1

BAB 1. BILANGAN BULAT

A. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

x+ y=x+ y x+(− y )=x− y −x+(− y )=−(x+ y) x−(− y )=x+ y

Soal :Saat musim dingin, suhu malam hari di desa adalah -6oC. Jika pada pagi hari menjadi -1oC, berapakah perubahan suhu tersebut?

2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

x× y=x × y x× (− y )=−(x× y) −x× y=−(x× y) −x×− y=x× y

x : y=x : y x : (− y )=−(x : y ) −x : y=−( x : y ) −x :− y=x : y

Soal :1. Perhatikan aturan penilaian berikut!

Benar, mendapat nilai 3Salah, mendapat nilai -1Tidak diisi, mendapat nilai 0Jumlah soal ujian Matematika adalah 30. Jika Icha hanya menjawab 27 soal dan 24 soal dijawab dengan benar, maka nilai ujian yang diperoleh Icha adalah ….

2. Pak Joko membeli satu kardus buah apel yang berisi 40 buah. Ternyata setelah diperiksa ada 6 buah apel yang busuk. Kemudian dia membeli lagi buah apel sebanyak 20 buah dan menjual semua apelnya seharga Rp. 64.800,00. Berapakah harga satu buah apel jika harga setiap apel dianggap sama dan apel busuk tidak dapat dijual?

2

B. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT1. Sifat Komutatif

x+ y=x+ y x× y=x × y

2. Sifat Asosiatif

( x+ y )+z=x+( y+z ) ( x× y )× z=x×( y ×z )

3. Sifat Identitas

x+0=0+x=x x×1=1×x=x

4. Sifat Distributif

x ( y+z)=(x × y )+(x × y ) x ( y−z )=( x× y )−(x× y)

5. Sifat Tertutup

x× y=xy ,dengan xy ∊ B

Soal : Berdasarkan sifat distributive, maka nilai 18(7-5) adalahA. (18 - 7) x (18 - 5)B. (18 x 7) – (18 x 5)C. (18 + 7) x (18 – 5)D. (18 x 7) x (18 x (-5))

C. PEMANGKATAN PADA BILANGAN BULAT

Bentuk umum:

xm=x ×x× . .. .× x

Dengan:x = bilangan pokokm = bilangan pangkat

Sifat-sifat pemangkatan pada bilangan bulat adalah sebagai berikut. ¿ ¿

3

xm× ym=¿ xm× ym=¿ ¿¿ xm× xn=xmn

¿¿= xmn

x−m= 1

xm

x0=1

Soal: 1. Nilai dari (6 x 8)3 = . . . .

2. Diketahui (1,45)2 = 2,1025, nilai dari (1,45)2 adalah . . . .

Catatan:Urutan pengerjaan pada operasi hitung bilangan adalah sebagai berikut.1. Pangkat dan Akar2. Kali dan Bagi3. Tambah dan Kurang

4

BAB 2. BILANGAN PECAHAN

A. JENIS-JENIS PECAHAN1. Pecahan Biasa

Bentuk mn

dengan m, n bilangan bulat dan n≠0

2. Pecahan Senilai

Bentuk mn

dengan n≠0, berlaku:

mn=m×xn×x

ataumn

=m : xn: x

Dengan x≠0 dan y ≠0

3. Pecahan Campuran

Bentuk mnp

dengan p≠0 dapat dinyatakan menjadi pecahan biasa, yaitu pm+np

4. Perbandingan Pecahan

Jika ¿n , maka mp

> np

dengan p>0

Jika ¿n , maka mp

< np

dengan p>0

Soal:

Hubungan yang benar untuk pecahan 23, 37,67

dari yang terkecil adalah . . . .

B. BENTUK DESIMAL, PERSEN DAN PERMIL1. Bentuk Desimal

12,34; 0,67; 11,15Bentuk decimal dari:14

adalah 0,25

12 adalah 0,5

2. Bentuk PersenPecahan dengan penyebut 100, ditulis dengan notasi %.Bentuk umum:

xy=mn×100%

Dengan y ≠0

5

3. Bentuk PermilPecahan dengan penyebut 1000, ditulis dengan notasi 0/00.Bentuk umum:

xy=mn× 1000 0/00

Dengan n≠0

Soal:Dalam kelompok diskusi yang terdiri dari 18 anak, terdapat 6 anak perempuan. Berapa persenkah jumlah anak laki-laki?

C. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN PECAHAN1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

mp

+ np=m+n

p

mp-np=m−n

p

pq+ rs= ps+qr

qs

2. Perkalian dan Pembagian Pecahan

pq×rs= p×rq×s

dengan q≠0 dan s≠0

pq:rs= pq×sr dengan q≠0, r ≠0 dan s≠0

3. Pemangkatan Pecahan

(mn )p

=mn×mn×mn× .. .×

mn

4. Perkalian dan Pembagian Pecahan Berpangkat

(mn )p

×(mn )q

=(mn )p+q

(mn )p

:(mn )q

=(mn )p−q

6

5. Pemangkatan Pecahan Berpangkat

((mn )p)q

=(mn )p×q

Soal: Bella menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 4 hari dan Dina menyelesaikan pekerjaan tersebut dalam 6 hari. Berapa bagiankah yang dapat mereka kerjakan bersama dalam 2 hari?

D. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA BILANGAN PECAHAN1. Sifat Komutatif

pq+ rs= rs+ pq

pq×rs= rs×pq

2. Sifat Asosiatif

( pq + rs )+ tu= p

q+( rs + tu )

( pq × rs )× tu= pq×( rs × tu )

3. Sifat Identitas

pq+0=0+ p

q= pq

pq×1=1× p

q= pq

4. Sifat Distributif

pq×( rs + tu )=( pq × rs )+( pq × tu )

pq×( rs− t

u )=( pq × rs )−( pq × tu ) 5. Sifat Tertutup

7

pq×rs= prqs, dengan

prqs∈ bilangan pecahan

Soal:

Berdasarkan sifat distributive, maka nilai ( 56 + 34 )× 78 adalah . . . .

BAB 3. PERBANDINGAN

A. PERBANDINGAN SENILAIDua besaran x dan y dikatakan memiliki perbandingan senilai jika x bertambah

(naik), maka y juga bertambah (naik) dengan perbandingan yang sama.Bentuk perbandingan senilai:

x : y=p :qatauxy= pq

Soal:Perbandingan panjang dua tali adalah 3 : 7. Jika panjang tali yang lebih pendek adalah 1,2 m, berapakah panjang tali yang lain?

B. PERBANDINGAN BERBALIK NILAIDua besaran x dan y dikatakan memiliki perbandingan berbalik jika x bertambah (naik), maka y berkurang (turun) atau sebaliknya.

Soal:Dua belas orang dapat menyelesaikan pekerjaan dalam waktu 6 hari. Waktu yang diperlukan oleh 4 orang untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah ….

C. SKALASkala adalah perbandingan antara jarak pad apeta dan jarak sebenarnya.

Skala=Ukuran padagambarUkuran sebenarnya

Soal:

8

Denah sebuah halaman rumah berbentuk persegipanjang berukuran 9 cm x 6 cm. Jika denah halaman digambar dengan skala 1 : 50, maka luas halaman sebenarnya adalah . . .

D. FAKTOR PERBESARAN DAN FAKTOR PENGECILAN1. Faktor perbesaran adalah perbandingan ukuran benda hasil perbesaran dna ukuran

benda mula-mula.2. Faktor pengecilan adalah perbandingan antara benda hasil pengecilan dengan

benda aslinya.

Soal: Sebuah gelas setinggi 10 cm diletakkan di depan sebuah lampu. Gelas ini membentuk bayangan di layar. Jika tinggi bayangan gelas adalah 15 cm, maka faktor perbesarannya adalah . . . . kali

9

BAB 4. ARITMETIKA SOSIAL

A. UNTUNG-RUGI

Untung=Harga penjualan−Harga pembelianRugi=Harga pembelian−Harga penjualan

Soal:Seorang pedagang membeli suatu barang seharga Rp. 18.500,00. Kemudian dia menjualnya lagi seharga Rp. 20.000,00. Berapa untung/rugi pedagang tersebut?

B. PRESENTASE UNTUNG RUGI

Presentase untung= UntungHargabeli

×100%

Presentase rugi= RugiHargabeli

×100%

Soal: Amin membeli TV seharga Rp. 2.400.000,00. Kemudian dia menjualnya dengan harga Rp. 1.800.000,00. Berapa persen untung yang diperoleh Amin?

