Download - Bilinear Form

Transcript
Page 1: Bilinear Form

BENTUK BENTUK BILINEAR DAN BILINEAR DAN KUADRATKUADRAT

Page 2: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSIDua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:

B = PTAPMatriks-matriks kongruen mempunyai rank sama

Bila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik

Page 3: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSI A dan B kongruen dengan syarat

A dapat direduksi menjadi B dengan memakai sebarisan pasangan transformasi elementer.

Tiap pasang terdiri atas suatu transformasi elementer baris yang diikuti transformasi elementer kolom yang sama

Page 4: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSI Setiap matriks simetris A dengan

rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol.

Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D = PTAP adalah diagonal

81082

10853

8532

2321

A

Page 5: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSI

100081082

010010853

00108532

00012321

HA

100212440

01034110

00124110

00010001

Page 6: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSI

104104000

01110000

00120010

00010001

TPD

01110000

104100400

00120010

00010001

Page 7: Bilinear Form

KONGRUENSIKONGRUENSI

0100

1000

1410

11021

P

Matriks D yg berasal dari A yang direduksi tidak unik. Misalnya transformasi H3(½) dan K 3(½) akan menggantikan D dengan

0000

0100

0010

0001

D

Page 8: Bilinear Form

BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR

Suatu ekspresi yang linear dan homogen pada setiap himpunan peubah (x1, x2, ...xn) dan (y1, y2, ...yn) disebut bentuk bilinear dari peubah-peubah ini.

Bentuk umum: f(x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn

+ a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn

+ ................................................ + am1xmy1 + am2xmy2 + ... + amnxmyn

Page 9: Bilinear Form

BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR

m

i

n

jjiij yxayxf

1 1

),(

nmnmm

n

n

m

y

y

y

aaa

aaa

aaa

xxx2

1

21

22221

11211

21

...

......................

...

...

....

AYX T

Page 10: Bilinear Form

BENTUK BILINEARBENTUK BILINEAR

3

2

1

321

100

011

101

y

y

y

xxx

AYX T

Contoh: Bentuk bilinear x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3

Page 11: Bilinear Form

BENTUK KANONIKBENTUK KANONIK

Misalnya m buah x dapat digantikan oleh peubah baru u melalui transformasi linear:

dan n buah y dapat digantikan oleh peubah baru v melalui transformasi linear:

Sehingga:

BUXataumiubxn

jjiji

),...2,1(,1

CVYataunivcyn

jjiji

),...2,1(,1

VACBUCVABUAYX TTTT )()()(

Page 12: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK

00

0rIPAQ

Dua bentuk bilinear disebut setara jika dan hanya jika terdapat transformasi linear tak singular yang membawa bentuk satu kebentuk lainnya.

1. Dua bentuk bilinear dengan matriks A dan B ordo mxn setara jika rank keduanya sama. Jika rank matriks P dan Q non singular maka

Page 13: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK

rrrTT vuvuvuVI

UVPAQU

...

00

0)( 2211

Dengan mengambil B = PT dan C = Q, bentuk bilinear direduksi ke:

2. Sembarang bentuk bilinear dengan rank r dapat direduksi melalui transformasi linear non singular menjadi bentuk kanonik

rrvuvuvu ...2211

Page 14: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KANONIKKANONIK Contoh: tentukan bentuk kanonik dari matriks berikut

100

011

101

A

Page 15: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Polinom homogen:

Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn.

n

i

n

jjiij

T yxaAXXq1 1

Page 16: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Contoh:

q = x12 + 2x2

2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3

Matriks simetri A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r<n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak non singular

XX T

704

022

421

Page 17: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT TRANSFORMASITransformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;

Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi

YABBYBYABY TTT )()()(

XXq T

704

022

421

Page 18: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT REDUKSI LAGRANGE

q = x12 + 2x2

2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3

= {x12 – 4x1(x2 -2X3)}+ 2x2

2 – 7x32

……………………………………

= (x1 – 2X2 + 4X3)2 – 2(x2 – 4x3)2 + 9X32

Page 19: Bilinear Form

BENTUK BENTUK KUADRATKUADRAT Jadi:

y1 = x1 - 2x2 + 4x3

y2 = x2 – 4x3

y3 = x3

x1 = y1 + 2y2 + 4y3

x2 = y2 + 4y3

x3 = y3

Mereduksi q menjadi y12 – 2y2

2 + 9y32