Download - Binomium Newton, Peluang (Kelas XI IPS)

SMA NEGERI 1 CIJERUK 1 Jl. KH. Halimi Kp. Nagrak Desa Cipelang Kec. Cijeruk Kab. Bogor 16740

Matematika XI ips Rury Rachmad, S.Si.

BINOMIUM NEWTON

0 1 1 2 2 1 10 1 2 1. . .n n n n n n n n n n n n n

n nx y C x y C x y C x y C x y C x y Bentuk di atas dapat pula ditulis dalam bentuk sigma:

0

nn n n i i

ii

x y C x y

Penentuan suku ke x y , perhatikan penjabaran binomium Newton di atas:

- Suku ke-1 01 0

n nu C x y

- Suku ke-2 1 12 1

n nu C x y

- Suku ke-3 2 23 2

n nu C x y dan seterusnya…

Jadi disimpulkan:

1n n r r

r ru C x y Contoh

1. Tentukan suku kelima dari setiap binomium berikut ini:

a. 72x y

b. 5x y Jawab:

a. n = 7 dan r = 4 ɸ 7 47 4 3 3 45 4

7!2 24! 3!

u C x y x y

3 47 6 5 8

3 2 1x y

3 45 280u x y

b. n = 5 dan r = 4 ɸ 45 5 4 45 4

5!4! 1!

u C x y x y

45 5u xy

2. Tentukan koefisien 2 3x y dari setiap penjabaran binom berikut ini.

a. 53 2x y

b. 53x y Jawab:

a. Koefisien 2 3 5 2 33

5!3 2 9 83! 2!

x y C

5 4 3 2 1 72 7203 2 1 2 1

b. Koefisien 2 3 5 2 33

5!1 3 1 27 10 1 27 2703! 2!

x y C

3. Jabarkan binom berpangkat berikut ini: 43x y Jawab:

4

4 44

0

3 3 i ii

i

x y C x y

4 3 2 1 04 0 4 1 4 2 4 3 4 40 1 2 3 43 3 3 3 3C x y C x y C x y C x y C x y

4 3 2 2 3 41 81 4 27 6 9 4 3 1 1x x y x y xy y

4 3 2 2 3 481 108 54 12x x y x y xy y

Standar Kompetensi: Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah.



4. Tentukan perbandingan koefisien suku ketiga dan suku kelima dari

penjabaran bentuk 63 2x . Jawab:

Penentuan koefisien suku ke r dari penjabaran bentuk binomial

63 2x ditentukan oleh: Koefisien suku ketiga

6 6 (3 1) (3 1)3 1 3 2C

6 4 22 3 2C

Koefisien suku kelima 6 6 (5 1) (5 1)

5 1 3 2C

6 2 44 3 2C karena 6 6

2 4C C

6 4 2 4 2 226 2 4 4 2 24

3 2koef i s i en suku ket i ga 3 3 9koef i s i en suku kel i ma 3 2 2 2 4

CC

Jadi, koefisien suku ketiga : koefisien suku kelima = 9 : 4. UJI KOMPETENSI 1. Suku kelima dari penjabaran

73x y adalah…

A. 5 22x y

B. 4 312x y

C. 3 4945x y

D. 2 51. 215x y

E. 3 4955x y

2. Koefisien 3 2x y dari hasil

perpangkatan 52 3x y adalah… A. 120 B. 360 C. 520 D. 720 E. 960



BAB 4 PELUANG

4.1 Ruang Sampel Percobaan Acak Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel sering disebut ruang contoh. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Banyaknya anggota atau unsur dalam ruang sampel dinotasikan dengan n(S) atau n. Titik sampel atau titik contoh adalah unsur-unsur yang terdapat di dalam ruang sampel. Himpunan dari beberapa atau seluruh titik sampel disebut kejadian (event). Dalam menyusun ruang sampel suatu percobaan dapat dilakukan dalam tiga cara, yaitu mendaftar, diagram pohon, dan membuat tabel. Contoh: Uang logam lima ratusan dan sebuah dadu bermata enam dilempar bersama-sama. Tentukan ruang sampel dengan cara:

a. Diagram pohon b. Tabel c. Mendaftar

Jawab: Misalkan uang logam dianggap bagian pertama dan dadu bermata enam dianggap bagian kedua diperoleh:

a. Diagram pohon

Ruang sampel: S = {(G,1), (G,2), (G,3), (G,4), (G,5), (G,6), (A,1), (A,2), (A,3),