C. PAJAK, POTONGAN HARGA, BRUTO, TARA DAN NETO1. Pajak

Pajak Penghasilan (PPh)

10

PPh=gaji awal−gaji yangditerima

Pajak Pertambahan Nilai (PPN)

PPN=harga beli konsumen−harga awal2. Potongan Harga (Rabat)

Rabat=harga semula−harga bersih

3. Bruto artinya berat kotor, yaitu berat suatu barang beserta tempatnya.4. Tara artinya potongan berat, yaitu berat tempat suatu barang.5. Neto artinya berat bersih, yaitu berat barangnya saja.

Jadi, hubungan antara neto, bruto dan tara adalah

Neto=Bruto−Tara

Soal:1. Seorang pegawai swasta mendapat gaji per bulan sebesar Rp. 1.600.000,00 dengan

penghasilan tidak kena pajak sebesar Rp. 400.000,00. Jika besar pajak penghasilan 15%, besar gaji yang diterima pegawai itu adalah . . . .

2. Anton membeli 1 karung beras dengan bruto 60 kg. berat karung ditaksir ½ %. Jika harga beras per kg adalahRp. 3.000,00, maka jumlah harga beras yang harus dibayar Anton adalah . . . .

D. PERHITUNGAN BUNGA BANK1. Bunga Tunggal

Bunga1 tahun= P100

×M

Bungab bulan= b12×

P100

×M

Dengan:P = persen bunga

11

M = modal

2. Bunga Harian

B=H× P×M360×100

Dengan:B = besar bunga yang diperolehH = jumlah hari menabungP = persen bungaM = modal

Soal:Toni menabung di bank yang memberi bunga harian sebesar 15% per tahun. Ia menabung tanggal 9 April sebesar Rp. 600.000,00, maka besar bunga tabungan yang Toni peroleh sampai tanggal 1 september pada tahun yang sama adalah . . . .

12

BAB 5. BILANGAN BERPANGKAT

A. PANGKAT NEGATIF, POSITIF DAN NOLPangkat atau eksponen merupakan salah satu operasi hitung.Bentuk umum:

xm=x ×x× . .. .× x

Rumus :

2−n= 1

2natau2n= 1

2−n

20=1, berlaku juga a0=1 dengan a≠0. Dan pada bilangan bulat berlaku juga:

(xy )2=x2 y2

Untuk pecahan berpangkat berlaku pada operasi berikut.

( 1x )n

=1x×1x×. . .

1x

Dan pada pecahan berlaku juga:

( xy )n

= xn

yn

Soal:

Bilangan berpangkat positif dari bentuk berpangkat 27a−2

9a−5 adalah . . . .

B. PANGKAT PECAHAN

Bentuk xmn adalah bentuk dari pangkat pecahan dan dapat diubah menjadi bentuk akar.

xmn=

n√ xm

13

Dengan m dan n adalah bilangan bulat.Pada bentuk akar berlaku:

√ xy=√ x×√ y

√ xy= √x√ y

Soal:

Bentuk pangkat pecahan negatif dari 14√52 adalah . . . .

C. MERASIONALKAN BENTUK AKAR

Merasionalkan akar-akar yang berbentuk pecahan seperti √ 12 ,√ 35 ,√ 37 , . . . dan

sebagainya dapat diubah dengan mengalikan akar-akar sekawannya.

√ 35=√3√5×

√5√5

=√15√25

=15

√15

Soal:

1. Bentuk rasional dari √4 13 adalah . . . .

2. Bentuk rasional dari 2

√5−√3 adalah . . . .

D. OPERASI PADA BILANGAN BERPANGKAT

n√ xm=xmn

¿

(xmn )p=xm×pn

xmn × x

pq=x

mn

+ pq

xmn : x

pq=x

mn− pq

(x 1m y 1n )p

=xpm y

pn

Soal:

Bentuk sederhana dari (m3n−12)13× (m4 )

12 n−1

√m2×n−8 adalah . . . .

14

BAB 6. POLA BILANGAN

A. JENIS-JENIS POLA BILANGAN1. Pola Bilangan Persegi atau Bilangan Kuadrat

1, 4, 9, 10, . . .● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● 1 2 4 9 16

Jumlah bilangan baris ke-n = n2

2. Pola Bilangan Segitiga1, 3, 6, 10, . . .● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ●1 3 6 10

Jumlah pola bilangan baris ke−nU n=n+U (n−1)

3. Pola Bilangan Persegipanjang2, 6, 12, 20, . . .

● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 6 12 20

Jumlah bilangan baris ke−n = n2+n

4. Pola Bilangan Segitiga Pascal

1

15

1 11 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1Jumlah bilangan baris ke−n=2(n−1)

Soal:Dua buah bilangan berikutnya dari bentuk pola 1, -2, 4, -8, . . . adalah . . . .

B. BARISAN DAN DERETBarisan adalah urutan suatu bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.

U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 , . ..

Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan.

U 1+U 2+U 3+U 4 .. .+U 5

1. Deret AritmatikaDeret aritmatika adalah barisan yang tersusun dengan suku-sukunya merupakan pertambahan suku sebelumnya dengan suatu bilangan secara tetap.Bentuk umum suku ke−n deret aritmatikan:

U n=a+(n−1 )bDengan;a = suku pertamab = beda dua suku berurutanU n= suku ke – n

Bila b > 0, deret dinamakan deret naikBila b <0, deret dinamakan deret turun Bentuk umum jumlah n suku pertama deret aritmatika:

Sn=n2[2a+(n−1 )b]

Dengan:a = suku pertamab = beda dua suku berurutanSn= jumlah n buah suku yang pertama

Soal:1. Suku ke-13 dari barisan 3, 8, 13, 18, 23, . . . adalah . . . .

16

2. Jumlah 10 suku yang pertama dari barisan 4, 7, 10, 13, . . .adalah . . . .

2. Deret GeometriDeret geometri adalah barisan yang tersusundengan suku-sukunya nerupakan hasil kali suku sebelumnya dengan pengali yang tetap.Bentuk umum suku ke−n deret geometri:

U n=ar(n−1)

Dengan:a = suku pertama

r = rasio = U n

U (n−1)

U n= suku ke – n

Bila r > 1, deret dinamakan deret naik.Bila 0 < r < 1, deret dinamakan deret turun.Bentuk umum jumlah suku ke−n deret geometri:

Sn=a (rn−1)r−1

, jika r > 1

Sn=a (rn−1)r−1

, jika 0 < r < 1

Soal:

1. Suku ke-7 dari barisan 13, 19 , 127 , . . . . adalah . . . .

2. Jumlah 8 suku pertama dari barisan 2, 4, 8, . . . adalah . . . .

17

BAB 7. OPERASI BILANGAN BENTUK ALJABAR

A. SUKU-SUKU SEJENIS DAN TAK SEJENISSuku-suku sejenis memiliki variable dan pangkat yang sama untuk setiap variabel.

a3b ,−7a3b ,1 19a3b adalah suku-suku sejenis. Sedangkan contoh suku tak sejenis adalah

2a ,5a ,a2b , c.

Soal:2Suku sejenis pada bentuk aljabar ini 8a−8a2b+5 a−12b2+5ab2 adalah . . . .

B. PERKALIAN SUKU DUA DENGAN SUKU DUA1. Dengan Cara Distributif

( p+q ) (r+s )=p (r+s )+q (r+s) ( p−q ) (r+s)=p (r+s )−q (r+s)

2. Dengan Skema

( x+ p ) (x+q )=x2+qx+ px+ pq

Soal:A=2x−3 y dan B=x+2 y, maka nilai 5 AB adalah . . . .

C. PENGUKURAN BENTUK ALJABAR1. Pengkuadratan Suku Dua

(x+ y )2=x2+2 xy+ y2

(x− y )2=x2−2 xy+ y2

2. Pengkuadratan Suku Tiga

18

(x+ y+z)2=x2+ y2+z2+2xy+2 xz+2 yz

Soal: Jika p=2x+3 y dan q=x+ y, maka nilai ( p+q )2+( p−q )2−2 (p+q ) (p−q )adalah . . . .

D. PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR

xy+xz=x ( y+z ) x2− y2=(x+ y)(x− y) x2+2xy+ y2=(x+ y )2

x2−2 xy+ y2=(x− y)2

Soal:Faktorisasi dari bentuk (x− y )2−(x+ y)2 adalah . . . .

