daerah dasarnya. perkalian sekalar dengan vektor setara dengan komponen normal ke permukaan . Oleh karena itu hasil variasi total energi magnetik: (5.57

)

dimana adalah permukaan yang dibatasi oleh kawat. Integral dalam pers. (57) mirip dengan fluks medan listrik yang berpartisipasi dalam hukum Gaus dan disebut fluks magnetik melalui permukaan : (5.58

)

Dengan menggunakan definisi ini, hasil akhir (57) dapat disajikan dalam bentuk yang sangat sederhana, (5.59

)𝛿𝑈=𝐼 𝛿Φ

Page 19: Elktrodinamika Persentasi