Download - Diktat or - Tranportasi

DIKTAT SOAL DAN JAWABAN RISET OPERASIONAL

Fakultas Ekonomi – Universitas Muhammadiyah Bengkulu Halaman: 47

BAB V

MASALAH TRANPORTASI

Masalah transportasi membicarakan cara pendistribusian suatu komoditi dai sejumlah sumber (origin) ke sejumlah tujuan (destination). Sasarannya adalah mencari pola pendistribusian dan banyaknya komoditi yang diangkut dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan yang meminimalkan ongkos angkut secara keseluruhan, dengan kendala-kendala yang ada.

Terdapat bermacam – macam model jaringan (network model). Suatu jaringan adalah suatu system garis – garis atau saluran – saluran yang menghubungkan titik – titik yang berlainan. Beberapa contoh jaringan adalah :

- Jaringan rel kereta api - System saluran pipa - Jaringan jalan raya - Jaringan penerbangan. - Dan lain-lain..

Misalkan dalam suatu system saluran pipa dapat di kirim air, minyak atau gas dari sumber menuju langganan yang meminta.

Ada 2 macam

- Transportasi standar (Single Delivery System) O1 D1 O2 D2 Masalah transportasi di mana origin hanya berfungsi sebagai daerah asal dan destination hanya berfungsi sebagai daerah tujuan.

- Transshipment / Multi Delivery System Masalah transportasi dimana origin maupun destination berfungsi sebagai daerah asal dan tujuan. O1 D2 O2 D2


Fakultas Ekonomi Halaman: 48

5.1. Skenario

Masalah transportasi diformulasikan berdasarkan skenario sebagai berikut :

1. Ada sumber/daerah asal (origin) dengan kapasitas (supply) maksimumnya. 2. Ada tujuan (destination) dengan permintaan (demand) minimumnya. 3. Ada jalur angkutan dari setiap sumber ke setiap tujuan beserta ongkos angkut

satuan. (Ongkos sifatnya linier � proporsional terhadap jarak) 4. Ada satu macam komoditi saja yang diangkut 5. Meminimalkan ongkos angkut. 6. Adanya fungsi sasaran (objective function) yang diasumsikan linear.

5.2. Skema/Formulasi

Oi = Sumber (origin) ke – i ( i = 1, 2, . . ., m)

Dj = Tujuan (destination) ke – j ( j = 1, 2, . . ., n)

bi = Supply maksimum pada Oi

aj = Demand minimum pada Dj

Cij = Ongkos angkut satuan pada jalur Oi � Dj

Xij = Banyaknya unit komoditi yang diangkut dari Oi ke Dj (alokasi)

b1 : O1 : D1 : : a1

b2 : O2 : D2 : : a2

b3 : O3 : D3 : : a3

bm : Om : Dn : : an

C11 : X11

Cm n : Xm n



5.3. Asumsi

Diasumsikan :

(i) Linieritas, i.e. biaya angkut berbanding lurus (proporsional) dengan banyaknya komoditi yang diangkut dari origin ke destination.

(ii) Hanya ada satu jenis komoditi yang diangkut

Asumsi (i) berakibat masalah transportasi termasuk dalam kategori masalah program linear, Sehingga cara menyelesaikannya bisa memanfaatkan metode yang sudah lasim dikenal, seperti yang akan dijabarkan kemudian.

Asumsi (ii) berakibat setiap destination bisa menerima kiriman dari setiap origin.

5.4. Formulasi Model Matematika

Berdasarkan skenario di atas, maka formulasi model matematika masalah transportasi adalah sebagai berikut:

Mencari xij ≥ 0 (i = 1, 2, …, m; j = 1, .. n) yang meminimalkan fungsi sasaran (ongkos angkut total)

(1). ∑∑= =

=n

j

m

iijij XCf

1 1

,

dengan kendala-kendala (constraint) :

(2). ( ) danmibXn

jiij ,.,..,2,1

1

=≤∑=

(3). ( )njaXm

ijij .,..,2,1

1

=≥∑=

Ketaksamaan (2) disebut kendala supply dan ketaksamaan (3) disebut kendala demand.

Fungsi f pada persamaan (1) disebut fungsi sasaran (objective function).

Penyajian data : penyajian data masalah transportasi dituangkan dalam tabel 1 berikut :



Destination

Origin

D1 D2 … Dn Supply bi

c11 c12 … c1n

O1 x11 x12 x1n b1

c21 c22 … c2n

O2 x21 x22 x2n b2

…

… …

…

…

…

cm1 cm2 … cmn

Om xm1 xm2 xmn bm

Demand ∑bi

∑a5

aj a1 a2 .. an

Tabel 1

5.5. Solusi Keadaan Setimbang

Jika ∑ ∑= =

=m

i

n

jji ab

1 1

, yaitu total supply komoditi pada origin sama dengan total

demand pada destination, maka masalah transportasi dikatakan setimbang. Dalam kasus setimbang, semua kendala, baik kendala supply maupun kendala demand berbentuk persamaan, sebagai berikut :

( ) danmibXn

jiij ,.,..,2,1

1

==∑=



( )njaXm

ijij .,..,2,1

1

==∑=

Akibatnya banyaknya variabel basis adalah m+n-1, sebab m+n-1 merupakan banyaknya persamaan yang saling independen. Oleh karena itu penyelesaian fisibel basis (pfb) terdiri atas m+n-1 variabel basis.