E. PECAHAN BENTUK ALJABAR1. Bentuk Perkalian

pq×rs= prqs

Dengan q≠0 dan s≠0

2. Bentuk Pembagianpq:rs= pq×rs= psqs

Dengan q≠0, r ≠0 dans≠0

Soal:

Jika a=−2, maka nilai dari a2−49

a3+8a2+7 a : a

2−5a−146 a+12

adalah . . . .

F. FPB DAN KPK BENTUK ALJABAR

FPB Pilih faktor yang sama dengan pangkat terkecilKPK Jika ada faktor yang sama, pilih faktor dengan pangkat terbesar

FPB dan KPK dari bentuk: 36 x2 y ,48 xy2 z ,56 xy z2

19

36 x2 y=23×32× x2× y48 xy2 z=24×3× x× y2×z56 xy z2=23×7× x× y× z2

FPB = 22×x× y=4 y KPK = 24×32×7× x2× y2×z2=1.008 x2 y2 z2

Soal: 1. Sisi berkunjung ke perpustakaan 4 hari sekali dan Susi 5 hari sekali. Bila mereka

keperpustakaan pertama kali pada tanggal 25 Februari 2004, maka pada tanggal berapa Sisi dan Susi ke perpustakaan bersama-sama untuk kedua kalinya?

2. KPK dan FPB dari 5ab2 dan 15a2b3 c4 adalah . . . .

20

BAB 8. FAKTORISASI SUKU ALJABAR

A. OPERASI PADA BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan Pengurangan

Pada bentuk aljabar dapat dilakukan operasi penjumlahan atau penguranganterhadap suku-suku sejenis.Misalnya :

2a+3b+5a+6b=2a+5a+3b+6b=7a+9b

2. Perkalian a. Perkalian suku satu dengan suku dua

p (q+r )=( p×q )+(p×r )=pq+ pr p (q−r )= (p×q )− (p×r )=pq−pr

b. Perkalian suku dua dengan suku dua

( p+q ) (p+q )= (p+q )2=p2+2 pq+q2

( p−q ) ( p−q )=( p−q)2=p2−2 pq+q2

( p+q ) (p−q )=p (p−q )+q ( p−q )=p2−pq+ pq+q2

¿ p2−q2

3. Pemangkatan Suku DuaSuku dua dengan pangkat lebih dari dua terdapat aturan-aturan untuk penjabarannya. Aturan yang digunakan adalah pola segitiga pascal, sepertibentuk dibawah ini.

(a+b)0=1 (a+b)1=1a+1b=a+b (a+b)2=1a2+2a1b11b2=a2+2ab+b2

(a+b)3=1a3+3a2b1+3a1b2+1b3=a3+3a2b+3ab2+b3

21

4. Pembagian Suku SejenisPada bentuk aljabar, pembagian dapat dilakukan dengan memeriksa suku-suku dari bentuk aljabar tersebut. Misalnya :

2xx

=2 , 6 x2 y3

2x y3=3 x

Soal:1. Bentuk sederhana dari 2 (3x− y )+7 ( x+ y ) adalah . . . .

2. Penjabaran dari bentuk (a+2b)(2a−b) adalah . . . .B. MENENTUKAN FAKTOR-FAKTOR BENTUK ALJABAR

1. Pemfaktoran Bentuk px+qx

px+qx=x ( p+q)

2. Pemfaktoran Bentuk px2+qx+r dengan p=1

x2+qx+r=( x+m ) ( x+n )dengan :m+n=q

m×n=r

3. Pemfaktoran Bentuk px2+qx+r dengan p≠1

px2+qx+r=px2+mx+nx+r dengan :m+n=q

m×n=p×r

4. Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat

p2−q2=(p+q)( p−q)

Soal:1. Pemfaktoran dari bentuk 9−¿ adalah . . . .

2. Pemfaktoran dari bentuk 3 x2−11 x−20 adalah . . . .

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR1. Penjumlahan dan pengurangan

2x+1

+ 1x+2

=2 (x+2 )

( x+1 ) ( x+2 )+

1 ( x+1 )( x+1 ) ( x+2 )

22

¿ 2x+4+x+1( x+1 ) ( x+2 )

¿ 3 x+5(x+1)( x+2)

2. Perkalian pada Pecahan Bentuk AljabarPada perkalian pecahan bentuk aljabar, pembilang dikalikan pembilang, penyebut dikalikan dengan penyebut. Misalnya:

2xy×3 y3

4 x=6 x y

2

4 xy=32y

3. Pembagian pada Pecahan bentuk AljabarCara pengerjaan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan pembagian pada bilangan pecahan. Misalnya:

12x:1y= 12x×y1= y2x

23

BAB 9. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

A. PERSAMAAN LINIER1. Bentuk Umum Persamaan Linier

Bentuk umum:ax+b=c

Dengan a≠0 dan x adalah variabel.

2. Penyelesaian Persamaan LinierPersamaan linier dapat diselesaikan denganmenghitung nilai dari variabel.

ax+b=cax=c−b

x=1a(c−b)

Soal:

Nilai yang memenuhi persamaan 3(2x+ 13 )=4(3x−12 ) adalah . . . .

B. PERTIDAKSAMAAN LINIER1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linier

Bentuk umum:

ax+b>cax+b<cax+b≥cax+b≤c

24

Dengan a≠0 dan x adalah variabel.

Catatan:Cara membaca tanda pertidaksamaan adalah sebagai berikut. Tanda > : dibaca lebih dari Tanda < : dibaca kurang dari Tanda ≥ : dibaca lebih dari atau sama dengan Tanda ≤ : dibaca kurang dari atau sama dengan

2. Penyelesaian Pertidaksamaan LinierPertidaksamaan linier dapat diselesaikan dengan melakukan langkah-langkah berikut ini: Tentukan nilai peubah x Gambar garis bilangan Tentukan titik pembuat nol Tuliskan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan

3. Sifat-sifat Pertidaksamaan Liniera. Sifat tanda “kurang dari” dalam penjumlahan

a<b→a+c<b+c

b. Sifat tanda “kurang dari” dalam perkalian dengan bilangan positif

a<b dan c>0→ac<bc

c. Sifat tanda “kurang dari” dalam perkalian dengan bilangan negatif

a<bdanc>0→ac>bc

Soal:Himpunan penyelesaian dari −4 x+6≥−x+18 dengan x bilangan bulat adalah . . . .A. {-4, -3, -2, . . . }B. {. . . ,-6, -5, -4}C. {-8, -7, -6, . . .}D. {. . . , -10, -9, -8}

25

BAB 10. HIMPUNAN

A. PENULISAN HIMPUNAN1. Dengan Kata-kata (Deskripsi)

Misalnya: A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 7.

2. Dengan Cara MendaftarMisalnya: B= {a ,i , u ,e , o }

3. Dengan Notasi Pembentuk HimpunanMisalnya: C={x∨ xbilangan ganjilkurang dari10}

B. NOTASI HIMPUNAN

S=himpunan semesta∅={}=himpunankosong⊂=himpunanbagian⊄=bukanhimpunanbagian∈=anggotahimpunan∉=bukan anggotahimpunan∩=irisanhimpunan∪=gabunganhimpunanA'=komplemenhimpunan An ( A )=banyaknyaanggota himpunan A

Soal:A={a , c , e , g , h ,i }Dengan menggunakan notasi himpunan, maka pernyataan di bawah ini benar, kecuali . .

A. a∈ AB. e∈ A

C. d∈ A

i∈C. JENIS-JENIS HIMPUNAN

26

1. Himpunan KosongNotasi: { } atau ∅Digunakan untuk menyatakan suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota.

2. Himpunan BagianHimpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota Amenjadi anggota B, ditulis dengan notasiA⊂B .Misalnya:

A={2 ,3 ,6 }B={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

Maka A⊂B3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta merupakan himpunan dari semua anggota yang sedang dibicarakan.Misalnya:A={bilangan prima }danB= {bilangan ganjil positif }

S={bilanganasli }A ,B⊂ S ,makaS adalahhimpunansemesta dari A danB .

