Download - DESAIN ACAK SEMPURNA

Transcript
Page 1: DESAIN ACAK SEMPURNA

DESAIN ACAK SEMPURNA

1. Pendahuluan

Pada bagian ini akan ditinjau macam-macam eksperimen diman kita hanya

mempunyai sebuah faktor yang nilainya berubah-ubah. Eksperimen demikian disebut

eksperimen faktor tunggal. Faktor yang diperhatikan dapat memiliki sejumlah taraf

dengan nilai yang bisa kuantitatif,kualitatif,bersifat tetap ataupun bersifat acak.

Pengacakan mengenai eksperimen tidak ada pembatasan, dan dalam hal demikian kita

peroleh desain yang diacak secara sempurna atau secara singkat kita sebut saja desain

acak sempurna (DAS). Jadi desain acak sempurna adalah desain dimana perlakuan

dikenakan sepenuhnya secara acak kepada unit-unit eksperimen, atau sebaliknya.

Dengan demikian tidak terdapat batasan terhadap pengacakan seperti misalnya dengan

adanya pemblokan dan pengalokasian perlakuan terhadap unit-unit eksperimen.

Karena bentuknya sederhana, maka desain ini banyak digunakan. Akan tetapi

satu hal yang harus diingat, bahwa desain ini hanya dapat digunakan apabila persoalan

yang akan dibahas mempunyai unit-unit eksperimen yang bersifaat homogen. Jika hal

ini tidak terjadi, maka pemblokan harus diadakan agar efisiensi desain menjadi

meningkat.

Contoh :

Misalkan kita ingin menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan

mengenai efek empat macam pupuk terhadap hasil panen jagung. Selanjutnya

dimisalkan bahwa semuanya tersedia 20 bidang (kotakan) tanah untuk melakukan

percobaan (dikatakan bahwa tersedia 20 kotak eksperimen). Untuk ini, pupuk

merupakan faktor dengan empat taraf dan hanya satu-satunya faktor yang

dipertimbangkan. Jadi kita berhadapan dengan eksperimen faktor tunggal. Agar

supaya diperoleh desain acak sempurna, maka pupuk harus digunakan secara acak

terhadap kotakan eksperimen. Caranya ialah dengan jalan memberi nomor 1,2,...,20

kepada kotakan eksperimen. Selanjutnya buat gulungan-gulungan kertas kecil

berwarna merah untuk menyatakan macam pupuk A, hijau untuk pupuk B, kuning

untuk pupuk C dan biru menyatakan pupuk D. Tempatkan kertas-kertas ini kedalam

sebuah kotak lalu diaduk. Orang yang matanya ditutup disuruh mengambil satu

Page 2: DESAIN ACAK SEMPURNA

gulungan setiap kali. Gulungan yang pertama kali diambil menyatakan macam pupuk

yang harus digunakan untuk kotakan ekasperimen No.1, gulungan yang diambil kedua

kalinya menyatakan macam pupuk yang harus digunakan untuk kotakan eksperimen

No.2, dan begitu seterusnya.

2. Analisi Varians untuk Desain Acak Sempurna

Untuk analisis data yang diperoleh berdasarkan desain eksperimen, khususnya

desain eksperimen sempurna, akan ditinjau desain dengan sebuah observasi tiap unit

eksperimen. Misalkan ada k buah perlakuan dimana terdapat n i unit eksperimen untuk

perlakuan ke i (i=1,2,...,k). Jika data pengamatan dinyatakan dengan Yij (i=1,2,...,k)

dan (j=1,2,...,ni), Yij berarti nilai pengamatan dari unit eksperimen ke j karena

perlakuan ke i, maka untuk keperluan analisisnya, data tersebut sebaiknya disusun

seperti dalam Tabel 1.

Dari tabel 1 ini kemudian dihitung besaran-besaran yang diperlukan ialah :

Jumlah nilai pengamatan untuk tiap perlakuan Ji =

in

jijY

1

Jumlah seluruh nilai pengamatan J =

k

iiJ

1

Rata-rata pengamatan untuk tiap perlakuani

ii n

JY

Rata-rata seluruh nilai pengamatan

k

iin

JY

1

Harga-harga ini dapat dilihat pada daftar 1 berikut.

Page 3: DESAIN ACAK SEMPURNA

Daftar 1

Data Pengamatan untuk Desain Acak Sempurna

(Tiap Perlakuan berisi ni Pengamatan)

Perlakuan

1 2 ... kJumlah

Data Pengamatan Y11

Y12

...

...

Y1n

Y21

Y22

...

Y2n

...

...

...

...

Yk1

Yk2

...

...

Ykn

Jumlah J1 J2 Jk

k

iiJJ

1

Banyak Pengamatan n1 n2 nk

k

iin

1

Rata-rata 1Y 2Y kY

k

iinJY

1

Selanjutnya diperlakukan

2Y = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) semua nilai pengamatan

=

k

i

n

jij

i

Y1 1

2

R y = Jumlah kuadrat-kuadarat ( JK) untuk rata-rata.

= J 2 /

k

iin

1

P y = jumlah kuadrat-kuadarat (JK) atau perlakuan

= 2

1

)( YYn i

k

ii

= yi

k

ii RnJ

)/(1

2

E y = jumlah kuadrat-kuadrat (JK) kekeliruan eksperimen

= 2

1

k

iiij YY

Page 4: DESAIN ACAK SEMPURNA

= yy PRY 2

Setelah harga-harga dimuka diperoleh, maka disusunlah sebuah daftar analisis

varians disingkat ANAVA, seperti dapat dilihat dalam daftar 2.

Daftar 2

Daftar ANAVA untuk Data dalam Daftar 2

Sumber VariasiDerajat Kebebasan

(dk)

Jumlah Kuadrat-

kuadrat (JK)

Kuadrat Tengah

(KT)

Rata-rata

Antar Perlakuan

Kekeliruan

Eksperimen (Dalam

Perlakuan)

1

k-1

k

iin

1

1

Ry

Py

Ey

R = Ry

P = Py/(k-1)

)1(/ iy nEE

Jumlah/Total

k

iin

1 2Y

Tampak bahwa dalam daftar ANAVA itu adaempat sumber variasi, ialah rata-

rata, antar perlakuan, dalam perlakuan atau kekeliruan eksperimen, dan total. Tiap

sumber variasi memiliki derajat kebebasan (dk) yang besarnya 1 untuk rata-rata, (k-1)

untuk antar perlakuan, )1( in untuk dalam perlakuan dan in untuk total. Jika JK

tiap sumber variasi dibagi oleh dk (derajat kebebasan) masing-masing, diperoleh

kuadrat tengah (KT) untuk sumber itu.

Apabila banyak pengamatan untuk tiap perlakuan sama, yakni n1 = n2 =...= nk

= n, maka tentulah :

k

ki

n

jijYY

1

22

knJY

Ry = J2 / kn

y

k

iiy RnJR

1

2

yyy PRYE 2

Page 5: DESAIN ACAK SEMPURNA

Daftar ANAVA yang diperlukan untuk ini masih seperti dalam daftar 2 hanya

bedanya ialah mengganti :

k

iin

1

oleh kn dan

k

iin

1

1 oleh k(n-1).

Apa yang harus dikerjakan selanjutnya setelah data pengamatan terkumpul dan

disusun seperti dalam daftar-daftar dimuka. Dari data hasil pengamatan dan daftar

ANAVA yang diperoleh daripadanya, kita bermaksud untuk mendapatkan

kesimpulan, khususnya mengenai efek-efek perlakuan. Akan tetapi, sebelum hal ini

dilakukan, beberapa asumsi perlu diambil agar supaya pengujian statistik yang akan

diambil menjadi berlaku. Asumsi yang bisa diambil dalam ANAVA ialah sifat aditif

dan linieritas model, normlitas, independen dan homogenitas varians. Modelnya yang

diandalkan ialah model linier bersifat aditif dengan persamaan :

Yij =+ i + ij ......................... 1 ; (i = 1,2,...,k; j = 1,2,...,k)

Dengan

Yij = variabel yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal.

= rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya.

i = efek perlakuan ke i.

ij = kekeliruan, berupa efek acak yang berasal dari unit eksperimen ke j karena

dikenai perlakuan ke i.

Sebenarnya, ij juga berisikan efek-efek lain daripada faktor-faktor tambahan. Akan

tetapi, dengan pengacakan kita dapat mengharapkan hilangnya efek-efek tersebut

terhadap hasil akhir. Juga masih dimisalkan bahwa berharga tetap dan efek ij

berdistribusi normal dan identik dengan rata-rata 0 dan varians 2 yang akan ditulis

sebagai ij DNI (0, 2 ). Mengenai i nya sendiri ada dua pilihan yang dapat

diambil, ialah :

1)

k

i 11 0 yang menggambarkan bahwa kita hanya berurusan dengan semuanya k

buah perlakuan aksperimen.

2) 1-DNI ( 0, 2 ) yang menggambarkan bahwa kita berurusan dengan sebuah

populasi perlakuan sedangkan sebuah sampel acak perlakuan sebanyak k buah di

ambil sebagai eksperimen.

Page 6: DESAIN ACAK SEMPURNA

Hal pertama biasanya dinamakan ANAVA model I atau model efek tetap atau

singkatnya model tetap, sedangkan hal kedua merupakan model II atau model

komponen varians atau model efek acak atau singkatnya model acak.

Penentuan salah satu dari kedua model diatas sangat penting karena akan

menentukan berlakunya uji keberartian berdasarkan adanya KT yang diharapkan atau

ekspektasi KT disingkat EKT. Untuk model tetap, ternyata bahwa EKT bagi antar

perlakuan besarnya 2 + )1/(2 kn ii dan EKT untuk kekeliruan eksperimen

sama dengan 2 . Adapun untuk model acak, kedua EKT tersebut besarnya berturut-

turut sama dengan 2 + n

2 dan 2

dengan n= )1/(/2 knnn iii .

Daftar ANAVA disertai EKT untuk model tetap diberikan dalam daftar 3 pada

halaman berikut ini.

Daftar 3

Daftar ANAVA Model Tetap untuk Desain Acak Sempurna

(Satu Pengamatan Tiap Perlakuan)

Sumber variasi dk JK RJK ERJK

Rata-rata

Antar Perlakuan

Kekeliruan

1

k-1

)1( in

Ry

Py

Ey

R

P

E= 2es

-2

+ )1/(2 kn ii

2

Jumlah 1n 2Y - -

Apabila model yang terjadi merupakan model acak, maka daftar ANAVA dan

ERJK dapat dilihat seperti dalam daftar 4.

Daftar 4

ANAVA Model Acak untuk Desain Acak Sempurna

(Satu Pengamatan Tiap Perlakuan)

Sumber Variasi dk JK RJK ERJK

Rata-rata

Antar Perlakuan

Kekeliruan

1

k-1

)1( in

Ry

Py

Ey

R

P

E= 2es

-2

+ n02

2

Jumlah 1n 2Y - -

Page 7: DESAIN ACAK SEMPURNA

Model I (Model Tetap)

Model ini membawa kita kepada hipotesisi nol bahwa tidak terdapat

perbedaan di antara efek-efek k buah perlakuan yang tersdapat didalam eksperimen.

Hipotesis nol ini biasanya dirumuskan sebagai

Ho : 1 = 0 untuk i = 1, 2, ..., k (tidak terdapat perbedaan)

Jika Ho benar, maka KT yang berasal dari kekelieuan eksperimen dan KT yang

berasal dari antar perlakuan, masing-masingmerupakan taksiran untuk 2.

Karena juga ij ~ DNI (0, 2), maka perbandingan yang ditentukan oleh

(2) ... F =)(

)(eksperimenkekeliruanKT

perlakuanantarKTEP

Akan berdistribusi F dengan dk pembilang )1(1 kv dan dk penyebut

)11(2 nv ,

Jika harga F di atas lebih besar dari F(v1 , v2) dengan merupakana taraf

signifikan, maka hipotesis H0 akan ditolak, kesimpulannya ialah bahwa terdapat

perbedaan diantara efek k buah perlakuan.

Model II (Model Acak)

Jika Model II yang dimisalkan, maka hipotesis nol berbunyi: tidak terdapat

perbedaan diantara efek-efek semua perlakuan di dalam populasi dari mana sebuah

sampel telah diambil sebanyak k perlakuan. Perumusan hipotesis nol untuk model ini

biasa ditulis sebagai

H0 : 2 = 0

Ternyata bahwa cara pengujian untuk model ini juga sama dengan pengujian untuk

odel. Jadi ditentukan perbandingan F = P/E dengan distribusi dan daerah penolakan

hipotesis nol seperti dalam model tetap.

Perbedaannya terletak pada kesimpulan yang dibuat , yang pertama hanya

berlaku untuk k buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen, sedangkan yang

terakhir ini berlaku untuk populasi perlakuan berdasarkan sebuah sampel terdiri dari k

buah perlakuan yang diambil dari populasi itu.

Contoh 2.

Page 8: DESAIN ACAK SEMPURNA

Empat macam campuran makanan diberikan kepada kambing dalam rangka

percobaan untuk meningkatkan pertambahan berat dagingnya. Untuk ini tersedia 18

ekor diantaranya 5 ekor diberi campuran makanan pertama, 5 ekor campuran kedua, 4

ekor campuran ketiga dan 4 ekor lagi campuran keempat. Pengambilan tiap ekor

kambing untuk dicoba dengan salah satu dari keempat makanan yang tersedia

dilakukan secara acak: misalnya ditempuh cara seperti dijelaskan dalam contoh 1.

Setelah percobaan selesai, pertambahan berat badannya dicatat dan dihasilkan data

sebagai berikut.

Daftar 5

Pertambahan Berat badan Kambing Setelah Percobaan Selesai

(Dalam Ons)

Campuran Makanan ke

1 2 3 4Jumlah

Pertambahan

Berat

12

20

23

10

17

14

15

10

19

22

6

16

16

20

9

14

18

19

82 80 58 60 280

Banyak

Pengamatan5 5 4 4 18

Rata-rata 16,4 16,0 14,5 15 15,56

Model yang berlaku untuk soal ini adalah :

Yij =+ i + ij

Dengan Yij = pertambahan berat kambing ke j oleh karena makanan ke i ( i =

1,2,3,4 sedangkan j =1,2,…,5 untuk i = 1,2 dan j = 1,2,3,4

untuk i = 3,4)

Page 9: DESAIN ACAK SEMPURNA

= rata-rata sebenarnya (umum)

i = efek makanan ke i

ij = efek unit eksperimen (kambing) ke j yang di beri makan ke i

Tentu saja asumsi-asumsi lainya juga perlu di ambil adalah Yij berdistribusi

normal dan ij DNI ( 0, 2 )

Hipotesis yang akan diuji bergantung pada asumsi mengenai macam campuran

makanan i . Jika kita berhadapan hanya dengan 4 macam campuran itu maka kita

memiliki model I (Model Tetap) dan hipotesis nolnya terbentuk

H0 : i = ; i = 1,2,3,4 dengan i = 0,

Yang berarti tidak ada perbedaan mengenai efek keempat makanan itu

terhadap penambahan berat badan.

Akan tetapi, jika keempat macam campuran itu merupakan sample acak dari

sejumlah campuran yang lebih banyak lagi, maka kita berhadapan dengan Model II

(Model Acak) dan hipotesis nol-nya berbentuk

H0 : 2 = 0 dengan asumsi i DNI ( 0, 2

)

Yang berarti tidak ada perbedaan mengenai efek semua macam campuran

makanan dari mana 4 campuran yang dicobakan telah diambil secara acak.