1.6. Contoh latihan masalah transportasi:

Soal :

Suatu pabrik memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu D,E, F dan memiliki tiga gudang yang berlokasi di A, B, C sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas produksi per bulan pabrik W = 90 ton, H = 60 ton, dan P = 50 ton. Permintaan masing-masing gudang A = 50 ton, B = 110 ton, dan C = 40 ton per bulan. Berikut biaya transportasi dari pabrik ke gudang ($):

Gudang

Pabrik

A B C

W 20 5 8

H 15 20 20

P 25 10 19

Tentukan dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya transportasi.

Penyelesaian:

1. Metode Nort West Corner



Biaya yang dikeluarkan :

Z = (50. 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3.260

2. Metode Biaya Terkecil


Z =(90 . 5) + (20 . 15) + (40 . 10) + (30 . 25) + (20 . 10) = 2.400



1.6. Mengoptimalkan Tabel 1. Metode Stepping Stone , misal tabel awal menggunakan yang NWC

Perbaikan 1 dengan cara trial and error

Setelah dihitung dengan trial and error, biaya yang dikeluarkan:

Z=(50 . 15) + (90 . 5) + (10 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) = 2.260



Perbaikan ke 2:


Z=(50 . 5) + (40 . 8) + (50 . 15) + (10 . 20) + (50 . 10) = 2.020

Perbaikan 3


Z= (60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1.890 (paling optimal)

Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai mendapatkan hasil yang optimal.



2. Metode MODI

Langkah-langkah: a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus: Ri + Kj = Ci baris kolom biaya 1. W-A = R1 + K1 = 20 2. W-B = R1 + K2 = 5 3. H-B = R2 + K2 = 20 4. P-B = R3 + K2 = 10 5. P-C = R3 + K3 =19 dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variabel R1 atau K1, misal R1 = 0 1. R1 + K1 = 20 => 0 + K1 = 20 , K1 =20 2. R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5 3. R2 + K2 = 20 => R2 + 5 = 20 , R2 = 15 4. R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5 5. R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14 letakkan nilai tersebut pada baris / kolom yang bersangkutan



d. Hitung nilai/ index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:

Cij - Ri - Kj 1. H-A = 15 – 15 – 20 = - 20 2. P-A = 25 – 5 – 20 = 0 3. W-C = 8 – 0 – 14 = - 14 4. H-C = 10 – 15 – 14 = - 19 (optimal jika pada sel yang kosong, indek perbaikannya _ 0, jika belum maka pilih yang negatifnya besar). e. Memilih titik tolak perubahan

Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu H-A

f. Buat jalur tertutup

Berilah tanda positif pada H-A. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (H-B), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (W-A), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (W-B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda positif (50). Jadi, H-A kemudian berisi 50, H-B berisi 60-50=10, W-B berisi 40+50=90 dan W-A tidak berisi.

g. Ulangi langkah-langkah c – f sampai indeks perbaikan bernilai _ 0 hitung sel yang berisi: W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5 H-A = R2 + K1 = 15 => R2 + 0 = 15, R2 = 15 H-B = R2 + K2 = 20 => 15 + 5 = 20 , P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5 P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14



Perbaikan indeks: W-A = 20 – 0 – 0 = 20 W-C = 8 – 0 – 14 = - 6 H-C = 10 – 15 – 14 = - 19 P-A = 25 – 5 – 0 = 20

Biaya transportasi : Z= (90 . 5) + (50 . 15) + (10 . 10) + (20 . 10) + (30 . 19) = 2.070

Hitung sel yang berisi: W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5 P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5 P-C = R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14 H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 14 = 10 , R2 = - 4 H-A = R2 + K1 = 15 => - 4 + K1 = 15 , K1 = 19 Perbaikan indeks (sel kosong) : W-A = 20 – 0 – 0 = 20 W-C = 8 – 0 – 14 = - 6 H-B = 20 – 15 – 5 = 0 P-A = 25 – 5 – 0 = 20



Biaya transportasi :

Z= (80 . 5) + (10 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (30 .10) + (20 . 19) = 2.010

Sel berisi: W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5 W-C = R1 + K3 = 8 => 0 + K3 = 8 , K3 = 8 H-C = R2 + K3 = 10 => R2 + 8 = 10 , R2 = 2 H-A = R2 + K1 = 15 => 2 + K1 = 15 , K1 = 13 P-B = R3 + K2 = 10 => R3 + 5 = 10 , R3 = 5 Indeks perbaikan: W-A = 20 – 0 – 19 = 1 H-B = 20 – (-4) – 5 = 19 P-A = 25 – 5 – 19 = 1 Indeks perbaikan sudah positif semua, berarti sudah optimal.