4. Himpunan KomplemenS= {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }A={2 ,5 ,7 ,9 }A'= {1 ,3 ,4 ,6 ,8 }A'adalah himpunan selain himpunan A'atau komplemen himpunan A'

5. Irisan HimpunanA∩B={x∨x∈ A dan x∈B }

Misalnya:

A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,8 }B={2 ,4 ,6 ,9 }A∩B={2 ,4 ,6 }

6. Gabungan HimpunanA∪B={x∨x∈ A danx∈B }

Misalnya: A={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,8 }B={2 ,4 ,6 ,9 }

A∪B={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,8 ,9 }

7. Himpunan EkuivalenHimpunan A dan B dikatakan ekuivalen (A – B) jika n ( A )=n(B).Misalnya:

A={a ,b , c }⇒ n (A )=3B= {4 ,5 ,6 }⇒ n (B )=3

27

Maka A ekuivalen B8. Diagram Venn

A={p ,q }B= {q , r }A'={r , s}B'={ p , s }

A∩B= {q }A∪B= {p ,q , r }

( A∩B )'={ p , r , s }( A∪B )'={s}

Soal: A={bilanganasli kurang dari10 }B={2 ,4 ,6 ,8 }Himpunan A∩B adalah . . . .

D. SIFAT-SIFAT OPERASI PADA HIMPUNAN1. Irisan

Sifat komutatifA∩B=B∩ A

Sifat asosiatif( A∩B )∩C=A ∩(B∩C)

2. Gabungan Sifat komutatif

A∪B=B∪ASifat asosiatif

( A∪B )∪C=A∪(B∪C )

3. Sifat distributif

A∪ (B∩C )=(A∪B)∩(A∪C)A∩ (B∪C )=(A∩B)∪(A ∩C)

4. Selisih

A−A=∅A−∅=AA−B=A∩B'

5. Komplemen

A∪ A'=S

28

A∩ A'=∅S '=∅( A' )'=A

6. Banyak Anggota

n ( A )+n ( A ' )=n(S)n ( A∩B )=n ( A )+n (B )−n (A∪B )n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B )n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )

−n (B∩C )−(A ∩C )−n ( A∩B )+n(A∩B∩C)

7. Banyak Himpunan BagianBanyaknya himpunan bagian dari himpunan dengan n anggota adalah 2n.

Soal: Dari 1.000 peserta ujian, ternyata 447 orang mengikuti ujian Matematika, 319 orang mengikuti ujian Bahasa Inggris, dan 134 orang mengikuti ujian Matematika dan Bahasa Inggris. Jumlah orang yang tidak mengikuti ujian Matematika atau Bahasa Inggris adalah . . . .

29

“lebih dari”“kurang dari”

BAB 11. FUNGSI

A. PENGERTIAN RELASI DAN FUNGSIRelasi dari himpunan A ke himpunan B adalahsuatu aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B merupakan relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.

B. CARA-CARA MENYATAKAN FUNGSI1. Diagram Panah

Misalnya:A={3 ,4 ,6 } ke B={3 ,5 ,7 } terdapat relasi “lebih dari” dan “kurang dari”

2. Diagram CartesiusSetiap pasangan anggota himpunan pertama berelasi dengan anggota himpunan kedua, lihat contoh pada 1 yang relasinya menyatakan “kurang dari”.

3.

4.

6.

.3

.5

.7

3.

4.

6.

.3

.5

.7

30

2 3 4 5 601234567

3. Himpunan Pasangan BerurutanRelasi antara anggota dua himopunan A dan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x , y ) dengan x∈ A dan y∈B.

Lihat contoh pada 1 yang relasinya menyatakan “lebih dari”, himpunan pasangan berurutannya adalah

{ (4 ,3 ) , (6,3 ) , (6,5 )}

Soal:Lihat diagram panah dibawah ini

Yang bukan menyatakan relasi “gemar dengan” dari P ke Q adalah . . .

A. (Adi, sepakbola)B. (Rudi, basket)C. (Amir, karate)D. (Yudi, karate)

C. BANYAK FUNGSI ATAU PEMETAAN DUA HIMPUNANJika n (P )=x adalah banyaknya anggota himpunan P dan n (Q )= y adalah banyaknya anggota himpunan Q, maka banyak semua fungsi atau pemetaan:

Dari P ke Q= yx

Dari Q ke P=x y

Soal:

Adi.

Rudi.

Amir.

Yudi.

.sepak bola

.karate

.basket

31

Banyak pemetaan dari himpunan X={a ,b , c }keY={1 ,3 } adalah . . . .

D. KORESPONDENSI SATU-SATU A “ibukota dari” B

Pada diagram di atas, setiap ibukota dipasangkan tepat satu propinsinya, dan juga sebaliknya. Jadi,banyaknya anggota A sama dengan B atau n ( A )=n (B )=n .Banyaknya cara pada korespondensi satu-satu adalah n !

n !=n× (n−1 )× (n−2 )× .. .×(n− (n−1 ))Soal:Banyak cara korespondensi satu-satu antara himpunan P dan himpunan Q bila n (P )=n (Q )=4 adalah . . . .

E. NILAI FUNGSI1. Domain = daerah asal2. Kodomain = daerah kawan3. Range = daerah hasilNotasi fungsi biasanya ditulis dalam bentuk:

f ( x )=3 xDengan:f ( x ) = fungsi dari x, output (range), atau bayangan fungsix = input (domain)

Soal:Daerah hasil dari fungsi f ( x )=2x2−3 dengan daerah asal {-2, 1, 5, 8} adalah . . . .

Makasar.

Medan.

Jakarta.

Bandung

.Sulawesi Selatan

.Sumatra Utara

.Jakarta

.Jawa Barat

32

BAB 12. PERSAMAAN GARIS

A. GRADIEN GARIS1. Gradien Garis yang Melalui Dua Titik

Untuk sebarang titik A(x1 , y1) dan (x2 , y2) , maka

gradien AB=mAB=y2− y1x2−x1

2. Gradien Garis yang Melalui O (0,0) dan (x1 , y1)

m=y1x1

3. Gradien Garis-garis yang SejajarMisalkan p dan q adalah garis yang sejajar, maka gradient pada garis p dan q sama, atau ditulis

m p=mq

4. Gradien Garis-garis yang Tegak LurusMisalkan g dan h adalah garis yang salingtegak lurus, maka hasil kali gradient pada garis g dan h yang tekgak lurus adalah -1, atau ditulis

mq .mh=−1

33

Soal:Jika garis yang menghubungkan titik(-4,c) dan (8, -2c) mempunyai gradien -2, maka nilai c adalah . . . .

B. PERSAMAAN GARIS1. Persamaan Garis Melalui titik O (0, 0) dengan Gradien m

y=mx

2. Persamaan Garis Melalui titik (0,c) dengan Gradien m

y=mx+c

3. Persamaan Garis yang Melalui Satu Titik (x1 , y1) dengan Gradien m

y− y1=m(x+ x1)4. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik (x1 , y1) dan (x2 , y2)

y− y1y2− y1

= x−xx2−x1

Soal:1. Persamaan garis yang melalui titik (-3, -5) dan tegak lurus dengan garis 3 x+4 y−7=0 adalah . . . .

2. Sebuah permen bila dijual seharga Rp. 150,00 akan laku sebanyak 20 buah dan bila dijual Rp. 100,00 akan laku sebanyak 30 buah. Jika harga yang ditawarkan adalah Rp. 75,00, maka banyaknya permen yang terjual adalah . . . .

C. GRAFIK GARISGrafik suatu garis dinyatakan dengan menggunakan koordinat Cartesius. Pasangan koordinat Cartesius (x , y ¿ terdiri dari absis (x ) dan ordinat ( y ).

34

Soal:Jika persamaan garis y=x+2 dengan x adalah {−3 ,−2 ,−1 ,0 ,1 ,2 ,3 } gambar grafiknya adalah . . . .

BAB 13. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A. BENTUK UMUM SPLDVBentuk umum:

ax+by=0

Dengan a dan b adalah konstanta.

Soal:Dibawah ini yang merupakan SPLDV adalah . . . .

A. 3 x−2=2 x

B. x+ 2y=0

C.x3+ y=−5

D. 4 √x+2 y=6

B. PENYELESAIAN SPLDV1. Metode Substitusi

Menggantikan salah satu variabel dari persamaan pertama ke persamaan kedua atau sebaliknya.

Soal:

35

Sebuah gedung pertunjukan mampu menjual karcil kelas I dan II sebanyak 500 karcis. Harga karcis kelas I Rp. 20.000,00 dan harga karcis kelasII Rp. 15.000,00. Jika hasil penjualan karcis seluruhnya adalah Rp. 8.400.000,00, maka banyaknya karcis kelas I dan II secara berturut-turut adalah . . . .