Untuk eksperimen yang diberikan di atas, marilah kita tentukan saja bahwa

yang kita ingin diteliti adalah hanya keempat macam campuran: jadi kita berhadapan

dengan model tetap. Harga-harga yang diperlukan untuk ANAVA adalah

Ry = 56,355.418

)280( 2

My = Py 24,1056,355.44

604

585

805

82 2222

( M = makanan )

738.41918...,2012 22222Y

Ey = 4.738 – 4.355,65 – 10.24 = 372,20

Dengan mengunakan daftar II(3) diperoleh daftar ANAVA, dibawah ini

Page 10: DESAIN ACAK SEMPURNA

Daftar II(6)

Daftar Anava Untuk Data Dalam Daftar II (5)

Sumber Variansi dk JK KT EKT P

Rata-rata

Makanan

Ketentuan

1

3

14

4.355,65

10,24

372,20

4.355,65

3,41

26,59

-

)(2 M *)

2

-

0,128

-

Jumlah 18 4,738 - - -

Statistik F dari rumus II (2) memberikan

F= 3.41/26.59 = 0.128

Maka untuk ini diambil taraf nyata = 0.05, maka dari daftar D (Daftar

Afendiks) untuk distribusi F = 3.34. Karena F = 0.128 lebih kecil dari 3.34 maka

hipotesis nol diterima. Ini berarti keempat macam campuran makanan itu telah

memberikan pengaruh yang sama, tepatnya tidak berbeda-beda secara nyata terhadap

penambahan berat badan kambing. Makanan manapun dari yang empat macam itu

digunakan, pengaruhnya sama saja terhadap pertambahan berat.

Dalam banyak hal, perhitungan akan lebih mudah dan sederhana apabila

terhadap nilai-nilai data dilakukan penyederhanaan., lebih-lebih jika jika hasil

pengamatan besar-besar nilanya,. Statistik F untuk keperluan pengujian hipotesis nol

tidak harganya karena penyederhanaan ini.

Contoh

Terdapat 4 waktu (pagi, siang, sore dan alam) untuk menyampaikan pelajaraqn

berhitung kepada anak-anak. Ingin diteliti apakah ada perbedaan efek waktu terhadap

hasil pengajaran. Kecuali waktu, faktor-faktor lain yang diduga akan mempengaruhi

hasil belajar, misalnya cara mengajar, situassi kelas, bahan pelajaran dn lai-lain,

dibuat sama.Dimisalkan ada 20 anak dengan dasar yang sama yang dijadikan

percobaan. Secara acak diambil 5 anak untuk setiap waktu. Pada akhir percoabaan

yang dilakukan dengan metode mengajar dan bahan yang sama, diadakan ujian.

Hasilnya dapat dilihat di bawah ini:

Page 11: DESAIN ACAK SEMPURNA

Daftar II (7)

Hasil Ujian Kelas Pagi, Siang, Sore Dan Malam

WAKTU

PAGI

(1)

SIANG

(2)

SORE

(3)

MALAM

(4)

Hasil

Ujian

56

55

50

61

64

60

59

62

55

56

43

39

45

46

45

41

43

45

39

42

Jika untuk data diatas dilakukan penyederhanaan dengan jalan mengurangi

tiap nilai data dengan 50, maka diperoleh data berikut:

Daftar II (8)

Hasil ujian kelas pagi, siang, sore dan malam

(setelah dilakukan penyederhanaan)

(1) (2) (3) (4) Jumlah

Hasil

Ujian

(Disederhanakan)

6

5

0

11

14

10

9

12

5

6

-7

-11

-5

-4

-5

-9

-7

-5

-11

-8

Jumlah 36 42 -32 -40

Banyak Pengamatan 5 5 5 5 20

Rata-rata 7,2 8,4 -6,4 -8,0 0,3

Model untuk analisis ini jelas merupakn Model I karena hanya 4 waktu itulah

yang tersedia untuk waktu pengajaran. Dengan menggunakan symbol lain sebagai

variasi, maka modelnya mempunyai persamaan

Yij = + Wi + ij : i = 1,2,3,4

j = 1,2,…5

denganYij = Hasil ujian anak ke j yang mengikuti kelas waktu i.

Page 12: DESAIN ACAK SEMPURNA

= rata-rata umum hasil ujian

i = pengaruh waktu i

ij = kekeliruan, yang menerapkan efek acak unit eksperimen (anak0 ke j yang

mengikuti kelas waktu i

Asumsi-asumsi lainya berlaku seperti biasa ialah Yij berdistribusi normal, ij

DNI ( 0, 2 ) dan 0iW

Yang akan diuji ialah hipotesis Nol

H0 : W i = 0 untuk I = 1,2,3,4

Yang berarti tidak terdapat perbedaan pengaruh waktu memberikan

pengajaran terhadap hasil pengajaraan

Untuk melakukan pengujian H0 ini diperlukan

Ry = 8.12062

Wy = Py = 0,135.18.15

)40(5

)32(5

425

36 2222

(W = waktu )

340.1)8()11(...56 22222Y

Ey = 1.340 – 1.8 – 1.135,0 = 203,2

Daftar ANAVA untuk pengujian hipotesis nol diatas dapat dilihat pada

halaman berikut ini.

Daftar II (9)

Daftar Anava Untuk Hasil Ujian

Sumber Variasi dk JK KT EKT F

Rata-rata

Waktu

Kekeliruan

1

3

16

1,8

1.135,0

203,2

1,8

378,3

-12,7

-*)2 )(Wc

2c

29,79

Juamlah 20 1.340 - - -

Dari rumus II (2) diperoleh statistic F = 79,297,123,378 . Dengan = .05 dan dk v1 =

3, v2 =16 dari daftar distribusi F di dapat F = 3,24

Page 13: DESAIN ACAK SEMPURNA

Ini jelas jauh lebih kecil daripada F = 29,79. Jadi Ho ditolak pada taraf 0,05 dan hasil

ujian bersifat signifikan. Pengujian juga sangat signifikan karena dengan = 0.01

didapat F = 5,29 yang masih jauh lebih kecil daripada 29,79.

Kesimpulanya adalah bahwa keempat waktu memberikan pengajaran mengakibatkan

hasil pengajaran yang sangat berlainan.

Kedua contoh diatas telah memperlihatkan bagaimana ANAVA dan

kesimpulannya dibuat untuk odelI. Sekarang marilah kita tinjau sebuah contoh untuk

Model II (Model Acak)

Contoh II (4)

Sebuah perusahaan mengirimkan banyak peti bahan baku setiap tahunnya

kepada para langganan. Seorang langganan menginginkan hasil yang tinggi yang

dapat dicapai dari bahan baku dari tiap peti ditinjau dari segi presentase bahan A yang

dapat digunakan. Ia mengambil sample acak yang berukuran 3 dari tiap peti yang

diambil secara acak pula sebanyak 5 buah untuk mengontrol kualitas pengiriman

bahan baku yang diterimanya. Hasil adanya presentase bahan A yang diperoleh

diberikan dalam daftar II (10)

Daftar II (10)

Presentase Bahan A Dalam Tiap Peti

PETI

1 2 3 4 5Jumlah

Presentase

Bahan A

75

77

77

72

74

73

68

71

72

79

81

79

74

76

75

Jumlah 229 219 211 239 225 4.123

Banyak Pengamatan 3 3 3 3 3 15

Rata-rata 76,3 73 70,3 79,7 75 74,9

Model untuk eksperimen ini adalah Model II dengan persamaan

Yij = + i+ ij : i = 1,2,…,5

j = 1,2,3

dengan Y ij = variable yang diukur, dalam hal ini berbentuk presentase adanya bahan