(A,4), (A,5), (A,6)}.

b. Tabel Bagian kedua Bagian pertama

1 2 3 4 5 6

G (G,1)

(G,2)

(G,3)

(G,4)

(G,5)

(G,6)

A (A,1)

(A,2)

(A,3)

(A,4)

(A,5)

(A,6)

Kompetensi Dasar: 1. Menentukan ruang sampel suatu percobaan. 2. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Awal

1

G

2

3

4

5

6

1

A

2

3

4

5

6

( G, 1)

( G, 2)

( G, 3)

( G, 4)

( G, 5)

( G, 6)

( A, 1)

( A, 2)

( A, 3)

( A, 4)

( A, 5)

( A, 6)

Bagi an per t ama Bagi an kedua Hasi l yang mungki nt er j adi



Ruang sampel: S = {(G,1), (G,2), (G,3), (G,4), (G,5), (G,6), (A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6)}.

c. Mendaftar

Hasil yang mungkin terjadi adalah (G,1), (G,2), (G,3), (G,4), (G,5), (G,6), (A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6). Banyak titik sampel n(S) = 12.

UJI KOMPETENSI 1. Banyak titik sampel pada

pelemparan 3 dadu bermata enam adalah… A. (3 6) B. (3 62) C. 62 D. 63 E. (3 63)

Esai 2. Ami mempunyai 6 pakaian sekolah,

3 tas, dan 2 sepatu. a. Ada berapa cara Ami dapat

memadukan pakaian, tas, dan sepatunya?

b. Tuliskan semua cara itu dengan diagram pohon.

c. Tuliskan semua cara itu dengan tabel.

4.2 Peluang Suatu Kejadian Penentuan peluang suatu kejadian dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu:

1. Pendekatan frekuensi relatif atau nisbi 2. Pendekatan definisi peluang klasik 3. Penggunaan ruang sampel

1. Pendekatan frekuensi relatif atau nisbi

Misalkan suatu percobaan dilakukan sebanyak n kali. Jika kejadian acak A muncul sebanyak k kali 0 k n maka frekuensi relatif kejadian A ditentukan oleh formula:

Banyaknya kej adi an acak A( )

Banyaknya per cobaanrkf An

Jika n besar sekali, berarti n ↓ , maka nilai ( )rf A merupakan nilai peluang kejadian acak A, dituliskan sebagai:

( ) l i m ( ) l i mrn n

kP A f An

Contoh

1) Dari percobaan pengambilan kartu domino sebanyak 2.800 kali diperoleh keluarnya kartu dobel empat sebanyak 97 kali. Tentukanlah: a. Frekuensi relatif kejadian muncul kartu dobel empat b. Frekuensi kejadian acak munculnya kartu dobel empat Jawab: Diketahui: n = 2.800 dan k = 97.

a) 97 1( dobel empat )

2. 800 28rf

b) 1( dobel empat )28

P

2. Penentuan peluang dengan pendekatan definisi peluang klasik Jika kejadian A dapat terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara yang mempunyai kemungkinan sama, maka peluang kejadian A ditentukan oleh:

( ) kP An



Contoh 2) Pada pelemparan satu mata dadu bermata enam, tentukan peluang

kejadian munculnya mata dadu berangka ganjil. Jawab: Saat melempar dadu terdapat 6 titik sampel yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Jika A adalah kejadian munculnya mata dadu berangka ganjil: 1, 3,

dan 5, maka 3 1( )6 2

P A

3) Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng merah dan 5 kelereng putih.

Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang terambil. a) Kelereng warna merah b) Kelereng warna putih Jawab:

Misal: kejadian A = terambil kelereng warna merah ɸ n(A) = k = 3

Kejadian B = terambil kelereng warna putih ɸ n(B) = k = 5 Banyak keseluruhan kelereng n = 3 + 5 = 8

a) 3( ) ( )8

kP A P An

b) 5( ) ( )8

kP B P Bn

4) Dalam pengambilan sebuah kartu dari seperangkat kartu bridge,

tentukan peluang terambil kartu: a) King wajik b) King c) Wajik Jawab: Diketahui n = 52 (seperangkat kartu bridge)

a) 1( ki ng waj i k)32

P

b) 4 1( ki ng)

52 13P

c) 13 1( waj i k)52 4

P

5) (Perhitungan dengan menggunakan kombinasi)

Sebuah kantong berisi 6 bola merah, 4 putih, dan 8 biru. Apabila 3 bola diambil acak, hitunglah peluang bahwa yang terambil: a) Semua merah b) 2 putih dan 1 merah c) Bola dalam urutan merah, putih, biru Jawab: a) Pengambilan 3 bola merah dari 6 bola merah

63183

6!5 4 53! 3!( semua mer ah) 18! 3 17 16 204

3! 15!

CPC

b)

4 62 1

183

4! 6!6 6 32! 2! 1! 5!( 2 put i h dan 1 mer ah) 18! 3 17 16 68

3! 15!

C CPC

c) 4 1 4 1 2( bol a t er ambi l dal am ur ut an mer ah, put i h, bi r u)

17 3! 17 6 51P

UJI KOMPETENSI 1. Dari 12 buah barang, 4 di

antaranya rusak. Jika 2 barang diambil secara acak, maka peluang yang terambil keduanya barang rusak adalah…

A. 122

B. 111

C. 16

D. 13

E. 12



2. Sebuah kotak berisi 10 kelereng, 6 buah berwarna merah, dan 4 buah berwarna kuning. Jika dari kotak itu diambil 3 kelereng secara acak, maka peluang semua kelereng yang terambil berwarna kuning adalah…

A. 130

B. 115

C. 110

D. 16

E. 12

3. Penentuan peluang dengan menggunakan ruang sampel Dalam suatu percobaan acak, jika kejadian-kejadian mempunyai kesempatan muncul yang sama, maka nilai kemungkinan (peluang) dari kejadian A ditentukan oleh formula berikut ini:

( )( )( )

n AP An S

Contoh 1. Pada percobaan pelemparan sebuah dadu satu kali. Tentukan P(B) jika B

kejadian muncul mata dadu kurang dari 5. Jawab: B = {1, 2, 3, 4}, berarti n(B) = 4

( ) 4( )( ) 6

n BP Bn S

2( )3

P B

2. Pada pengambilan sebuah kartu dari seperangkat kartu bridge. Tentukan: a. P(A), jika A kejadian mendapat kartu jack b. P(B), jika B kejadian mendapat kartu sekop c. P(C), jika C kejadian mendapat kartu As hati Jawab: a. Banyak kartu jack = 4, berarti n(A) = 4

4 1( )52 13

P A

b. Banyak kartu sekop = 13, berarti n(B) = 13 13 1( )52 4

P B

c. Banyak kartu As hati = 1, berarti n(C) = 1 1( )

52P C

3. Dua buah dadu bermata enam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 5. Jawab: Ruang sampel pada pengetosan dua dadu bermata enam dapat dilihat pada tabel berikut: Dadu 2 Dadu 1

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (2,1) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (3,1) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (4,1) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (5,1) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (6,1) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

Jawab: Misal B adalah kejadian muncul jumlah kedua mata dadu adalah 5, maka: B = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} sehingga n(B) = 4.

( ) 4 1( )( ) 36 9

n BP Bn S

Jadi peluang kejadian muncul jumlah mata dadu adalah 5 sama dengan 19.



UJI KOMPETENSI 1. Sebuah kotak berisi 25 bola

putih, 15 bola merah, 20 bola hitam, dan 30 bola kuning. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak itu. Peluang bahwa bola yang terambil hitam adalah…

A. 59

B. 49

C. 39

D. 29

E. 19

2. Pada pelemparan tiga uang logam bersamaan, peluang muncul dua gambar dan satu angka adalah…

A. 12

B. 38

C. 14

D. 18

E. 1

4.3 Kisaran Peluang Dalam praktek batasan nilai peluang, sebuah kejadian A berisi nilai-nilai peluang:

0 ( ) 1P A

1. Pengertian peluang nol dan peluang 1 Kejadian sehari-hari yang mempunyai peluang nol antara lain: (1) Matahari terbit dari utara (2) Dua garis yang saling berpotongan pasti sejajar (3) Kubus bersisi delapan Kepastian mempunyai peluang satu antara lain: (1) Matahari terbit dari timur dan tenggelam di barat (2) Setiap makhluk hidup akan mati (3) Kubus bersisi enam

2. Peluang komplemen suatu kejadian A , A atau cA disebut komplemen dari A. Berdasarkan definisi peluang berdasarkan ruang sampel dapat dituliskan:

( ) ( ) 1P A P A Contoh 1. Hari ini cuaca mendung. Peluang hari ini tidak turun hujan adalah

0,13. Berapa peluang hari ini turun hujan? Jawab: Misal, kejadian A adalah hari ini turun hujan. Berarti, kejadian A adalah hari ini tidak turun hujan.