A. 120 dan 380B. 180 dan 320

C. 380 dan 120D. 320 dan 180

2. Metode ReduksiMengurangkan kedua persamaan sampai diperoleh salah satu koefisien variabelnya nol sehingga variabel tersebut hilang.

Soal:Jika 2 x+4 y=4 dan 3 x+4 y=8 maka nilai x dan y adalah ….

3. Metode EliminasiMenghilangkan salah satu variabel dengan cara menyamakan salah satu koefisien variabel dan mengurangkan atau menambahkan kedua persamaan agar tersisa satu variabel.

Soal:Harga dua buah jeruk dan dua buah semangka Rp. 8.000,00. Harga empat buah jeruk dan 3 buah semangka Rp. 13.500,00. Harga enam buah jeruk dan tiga buah semangka adalah . . . .

4. Metode GrafikMenggambar atau melukis persamaan garis pada grafik Cartesius dengan menentukan titik potong kedua garis yang merupakan penyelesaian SPLDV tersebut.

Soal:Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2 x+ y=6 danx+ y=4 adalah . . .

36

C. PERSAMAAN NON-LINIER DUA VARIABELPenyelesaian sistem persamaan non-linier dua variabel ditentukan dengan menggunakan bentuk seperti sistem persamaan linier dua variabel.

Soal:

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan non-linier 13+ 2y=10 dan

12x

− 1y=−1

adalah . . . .

D. SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN TIGA VARIABELSistem persamaan linier dengan tiga variabel diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi.Bentuk umum:

ax+by+cz=0 Dengan a ,bdanc adalah konstanta.Soal:Himpunan penyelesaian dari persamaanx+ y+z=22 x+2 y−z=−8x− y=4adalah . . . .

37

BAB 14. PYTHAGORAS

A. TEOREMA PYTHAGORASC

A B

Segitiga ABC siku-siku di A, berlaku kuadrat miring BC sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya, yaitu AB dan AC yang dapat dirumuskan :

BC2=AB2+AC 2

Soal:Diketahui ΔABC. Siku-siku di A dengan AB = 12 cm dan AC = 5 cm, maka panjang BC = . . .

B. TRIPEL PYTHAGORAS

38

Tripel Phytagoras adalah tiga biah bilangan yang memenuhi aturan Pythagoras dan mewakili sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Bilangan terbesar merupakan sisi miring/hipotenusa.

AC 3 5 7 8 11 20AB 4 12 24 15 60 21BC 5 13 25 17 61 29

Pasangan tripel ini berlaku unutk kelipatannya.

Soal:1) 6, 8, 102) 8, 15, 173) 10, 16, 184) 20, 21, 29

Dari empat pilihan di atas, manakan yang merupakan Tripel Pythagoras?

C. PERBANDINGAN PADA SEGITIGA ISTIMEWAC

√3 2

A 1 B

Perbandingan AB :BC : AC=1 :2 :√3

C

1 √2

A 1 B

Perbandingan AB : AC :BC=1 :1 :√2

Soal:Luas segitiga samasisi yang penjang sisinya 4 cm adalah . . . .

39

C

4 cm 4 cm

A 4 cm B

BAB 15. BANGUN DATAR

A. SEGITIGA DAN SIFAT-SIFATNYA1. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisinya

a. Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi mempunyai 3 sisi yang sama panjang Mempunyai 3 sumbu simetri Ketiga sudutnya sama besar

b. Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang

40

Mempunyai satu sumbu simetri Dua sudut di hadapan sisi yang sama panjang sama besar

c. Segitiga sembarang

Segitiga sembarang tidak mempunyai sisi yang sama panjang Tidak mempunyai sumbu simetri Besar ketiga sudut tidak sama

2. Jenis Segitiga Berdasarkan Sudutnyaa. Segitiga siku-siku

C Mempunyai sudut siku-siku (∠ A=90o ¿Mempunyai sisi miring, yaitu BC

A Bb. Segitiga lancip

Ketiga sudutnya lancip atau kurang dari 90o (∠ A ,∠Bdan∠C<90o)

c. Segitiga tumpul

Salah satu sudutnya tumpul atau lebih dari 90o (∠ A>90o)

Soal: 1. Besar sudut A = sudut B = 60o, maka segitiga ABC merupakan segitiga . . . .

C

A B

41

2. Segitiga ABC, besar sudut B =besar sudut C = 45o. segitiga ABC merupakan segitiga . .

3. Segitiga yang kedua sudutnya 30o dan 50o adalah segitiga . . . .

B. PERSEGI PANJANG DAN SIFAT-SIFATNYA

Persegi panjang mempunyai 2 pasang sisi sejajar yang sama panjang

Empat buat sudut sama besar Diagonal pada persegi panjang sama

panjang, saling berpotongan dan membagi dua sama panjang.

Soal:

Pada persegi panjang ABCD, panjang BO = 4 cm, maka panjang AC = . . . .

C. PERSEGI DAN SIFAT-SIFATNYA

Keempat sisinya sama panjang Dua pasang sisi yang saling berhadapan sejajar Diagonal-diagonalnya sama panjang dan berpotongan saling membagi dua sama

panjang Diagonal yang berpotongan membentuk sudut siku-siku Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri

42

Keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku yang masing-masing dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya

Soal:

Pada persegi ABDC besar sudut DOB =¿, maka nilai x = . . . .

D. JAJARGENJANG DAN SIFAT-SIFATNYA

Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang Sudut-sudut yang berhadapan sama besar Jumlah sudut-sudut yang berdekatan 180o

Diagonal-diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang

Soal:Pada jajargenjang ABCD, ∠ ABC=¿ dan , ∠ ADC=140o , maka nilai x = . . . .

E. BELAH KETUPAT DAN SIFAT-SIFATNYA

Semua sisinya sama panjang Diagonalnya merupakan sumbu simetri

43

Besar sudut yang berhadapan sama besar Perpotongan diagonal-diagonalnya tepat di tengah-tengah Diagonalnya berpotongan saling tegak lurus

Soal:Pada belah ketupat PQRS, panjang QS = 12 cm dan PR = 16 cm, maka panjang SR = . . . .

F. LAYANG-LAYANG DAN SIFAT-SIFATNYA

Dua pasang sisi sama panjang Salah satu diagonalnya merupakan sumbu

simetri Terdapat sepasang sudut yang sama besar Salah stu diagonalnya berpotongan di

tengah-tengah dan membentuk sudut siku-sikut

G. TRAPESIUM DAN SIFAT-SIFATNYAJenis-jenis Trapesium

Trapesium sama kaki

Trapesium siku-siku

Trapesium sembarang

Soal:

Trapesium merupakan segi empat yang mempunyai sepasang sisi berhadapan sejajar

Jumlah sudut-sudut berdekatan yang terletak di antara dua sisi yang sejajar berjumlah 180o

44

Gambar di atas merupakan trapesium samakaki, maka nilai x = . . . .

H. KELILING DAN LUAS1. Segitiga

K= jumlah semuasisi−sisinya

L=alas×tinggi2

2. Persegi panjang

K=2 ( p+l )L=p×l

3. PersegiK=4×sisi

L=s2=12×diagonal1×diagonal2

4. Jajargenjang

K=2 ( p+l )L=alas× tinggi

5. Belah Ketupat

K=4×sisi

L=12×diagonal1×diagonal2

6. Laying-layang

K= jumlah semua sisinya

L=12×diagonal1×diagonal2

7. Trapesium

45

K= jumlah semua sisinya

L=12×tinggi× jumlahsisi sejajar

Soal:1. Jika keliling jajargenjang adalah 38 cm, maka luas jajargenjang adalah . . . .

2. Pada trapesium, panjang sisi sejajar adalah 16 cm dan 21 cm, sedangkan tingginga 10 cm. luas trapesium adalah . . . .

BAB 16. GARIS DAN SUDUT

A. KEDUDUKAN DUA GARIS1. Garis Sejajar

Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut tidak berpotongan dan jarak kedua garis selalu tetap, serta terletak pada satu bidang. Garis a sejajar garis a (a /¿b).

2. Garis Berpotongan

Dua garis yang saling berpotongan mempunyai satu titip potong. Garis p dan q berpotongandi titik A.

3. Garis Berimpit

46

Dua garis yang berimpit merupakan dua garis yang terletak pada suatu garis lurus, sehingga dua garis tersebut hanya tampak satu garis. Garis AC dan BD berimpit, sehingga keduanya terletak pada satu garis.

4. Garis Bersilangan

Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik potong dan tidak dalam bidang yang sama. Kedudukan garis h dan g yang seperti itu dikatakan sebagai garis bersilangan.