A

Page 14: DESAIN ACAK SEMPURNA

= rata-rata umum presentase bahan A

i = pengaruh peti ke i ( ke 5 peti telah diambil secara acak dari sejumlah

banyak peti yang dikirimkan oleh pengusaha). Di sini iDNI ( 0, 2 )

ij = kekeliruan, berupa efek acak unit ke j yang berasal dari peti ke i :

dimisalkan ijDNI ( 0, 2 )

Untukmenguji hipotesis nol

Ho ; = 0

Seperti halnya dengan Model I, Perlu dihitung

Ry = 3,075.8415

)123.1( 2

Py = 7,1473,075.843

2253

2393

2113

2193

229 22222

241.847576...7775 22222Y

0.187,1473,075.84241.84 yE

Daftar ANAVA untuk menguji Ho adalah sebagai berikut

Daftar II (11)

Daftar Anava Untuk Data Dari Daftar II (10)

Sumber Variasi dk JK KT EKT F

Rata-rata

Peti

Kekeliruan

1

4

10

84.075,3

147,7

18,0

84.075,3

36,9

1,8

-22 3

2

-

20,5

Jumlah 15 84,241 - - -

Rumus II (2) menghasilkan statistic F = 36,9/1,8 = 20,5. Dari daftar distribusi

F didapat F0,05 (4,10) = 5,99. Jelas bahwa hasil pengujian sangat signifikan dan

karenanya hipotesis II ditolak

II.3 Uji Rata-Rata Sesudah Anava

Dalam ANAVA dengan model I telah diuji mengenai hipotesis nol bahwa

tidak terdapat perbedaan diantara k buah taraf perlakuan. Jika pengujian

menghasilakan hipotesis nol yang ditolak, berarti terdapat perbedaan yang berarti

Page 15: DESAIN ACAK SEMPURNA

(sangat berarti, bergantung pada yang diambil) diantara taraf-taraf perlakuan, maka

adalah wajar akan timbul pertanyaan-pertanyaan berikut :

- Rata-rata taraf perlakuan yang mana yang berbeda

- Apakah rata-rata taraf perlakuan kesatu berbeda denga rata-rata taraf

perlakuan yang kedua, dengan rata-rata taraf perlakuan yang ketiga, dengan

rata-rata taraf perlakuan yang keempat?

- Apakah rata-rata taraf pertama dan kedua berbeda dari rata-rata taraf ketiga

dan keempat?

- Dapatkah disimpulkan rata-rata taraf kedua dua kali rata-rata taraf ketiga?

Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan demikian, bergantung pada kapan

pemilihan perbandingan atau kontras seperti diatas ditentukan, apakah sebelum

eksperimen dilakuan atau sesudah data dikumpulkan.

A. Kontras Ortogonal

Jika perbandingan atau kontras mengenai rata-rata perlakuan telah

direncanakan terlebih dahulu sebelum eksperimen dilakukan, maka dengan hati-hati

kontras dapat dipilih dimana banyak kontras tidak boleh melebihi banyak derajad

kebebasan (dk) untuk rata-rata perlakuan. Metode yang biasa digunakan dalam hal ini

disebut metode kontras orthogonal.

Definisi ; Kontras Cp untuk kombinasi linear beberapa jumlah perlakuan i i =

1,2,…,k (pengamatan untuk tiap perlakuan sama banyak ialah sama

dengan n) didefinisikan sebagai

Cp kkppip ...221

dengan kppp ...21 = 0

Contoh II (5)

Untuk membandingkan perlakuan kesatu dan perlakuan kedua misalnya,

kita dapat membentuk kontras C1 berbentuk Ci = J1-J2. Kita lihat bahwa

koefisien J1 sama dengan +1 sedangkan koefisien J2 sama dengan -1. Jadi

i1= +1 dan i2 = -1 sehingga i1+ i2 = +1-1= 0. Kontras C1 seperti diatas

seperti dipakai untuk menyelidiki apakah rata-rata [erlakuan kesatu

samapengaruhnya dengan rata-rata perlakuan kedua. Jika yang akan

dibandingkan mengenai perlakuan kesatu dan kedua terhadap perlakuan

Page 16: DESAIN ACAK SEMPURNA

ketiga misalnya, kita dapat mengambil kontras C2 = J1+J2 – 2J3. Nampak

disini bahwa 12 = +1 , 22 = +1 dan 32 = -2, Sehingga C12 + C22 + C23 =

1+1-2 =0.Kontras demikian dapat dipakai untuk menyelidiki apakah rata-

rata perlakuan kesatu dan kedua pengaruhnya sama dengan dua kali rata-

rata perlakuan ketiga.

Definisi : Dua kontras Cp dan Cq dikatakan membentuk kontras orthogonal jika

Cp = c p1 J1 + c p2 J2 + …+ c kp Jk dan

Cq = c q1 J1 + c q2 J2 + …+ c kq Jk

Memenuhi syarat 01

k

iiqipcc

Untuk tiap perlakuan yang mengandung n buah pengamatan.

Contoh II (6)

Kita ambil contoh II (3) dalam bagian II.2. Soal ini mempunyai 4 perlakuan ialah

pagi, siang, sore dan malam; jadi perlakuan mempunyai dk = 3. Karenanya kita

dapat membentuk kumpulan kontras paling banyak terdiri dari 3 buah, salah satu

diantaranya adalah

C1 = J1 - J4

C2 = J2 – J3

C3 = J1 - J2 – J3 + J4

Mudah dilihat bahwa C1 , C2 dan C3 masing-masing merupakan sebuah kontras,

karena jumlah koefisien untuk Ci (i = 1,2,3) masing-masing sama dengan nol

Kontras C1 membandingkan antara perlakuan kesatu dengan keempat, Kontras C2

antara perlakuan kedua dan ketiga sedangakan C3 membandingkan antara rata-

rata perlakuan kesatu fan keempat dengan rata-rata perlakuan kedua dan ketiga.

Untuk melihat apakah C1, C2 dan C3 membentuk kontras orthogonal, kita susun

daftar kontras sebagai berikut.

Jumlah hasil kali koefisien-koefisien C1 dan C2 adalah (+1)(0) + (0)(+1) + (0)(1) +

(1)(0) = 0.

Jadi C1 dan C2 merupakan kontras-kontras orthogonal. Demikian pula kioefisien-

koefisien C1 dan C3 besarnya 0, karena (+1)(+1) + (0)(-1) + (0)(-1) – (-1)(+1) = 0.

Jadi C1 dan C3 membentuk kontras –kontras orthogonal. Akhirnya kita lihat

jumlah hasil kali koefisien-koefisien C2 dan C3.

Page 17: DESAIN ACAK SEMPURNA

Besarnya = (0)(+1) + (+10(-1) + (-1)(-1) + (0)(+1) = 0.

Ternyata C2 dan C3 merupakan dua kontras orthogonal.

Dengan demikian C1, C2 dan C3 ketiga-tiganya membentuk kumpulan kontras

orthogonal.

Bagaimana kontras-kontras orthogonal ini dapat dipakai untuk

membandingkan antara penagruh perlakuan yang satu dengan yang lainya? Untuk ini

perlu ditentukan jumlah kuadrat-kuadrat kontras disingkat JK (Cp), decngan rumus

II (3) … JK (Cp) = 2

2

ip

p

cn

C

Selanjutnya, tentukan kuadrat tengah kontras KT (Cp) dengan jalan membagi JK (Cp)

oleh dk kontras yang besarnya satu. Kemudian bandingkan KT (Cp) ini dengan KT

(kekeliruan) yang mempunya dk = k (n-1) untuk memperoleh statistic.