( ) 0, 13P A , berarti ( ) 1 ( )P A P A 1 0, 13 0, 87 Jadi peluang hari ini turun hujan adalah 0,87.

2. Diberikan sebuah rollet (sebuah lempengan angka

berputar) seperti gambar di samping. Jika E adalah kejadian munculnya angka genap, maka:

4 1( )8 2

P E karena E = {2, 4, 6, 8}

Peluang munculnya angka ganjil adalah: 1 1( ) 12 2

P E

1 2

4

3

56

7

8



UJI KOMPETENSI 1. Peluang A memenangkan

pertandingan catur melawan B

adalah 13. Peluang bahwa A

akan memenangkan paling sedikit satu dari 3 pertandingan itu adalah…

A. 13

B. 23

C. 827

D. 1927

E. 2627

2. Dalam pemilihan direktur pada sebuah kantor ada tiga calon A, B, dan C. Jika rasio A akan menang adalah 7 : 5, rasio B akan menang adalah 1 : 3, maka rasio C akan menang adalah… A. 1 : 7 B. 1 : 6 C. 1 : 5 D. 3 : 5 E. 3 : 7

4.4 Frekuensi Harapan suatu Kejadian Frekuensi harapan adalah frekuensi yang diinginkan agar paling sering/banyak terulang dari suatu pecobaan.

( ) ( )E A P A N Contoh 1. Diketahui peluang seorang terkena penyakit flu burung 0,04. Berapa di

antara 5.250 orang diperkirakan terkena flu burung? Jawab: Misal A : kejadian seorang terkena penyakit flu burung, maka P(A) = 0,04 =

4100

N : banyaknya orang = 5.250 ( ) ( )E A P A N

4 5. 250 210

100

Jadi banyak orang yang terkena penyakit flu burung adalah 210 orang.

2. Sebuah dadu dilempar sebanyak 150 kali. Hitunglah frekuensi harapan muncul mata dadu angka genap. Jawab: Misal B kejadian muncul mata dadu angka genap, maka B = {2, 4, 6}, n(B) =

3, dan 3 1( )6 2

P B .

( ) ( )E B P B N

1 150 752

Jadi frekuensi harapan munculnya mata dadu angka genap adalah 75 kali. UJI KOMPETENSI 1. Suatu bibit tanaman memiliki

peluang tumbuh 85%. Sebanyak 5.000 bibit tanaman itu ditanam pada suatu lahan. Frekuensi harapan tumbuh bibit tanaman itu adalah … bibit. A. 750 B. 1.750 C. 3.750 D. 4.250 E. 4.500

2. Jika dadu bermata huruf A, B, C, D, E, dan F dilempar 120 kali, maka frekuensi harapan muncul mata dadu berhuruf vokal adalah … kali. A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 E. 100



4.5 Peluang Kejadian Majemuk

A. Menentukan Peluang Gabungan atau Irisan Beberapa Kejadian Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian A B ditentukan oleh formula:

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B Contoh 1. Dua dadu bermata enam dilempar bersamaan. Hitunglah peluang bahwa

yang terambil bilangan genap pada mata dadu pertama atau jumlahnya 8. Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B 18 5 3

( ) 20n A B ( )( )

( )n A BP A B

n S

20 536 9

2. Dari pelemparan dua dadu bermata enam satu kali, hitunglah peluang

bahwa muncul dadu tidak ada yang bermata sama dan tidak berjumlah 9. Jawab: Diketahui: n(S) = 6 6 = 36 Misal, A = kejadian muncul kedua mata dadu sama B = kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 9 A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} ɸ n(A) = 6 B = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} ɸ n(B) = 4 Terlihat bahwa A B , berarti kejadian A dan kejadian B merupakan kejadian saling lepas atau saling asing (mutually exclusive).