5. Garis Horizontal dan Vertikal

Garis a adalah garus horizontal dan garis b adalah garis vertikal. Garis horizontal dan garis vertikal merupakan garis-garis yang saling tegak lurus, sehingga garis a tegak lurus dengan garis b.

Soal:Pada gambar kubus dibawah ini, pasangan garis yang bersilangan adalah . . . .

B. SIFAT-SIFAT GARIS SEJAJAR1. Garis Melalui Satu titik di Luar Garis yang Diketahui

Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu. Melalui titik A dapat dibuat tepat satu garis l yang sejajar garis k .

47

2. Garis yang Memotong Dua Garis Sejajar

Untuk sebarang garis a dan b yang sejajar, jika suatu garis c memotong garis a, maka garis c memotong garis a, maka garis c pasti memotong garis b. Garis l /¿b dan garis c memotong garis a, maka garis c juga memotong garis b.

3. Tiga Garis Sejajar

Jika garis a sejajar dengan garis c dan garis c sejajar dengan garis b, maka garis a dan b pasti sejajar.

Soal:Dua garis dikatakan sejajar apabila . . . .A. Sebidang dan berpotonganB. Tidak sebidang dan berpotonganC. Sebidang dan tidak berpotonganD. Tidak sebidang dan tidak berpotongan

C. SUDUT-SUDUT PADA GARIS SEJAJAR

1. Pasangan Sudut Sehadap∠ A1=∠B1∠ A2=∠B2∠ A3=∠B3∠ A4=∠B4

2. Pasangan Sudut Dalam Bersebrangan∠ A3=∠B1∠ A4=∠B2

3. Pasangan Sudut Luar Bersebrangan∠ A1=∠B3∠ A2=∠B4

4. Pasangan Sudut Dalam Sepihak

48

∠ A3+∠B2=180o

∠ A4+∠B1=180o

5. Pasangan Sudut Luar Sepihak∠ A1+∠B4=180

o

∠ A2+∠B3=180o

Soal:

Pada gambar di atas besar sudut CBG adalah . . . .

D. PANJANG SEGMEN GARIS DAN PERBANDINGAN1. Panjang Segmen Garis

Jika diketahui garis AB dengan panjang k dan titik P terletak di antara A dan B sehingga AP : PB = m :n, maka

Panjang segmen AP ¿mkm+n

Panjang segmen PB ¿nkm+n

2. Perbandingan Segmen Garis

ADDB

= AEEC

ADAB

= AEAC

=DEBC

DEAB

= CEAC

=CDBC

49

Soal:1.

Diketahui AB : BC = 3 : 5. Jika AC = 64 cm, maka panajng BC adalah . . . .

2. Pada gambar di bawah, nilai x adalah . . . .

E. JENIS-JENIS SUDUT1. Sudut Siku-siku

Biasanya diberi tanda “L” atau “˩”

Besar sudut siku-siku adalah 90o atau 14

putaran

2. Sudut Lurus

Besar sudut lurus adalah 180o atau 12 putaran

3. Sudut LancipBesar sudut lancip antara 0o dan 90o

50

4. Sudut TumpulBesar sudut refleks antara 180o dan 360o

Sudut dapat dinyatakan dengan satuan derajat (o), menit (‘) , dan detik (“). 1 putaran = 2 radian = 2π = 360o

1o = 60’ = 3600” 1’ = 60”

Soal:23

sudut satu putaran penuh termasuk jenis sudut . . . .

F. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SUDUTUntuk menjumlahkan dan mengurangkan satuan sudut, maka satua derajat, menit, dan detik masing-masing harus diletakkan dalam satu jalur.

Soal:Hasil dari 78o 17’ 55” – 52o 24’ 24” adalah . . . .

G. PENAMAAN SUDUTSudut dapat diberi nama berdasarkan titik sudutnya atau kombinasi dari titik sudut dan titik ujung kaki sudut.

Nama sudut:Sudut B, ditulis ∠OSudut ABC, ditulis ∠ABCSudut CBA, ditulis ∠cba

Soal:

51

Dari gambar di atas, sebutkan sudut yang memiliki salah satu kaki sudutnya adalah AC yaitu . . . .

H. HUBUNGAN ANTAR SUDUT1. Sudut Berpenyikut (berkomplemen)

Dua sudut adan b disebut berpenyiku jika a+b=90°

2. Sudut Berpelurus (bersuplemen)

Dua sudut adan b disebut berpelurus jika a+b=180 °

3. Sudut Bertolak Belakang

Dua sudut 1 dan 3 atau 2 dan 4 disebut bertolak belakang jika 1 = 3 dan 2 = 4.

Catatan: Jumlah sudut pada segitiga adalah 180o

a+b+c=180 °

Besar sudut luar segitiga

∠CBD = 180o – ∠CBA

Jumlah sudut pada segi empat adalah 360o

Jumlah besar sudut pada segi-n beraturan adalah (n−2)×180 °

52

Besar setiap sudut pada segi-n beraturan adalah 180 °−360 °n

Soal:

Perhatikan gambar. Besar sudut CBD adalah . . . .

BAB 17. GARIS-GARIS PADA SEGITIGA

A. PROYEKSI PADA SEGITIGA1. Segitiga Siku-Siku

Gambar (i):Proyeksi PQ pada QR adalah QSProyeksi PR pada QR adalah RS

53

Proyeksi QR pada PQ adalah PQGambar (ii):Proyeksi AI pada AB adalahAFPtoyeksi CI pada BC adalah CEProyeksi AI pada AC adalah ADProyeksiBI pada AB adalah BFProyeksiCI pada AC adalah CDProyeksi BI pada BC adalah BE

Gambar (iii)ΔKLM merupakan segitiga tumpulProyeksi KL pada KM adalah KPProyeksi MLpada KM adalah MPProyeksi KL pada LM adalah QLProyeksi ML pada KL adalah RL

B. RUMUS PROYEKSI1. Segitiga Lancip

Gambar d iatas adalah ΔABC dengan CD tegak lurus pada AB. AD merupakan proyeksi AC pada AB, panjang AD atau p adalah

p=b2+c2−a2

2c

2. Segitiga Tumpul

54

Gambar di atas adalah segitiga tumpul. Proyeksi pada AB adalah AE dan proyeksi AB pada AC adalah AD. Panjang AE atau p adalah

p=a2−(b¿¿2+c2)

2c¿

Soal:1. Diketahui ΔABC dengan B=9 cm ,AC = 5 cm, dan BC = 6 cm, maka AF = . . . .

2. Segitiga ABC adalah segitiga tumpul denganAB=¿ 4cm, BC = 6 cm, dan AC = 10 cm. panjang BE adalah . . . .

C. GARIS TINGGI1. Rumus Garis Tinggi

Pada gambar di atas, ΔABC dengan t c adalah garis tinggi dan p proyeksi AC pada AB. Panjang garis tinggi t cadalah

t c=2c√s (s−a)(s−b)(s−c )

s=12(a+b+c )

2. Luas Segitiga

55

Luas Δ ABC=c×t c2

=2c√s ( s−a ) (s−b ) (s−c )

¿√s (s−a)(s−b)(s−c )

Soal:Diketahui sisi-sisi segitiga dengan a=9cm, b=8cm dan c=7 cm. Luas segitiga adalah . . . .

D. GARIS BERATGaris berat adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut suatu segitiga ke titik tengah sisi di hadapannya.

Segitiga ABC dengan CD adalah garis berat. Panjang garis berat CD adalah

CD2=12a2+ 1

2b2+ 1

4c2

Soal:Segitiga ABC dengan AB = 10 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. panjang garis berat AD adalah . . . .

E. GARIS BAGI1. Garis Bagi Dalam

Segitiga ABC adalah segitiga lancip dengan CDadalah garis bagi dalam. Panjang c1dan c2 adalah

c1=b×ca+b

c2=a×ca+b

Panjang garis bagi dalam CD adalahCD=√a×b−c1×c2

56

2. Garis Bagi Luar

Segitiga ABC adalah segitiga lancip dengan CDadalah garis bagi luar. Panjang c1dan c2 adalah

c1=b×ca−b

c2=a×ca−b

Panjang garis bagi luar CD adalahCD=√c1×c2−a×b

Soal:Diketahui ΔABC dengan AB = 12 cm, AC = 10 cm, dan BC = 8 cm. panjang garis BD adalah . . . .