II (4) … F (Cp) =n)(kekeliruaKT

(Cp)KT

Statistik ini dipakai untuk menguji hipotesis nol

Ho : Cp = 0

Dan tolak H0 jika statistik F ( Cp ) dari rumus II ( 4 ) lebih dari harga F yang didapat

dari daftar distribusi F dalam Apendiks untuk α= tarafsigjifikan yang dipilih dengan

dk pembilang dan dk penyebut k ( n-1 ).

Contoh II ( 7 )

Marilah kita gunakan pengujian kontras di atas ke dalam contoh II ( 3 ) bagian

II

( 2 ). Di situ telah didapat bahwa terdapat perbedaan yang berarti di antara

hasil rata-rata ke 4 waktu ( perlakuan ) memberikan pengajaran. Sekarang

akan diuji kumpulan kontras seperti telah diberikan dalam contoh II ( 6 ) di

atas, yaitu :

C1 = J1 - J4

C2 = J2 – J3

C3 = J1 – J2 - J3 + J4

Page 18: DESAIN ACAK SEMPURNA

Kita dapatkan hipotesis nol

H01 : C1 = 0 atau ekivalen dengan H01 : w1 = w4, membandingkan efek waktu

pagi dengan efek malam.

H02 : C2 = 0 atau ekivalen dengan H02 : w2 = w3, membandingkan efek waktu

siang dengan efek sore.

H03 : C3 = 0 atau ekivalen dengan H03 : w1 + w4 = w2 + w3, membandingkan

efek waktu pagi dan malam dengan rata-rata efek siang dan sore.

Dengan mengambil harga-harga yang tercantum dalam Daftar II (8) yakni J1 =

36 dengan koefisien +1, J2 = 42 dengan koefisien +1 dan J3 = -32 dengan

koeisien -1, J4 = -40 dengan koefisien -1 dan n = 5, dan dengan menggunakan

Rumus II (3) diperoleh

6,577

)1()1(5)40(36)( 22

2

1

CJK

6,547

)1()1(5)32(42

)( 22

2

2

CJK

8,9

)1()1()1()1(5)40()32(4236

)( 2222

2

3

CJK

Dari Daftar II (9) telah diperoleh KT (kekeliruan) = 12,7 dengan dk 16. Rumus

II(4) memberikan

F (C1) = 577,6/12,7 = 45,48

F (C2) = 547,6/12,7 = 43,12

F (C3) = 9,8/12,7 = 0,77

Apabila α= 0,05 maka dari daftar distribusi F didapat F0,05(1,16) = 4,49. Kita

lihat bahwa H01dan H02 ditolak sedangkan H05 diterima.

Kesimpulan : terdapat perbedaan yang berarti antara hasil pengajaran yang

diberikan pagi dan malam, antara siang dan sore, sedangkan

antara rata-rata hasil pagi dan malam dengan rata-rata hasil

siang dan sore tidak terdapat perbedaan yang berarti.

Metoda kontras ortogonal banyak digunakan dalam analisis desain

eksperimen. Untuk banyak pengamatan dalam tiap perlakuan masing-masing

Page 19: DESAIN ACAK SEMPURNA

sama dengan n, caranya telah diberikan di atas. Jika tiap perlakuan berukuran

berlainan, yakni perlakuan ke i berisikan pengamatan sebanyak n1.i =

1,2,…….,k, maka kontras Cp diidentifikasikan sebagai

Cp = c1p J1 + c2p J2 + … + ckp Jk

Dengan n1c1p + n2c2p + … + nk ckp = 0

Selanjutnya untuk kontras ortogonal didefinisikan sebagai berikut

Dua kontras Cp dan Cq ortogonal apabila

k

iiqip ccn

11 0

Untuk pengujian kontras ini digunakan jumlah kuadrat-kuadrat kontras JK (

Cp ) dengan rumus :

II (5) … JK (Cp) = 2

2

ipi

p

cn

C

Sedangkan cara melakukan pengujiannya sama seperti telah dijelaskan di

muka.

B. Pengujian Rata-rata Sesudah Eksperimen

Metoda kontras ortogonal untuk menyelidiki perbandingan antara rata-rata

perlakuan digunakan apabila penentuan ingin mengadakan perbandingan tersebut

diambil sebelum eksperimen dilakukan. Perbandingannya dapat dipilih seperti telah

diuraikan dan ini tidak akan menganggu risiko αdari ANAVA. Akan tetapi, jika

penyelidikan perbandingan antara perlakuan ditentukan sesudah data diperiksa, jadi

pengujian atas ANAVA dilakukan, maka αakan berubah. Ini dikarenakan bahwa

penentuan yang diambil tidak secara acak melainkan berdasarkan hasil yang telah

dicapai. Meskipun demikian, perbandingan antara perlakuan masih dapat dilakukan

dengan metoda-metoda khusus, diantaranya :

a). uji rentang Newman-Keuls

b). uji Scheffe.

Bagaimana kedua cara ini dilakukan, akan dijelaskan di bawah ini.

a). Uji Rentang Newman-Keuls

Langkah-langkah utama untuk melakukan uji Newman-Keuls ini adalah :

Page 20: DESAIN ACAK SEMPURNA

1) Susun k buah rata-rata perlakuan menurut urutan nilainya, dari yang paling kecil

sampai ke yang besar.

2) Dari daftar ANAVA, ambil harga KT (kekeliruan) disertai dk-nya.

3) Hitung kekeliruan baku rata-rata untuk tiap perlakuan dengan rumus

II (6) ….i

Y nkekeliruanKTs

i

)(

4) Tentukan taraf signifikan α, lalu gunakan daftar Rentang Student yang tercantum

pada Apendiks, Daftar E. Daftar ini mengandung dk = p dalam kolom kiri dan p

dalam baris atas. Untuk uji Newman-Keuls, diambil p = dk untuk KT (kekeliruan)

dan p = 2,3, …, k. Harga-harga yang didapat untk KT dan p dari badan daftar

sebanyak (k-1) buah, supaya tercatat.

5) Kalikan harga-harga yang didapat di titik 4) itu masing-masing dengan

iYs .

Dengan jalan demikian diperoleh apa yang dinamakan rentang signifikansi

terkecil (RST).

6) Bandingkan selisih rata-rata terbesar dan rata-rata terkecil dengan RST untuk p = k,

selisih rata-rata terbesar dan rata-rata terkecil dengan RST untuk p = (k-1), dan

seterusnya. Demikian pula kita bandingkan selisih rata-rata terbesar kedua dan

rata-rata terkecil dengan RST untuk p = (k-1), selisih rata-rata terbesar kedua dan

rata-rata terkecil kedua dengan RST untuk p = (k-2), dan seterusnya. Dengan jalan

begini semuanya akan ada dk (k-1) pasangan yang harus dibandingkan. Jika

selisih-selisih yang didapat lebih besar dari pada RST nya masing-masing, maka

disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang berarti diantara rata-rata perlakuan.

Untuk menjelaskan hal yang diuraikan di atas, marilah kita perhatikan contoh

berikut.

Contoh II (8)

Kita selidiki mengenai rata-rata pengaruh waktu memberikan pengajaran yang

datanya diberikan dalam Daftar II (7). Supaya lebih mudah kita ambil data yang

disederhanakan seperti dalam Daftar II (8) dengan daftar ANAVA yang tertera

dalam Daftar II (9).

Dari Daftar II (8) didapat rata-rata perlakuan, setelah disusun menurut langkah 1)

diperoleh

rata-rata : -8,0 ; -6,4 ; 7,2 ; 8,4

perlakuan : 4 3 1 2

Page 21: DESAIN ACAK SEMPURNA

Dari daftar ANAVA diperoleh KT (kekeliruan) = 12,7 dengan dk = 16.