Biaya transportasi : Zmin = (60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (50 .10)

= ???

Metode VAM Vogel’s Approximation Method (VAM).

Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan.

1. Langkah metode VAM: 2. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom

dan baris) 3. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom 4. Pilih biaya terendah 5. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan 6. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh 7. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya

teralokasikan.



Rangkuman dengan VAM, yaitu:



Biaya transportasi :

Z min= (5*60) + (8*30) + (15*50) + (10*10) + (10*50) = ???? (optimal)

Soal Latihan Di Rumah.

1. Selesaikan persoalan transportasi sebagai berikut:

a). Formulasikan masalah di atas ke bentuk Linier Programming! b). Hitunglah tabel alokasi awal dengan metode NW-Corner dan Biaya Minimum! c). Berdasarkan tabel awal Biaya minimum, dapatkan solusi optimal atau VAM!



2. PT. “ADA” sedang melakukan pendistribusian produknya sesuai dengan permintaan pasar. Gudang yang dimiliki ada 3 tempat dan daerah pemasarannya ada 3 tempat. Adapun hasil pengamatan tentang biaya transportasi setiap ton antar lokasi tampak dalam tabel di bawah ini:

Tujuan

Gudang

Kota A Kota B Kota C Supply (ton)

Kota X $ 8 $ 5 $ 6 120

Kota Y $ 5 $ 10 $ 14 80

Kota Z $ 3 $ 9 $ 10 80

Demand (ton) 150 80 50 280

Berdasarkan informasi tersebut di atas saudara diminta untuk:

a. Menghitung pendistribusian barang dari gudang ke pasar tujuan yang paling optimal dengan metode VAM

b. Berapakah besarnya biaya yang paling optimal tersebut?

3. Proyek pemerintah dalam APBN 2009/2002010 akan segera dilaksanakan di 5 propinsi. Dari Pemerintah pusat, disediakan 5 tim kerja yang akan melkaksanakan proyek tersebut. Biaya dari proyek tersebut adalah sebagai berikut :

Proyek Tim Kerja

Jalan Raya

Terminal Bis

Rumah Sakit

Sekolah Dasar

Taman Wisata

Tim Satu 3 8 2 10 15

Tim Dua 8 7 2 9 13

Tim Tiga 6 4 2 7 12

Tim Empat 8 4 2 3 11

Tim Lima 9 10 6 9 17

Buatlah penugasan masing-masing tim untuk mengerjakan masing-masing proyek. Berapa biaya yang harus dikeluarkan?



DAFTAR PUSTAKA

1. Hamdy A. Taha, Operation Research.: An Introduction, McMillan, 2002. 2. Hartawan, Z., Panduan Praktikum Riset Operasional dengan POM/QM for

Widows ver 3.0, Fakultas Ekonomi – UMB, Bengkulu, 2011. 3. Hilier, Frederich S. and Lieberman, Introduction to Operation Research,

McGraw-Hill, 2003. 4. Hotniar Siringoringo, Riset Operasional Seri Pemrograman Linear, Graha

Ilmu, Yogyakarta. 2005 . 5. Lia Praba Kusuma Putri, Diktat Riset Operasional Design, Teknik

Informatika, Universitas Indraprasta PGRI, Jakarta, 2010 6. Media Anugerah Ayu, Pengantar Riset Operasional Seri Diktat Kuliah,

Universitas Gunadarma, Jakarta, 1996. 7. Nuhfil Hanani dan Rosihan Asmara. METODE KUANTITATIF Bahan Pelatihan

QM For Windows. http://rosihan.web.id., Diakses tanggal 11 Juni 2010. 8. Pangestu Subagyo, dkk., Dasar-dasar Operations Research BPFE,

Yogyakarta, 2000. 9. Richard Levin, dkk Pengambilan Keputusan secara Kuantitatif, Rajawali

Press, 1999. 10. Sri Mulyono, Riset Operasional, LPFE UI, Jakarta, 2004.

11. Taha, Hamdy A., Operations Research 7th Edition. C. Prentice Hall, Inc. 2003.

12. Yulian Yamit, Manajemen Kuantitatif untuk Bisnis, BPFE, Yogyakarta, 2003. 13. YUNI DWI ASTUTI, http://yuni_dwi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/

folder/0.1YUNI DWI ASTUTI, ST., MMSI, Universitas Gunadarma. Diakses tanggal 4

Oktober 2011. 14. Zulian Yamit, Soal dan Penyelesaian Manajemen Kuantitatif Untuk Bisnis,

Penerbit EKONISIA, FE-UII, Yogyakarta, 1997.