BAB 18. LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

A. UNSUR-UNSUR LINGKARAN

57

Keterangan:(i) AB adalah diameter

OA ,OBdanOC adalah jari-jariAB dan CD adalah tali busur (lihat*)OEadalah apotema (lihat**)

(ii) Tembereng adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busurnya.

(iii) Juring adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari.(iv) Tali busur adalah garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.(v) Apotema adalah jarak terpendek dari pusat O ke tali busur.

Soal:Dari gambar, yang merupakan apotema adalah . . . .

B. BESARAN-BESARAN PADA LINGKARAN1. Luas Lingkaran

L=π r2atau L= 14π d2

2. Keliling LingkaranK=2πr atauK=πd

3. Panjang Busur

Panjang busur = x°360

× keliling lingkaran

4. Luas Juring

luas juring= x°360

×Luas lingkaran

5. Keliling JuringKeliling juring=2 r+ panjang busur

6. Luas Tembereng

58

Ltemebereng=L juring−Lsegitiga

7. Keliling TemberengK tembereng=panjangtalibusur+panjang busur

Soal:1. Suatu lingkaran mempunyai panajng busur AB = 33 cm. Jika∠AOB = 90o, maka jari-

jari lingkaran adalah . . . .

2. Luas juring AOB adalh 7,85 cm2 dan besar sudut AOB = 100o, maka diameter lingkaran adalah . . . .(π=3,14)

C. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

Sudut AOB adalah sudut pusat dengan BO dan AO adalah jari-jari. Sudut ACB adalah sudut keliling dengan BC dan ACadalah tali busur yang berpotongan di C.

Sudut pusat=2x sudut keliling∠ AOB=∠ACB

1. Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama

∠ ABE=∠ ADE=∠ACE

∠ ACE=12∠PQ

∠ ABE=12∠PQ

∠ ADE=12∠PQ

Besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

2. Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

59

∠BAC=12∠BOC

¿ 12×180 °

¿90 °

Besar sudut keliling yang menghadap diameter adalah 90o.

3. Sudut Keliling Dalam Lingkaran

Sudut RTQ adalah sudut keliling dalam lingkaran

∠RTQ=12

(∠SOP+∠ROQ )atau

¿∠ SRP+∠RPQ

4. Sudut Keliling Luar Lingkaran

∠MPL adalah sudut keliling luar lingkaran.

∠MPL=12(∠LOM−∠NOK ) atau

¿∠LKM−KMN

5. Segi Empat Tali Busur

ABCD adalah segi empat tali busur∠ ABC=∠ ADC∠DAB=∠DCB

Soal:1. Besar ∠ AOB adalah . . . .

60

2. Besar ∠ x=¿ . . . .

3. Besar ∠a=¿ . . . .

D. SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN

∠TAO=∠TBO=90 °Sudut antara garis singgung dan jari-jari adalah 90o

Dari titik A dan B hanya dapat dibuat satu garis singgung.

E. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN1. Garis Singgung persekutuan Luar Dua Lingkaran

Garis l menyinggung lingkaran C dan D di titik A dan titik B sehingga AB adalah garis singgung persekutuan luar dan CD adalah jarak pusat kedua lingkaran.Perhatikan ΔDCE!CE=AC – AE danDC2=DE2+C E2

DE2=DC2−CE2=DC2−¿

DE=√DC2−¿¿

Dengan:

61

DC = d = jarak pusat kedua lingkaranAC = R = jari-jari lingkaran CAE = BD = r = jari-jari lingkaran DMaka panjang garis singgung AB atau ED adalah:

j=√d2−¿¿

2. Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garisl menyinggung lingkaran C di titik A dan lingkaran D di titik B, sehingga AB adalah garis singgung persekutuan dalam dan CD adalah jarak pusat kedua lingkaran.Perhatikan ΔDCE!CE=CA+AE danCD2=CE2+E D2

ED2=CD2−CE2=CD2−¿

ED=√CD2−¿¿

Dengan:CD = d = jarak titik pusat kedua lingkaranCA = R = jari-jari lingkaran CAE = BD = r = jari-jari lingkaran DMaka panjang garis singgung AB atau ED adalah

j=√d2−¿¿

Soal:1. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berjari-jari 16 cm dan x

cm adalah 24 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm, maka njilai x adalah . . . .

62

2. Perbandingan jari-jari dua lingkaran adalah 5 : 2. Jarak kedua pusat lingkaran 29 cm dan panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 20 cm. maka panjang garis singgung persekutuan luar adalah . . . .

F. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA1. Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung sisinya.

Lingkaran O adalah lingkaran dalam segitiga ABC. Garis singgung lingkaran adalah AB ,BC , dan AC. Pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi segitiga Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga

OD=OF=OE=r

Luas segitiga

Luas ΔABC=12keliling ABC×r

r= Luas ΔABC12Keliling ΔABC

Dengan:Keliling ΔABC=AB+BC+ACr = jari-jari lingkaran dalam ΔABC

2. Lingkaran Luar Segitiga

63

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga.

LingkaranO adalah lingkaran luar segitiga ABC. Pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu segitiga. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga

OA=OB=OC=r

Luas segitiga

Luas ΔABC= AC×BC× AB4 r

r= AC×BC× AB4×Luas ΔABC

Dengan

Luas ΔABC=12AB× t

t = tinggi ΔABCr = jari-jari lingkaran luar ΔABC

Soal:1. Jari-jari lingkaran dalam segitiga yang mempunyao panjang sisi 5 cm, 5 cm, dan 6 cm

adalah . . . .

2. Jari-jari lingkaran luar suatu segitiga adalah 2,5 cm. Jika panjang sisi-sisi segitiga 3 cm, 5 cm, dan 4 cm, maka luas segitiga adalah . . . .

G. PANJANG SABUK LILITAN

64

Dua lingkaran A dan B saling bersinggunagan dan mempunyai panjang jari-jari yang sama.Panjang sbuk lilitan dari gambar di atas adalah

KL+MN+ 12keliling lingkaran A+ 1

2keliling lingkaranB .

KL=MN=2× jari− jari¿2×r¿2 r

Lingkaran A = lingkaran B, maka

Panjang sabuk lilitan=2 r+2 r+keliling lingkaran¿4 r+2πr¿2 r (2+π )

Soal:Panjang tali minimal yang diikatkan pada dua buah pipa dengan diameter pipa 10 cm adalah . . . .

H. PANJANG SISI SEGI EMPAT TALI BUSUR

ABCD adalah segi empat yang dibentuk dari tali busur AB ,BC ,CD, dan AD. Panjang sisi-sisi ABCD ditentukan sebagai berikut.

AC×BD=( AB×CD )+(AD×BC ) AT ×CT=BT ×DT

Soal:Perhatikan gambar. Jika panjang OQ = 6 cm, QS = 14 cm, dan OP = 12 cm, maka panjang QR adalah . . . .

65

BAB 19. KESEBANGUNAN

66

A. SYARAT DUA BANGUN DATAR KONGRUENDua bangun datar dikatakan kongruen (≅) jika memiliki bentuk dan ukuran yang sama.

Soal:Diketahui ABCD≅ PQRS, nilai k dan l adalah . . . .

B. SYARAT DUA BANGUN DATAR SEBANGUNDua bangun datar dikatakan sebangun jika mempunyai pasangan sudut yang sama besar dan perbandingan sisi yang tetap.

Soal:

Gambar di atas menunjukkan dua trapesium sebangun. Panjang sisi PQ adalah . . . .

C. SYARAT DUA SEGITIGA KONGRUEN1. Dua Sisi Sama Panjang dan Sudut Apitnya Sama Besar (si, sd, si)

AB=DE (sisi) ∠B=∠E (sudut) BC=EF (sisi)

2. Dua Sudut Sama Besar dan Sisi yang Diapit Sama Panjang (sd, si, sd) ∠B=∠E (sudut) BC=EF (sisi) ∠C=∠F (sudut)

67

3. Segitiga Sisi Sama Panjang (si, si , si) AC=DF (sisi) AB=DE (sisi) BC=EF (sisi)

4. Dua Sisi yang Sama Panjang dan Satu Sudutnya (bukan sudut apit) yang Sama Besar (si, si, sd)

AC=DF (sisi) BC=EF (sisi) ∠B=∠E (sudut)

Dua segitiga dikatakan kongruen jika sama bentuk dan ukurannya. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga ¿, ditulis ΔABC ≅ ΔDEF.

Soal:Diketahui ∠ A=∠Bdan∠B=∠E. Δ¿ kongruen jika . . . .