Kekeliruan baku rata-rata untuk tiap perlakuan besarnya

59,15

7,12

iYs

Dari Daftar E dalam Apendiks, dengan p = 16 dan α= 0,05 didapat

p = 2 3 4

rentang = 3,00 3,65 4,05

Kalikan harga rentang yang diperoleh dengan 1,59 maka didapat RST untuk tiap p

sebagai berikut

P = 2 3 4

RST = 4,77 5,80 6,44

Langkah terakhir menghasilkan perbandingan antara perlakuan

2 lawan 4 → 16,4 > 6,44

2 lawan 3 → 14,8 > 5,80

2 lawan 1 → 1,2 < 4,77

1 lawan 4 → 15,2 > 5,80

1 lawan 3 → 13,6 > 4,77

3 lawan 4 → 1,6 > 4,77

Dari langkah terakhir ini kita lihat bahwa terdapat perbedaan antara perlakuan 2

dan 4, 2 dan 3, 1 dan 4, 1 dan 3; yaitu hasil mengajar siang berbeda dengan hasil

mengajar malam, hasil siang berbeda dengan hasil sore, hasil pagi berbeda dengan

hasil malam dan hasil pagi berbeda dengan hasil sore.

Perbandingan lainnya tidak memberikan perbedaan yang berarti.

b). Uji Scheffe

Uji Newman-Keuls telah digunakan untuk membandingkan pasangan rata-rata

perlakuan; jadi dengan cara ini yang dibandingkan setiap dua hasil perlakuan. Sering

dikehendaki untuk mengadakan perbandingan tidak saja berbentuk berpasangan,

melainkan merupakan kombinasi linear dari perlakuan, khususnya bentuk kontras. Uji

scheffe memungkinkan untuk melakukan hal ini, meskipun kontrasnya tidak perlu

ortogonal. Karena kombinasi lebih umum daripada perbandingan berpasangan, maka

akibatnya Uji Scheffe umum daripada Uji Newman-Keuls.

Langka-langkah yang ditempuh untuk menggunakan Uji Scheffe adalah

sebagai berikut.

1) Susunlah kontras Cp yang diinginkan lalu hitung harganya.

Page 22: DESAIN ACAK SEMPURNA

2) Dengan mengambil taraf signifikan α, derajat kebebasan pembilang v1 = (k-1) dan

penyebut v2 = ),( kni untuk ANAVA supaya dihitung nilai kritis Fα(v1,v2).

3) Hitung besaran A = Fk )1( dengan F yang didapat dari langkah 2) di atas.

4) Hitung kekeliruan baku tiap kontras yang akan diuji, dengan rumus

2)()( ipip cnxkekeliruanKTCs

5) Jika harga kontras Cp lebih besar daripada A x s(Cp), maka hasil pengujian

dinyatakan signifikan. Atau , jika Cp > A x s(Cp) maka kita tolak hipotesis nol

bahwa kontras antara rata-rata sama dengan nol.

Langkah – langkah di atas akan jelas kiranya apabila diperhatikan contoh berikut.

Contoh II (9)

Misalkan untuk data dala Daftar II (8) kita bermaksud untuk membandingkan rata-

rata efek perlakuan kesatu dan rata-rata efek perlakuan kedua, dan

membandingkan efek perlakuan kesatu dengan rata-rata efek perlakuan lainnya.

Kontrasnya untuk kedua hal ini adalah

C1 = J1 – J2

C2 = 3J1 – J2 – J3 – J4

Nampak bahwa C1 dan C2 ortogonal. Untuk menguji kedua kontras di atas dengan

uji Scheffe, menurut langkah-langkah di muka, menggunakan J1 = 36 dengan

koefisien +1, J2 = 42 dengan koefisien -1, J3 dengan koefisien -1, J4 = -40 dengan

koefisien -1 diperoleh

C1 = 36 – 42 = -6

C2 = 3(36) -42 – (-32) – (-40) = 138

Dari daftar ANAVA, Daftar II (9), didapat v1 = 3, v2 = 16, KT (kekeliruan) = 12,7

dan untuk α= 0,05, dari Daftar D dalam Lampiran, diperoleh F = 3,24.

Sekarang kita hitung

A = 12,3)24,3(3

dan 27,11)1(5)1(5)7,12()( 221 Cs

60,27

)1(5)1(5)1(5)3(5)7,12()( 22222

Cs

Page 23: DESAIN ACAK SEMPURNA

Untuk C1, didapat A x s(C1) = 35,16 dan karena I C1 I = 6 < 35,16 maka kontras

C1 tidak signifikan. Antara efek perlakuan kesatu dan efek perlakuan kedua tidak

berbeda secara berarti. Ini cocok dengan hasil berdasarkan uji Newman-Keuls.

Untuk C2, didapat A x s(C2) = 86,11 dan karena I C2 I = 138 > 86,11 maka uji

terhadap kontras C2 bersifat signifikan. Ini menyatakan adanya perbedaan yang

nyata antara efek perlakuan pertama denga rata-rata efek perlakuan lainnya.

II.4 BATAS-BATAS KONFIDEN UNTUK RATA-RATA

Kita ambil model I yang terdiri dari k buah perlakuan. Data sampel untuk

model ini dapat dilihat dalam Daftar II (1) dengan rata-rata perlakuan ke- i sama

dengan

iY ( i = 1,2, … ,k). Sampel ke- i diambil dari populasi dengan rata-rata sama

dengan μi ( i = 1,2 … , k). Pertanyaan yang timbul setelah ANAVA dilakukan ialah

menaksir rata-rata μi dan menentukan interval konfiden (1-α) 100% untuk rata-rata μi.

Cukup jelas hendaknya bahwa titik taksiran untuk μi ialah iY

.

Untuk menentukan interval taksiran parameter μi diperlukan kekeliruan baku

rata-rata perlakuan ke- i yang dihitung dengan Rumus II (6), yang untuk E = KT

(kekeliruan) dapat dituliskan pula sebagai

II (7) … iY

nEsi

/

Interval konfiden (1-α) 100% untuk μ1 dihitung denga menggunakan

II (8) … iiii nEtYnEtY /21/2

111

Dengan t1-1/2 αdidapat dari daftar distribusi Student (Daftar B, dalam Apendiks)

dengan dk untuk sumber variasi kekeliruan.

Contoh II (10)

Marilah kita hitung interval konfiden 95% untuk rata-rata perlakuan μ1 dari hasil

ANAVA dalam daftar II (9) menghasilkan

59,15/7,121 EnsiY

Dari daftar distribusi Student dengan dk = 16 didapat harga t0,9750 = 2,120

sehingga interval konfiden untuk μ1 dengan 2,7

iY adalah

7,2- (2,12)(1,59) < μ1 < 7,2 + ( 2,12)(1,59)

Page 24: DESAIN ACAK SEMPURNA

Atau 3,83 < μ1 < 10,57

Karena harga-harga ini didapat dari data dengan penyederhanan (dikurangi 50)

maka harga sebenarnya harus ditambah 50.

Hasilnya 53,83 < μ1 < 60,57.

Batas-batas konfiden untuk taksiran rata-rata lainnya dapat ditentukan dengan cara

yang sama.

5. KOMPONEN VARIANS

Dalam contoh-contoh telah kita lihat bagaimana pengujian rata-rata efek tiap

perlakuan dilakukan dengan jalan menggunakan ANAVA. Demikian pula cara-cara

pengujian dengan menggunakan kontras ortogonal dan penentuan interval konfiden

untuk rata-rata efek perlakuan. Langka-langkah tersebut dilakukan terhadap analisis

pengaruh perlakuan berdasarkan model tetap.

Untuk model acak atau Model II, biasanya peneliti tidak tertarik pada

pengujian seperti di muka, melainkan pada teksiran komponen varians.

Perhatikan Daftar II (4), daftar ANAVA untuk model acak dengan Persamaan

II (1). Di situ tampak bahwa EKT untuk kekeliruan hanya berisikan sebuah komponen

varians ialah oe2. hal ini memang demikian oleh karena hanyalah faktor eij yang

menyebabkan atau menghasilkan variasi diantara unit-unit eksprimen. Akan tetapi,

EKT untuk perlakuan ternyata berisikan dua komponen varians ialah oe2 dan oT

2 .