( ) 6( ) ( )( ) 36

n AP A P An S

( ) 4( ) ( )( ) 36

n BP B P Bn S

Peluang bahwa muncul dadu bermata sama atau berjumlah 9, yaitu ( )P A B , ditentukan oleh: ( ) ( ) ( )P A B P A P B (karena A dan B kejadian saling lepas)

6 436 36

10 5( )36 18

P A B

Peluang bahwa muncul dadu tidak ada bermata sama dan tidak berjumlah 9 adalah

( ) ( )P A B P A B 1 ( )P A B

5 131

18 18

UJI KOMPETENSI 1. Sebuah dadu bermata enam

dilempar satu kali. Peluang keluar angka 1 atau 5 adalah…

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

E. 56

2. Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali, peluang muncul angka ganjil tetapi tidak prima adalah…

A. 16

B. 13

C. 12

D. 23

E. 56



B. Menentukan Peluang Kejadian Bersyarat Penentuan formula untuk peluang kejadian bersyarat dapat dilihat berikut ini: (1) Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah

muncul ditentukan oleh:

P(A | B) ( )( )

P A BP B

dengan P(B) 0

(2) Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul ditentukan oleh:

P(A | B) ( )( )

P A BP A

dengan P(A) 0

Contoh Tiga lempeng mata uang ditos. Hitunglah peluang muncul ketiganya angka apabila telah muncul paling sedikit satu angka. Jawab: S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA} ɸ n(S) = 8 Misal:

A = kejadian muncul paling sedikit satu angka, maka A = {GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA} ɸ n(A) = 7 B = kejadian muncul tiga angka, maka B = {AAA} ɸ n(B) = 1

( )A B {AAA} ɸ ( ) 1n A B 7 1( ) , ( )8 8

P A P B , dan 1( )8

P A B

P(B | A)1

( ) 87( )8

P A BP A

P(B | A) 17

C. Menentukan Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas

Dua kejadian A dan B disebut kejadian-kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas, maka ( ) ( ) ( )P A B P A P B . Jika ( ) ( ) ( )P A B P A P B , maka A dan B disebut kejadian tidak saling bebas. Contoh 1. Satu dadu dan satu mata uang dilempar sekali secara bersamaan.

Berapa peluang muncul mata dadu 5 dan angka pada mata uang? Jawab: 1 dadu, maka n(S) = 6 1 mata uang, maka n(S) = 2 Misal, A = kejadian munculnya mata dadu 5 ɸ n(A) = 1 B = kejadian munculnya angka pada mata uang ɸ n(B) = 1

Hal ini berarti 1( )6

P A dan 1( )2

P B .

Jadi, ( ) ( ) ( )P A B P A P B

1 1 16 2 12

1( )12

P A B

2. Diketahui A dapat menjawab soal 90% dari soal matematika dalam buku

matematika SMA dan B dapat menjawab 70%. Berapakah peluang bahwa paling sedikit satu dari mereka dapat menyelesaikan soal matematika yang dipilih secara acak dari buku matematika SMA? Jawab: Misal, A = kejadian bahwa A dapat menjawab soal matematika



B = kejadian bahawa B dapat menjawab soal matematika

A dan B kejadian yang saling bebas dengan 90 9( )

100 10P A dan

70 7( )100 10

P B

( ) ( ) ( )P A B P A P B 9 7 63( )

10 10 100P A B

Jadi, P(A atau B) ( )P A B ( ) ( ) ( )P A P B P A B

9 7 63 97 97%10 10 100 100

UJI KOMPETENSI 1. Jika P(A) = 0,4; P(B) = p; ( )P A B = 0,6; A, B kejadian-kejadian yang

saling bebas, hitunglah nilai p. 2. Diketahui A dan B dua kejadian yang saling bebas. Peluang kejadian A dan B

adalah 18 dan peluang kejadian bukan A dan bukan B adalah

38. Hitunglah

P(A) dan P(B). --- “Demi masa, sesungguhnya manusia itu benar-benar berada dalam kerugian, kecuali orang-orang yang beriman dan mengerjakan amal shalih dan nasihat-menasihati supaya menaati kebenaran dan nasihat-menasihati supaya menaati kesabaran” (Al ‘Ashr/103: 1-3) ---