A. ∠C=∠FB. AB=DE

C. AB=EFD. BC=EF

D. SYARAT DUA SEGITIGA SEBANGUN1. Sudut-sudut yang Bersesuaian Sama Besar

68

∠ A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F

2. Sisi-sisi yang Bersesuaian Mempunyai Perbandingan yang Sama.

ABDE

= ACDF

=BCEF

Soal:Segitiga ABC dengan besar ∠ A=50° dan ∠B=64 ° sebangun dengan segitiga PQR dengan besar . . . .

E. PERBANDINGAN PANJANG SISI DUA SEGITIGA SEBANGUN

1.DCAC

=ECBC

=DEAB

ee+b

= da+d

= cf

de= eb

2. ae= cd=bf

3. CD=√ AD×DBAC=√AD× ABCB=√BD×BA

Soal: Perhatikan gambar di samping! Nilai a adalah . . . .

BAB 20. BANGUN RUANG SISI DATAR

A. UNSUR-UNSUR KUBUS DAN BALOK

69

1. Kubus

Unsur-unsur kubus terdiri dari: 12 rusuk yang sama panjang 8 titik sudut 12 diagonal sisi yang sama panjang 4 diagonal ruang 6 bidang diagonal

Kubus yang mempunyai panjang rusuk x, panjang diagonal sisi dan diagonal ruang berturut-turut x √2 dan x √3 dan luas bidang diagonalnya adalah x2√2 .

2. Balok

Unsur-unsur balok terdiri dari:

6 sisi 12 rusuk 8 titik sudut

12 diagonal sisi 4 diagonal ruang 6 bidang diagonal

Pada balok terdapat 3 kelompok rusuk yang terdiri dari 4 yang sama panjang. Tiga kelompok tersebut adalah panjang, lebar, dan tinggi. Jumlah diagonal sisi pada balok sama dengan kubus, tetapi diagonal sisi pada balok tidak sama panjang.

70

Balok ABCD .EFGH dengan panjang AB=p, lebar BC=l, dan tinggi CG=t , maka panjang diagonal sisi:

AB=√ p2+t2BG=√ l2+t 2DG=√ p2+ t2

Luasbidang diagonal ABGH=p√ l2+t 2 Luasbidang diagonal BEHC=l√ p2+t2Luasbidang diagonal ABGH=t √ p2+l2Luasbidang diagonal ABGH=√ p2+l2+ t2

Soal:1.

Pada kubus ABCD .EFGH di atas, yang merupakan diagonal ruang adalah . . . .

2.

Luas bidang diagonal ABGH adalah . . . .

B. UNSUR-UNSUR LIMAS DAN PRISMA1. Limas

71

Nama limas disebut berdasarkan alasnya. Scara umum limas segi−n mempunyai:

n sisi tegak (n+1) sisi 2n rusuk

2. Prisma

Pada prisma segi-n mempunyai:

(n+2) sisi 3n rusuk 2n titik sudut

Soal:1. Jumlah sisi pada limas segi-8 beraturan adalah . . . .

2. Jumlah rusuk pada prisma segi-6 beraturan adalah . . . .

C. JARING-JARINGJarring-jaring adalah susunan dari beberapa bidang datar yang dapat dibuat menjadi suatu bangun ruang dengan lipatan-lipatan tertentu.

1. Kubus

72

2. Balok

3. Limas

4. Prisma

Soal:Pada jarring-jaring kubus di bawah ini, daerah yang diarsir adalah sisi atas (tutup kubus). Persegi yang menjadi alasnya adalah nomor . . . .

D. LUAS SISI DAN VOLUME 1. Kubus

Luas=6×rusuk ×rusuk=6×s2=6 s2

Volume=rusuk×rusuk×rusuk=s× s×s=s3

2. Balok

73

Luas=( p× l )+(p× l )+ ( l× t )+(l ×t )+ (p× t )+( p×t )¿2 pl+2<+2 pt

¿2( pl+¿+ pt)Volume=p×l× t

3. LimasLuas=Luasalas+ jumlahluas sisi tegak

Volume=13×luas alas×tinggi

4. PrismaLuas=2× Luas sisialas+Luas selubungLuas selubung=Keliling alas×tinggiVolume=Luasalas×tinggi

Soal:1. Jika panjang diagonal ruang kubus 4 √3 cm, maka volume kubus adalah . . . .

2. Sebuah balok p : l : t=5 :3 :2. Jika panjang diagonal ruang 2√38 cm, maka luas balok adalah . . . .

3. Berapa panjang diagonal sisi alas limas yang berbentuk persegi jika volume dan tinggi limas berturut-turut 245 cm3 dan 15 cm?

4. Dari gambar dibawah ini, maka volume prisma adalah . . . .

BAB 21. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

74

A. UNSUR-UNSUR BANGUN RUANG SISI LENGKUNG1. Tabung

Tabung mempunyai sisi alas dan sisi atas, sisi lengkung (sleimut tabung), dan dua rusuk lengkung. Jari-jari (r) adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke rusuk lengkung. Diameter (d) adalah jarak antara 2 rusuk lengkung. Tinggi tabung (t) adalah jarak antara sisi atas dan sisi alas.

2. Kerucut

Kerucut mempunyai sisi alas berbentuk lingkaran, sisi lengkung, dan rusuk lengkung. Garis pelukis (s) adalah jarak antara titik puncak ke rusuk lengkung. Hubungan antara garis (s), jari-jari (r), dan tinggi (t) adalah

s2=r2+t 2

3. Bola

Jari-jari (r) adalah jarak antara titik pusa ke bidang lengkung. tali busur yang melalui titik pusat adalah diameter (d). hubungan antara diameter (d) dengan jari-jari (r) adalah

d=2r

Soal:Sebuah kerucut berjari-jari 7 cm dengan tinggi 24 cm, maka panjang garis pelukisnya adalah . . . .

B. LUAS SISI DAN VOLUME

75

1. TabungLuas=2× Luas lingkaran+Luas selimut

¿2π r2+2 πrt¿2πr (r+t )

Volume=π r2t

2. KerucutLuas sisikerucut=Luasselimut +Luasalas

¿ πrs+π r2

¿ πr (s+t)Dengan s2=t 2+r2

Volume=13×Volume tabung=1

3×π r2t

3. Bola12Luasbola=Luas selimut tabung

12Luasbola=(2 πr ) t ,(t=r )

Luasbola=2 (2πr ) (r )=4 π r2

Volumebola=43×π r3

Soal:

1. Tinggi sebuah tabung 3 kali jari-jari dan luas sisinya 308 cm2. Jika π=227

, maka

diameter tabung adalah . . . .

2. Sebuah kerucut mempunyai panjang garis pelukisnya 29 cm dan tinggi 20 cm, maka luas kerucut adalah . . . .

3. Hitunglah volume bola dengan diameter 20 cm dan π = 3,14!

C. PERBANDINGAN VOLUME1. Perbandingan Volume Tabung

V 1V 2

=π r1

2t

π r22t

76

V 1V 2

=r12

r22

2. Perbandingan Kerucut

V 1V 2

=

13π r1

2t

13π r2

2t

V 1V 2

=r12

r22

3. Perbandingan Volume Bola

V 1V 2

=

43π r1

3

43π r2

3

V 1V 2

=r13

r23

Soal:1. Dua buah kerucut dengan jari-jari masing-masing 9 cm dan 12 cm dengan tinggi 15

cm. perbandingan volume kerucut adalah . . . .

2. Dua buah bola dengan jari-jari 8 cm dan 16 cm. perbandingan volume bola adalah . . . .

D. PERUBAHAN VOLUME1. Perubahan Volume Tabung

77

Perubahanvolume=V 2−V 1¿ π r2

2t−π r12t

¿ πt(r22−r1

2)

2. Perubahan Volume Kerucut

Perubahanvolume=V 2−V 1

¿ 13π r2

2t−13π r1

2t

¿ 13πt(r2

2−r12)

3. Perubahan Volume Bola

Perubahanvolume=V 2−V 1

¿ 43πr 2

3−43π r1

3

¿ 43π (r2

3−r13)

Soal:1. Suatu tabung dengan jari-jari 30 cm mempunyai rongga dengan jari-jari 10 cm. Jika

tinggi tabung 15 cm, maka volume tabung adalah . . . .

2. Suatu bola berongga dengan diameter 14 cm dan diameter rongga bola 7 cm. Volume bola adalah . . . .

78