Karena JK untuk perlakuan melukiskan variasi antara rata-rata semua pengamatan

yang dicatat untuk tiap perlakuan dan karena rata-rata tersebut akan bervariasi

disebabkan oleh adanya variasi antara perlakuan dan variasi antara unit-unit

eksprimen dalam perlakuan, maka EKT untuk perlakuan berisikan kedua komponen

varians tersebut di atas. Dengan demikian, pada model acak, kita dapat menghitung

berapa besar varians didalam eksprimen dapat dianggap sebagai akibat adanya

perbedaan rata-rata perlakuan dan berapa besar disebabkan oleh karena kekeliruan

acak sekita rata-rata tersebut. Untuk menaksir varians 0e2 dan 0T

2 digunakan taksiran

takbiasnya masing-masing. Ternyata bahwa taksiran takbias untuk 0e2 ialah se

2 = E.

Selanjutnya apabila taksiran takbias untuk 0T2 dinyatakan dengan sT

2, maka ternyata

bahwa taksiran takbias untuk (0e2 + no0T

2) adalah (se2 + nosT

2).

Deri daftar ANAVA, Daftar II (4), harga sT2 dapat dihitung apabila diambil

(se2 + nosT

2) = P dengan se2 = E dan

Page 25: DESAIN ACAK SEMPURNA

no = ( ).1/()/2 knnn iii

Contoh II (11)

Perhatikanlah Contoh II (4), Bagian II.2, yang datanya tercantum dalam Daftar II

(10) dengan daftar ANAVA dalam Daftar II (11). Dari uraian di muka kita

dapatkan bahwa taksiran takbias untuk 0e2 adalah se

2 = 1,8 sedangkan untuk (0e2 +

3 0T2) ialah (se

2 +3 sT2) = 36,9. mensubtitusikan harga se

2 = 11,7. Karena varians

untuk keseluruhannya = s2 = (se2 + sT

2), maka s2 = 13,5. Dari I I didapat

(11,7/13,5) x 100% = 86,67% dari varians keseluruhan yang dapat dianggap

sebagai akibat perbedaan antara kelompok dan hanya 13,33 % disebabkan oleh

adanya kekeliruan dalam kelompok.

Dalam desain yang lebih rumit nanti, akan ternyata bahwa penentuan harga-

harga komponen varians sangat penting untuk menentukan efisiensi desain. Untuk hal

ini, disini akan diambil definisi tentang efisiensi sebuah desain berdasarkan varians

rata-rata perlakuan s2i

i

Y , yaitu

Kita katakan bahwa desain pertama lebih efisien daripada desain kedua apabila

s2Yi desain pertama lebih kecil daripada s2

Yi desain kedua.

Jika varians rata-rata perlakuan dari kedua desain dibandingkan dan dinyatakan

dalam persen, maka diperoleh efisiensi relatif, disingkat ER. Jadi

II (9) …ER (desain I terhadap desain III) = %100)()(

2

2

xdesainIsdesainIIs

iY

Y

Contoh II (12)

Untuk penjelasan, marilah kita lihat hal ini untuk desain yang datanya diberikan

dalam Daftar II (10).

Telah ditaksir harga se2 = 1,8.

Menurut Rumus II (6) dengan ukuran sampel sebesar 3, didapat

S2Yi = se

2/ni = 1,8/3 = 0,6.

Apabila taksiran komponen Varians se2 untuk soal ini praktis tetap harganya 1,8

dan sampel dari tiap kelompok diambil 5, maka untuk desain baru ini diperoleh

36,05/8,12

iY

s . Tampak bahwa desain yang baru ( dengan sampel berukuran

5 ) lebih efisien daripada desain lama ( dengan sampel berukuran 3 ). Hal ini juga

Page 26: DESAIN ACAK SEMPURNA

dapat dilihat dari efisiensi relatifnya, yakni ER ( desain baru terhadap desain lama

) = (0,6/0,36)x 100%=1677

6. SUB SAMPLING DALAM DESAIN ACAK SEMPURNA

Sering terjadibahwa pengamatan tidak dilakukan terhadap setiap unit

eksperimen secara keseluruhan melainkan hanya terhadap sebagian tertentu saja dari

unit eksperimen. Jika pengamatan demikian dilakukan terhadap variabel atau

karakteristik yang sama maka prosesnya dinamakan subsamplingdan yang diperoleh

adalah unit eksperimen.

Contoh :

Suatu eksperimen dilakukan untuk mengetahui efek 5 macam pupuk terhadap

hasil panen padi. Tersedia 30 petak tanah (unit eksperimen) yang homogen dan secara

acak 6 petak di pupuk dengan salah satu dari macam pupuk itu . pada waktu

penaksiran hasil panen, ternyata tidak cukupwaktu tersedia untuk memeotong

hasilnya secara menyeluruh, melainkan hanyalah dilakukan terhadap beberapa bagian

kecil (subpetak) dari tiap petak eksperimen. Dengan demikian secara acak perlu

diambil beberapa subpetak dan pengamatan dilakukan terhadap subpetak tersebut.

Maka subpetak-subpetak merupakan sampel unit dalam unit eksperimen.

Mudah dimengerti kiranya bahwa dengan adanya subsampling maka analisisnya akan

berubah dan tidak sama seperti apabila pengamatan dilakukan terhadap keseluruhan

tiap petak (unit eksperimen). Demikian pula modelnya tidak lagi seperti dalam rumus

II (1) melainkan sekarang menjadi :

Sub petak(bag. hitam) Unit eksperimen

(petak)

Page 27: DESAIN ACAK SEMPURNA

ijhijiijh cYII )...10(

Dengan :

i = 1,2,…,k

j = 1,2,…,n

h = 1,2,…,m

ijhY = variabel respon yang sedang diukur

= rata-rata umum

i = efek perlakuan ke i

ijc = efek unit eksperimen ke j karena perlakuan i

ijh = efek sampel ke h yang diambil dari unit eksperimen ke I yang dikenal perlakuan

ke i

Untuk model diatas masih harus diasumsikan bahwa berharga tetap, perlakuan i

masih perlu dikhususkan lagi bergantung pada apakah model itu model tetap taukah

model acak.

Dalam model diatas, unit eksperimen untuk setiap perlakuan telah diambil

sama banyak, yakni sama dengan n dan sampel dari tiap unit eksperimen juga sama

banyak ialah m. hal ini merupakan yang paling banyak disukai untuk dipakai oleh

karena dalm hal inilah uji eksak mengenai perngaruh perlakuan dapat dilakukan.

Dalam hal lainnya, yakni apabila unit eksperimen dalam tiap perlakuan dan sampel

dari tiap unit eksperimen masing-masing berlainan banyaknya, maka tidak dapat teruji

eksak dan yang ada hanyalah uji pendekatan. Karenanya disini hanya akan ditinjau hal

yang pertama dimana uji eksak dapat dilakukan.

Untuk keperluan analisis dengan model seperti dalam persamaan II (10), maka

harus dihitung jumlah kuadrat-kuadrat (JK)

2

111

2ijh

m

h

n

j

k

i

YY , denagn dk = knm

Ry = j2 / knm, dengan dk = 1

Py =

k

i 1

nmJ i /2 - Ry, dengan dk = (k-1)

Page 28: DESAIN ACAK SEMPURNA

Ey =

n

j

k

i 11yyij PRmE /2 , dengan dk = k (n-1)

Sy = yyy EPRY 2 , dengan dk = kn (m-1)

Dengan Eij =

m

h 1ijhY

Ji =

n

j 1ijE

J =

k

i 1

Ji

Tentu saja didapatka 3 macam rata-rata ialah

knmJYdannmJYmEY iijij /:/:/ 1 .

Daftar ANAVA untuk desain ini, dengan model tetap, tercantum dalam daftar II (12)

DAFTAR 12

DAFTAR ANAVA UNTUK DESAIN ACAK SEMPURNA DENGAN

SUBSAMPLING

(MODEL TETAP)

Sumber Variasi dk JK KT EKT

Rata-rata 1 Ry R

perlakuan k-1 Py P

k

ii knmm

1

222 )1/(

Kekeliruan eksperimen K (n-1) Ey E 22 m

Kekeliruan sampling Kn (m-1) Sy S 2

jumlah knm 2Y - -

Untuk menguji hipotesis nol

H0 : i= 0 dengan I = 1,2,…,k

Page 29: DESAIN ACAK SEMPURNA

Yang menyatakan tidak ada perbedaan pengaruh diantara perlakuan statistik F= P/E

harus dihitung dan selanjutnya di bandingkan dengan harga F dari daftar distribusi F

dengan dk v1= k-1, v2 = k (n-1) dan taraf signifikan yang dipilih. Kita tolah H0 jika

F=P/E lebihbesar dari pada F dari daftar.

Contoh :

Kita lanjutkan contoh II (13) misalkan pada waktu penaksiran hasil panen

telah dilakukan subsampling dan secara acak telah diambil 3 subpetak dari tiap unit

eksperimen. Denagn demikian dipeoleh 30 x 3 = 90 subpetak. Hasil tiap subpetak

dicatat seperti dalam daftar II (13).

Dari daftar II(13) dilihat bahwa k = 5, n = 6 dan m = 3 juga dari daftar itu

mudah dilihat harga-harga Eij dan Ji sedangkan jumlah hasil seluruh pengamatan j

adalah

J = 650 + 1.140 + 1.608 + 1.797 + 1.992 = 7.187

Selanjutnya dapat dihitung:

2Y = 572 + 462 + 282 + … + 1242 + 1022 + 1182 = 646.285

Ry = (7.187)2/(5xx3)=573.921,88

Py = {(650)2 + (1.140)2 + (1.608)2 + (1.797)2 + (1.992)2}

18 – 573.921,88

65.246,84

Ey = {(131)2 + (205)2 + … + (317)2 + (344)2}/3 – 573.921,88 – 65.246,84

= 1.832,95

Sy = 646.285 – 573.921,88 – 65.246,84 – 1.832,95

= 5.283,33

Page 30: DESAIN ACAK SEMPURNA

DAFTAR 13HASIL PANEN DARI 90 SUBPETAK

( Dalam kg )Perlakuan (Macam Pupuk)Subpetak 1 2 3 4 5

123

574628

677266

959089

10288109

123101113

Eij 131 205 274 299 337123

263820

446864

9289106

9689106

93110115

Eij 84 176 287 291 318123

393943

576161

918298

1029398

112104112

Eij 121 179 271 293 328123

233618

744769

1058585

10390105

120101111

Eij 77 190 275 298 332123

483548

616075

788995

9987113

113109111

Eij 131 196 262 299 333123

503719

686561

857480

11793107

124102118

Eij 106 194 239 317 344ji 650 1.140 1.608 1.797 1.992

Daftar ANAVA untuk soal ini adalah sebagai berikut:DAFTAR 14

DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR 13Sumber Variasi dk JK KT EKT F

Rata-rataPupuk

KekeliruaneksperimenKekeliruansampling

142560

573.921,8865.246,841.832,955.283,33

-16,311,71

73,3288,06

-

5

1

222

2143

ii

22 3 2

-222.4

--

jumlah 90 646.285,00 - - -Dihitung bahwa F=P/E = (16.311,71)/(73,32) = 222.43 jika =0.05 sedangkan 1v =4

dan 2v = 25 maka didapat F0.05(425) = 2.76. jelas bahwa hipotesis H0 tidak dapat

diterima, pengaruh kelima macam pupuk terhadap hasil panen ternyata sangat

berbeda.

7. ASUMSI TENTANG MODEL

Page 31: DESAIN ACAK SEMPURNA

Sudah dilihat bahwa sejumlah asumsi telah diambilagar pengujian dalam

ANAVA dapat dilakukan. Asumsi-asumsi yang dimaksud ialah sifat aditif daripada

model, normalitas, homogenitas varian dan sifat independen kekeliruan seharusnya

diperiksa dahulu sebelun ANAVA ditempuh jika asumsi-asumsi itu ternyata tidak

terpenuhi bahwa kesimpulan kesimpulan dari ANAVA tidak berlaku dan karenanya

menyimpang dari yang seharusnya,akan tetapi bahwa pada umumnya akibat yang

ditimbulkan oleh karena tidak terlalu terpenuhinya asumsi sehubungan dengan

ANAVA dengan perkataan lain penyimpangan yang moderat dari syarat-syarat yang

telah digariskan dalam asumsi-asumsi tidaklah terlalu berbahaya, misalkan apabila

terdapat sedikit penyimpangan dari asumsi normalitas atau dari homogenitas maka

ternyata hanya akan berpengaruh kecil sekali terhadap pengujian dan kesimpulan

yang dihasilkan. Jika demikian terjadi maka dikatakan bahwa pengujian bersifat ajeg.

A. Normalitas atau kenormalan

Untuk memeriksa apakah populasi berdistribusi normal atau tidak dapat ditempuh

uji kenormalitas dengan mnggunakan kertas peluang normal atau uji chi-kuadrat.

B. Homogenitas Varians

Bahwa uji Barlet merupakan uji hipotesis nol

H0 : 222

21 ... k

Ditempuh berdasarkan sampel acak berukuran ni yang masing-masing telah

diambil dari populasi ke I (i=1,2,…,k) yang berdistribusi normal, jelass bahwa uji

bartlett dilakukan terlebih dahulu harus diperiksa mengenai normalitas populasinya.

C. Independen

Asumsi mengenai faktor kekeliruan ijuntuk ANAVA telah diambil bahwa

),0(~ 2 DNIij ini berarti ij kecuali mempunyai rata rata sama dan varians yang

homogen juga berdistribusinrmal dan tidak berkorelasi juga bersifat independen.

Salah satu usha untuk mencapai sifat independen adalah dengan jalan melakukan

pengacakan terhadap observasi.

D. Aditivitas

Dalam bentuk ANAVAjuga kita ambil sifat aditif dari pada model akan tetapi

apabila sifat ini diragukan maka usaha-usaha perlu ditempuh agar supaya sejauh

mungkin sifat aditif terpenuhi, gagalnya suatu model untuk mempunyai sifat aditif

umumnya dikarenakan:

1). Model bersifat multiplikatif

Page 32: DESAIN ACAK SEMPURNA

2). Adanya interaksi yang belum dimasukkan kedalam model

3). Terdapat observasi yang keliru

Jika model multiplikasi ijiY , maka denga transformasi logaritma akan berubah

menjadi bentuk aditifijiY loglogloglog

Beberapa transformasi yang sering digunakan untuk keadaan tertentu

a. Logaritma Y’=log Y

Digunakan apabila efek efek bersifat multiplikatif atau proporsional atau pula

apabila simpangan baku berbanding lurus dengan rata-rata.

b. Akar kuadrat Y’ = Y atau Y’ 1Y

Digunakan apabila varians berbanding lurus dengan rata rata (misalkan jika data

asli Y merupakan sampel dari populasi berdistribusi poisson).

c. Arcsinus Y’=arcsin Y

Jika = rata rata populasi dan varians berbanding lurus dengan

)1( (misalkan jika data asli merupakan sampel dari populasi berdistribusi

binom), maka digunakan transformasi ini.

d. Kebalikan Y’ = 1/Y

Transformasi ini digunakan jika simpangan baku berbanding lurus dengan pangkat

dua rata-rata.